经典平行四边形压轴题
中考数学与平行四边形有关的压轴题含答案解析
本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
7．（1）问题发现：
如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为；
6．问题情境
在四边形ABCD中，BA＝BC，DC⊥AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E，M是边AD的中点，连接MB，ME.
特例探究
(1)如图1，当∠ABC＝90°时，写出线段MB与ME的数量关系，位置关系；
(2)如图2，当∠ABC＝120°时，试探究线段MB与ME的数量关系，并证明你的结论；
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=∠CDE=45°，
∴EC=ED，∵MC=MD，
∴EM垂直平分线段CD，EM平分∠DEC，
∴∠MEC=45°，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BM=ME，BM⊥EM．
故答案为BM=ME，BM⊥EM．
(2)ME＝ MB．
证明如下：连接CM，如解图所示．
∵DC⊥AC，M是边AD的中点，
∴ AB•CF＝ AC•PE﹣ AB•PD．
∵AB＝AC，
∴CF＝PD﹣PE；
结论运用:过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．
∵AD＝16，CF＝6，
∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，
由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．
∴DF＝5．
∴PG+PH的值为8；
迁移拓展:如图，
由题意得：A（0，8），B（6，0），C（﹣4，0）
中考数学平行四边形-经典压轴题及答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t 秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t=152或12.【解析】【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；（3）△DEF为直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论.【详解】解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，∴AB=12AC=12×60=30cm，∵CD=4t，AE=2t，又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=12CD=2t，∴DF=AE；（2）能，∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10，∴当t=10时，AEFD是菱形；（3）若△DEF为直角三角形，有两种情况：①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=152，②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，则AE=2AD，即2t2(604t)=-，解得：t=12，综上所述，当t=152或12时，△DEF为直角三角形.2．已知AD是△ABC的中线P是线段AD上的一点（不与点A、D重合），连接PB、PC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，AD与EF交于点M；（1）如图1，当AB＝AC时，求证：四边形EGHF是矩形；（2）如图2，当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△BPE面积相等的三角形（不包括△BPE本身）．【答案】（1）见解析；（2）△APE、△APF、△CPF、△PGH．【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得出EG∥AP，EF∥BC，EF=12BC，GH∥BC，GH=12BC，推出EF∥GH，EF=GH，证得四边形EGHF是平行四边形，证得EF⊥AP，推出EF⊥EG，即可得出结论；（2）由△APE与△BPE的底AE=BE，又等高，得出S△APE=S△BPE，由△APE与△APF的底EP=FP，又等高，得出S△APE=S△APF，由△APF与△CPF的底AF=CF，又等高，得出S△APF=S△CPF，证得△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，推出S△PGH=12S△AEF=S△APF，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴EG∥AP，EF∥BC，EF＝12BC，GH∥BC，GH＝12BC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴EF⊥AP，∵EG∥AP，∴EF⊥EG，∴平行四边形EGHF是矩形；（2）∵PE是△APB的中线，∴△APE与△BPE的底AE＝BE，又等高，∴S△APE＝S△BPE，∵AP是△AEF的中线，∴△APE与△APF的底EP＝FP，又等高，∴S△APE＝S△APF，∴S△APF＝S△BPE，∵PF是△APC的中线，∴△APF与△CPF的底AF＝CF，又等高，∴S△APF＝S△CPF，∴S△CPF＝S△BPE，∵EF∥GH∥BC，E、F、G、H分别是AB、AC、PB、PC的中点，∴△AEF底边EF上的高等于△ABC底边BC上高的一半，△PGH底边GH上的高等于△PBC 底边BC上高的一半，∴△PGH底边GH上的高等于△AEF底边EF上高的一半，∵GH＝EF，∴S△PGH＝12S△AEF＝S△APF，综上所述，与△BPE面积相等的三角形为：△APE、△APF、△CPF、△PGH．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．3．（问题情境）在△ABC中，AB＝AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE＝CF．证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．（不要证明）（变式探究）（1）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3），试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD ＝16，CF＝6，求PG+PH的值．（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线l1：y＝-43x+8与直线l2：y＝﹣2x+8相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点，若点P到直线l1的距离为2．求点P的坐标．【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（﹣1，6），（1，10）【解析】【变式探究】连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得；【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，根据勾股定理和矩形的性质解答即可；【迁移拓展】分两种情况，利用结论，求得点P到x轴的距离，再利用待定系数法可求出P的坐标．【详解】变式探究:连接AP，如图3：∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ACP﹣S△ABP，∴12AB•CF＝12AC•PE﹣12AB•PD．∵AB＝AC，∴CF＝PD﹣PE；结论运用:过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，∵四边形ABCD是长方形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．