3.3 多维随机变量函数的分布
合集下载
多维随机变量函数的分布
i ,k : g ( x i , y j ) = z k
∑
p ij
＝pk ,
(x1,y1) (x1,y2) … p11 p12
(xi,yj) pij g(xi,yj)
…
Z=g(X,Y)
g(x1,y1) g(x1,y2)
例1 设(X,Y)的联合分布列如下所列： 试求(1)Z1=X+Y (2)Z2=X-Y (3)Z3=max{X,Y}的分布列
练习：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为
X P 0 q 1 p
(1) 求W＝X＋Y的分布律; (2) 求V＝max(X, Y)的分布律； (3) 求U＝min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。
(X,Y) pij
W＝X＋Y
V＝max(X, Y) U＝min(X, Y)
−∞ 或 ∞ −∞
−∞
∫f
X
( z − y ) f Y ( y )dy ＝ ∫ f X ( x) f Y ( z − x)dx.
例2 设X和Y相互独立，并且服从[-1，1]上的均匀分 布，求Z=X+Y的密度函数。
解：
1 f Y ( x) = 2 0
+∞
当 −1 ≤ x ≤ 1 其他
其中α>0，β>0,试分别就以上两 种联结方式写出L的寿命Z的概率 密度．
αe − αx , x > 0, f X ( x) = x ≤ 0, 0,
βe − βy , y > 0, fY ( y ) = y ≤ 0, 0,
其中 α > 0, β > 0 且 α ≠ β . 试分别就以上三种联 接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度 .
高等数学之多维随机变量及其分布
f (x, y)d xd y
YX
G
2e(2 x y) d x d y 0y
G
O
x
1. 3
练习题
1. 设二 维随 机变量( X ,Y ) 具有 概率 密度
f
(
x,
y)
ce
x2
y
,
0,
x 1, y 0, 其 它.
(1) 确 定 常 数c; (2) 求P{ X 2Y 1};
2.设随机变量X和Y的联合分布函数为F (x, y), 而F1(x)和F2 ( y)分别为X和Y的分布函数，则 a,b, P{X a,Y b} B
a
3.设二维随机变量( X ,Y )的概率密度为
ey ,0 x y
f (x, y) 0,
其它
求P{X Y 1}.
解:
P{X Y 1} f (x, y)dxdy
y
y=x
G
1/2 dx 1x eydy 1 2 1
0
x
e1/ 2 e
1
0 1/2 1
x
x+y=1
4.设 二 维 随机 变 量( X ,Y )的 分 布 函数 为
例3 设二 维随 机变 量( X , Y ) 具有 概率 密度
2e (2 x y) , x 0, y 0,
f (x, y) 0,
其 它.
(1) 求分 布函 数F ( x, y); (2) 求概 率 P{Y X }.
解: (1) F ( x, y) y
x
f (u, v)d ud v
yx
F ( x, y)
f (u, v) d ud v
则 称( X ,Y )是 连 续 型 的 二 维 随 机 变量,函 数f ( x, y)
YX
G
2e(2 x y) d x d y 0y
G
O
x
1. 3
练习题
1. 设二 维随 机变量( X ,Y ) 具有 概率 密度
f
(
x,
y)
ce
x2
y
,
0,
x 1, y 0, 其 它.
(1) 确 定 常 数c; (2) 求P{ X 2Y 1};
2.设随机变量X和Y的联合分布函数为F (x, y), 而F1(x)和F2 ( y)分别为X和Y的分布函数，则 a,b, P{X a,Y b} B
a
3.设二维随机变量( X ,Y )的概率密度为
ey ,0 x y
f (x, y) 0,
其它
求P{X Y 1}.
解:
P{X Y 1} f (x, y)dxdy
y
y=x
G
1/2 dx 1x eydy 1 2 1
0
x
e1/ 2 e
1
0 1/2 1
x
x+y=1
4.设 二 维 随机 变 量( X ,Y )的 分 布 函数 为
例3 设二 维随 机变 量( X , Y ) 具有 概率 密度
2e (2 x y) , x 0, y 0,
f (x, y) 0,
其 它.
