高考总复习天津101中学教学案解三角形单元(教师版全套)
天津101中学高考数学总复习 复数单元精品教学案(教师版全套)
数系的扩充与复数的引入1、了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用.2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件3、了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数重视复数的概念和运算，注意复数问题实数化.第1课时 复数的有关概念1．复数：形如 ),(R b a ∈的数叫做复数，其中a , b 分别叫它的 和 ．2．分类：设复数 (,)z a bi a b R =+∈：(1) 当 ＝0时，z 为实数；(2) 当 ≠0时，z 为虚数；(3) 当 ＝0, 且 ≠0时，z 为纯虚数.3．复数相等：如果两个复数 相等且 相等就说这两个复数相等.4．共轭复数：当两个复数实部 ，虚部 时．这两个复数互为共轭复数．(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)．5．若z ＝a ＋bi, (a, b ∈R), 则 | z |＝ ； z z ⋅＝ .6．复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做 ， 叫虚轴．7．复数z ＝a ＋bi(a, b ∈R)与复平面上的点 建立了一一对应的关系．8．两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就 比较它们的大小.例1. m 取何实数值时，复数z ＝362+--m m m ＋i m m )152(2--是实数？是纯虚数？解：① z 是实数503015122=⇒⎩⎨⎧≠+=--⇒m m m m ② z 为纯虚数2303060151222-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+=--≠--⇒m m m m m m m 或变式训练1：当m 分别为何实数时，复数z=m 2－1＋(m 2＋3m ＋2)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）零？解：（1）m=－1,m=－2；(2)m≠－1,m≠－2；（3）m=1；（4）m=－1．例2. 已知x 、y 为共轭复数，且i xyi y x 643)(2-=-+，求x ．解：设),(,R b a bi a y bi a x ∈-=+=则代入由复数相等的概念可得1,1±=±=b a 变式训练2：已知复数z=1＋i ，如果221z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值．由z=1＋i 得221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i+++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．例3. 若方程0)2()2(2=++++mi x i m x 至少有一个实根，试求实数m 的值.解：设实根为o x ，代入利用复数相等的概念可得o x ＝222±=⇒±m 变式训练3：若关于x 的方程x 2＋(t 2＋3t ＋tx )i=0有纯虚数根，求实数t 的值和该方程的根．解：t=－3,x 1=0,x 2=3i ．提示：提示：设出方程的纯虚数根，分别令实部、虚部为0，将问题转化成解方程组．例4. 复数 (,)z x yi x y R =+∈满足|22|||i z z --=，试求y x 33+的最小值.设),(R y x yi x z ∈+=，则2=+y x ，于是692332=≥+-x x 变式训练4：已知复平面内的点A 、B 对应的复数分别是i z +=θ21sin 、θθ2cos cos 22i z +-=，其中)2,0(πθ∈，设AB 对应的复数为z .(1) 求复数z ；(2) 若复数z 对应的点P 在直线x y 21=上，求θ的值.解：(1) θ212sin 21i z z z --=-=(2) 将)sin 2,1(2θ--P 代入xy 21=可得21sin ±=θ611,67,65,6ππππθ=⇒.1．要理解和掌握复数为实数、虚数、纯虚数、零时，对实部和虚部的约束条件.2．设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R)，利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.第2课时 复数的代数形式及其运算1．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设12, (,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则(1) 21z z ±＝ ；(2) 21z z ⋅＝ ；(3) 21z z ＝ (≠2z ).2．几个重要的结论：⑴ )|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++⑵ z z ⋅＝ ＝ .⑶ 若z 为虚数，则2||z ＝ ()2 z =≠填或3．运算律⑴ n m z z ⋅＝ .⑵ n m z )(＝ .⑶ n z z )(21⋅＝ ),(R n m ∈.例1．计算：ii i i i 2121)1()1(20054040++-++--+ 解：提示：利用i i i i =±=±20052,2)1(原式＝0变式训练1：2=（A ）1- （B ）122+ （C ）122-+ （D ）1解：212===-+ 故选C ； 例2. 若012=++z z ，求2006200520032002z z z z +++解：提示：利用z z z ==43,1原式＝2)1(432002-=+++z z z z变式训练2：已知复数z 满足z 2＋1＝0，则（z 6＋i ）（z 6－i ）＝ ▲ ．解：2例3. 已知4,a a R >∈，问是否存在复数z ，使其满足ai z i z z +=+⋅32（a ∈R ），如果存在，求出z 的值，如果不存在，说明理由解：提示：设),(R y x yi x z ∈+=利用复数相等的概念有⎩⎨⎧==++ax y y x 23222 0034222>∆⇒=-++⇒a y y i a a z a 216224||2-±-+=⇒≤⇒ 变式训练3：若(2)a i i b i -=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则a ＋b ＝__________ 解：3例4. 证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i -+--+=+（i 为虚数单位）无解． 证明：原方程化简为2||(1)(1)1 3.z i z i z i +--+=-设yi x z += (x 、y ∈R ，代入上述方程得22221 3.x y xi yi i +--=-221(1)223(2)x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩ 将（2）代入（1），整理得281250.x x -+=160,()f x ∆=-<∴方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解.变式训练4：已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R, 若12z z -<1z ，求a 的取值范围.解：由题意得 z 1＝151i i-++＝2＋3i,于是12z z -=42a i -+,1z =13.13，得a 2－8a ＋7<0，1<a<7.1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握.2．记住一些常用的结果，如ω,i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.3．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.复数章节测试题一、选择题1．若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 （ ） A 、-6 B 、13 C.32D.13 2．定义运算bc ad d c b a -=,,，则符合条件01121=+-+ii i z ，，的复数_z 对应的点在（ ） A ．第一象限； B ．第二象限； C ．第三象限； D ．第四象限；3．若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（ ）A.－4；B.4；C.－1；D.1；4．复数i i ⋅--2123=（ ）A ．－IB ．IC ． 22－iD ．－22+i6．若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或7．已知复数z 满足2)1()1(i z i +=-，则z ＝（ ） (A) －1+ i (B) 1+i (C) 1－i (D) －1－i8．若复数12,1z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，则实数a 为 ( )A ．1B ．-1C ．1或-1D ．09．如果复数)2)(1(i ai ++的实部和虚部相等，则实数a 等于（ ）（A ）1- （B ）31 （C ）21 （D ）1 10．若z 是复数，且i z 432+-=，则z 的一个值为 （ ）A ．1-2iB ．1+2iC ．2-iD ．2+i11．若复数15z a i =-+为纯虚数，其中,a R i ∈为虚数单位，则51a i ai+-=（ ） A ． i B ． i - C ． 1 D ． 1-12．复数1i i+在复平面中所对应的点到原点的距离为（ ） A ．12 B ．22C ．1D ． 2二、填空题13．设z a bi =+，a ，b ∈R ，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为a ，第二次得到的点数为b ，则使复数z 2为纯虚数的概率为 ．14．设i 为虚数单位，则41i i +⎛⎫= ⎪⎝⎭． 15．若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则z= ．16．．已知实数x ，y 满足条件5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，i z x y =+（i 为虚数单位），则|12i |z -+的最小值是 ．17．复数z=12i+,则|z|= ． 18．虚数（x －2）+ y i 其中x 、y 均为实数，当此虚数的模为1时，xy 的取值范围是（ ） A ．[－33，33] B ．033[-∪（]330 C ．[－3，3] D ．[－3，0∪（0，3]19．已知ii a z --=1 (a>0)，且复数)(i z z +=ω的虚部减去它的实部所得的差等于23，求复数ω的模.20．．复平面内，点1Z 、2Z 分别对应复数1z 、2z ，且i a a z )10(5321-++=，22(25)1z a i a =+--， )(R a ∈其中，若21z z +可以与任意实数比较大小，求21OZ OZ ⋅的值（O 为坐标原点）.复数章节测试题答案一、选择题1． A 2．答案：A 3．答案：B4．答案：B6．答案：A7．A8．B9．B10．B11．D12．B二、填空题13． 61 14．2i15．1i +16．答案：221718． 答案：B ∵⎩⎨⎧≠=+-0y 1y )2x (22, 设k =x y , 则k 为过圆（x －2）2 + y 2 = 1上点及原点的直线斜率，作图如下, k≤3331=, 又∵y≠0 ,∴k≠0.由对称性 选B ．【帮你归纳】本题考查复数的概念,以及转化与化归的数学思维能力，利用复数与解析几何、平面几何之间的关系求解.虚数一词又强调y≠0，这一易错点.【误区警示】本题属于基础题，每步细心计算是求解本题的关键，否则将会遭遇“千里之堤，溃于蚁穴”之尴尬. 19．解：i a a a i z z 221)(2+++=+=ω i a 3232+=⇒=⇒ω523||=⇒ω 20．解：依题意21z z +为实数，可得。