∵AD＝16，CF＝6，∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．∴DF＝5．∵∠C＝90°，∴DC2222106DF CF-=-8．∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC．∴四边形EQCD是长方形．∴EQ＝DC＝4．∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB．∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB．∴BE＝BF，由问题情境中的结论可得：PG+PH＝EQ．∴PG+PH＝8．∴PG+PH的值为8；迁移拓展:如图，由题意得：A（0，8），B（6，0），C（﹣4，0）∴AB2210，BC＝10．68∴AB＝BC，（1）由结论得：P1D1+P1E1＝OA＝8∵P1D1＝1＝2，∴P1E1＝6 即点P1的纵坐标为6又点P1在直线l2上，∴y＝2x+8＝6，∴x＝﹣1，即点P1的坐标为（﹣1，6）；（2）由结论得：P2E2﹣P2D2＝OA＝8∵P2D2＝2，∴P2E2＝10 即点P1的纵坐标为10又点P1在直线l2上，∴y＝2x+8＝10，∴x＝1，即点P1的坐标为（1，10）【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积法列出等式是解决问题的关键．4．（1）（问题发现）如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，点D 为BC 的中点，以CD 为一边作正方形CDEF ，点E 恰好与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为（2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF 绕点C 旋转，连接BE ，CE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，直接写出线段AF 的长．【答案】（1）2AF ；（2）无变化；（3）AF 313．【解析】试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出2 ，再得出BE=AB=2，即可得出结论；（2）先利用三角函数得出22CA CB =，同理得出22CF CE =，夹角相等即可得出△ACF ∽△BCE ，进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点E 在线段BF 上时，如图2，先利用勾股定理求出2，6，即可得出62，借助（2）得出的结论，当点E 在线段BF 的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．试题解析：（1）在Rt △ABC 中，AB=AC=2，根据勾股定理得，22，点D 为BC 的中点，∴AD=122， ∵四边形CDEF 是正方形，∴2，∵BE=AB=2，∴2AF ，故答案为2AF ；（2）无变化；如图2，在Rt △ABC 中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin ∠ABC=22CA CB =， 在正方形CDEF 中，∠FEC=12∠FED=45°，在Rt△CEF中，sin∠FEC=22 CFCE=，∴CF CACE CB=，∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA=∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴BE CBAF CA= =2，∴BE=2AF，∴线段BE与AF的数量关系无变化；（3）当点E在线段AF上时，如图2，由（1）知，CF=EF=CD=2，在Rt△BCF中，CF=2，BC=22，根据勾股定理得，BF=6，∴BE=BF﹣EF=6﹣2，由（2）知，BE=2AF，∴AF=3﹣1，当点E在线段BF的延长线上时，如图3，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=22 CACB=，在正方形CDEF中，∠FEC=12∠FED=45°，在Rt△CEF中，sin∠FEC=22CFCE=，∴CF CACE CB=，∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，∴∠FCA=∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴BE CBAF CA= =2，∴BE=2AF，由（1）知，CF=EF=CD=2，在Rt△BCF中，CF=2，BC=22，根据勾股定理得，BF=6，∴BE=BF+EF=6+2，由（2）知，BE=2AF，∴AF=3+1．即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为3﹣1或3+1．5．如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点，分别延长CO到点G，OC到点E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG．（1）如图1，若正方形OEFG的对角线交点为M，求证：四边形CDME是平行四边形．（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，如图2，连接AG′，DE′，求证：AG′=DE′，AG′⊥DE′；（3）在（2）的条件下，正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边相交于点N，如图3，设旋转角为α（0°＜α＜180°），若△AON是等腰三角形，请直接写出α的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．【解析】【分析】（1）由四边形OEFG是正方形，得到ME=12GE，根据三角形的中位线的性质得到CD∥GE，CD=12GE，求得CD=GE，即可得到结论；（2）如图2，延长E′D交AG′于H，由四边形ABCD是正方形，得到AO=OD，∠AOD=∠COD=90°，由四边形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90°，由旋转的性质得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根据全等三角形的性质得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，即可得到结论；（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形OEFG是正方形，∴ME=12GE，∵OG=2OD、OE=2OC，∴CD∥GE，CD=12GE，∴CD=GE，∴四边形CDME是平行四边形；（2）证明：如图2，延长E′D交AG′于H，∵四边形ABCD 是正方形，∴AO=OD ，∠AOD=∠COD=90°，∵四边形OEFG 是正方形，∴OG′=OE′，∠E′OG′=90°，∵将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，∴∠G′OD=∠E′OC ，∴∠AOG′=∠COE′，在△AG′O 与△ODE′中，OA OD AOG DOE OG OE ⎧⎪∠'∠'⎨⎪''⎩＝＝＝，∴△AG′O ≌△ODE′∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O ，∵∠1=∠2，∴∠G′HD=∠G′OE′=90°，∴AG′⊥DE′；（3）①正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD 的边AD 相交于点N ，如图3，Ⅰ、当AN=AO 时，∵∠OAN=45°，∴∠ANO=∠AON=67.5°，∵∠ADO=45°，∴α=∠ANO-∠ADO=22.5°；Ⅱ、当AN=ON 时，∴∠NAO=∠AON=45°，∴∠ANO=90°，∴α=90°-45°=45°；②正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD 的边AB 相交于点N ，如图4，Ⅰ、当AN=AO时，∵∠OAN=45°，∴∠ANO=∠AON=67.5°，∵∠ADO=45°，∴α=∠ANO+90°=112.5°；Ⅱ、当AN=ON时，∴∠NAO=∠AON=45°，∴∠ANO=90°，∴α=90°+45°=135°，Ⅲ、当AN=AO时，旋转角a=∠ANO+90°=67.5+90=157.5°，综上所述：若△AON是等腰三角形时，α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当△AON是等腰三角形时，求α的度数是本题的难点．