(1) 求分 布函 数F ( x, y); (2) 求概 率 P{Y X }.
解: (1) F ( x, y) y
x
f (u, v)d ud v
yx
F ( x, y)
f (u, v) d ud v
则 称( X ,Y )是 连 续 型 的 二 维 随 机 变量,函 数f ( x, y)
茆诗松概率论与数理统计教程课件第三章 (3)
i 0
k
i 0
i 1
i!
e 1
2
i k 2
(k i )!
k
e 2
e
1
e k!
k! i k i 1 2 i 0 i! ( k i )!
e ( 1 2 ) k (1 2 ) k!
(1 2 )k ( 1 2 ) e k!
p( x, y )dxdy
| x y| z
dxdy
阴影部分面积
1 1 2 (1 z ) 2 2
2z z 2
所以Z=|X-Y|的密度函数为
pZ ( z ) FZ ' ( z ) 2(1 z ),
0 z 1
对某些常用的简单的函数g, 可利用“分布函数法” 导出pZ(z)和p(x,y)的关系式供我们直接使用.
解: 由题知
1 pX ( x ) e 2
x2 2
1 , pY ( y ) e 2
y2 2
,
x, y
所以由卷积公式有
1 pZ ( z ) pX ( x ) pY ( z x )dx e 2
x2 2
e
( z x )2 2
类似地, 我们可以求得n个独立变量的最大值和最小值的分 布函数.
例五. 设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2连接而成,
连接的方式分别为:(1)串联, (2)并联, (3)备用(当系统 L1损坏时, 系统L2开始工作), 如图所示. 设L1和L2的寿 命分别为X,Y, 其概率密度分别为
e x , x 0 pX ( x ) 0, 其 它
2
k
i 0
i 1
i!
e 1
2
i k 2
(k i )!
k
e 2
e
1
e k!
k! i k i 1 2 i 0 i! ( k i )!
e ( 1 2 ) k (1 2 ) k!
(1 2 )k ( 1 2 ) e k!
p( x, y )dxdy
| x y| z
dxdy
阴影部分面积
1 1 2 (1 z ) 2 2
2z z 2
所以Z=|X-Y|的密度函数为
pZ ( z ) FZ ' ( z ) 2(1 z ),
0 z 1
对某些常用的简单的函数g, 可利用“分布函数法” 导出pZ(z)和p(x,y)的关系式供我们直接使用.
解: 由题知
1 pX ( x ) e 2
x2 2
1 , pY ( y ) e 2
y2 2
,
x, y
所以由卷积公式有
1 pZ ( z ) pX ( x ) pY ( z x )dx e 2
x2 2
e
( z x )2 2
类似地, 我们可以求得n个独立变量的最大值和最小值的分 布函数.
例五. 设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2连接而成,
连接的方式分别为:(1)串联, (2)并联, (3)备用(当系统 L1损坏时, 系统L2开始工作), 如图所示. 设L1和L2的寿 命分别为X,Y, 其概率密度分别为
e x , x 0 pX ( x ) 0, 其 它
2
3.3多维随机变量函数的分布x
k
i0
1i
i!
e 1
ki
e 2
2
(k i)!
k
k
e 1
2
(12 )
k!
i0
i
k! !(k
i)!
1 1 2
i
2 1 2
ki
1 2
k!
k
e(1 2 )
1 1 2
2 1 2
k
1 2
k
e(1 2 ) , k 0,1, 2,L .
y x yz
O
x
z
f (u y, y)d y d u.
由此可得概率密度函数为
fZ (z) f (z y, y)d y.
由于 X 与 Y 对称,
fZ (z) f ( x, z x)d x.