高考数学学业水平合格考试总复习 第10章 三角函数(教师用书)教案-人教版高三全册数学教案
第10章 三角函数考纲展示考情汇总备考指导(1)任意角的概念、弧度制 ①了解任意角的概念．②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.本章的重点是三角函数的定义、图象和性质，难点是三角恒等变换与三角函数图象、性质的综合应用，学习时熟练掌握三角函数的图象和性质是前提条件，熟练掌握和应用三角函数公式，三角恒等变换的方法与技巧是保障.(2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)．理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的单调性．④理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x2017年1月T82018年1月T122018年1月T172019年1月T162020年1月T6⑤了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.三角函数的定义1．任意角和弧度制(1)角的概念及分类：角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形．按旋转方向可分为正角、负角、零角；按终边落在平面直角坐标系中的位置，可分为象限角、轴线角．(2)终边相同角的表示：凡是与角α终边相同的角，都可以表示成α＋k ·360°(k ∈Z )的形式，特例：终边在x 轴上的角的集合为{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，终边在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k ·180°，k ∈Z }，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k ·90°，k ∈Z }．(3)弧长和扇形的面积公式：在弧度制下，扇形的弧长公式为l ＝αr ，扇形的面积公式为S ＝12lr ＝12αr 2，其中α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角的弧度数．2．任意角的三角函数的定义利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数，设P (x ，y )是角α的终边上任意一点(与原点不重合)，记r ＝|OP |＝x 2＋y 2，那么sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．[学考真题对练]1．(2017·1月某某学考)角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点P (5，－2)，以下等式不正确的是( )A ．sin α＝－23B ．sin(α＋π)＝23C ．cos α＝53D ．tan α＝－52D [∵r ＝x 2＋y 2＝52＋－22＝3，sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.∴A，B ，C 正确，D 错误．tan α＝y x ＝－25＝－255.] 2．(2020·1月某某学考)假设sin α>0，且cos α<0，那么角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由sin α>0，可得α为第一、第二及y 轴正半轴上的角； 由cos α<0，可得α为第二、第三及x 轴负半轴上的角． ∴取交集可得，α是第二象限角．应选B ．]3．(2019·1月某某学考)角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (4，－3)，那么cos α＝.45[r ＝42＋－32＝5，cos α＝x r ＝45.]角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；方法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)，那么sin α＝y r，cos α＝x r.当α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．1．(2018·某某市学考模拟题)角β的终边经过点P (1，－2)，那么sin β＝( ) A ．－2 B ．－12C ．－255D ．55C [∵角β的终边经过点P (1，－2)，∴x ＝1，y ＝－2，|OP |＝5，因此根据三角函数的定义可得sin β＝－25＝－255，应选C ．]2．(2019·某某学考模拟题)角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，那么tan α等于( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34D [根据三角函数的定义，知tan α＝y x ＝－34.]3．(2019·揭阳市学考模拟题)设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，那么2sin α＋cosα的值为( )A ．25 B ．25或－25 C ．－25D ．与a 有关C [∵a <0，∴r ＝－4a2＋ 3a2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝y r ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.]4．(2019·某某高一期中)点P (tan α，cos α)在第三象限，那么角α的终边在第象限．二 [因为点P (tan α，cos α)在第三象限，那么tan α<0且cos α<0，故角α的终边在第二象限．]5．(2018·揭阳高一月考)角α的终边经过点P (m ，22)，sin α＝223且α为第二象限．(1)求m 的值；(2)假设tan β＝2，求sin αcos β＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin βcos π＋αcos －β－3sin αsin β的值．[解] (1)由三角函数定义可知sin α＝223＝22m 2＋8，解得m ＝±1，∵α为第二象限角，∴m ＝－1.(2)由(1)知tan α＝－22，sin αcos β＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin βcos π＋αcos －β－3sin αsin β＝－sin αcos β＋3cos αsin βcos αcos β＋3sin αsin β＝－tan α＋3tan β1＋3tan αtan β＝－－22＋321＋－22×32＝211.三角函数的基本关系与诱导公式 [基础知识填充]1．同角三角函数的基本关系式2．三角函数的诱导公式利用三角函数的定义，可以得到诱导公式，即α＋k2π(k ∈Z )与α之间函数值的关系，主要有六组常用的诱导公式：公式一：sin(α＋k ·2π)＝sin α，k ∈Z ， cos(α＋k ·2π)＝cos α，k ∈Z ， tan(α＋k ·π)＝tan α，k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α. [学考真题对练](2018·1月某某学考)假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝23，且0<θ<π，那么tan θ＝.52 [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ＝23，且0<θ<π， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53， ∴tan θ＝sin θcos θ＝53×32＝52.](1)将负角的三角函数化为正角的三角函数． (2)将正角的三角函数化为0～2π的角的三角函数． (3)最后化为锐角的三角函数． 2．求同角三角函数值的一般步骤(1)根据三角函数值的符号，确定角所在的象限； (2)对角所在的象限进行分类讨论； (3)利用两个基本公式求出其余三角函数值；(4)根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出某三角函数值．[最新模拟快练]1．(2018·揭阳高一月考)sin 600°的值是( ) A ．12 B ．32C ．－32D ．－12C [sin 600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°) ＝－sin 120°＝－32.] 2．(2019·某某高二期末)sin α＝14，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( ) A ．14 B ．－14C ．154D ．－154B [cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝－14.]3．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．22B [∵cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝12.]4．(2019·蛇口市学考模拟题)假设sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，那么cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是()A ．－23aB ．－32aC ．23a D ．