6．如图1，在正方形ABCD中，AD=6，点P是对角线BD上任意一点，连接PA，PC过点P 作PE⊥PC交直线AB于E．（1）求证：PC=PE;（2）延长AP交直线CD于点F.①如图2，若点F是CD的中点，求△APE的面积；②若ΔAPE的面积是21625，则DF的长为（3）如图3，点E在边AB上，连接EC交BD于点M,作点E关于BD的对称点Q，连接PQ，MQ，过点P作PN∥CD交EC于点N，连接QN，若PQ=5，MN=23，则△MNQ的面积是【答案】（1）略；（2）①8，②4或9；（3）5 6【解析】【分析】（1）利用正方形每个角都是90°，对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和，等角对等边等性质容易得证;（2）作出△ADP和△DFP的高，由面积法容易求出这个高的值.从而得到△PAE的底和高，并求出面积.第2小问思路一样，通过面积法列出方程求解即可;（3）根据已经条件证出△MNQ是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面积.【详解】(1) 证明：∵点P在对角线BD上，∴△ADP≌△CDP,∴AP=CP, ∠DAP =∠DCP,∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90°,∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45°+90°-∠BPC=135°-∠BPC,∵∠PAE=90°-∠DAP＝90°-∠DCP,∠DCP=∠BPC-∠PDC=∠BPC-45°,∴∠PAE=90°-(∠BPC-45°)= 135°-∠BPC,∴∠PEA=∠PAE,∴PC=PE;（2）①如图2，过点P分别作PH⊥AD,PG⊥CD,垂足分别为H、G.延长GP交AB于点M.∵四边形ABCD是正方形，P在对角线上，∴四边形HPGD是正方形，∴PH=PG,PM ⊥AB, 设PH=PG=a,∵F 是CD 中点，AD ＝6，则FD=3,ADFS =9,∵ADF S =ADP DFP SS+=1122AD PH DF PG ⨯+⨯, ∴1163922a a ⨯+⨯=,解得a=2, ∴AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4, 又∵PA=PE, ∴AM=EM,AE=4,∵APE S =1144822EA MP ⨯=⨯⨯=,②设HP ＝b,由①可得AE=2b,MP=6-b,∴APE S=()121626225b b ⨯⨯-=, 解得b=2.4 3.6或, ∵ADF S =ADP DFP SS+=1122AD PH DF PG ⨯+⨯, ∴11166222b DF b DF ⨯⨯+⨯=⨯, ∴当b=2.4时，DF=4；当b ＝3.6时，DF ＝9, 即DF 的长为4或9; （3）如图，∵E 、Q 关于BP 对称，PN ∥CD, ∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45°, ∴∠1+∠4=45°, ∴∠3=∠4,易证△PEM ≌△PQM, △PNQ ≌△PNC, ∴∠5=∠6, ∠7=∠8 ,EM=QM,NQ=NC, ∴∠6+∠7=90°, ∴△MNQ 是直角三角形,设EM=a,NC=b 列方程组2227252372 3a b a b ⎧+=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩, 可得12ab=56, ∴MNQ56S=, 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.要注意运用数形结合思想.7．在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=8，现将纸片折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，连接DF ．（1）说明△BEF 是等腰三角形； （2）求折痕EF 的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】 【分析】（1）根据折叠得出∠DEF =∠BEF ，根据矩形的性质得出AD ∥BC ，求出∠DEF =∠BFE ，求出∠BEF =∠BFE 即可；（2）过E 作EM ⊥BC 于M ，则四边形ABME 是矩形，根据矩形的性质得出EM =AB =6，AE =BM ，根据折叠得出DE =BE ，根据勾股定理求出DE 、在Rt △EMF 中，由勾股定理求出即可． 【详解】（1）∵现将纸片折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，∴∠DEF =∠BEF ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DEF =∠BFE ，∴∠BEF =∠BFE ，∴BE =BF ，即△BEF 是等腰三角形；（2）过E 作EM ⊥BC 于M ，则四边形ABME 是矩形，所以EM =AB =6，AE =BM ．∵现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，∴DE=BE，DO=BO，BD⊥EF．∵四边形ABCD是矩形，BC=8，∴AD=BC=8，∠BAD=90°．在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，即（8﹣BE）2+62=BE2，解得：BE==DE=BF，AE=8﹣DE=8﹣==BM，∴FM=﹣=．在Rt△EMF中，由勾股定理得：EF==．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的关键．8．已知：在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE＝2．（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF＝a时，求△GFC的面积（用a表示）；（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由．【答案】（1）10；（2）12－a；（3）不能【解析】解：（1）过点G作GM⊥BC于M．在正方形EFGH中，∠HEF＝90°，EH＝EF，∴∠AEH＋∠BEF＝90°．∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠BEF．又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AHE≌△BEF．同理可证△MFG≌△BEF．∴GM＝BF＝AE＝2．∴FC＝BC－BF＝10．∴．（2）过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，连接HF．∵AD∥BC，∴∠AHF＝∠MFH．∵EH∥FG，∴∠EHF＝∠GFH．∴∠AHE＝∠MFG．又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF，∴△AHE≌△MFG．∴GM＝AE＝2．∴．（3）△GFC的面积不能等于2．