当 X, Y 独立时, fZ (z)也可表示为
fZ (z) fX (z y) fY ( y)d y,
2 12
12 2 12 12 12
(X ,Y )
(1,2)
(1,1) (1,0)
1 2
,2
1 2
,1
(3,2)
(3,0)
1
概率 12
1
32
1 22
12 12 12 12 12 12
( X ,Y ) (1,2)
(1,1) (1,0)
1 2
,2
1 2
,1
(3,2)
(3,0)
X Y 3
证 Z X Y的取值为0，1，2，L 非负整数，而事件Z k
是k 1个互不相容事件X i,Y k i, i 0,1,L , k
的并，则对于任意非负整数k，有
k
P(Z k) P( X i)P(Y k i) i0
3.3多维随机变量函数的分布
求Z=X+Y的概率密度.1, 0 1
( ) ,
0,
x
p x
其它( ) ( ) ( )Z X Yp z p x p z x dx
解: 由卷积公式0 1
0 1
x
z x
也即0 1
一维连续型随机变量函数的分布的方法
分布函数法、定理法
本节的主要问题是已知X,Y )的联合分布而( , )
Z g X Y求Z 的分布. §3.3 多维随机变量函数的分布Copyright. Yang ning-guang.2010.
All Rights Reserved.
All Rights Reserved.
9为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
练习设X与Y 的联合概率密度为3 , 0 1, 0 ;
( , ) ,
0,
x x y x
p x y
其它( ) ( , )Zp z p x z x dx
Copyright. Yang ning-guang.2010.
All Rights Reserved.1§3.1多维随机变量及其联合分布
§3.2边际分布与随机变量的独立性
§3.3 多维随机变量函数的分布
§3.4 多维随机变量的特征数
§3.5 条件分布与条件数学期望§3.3 多维随机变量函数的分布Copyright. Yang ning-guang.2010.
All Rights Reserved.
2回顾
(2) 连续型已知X( ),Xp x要求Y=f (X)分布密度( )Yp y要求Y=f (X)分布律
( ) ,
0,
x
p x
其它( ) ( ) ( )Z X Yp z p x p z x dx
解: 由卷积公式0 1
0 1
x
z x
也即0 1
一维连续型随机变量函数的分布的方法
分布函数法、定理法
本节的主要问题是已知X,Y )的联合分布而( , )
Z g X Y求Z 的分布. §3.3 多维随机变量函数的分布Copyright. Yang ning-guang.2010.
All Rights Reserved.
All Rights Reserved.
9为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
练习设X与Y 的联合概率密度为3 , 0 1, 0 ;
( , ) ,
0,
x x y x
p x y
其它( ) ( , )Zp z p x z x dx
Copyright. Yang ning-guang.2010.
All Rights Reserved.1§3.1多维随机变量及其联合分布
§3.2边际分布与随机变量的独立性
§3.3 多维随机变量函数的分布
§3.4 多维随机变量的特征数
§3.5 条件分布与条件数学期望§3.3 多维随机变量函数的分布Copyright. Yang ning-guang.2010.
All Rights Reserved.
2回顾
(2) 连续型已知X( ),Xp x要求Y=f (X)分布密度( )Yp y要求Y=f (X)分布律
第三章 多维随机变量及其分布
i 1 n
则称X 1 , X 2 , , X n相互独立。
3.3
多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布 二、最大值与最小值的分布
三、连续场合的卷积公式
四、变量变换法
一、多维离散随机变量函数的分布
泊松分布的可加性
设X P(1 ), Y P(2 )，且X 与Y 独立，则Z X Y P(1 2 ).
二项分布的可加性
设X b(n, p), Y P(m, p)，且X 与Y 独立，则Z X Y b(n m, p).
二、最大值和最小值的分布
最大值分布
设X1 , X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，若Y max( X1 , X 2 , , X n )， 则Y的分布称为最大值分布。
y y
0
1
U g1 ( X , Y ) V g2 ( X , Y )
则(U ,V )的联合分布函数为 p( , ) p( x( , ), y( , )) | J |
积的公式
设X 与Y 相互独立，其密度函数分别为p X ( x)和pY ( y )。则 U XY的密度函数为 pU ( )
P( X x , Y y ) P( X x ), i 1, 2,
j 1 i j i
被称为X 的边际分布列，类似地，对i求和所得的分布列
P( X x , Y y ) P(Y y ), j 1, 2,
i别地, 当n 2时( X , Y )为二维随机变量。
其联合分布函数为（ F x, y） P （X x, Y y）
若F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数, 则 它表示随机点(X,Y)落在二维区域D内的概率, 其中D 如下图所示:
则称X 1 , X 2 , , X n相互独立。
3.3
多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布 二、最大值与最小值的分布
三、连续场合的卷积公式
四、变量变换法
一、多维离散随机变量函数的分布
泊松分布的可加性
设X P(1 ), Y P(2 )，且X 与Y 独立，则Z X Y P(1 2 ).