32a B [由条件得－sin α－sin α＝－a ，故sin α＝a2，原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]5．(2019·某某市学考模拟题)tan θ＝2，那么sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43B ．54C ．－34D ．45D[sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.] 6．(2018·揭阳高一月考)函数y ＝sin 2x －cos x 的值域为．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 [y ＝sin 2x －cos x ＝1－cos 2x －cos x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋54∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54.] 三角函数的图象和性质 [基础知识填充]三角函数的图象与性质 解析式 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 RR{x |x ∈R 且x ≠k π＋x2，k ∈Z }值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎢⎡2k π－π2，⎦⎥⎤2k π＋π2(k ∈Z )上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 (k ∈Z )上递减在[2k π－π，2k π](k ∈Z ) 上递增，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上递减 在开区间⎝⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π (k ∈Z )上都是增函数最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1无对称性 对称中心：(k π，0)(k ∈Z ) 对称轴：对称中心： ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) 对称轴：对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π，0(k ∈Z )对称轴：x ＝k π＋π2，(k ∈Z )x ＝k π，(k ∈Z )无[学考真题对练](2018·1月某某学考)函数f (x )＝4sin x cos x ，那么f (x )的最大值和最小正周期分别为( )A ．2和πB ．4和πC ．2和2πD ．4和2πA [∵f (x )＝2sin 2x ，∴f (x )max ＝2，最小正周期为T ＝2π2＝π，应选A ．]三角函数性质的解法(1)奇偶性的判断方法：由正、余弦函数的奇偶性可判断出y ＝A sin ωx 和y ＝A cos ωx 分别为奇函数和偶函数．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期为2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为π|ω|求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．(4)求三角函数的最值(值域)：形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求最值(值域)．1．(2019·某某学考模拟题)函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，又不是偶函数A [由f (－x )＝－x －sin x ＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，可知f (x )是奇函数．] 2．(2019·某某学考模拟题)以下函数中，周期为2π的是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2D ．y ＝|sin 2x |C [y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π；y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的周期为T ＝2π；y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2.]3．(2019·某某高一期中检测)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A ．65 B ．1 C ．35D ．15A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，那么f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.]4．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1的是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数A [y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，应选A ．]5．(2018·江门市学考模拟题)函数f (x )＝12－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈ZB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈ZC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈ZD ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈ZC [f (x )＝12－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 2＝－12sin 2x ，即求12sin 2x 的单调递减区间：2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z .选C ．]6．(2018·揭阳高一月考)下面结论正确的是( ) A ．sin 400°>sin 50° B ．sin 220°<sin 310° C ．cos 130°>cos 220°D ．cos(－40°)<cos 310°C [A 中sin 400°＝sin 40°<sin 50°；B 中sin 220°＝－sin 40°，sin 310°＝－sin 50°，由于sin 50°>sin 40°，所以sin 220°>sin 310°；C 中cos 220°＝cos 140°<cos 130°；D 中cos(－40°)＝cos 40°，cos 310°＝cos 50°，由于cos 50°<cos 40°，所以cos(－40°)>cos 310°，应选C ．]7．(2019·某某高二月考)假设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ是偶函数，那么φ＝.π2＋k π，k ∈Z [由诱导公式得假设f (x )是偶函数，那么φ＝π2＋k π，k ∈Z .]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 [基础知识填充]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象主要有以下两种方法： ①用“五点法〞作图：用“五点法〞作y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点的纵坐标，描点、连线后得出图象．②用“图象变换法〞作图：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩〞与“先伸缩后平移〞．(ⅰ)先平移后伸缩：y ＝sin x 的图象――――――――――→向左φ＞0或向右φ＜0平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象横坐标变为原来的1ω倍,纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象―――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(ⅱ)先伸缩后平移：y ＝sin x 的图象横坐标变成原来的1ω倍,纵坐标不变y ＝sin ωx 的图象――――――――――――→向左φ ＞0或向右φ ＜0平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中各参数的物理意义：[最新模拟快练]1．(2019·某某高一月考)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度D [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴需要将y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．]2．(2019·某某市学考模拟题)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数D [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数．]3．(2019·某某市学考模拟题)以下函数中，图象的一部分如下图的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 D [由图知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．]4．(2019·某某市学考模拟题)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，那么以下结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 D [函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误．]5．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，那么ω＝.π2 [由两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T 2＝222－22，∴T＝4，∴ω＝π2.]6．(2018·某某市高一期中)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(其中φ为常数，|φ|<π2)的部分图象如下图，那么φ＝.