说明一：∵若S△GFC＝2，则12－a＝2，∴a＝10．此时，在△BEF中，．在△AHE中，，∴AH＞AD，即点H已经不在边AD上，故不可能有S△GFC＝2．说明二：△GFC的面积不能等于2．∵点H在AD上，∴菱形边EH的最大值为，∴BF的最大值为．又∵函数S△GFC＝12－a的值随着a的增大而减小，∴S△GFC的最小值为．又∵，∴△GFC的面积不能等于2．9．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2．【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明△EFM≌△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值．试题解析：（1）解：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．（2）证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，在△ABP和△QBP中，，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP=QP，AB=BQ，又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∠C=∠BQH=90°，BH=BH，在△BCH和△BQH中，，∴△BCH≌△BQH（SAS），∴CH=QH．∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．∴△PDH的周长是定值．（3）解：如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．又∵EF为折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90°，在△EFM和△BPA中，，∴△EFM≌△BPA（AAS）．∴EM=AP．设AP=x在Rt△APE中，（4-BE）2+x2=BE2．解得BE=2+，∴CF=BE-EM=2+-x，∴BE+CF=-x+4=（x-2）2+3．当x=2时，BE+CF取最小值，∴AP=2．考点：几何变换综合题．10．（本题满分10分）如图1，已知矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，若将该纸片沿着过点B的直线折叠（折痕为BM），点A恰好落在CD边的中点P处．（1）求矩形ABCD的边AD的长．（2）若P为CD边上的一个动点，折叠纸片，使得A与P重合，折痕为MN，其中M在边AD上，N在边BC上，如图2所示．设DP＝x cm，DM＝y cm，试求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）①当折痕MN的端点N在AB上时，求当△PCN为等腰三角形时x的值；②当折痕MN的端点M在CD上时，设折叠后重叠部分的面积为S，试求S与x之间的函数关系式【答案】（1）AD＝3；（2）y=－其中，0＜x＜3；（3）x=；（4）S=.【解析】试题分析：（1）根据折叠图形的性质和勾股定理求出AD的长度；（2）根据折叠图形的性质以及Rt△MPD的勾股定理求出函数关系式；（3）过点N作NQ⊥CD，根据Rt△NPQ 的勾股定理进行求解；（4）根据Rt△ADM的勾股定理求出MP与x的函数关系式，然后得出函数关系式.试题解析：（1）根据折叠可得BP=AB=6cm CP=3cm 根据Rt△PBC的勾股定理可得：AD＝3．（2）由折叠可知AM＝MP，在Rt△MPD中，∴∴y=－其中，0＜x＜3.（3）当点N在AB上，x≥3，∴PC≤3，而PN≥3，N C≥3.∴△PCN为等腰三角形，只可能NC＝NP．过N点作NQ⊥CD，垂足为Q，在Rt△NPQ中，∴解得x=．（4）当点M在CD上时，N在AB上，可得四边形ANPM为菱形．设MP＝y，在Rt△ADM中，，即∴ y=．∴ S=考点：函数的性质、勾股定理.。
专题03 平行四边形 压轴题(七大题型)(解析版)
(1)直接写出C点坐标；(2)如图2，线段BC的垂直平分线交y轴于点E，F为AD的中点，试判断(3)如图3，点16,03E⎛⎫⎪⎝⎭，F为x轴上的一点，45ECF∠=︒，求F点的坐标．【答案】(1)()4,4∵四边形ABCD是平行四边形，∴=，∥AD BC AD∴∠=∠，DAO CBEAOD CEB∠=∠=(AASCBE DAO∴≌∵线段BC 的中垂线交CE BE ∴=，∵F 为AD 的中点，22,1F ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，222DE DC EC ∴+=①当F 在点E 的左侧时，如图3，过 45ECF ∠=︒，FH CE ⊥，CFH ∴ 是等腰直角三角形，FH CH ∴=，(1)若4OD =，求OG 的长．(2)若2OAE GOE GED ∠=∠-∠，求OD 的长．(3)①连接DF ，问直线DF 是否经过一定点，若经过，请求出该定点；若不经过，请说明理由；②连接FB ，BD ，若30DFB ∠=︒，求OD 的长．∵2OAE GOE GED ∠=∠-∠，GED ∠∴2GOE OAE OEF ∠=∠+∠，∵IOE OAE OEF ∠=∠+∠，∴2IOE GOE ∠=∠，∴30FBF '∠=︒，设FM n =，则2FF n '=，∵226BF BF n '==+，∴22162FN n =+，∵FN BF BM FF ''⋅=⋅，（BFF ' 的两组底和高相乘）(1)求直线2l 的函数关系式；(2)若点C 的横坐标是2，求△(3)若存在点P ，使以A C 、、试求．出点P 的坐标．【答案】(1)4y x =-+则1402m ⨯+=，解得2m =-，∴直线AP 的解析式为122y x =-；DP AC ∥，且过(20)，D -，设直线DP 的解析式为y x n =-+，则20n +=，解得2n =-，(1)求点C 的坐标及直线BC 的解析式；(2)如图1，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，其中90FGQ ∠=︒，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线(3)如图2，若M 为线段BC 上一点，且满足AMB S S =△△D ，使以点D ，E ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点明理由．4∵FGQ 是等腰直角三角形，易证∴1MG NQ ==，FM GN ==∴()2,1Q n n -+-，∵点Q 在443y x =+图象上，同理：()2,1Q n n -+，∵点Q 在直线443y x =+图象上，∴()41243n n -=-+，解得：n ∴点()0,1G -，此时与点C 重合；23⎛⎫∵AMB AOB S S =△△，∴ABC AMC AOB S S S -=△△△，∴141105424232m ⎛⎫-⨯+=⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得：∴点612,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)求a和k的值；(2)作直线l平行于A C''且与A B''，B C''分别交于M，N 直线l的函数表达式；(3)在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l则A B T B GM '''、均为等腰直角三角形，∵GM A T '∥，则23B G GT B M A M '''==：：：，设2B G GM x '==，则3,GT x BT =则6245BT x =-==，的值；在双曲线kyx=上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M∵()1,0A -，(0,B -解得1x =，此时()11,8P ，(10,8Q 如图2所示，若ABPQ ∵()1,0A -，(0,4B -解得=1x -，此时()21,8P --，2Q ②如图3所示，当∵()1,0A -，(0,4B -∴1122x -=，∵MN 是线段HT 的垂直平分线，∴NT NH =，∵四边形AFBH 是正方形，∴ABF ABH ∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH(1)求k的值；(2)点P在双曲线kyx=上，点Q在y轴上，若以点A B P Q、、、为顶点的四边形是平行四边形；试求满足要求的所有点P的位置．