二项分布的可加性
设X b(n, p), Y P(m, p)，且X 与Y 独立，则Z X Y b(n m, p).
二、最大值和最小值的分布
最大值分布
设X1 , X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，若Y max( X1 , X 2 , , X n )， 则Y的分布称为最大值分布。
y y
0
1
U g1 ( X , Y ) V g2 ( X , Y )
则(U ,V )的联合分布函数为 p( , ) p( x( , ), y( , )) | J |
积的公式
设X 与Y 相互独立，其密度函数分别为p X ( x)和pY ( y )。则 U XY的密度函数为 pU ( )
P( X x , Y y ) P( X x ), i 1, 2,
j 1 i j i
被称为X 的边际分布列，类似地，对i求和所得的分布列
P( X x , Y y ) P(Y y ), j 1, 2,
i别地, 当n 2时( X , Y )为二维随机变量。
其联合分布函数为（ F x, y） P （X x, Y y）
若F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数, 则 它表示随机点(X,Y)落在二维区域D内的概率, 其中D 如下图所示:
第3.3节随机变量的函数及其分布(new)
−∞ −∞
pη ( y ) = ∫ p1 ( x) p2 ( y − x)dx
+∞
因此我们有如下定理： 定理：若 ξ1，ξ 2 相互独立，且有密度函 数， 则ξ1 + ξ 2也有密度函数，并且其 密度函数为 ξ1 与ξ 2密度函数的卷积。
例 设随机变数 ξ ， η 独立，同服从 λ = 1的 指数分布，求 ξ + η 的密度函数。 解： ξ + η 的密度函数为 pξ+η ( y ) =
Fη ( y ) = P {η < y} = z1 = x1 令 z 2 = x1 + x 2 上式 = = (∫ ,则
2 x1 + x 2 < y
∫∫
p ( x 1 , x 2 ) dx 1 dx
2
∫ ∫
−∞ +∞ −∞
+∞
y −∞
p ( z 1 , z 2 − z 1 ) dz 1 dz
i =0 k
= ∑ P{ξ = i}P{η = k − i} = ∑ C p q C
i =0 i =0 i n i n −i
k
k
k −i m
p q
k −i
m− k +i
=p q
k
n+ m−k
∑C C
i =0 i n
k
k −i m
=C
k n+m
p q
k
n + m−k
, k = 0,L, n + m
则ξ + η ~ B(n + m, p)
故η的密度函数为 1 p( y) = F′( y) = 2 π(1+ y )
例2的解
pη ( y ) = ∫ p1 ( x) p2 ( y − x)dx
+∞
因此我们有如下定理： 定理：若 ξ1，ξ 2 相互独立，且有密度函 数， 则ξ1 + ξ 2也有密度函数，并且其 密度函数为 ξ1 与ξ 2密度函数的卷积。
例 设随机变数 ξ ， η 独立，同服从 λ = 1的 指数分布，求 ξ + η 的密度函数。 解： ξ + η 的密度函数为 pξ+η ( y ) =
Fη ( y ) = P {η < y} = z1 = x1 令 z 2 = x1 + x 2 上式 = = (∫ ,则
2 x1 + x 2 < y
∫∫
p ( x 1 , x 2 ) dx 1 dx
2
∫ ∫
−∞ +∞ −∞
+∞
y −∞
p ( z 1 , z 2 − z 1 ) dz 1 dz
i =0 k
= ∑ P{ξ = i}P{η = k − i} = ∑ C p q C
i =0 i =0 i n i n −i
k
k
k −i m
p q
k −i
m− k +i
=p q
k
n+ m−k
∑C C
i =0 i n
k
k −i m
=C
k n+m
p q
k
n + m−k
, k = 0,L, n + m
则ξ + η ~ B(n + m, p)
故η的密度函数为 1 p( y) = F′( y) = 2 π(1+ y )
例2的解
第3章多维随机变量及其分布
f(x, y)
1
e ,
1 2(12
[ )
(
x1 12
)2
2
(
x1 )(y 12
2
)
(
y
2 22
)2
]
212 1 2
其中，1、2为实数，1>0,2>0, | |<1，则称(X, Y) 服从参数1,2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为
元函数f(Dx1,x2,x.1.,...x. nx)n使 :得a对1 任x意的bn1元,...立a方n 体x bn
有
PX1...X n D
...
