初二等边三角形章节两道证明题
初中数学44道经典的三角形证明题汇总(两篇)
引言：三角形是数学中重要的几何形状之一，而三角形的证明题也是数学学习中的重要内容。
本文总结了初中阶段数学中44道经典的三角形证明题，帮助学生更深入地理解三角形的性质和定理，同时提高解题能力和逻辑思维能力。
概述：本文分为五个大点介绍了这44道经典的三角形证明题。
每个大点下面包含了59个小点详细阐述。
这些证明题涵盖了三角形的等边、等腰、直角、等腰直角以及一般三角形的性质和定理。
正文内容：一、等边三角形的证明题1.证明等边三角形三条边相等。
2.证明等边三角形三个内角都是60度。
3.证明等边三角形任意一角的正弦值都是√3/2。
4.证明等边三角形的外接圆半径等于边长的一半。
5.证明等边三角形的内切圆半径等于边长的二分之一。
二、等腰三角形的证明题1.证明等腰三角形的两个底角相等。
2.证明等腰三角形的顶角是其它两个角的一半。
3.证明等腰三角形的中线等于底边的一半。
4.证明等腰三角形的高等于底边的一半。
5.证明等腰三角形的内切圆半径等于底边的一半。
三、直角三角形的证明题1.证明直角三角形的两个锐角的和等于90度。
2.证明直角三角形斜边上的高等于直角边的乘积除以斜边长。
3.证明直角三角形的斜边是两个直角边长度之和的一半。
4.证明直角三角形的两个锐角的正弦值之和等于1。
5.证明直角三角形的斜边是两个直角边长度之差的一倍。
四、等腰直角三角形的证明题1.证明等腰直角三角形的两个锐角相等。
2.证明等腰直角三角形的斜边等于直角边的平方根。
3.证明等腰直角三角形的面积等于直角边的平方除以2。
4.证明等腰直角三角形对角线相等。
5.证明等腰直角三角形的两条直角边互相垂直。
五、一般三角形的证明题1.证明三角形内部三条角的和等于180度。
2.证明三角形外角等于不相邻的内角之和。
3.证明三角形三边之和大于第三边。
4.证明三角形两边之比的正弦值等于对应两个角的正弦值之比。
5.证明三角形中位线之和等于第三条边的一半。
总结：通过这44道经典的三角形证明题的学习，学生能够更深入地理解三角形的性质和定理。
初中数学：等边三角形练习(含解析)
初中数学：等边三角形练习（含解析）一、选择题1、下面的图形是轴对称图形，而且对称轴最多的是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．直角三角形【答案】C【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质进行判断.解：等腰三角形有1条对称轴，等腰直角三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，一般的直角三角形不是轴对称图形，所以对称轴最多的是等边三角形.故应选C.考点：等边三角形2、如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD 与CE交于点F，则∠DFC的度数为（）A. 60°B. 45°C. 40°D. 30°【答案】A【解析】试题分析：根据等边三角形的性质可得：AC=AB，∠CAE=∠B，根据SAS可证△AEC≌△BDA，根据全等三角形的性质可证∠BAD=∠ACE，所以∠DAC+∠ACE=60°，所以∠DFC=60°.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠CAE=∠B=60°，在△AEC和△BDA中，AE BD EAC DBA AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEC ≌△BDA ，∴∠BAD=∠ACE ，∵∠DAC+∠BAD=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠DFC=∠DAC+∠ACE=60°.故应选A.考点：1.等边三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质3、下面给出的几种三角形：①三个内角都相等；②有两个外角为120°；③一边上的高也是这边所对的角的角平分线；④三条边上的高相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】试题分析：根据等边三角形的定义和判定定理进行判断.解：①三角形个内角都相等的三角形是等边三角形；②有两个外角是120°的三角形的两个内角一定是60°，根据三角形内角和定理可得：第三个内角也是60°，所以这个三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边所对的角的角平分线一定是等腰三角形，不一定是等边三角形；④根据三角形的面积公式可得：当三角形三条边上的高相等时，三角形的三条边也相等，所以这个三角形是等边三角形.所以正确的有3个.故应选B.考点：等边三角形的判定二、填空题4、在△ABC 中，如果AB=AC=BC ，则∠A ＝_________，∠B ＝___________，∠C ＝_________。
三角形全等证明题20道初二
三角形全等证明题20道初二1.已知两个三角形的三边分别相等，证明它们全等。
2. 在直角三角形中，已知一直角边和另一条边的一段长度，证明剩余的边长和角度唯一确定。
3. 已知一个三角形的两边和夹角，另一个三角形的两边和夹角相等，证明两个三角形全等。
4. 在等腰三角形中，已知一个底角和另外一边的长度，证明另一个角和两条腰的长度均唯一确定。
5. 已知一个三角形的一边和两个角度，另一个三角形的一边和两个角度相等，证明两个三角形全等。
6. 在等边三角形中，证明三个角度均为60度。
7. 已知一个三角形的一边和垂线长度，另一个三角形的一边和垂线长度相等，证明两个三角形全等。
8. 在直角三角形中，已知一条直角边和斜边，证明另一条直角边唯一确定。
9. 已知两个三角形的两个角度和一边的长度，另一个三角形的两个角度和一边的长度相等，证明两个三角形全等。
10. 在等腰三角形中，已知一底角和腰的长度，证明另一个底角唯一确定。
11. 已知一个三角形的一边和周围两个角度，另一个三角形的一边和周围两个角度相等，证明两个三角形全等。
12. 在等腰直角三角形中，证明两个直角边长和斜边长均唯一确定。
13. 已知两个三角形的一边和相邻两个角度，另一个三角形的一边和相邻两个角度相等，证明两个三角形全等。
14. 在等腰三角形中，证明底角的平分线和对边相等。
15. 已知一个三角形的一边和两个角度，另一个三角形的一边和两个角度相等且两个角度之和为180度，证明两个三角形全等。
16. 在等腰三角形中，证明底角的垂直平分线和底边相等。
17. 已知一个三角形的一边和外角，另一个三角形的一边和外角相等，证明两个三角形全等。
18. 在等腰三角形中，证明高线和底边垂直且交于底边中点。
19. 已知两个三角形的两个角度和一边的长度，另一个三角形的两个角度和一边的长度相等且两个角度之和为180度，证明两个三角形全等。
20. 在等腰三角形中，证明高线和底边平分线重合。
初二数学等边三角形试卷
一、选择题（每题4分，共40分）1. 在等边三角形ABC中，角A的度数是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 等边三角形的边长为a，那么它的周长是：A. 2aB. 3aC. 4aD. 5a3. 等边三角形的高是边长的多少倍？A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/54. 等边三角形的内角和是：A. 90°B. 120°C. 180°D. 360°5. 在等边三角形中，边长为x的线段是高的话，那么这个三角形的边长是：A. 2xB. 3xC. 4xD. 5x6. 等边三角形的面积是边长的平方乘以：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/57. 等边三角形的周长是边长的多少倍？A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/58. 在等边三角形中，若边长为a，那么它的外接圆半径是：A. a/2B. a/3C. a/4D. a/59. 等边三角形的内角平分线与边长的比是：A. 1:1B. 1:2C. 1:3D. 1:410. 等边三角形的面积是边长的平方乘以：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/5二、填空题（每题4分，共40分）1. 等边三角形的每个内角是_________度。
2. 等边三角形的周长是边长的_________倍。
3. 等边三角形的高是边长的_________倍。
4. 等边三角形的面积是边长的平方乘以_________。
5. 等边三角形的外接圆半径是边长的_________。
6. 等边三角形的内角平分线与边长的比是_________。
7. 等边三角形的面积是周长的_________。
8. 等边三角形的内角和是_________。
9. 等边三角形的周长是边长的_________。
10. 等边三角形的面积是边长的平方乘以_________。
三、解答题（每题10分，共40分）1. 已知等边三角形ABC的边长为10cm，求该三角形的高和面积。
初中几何证明题：等边三角形专项练习
如图，等边三角形ABC 和等边三角形DEC ，CE 和AC 重合，CE=23AB, (1)求证：AD=BE ；(2)若CE 绕点C 顺时针旋转30度，连BD 交AC 于点G ，取AB 的中点F 连FG ，求证：BE=2FG ；(3)在(2)的条件下AB=2，则AG= ______．（直接写出结果）在等边△ABC 中，D 、E 分别在AC 、BC 上，且AD=CE=nAC ，连AE 、BD 相交于P ，过B 作BQ ⊥AE 于点Q ，连CP.(1)∠BPQ=______,=____ (2)若BP ⊥CP ，求； (3)当n=_____时，BP ⊥CP?DBD BD B BPPQ BP AP已知等边△ABC 和等边△ADE 摆放如图１，点D 、E 分别在边AB ，AC 上，以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE,连接CF ，FD ，DC.（１）证明△CFD 为等边三角形；（２）将△ADE 绕点A 顺时针旋转一定角度，如图２，其它条件不变，证明△CFD 为等边三角形.B 图1图2例2.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°。
∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB。
∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）。
∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形。
（2）连接BE。
∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形。
∴EB=EF，∠EBF=60°。
∵DC=EF，∴EB=DC。
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC。