(3)以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HTAB于N，当T在AF上运动时，MNHT的值是否发生改变？若改变，求出其范围；若不改变，求出其值并给出你的证明．【答案】(1)8∵()()1,0,04A B --，，则12解得1x =，此时()118P ，；如图2所示，若ABQP 为平行四边形，∵()()1,0,04A B --，，则12-解得=1x -，此时()218P --，；②如图3所示，当AB 为对角线时：∵()()1,0,04A B --，，∴1122x -=-，解得=1x -，∴()318P --，；故点P 的坐标为：()18，或(-（3）如图4，连接NH NT 、∵MN 是线段HT 的垂直平分线，∴NT NH =，∵四边形AFBH 是正方形，∴ABF ABH ∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH =⎧(1)用等式表示CP '与BP 的数量关系，并证明；(2)当135BPC ∠=︒时，①直接写出P CP '∠的度数为________②若M 为BC 的中点，连接PM 【答案】(1)BP CP '='，证明见解析证明：∵90BAC ∠=︒，AB AC =∴2390∠+∠=︒，∵将线段AP 绕点A 逆时针旋转90∴AP AP '=，90PAP '∠=︒，∴1290∠+∠=︒，∴13∠=∠，(1)如图1，求CBE ∠的度数；(2)如图2，过点A 作AF DE ∥分别交BC CD ，于点F ，G ，连接AE 平分；(3)如图3，在（2）的条件下，若N 是CE 的中点连接FN ，求证：【答案】(1)60CBE ∠=︒(2)见解析∴DCE ACB ∠=∠，∴BCE ACD ∠=∠，∵CE CD =，BCE ACD ∠=∠，BC AC =，∴()SAS BCE ACD V V ≌，∴60CBE A Ð=Ð=°；（2）证明：如图1，连接EF ，∵ABC 是等边三角形，∴60CBD ACF ∠=∠=︒，∵//AF DE ，∴60AGD CDE ∠=∠=︒，∵60AGD CAF ACG BCD ACG ∠=∠+∠=︒=∠+∠，∴BCD CAF ∠=∠，∵BCD CAF ∠=∠，BC AC =，CBD ACF ∠=∠，∴()ASA BCD CAF ≌，∴AF CD DE ==，又∵//AF DE ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AE 与DF 相互平分；（3）证明：如图2，延长FN 至点H ，使HN FN =，∵N 是CE 的中点，∴EN CN =，∵EN CN =，ENH CNF ∠=∠，HN FN =，∴()SAS ENH CNF ≌，∴HEN FCN ∠=∠，EH CF =，∴BC EH ∥，∵()ASA BCD CAF ≌，∴BD CF =，∴EH BD =，∵四边形ADEF 是平行四边形，∴AD EF ，∴60BFE ABC ∠=∠=︒，∵60BEF BFE EBF ∠=∠=∠=︒，∴BEF △是等边三角形，∴EF BF =，∵BC EH ∥，∴60HEF BFE ∠=∠=︒，∴HEF DBF ∠=∠，∵EH BD =，HEF DBF ∠=∠，EF BF =，∴()SAS EHF BDF ≌，∴HF DF =，(1)当QP PM ⊥时，求t 的值．(2)如图2，连接MC ，是否存在t 值，使得PCM △的面积是平行四边形ABCD 面积的38若存在，求出对应的t ；若不存在，请说明理由．(3)如图3，过点M 作∥MN AB 交于点N ，是否存在t 的值，使得点P 在线段MN 的垂直平分线上？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4t =(2)不存在t 值(3)409t =【分析】（1）由题意得2BQ t =，3DP t =，由平行四边形的性质得出AB CD ，AD BC ∥60D ABC ∠=∠=︒，证出四边形BCPQ 是平行四边形，得出BQ CP =，得出方程220t =-（2）作AE BC ⊥于E ，延长MP 交BC 延长线于F ，由直角三角形的性质得出12BE AB =3103AE BE ==，求出平行四边形ABCD 的面积3003BC AE =⨯=，由直角三角形的性质得出则9030BAE ABC ∠=︒-∠=︒1102BE AB ∴==，3AE =∴平行四边形ABCD 的面积=∥ AB CD ，，MN AB，AB CD∴ ，MN CDAD BC，∴四边形CDMN是平行四边形，(1)用含t的代数式表示PB的长．(2)当点P在边AB上运动时，求证：△内部时，求(3)当点E在ABD在ABCDY中，O为对角线=，∴经过点O，OA OCAC四边形ABCD为平行四边形，∴∥，AB CD由题意得：PQE V 为等边三角形，60PQE QPE ∴∠=∠=︒，AB CE ∥ ，60QPB PQE ∴∠=∠=︒，60A QPB ∴∠=∠=︒，AD PQ ∴∥，∴四边形APQD 为平行四边形，4PQ AD ∴==，4DQ PQ AP ∴===，24t \=，2t ∴=，②当点E 落在AB 边上时，如图，由题意得：PQE V 为等边三角形，60PEQ ∴∠=︒，60A PEQ ∴∠=∠=︒，AD EQ \∥，∴四边形AEQD 为平行四边形，4EQ AD ∴==，AE DQ =，4PE ∴=．24AE AP PE t ∴=-=-．在DOQ △和BOP △中，DOQ BOP OD OB QDO PBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(AAS)DOQ BOP ≌∴ ，DQ PB ∴=，OD OQ ∴=，30ODQ OQD ∴∠=∠=︒，60QPE ∠=︒ ，90PDQ ∴∠=︒，1232BP BO BD ∴===，2823t ∴-=，(1)若设AP 的长为x ，则PC =，(2)当30BQD ∠=︒时，求AP 的长；(3)过点Q 作QF AB ⊥交AB 延长线于点(4)点P Q ，在运动过程中，线段说明理由．,PE AB QF AB ⊥⊥ ，∴90AEP BFQ ∠=∠=︒，又60,QBF ABC A ∠=∠=∠=︒ ∴()AAS BFQ AEP ≌，∴EP FQ =；AEP BFQ△≌△∴=，AE BF+=+∴BE AE BF BE∴6==AB EF⊥⊥,PE AB QF AB(1)如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形、，若AB (2)如图2，点E在BC，点F在CD上，连接AE EF-=2AC CF CE⊥分别交(3)如图3，在（2）的条件下，连接AF，过点C作CH BCCE=，PK 的延长线于点P，交AC的延长线于点K，若22（3）解：如图，以C为原点，BC 交于点T，DK与x轴交于点S 四边形ABCD是平行四边形，3【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，坐标两点距离公式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想，正确建立直角坐标系，求出相关点坐标是解题关键．14．在ABCD Y 中，BD 是对角线，(1)求证：AD BD=(2)当45A ∠=︒时，1DE =，2BE =，3CE =，求CDE 的面积．(3)在（1）的条件下，当BD 平分ADE ∠，DBE CDE ∠=∠，10CD =【答案】(1)见解析为等腰直角三角形，∴EBK∵ADB BDK ∠=∠，AD DK ADB KDB BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB BDK △≌△，(1)如图1，若45BAD PCD ∠-∠=︒，求证：2AD PB =；(2)如图2，在（1）的条件下，若ABP 的面积与PCD 的面积的比是3:4的面积；(3)如图3，在（1）的条件下，若7514PAB PD ∠=︒=，，求PA 的长．【答案】(1)见解析(2)1542∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD AB CD ∥，=．∵MN AB ⊥，∴MN CD ⊥．∵:3:4ABP PCD S S = ，。