π3 [由2×π3＋φ＝π得φ＝π3.] 7．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)在如下图坐标系中画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．[解] (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2π2＝π，初相为－π4. (2)列表并描点画出图象：x －π2 －3π8 －π8 π83π8 π2 2x －π4 －5π4－π－π2π23π4y 2 1 1－2 1 1＋22故函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象是8．(2018·某某市高一期末)实验室某一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t －π3，t ∈[0,24]．(1)某某验室这一天上午10点的温度；(2)当t 为何值时，这一天中实验室的温度最低． [解] (1)依题意f (t )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t －π3，t ∈[0,24] 实验室这一天上午10点，即t ＝10时，f (10) ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12×10－π3＝4sin π2＝4，所以上午10点时，温度为4 ℃.(2)因为0≤t ≤24，所以－π3≤π12t －π3≤5π3，令θ＝π12t －π3，即－π3≤θ≤5π3，所以y ＝4sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3故当θ＝3π2时，即t ＝22时，y 取得最小值，y min ＝4sin3π2＝－4 故当t ＝22时，这一天中实验室的温度最低．三角函数图象变换的两种方法的注意点三角函数图象变换的方法一先平移后伸缩和方法二先伸缩后平移需要注意以下两点：。
天津101中学2022届高考数学总复习 导数单元精品教学案(教师版全套)
导数及其应用1．了解导数概念的某些实际背景〔如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等〕；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个根本导数公式(c,m x (m 为有理数)，x x a e x x a x x log ,ln ,,,cos ,sin 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法那么，了解复合函数的求导法那么，会求某些简单函数的导数.3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大〔小〕值，以及最大〔小〕值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.第1课时 变化率与导数、导数的计算1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy∆∆的 ，即)(x f '＝ ＝ ．2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内 的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .4．求导数的方法(1) 八个根本求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n∈Q))(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝)('x e ＝ ， )('x a ＝)(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝(2) 导数的四那么运算)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝)('uv ＝ ，)('vu ＝ )0(≠v (3) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，那么复合函数)]([x f θ在点x 处可导，且)(x f '＝ ，即x u x u y y '⋅'='.y=12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy=11)(11)(11)(22020202020+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x .11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x x x xy x x x x x x 变式训练1. 求y=x 在x=x 0处的导数.解 )())((limlim lim00000000000x x x x x x x x x x x x x x x yx x x +∆+∆+∆+-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆.211lim00x x x x x =+∆+=→∆例2. 求以下各函数的导数： 〔1〕;sin 25xxx x y ++=〔2〕);3)(2)(1(+++=x x x y 〔3〕;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y 〔4〕.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521x x x xx x x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin ()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'= 〔2〕方法一 y=〔x 2+3x+2〕〔x+3〕=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11. 方法二 'y =[])3)(2)(1()3()2)(1('+++++'++x x x x x x =[])2)(1()2(）1（'++++'+x x x x 〔x+3〕+〔x+1〕〔x+2〕=〔x+2+x+1〕〔x+3〕+〔x+1〕〔x+2〕=〔2x+3〕〔x+3〕+〔x+1〕〔x+2〕=3x 2+12x+11.典型例题〔3〕∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='〔4〕xx x x x xxy -=+--++=++-=12)1)(1(111111 ，∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='变式训练2：求y=tanx 的导数.解 y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=例3. 曲线y=.34313+x 〔1〕求曲线在x=2处的切线方程；〔2〕求曲线过点〔2，4〕的切线方程.解 〔1〕∵y′=x 2,∴在点P 〔2，4〕处的切线的斜率k='y |x=2=4.∴曲线在点P 〔2，4〕处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 〔2〕设曲线y=34313+x 与过点P 〔2，4〕的切线相切于点⎪⎭⎫ ⎝⎛+3431,300x x A ，那么切线的斜率k='y |0x x ==20x .∴切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即.343232+-⋅=x x x y ∵点P 〔2，4〕在切线上，∴4=,343223020+-x x 即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x ∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练3：假设直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，那么k= .答案 2或41-例4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3.〔1〕求)(x f 的解析式；〔2〕证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.〔1〕解 2)(1)(b x a x f +-='，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,32122b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a 因为a,b ∈Z ，故.11)(-+=x x x f 〔2〕证明 在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,00x x x ．由200)1(11)(--='x x f 知，过此点的切线方程为)()1(11110200020x x x x x x y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+--．令x=1，得1100-+=x x y ，切线与直线x=1交点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11,100x x ．令y=x ，得120-=x y ，切线与直线y=x 的交点为)12,12(0--x x ．直线x=1与直线y=x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为22212211121112100000=--=----+x x x x x ．所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f 〔x 〕=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 的图象过点P 〔0，1〕，且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f 〔x 〕的解析式.解 ∵f〔x 〕的图象过点P 〔0，1〕，∴e=1. ①又∵f〔x 〕为偶函数，∴f〔-x 〕=f 〔x 〕.故ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=ax 4-bx 3+cx 2-dx+e.∴b=0，d=0. ②∴f〔x 〕=ax 4+cx 2+1.∵函数f 〔x 〕在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为〔1，-1〕.∴a+c+1=-1. ③∵)1('f =(4ax 3+2cx)|x=1=4a+2c ，∴4a+2c=1. ④由③④得a=25，c=29-.∴函数y=f 〔x 〕的解析式为.12925)(24+-=x x x f 1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。