∴∠EBF=∠ACB。
∴△AEB≌△ADC（SAS）。
∴AE=AD。
【考点】等边三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，。
(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试题(有答案解析)(4)
一、选择题1．已知如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下四个结论：①AD＝BE；②△CPQ是等边三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE．其中正确的结论是（）A．①②③④B．③④C．①②③D．①②④2．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（3，2），点P（m，0），若△POA是等腰三角形，则m可取的值最多有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=64°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点E、F分别在BC、AC上，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠BEO的度数是（）A．26°B．32°C．52°D．58°4．如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．则下列结论不正确的是（）A ．BD ＝CEB ．BD ⊥CEC ．AF 平分∠CAD D ．∠AFE ＝45° 5．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，CD 平分∠ACB ，若∠A ＝50°，则∠B 的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°6．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，15B ∠=︒，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，BE=10cm ，则AC 等于（ ）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．3cm7．如图，过边长为3的等边ABC 的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连接PQ 交边AC 于点D ，则DE 的长为（ ）A ．13B ．12C ．32D ．28．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．69．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）A ．5a =，12b =，13c =B ．6a =，8b =，10c =C ．7a =，24b =，25c =D ．8a =，12b =，15c =10．如图，ABC 中，AB AC =，BD DC =，若80BAC ∠=︒，AD AE =，则CDE ∠的度数为（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10° 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（ ） A ．65° B ．105° C ．55°或105° D ．65°或115° 12．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，CF 平分ACB ∠交AD 于点E ，交AB 于点F ，15AB =，12AD =，14BC =，则DE 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．103二、填空题13．在ABC ∆中，45A ∠=︒，60B ∠=︒，4AB =，点P 、M 、N 分别在边AB 、BC 、CA 上，连接PM 、MN 、NP ，则PMN ∆周长的最小值为__________14．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，有下列结论：①EF BE CF =+；②点O 到ABC 各边的距离相等；③1902BOC A ∠=+∠︒；④()12AD AB AC BC =+-．其中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上）．15．如图，在ABC 与ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ，则ACE DBC ∠+∠=______．16．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BAC ∠的角平分线，交BC 于点N ，60EBC BED ∠=∠=︒，若6BE =，2DE =，则BC =__________．17．如图，∠MON =33°，点P 在∠MON 的边ON 上，以点P 为圆心，PO 为半径画弧，角OM 于点A ，连接AP ，则∠APN =____．18．如图，已知：30MON ︒∠=，点1A 、2A 、3A ⋯在射线ON 上，点1B 、2B 、3B ⋯在射线OM 上，112A B A ∆、223A B A ∆、334A B A ∆⋯均为等边三角形，若11OA =，则9910A B A ∆的边长为________．19．上午9时，一条船从海岛A 出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达海岛B 处，如图，海岛A 在灯塔C 的南偏西32°方向，灯塔C 在海岛B 的北偏东64°方向，则灯塔C 到海岛B 的距离是______海里．20．如图，在ABC 中，AB BC =，30C ∠=︒，过点B 作BD BC ⊥，交AC 于点D ，若2CD =，则AD 的长为__________．三、解答题21．数学课上，老师出示了如下的题目．在等边三角形ABC中，点E在边AB上，点D=，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理在CB的延长线上，且ED EC由．第一学习小组讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论：当点E为边AB的中点时，如图2，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE______DB（填“>”，“<”或“=”）．（2）一般情况，启发解答：当点E为边AB上任意一点时，如图1，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．22．如图，四边形ABCD，BC∥AD，P为CD上一点，PA平分∠BAD且BP⊥AP，（1）若∠BAD=80°，求∠ABP的度数；（2）求证：BA=BC+AD；（3）设BP=3a，AP=4a，过点P作一条直线，分别与AD，BC所在直线交于点E，点F．若AB=EF，求AE的长（用含a的代数式表示）23．如图，在四边形ABCD 中，90,A ABC BCD BDC ∠=∠=︒∠=∠，过点C 作CE BD ⊥，垂足为E ．求证：AB CE =24．如图，点A 、B 、C 在同一直线上，在这条直线同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，连结AE 和CD ，交点为M ，AE 交BD 于点P ，CD 交BE 于点Q 连结PQ ．(1)求证：△ABE ≌△DBC ；(2)求∠AMC 的度数；(3)求证：△PBQ 是等边三角形25．问题提出（1）如图1，在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AC =12，AB =5，若P 是BC 边上一动点，连接AP ，则AP 的最小值为______．问题探究（2）如图2，在等腰直角△ABC 中，∠ABC =90°，AC =m ，求边AB 的长度（用含m 的代数式表示）．问题解决（3）在图3中，若AC =8，点D 是BC 边的中点，若P 是AB 边上一动点，试求PD +22AP 的最小值．26．如图，ACB △和DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．（1）如图1，若55CAB CBA CDE CED ∠=∠=∠=∠=︒．填空：ACB ∠= ________︒，AEB ∠=________ ︒；（2）如图2，若60ACB DCE ∠=∠=︒，试猜想,,AE CD BE 之间的关系，并证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先由SAS 判定△ACD ≌△BCE ，证得①正确；再由ASA 证△ACP ≌△BCQ ，得到CP ＝CQ ，②正确，同理证得CM ＝CN ，得到④正确；易得③不正确．【详解】解：∵△ABC 和△DCE 均是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°，∴∠ACB +∠BCD ＝∠BCD +∠ECD ，∠BCD ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE ，故①正确；∠CAD＝∠CBE，∵∠BCA＝∠BCD＝60°，AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP＝CQ，又∵∠PCQ＝60°，∴△CPQ是等边三角形，故②正确；过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，∴△CDN≌△CEM（AAS），∴CM＝CN，∵CM⊥BE，CN⊥AD，∴OC平分∠AOE，故④正确；当AC＝CE时，AP平分∠BAC，则∠PAC＝30°，此时∠APC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，则AD⊥BC，故③不正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．2．C解析：C【分析】分两种情况分析：①以点OP为底，②OP为腰，讨论点P的个数，再求出m的值即可.【详解】解：由点P（m，0）知点P在x轴上，分两种情况：当OP为底时，以A点为圆心OA为半径画圆，交x轴于点P，以OA=AP为腰，点P的坐标为m=2×3=6，当OP为腰时，以O为圆心，OA长为半径，画圆交x轴于两点P，点P在y轴左侧或右侧，22+2313∴m=13点P 在y 轴右侧，以OA 为底，作AO 的垂直平分线交x 轴与P ，过A 作AB ⊥x 轴，OP=AP=()2223m +-，则m=()2223m +-，解得m=136，综上，共有4个点P ，即m 有4个值，故选择：C.