(完整版)特殊的平行四边形(压轴题)
特殊平行四边形1、如图，四边形OABC 与四边形ODEF 都是正方形。
（1）当正方形ODEF 绕点O 在平面内旋转时，AD 与CF 有怎样的数量和位置关系?证明你的结论；（2）若ODEF 绕点O 旋转,当点D 转到直线OA 上时,DCO 恰好是30°,当点D 转到直线OA或直线OC 上时，求AD 的长。
（本小题只写出结论，不必写出过程)FEDCBAO2、如图，在正方形ABCD 中,点P 是射线BC 上的任意一点（点B 与点C 除外),连接DP ，分别过点C 、A 作直线DP 的垂线,垂足为点E 、F.（1）当点P 在BC 的延长线上时，那么线段AF 、CE 、EF 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； （2）当点P 在BC 边上时，正方形的边长为2,AF 、CE 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； （3）在（2）的条件下，当CE=1时，求EF 的长.P FEDCB A DCBA3、菱形ABCD 中,点E 、F 分别在BC 、CD 边上，且B EAF ∠=∠。
（1）如果B ∠=60°，求证：AE=AF ； （2）如果）（︒<<︒=∠900ααB ，(1）中的结论：AE=AF 是否依然成立,请说明理由。
（3）如果AB 长为5,菱形ABCD 面积为20，BE=a ，求AF 的长。
(用含a 的式子表示）FED CBA4、如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合）.过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G 。
（1）BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系?证明你的结论.（2）连接DF ，如果正方形的边长为2,设AE=a ，求△DFG 的面积。
（用含a 的式子表示)（3）如果正方形的边长为2,FG 的长为25,求点C 到直线DE 的距离。
GFEDCBA5、已知,在矩形ABCD 中，AB=10，BC=20，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE=2。
八年级平行四边形压轴题
八年级平行四边形压轴题一、选择题（每题3分，共15分）1. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC = 8，BD = 10，AB = 6，则△OAB的周长为（）- A. 12.- B. 15.- C. 20.- D. 16.- 解析：- 因为平行四边形对角线互相平分，所以OA = 1/2AC = 4，OB = 1/2BD = 5。
- 又已知AB = 6，所以△OAB的周长为OA+OB + AB=4 + 5+6 = 15。
答案为B。
2. 平行四边形ABCD中，∠A:∠B = 2:1，则∠C的度数为（）- A. 60°.- B. 120°.- C. 45°.- D. 30°.- 解析：- 因为平行四边形邻角互补，即∠A+∠B = 180°，又∠A:∠B = 2:1，设∠B=x，则∠A = 2x，所以2x+x=180°，解得x = 60°。
- ∠A = 120°，平行四边形对角相等，所以∠C=∠A = 120°。
答案为B。
3. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）- A. AB = CD，AD = BC.- B. AB∥CD，AB = CD.- C. AB = CD，AD∥BC.- D. AB∥CD，AD∥BC.- 解析：- 根据平行四边形的判定定理，A选项两组对边分别相等可判定是平行四边形；B 选项一组对边平行且相等可判定是平行四边形；D选项两组对边分别平行可判定是平行四边形。
- C选项一组对边相等，另一组对边平行，不能判定是平行四边形，答案为C。
4. 平行四边形ABCD的周长为36cm，AB = 8cm，则BC的长为（）- A. 10cm.- B. 16cm.- C. 14cm.- D. 28cm.- 解析：- 平行四边形的周长等于两组对边之和，即2(AB + BC)=36，已知AB = 8cm，代入可得2(8 + BC)=36，16+2BC = 36，2BC = 20，BC = 10cm。
经典平行四边形压轴题
1．如图，已知以△ABC 的三边为边在BC 的同侧作等边△ABD 、△BCE 、△ACF ，请回答下列问题： （1）四边形ADEF 是什么四边形？写出理由。
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？（3）当△ABC 满足什么条件时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在？2．（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=o，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFCGE B图1ADF C GE B 图2 ADFC GE B图3A G D BFE 图ADCBFEG图3．（2009年铁岭市）ABC △是等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B C 、重合），ADE △是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交射线AB AC 、于点F G 、，连接BE ． （1）如图（a ）所示，当点D 在线段BC 上时． ①求证：AEB ADC △≌△；②探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b ）所示，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？ （3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形？并说明理由．4．（2009年日照市）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）D 第24题图① DDE第24题图②E第24题图③5（2009江西）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由6．如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD =CF ，BD ⊥CF 成立．（1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD =CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G ． ①求证：BD ⊥CF ； ②当AB =4，AD =时，求线段BG 的长．A D EBF C图4（备AD E BF C图5（备ADE BF C图1 图2A D EB FC PNM 图3AD E BFCP N M321GEFD CBA（第25题）E FDCBA（第25题）EFD CBA（第25题）7.探究问题：⑴方法感悟： 如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF ，求证DE+BF=EF ．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又AG=AE ，AF=AF ∴△GAF ≌_______．∴_________=EF ，故DE+BF=EF ．⑵方法迁移： 如图②，将ABC Rt ∆沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF=21∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想． ⑶问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，E ，F 分别为DC,BC 上的点，满足DAB EAF ∠=∠21,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得DE+BF=EF ．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．。