2011届高考总复习天津101中学精品教学案：排列组合二项式定理单元(教师版全套)
排列、组合、二项式定理1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题．2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现．第1课时 两个计数原理n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝ 种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：（1）48＋50＋52＝150种 （2）48×50×52＝124800种（3）4150C （4）4150A 变式训练1：在直角坐标x－o －y 平面上，平行直线x=n ，（n=0，1，2，3，4，5），y=n ，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（ ）A 、25个B 、36个C 、100个D 、225个解：在垂直于x 轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y 轴的6条直线中任意取2条，这样的4 条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有22515152626=⨯=⋅C C 个， 故选D 。
2012届高考总复习天津101中学精品教案设计：简易逻辑单元(教师版全套)(吐血推荐)
简易逻辑1. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.2. 学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判-逻辑联结词简易逻辑性一一四种命题及其关系L充分必要条件高考导航1. 简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题.2. 集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.第1课时逻辑联结词和四种命题1. 可以______________ 的语句叫做命题.命题由_______________ 两部分构成；命题有________________ 之分；数学中的定义、公理、定理等都是_______________ 命题.2•逻辑联结词有_______________ ，不含 ____________ 的命题是简单命题.由________________ 的命题是复合命题•复合命题的构成形式有三种：___________________ ,（其中p, q都是简单命题）.3. _________________________________________________________________________ 判断复合命题的真假的方法一真值表：“非p”形式的复合命题真假与p的____________________ 当p 与q都真时，p且q形式的复合命题________________ ，其他情形____________ ;当p与q都时，“ p或q”复合形式的命题为假，其他情形________________ .二、四种命题1. ___________________________________________________ 四种命题：原命题：若p贝U q；逆命题：__________________________________________________ 、否命题：____________ 逆否命题：_______ . _____2. ____________________________________________________ 四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题_________________________________________________ 、否命题____________ 、逆否命题_______________ .原命题与它的逆否命题同_____________________ 、否命题与逆命题同___________ .3. ________________________________________________ 反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其_______________________________________________ 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法.例1•下列各组命题中，满足“ p 或q ”为真，“ p 且q ”为假，“非p ”为真的是 ()A. p :0 = ._ ; q ：0 €B. p :在.\ABC 中，若 cos2A = cos2B ，贝U A = B ; q :y = sin x 在第一象限是增函数C. p :a • b _2.. ab(a,b WR) ; q :不等式 |x . x 的解集为 _：：,0=4解：由已知条件，知命题 p 假且命题q 真.选项(A)中命题p 、q 均假，排除；选项(B)中， 命题p 真而命题q 假，排除；选项(D)中，命题p 和命题q 都为真，排除；故选(C). 变式训练1:如果命题“ p 或q ”是真命题，“ p 且q ”是假命题•那么()A. 命题p 和命题q 都是假命题B. 命题p 和命题q 都是真命题C. 命题p 和命题“非q ”真值不同D. 命题q 和命题p 的真值不同解：D例2.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假 ：(1) 若q <1，则方程x + 2x + q = 0有实根； (2)若 ab = 0，贝U a = 0 或 b = 0 ；⑶若x 2+ y 2= 0，则x 、y 全为零.解：⑴ 逆命题：若方程 x 2+ 2x + q = 0有实根，则q v 1，为假命题.否命题：若 q 》1,则 方程x 2+ 2x+ q = 0无实根，为假命题.逆否命题：若方程 x 2+ 2x + q = 0无实根，则q 》1, 为真命题.⑵ 逆命题：若a = 0或b = 0,贝U ab = 0,为真命题.否命题：若ab z 0,贝U a ^ 0且b * 0,为真命题. 逆否命题：若a * 0且b * 0，则ab * 0,为真命题. (3) 逆命题：若x 、y 全为零，则x 2+ y 2= 0,为真命题.2 2否命题：若x + y * 0，则x 、y 不全为零，为真命题. 逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2+ y 2* 0,为真命题.变式训练2:写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假： (1) 如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等； (2) 矩形的对角线互相平分且相等； (3 )相似三角形一定是全等三角形 . 解：(1)否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都 相等”. 原命题为真命题，否命题也为真命题 .(2) 否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题 •(3) 否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形” 原命题是假命题，否命题是真命题 • 例3.已知p ： x 2 mx有两个不等的负根，q ： 4x 2 4(^2)x ^0无实根.若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围.D. p :圆x_12 (y ^)2 J 的面积被直线x=1平分;2 2q ：椭圆 八」的一条准线方程是分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以,“p 假且q 真”或“ p 真且q 假” •可先求出命题p 及命题q 为真的条件，再分类讨论. 解：p ： x 2 mx-^0有两个不等的负根.q ： 4x 2 -.-4(m _2)x 1 =0无实根.U 乜=l6（m _2）2 _16 ：：：0二1 ：：：m ：：：3因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反. （11）当p 假且q 真时，有1寫3»代2 .综合，得m 的取值范围是{ m1 ：：：m 空2或m _3 }.变式训练3:已知a>0,设命题p:函数y=a x在R 上单调递减，q ：不等式x+|x-2a|>1的解集 为R,若p 和q中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围.解：由函数y=a x在R 上单调递减知0<a<1,所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a<1, 令 y=x+|x-2a|,广则y=/xJ a （x 吕a ）,不等式x+|x-2a|>1的解集为R 只要y min >1即可，而函数y 在R 上 2a （x £2a ）. 的最小值为2a ,所以2a>1,即a>丄即q 真二a>!-若p 真q 假，则0<a w -；若p 假q 真，2 2 2则a > 1,所以命题p 和q 有且只有一个命题正确时a 的取值范围是 0<a w -或a > 1.2例 4.若 a , b , c 均为实数，且 a =x 2- 2y + ' , b = y 2- 2z + ' , c = z 2- 2x + '.求证：a 、2 3 6b 、c 中至少有一个大于 0.证明：假设a,b,c 都不大于0，即a 乞0, b 空0, c 乞0,则a b ^0 而 a b c =x 2 -2yy 2 -2z 'z 2 -2x ■— 23 6=(x -1)2 (y —1)2 (z —1)2 ：嘖一3■■ (x -1)2 (y -1)2 (z -1)2 _0，二 一3 0 .a b c ・0这与a b c -0相矛盾.因此a,b,c 中至少有一个大于0.变式训练4:已知下列三个方程：① x 2+ 4ax -4a + 3= 0,②x 2+ (a - 1)x + a 2= 0，③x 2+ 2ax —2a = 0中至少有一个方程有实根，求实数 a 的取值范围. 解：设已知的三个方程都没有实根.=(4a)24( 4a 一3) ：：:0则 <氏=(a —1)2Ta 2£0A=(2a)2Pa <0当p 真且q 假时，有=m _3解得_3 :: a ：：1.2故所求a的取值范围是a>- 1或a w—3.1. 有关“ p或q”与“ p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p或q”还是“ p且q”形式.2. 