【点睛】本题考察等腰三角形的性质，解题时分两种情况进行讨论，注意以点A 、O 为顶角顶点时应以点为圆心画弧线，避免有遗漏．3．C解析：C【分析】连结OB ，根据角平分线定义得到∠OAB=32°，再根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB ，再根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB ，则∠OBA=∠OAB ，所以得出∠1，由于AB=AC ，OA 平分∠BAC ，根据等腰三角形的性质得OA 垂直平分BC ，则BO=OC ，所以得出∠1=∠2，然后根据折叠的性质得到EO=EC ，于是∠2=∠3，再根据三角形内角和定理计算∠OEC ，解答即可．【详解】解：连结OB 、OC ，∵∠BAC=64°，∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，∴∠OAB=32°，∵AB=AC ，∠BAC=64°，∴∠ABC=∠ACB=58°，∵OD 垂直平分AB ，∴OA=OB ，∴∠OBA=∠OAB=32°，∴∠1=58°-32°=26°，∵AB=AC ，OA 平分∠BAC ，∴OA 垂直平分BC ，∴BO=OC ，∴∠1=∠2=26°，∵点C 沿EF 折叠后与点O 重合，∴EO=EC ，∴∠2=∠3=26°，∴∠BEO=∠2+∠3=52°，故选择:C ．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质,折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 4．C解析：C【分析】作AM ⊥BD 于M ，AN ⊥EC 于N ，设AD 交EF 于O ．证明△BAD ≌△CAE ，利用全等三角形的性质一一判断即可．【详解】解：如图，作AM ⊥BD 于M ，AN ⊥EC 于N ，设AD 交EF 于O ．∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 与△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴EC ＝BD ，∠BDA ＝∠AEC ，故A 正确，∵∠DOF＝∠AOE，∴∠DFO＝∠EAO＝90°，∴BD⊥EC，故B正确，∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，∴AM＝AN，∴FA平分∠EFB，∴∠AFE＝45°，故D正确，若C成立，则∠EAF＝∠BAF，∵∠AFE＝∠AFB，∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，所以AF不一定平分∠CAD，故C错误，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．B解析：B【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．【详解】∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD又∵CD平分∠ACB，∠A＝50°，∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，故选：B．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．6．B解析：B【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=12 AE．【详解】解：∵DE 垂直平分AB ，∴AE=BE=10(cm)，∴∠BAE=∠B=15°，∴∠AEC=∠BAE+∠B=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=12AE=12×10=5(cm)． 故选：B ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 7．C解析：C【分析】过P 作//PF BC 交AC 于F ，得出等边三角形APF ，推出AP PF QC ==，根据等腰三角形性质求出EF AE =，证PFD QCD ∆≅∆，推出FD CD =，推出12DE AC =即可． 【详解】解：过P 作//PF BC 交AC 于F ， //PF BC ，ABC ∆是等边三角形，PFD QCD ∴∠=∠，60APF B ∠=∠=︒，60AFP ACB ∠=∠=︒，60A ∠=︒， APF ∴∆是等边三角形，AP PF AF ∴==，PE AC ⊥，AE EF ∴=，AP PF =，AP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD ∆和QCD ∆中PFD QCD PDF CDQ PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， PFD QCD ∴∆≅∆，FD CD ∴=，AE EF =，EF FD AE CD ∴+=+，12AE CD DE AC ∴+==， 3AC =，32DE ∴=， 故选：C ．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．8．C解析：C【分析】连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，求得212CE DE ==，60CED ∠=︒，再根据条件得出9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，得到122EF OE ==，即可得解； 【详解】连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=， 在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥，∴12CF BF BC ==， 在Rt △OEF 中，∵60OEF ∠=︒， ∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒， ∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=，∴8BE BC CE =-=；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理，只要判断两个较小的数的平方和是否等于最长边的平方即可．【详解】A.∵52+122=132，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；B.∵62+82=100=102，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；C.∵72+242=625=252，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；D.∵82+122=208≠152，∴此三角形不是直角三角形，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．10．C解析：C【分析】根据已知可求得∠DAC 及∠ADE 的度数，根据∠CDE=90°-∠ADE 即可得到答案．【详解】解：∵AB ＝AC ，BD=DC∴ AD ⊥BC （等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合） ∴∠ADC=90°，∵∠BAC ＝80°，∴∠BAD ＝∠DAC ＝ 80°÷2=40° （等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝（ 180°−40°）÷2=70° ，∴∠CDE ＝∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°，故答案为：C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键.11．D解析：D【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°＋25°＝115°；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°−25°＝65°．综上所述，顶角的度数为：65°或115°．故选D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．12．D解析：D【分析】作EG AC ⊥于点G ，分别通过勾股定理计算出BD ，DC ，AC ，再结合角平分线的性质得到DE GE =，设DE GE x ==，分别表示AE ，AG ，最终在Rt AEG 中运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，作EG AC ⊥于点G ，∵AD BC ⊥于点D ，∴在Rt ABD △中，229BD AB AD =-=，∵14BC =，∴5DC BC BD =-=，∴在Rt ACD △中，2213AC AD CD =+=， ∵CF 平分ACB ∠交AD 于点E ，EG AC ⊥，ED BC ⊥∴DE GE =，∵CE=CE∴△△CED CEG ≌，∴5CD CG ==， 设DE GE x ==，则12AE AD ED x =-=-，8AG AC GC =-=，∴在Rt AEG 中，222AE EG AG =+，即：()222128x x -=+， 解得：103x =，即：103DE =， 故选：D ．【点睛】本题考查角平分线的性质以及勾股定理，灵活根据角平分线的性质构造辅助线并且熟练运用勾股定理求解是解题关键．二、填空题13．2【分析】作点M 关于AC 的对称点M′作点M 关于AB 的对称点M′′连接AMM′M′′M′M′′交AB 于点P′交AC 于点N′作AH ⊥BC 于点H 由对称性可知：当点M 固定时周长的最小值=M′M′′再推出M′解析：6【分析】作点M 关于AC 的对称点M′，作点M 关于AB 的对称点M′′，连接AM ，M′M′′，M′M′′交AB 于点P′，交AC 于点N′，作AH ⊥BC 于点H ，由对称性可知：当点M 固定时，PMN ∆周长的最小值= M′M′′，再推出2，进而即可求解．【详解】如图，作点M 关于AC 的对称点M′，作点M 关于AB 的对称点M′′，连接AM ，M′M′′，M′M′′交AB 于点P′，交AC 于点N′，作AH ⊥BC 于点H ，由对称性可知：MN′=M′N′，MP′=M′′P′，AM=AM′=AM′′，∴当点M 固定时，PMN ∆周长的最小值=MN′+MP′+N′P′= M′N′+M′′P′+N′P′= M′M′′， ∵45A ∠=︒，∠M′AC=∠MAC ，∠M′′AB=∠MAB ，∴∠M′A M′′=90°，即∆ M′A M′′是等腰直角三角形，∴M′M′′=2=2AM AM ′， ∴当AM 最小时，M′M′′的值最小，即AM 与AH 重合时，M′M′′的值最小，∵60B ∠=︒，4AB =，AH ⊥BC ，∴∠BAH=30°，∴AH=3AB 2=23，此时，M′M′′的值最小=2AH =26， ∴PMN ∆周长的最小值=26．