初二压轴题(特殊的平行四边形)
【常考压轴题】平行四边形存在性问题—2023-2024学年八年级数学下册(浙教版) (解析版)
平行四边形存在性问题【知识储备】①平行四边形是中心对称图形②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分③中点公式： 类型一 几何背景下的平行四边形存在性问题【典题练习】1．（2023•河北二模）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，点P 从点D 出发，以1cm /s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是（ ）A ．当t ＝3s 时，四边形ABMP 为矩形B ．当t ＝4s 时，四边形CDPM 为平行四边形C ．当CD ＝PM 时，t ＝3sD ．当CD ＝PM 时，t ＝3s 或5s【分析】根据题意，表示出DP ，BM ，AP 和CM 的长，当四边形ABMP 为矩形时，根据AP ＝BM ，列方程求解即可；当四边形CDPM 为平行四边形，根据DP ＝CM ，列方程求解即可；当CD ＝PM 时，分两种情况：①四边形CDPM 是平行四边形，②四边形CDPM 是等腰梯形，分别列方程求解即可．【解答】解：根据题意，可得DP ＝t cm ，BM ＝t cm ，∵AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴AP ＝（8﹣t ）cm ，CM ＝（6﹣t ）cm ，当四边形ABMP 为矩形时，AP ＝BM ，即8﹣t ＝t ，解得t ＝4，故A 选项不符合题意；当四边形CDPM 为平行四边形，DP ＝CM ，)2,2),(),,(21212211y y x x P y x B y x A ++坐标为（，则其中点若即t＝6﹣t，解得t＝3，故B选项不符合题意；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝PD，即6﹣t＝t，解得t＝3，②四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：则∠MGP＝∠CHD＝90°，∵PM＝CD，GM＝HC，∴△MGP≌△CHD（HL），∴GP＝HD，∵AG＝AP+GP＝8﹣t+，又∵BM＝t，∴8﹣t+＝t，解得t＝5，综上，当CD＝PM时，t＝3s或5s，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．2．（2023春•盱眙县期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（）A．B．8C．4或D．或8【分析】根据P的速度为每秒1cm，可得AP＝t cm，从而得到PD＝（10﹣t）cm，由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5＜t＜10时，分两种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．故选：D．3．（2022春•曹县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F 运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q 也同时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2B．3C．3或5D．4或5【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质可得BF＝DF＝12cm，可得AD ＝AF+DF＝18cm＝BC，由平行四边形的性质可得PF＝EQ，列出方程可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC∠ADB＝∠FBM∴BF＝DF＝12cm∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，∵点E是BC的中点∴EC＝BC＝9cm，∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形∴PF＝EQ∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9∴t＝3或5故选：C．4．（2023春•大竹县校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t＝时，四边形AECF是平行四边形．【分析】先根据平行四边形的性质求出OB的长，从而得到OE的长，再由平行四边形的性质得到OE＝OF进而得到关于t的方程，解方程即可．【解答】解：由题意得OE＝OB﹣BE＝OB﹣t，OF＝2t，∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝12cm，∴OB＝OD＝6cm，∴OE＝6﹣t，∵四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF，∴6﹣t＝2t，∴t＝2，∴当t＝2时，四边形AECF是平行四边形，故答案为：2．5．（2023秋•红山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度向点C运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动的时间t（秒）．（1）求DQ、PC的代数表达式；（2）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意，写出代数表达式即可；（2）根据平行四边形的性质知DQ＝CP，分当P从B运动到C时，当P从C运动到B时，两种情况进行求解即可；（3）分PQ＝QD、PQ＝PD、QD＝PD三种情况讨论求出t值即可．【解答】解：（1）根据题意，DQ＝（16﹣t）cm，PC＝（21﹣2t）cm；（2）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，当P从B运动到C时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，∴16﹣t＝21﹣2t，解得：t＝5，∴当t＝5秒时，四边形PQDC是平行四边形；（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，∵cm，AH＝BP，∴，∴．当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t cm，QD＝（16﹣t）cm，∵QD2＝PQ2＝t2+122，∴（16﹣t）2＝122+t2，解得．当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+16﹣2t）2，∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2，即3t2﹣32t+144＝0，∵Δ＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，∴方程无实根，综上可知，当秒或秒时，△PQD是等腰三角形．6．（2023春•和平区校级月考）已知▱ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D 运动．