D
f (x1, x2 ,...xn )dx1...dxn
则称(X1,X2,...Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,...xn) 为(X1,X2,...Xn)的概率密度。
A6
1
(2)F (1,1) 16e(2x3y)dxdy (1 e2 )(1 e3) 0 0
(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。
解 P{(X ,Y ) D} 6e(2x3y)dxdy
D
3 22x3
dx 6e(2x3y)dy
F ( x,) lim F ( x, y) 0 y
(2)单调不减 对任意y R, 当x1<x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1<y2时， F(x, y1) F(x , y2).
(3)右连续 对任意xR, yR,
F(x,
y0
0)
... ... ... ... ... ...
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
因而得
6( x x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 其他. 0,
当 0 y 1 时,
1
y y x
(1,1)
fY ( y )
f ( x , y ) d x
y
y
y x2
O
6d x
1
x
6( y y ).
当 y 0 或 y 1时, fY ( y )
e
dy,
1 y μ2 x μ1 , 令 t ρ 2 σ1 1 ρ σ2
则有
1 f X ( x) e 2 πσ 1 f X ( x) 1 e 2 πσ1
( x μ1 )2 2 2 σ1
t2 2
e
d t,
即
( x μ1 )2 2 2 σ1
三维随机变量( X , Y , Z )的联合分布函数F ( x , y , z )中， 类似的方法可得下列边际分布函数： FX ( x ) F ( x , , ); FY ( y ) F ( , y , ); FZ ( z ) F ( , , z );
提出问题：
上面研究了二维联合分布，是二维随机变量的整
体性质，从中还要解决如下三个个体问题： ①关于每个分量的分布，即边际分布. ②两个分量之间的关系、关联程度，即独立性、 协方差和相关系数. ③给定一个分量时，另一个分量的分布，即 条件分布.
一、边际（缘）分布函数
问题: 已知 ( X , Y ) 的分布 , 如何确定 X , Y 的分布 ?
3 7
注意
联合分布
边缘分布
三、连续型随机变量的边际密度函数
定义 对于连续型随机变量 ( X , Y ), 设它的联合概率
密度为 p( x , y ), 由于 FX ( x ) F ( x , ) [
x
p( x , y )d y ]d x ,
记
pX ( x )
（2）P(X<1/2) 及P(Y>1/2).
例3.2.5
多项分布的一维边际分布仍是二项分布.
解 仅就三项分布的边际分布为二项分布给予证明.
已知（X , Y ) ~ M (n, p1 , p2 , p3 )，证明X ~ b(n, p1 ), Y ~ b(n, p2 ).
n! P ( X i ,Y j ) p1i p2j (1 p1 p2 )n i j , i ! j !( n i j )!
F ( x, ) 为随机变量 ( X,Y ) 关于X的边际分布函数.
记为 FX ( x ) F ( x , ).