故答案是：26．【点睛】本题主要考查轴对称—线段和的最小值，直角三角形的性质，作点M 关于AB ，AC 的对称点，把PMN ∆周长化为两点间的线段长，是解题的关键．14．①②③④【分析】由在△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O 根据角平分线的定义与三角形内角和定理即可求得③正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF=BE+解析：①②③④【分析】由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③1902BOC A ∠=+∠︒正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF=BE+CF 故①正确；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④根据求得答案，即可得到④正确．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°12∠A，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A；故③正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确．∴AM=AD，BM=BN，CD=CN，∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=12（AB+AC-BC）故④正确，故答案为：①②③④．【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．15．45°【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=45°根据SAS可证△ABD≌△ACE可得∠ACE=∠ABD即∠ACE+∠DBC=∠ABD+∠DBC=∠ABC=45°【详解】解：∵∠BAC=90°解析：45°【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=45°，根据“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE=∠ABD，即∠ACE+∠DBC=∠ABD+∠DBC=∠ABC=45°．【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE=∠ABD，∴∠ACE+∠DBC=∠ABD+∠DBC=∠ABC=45°，故答案为：45°【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定解决问题是本题的关键．16．8【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6DE=2进而得出△BEM为等边三角形△EFD为等边三角形从而得出BN的长进而求出答案【详解】如图所示：延长ED交BC于M延长AD交BC于N∵AB解析：8【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6， DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案【详解】如图所示：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N ，∵ AB=AC，AF平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN；∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6，DE=2，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∠NDM=30°，∴NM=2，∴ BN=4，∴BC=2BN=8，故答案为：8．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键；17．66°【分析】根据等腰三角形的性质可知∠MON=∠PAO再用外角的性质求解即可【详解】解：由作图可知PO=PA∴∠MON=∠PAO=33°∠APN=∠MON+∠PAO=66°故答案为：66°【点睛】解析：66°【分析】根据等腰三角形的性质可知∠MON=∠PAO，再用外角的性质求解即可．【详解】解：由作图可知，PO=PA，∴∠MON=∠PAO=33°，∠APN=∠MON+∠PAO=66°，故答案为：66°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，解题关键是通过作图得到等腰三角形，依据等腰三角形的性质熟练计算．18．【分析】利用等边三角形的性质得到∠B1A1A2=60°A1B1=A1A2则可计算出∠A1B1O=30°所以A1B1=A1A2=OA1利用同样的方法得到A2B2=A2A3=OA2=2OA1A3B3=A解析：256【分析】利用等边三角形的性质得到∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，则可计算出∠A1B1O=30°，所以A1B1=A1A2=OA1，利用同样的方法得到A2B2=A2A3=OA2=2OA1，A3B3=A3A4=22•OA1，A4B4=A4A5=23•OA1，利用此规律得到A n B n=A n A n+1=2n-1•OA1．【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，∵∠MON=30°，∴∠A1B1O=30°，∴A 1B 1=OA 1=1，∴A 1B 1=A 1A 2=OA 1=1，同理可得A 2B 2=A 2A 3=OA 2=2OA 1=2，∴A 3B 3=A 3A 4=OA 3=2OA 2=22•OA 1=22，A 4B 4=A 4A 5=OA 4=2OA 3=23•OA 1=23，…，∴A n B n =A n A n+1=2n-1•OA 1=2n-1．则△A 9B 9A 10的边长为28=256．故答案为：256．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．19．24【分析】作点C 垂直AB 于点DBE 垂直CE 于点E 由题意可求出AB 的长继而根据方位角可求出∠ACE=∠CAB=∠BCA 即可求解；【详解】解：如图作点C 垂直AB 于点DBE 垂直CE 于点E 由题意知：船的速解析：24【分析】作点C 垂直AB 于点D ，BE 垂直CE 于点E ，由题意可求出AB 的长，继而根据方位角可求出∠ACE=∠CAB=∠BCA ，即可求解；【详解】解：如图，作点C 垂直AB 于点D ，BE 垂直CE 于点E ，由题意知：船的速度为12海里，时间为2小时，∴ ()1211924AB =⨯-=，∵∠CBD=64°，∴∠BCD=90°-64°=26°，∵∠ACE=32°，∴∠BCA=90°-26°-32°=32°，∴∠ACE=∠CAB=∠BCA=32°，∴AB=BC=24，故答案为：24．【点睛】本题考查了平行线的性质，方位角以及等腰三角形的性质，正确掌握知识点是解题的关键．20．【分析】利用等腰三角形的性质判定证明BD=AD 利用直角三角形中30°角的性质计算BD 即可得解【详解】∵∴∠A=30°∠ABC=120°∵∴∠CBD=90°BD=1∴∠DBA=30°∴∠DBA=∠A ∴ 解析：1.【分析】利用等腰三角形的性质，判定，证明BD=AD ，利用直角三角形中30°角的性质计算BD 即可得解.【详解】∵AB BC =，30C ∠=︒，∴∠A=30°，∠ABC=120°，∵BD BC ⊥，2CD =，∴∠CBD=90°，BD=1，∴∠DBA=30°，∴∠DBA=∠A ，∴BD=AD ，∴AD=1.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质，并灵活运用性质是解题的关键.三、解答题21．（1）AE BD =；（2）AE BD =，见解析【分析】（1）根据等边三角形性质可得∠ECB=30°=∠D=∠DEB ，从而DB=BE=AE ；（2）作EF ∥BC ，交AC 于点F ．则△AEF 为等边三角形．根据“SAS”证明△BDE ≌△FEC ，得BD=EF=AE ．【详解】解：（1）E 为AB 的中点时，AE 与DB 的大小关系是：AE=DB ．理由如下：∵△ABC 是等边三角形，点E 是AB 的中点，∴AE=BE ；∠BCE=30°．∵ED=EC ，∴∠ECD=∠D=30°．又∵∠ABC=60°，∴∠DEB=30°．∴DB=BE=AE ；故答案为：=．（2）证明：如图，过点E 作//EF BC 交AC 于F ，∵ABC 是等边三角形 ∴60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，AB BC AC == ∵//EF BC ∴AFE ACB ，AEF ABC ∠=∠ ∴AFE AEF BAC ∠=∠=∠ ∴AEF 是等边三角形∴AE AF EF ==，∴BE CF =∵ED EC =∴ECB EDB ∠=∠又∵60EBC BED EDB ∠=∠+∠=︒60ACB ECB FCE ∠=∠+∠=︒∴BED FCE ∠=∠∵BE CF =，DE EC =∴BDE FEC ≌ ∴DB EF =，∵AE EF =，∴AE BD =．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定的理解和运用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．22．（1）∠ABP=50°；（2）见解析；（3）①EA=52a 或EA=3910a 【分析】（1）由PA 平分∠BAD 且BP ⊥AP ，∠BAD=80°，在Rt APB ∆中即可求得．（2）延长BP 交AD 延长线于H ，可得AB=AH ，可证△BCP ≌△HDP ，可得BC=DH ，从而结论可证．（3）过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E ，点F ．若AB=EF ，可能有两种情况，延长BP 交AE 延长线于H ，每种情况都可依据角平分线的性质，过P 点分别做PI 和PG 垂直于AB 和AH ，则PI=PG ；然后通过解直角三角形即可求解．【详解】解：（1）∵PA 平分∠BAD 且∠BAD=80°，∴∠BAP=∠DAP=40°；又∵∠BPA=90°∴∠ABP+∠BAP=90°，故∠ABP=50°．（2）延长BP 交AD 延长线于H ，∵PA 平分∠BAD ，∴∠BAP=∠DAP 而∠BPA=90°=∠HPA ，∴∠ABP=∠AHP ，∴AB=AH ；∵AP ⊥BH ，∴BP=PH ；∵BC //AH ，∴∠PBC=∠H ；而∠BPC=∠HPD；∴△BCP≌△HDP（ASA）；∴BC=DH，故AB=AH=AD+DH=AD+BC．