（1）如图1，运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB＝BP，求∠ABC的度数．（2）如图2，在（1）的条件下，连结CP并延长，与AB的延长线交于点F，连结DF，若CD＝2cm，直接写出：△DPF的面积为cm2．（3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时Q点也停止，设运动时间为t（t＞0），若AD＝12cm，则t＝秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．【分析】（1）可证AB＝AP，从而可证AB＝BP＝AP，即可求解；（2）设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，可得S△DPF＝S△P AB，即可求解；（3）当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，进行分类讨论：①当12﹣t＝12﹣4t时，②当12﹣t ＝24﹣4t时，③当12﹣t＝4t﹣12时，④当12﹣t＝4t﹣24时，⑤当12﹣t＝36﹣4t时，⑥当12﹣t＝4t﹣36时，即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠CBP，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∵AB＝BP，∴AB＝BP＝AP，∴△ABP是等边三角形，∴∠ABP＝60°，∴∠ABC＝120°．（2）如图，设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△CDF＝•CD＝S▱ABCD，S△PBC＝h2•BC＝S▱ABCD，∴S△PBC＝S△CDF＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S▱ABCD，∴S△P AB+S△PCD＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S△P AB+S△PCD，∴S△DPF＝S△P AB，∵△ABP是等边三角形，∴S△DPF＝S△P AB＝＝3，故答案为：；（3）∵PD∥BQ，∴当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，∵（s），∴0≤t＜12，①当12﹣t＝12﹣4t时，解得：t＝0（不合题意，舍去）；此时当P与A重合，Q与C重合；②当12﹣t＝24﹣4t时，解得：t＝4；③当12﹣t＝4t﹣12时，解得：t＝4.8；④当12﹣t＝4t﹣24时，解得：t＝7.2；⑤当12﹣t＝36﹣4t时，解得：t＝8；⑥当12﹣t＝4t﹣36时，解得：t＝9.6；综上所述：t为4秒或4.8秒或7.2秒或8秒或9.6秒．类型二“三定一动”求平行四边形的顶点坐标当平面直角坐标系中有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；【典题练习】7．（2022春•西双版纳期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是．【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣2，0）③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）综上所述，点D的坐标是（﹣2，0）或（4，0）或（2，2）；故答案为：（4，0）或（﹣2，0）或（2，2）．8．（2018春•大邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2；（3）若以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的点D的坐标．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2；（3）分别以AB、BC、AC为对角线画平行四边形可得到D点坐标．【解答】解：（1）如图，△A11C1为所作；（2如图，△A2B2C2为所作；（3）满足条件的点D的坐标为（2，2）或（﹣4，﹣2）或（﹣6，4）．9．（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以O，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性得出OA和OB的值，然后确定A点和B点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）根据△ABC的面积为15，得出AC的长，确定C点的坐标即可；（3）分情况根据平行四边形的性质分别求出P点的坐标即可．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入A点和B点的坐标得，解得，∴直线AB的解析式为y＝；（2）∵△ABC的面积为15，∴AC•OB＝15，即AC×6＝15，∴AC＝5，∵OA＝8，∴OC＝OA﹣AC＝8﹣5＝3，即C（﹣3，0）；（3）存在，∵D点在直线AB上，设D（a，a+6），∵BC平分∠ABO，∴CD＝OC，即＝3，解得a＝﹣，∴D（﹣，），设直线DE的解析式为y＝sx+t，∴，解得，∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣4，∴E（0，﹣4），设点P的坐标为（m，n），①以CE为对角线时，此时以O，C，E，P为顶点的四边形是矩形，∵O（0，0），C（﹣3，0），E（0，﹣4），∴P（﹣3，﹣4）；②以OE为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P'（3，﹣4）；③以OC为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P''（﹣3，4）；综上所述，符合条件的P点坐标为（﹣3，﹣4）或（3，﹣4）或（﹣3，4）．类型三“两定两动”求平行四边形的顶点坐标当坐标系中有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同类型二。
2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案