备战中考数学平行四边形-经典压轴题及详细答案
备战中考数学平行四边形-经典压轴题及详细答案一、平行四边形1．如图①，在等腰Rt ABC V 中，90BAC ∠=o ，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC △的外部作等腰Rt CED △，使90CED ∠=o ，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；()2①将CED V 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED V 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）①AF 2AE =②42或22.【解析】【分析】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =，只要证明AEF V 是等腰直角三角形即可； ()2①如图②中，结论：AF 2AE =，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明EKF V ≌EDA V 再证明AEF V 是等腰直角三角形即可；②分两种情形a 、如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.b 、如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.分别求解即可.【详解】()1如图①中，结论：AF 2AE =．理由：Q 四边形ABFD 是平行四边形，AB DF ∴=，AB AC =Q ，AC DF ∴=，DE EC =Q ，AE EF ∴=，DEC AEF 90∠∠==o Q ， AEF ∴V是等腰直角三角形，AF 2AE ∴=．故答案为AF 2AE =．()2①如图②中，结论：AF 2AE =．理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．Q 四边形ABFD 是平行四边形，AB//DF ∴，DKE ABC 45∠∠∴==o ，EKF 180DKE 135∠∠∴=-=o o ，EK ED =，ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=o o o o Q ，EKF ADE ∠∠∴=，DKC C ∠∠=Q ，DK DC ∴=，DF AB AC ==Q ，KF AD ∴=，在EKF V 和EDA V 中，EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EKF ∴V ≌EDA V ，EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=，FEA BED 90∠∠∴==o ，∴V是等腰直角三角形，AEF∴=．AF2AE=时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知②如图③中，当AD AC=+=，EH DH CH2===，22=-=，AE AH EH42AH(25)(2)32=时，四边形ABFD是菱形，易知如图④中当AD AC=-=-=，AE AH EH32222综上所述，满足条件的AE的长为4222【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．2．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．①求证△ADB≌△AOB；②求点H的坐标．（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（175，3）；（3）30334-≤S≤30334+．【解析】【分析】（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；（2）①根据HL证明即可；②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图①中，∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3，∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，∴AD=AO=5，在Rt△ADC中，CD22AD AC-，∴BD=BC-CD=1，∴D（1，3）．（2）①如图②中，由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，∵点D在线段BE上，∴∠ADB=90°，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2，∴m=175，∴BH=175，∴H（175，3）．（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=12•DE•DK=12×3×（5-342）=303344，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=12×D′E′×KD′=12×3×（5+342）=303344+．综上所述，303344-≤S≤303344+．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t 秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t=152或12.【解析】【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；（3）△DEF为直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论.【详解】解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，∴AB=12AC=12×60=30cm，∵CD=4t，AE=2t，又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=12CD=2t，∴DF=AE；（2）能，∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10，∴当t=10时，AEFD是菱形；（3）若△DEF为直角三角形，有两种情况：①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=152，②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，则AE=2AD，即2t2(604t)=-，解得：t=12，综上所述，当t=152或12时，△DEF 为直角三角形.4．已知矩形纸片OBCD 的边OB 在x 轴上，OD 在y 轴上，点C 在第一象限，且86OB OD ==，.现将纸片折叠，折痕为EF （点E ，F 是折痕与矩形的边的交点），点P 为点D 的对应点，再将纸片还原。
初中八年级 平行四边形 拔高题 综合题 压轴题(含答案)
初中八年级平行四边形拔高题综合题压轴题(含答案)题目一已知平行四边形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm，过点B作平行于AD的直线与AC交于点E，连接DE交BC的延长线于点F。
求EF的长度。
答案一连接DE并延长交BC于点G，根据平行四边形的性质，我们知道AG || DE。
所以AG || BF。