（3）①延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，则PI=PG；易得△BFP≌△HEP，∴ BP=HP=3a，FP=EP=12 EF；在直角三角形ABP中，BP2+AP2=AB2；∴ AB=5a，EP=52a；∵在直角三角形ABP中AB PI BP AP⋅=⋅，∴ PI=125a=PG；在直角三角形EPG中，GP2+EG2=EP2，∴ EG=710a；在直角三角形HPG中，GP2+HG2=HP2，∴ GH=95a；∴ EH=52a；∴ EA=AH-EH=52a．②延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，由①得GH=95a，EG=710a；∴ EH=1110a ； ∴ EA=3910a ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是准确作出辅助线．23．证明见解析．【分析】用“角角边”证明△ABD ≌ECB 即可．【详解】证明：∵90A ABC ∠=∠=︒，∴∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠ADB=∠DBC ，∵BCD BDC ∠=∠，∴BD=BC ，∵∠A=∠BEC=90°，∴△ABD ≌△ECB∴AB CE =．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质，解题关键是找准全等三角形，依据等腰三角形的判定和同角的余角相等证明全等．24．(1)见解析；(2) 120°；(3) 见解析．【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB=DB ，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC ，得出∠ABE=∠DBC ，由SAS 即可证出△ABE ≌△DBC ；（2）由全等三角形的性质可得∠BAE=∠BDC ，由三角形外角的性质和三角形内角和可求AMC 的度数；（3）由“ASA”可证△ABP ≌△DBQ ，可得BP=BQ ，即可证△PBQ 是等边三角形．【详解】解：（1）∵△ABD 、△BCE 为等边三角形，∴AB=DB ，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC ，∴∠ABE=∠DBC ，∠PBQ=60°，在△ABE 和△DBC 中，AB DB ABE DBC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DBC （SAS ），（2）∵△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE=∠BDC ，∵∠BDC+∠ACD=∠ABD=60°∴∠BAE+∠ACD=60°∴∠AMC=180°-∠BAE-∠ACD=120°（3）在△ABP 和△DBQ 中，60BAE BDC AB DBABP DBQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ABP ≌△DBQ （ASA ），∴BP=BQ ，且∠PBQ=60°∴△BPQ 为等边三角形，【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．25．（1）6013；（2）AB =22m ；（3）DP +22PA 的最小值为6 【分析】（1）过A 作AE ⊥CB 于E ，根据点到直线的距离垂线段最短，则AE 即为所求，根据勾股定理求出BC ，再利用等积面积法即可求出AE ，即可解答（2）利用等腰三角形性质，再利用勾股定理即可解答（3）连接PD ，作PE ⊥AC 于点E ，作点D 关于AB 的对称点D ，连接PD ’，则PD PD '=．作D F '⊥AC 于点F ，PD +PE =PD '+PE ≥D F '，当且仅当D 、P 、F 三点共线时，PD +PE 最短，即PF 的长，利用勾股定理求出BC 的长，即可得到D C '的长，再利用勾股定理即可求得D F '的长，即可解答【详解】解：（1）如图1，过A 作AE ⊥CB 于E ，在Rt △ABC 中，∵∠BAC =90°，AB =5，AC =12，∴BC =2212513+=∵1111512132222ABC S AB AC BC AE AE =⋅=⋅=⨯⨯=⨯⨯△， ∴AE =6013（2）∵∠ABC =90°，∴AB 2+BC 2=AC 2，∵AB =AC ，AC =m ∴2AB 2=m 2，∴AB =2m （3）如图3，连接PD ，作PE ⊥AC 于点E ，由（2）得PE =22AP ∴PD 2PA =PD +PE 作点D 关于AB 的对称点D ，连接PD '，则PD =PD '．作D F '⊥AC 于点F ， PD +PE =PD ' +PE ≥D F '，当且仅当D 、P 、F 三点共线时，PD +PE 最短，∵AC =8，∠A =∠C =45°∴BC 2842= ∵D 是BC 中点，∴BD =DC =22∵点D 与点D 关于直线AB 对称，∴D B '=22即CD '=62又∵D F '⊥AC ，∠C =45°，∴D F FC '=222CD D F FC D F '''=+=∴D F'=62=2PD AP+的最小值为6．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，以及垂线段最短求线段和最小值，知道线段最短是点的位置并能确定出最小值时点的位置是解题关键．26．（1）70°，70°；（2）AE= BE+CD．【分析】（1）利用三角形内角和定理即可求得∠ACB，证明△ACD≌△BCE，根据∠AEB=∠CEB-∠CED=∠ADC-∠CEA即可得出结果；（2）可证明△CDE为等边三角形CD=BE，再证明△ACD≌△BCE可得BE=AD，最后根据线段的和差即可证明结论．【详解】解：（1）∵∠CAB=∠CBA=55°，∴CA=CB,∠ACB=70°，∵∠CDE=∠CED=55°，∴CD=CE，∠DCE=70°，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD于△BCE中，∵AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CEB=∠ADC=180°-∠CDE=125°，∴∠AEB=∠CEB-∠CED=70°，故答案为：70°，70°；（2）AE=CD+BE，理由如下：∵∠ACB=∠DCE=60°，∴等腰△ABC和等腰△COE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=DE，同（1）可证△ACD≌△BCE，∴BE=AD，AE=AD+DE=BE+CD．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题意灵活选取合适的定理证明全等是解题关键．。
八年级三角形的证明题
八年级三角形的证明题一、等腰三角形性质相关证明题（8题）1. 已知：在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线。
求证：AD⊥BC。
- 证明：- 因为AB = AC，AD是BC边上的中线，所以BD = DC（中线的定义）。
- 在△ABD和△ACD中，AB = AC（已知），BD = CD（已证），AD = AD（公共边）。
- 所以△ABD≌△ACD（SSS）。
- 则∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。
- 又因为∠ADB + ∠ADC = 180°（平角的定义），所以∠ADB = ∠ADC = 90°，即AD⊥BC。
2. 已知：在等腰△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，求证：∠B = 72°。
- 证明：- 因为AB = AC，所以∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。
- 又因为∠A+∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠A = 36°。
- 设∠B = x，则∠C = x，可得方程36°+x + x = 180°。
- 2x=180° - 36°，2x = 144°，解得x = 72°，即∠B = 72°。
3. 已知：在△ABC中，AB = AC，D是AC上一点，且AD = BD = BC。
求∠A的度数。
- 证明：- 设∠A=x，因为AD = BD，所以∠ABD = ∠A=x（等边对等角）。
- 则∠BDC=∠A + ∠ABD = 2x（三角形外角性质）。
- 因为BD = BC，所以∠C = ∠BDC = 2x。
- 又因为AB = AC，所以∠ABC = ∠C = 2x。
- 根据三角形内角和定理，∠A+∠ABC+∠C = 180°，即x + 2x+2x = 180°。
- 5x = 180°，解得x = 36°，所以∠A = 36°。
八年级数学几何证明题
A ZABD= ZEBD在Z\ABD 和ZkEBD 中AB=EB < ZABD= ZEBDBD=BDAABD 9 AEBD (SAS)••• DE 二 DC得 ZDEC=ZCVZBED+ZDEC=180° .•.ZA+ZC=180°1、线段的数量关系：通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到•个三角形中证明线段相等。
①倍长中线【例.3】如图，已知在△ABC 中，ZC = 90°, ZB = 30#, AD 平分ABAC,交BC 于点D. 求证：BD = 2CD 证明：延长DC 到E,T ZC=90° •••AC 丄 CDVCD=CE •••AD 二 AE几何证明：【例1】・已知：如图6, \BCE 、AACD分别是以3£. AD 为斜边的直角三角形，且='CDE 鬼等边三角形.求证：A ABC 是等边三角形. 证明：VZBCE=90° ZACD=90° ZBCE=ZBCA+ZACE ZACD=ZACE+ZECDAZACB=ZECDVAECD 为等边三角形 AZECD=60° CD=EC 即 ACB==60° 在ZXECB 和AACD 中BE=ADZBCE=ZACD ■EC=CD•••△ECB 竺△DCA(HL)A BC=AC V ZACB=60°图6A A ABC 是等边三角形［例 2】、如图，已知 BC>AB, AD 二DC 。
BD 平分Z ABC 「求证：Z A+Z C=180°. 证明：在 BC 上截取 BE 二BA,连接 DE, A ZA=ZBED AD= DE VBD 平分 ZBAC VAD=DC D使得CE=CD,联结AE/. BD=DEVZB=30° ZC=90° AZBAC=60°TAD 平分ZBAC AZBAD=30° A DB=DA ZADE=60°【例4.】如图，D 是AABC 的边3C 上的点，且CD = AB 、ZADB = ZBAD, AE 是的中线。
第十二章全等三角形证明题变式训练(2)2021-2022学年八年级数学人教版上册