2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案一、平行四边形1．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD 的度数．归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论．【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析.【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF 垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可．试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，∵EG∥AD，DE=EF，∴EG=AD=1，∵AB=AE，∴点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，∴AF垂直平分线段BE，∴OB=OE，∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，∴△BOP≌△EOG，∴BP=EG=1，即P为BC的中点，∴∠DAF=90°﹣∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°；（2）∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，∴∠1+∠2=×90°=45°，即∠FAG=45°，则∠AFD=90°﹣45°=45°；（3）如图2所示，∠AFE的大小不会发生变化，∠AFE=45°，作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，∴∠BAE=90°+2α，∴∠FAE=∠BAE=45°+α，∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°，在Rt△AFG中，∠AFE=90°﹣45°=45°．考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.2．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．3．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．【答案】(1)见解析；（2）33）见解析【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.试题解析：（1）证明：连接AC，∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠ADC=60°∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD为等边三角形∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF．（ASA）∴BE=CF．（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF．故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值．作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC===；（3）解：由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=﹣=．点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．4．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度5．如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点，分别延长CO到点G，OC到点E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG．（1）如图1，若正方形OEFG的对角线交点为M，求证：四边形CDME是平行四边形．（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，如图2，连接AG′，DE′，求证：AG′=DE′，AG′⊥DE′；（3）在（2）的条件下，正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边相交于点N，如图3，设旋转角为α（0°＜α＜180°），若△AON是等腰三角形，请直接写出α的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．【解析】【分析】（1）由四边形OEFG是正方形，得到ME=12GE，根据三角形的中位线的性质得到CD∥GE，CD=12GE，求得CD=GE，即可得到结论；（2）如图2，延长E′D交AG′于H，由四边形ABCD是正方形，得到AO=OD，∠AOD=∠COD=90°，由四边形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90°，由旋转的性质得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根据全等三角形的性质得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，即可得到结论；（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形OEFG 是正方形，∴ME=12GE ， ∵OG=2OD 、OE=2OC ， ∴CD ∥GE ，CD=12GE ， ∴CD=GE ，∴四边形CDME 是平行四边形；（2）证明：如图2，延长E′D 交AG′于H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AO=OD ，∠AOD=∠COD=90°，∵四边形OEFG 是正方形，∴OG′=OE′，∠E′OG′=90°，∵将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，∴∠G′OD=∠E′OC ，∴∠AOG′=∠COE′，在△AG′O 与△ODE′中，OA OD AOG DOE OG OE ⎧⎪∠'∠'⎨⎪''⎩＝＝＝，∴△AG′O ≌△ODE′∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O ，∵∠1=∠2，∴∠G′HD=∠G′OE′=90°，∴AG′⊥DE′；（3）①正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD 的边AD 相交于点N ，如图3，Ⅰ、当AN=AO 时，∵∠OAN=45°，∴∠ANO=∠AON=67.5°，∵∠ADO=45°，∴α=∠ANO-∠ADO=22.5°；Ⅱ、当AN=ON 时，∴∠NAO=∠AON=45°，∴∠ANO=90°，∴α=90°-45°=45°；②正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD 的边AB 相交于点N ，如图4，Ⅰ、当AN=AO 时，∵∠OAN=45°，∴∠ANO=∠AON=67.5°，∵∠ADO=45°，∴α=∠ANO+90°=112.5°；Ⅱ、当AN=ON 时，∴∠NAO=∠AON=45°，∴∠ANO=90°，∴α=90°+45°=135°，Ⅲ、当AN=AO 时，旋转角a=∠ANO+90°=67.5+90=157.5°，综上所述：若△AON 是等腰三角形时，α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当△AON 是等腰三角形时，求α的度数是本题的难点．6．△ABC 为等边三角形，AF AB =．BCD BDC AEC ∠=∠=∠．(1)求证：四边形ABDF 是菱形．(2)若BD 是ABC ∠的角平分线，连接AD ，找出图中所有的等腰三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．