当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法.3. 反证法的第一步为否定结论，需要掌握常用词语的否定（如“至少”等），而且推理过程中，一定要把否定的结论当条件用，从而推出矛盾.用反证法证明命题的一般步骤为：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确.第2课时充要条件充分条件：如果p=q2. 必要条件：如果q=P则p叫做q的____________ 条件，q叫做p的__________ 条件.3. 充要条件：如果p=q且q=p则p叫做q的_______________ 条件.例1.在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由.1. A : P _2, p • R , B:方程x2px ■ p ^0 有实根；2. A =2k「：,（k WZ）, B：sin（：£亠『）=sin ：：£」sin 卜；13. A：2x -3 .1 ；B: 一0 ；x2+x—64. A:圆x2亠y2 =r2与直线ax 亠by 亠c=0相切，B: c2 =（a2亠b2）r2.分析：要判断A是B的什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可.解：（1）当| p 2，取p =4，则方程x2■ 4x • 7 =0无实根；若方程x2■ px ■ p • 3 =0有实根，则由.「0推出p2 -4（ p七）_0=p^d或p_6，由此可推出p _2 .所以A是B的必要非充分条件.（2）若〉■ : =2k?.贝U sin :二亠sin ： =sin ：：£rin（2k-：- ：•）=sin.：：—sin =0,又sin（、：. I，）=sin2k：=0所以sin（:;亠I ''） =sin "sin朴成立若sin（x T，） =sin :：£ rin 成立取：.=0, - - ■■:，知:---=2k二不一定成立，故A是B的充分不必要条件.（3）由2xd 1 : x ：：:1或x 2，由J一0解得x ：：:<或x 2，所以A推不出B,但B可以x +x—6推出A,故A是B的必要非充分条件.⑷直线ax by c =0与圆x2 y2 =r2相切二圆（0 , 0）到直线的距离 d ，即一C—= <a2+b2r f ： c2= (a2 - b2)r2.所以A是B的充要条件.变式训练1 :指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)(1 )在厶ABC中，p：/ A=Z B, q：sinA=sinB :(2)对于实数x、y, p: x+y丰8,q:x丰2或y丰6;(3)非空集合A、B 中，p: x € A U B, q：x € B2 2(4)已知x、y € R, p： (x-1 ) + (y-2 ) =0, q： (x-1 ) (y-2 ) =0.解：(1 )在厶ABC中，/ A=/ B= sinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180° ),所以只有A=B.故p是q的充要条件.⑵易知：一p:x+y=8, — q:x=2且y=6,显然一q=. p.但一p - q,即一q是一p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件•(3)显然x€ A U B不一定有x € B,但x € B 一定有x € A U B,所以p是q的必要不充分条件•⑷条件p：x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以p= q但q=：p,故p是q的充分不必要条件•例2.已知p：—2< m K 0, 0 v n< 1; q：关于x的方程x2+ m灶n= 0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.一2解：若方程x + mx+ n= 0有两个小于1的正根，设为X1、X2.则0< X1< 1、0< X2< 1, v X1 + X2= —m X1X2= n••• 0<—m< 2, 0< n< 1 /•—2< m< 0, 0< n< 1••• p是q的必要条件.又若一2< rx 0, 0< n< 1，不妨设m=—1, n= 1.2则方程为x2—x + 1= 0,•.•△= ( —1)2—4X丄=—1 < 0. ••方程无实根•- p是q的非充2 2分条件.综上所述，p是q的必要非充分条件.2变式训练2:证明一元二次方程ax +bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明：充分性：若ac<0,则b2-4ac>0,且c <0,a••方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，则==b2-4ac>0,x 1X2=- <0, • ac<0.a综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.例3.已知p：|1 —乞巴| < 2, q ：: x2—2x+1 —m w 0(m>0)，若「p是「q的必要而不充分条3件，求实数m的取值范围.解：由题意知：命题：若「p是「q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q 的充分不必要条件.X ―1x —1x —1p: |1 —U I w 2= —2W ——1 w 2二—1 w — w 3= —2w x< 103 3 32 2q: x —2x+1 —m w 0= [x—(1 —n) ] [x—(1+m 】w 0* v p是q的充分不必要条件，•••不等式|1x=1 | < 2的解集是x2—2x+ 1 —m i< 0( m>0)解集的子集3又••• n>0,「.不等式*的解集为1 —x w 1 + m1 _m 兰/ m >31 4m 兰10 r >9•实数m的取值范围是• rri> 9, [9, +s )变式训练3:已知集合个取值范围，使它成为M 二{x||x 1| |x_3| 8}和集合P={x|x2(a_8)x_8a 乞0}，求a 的一M P ={x|5 ：：^<8}的一个必要不充分条件•解：M 二{x|x ：：：；或x 5} , P ={x|(x a)(x_8)乞0}由M P={x|5：：:x_&时，52乞3,此时有a乞3,但a_3 = M P={x|5 ：：x_$所以a兰3是M n P吗x|5 <x兰8}是必要但不充分条件■说明：此题答案不唯一■例4."函数y= (a2+ 4a —5)x2—4( a—1)x+ 3的图象全在x轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是什么？解：函数的图象全在x轴上方，若f(x)是一次函数，则_4(a _1) =0若函数是二次函数，则: a24a -5 0：4<a -1)2_1Qa24a -5) —"9反之若|亠：：：19，由以上推导，函数的图象在x轴上方，综上，充要条件是吃a：：：19 .变式训练4:已知P= {x | |x —1| | >2} , S= {x | x2 +(a.1)x .a .o?,且/ P的充要条件分析：X • P的充要条件是X* S，即任取x • P— x • S • P-S，反过来，任取X • S— x・P是S，求实数a的取值范围.-S P S=P据此可求得a的值.解：；x • P的充要条件是* SP二S. P={X || x —1| >2}}=(一匚一1)(3，二)S= {x | x2 + (a + 1)x + a > 0)} = {x | (x + a)(x + 1) > 0}a 二-3.1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断•不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念.2. 确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明.3. 等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系.4. 对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形(换)而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性.5. 对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个.、选择题 1.A. B. c. D. 简易逻辑章节测试题设集合M 4xx 2},P ={xx ：：：3},那么"x ・M 或P"是"x ・M 门P"的 （） 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件 2.已知p 是r 的充分不必要条件, A.充分不必要条件 C.充要条件s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 的（ B. 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 D. 3. （2009 •合肥模拟）已知条件 则a 的取值范围是 A.a > 1 B.a w 1 C.ap : （ x+1） 2>4,条件q:x>a,且—p 是F 的充分而不必要条件, ）D.a w -3 4. “ a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1 ”的 A.充分而不必要条件C.充分必要条件5. 设集合 M={x|x>2} , P={x|x<3},那么“ x € M 或 x € P ” 是“ x € MA P'的 A.充分不必要条件 B. C.充要条件6. 在下列电路图中， A（） B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 （ 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 （ D. 表示开关 A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件的线路图是 7. （2008 •浙江理， A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D. 8. （ 2008 •北京海淀模拟）若集合 A={1 ,吊}，集合B={2 , 4}，则“ m=2'是“ A A B={4} ” 的 （） A.充分不必要条件 C.充分必要条件2 23）已知a,b 都是实数，那么“ a>b ”是“ a>b ”的 （ B. 必要而不充分条件 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 29.