第十二章全等三角形证明题变式训练21.问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON=60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；变式：（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．2.在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，并且∠B+∠C＝180°.(1) 如图1，当∠C＝90°时，求证：BD＝CD；变式一：(2) 如图2，当∠C是钝角时，(1)中的结论是否仍然成立？请证明你的判断；变式二：(3) 如图3，在(2)的条件下，过点D作DE⊥AB于点E，若AC＝2，BE＝3，△ABD的面积为24，求DE的长.3.如图1，在△ABC中，∠A=120°，∠C=20°，BD平分∠ABC，交AC于点D.（1）求证：BD=CD.变式一：（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE=AC.变式二：（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论.4.已知：▵ABC中，过B点作BE⊥AD，．(1)如图1，点D在BC的延长线上，连AD，作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：；变式一：(2)如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；变式二：(3)如图3，点D在CB延长线上，且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，的值．若，请直接写出DBBC5.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．（1）如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．变式：（2）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．6.如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，CD=BD，点E在CD上，DE=DA，连接BE.(1)求证:BE=CA；(2)延长BE交AC于点F，连接DF，求∠CFD的度数；变式：(3)过点C作CM⊥CA，CM=CA，连接BM交CD于点N，若BD=12，AD=5，直接写出△NBC的面积____.7.如图1，等腰直角三角形ABC中，O为斜边AC的中点，CD为∠ACB的平分线，过点B作BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，CD与BO交于点F．（1）求证：△BOE≌△COF；变式：（2）将∠DCB沿CB方向移动至P处，角的一边分别交BE，BO于点Q，H，如图2所示，试探究线段BQ和PH的数量关系，以及它们所在直线的位置关系．8.等边△ABC中，点H在边BC上，点K在边AC上，且满足AK＝HC，连接AH，BK交于点F．（1）如图1，求∠AFB的度数；（2）如图2，连接FC，若∠BFC＝90°，点G为边AC上一点，且满足∠GFC＝30°，求证：AG⊥BG；变式：（3）如图3，在（2）条件下，在BF上取点D使得DF＝AF，连接CD交AH于点E，若△DEF 面积为1，则△AHC的面积为__________．9.如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE，BD的位置关系为________，数量关系为________．变式一：②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．变式二：（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB多少度时，CE⊥BC？请说明理由．10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；变式一：（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP // AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；变式二：（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3√3，BG＝6，求AC的长．11.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合），以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）．变式：（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．12.如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2√2，∠ACB＝90°，点D是AB中点，在△ABC外取一点E，使DE＝AD，连接DE，AE，BE．（1）求证：AE⊥BE．变式一：（2）如图2，若点E在直线AB下方，且∠AAA＝30°，求CE的长．变式二：（3）若AE：AB＝1：4，求△ACE的面积．13.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图（1）方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：CF＝EF；变式一：（2）若将图（1）中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角a，且0°＜a＜60°，其他条件不变，如图（2）．请你直接写出AF＋EF与DE的大小关系：AF＋EF________DE．（填“＞”或“＝”或“＜”）变式二：（3）若将图（1）中△DBE的绕点B按顺时针方向旋转角B，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图（3）．请你写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明．14.如图①，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF，连接CF．(1)若AB=AC，∠BAC=90°①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，试探究CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．变式一：②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图②中画出相应图形并直接写出你的猜想．变式二：(2)如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，点D在线段BC上运动，试探究CF 与BC的位置关系，并说明理由．15.(1)如图,已知在△ABC中,AD为中线,求证:AB+AC>2AD;变式：(2)如图,在△ABC中,D为BC的中点,DE⊥DF分别交AB,AC于点E,F.求证:BE+CF>EF.16.（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________；变式：（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．17.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，求∠BCE的度数；变式：（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．。
八年级数学上册 第二章 等边三角形知识点与同步训练(含解析)苏科版
等边三角形一．等边三角形的概念等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形是一种特殊的等腰三角形．二．等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60︒．三．等边三角形的判定判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定2：有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．四．直角三角形性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．B'CBA证明：90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，延长BC 至'B 使'CB CB =，那么有AC 垂直平分'BB ，所以'AB AB =，因为60B ∠=︒，所以'ABB △是等边三角形，所以'2AB BB BC ==，即12BC AB =．五．等边三角形与全等三角形综合等边三角形与全等三角形综合问题主要分两种类型：一是以等边三角形为载体来考察全等三角形的综合问题；二是利用全等三角形的性质和判定证明三角形是等边三角形．不管是哪种类型都要注意60°角和边的等量关系的应用，尤其是后面学习旋转之后，会出现一些比较难的等边三角形和全等三角形结合的问题．一．考点：1．等边三角形的性质与判定；2．直角三角形性质定理；3．等边三角形与全等三角形综合．二．重难点：1．等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质．做题时常作为隐藏条件考察．2．等边三角形的判定用定义判断的不多，一般都是利用有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形来判定，所以在构造全等是要注意同时兼顾边相等，并且可以推导出有一个角为60°．3．等边三角形的性质非常特殊，在证明或计算中要注意边角之间的转化，尤其是含30°角的直角三角形中边的关系．4．在解决建立在等边三角形根底上的全等综合问题时，关键是抓住边相等，角度都是特殊角．三．易错点：在利用直角三角形性质定理的过程中，需要注意两点：一是必须在直角三角形中才能运用，锐角三角形和钝角三角形均不存在上述关系；二是一定要注意是30︒所对的直角边等于斜边的一半．题模一：等边三角形的性质例三个等边三角形的位置如下列图，假设∠3=50°，那么∠1+∠2=____°．【答案】130【解析】∵图中是三个等边三角形，∠3=50°，∴∠ABC=180°-60°-50°=70°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴70°+〔120°-∠2〕+〔120°-∠1〕=180°，∴∠1+∠2=130°．故答案为：130．例如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．假设DE=DB，那么CE的长为____．