事实上，令 y , 由于 y 为必然事件，故可得
y ＋
lim F ( x, y ) F ( x, ) P ( X x , Y ) P ( X x ) ＝ ＝
定义设二维离散型随机变量( X , Y )的联合分布
律为 记 P { X xi , Y y j } pij , i , j 1, 2, . pi pij P { X xi }, i 1, 2, ,
j 1
p j pij P {Y y j },
第三章 多维随机变量及其分布
一、多维随机变量及其联合分布 二、边际分布与随机变量的独立性 三、多维随机变量函数的分布
四、多维随机变量的特征数
五、条件分布与条件期望
§3.2 边际分布与随机变量的独立性
一、边际分布函数 二、离散型随机变量的边际分布列 三、连续型随机变量的边际密度函数 四、随机变量间的独立性
n-i
j＝0
p2j (1 p1 p2 )n i j ( n i )! j !( n i j ) ! (1 p1 ) j (1 p1 )n i j
n-i p2 j p2 n i j n! ( n i )! i n i p1 (1 p1 ) ( ) (1 ) i !( n i )! 1 p1 j＝0 j !( n i j )! 1 p1
当 0 x 1 时,
f X ( x)
f ( x , y ) d y
y x2
O
1
x
2
x
x
6d y
2
6( x x ).
当 x 0 或 x 1时,
f X ( x)
y y x
(1,1)
f ( x , y ) d y 0.
O
y x2
1
F ( x , y ) P{ X x ,Y y} , F ( x ) P{ X x },
P{X x} P{X x,Y } F ( x, ) FX ( x )
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义 设 F ( x, y ) 为随机变量 ( X,Y ) 的分布函数 , 称
关于Y 的边际概率密度.
例3.2.3 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其他. 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
解
f X ( x)
f ( x, y)d y
y y x
(1,1)
解 FX ( x ) lim F ( x , y )
y
lim (1 e x e y e x y xy ) 1 e x , x 0; y 0, x 0.
同样有
1 e y , y 0， FY ( y ) 其他. 0,
y μ2 x μ1 ( x μ1 )2 ρ ρ2 , 2 σ1 σ1 σ2
于是
f X ( x) 1 2πσ1σ 2 1 2 e
( x μ 1 )2 2 2σ1
1 y μ 2 x μ 1 2 ρ σ1 2(1 ρ2 ) σ2
pi1
pi 2
pij
p1
p2
p j
P j
1
P{ X xi } pij , i 1, 2,;
j 1
P{Y y j } pij , j 1, 2, .
i 1
因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边际分布函 数分别为
FX ( x ) F ( x , )
f ( x , y ) d x 0.
6( y y ), 0 y 1, 得 fY ( y ) 0, 其他.
例3.2.4 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为
1, p( x, y ) 0,
0 x 1, y x; 其他.
试求： （1）边际密度函数pX(x)和pY(y);
FX ,Y ( x , y ) F ( x , y , ); FX , Z ( x , z ) F ( x , , z ); Fy , Z ( y , z ) F ( , y , z ).
边缘分布的几何意义
FX(x)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区 域内的概率；
n-i p2 j p2 n i j n! i n i j p1 (1 p1 ) C n i ( ) (1 ) i !( n i )! 1 p1 1 p1 j＝0
n! i p1 (1 p1 )n i [ p2 (1 p2 )]n i i !( n i )! n! p1i (1 p1 )n i C i p i (1 p )n i . n 1 1 i !( n i )!
p( x , y )d y ,
称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边际概率密度.
同理， 随机变量(X,Y)关于Y 的边际分布函数
FY ( y ) F (, y ) y,
pY ( y ) p( x , y )d x.
j 1
即对每一行求和.
关于Y 的边际分布列：P j P Y y j pij , j 1, 2,
i 1
X Y
0
1
12 49
16 0 49 12 1 49
9 49
pi P{ X xi } 4 7 3 7
1
p j P{Y y j }
4 7
i 1
j 1, 2, ,
分别称 pi ( i 1, 2,) 和 p j ( j 1, 2,) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边际分布列.
X
x1 x2 xi
Y
y1
p11
p21
y2
p12
p22
yj
p1 j
p2 j
Pi
p1 p2 pi
, x .
同理可得
fY ( y ) 1 e 2 πσ 2
( x μ2 ) 2 2 2σ2
即 FX ( x ) P{ X x} P{ X x , Y } F ( x, ) .
类似地，令
x ,
x
FY ( y ) F ( , y ) lim F ( x , y ) P{ X , Y y } P{Y y }
为随机变量( X , Y )关于变量Y的边际分布函数.
x , y ,
其中 μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ 都是常数, 且 σ1 0, σ 2 0, 1 ρ 1.