【解析】【分析】（1）先求证BD∥AF，证明四边形ABDF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）先利用BD平分∠ABC，得到BD垂直平分线段AC，进而证明△DAC是等腰三角形，根据BD⊥AC,AF⊥AC，找到角度之间的关系,证明△DAE是等腰三角形，进而得到BC＝BD＝BA＝AF＝DF，即可解题,见详解.【详解】(1)如图1中，∵∠BCD＝∠BDC，∴BC＝BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∵AB＝AF，∴BD＝AF，∵∠BDC＝∠AEC，∴BD∥AF，∴四边形ABDF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABDF是菱形．(2)解：如图2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴△DAC是等腰三角形，∵AF∥BD，BD⊥AC∴AF⊥AC，∴∠EAC＝90°，∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE，∴△DAE是等腰三角形，∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，综上所述，图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．【点睛】本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．7．如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．（1）求证：△AED≌△CEB′；（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得；（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠∴BC＝B'C，∠B＝∠B'∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC∴△ADE≌△B'EC（2）四边形AECF是菱形∵△ADE≌△B'EC∴AE＝CE∵AE＝CE，EF⊥AC∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF∴AF＝CF∵CD∥AB∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF∴∠AEF＝∠EFA∴AF＝AE∴AF＝AE＝CE＝CF∴四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．8．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的关系是___；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）成立；（3）成立.【解析】试题分析：（1）只要证明四边形CDGF是平行四边形即可得出FG=CE，FG∥CE；（2）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=C，FG∥CE；（3）证明△CBF≌△DCE后，即可证明四边形CEGF是平行四边形．试题解析：解：（1）FG=CE，FG∥CE；（2）过点G作GH⊥CB的延长线于点H．∵EG⊥DE，∴∠GEH+∠DEC=90°．∵∠GEH+∠HGE=90°，∴∠DEC=∠HE．在△HGE与△CED中，∵∠GHE=∠DCE，∠HGE=∠DEC，EG=DE，∴△HGE≌△CED（AAS），∴GH=CE，HE=CD．∵CE=BF，∴GH=BF．∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF=BH，FG∥CH，∴FG∥CE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，∴HE=BC，∴HE+EB=BC+EB，∴BH=EC，∴FG=EC；（3）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°．在△CBF与△DCE中，∵BF=CE，∠FBC=∠ECD，BC=DC，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF=∠CDE，CF=DE．∵EG=DE，∴CF=EG．∵DE⊥EG，∴∠DEC+∠CEG=90°．∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF平行四边形，∴FG∥CE，FG=CE．9．猜想与证明：如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．【答案】猜想：DM=ME，证明见解析；（2）成立，证明见解析.【解析】试题分析：延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（1）、延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（2）、连接AE，根据正方形的性质得出∠FCE=45°，∠FCA=45°，根据RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根据RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，从而说明DM=ME.试题解析：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=DE，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．（1）、如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM∴DM=HM=ME，∴DM=ME，（2）、如图2，连接AE，∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，∴AE和EC在同一条直线上，在RT△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF，在RT△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME，∴DM=ME．考点：（1）、三角形全等的性质；（2）、矩形的性质.10．(1)问题发现如图1,点E. F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；(2)类比引申如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E. F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF；(3)联想拓展如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC 满足的等量关系，并写出推理过程。
(完整版)特殊的平行四边形(压轴题)
特殊平行四边形1、如图，四边形OABC 与四边形ODEF 都是正方形。
（1）当正方形ODEF 绕点O 在平面内旋转时，AD 与CF 有怎样的数量和位置关系?证明你的结论；（2）若ODEF 绕点O 旋转,当点D 转到直线OA 上时,DCO 恰好是30°,当点D 转到直线OA或直线OC 上时，求AD 的长。