【答案】 32 【解析】 该题考察的是∵△ABC 为等边三角形，D 为AC 边上的中点，BD 为ABC ∠的平分线，∴60ABC ∠=︒，30DBE ∠=︒，又DE DB =， ∴30E DBE ∠=∠=︒，∴30CDE ACB E ∠=∠-∠=︒，即CDE E ∠=∠，∴CD CE =；∵等边△ABC 的周长为9，∴3AC =，∴1322CD CE AC ===， 即32CE =．例 在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，连接ED ，假设BC=5，BD=4．那么以下结论错误的选项是〔 〕A ． AE ∥BCB ． ∠ADE=∠BDC C ． △BDE 是等边三角形D ． △ADE 的周长是9 【答案】B【解析】 此题考察的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键． 首先由旋转的性质可知∠AED=∠ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC 是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD ，BD=BE ，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD 即可判断出△BDE 是等边三角形，故DE=BD=4，故△AED 的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，∵将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE，∴∠EAB=∠C=∠ABC=60°，∴AE∥BC，应选项A 正确；∵△ABC 是等边三角形，∴AC=AB=BC=5，∵△BAE△BCD 逆时针旋旋转60°得出，∴AE=CD，BD=BE ，∠EBD=60°，∴AE+AD=AD+CD=AC=5，∵∠EBD=60°，BE=BD ，∴△BDE 是等边三角形，应选项C 正确；∴DE=BD=4，∴△AED 的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，应选项D 正确；而选项B 没有条件证明∠ADE=∠BDC，∴结论错误的选项是B ，应选：B ．题模二：等边的判定例 如下列图，AD 是ABC △的中线，60ADC ∠=°，8BC =，把ADC △沿直线AD 折叠后，点C 落在C '位置，那么BC '的长为________.【答案】 4【解析】 此题考察的是等边三角形．由题意，60ADC ADC '∠=∠=︒，DC DC DB '==． 180606060BDC '∠=︒-︒-︒=︒，有一个角为60︒的等腰三角形为等边三角形，118422BC BD BC '===⋅=． 故此题的答案是4．例 ：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆，CBN ∆都是等边三角形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F ．〔1〕求证：AN BM =；〔2〕求证：CEF ∆为等边三角形．ACD B C '【答案】见解析【解析】〔1〕ACM∆是等边三角形，∆，CBN∠=∠=︒，ACM NCBAC MC=，60∴=，BC NC∠=∠．∴∠+∠=∠+∠，即ACN MCBACM MCN NCB MCN在ACN=，ACN MCB=，∠=∠，NC BC∆中，AC MC∆和MCB∴=．ACN MCB∴∆≅∆，AN BM〔2〕ACN MCB∴∠=∠，∆≅∆，CAN CMB又18060∴∠=∠，∠=︒-∠-∠=︒，MCF ACEMCF ACM NCB在CAE∠=∠，=，ACE MCF∆和CMF∠=∠，CA CM∆中，CAE CMF∴∆为等腰三角形，∴=，CEFCAE CMF∴∆≅∆，CE CF又60∠=︒，CEF∴∆为等边三角形．ECF例如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，假设AB=1，BC=CD=3，DE=2，那么这个六边形的周长等于____．【答案】15【解析】如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC=BC=3，DP=DE=2．∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2．∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．故答案为：15．题模三：30°的角直角三角形等于斜边的一边例如图，ABC⊥，那么以下关系式正确的为〔〕=，30∠=︒，AB AD∆中，AB ACCA．BD CDBD CD=D．4==B．2BD CDBD CD=C．3【答案】B【解析】该题考察的是特殊的直角三角形．∠=∠=︒，C CAD30∴DAC∆为等腰三角形，∴CD AD=，在Rt BAD∆中，30∠=︒，B∴22==BD AD CD应选B．例如图，30∥10PC=，那么OC=__________，⊥于D，PC OB∠=︒，OP平分AOBAOB∠，PD OBPD=__________.【答案】【解析】该题考察的是角平分线的性质定理和含30°直角三角形的性质．∵OP平分AOB∠，∴AOP BOP∠=∠，∵PC OB∥，∴CPO BOP∠=∠，∴CPO AOP∠=∠，∴PC OC=，∵10PC=，∴10OC PC==，过P作PE OA⊥于点E，∵PD OB ⊥，OP 平分AOB ∠，∴PD PE =，∵PC OB ∥，30AOB ∠=︒∴30ECP AOB ∠=∠=︒在Rt ECP ∆中，152PE PC == ∴5PE PD ==例 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC=∠E=60°，假设BE=6cm ，DE=2cm ，那么BC=____．【答案】 8cm【解析】 延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，作DF∥BC，∵AB=AC，AD 平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN ，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm ，∴DM=4cm，∵△BEM 为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，OD B P CAE∴NM=2cm，∴BN=4cm，∴BC=2BN=8cm．故答案为：8cm ．题模四：等边三角形与全等三角形综合例 ：如图，等边三角形ABD 与等边三角形ACE 具有公共顶点A ，连接CD ，BE ，交于点P ． 〔1〕观察度量，BPC ∠的度数为_______．〔直接写出结果〕〔2〕假设绕点A 将△ACE 旋转，使得180BAC ∠=︒，请你画出变化后的图形．〔示意图〕 〔3〕在〔2〕的条件下，求出BPC ∠的度数．【答案】 〔1〕120°〔2〕见解析〔3〕120°【解析】 此题考察等边三角形及全等三角形的性质与判定．〔1〕BPC ∠的度数为120°，理由为：证明：∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形，∴60DAB ABD CAE ∠=∠=∠=︒，AD AB =，AC AE =，∴DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，在△DAC 与△BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAC ≌△BAE 〔SAS 〕，∴ADC ABE ∠=∠，∵60ADC CDB ∠+∠=︒，∴60ABE CDB ∠+∠=︒，∴120BPC DBP PDB ABE CDB ABC ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒；〔2〕作出相应的图形，如下列图；〔3〕∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形，∴60ADB DAB ABD CAE ∠=∠=∠=∠=︒，AD AB =，AC AE =，∴DAB DAE CAE DAE ∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，在△DAC 与△BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAC ≌△BAE 〔SAS 〕，∴ADC ABE ∠=∠，∵60ABE DBP ∠+∠=︒，∴60ADC DBP ∠+∠=︒，∴120BPC BDP PBD ADC DBP ADB ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒例 如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且120BDC ∠=︒．以D 为顶点作一个60︒角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，那么AMN ∆的周长为____【答案】 6【解析】 延长NC 到E ，连接DE ，使CE BM =，连接DE ．ABC ∆为等边三角形，BCD ∆为等腰三角形，且120BDC ∠=︒，603090MBD MBC DBC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，18018090DCE ACD ABD ∠=︒-∠=︒-∠=︒，又BM CE =，BD CD =，CDE BDM ∴∆∆≌，CDE BDM∴∠=∠，DE DM =，1206060NDE NDC CDE NDC BDM BDC MDN ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，在DMN ∆和DEN ∆中，DM DE =，60MDN EDN ∠=∠=︒，DN DN =，DMN DEN ∴∆∆≌，MN NE CE CN BM CN ∴==+=+．=6AMN L AM MN AN AM BM CN AN AB AC ∆∴+==+++=+=例 如图△ABC 为等边三角形，直线a ∥AB ，D 为直线BC 上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．〔1〕假设D 恰好在BC 的中点上〔如图1〕求证：△ADE 是等边三角形；〔2〕假设D 为直线BC 上任一点〔如图2〕，其他条件不变，上述〔1〕的结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由．【答案】 见解析【解析】 〔1〕证明：∵a ∥AB ，且△ABC 为等边三角形，∴60ACE BAC ABD ∠=∠=∠=︒，AB AC =，∵BD CD =，∴AD ⊥BC∵60ADE ∠=︒，∴30EDC ∠=︒，∴18090DOC EDC ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴30DEC DOC ACE ∠=∠-∠=︒，∴EDC DEC ∠=∠，∴EC CD DB ==，∴△ABD ≌△ACE ．