由此可得∆BFG与∆BCD为三角形对应边平行，则根据平行线截断比定理可知：$\frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{FG}}{{GC}}$又已知$BE = BC + CE$，$CE = BD$，$BC = 8$，代入得：$\frac{{8+BD}}{{BD}} = \frac{{FG}}{{GC}}$整理可得：$\frac{{BD}}{{FG}} = \frac{{GC}}{{8+BD}}$ 由于$FG = GD$，所以：$\frac{{BD}}{{FG}} = \frac{{BD}}{{GD}} = 1$ 代入可得：$\frac{{1}}{{1}} = \frac{{GC}}{{8+BD}}$整理得：$BD = GC - 8$题目中已知BC=8，所以GC=16。
代入可得：$BD = 16 - 8 = 8$所以EF的长度等于BD，即EF=8cm。
题目二平行四边形PQRS中，已知PR = 5cm，PQ = 6cm，PS = 7cm。
点A在PS上，且PA的长度是PS的一半。
连接AQ并延长交QR 的延长线于点B，连接RP交QA的延长线于点C。
求BC的长度。
答案二设PS的长度为2x，则PA = x。
由平行四边形的性质可知AQ || RB，所以根据平行线截断比定理：$\frac{{RP}}{{PC}} = \frac{{AQ}}{{CQ}}$代入已知条件，得：$\frac{{2x + 6}}{{PC}} = \frac{{4}}{{2x - 6}}$ 整理可得：$(2x + 6)(2x - 6) = 4PC$解方程得：$x = 3$所以PA = 3cm。
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1. 如图，已知以厶
ABC 的三边为边在 BC 的同侧作等边△ ABD △ BCE △ ACF 请回答下列问题: (1) 四边形ADEF 是什么四边形？写出理由。
(2) 当厶ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是菱形？
(3) 当厶ABC 满足什么条件时，以 A 、D E 、F 为顶点的四边形不存在?
2.
( 2009临沂)数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形ABCD
是正方形，点 E 是边BC 的中点.
AEF 90°，且
EF 交正方形外角 DCG 的平行线CF 于点F ,求证：AE=EF.
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取
AB 的中点 M 连接 ME 贝U AM =EC 易证 △ AME ECF ，所以
AE EF .
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
(1 )小颖提出：如图2,如果把“点 E 是边BC 的中点”改为“点 E 是边BC 上 (除B , C 外)的任意一点”，其它条件 不变，那么结论“ AE =EF'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
(2)小华提出：如图 3,点E 是BC 的延长线上(除 C 点外)的任意一点，其他条件不变，结论“ AE=EF'仍然成
立•你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.
图2 图3
图1
3. （2009年铁岭市）△ ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ ADE是以AD 为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB AC于点F、G，连接BE .
（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时.
①求证：△ AEB ADC ;
②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？
（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由.
4. （2009年日照
市）
已知正方形ABCD中, E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF G为DF中点,
连接EG CG
（1）求证：EGCG
（2）将图①中厶BEF绕B点逆时针旋转450,如图②所示，取DF中点G连接EG CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
（3）将图①中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观
察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
图
第24题图①第24题图②
A D
第24题图③
5 ( 2009江西)如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD // BC , E 是AB 的中点，过点 E 作EF // BC 交CD 于点
F • AB 4, BC 6，/ B 60 .
(1) 求点E 到BC 的距离；
(2) 点P 为线段EF 上的一个动点，过 P 作PM EF 交BC 于点M ，过M 作MN // AB 交折线ADC 于点N ，连结 PN ，设 EP
X .
① 当点N 在线段AD 上时(如图2) , △ PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出 △ PMN 的周长；若改变，请说明理
由；
② 当点N 在线段DC 上时(如图 3),是否存在点 P ，使△ PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的
值；若不存在，请说明理由
6•如图〔，△ ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，D F 分别在AB AC 边上，此时BD=CF BDLCF 成立. (1 )当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转0 (0°v B v 90°)时，如图 2, BDCF 成立吗？若成立，请证明；若不成立， 请说明理由. (2)当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G. ① 求证：BDL CF
② 当AB=4, AD=二时，求线段BG 的长.
⑴方法感悟： 如图①，在正方形 ABCD 中，点 E , F 分别为 DC BC 边上的点，且满足/ EAF=45，连接 EF ,求证
DE+BF=EF
感悟解题方法，并完成下列填空：
将厶ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ ABG 此时 AB 与AD 重合，由旋转可得: AB=AD,BG=DE, / 仁/2，/ ABG 2 D=9C ° ,
•••/ ABG+Z ABF=9C +90° =180°,
因此，点G B , F 在同一条直线上.
•••/ EAF=45 2+Z 3=/ BAD-/ EAF=90 -45° =45°
•••/ 仁/2, •/ 1 + / 3=45°. 即/ GAF=/ _________ . 又 AG=AE AF=AF • △ GAF ^
.
________ =EF ,故 DE+BF=EF
⑵方法迁移： 1
如图②，将Rt ABC 沿斜边翻折得到厶ADC 点 E , F 分别为DC BC 边上的点，且/ EAF 』/ DAB 试猜
2 想DE, BF , EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想. ⑶问题拓展:
EAF - DAB ,试猜想当/
B 与/ D 满足什么关系
2 时，可使得 DE+BF=EF 请直接写出你的猜想（不必说明理由）
如图③，在四边形 ABCD 中, AB=AD E, F 分别为DC,BC 上的点，满足 D
E
C
（第 25 题）。