（本小题只写出结论，不必写出过程)FEDCBAO2、如图，在正方形ABCD 中,点P 是射线BC 上的任意一点（点B 与点C 除外),连接DP ，分别过点C 、A 作直线DP 的垂线,垂足为点E 、F.（1）当点P 在BC 的延长线上时，那么线段AF 、CE 、EF 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； （2）当点P 在BC 边上时，正方形的边长为2,AF 、CE 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； （3）在（2）的条件下，当CE=1时，求EF 的长.P FEDCB A DCBA3、菱形ABCD 中,点E 、F 分别在BC 、CD 边上，且B EAF ∠=∠。
（1）如果B ∠=60°，求证：AE=AF ； （2）如果）（︒<<︒=∠900ααB ，(1）中的结论：AE=AF 是否依然成立,请说明理由。
（3）如果AB 长为5,菱形ABCD 面积为20，BE=a ，求AF 的长。
(用含a 的式子表示）FED CBA4、如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合）.过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G 。
（1）BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系?证明你的结论.（2）连接DF ，如果正方形的边长为2,设AE=a ，求△DFG 的面积。
（用含a 的式子表示)（3）如果正方形的边长为2,FG 的长为25,求点C 到直线DE 的距离。
GFEDCBA5、已知,在矩形ABCD 中，AB=10，BC=20，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE=2。
八年级平行四边形压轴题
八年级平行四边形压轴题一、选择题（每题3分，共15分）1. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC = 8，BD = 10，AB = 6，则△OAB的周长为（）- A. 12.- B. 15.- C. 20.- D. 16.- 解析：- 因为平行四边形对角线互相平分，所以OA = 1/2AC = 4，OB = 1/2BD = 5。
- 又已知AB = 6，所以△OAB的周长为OA+OB + AB=4 + 5+6 = 15。
答案为B。
2. 平行四边形ABCD中，∠A:∠B = 2:1，则∠C的度数为（）- A. 60°.- B. 120°.- C. 45°.- D. 30°.- 解析：- 因为平行四边形邻角互补，即∠A+∠B = 180°，又∠A:∠B = 2:1，设∠B=x，则∠A = 2x，所以2x+x=180°，解得x = 60°。
- ∠A = 120°，平行四边形对角相等，所以∠C=∠A = 120°。
答案为B。
3. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）- A. AB = CD，AD = BC.- B. AB∥CD，AB = CD.- C. AB = CD，AD∥BC.- D. AB∥CD，AD∥BC.- 解析：- 根据平行四边形的判定定理，A选项两组对边分别相等可判定是平行四边形；B 选项一组对边平行且相等可判定是平行四边形；D选项两组对边分别平行可判定是平行四边形。
- C选项一组对边相等，另一组对边平行，不能判定是平行四边形，答案为C。
4. 平行四边形ABCD的周长为36cm，AB = 8cm，则BC的长为（）- A. 10cm.- B. 16cm.- C. 14cm.- D. 28cm.- 解析：- 平行四边形的周长等于两组对边之和，即2(AB + BC)=36，已知AB = 8cm，代入可得2(8 + BC)=36，16+2BC = 36，2BC = 20，BC = 10cm。
八年级下册---平行四边形压轴题解析
八年级下册---平行四边形压轴题一．选择题（共15小题）1．（2012•玉环县校级模拟）如图，菱形ABCD中，AB=3，DF=1，∠DAB=60°，∠EFG=15°，FG⊥BC，则AE=（）C D2．（2015•泰安模拟）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论：①CP平分∠BCD；②四边形ABED为平行四边形；③CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分；④△ABF为等腰三角形，其中不正确的有（）3．（2014•武汉模拟）如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（）4．（2014•市中区一模）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′=AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠ADB′=75°；④∠CB′D=135°．其中正确的是（）5．（2014•江阴市二模）在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB=AB；③CF⊥DP；④FC=EF其中正确的是（）6．（2014•武汉模拟）如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC 交DE于N，下列结论：①GM⊥CM；②CD=CM；③四边形MFCG为等腰梯形；④∠CMD=∠AGM．其中正确的有（）7．（2013•绍兴模拟）如图，△ABC纸片中，AB=BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线；④BF+CE=DF+DE．8．（2013•惠山区校级一模）如图，已知在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB﹔②点B到直线AE的距离为﹔③EB⊥ED﹔④S△APD+S△APB=0.5+．其中正确结论的序号是（）9．（2013•江苏模拟）在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE=AP=1，PB=，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③S正方形ABCD=4+；其中正确的是（）10．（2013•武汉模拟）如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO 于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连结EG、OF．则∠OFG的度数是（）11．（2012•武汉）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点11+﹣11+11+或12．（2012•河南模拟）如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB 于点G，则S△CEF：S△DGF等于（）13．（2012•杭州模拟）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为28cm2，四边形ABCD面积是18cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）于点F．