若数列{a n }满足斗=p （p 为正常数，n € N ）,则称{a n }为“等方比数列” a n 甲：数列{a n }是等方比数列； 乙：数列{a n }是等比数列，则 A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 命题 p:若 a 、b - R,则 |a|+|b|>1 是 |a+b|>1D.10. y=、|x -1| -2的充分而不必要条件 •命题 q:函数()A. "p或q”为假 B •“ p且q”为真C. p真q假 D . p假q真二、填空题11. __________________ 已知数列｛a n｝，那么“对任意的n€ N*，点P n(n,a n)都在直线y=2x 1上”是“ ｛%｝为等差数列”的条件.12. 设集合A=｛5,log 2 (a+3) ｝，集合B=｛a, b｝，若A n B=｛2｝，贝U A U B= .213. 已知条件p：|x+1|>2,条件q:5x-6>x ，则非p是非q的__________________ 条件.14. 不等式|x|<a的一个充分条件为0<x<1,则a的取值范围为 _________ .15. 已知下列四个命题：①a是正数；②b是负数；③a+b是负数；④ab是非正数.选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题简易逻辑章节测试题答案1. B2. A3. A4. C5. B6. B7. D8. A9. B10. D11. 充分而不必要条件12. {1 , 2, 5}13. 充分不必要14. a > 115. 若①③则②(或若①②则④或若①③则④)16. 解设A={x|(4x-3) <1},B={x|x -(2a+1)x+a(a+1) < 0},易知A={x| 1< x< 1},B={x|a < x < a+1}.2由一p是「q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB,「. ^~2a +^1故所求实数a的取值范围是［0,2:17•解方法一若a=0,则方程变为-x+1=0,x=1满足条件，若a丰0,则方程至少有一个正根等价于a比=0」a2 +a -+1Ia2 +a 比或匚.0二-1<a<0 或a>0.a.■■: =(a2亠a 1)2 -4a(a 亠1)丄0■综上：方程至少有一正根的充要条件是a>-1.方法二若a=0,则方程即为-x+仁0,••• x=1满足条件；2 2 2 2 2若0,T △=(a +a+1) -4a(a+1)=(a +a) +2(a +a)+1-4a(a+1)=(a +a) -2a(a+1)+1=(a +a-1) > 0，•方程一定有两个实根.< 2a +a +1------------- <0故而当方程没有正根时，应有』a,解得a W-1,]a +1.a•••至少有一正根时应满足a>-1且a丰0,综上：方程有一正根的充要条件是a>-1.18. 解设A={x|p}={x|x 2-4ax+3a 2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0},2 2 2 2B={x|q}={x|x -x-6 < 0 或x +2x-8>0}={x|x -x-6 < 0} U {x|x +2x-8>0}={x|-2 W x< 3} U {x|x<-4 或x>2}=乞| x ” -4或x --2.方法一T -p是-q的必要不充分条件，•p，且-p ； -q .则E|-q ：审丨-p]而凶-q] R B=X|/ ：：：2讥x|—p：= R A='X | x _3a或x a, a <0；•.牧| -4 ：：：2匕.X|x 乞3a或x _a,a ：：：0,则严X/,或a J,综上可得-2中或a步.a <0, a <0- 3方法二由—p是一q的必要不充分条件，• p是q的充分不必要条件，• A B,A a< -4 或3a > -2,又T a<0, • a< -4 或-2 W a<0.319. 解（1）当x>2 或x<-1 时，X2-X-2>0,由4x+p<0,得x<-匕故-上W -1 时，4 4“x<- £ ”“x<-1” = “X2-X-2>0” . • p> 4 时，“4x+p<0”是“ X2-X-2>0”的充分条件4（2）不存在实数p满足题设要求.20 .解：函数y=c x在R上单调递减：二0 ：：：c ：：：1不等式x ■ | x -2c | |的解集为R：=函数y =x |x -2c|，在R上恒大于1L2 x -2c, x 兰2c二x+|x -2c|={2c,x <2c-函数y =x • |x -2c |在R上的最小值为2c■不等式x，|x_2c| 1的解集为R1 一：=2c 1= c j，如果p正确，且q不正确则o ：：：C _1，如果p不正确，且q正确，则C_1，所以c的取值范围为o£一1,二.三、解答题2 2 ______________________________________________________________________________________16. 设命题p: (4x-3 ) < 1;命题q:x -(2a+1)x+a(a+1) < 0,若一p是一q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.__ 2 2 _ ”__________________________________________________________________ _ _ .17. 求关于x的方程ax -(a +a+1)x+a+仁0至少有一个正根的充要条件2 2 2 218. 设p :实数x 满足x -4ax+3a <0,其中a<0; q :实数x 满足x -x-6 < 0，或x +2x-8 > 0, 且r是-q的必要不充分条件，求a的取值范围.19. (1)是否存在实数p,使“ 4x+p<0”是“ x* 2-x-2>0 ”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；(2)是否存在实数p，使“ 4x+p<0”是“ x2-x-2>0 ”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围.20.已知c .0，设p:函数y=c x在R上单调递减，q :不等式x・|x-2c|・1的解集为R如果p和q有且仅有一个正确，求c的取值范围.。
2019-2020学年高考数学总复习 三角函数单元精品教学案(教师版全套).doc
三角函数1．了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ϕω+=x A y 的简图，理解ϕω、A 、的物理意义．5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 表示角．6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．第1课时 任意角的三角函数一、角的概念的推广1．与角α终边相同的角的集合为 ．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．4．象限角是指： ．5．区间角是指： ．6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．8．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；10．三角函数的符号与角所在象限的关系：1213．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线．2＋ －+cos x , ＋ ＋ －－sin x ,－ ＋ ＋－tan x ,x y O xy O x y O2α,2α ,3α的终边所在位置.解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k ∈Z ），∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.（2）∵k·180°+45°＜2α＜k·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时，（3）∵k·120°+30°＜3α＜k·120°+60°（k ∈Z ），当k=3n （n ∈Z ）时，n·360°+30°＜3α＜n·360°+60°；当k=3n+1（n ∈Z ）时，n·360°+150°＜3α＜n·360°+180°；当k=3n+2（n ∈Z ）时，n·360°+270°＜3α＜n·360°+300°.∴3α是第一或第二或第四象限的角.变式训练1：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k ∈Z ），60°+k·120°＜3α＜90°+k·120°.①当k=3m(m ∈Z )时，可得60°+m·360°＜3α＜90°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第一象限.②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得180°+m·360°＜3α＜210°+m·360°（m ∈Z ).故3α的终边在第三象限.③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得300°+m·360°＜3α＜330°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限.综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k ∈Z .（2）作直线x=21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k ∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sinx ＜23.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),则x=4t,y=-3t,r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|, 当t ＞0时，r=5t, sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=5353=--=t t r y ,cos α=5454-=-=t t r x , tan α=4343-=-=t t x y . 综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-; t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.变式训练3：已知角θ的终边经过点P ()(0),sin 4m m m θ≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．解：由题意，得0,4r m m ==≠∴= 故角θ是第二或第三象限角．当m =,r =P 的坐标为(，cos tan43x y r x θθ∴===-===-当m =,r =P 的坐标为(，cos tan43x y r x θθ∴===-===例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积； (2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值． 解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。