∴AD AE =，且60ADE ∠=︒，∴△ADE 是等边三角形；〔2〕在AC 上取点F ，使CF CD =，连结DF ，∵60ACB ∠=︒，∴△DCF 是等边三角形，∵60ADF FDE EDC FDE ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADF EDC ∠=∠，∵DAF ADE DEC ACE ∠+∠=∠+∠，∴DAF DEC ∠=∠，∴△ADF ≌△EDC 〔AAS 〕，∴AD ED =，又∵60ADE ∠=︒，∴△ADE 是等边三角形．作业1如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF ⊥DE，交BC的延长线于点F．〔1〕求∠F的度数；〔2〕假设CD=2，求DF的长．【答案】〔1〕30°〔2〕4【解析】〔1〕∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；〔2〕∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．作业2 如下列图，ABC ∆、ADE ∆与EFG ∆都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，假设4AB =时，那么图形ABCDEFG 外围的周长是_____【答案】 15【解析】 ABC ∆、ADE ∆与EFG ∆都是等边三角形，AD DE ∴=，EF EG =，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，4AB =，2DE EA ∴==，1GF EF ==,∴图形ABCDEFG 外围的周长是432115⨯++=．作业3 如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，得到图2，那么阴影局部的周长为____．【答案】 2【解析】∵两个等边△ABD，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A′B′D′的位置， ∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO ，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC ，B′G=RG=RB′， ∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；故答案为：2．作业4 如下列图，等边△ABC 的边长为a ，P 是△ABC 内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，猜想：PD PE PF ++=__________，并证明你的猜想．【答案】 见解析【解析】 PD PE PF a ++=．理由如下：如图，延长EP 交AB 于G ，延长FP 交BC 于H ，∵PE ∥BC ，PF ∥AC ，△ABC 是等边三角形，∴60PGF B ∠=∠=︒，60PFG A ∠=∠=︒，∴△PFG 是等边三角形，同理可得△PDH 是等边三角形，∴PF PG =，PD DH =，又∵PD ∥AB ，PE ∥BC ，∴四边形BDPG 是平行四边形，∴PG BD =，∴PD PE PF DH CH BD BC a ++=++==．故答案为a ．作业5 ：如图，ABC △是等边三角形．D 、E 是ABC △外两点，连结BE 交AC 于M ，连结AD 交CE 于N ，AD 交BE 于F ，AD EB =．当AFB ∠度数多少时，ECD △是等边三角形？并证明你的结论．【答案】 60AFB ∠=︒【解析】 该题考察的是全等三角形的判定和性质．60AFB ∠=︒，A C MFEN D B理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴CA CB =，460∠=︒，∵245∠+∠=∠，135∠+∠=∠，且360∠=︒，∴12∠=∠，又∵BE AD =，在△BCE 和△ACD 中， 1. 12CA CB AD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△ACD 〔SAS 〕 ∴CE CD =，BCE ACD ∠=∠，∴66BCE ACD ∠-∠=∠-∠，即4760∠=∠=，∴△ECD 是等边三角形．作业6 在△ABC 中，AB AC =，BAC ∠=α()060︒<α<︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ．〔1〕如图1，直接写出ABD ∠的大小〔用含α的式子表示〕；〔2〕如图2，150BCE ∠=︒，60ABE ∠=︒，判断△ABE 的形状并加以证明；〔3〕在〔2〕的条件下，连结DE ，假设45DEC ∠=︒，求α的值．【答案】 〔1〕302α︒-〔2〕见解析〔3〕30︒ 【解析】 该题考察的是三角形综合．〔1〕∵AB AC =∴1809022ABC ACB ︒-αα∠=∠==︒-，A D B CADB C E∴90603022ABD ACB DBC αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-，………………………………………1分 〔2〕△ABE 是等边三角形， ………………………………………………………2分 连结AD ，CD ．∵60DBC ∠=︒，BD BC =，∴ △BDC 是等边三角形，60BDC ∠=︒，BD DC = ………………3分 又∵AB AC =，AD AD =，∴ △ABD ≌△ACD ．∴ADB ADC ∠=∠，∴150ADB ∠=︒． ………………4分∵60ABE DBC ∠=∠=︒，∴ABD EBC ∠=∠．又∵BD BC =，150ADB ECB ∠=∠=︒，∴ △ABD ≌△EBC ．∴AB EB =．∴ △ABE 是等边三角形． …………………………………………5分〔3〕∵△BDC 是等边三角形，∴ 60BCD ∠=︒．∴ 90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=︒又∵45DEC ∠=︒，∴CE CD BC ==．………………………………………………………6分∴15EBC ∠=︒． ∵302EBC ABD α∠=∠=︒-， ∴ 30α=︒． ……………………………………………………………7分作业7 将一张矩形纸片ABCD 如下列图折叠，使顶点C 落在C '点．2AB =，30DEC '∠=︒，那么折痕DE 的长为〔 〕A ． 2B ． 23C ． 4D ． 1【答案】C【解析】 该题考察的是图形的翻折．因为四边形ABCD 是矩形，所以AB CD =，由题意可知'30CED DEC ∠=∠=︒，1sin 2CD CED DE ∠==，所以2224DE CD ==⨯=．所以，此题的正确答案是C ．作业8 如图，在等边△ABC 中，2AB =，点P 是AB 边上任意一点〔点P 可以与点A 重合〕，过点P 作PE ⊥BC ，垂足为E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FQ ⊥AB ，垂足为Q ，求当BP 的长等于多少时，点P 与点Q 重合？【答案】 43BP =【解析】 设BP x =，在直角三角形PBE 中，30BPE ∠=︒ ∴12BE x =，那么122EC x =- 在直角△EFC 中，30FEC ∠=︒， ∴11124FC EC x ==-，∴1214AF FC x =-=+ 同理：1128AQ x =+ 当点P 与点Q 重合时，2BP AQ +=即11228x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得43x =A BE C DC '故当43BP =时，点P 与点Q 重合．作业9 如图，ABC ∆为等边三角形，AD 平分BAC ∠,ADE ∆是等边三角形，以下结论中 ①AD BC ⊥，②EF FD =, ③BE BD =,④60ABE ∠=︒.正确的个数为〔 〕A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【答案】D【解析】 该题考察的是三角形的性质．∵△ABC 为等边三角形，AD 为角平分线，∴AD BC ⊥，30BAD ∠=︒，60ABD ∠=︒∵△ADE 是等边三角形，30BAD ∠=︒，∴30EAB EAD BAD ∠=∠-∠=︒，EA DA =，在△AEF 和△ADF 中，EA DA EAB DAB AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△ADF 〔SAS 〕，∴EF FD =，同理，△AEB ≌△ADB ，∴60ABE ABD ∠=∠=︒，EB DB =，故正确的个数为4个，故此题答案为D ．作业10 如图，过边长为2的等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连PQ 交AC 边于D ，那么DE 的长为〔 〕A ． 13B ． 12C ． 23D ． 1【答案】D【解析】 过P 作BC 的平行线交AC 于F ，Q FPD ∴∠=∠，ABC ∆是等边三角形，60APF B ∴∠=∠=︒，60AFP ACB ∠=∠=︒，APF ∴∆是等边三角形，AP PF ∴=，AP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD ∆和QCD ∆中，FPD Q ∠=∠， PDF QDC PF CQ ∠=∠=，PFD QCD ∴∆∆≌，FD CD ∴=，PE AC ⊥于E ，APF ∆是等边三角形，AE EF ∴=，AE DC EF FD ∴+=+，12ED AC ∴=，2AC =，1DE ∴=．作业11 如图，在等边ABC △中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且AE CD =，BE 与AD 相交于点P ，BQ AD ⊥于点Q .〔1〕求证：ABE CAD △≌△；〔2〕请问PQ 与BP 有何关系？并说明理由.【答案】 〔1〕见解析〔2〕2BP PQ =【解析】 该题考察全等三角形的判定与性质．∵△ABC 为等边三角形．∴AB AC =,60BAC ACB ∠=∠=︒,在△BAE 和△ACD 中：AE CD BAC ACB AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△ACD〔2〕2BP PQ =∵△BAE ≌△ACD∴ABE CAD ∠=∠∵BPQ ∠是△ABP 的外角，∴BPQ ABE BAD ∠=∠+∠，∴60BPQ CAD BAD BAC ∠=∠+∠=∠=︒∵BQ AD ⊥，AB P EQD C∴30∠=︒PBQ∴如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。