若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG、BG，∠BDG的大小是（）15．（2012•碑林区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）八年级下册---平行四边形压轴题参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2012•玉环县校级模拟）如图，菱形ABCD中，AB=3，DF=1，∠DAB=60°，∠EFG=15°，FG⊥BC，则AE=（）C D，AE=AH+HE=1+．2．（2015•泰安模拟）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论：①CP平分∠BCD；②四边形ABED为平行四边形；③CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分；④△ABF为等腰三角形，其中不正确的有（），，，3．（2014•武汉模拟）如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（）EF=ACEF=AC4．（2014•市中区一模）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′=AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠ADB′=75°；④∠CB′D=135°．其中正确的是（）=，==，5．（2014•江阴市二模）在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB=AB；③CF⊥DP；④FC=EF其中正确的是（）6．（2014•武汉模拟）如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC 交DE于N，下列结论：①GM⊥CM；②CD=CM；③四边形MFCG为等腰梯形；④∠CMD=∠AGM．其中正确的有（）7．（2013•绍兴模拟）如图，△ABC纸片中，AB=BC＞AC，点D是AB边的中点，点E在边AC上，将纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．则下列结论成立的个数有（）①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线；④BF+CE=DF+DE．8．（2013•惠山区校级一模）如图，已知在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB﹔②点B到直线AE的距离为﹔③EB⊥ED﹔④S△APD+S△APB=0.5+．其中正确结论的序号是（），判断出PE=AE=BE==×1+×=0.5+的距离为9．（2013•江苏模拟）在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE=AP=1，PB=，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③S正方形ABCD=4+；其中正确的是（）PD BE=，所以=2+，PB=，由勾股定理得：BE=，PD=BE=，PD BE=，=2+．故选项10．（2013•武汉模拟）如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO 于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连结EG、OF．则∠OFG的度数是（）11．（2012•武汉）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点11+﹣11+11+或AE=代入求出BE=DF=3﹣，，在BE=DF=3CF=5+3CE+CF=11+12．（2012•河南模拟）如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB 于点G，则S△CEF：S△DGF等于（），13．（2012•杭州模拟）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为28cm2，四边形ABCD面积是18cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）×EM=xx14．（2012•淄博模拟）则在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG、BG，∠BDG的大小是（）15．（2012•碑林区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）。
备战中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案
备战中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案一、平行四边形1．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3）∠BHO=45°．【解析】试题分析：（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根据正方形的性质得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断AG⊥BE；（2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立；（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO 平分∠BHG，即∠BHO=45°．试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCG；②AG⊥BE．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，∵∠DAG=∠DCG，∴∠DAG=∠ABE，∵∠DAG+∠BAG=90°，∴∠ABE+∠BAG=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE；（2）由（1）可知AG⊥BE．如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．∴∠MON=90°，又∵OA⊥OB，∴∠AON=∠BOM．∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OAN=∠OBM．在△AON与△BOM中，∴△AON≌△BOM（AAS）．∴OM=ON，∴矩形OMHN为正方形，∴HO平分∠BHG．（3）将图形补充完整，如答图2示，∠BHO=45°．与（1）同理，可以证明AG⊥BE．过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，与（2）同理，可以证明△AON≌△BOM，可得OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，∴∠BHO=45°．考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质2．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣x）．（2）S的最大值为，此时x=2．（3）x=，或x=，或x=．【解析】试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求；②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标．（2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式．（3）本题要分类讨论：①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值；②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值．③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN 的长，联立CN的表达式即可求出x的值．试题解析：（1）过点P作PQ⊥BC于点Q，有题意可得：PQ∥AB，∴△CQP∽△CBA，∴∴解得：QP=x，∴PM=3﹣x，由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），P点坐标为（x，3﹣x）．（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=4﹣x，NC边上的高为，其中，0≤x≤4．∴S=（4﹣x）×x=（﹣x2+4x）=﹣（x﹣2）2+．∴S的最大值为，此时x=2．（3）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=．②若CP=CN，则CN=4﹣x，PQ=x，CP=x，4﹣x=x，∴x=；③若CN=NP，则CN=4﹣x．∵PQ=x，NQ=4﹣2x，∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，∴（4﹣x）2=（4﹣2x）2+（x）2，∴x=．综上所述，x=，或x=，或x=．考点：二次函数综合题．3．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．4．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．①求证△ADB≌△AOB；②求点H的坐标．（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（175，3）；（3）30334-≤S 30334+【解析】【分析】（1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题；（2）①根据HL证明即可；②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题；（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图①中，∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3，∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，∴AD=AO=5，在Rt△ADC中，CD=22=4，AD AC∴BD=BC-CD=1，∴D（1，3）．（2）①如图②中，由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，∵点D在线段BE上，∴∠ADB=90°，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2，∴m=17，5∴BH=175，∴H（175，3）．（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=12•DE•DK=12×3×（5-342）=303344-，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=12×D′E′×KD′=12×3×（5+342）=303344+．综上所述，303344-≤S≤303344+．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．5．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【答案】(1)见解析；（2）18°.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．6．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．（1）求证：△DOE≌△BOF．（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF （ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．试题解析：（1）∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD 和△FOB 中，∴△DOE ≌△BOF （ASA ）；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴OE=OF ，又∵OB=OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形， ∵∠EOD=90°，∴EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．7．已知矩形纸片OBCD 的边OB 在x 轴上，OD 在y 轴上，点C 在第一象限，且86OB OD ==，.现将纸片折叠，折痕为EF （点E ，F 是折痕与矩形的边的交点），点P 为点D 的对应点，再将纸片还原。
初中八年级 平行四边形 拔高题 综合题 压轴题(含答案)
初中八年级平行四边形拔高题综合题压轴题(含答案)题目一已知平行四边形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm，过点B作平行于AD的直线与AC交于点E，连接DE交BC的延长线于点F。
求EF的长度。
答案一连接DE并延长交BC于点G，根据平行四边形的性质，我们知道AG || DE。
所以AG || BF。
由此可得∆BFG与∆BCD为三角形对应边平行，则根据平行线截断比定理可知：$\frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{FG}}{{GC}}$又已知$BE = BC + CE$，$CE = BD$，$BC = 8$，代入得：$\frac{{8+BD}}{{BD}} = \frac{{FG}}{{GC}}$整理可得：$\frac{{BD}}{{FG}} = \frac{{GC}}{{8+BD}}$ 由于$FG = GD$，所以：$\frac{{BD}}{{FG}} = \frac{{BD}}{{GD}} = 1$ 代入可得：$\frac{{1}}{{1}} = \frac{{GC}}{{8+BD}}$整理得：$BD = GC - 8$题目中已知BC=8，所以GC=16。
代入可得：$BD = 16 - 8 = 8$所以EF的长度等于BD，即EF=8cm。
题目二平行四边形PQRS中，已知PR = 5cm，PQ = 6cm，PS = 7cm。
点A在PS上，且PA的长度是PS的一半。
连接AQ并延长交QR 的延长线于点B，连接RP交QA的延长线于点C。
求BC的长度。
答案二设PS的长度为2x，则PA = x。
由平行四边形的性质可知AQ || RB，所以根据平行线截断比定理：$\frac{{RP}}{{PC}} = \frac{{AQ}}{{CQ}}$代入已知条件，得：$\frac{{2x + 6}}{{PC}} = \frac{{4}}{{2x - 6}}$ 整理可得：$(2x + 6)(2x - 6) = 4PC$解方程得：$x = 3$所以PA = 3cm。
特殊的平行四边形中的最值模型-瓜豆模型(原理)(解析版)
特殊的平行四边形中的最值模型-瓜豆模型(原理)动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。
掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。
本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为直线型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，故只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型：运动轨迹为直线型1)如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．2)如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1)当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。
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初中数学备课组 教师 班级 初二
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教学内容：压轴题综合
1、如图，四边形OABC 与四边形ODEF 都是正方形。
（1）当正方形ODEF 绕点O 在平面内旋转时，AD 与CF 有怎样的数量和位置关系？并证明你的结论；
（2）若OA=3，正方形ODEF 绕点O 旋转，当点D 转到直线OA 上时，DCO 恰好是30°，试问：当点D 转到直线OA 或直线OC 上时，求AD 的长。
（本小题只写出结论，不必写出过程）
F
E D
C B
A
O
2、如图，一次函数24y x =+的图像与x y 、轴分别相交于点A 、B ，以AB 为边作正方形ABCD 。
（1）求点A 、B 、D 的坐标；
（2）设点M 在x 轴上，如果△ABM 为等腰三角形，求点M 的坐标。
（3）若在x ，y 轴上分别由两点P, Q ，使得P ，Q ，B ，C 四点组成的四边形为平行四边形
3、如图，在正方形ABCD 中，点P 是射线BC 上的任意一点（点B 与点C 除外），连接DP ，分别过点C 、A 作直线DP 的垂线，垂足为点E 、F 。
（1）当点P 在BC 的延长线上时，那么线段AF 、CE 、EF 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论；
（2）当点P 在BC 边上时，正方形的边长为2，设,CE x AF y ==。
求y 与x 的函数关系式，并写出函 数的定义域；
（3）在（2）的条件下，当1x =时，求EF 的长。
P
F E
D
C B A
D C
B
A
4、直线364
y x =-
+与坐标轴分别交与点A 、B 两点，点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止。
点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿A B O →→运动。
（1）直接写出A 、B 两点的坐标；
（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式。
（3）当5
48=
S 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标。
5、如图，矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿M C B A →→→运动，试写出△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像。
M P
D C
B
A
6、菱形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 边上，且B EAF ∠=∠。
（1）如果B ∠=60°，求证：AE=AF;
（2）如果）（︒<<︒=∠900ααB ，（1）中的结论：AE=AF 是否依然成立，请说明理由。
（3）如果AB 长为5，菱形ABCD 面积为20，设y AE x BE ==,，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域。
F
E D
C
B A
7、如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合）。
在点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G 。
（1）由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论。
（2）连接DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域。
（3）如果正方形的边长为2，FG 的长为2
5，求点C 到直线DE 的距离。
G F
E D C
B
A
8、已知，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE=2。
1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积。
2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF=a 时，求△GFC 的面积。
（用含a 的代数式表示） H G
F E D C
B A
G
E
H
F
D C B A
9、如图，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0,2），点B 的坐标为（2,0），经过原点的直线交线段AB 于点C ，过点C 作OC 的垂线与直线2=x 相交于点P ，设BC=t ，点P 的坐标为()y ，2
（1）求点C 的坐标（用含t 的表达式表示）；
（2）求y 关于t 的函数解析式，并写出t 的取值范围；
（3）当△PBC 为等腰三角形时，求点P 的坐标。
Y
X
P
C
B A O
10、如图，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，E 是边AD 上的动点，F 是射线BC 上的一点，BF=EF ，且交射线DC 于点G ，设AE=x ，BF=y 。
（1）当△BEF 是等边三角形时，求BF 的长；
（2）求y 与x 之间的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）把△ABE 沿着直线BE 翻折，点A 落在点'A 处，试探索：△BF A '
能否为等腰三角形？如果能，请写出AE 的长；如果不能，请说明理由。
G
F
E D C B A。