高考数学一轮复习 三角函数、解三角形单元讲评教案 文 新人教版
单元讲评教案三三角函数、解三角形一、试卷分析:本试卷的主要内容包括三角函数的图象及其性质在图象变换中的应用,在解决三角函数的求值、求参、求最值、求单调区间等问题中的应用;诱导公式在三角函数化简求值中的应用;利用和角公式、倍角公式进行三角函数式的化简与求值;正弦定理、余弦定理的应用及解决实际问题中的角度、方向、距离问题.二、教学目标:1.能画出y=sin x,y=c os x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性,理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质,理解正切函数在内的单调性.2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换.3.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角度量问题.三、教学重点和难点:1.重点:三角函数的图象与性质及应用,正弦定理、余弦定理及其应用.2.难点:三角函数图象与性质的应用.四、教学过程:课题引入:复习回顾本章的要点知识1.如何定义任意角的三角函数(正弦、余弦、正切).2.诱导公式与同角三角函数的基本关系式.3.正弦定理、余弦定理.4.三角函数的图象与性质.5.两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式.五、典题讲解:类型一三角函数的化简与求值例题1(以本卷中第2题为例)反思:本题是三角函数求值中的一种类型,即给值求值.一般思路为:(1)先化简所求式子或所给条件;(2)观察已知条件与所求式子之间的联系;(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.三角函数求值的另一种类型为给角求值,不论是给角求值还是给值求值,关键是寻求已知角与未知角之间的和差关系.另外,在备考过程中,还应加强三角函数化简的训练.本卷中的第5题涉及此方面内容.类型二三角函数图象的变换例题2(以本卷中第6题为例)反思:本题应首先根据三角函数的性质确定ω值,异名化同名,得到正确答案.在图象的变换中,平移变换最容易犯错,在备考训练中应加强.在进行三角函数图象的左右平移时应注意以下几点:一要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象;二要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数;三是由y=A sinωx的图象得到y=A sin(ωx+φ)的图象时,需平移的单位应为而不是|φ|.另外,周期变换、振幅变换也不可忽视.类型三三角函数的综合应用例题3(以本卷中第20题为例)反思:有关三角函数的周期和最值问题,一般都是利用两角和与差的三角函数公式、倍(半)角公式及辅助角公式,将函数解析式化为y=A sin(ωx+φ)的形式,利用周期公式求周期或ω,将ωx+φ看作一个整体,利用y=sin x的单调区间,通过解不等式求得函数在给定区间内的单调区间.利用单调性求最值,或将ωx+φ看作一个整体,求出其范围,然后由y=sin x的图象求出在指定范围内的最值.这也是高考中的热点,所以平常时加强练习.类型四正弦定理、余弦定理的综合应用例题4(以本卷中第12题为例)反思:利用正弦定理、余弦定理解三角形问题,主要是在三角形中运用正弦定理或余弦定理求解边、角或实现边角互化.正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时根据题目选用,有时还需要交替使用,如本卷中第19题.在解决三角形问题中,面积公式S=ab sin C=bc sin A=ac sin B最常用.在练习过程中,要充分利用三角形中常见的结论:(1)在△ABC中,A+B+C=180°;(2)三角形中,大角对大边;(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.另外,向量、不等式、解三角形的结合是高考的主流趋势,在备考过程中要加强练习,如本卷中19,即为向量、解三角形结合.小结:1.同角三角函数的关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式和二倍角公式是三角函数部分化简、求值和证明的基础,所以必须熟练掌握.其中,诱导公式往往扮演统一角的角色,同角三角函数的基本关系式扮演统一函数名称的角色,因此要特别重视它们之间的联系.2.三角函数的综合应用是三角函数的图象与性质的交会点,它们以化简三角函数式为载体,考查三角函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性、图象变换等,化简的目标函数是y=A sin(ωx+φ)+b的形式.3.利用正弦、余弦定理能解决一些平面图形的计算问题,解题的关键是在平面图形中构造出恰当的三角形,作为沟通已知与未知的桥梁.在解题过程中灵活选用定理解题.以正、余弦定理为载体,借助两角和与差的正、余弦公式,二倍角公式,通过化简三角函数式,可求边、角的大小,判断三角形的形状,求三角形的面积等.4.正、余弦定理在实际问题中的应用.根据已知条件和求解目标,把已知量和待求量放置到有关三角形中,建立与解三角形有关的数学模型.。
《解三角形》教学设计-优秀教案
45,C∠.求边长能够很好地激发学生的求知欲望。
在新的问题产生时这个时候也正是产生知识缺陷, 急需新知识的时候教师活动2探究一: 直角三角形边角关系如图：在中, 是最大的角, 所对的斜边是最大的边, 探究边角关系。
探究二: 斜三角形边角关系实验1: 如图, 在等边中, ,对应边的边长, 验证是否成立？实验2: 如图, 在等腰中, , , 对应边的边长, 验证是否成立？实验3：借助多媒体演示, 发现随着三角形的任意变换, 的值相等。
通过这样的一些实验, 我们可以猜想。
学生活动2探究一: 在中, 设, 根据正弦函数定义可得:cbBcaA==∴sin;sincBbAa==∴sinsin又1sin=CCcBbAasinsinsin==∴探究二: 学生通过计算验证结论是否正确探究二：学生通过计算验证结论是否正确活动意图说明从已有的知识结构出发, 不让学生在思维上出现跳跃, 逐层递进, 通过已经熟悉的直角三角形的边角关系的探究作为切入点, 再对特殊的斜三角形进行验证, 过渡到一般的斜三角形边角关系的探究。
让学亲自体验数学实验探究的过程, 逐层递进, 激发学生的求知欲和好奇心, 体会到数学实验的归纳和演绎推理两个侧面。
多媒体技术的引入演示, 让学生更加直观感受到变换, 加深理解。
环节三:教的活动3证明猜想, 得到定理学的活动3分组讨论证明方法并展示活动意图说明经历猜想到证明的过程, 让学生体会到数学新知识得获得仅仅靠猜想和演绎推理是不够的,必须经过严密的数学推导进行证明才可以。
在这个过程中, 也进一步促进学生数学思维思维品质的提升。
7.板书设计（板书完整呈现教与学活动的过程, 最好能呈现建构知识结构与思维发展的路径与关键点。
使用PPT应注意呈现学生学习过程的完整性）课题一、正弦定理定理: 例题练习。
解三角形全章教案(整理)
数学5 第一章 解三角形第1课时课题: §1．1．1正弦定理●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin aA c=，sin bB c=，又sin 1c C c==,A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
2021-2022年高三数学总复习专题二第2讲三角变换、解三角形(2)教学案
2021年高三数学总复习专题二第2讲三角变换、解三角形（2）教学案 教学内容：三角变换、解三角形（2）教学目标：1三角变换与求值；2.三角形中的三角函数教学重点：灵活运用三角变换公式解决三角函数问题；教学难点：在三角形中灵活运用三角变换公式解决三角函数问题；教学过程：一、基础训练1．在△ABC 中，若tan Atan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是________． 解析： 由tan A·tan B＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B 1－tan A·tan B ＝－1，即tan(A ＋B)＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22. 答案：22 2．(xx·大连模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若asin BcosC ＋csin Bcos A ＝12b ，且a ＞b ，则B 等于________． 解析：由条件得a b sin Bcos C ＋c b sin Bcos A ＝12， 复备栏由正弦定理，得sin Acos C ＋sin Ccos A ＝12， ∴sin(A ＋C)＝12，从而sin B ＝12， 又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6. 答案：π63．已知cos θ＝－725，θ∈(－π，0)，则sin θ2＋cos θ2＝_____________ 解析： 因为θ∈(－π，0)，所以sin θ＝－1－cos2θ＝－2425，因为sin θ<cos θ<0，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，－π2，θ2∈(－3π8，－π4)，所以－1<sin θ2<－22，0<cos θ2<22，故sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2＋cos θ2＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝－1＋sin θ＝－15. 答案：－154．(xx·南师指导卷)已知sin(α＋π6)＝13，则cos(2π3－2α)的值等于____________．解析：法一：因为2(α＋π6)＋2π3－2α＝π，所以 cos(2π3－2α)＝cos[π－(2α＋π3)]＝－cos(2α＋π3) ＝－[1－2sin2(α＋π6)]＝2sin2(α＋π6)－1＝2(13)2－1＝－79. 法二：由题意知sin(α＋π6)＝cos(π3－α)＝13， cos(2π3－2α)＝cos2(π3－α)＝2cos2(π3－α)－1＝－79. 答案：－79二、例题教学：例1、(xx·淮安指导卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A sin A ＋cos C sin C ＝1sin B . (1)求证：0<B≤π3 (2)若sin B ＝74，且BA →·BC →＝32，求|BC →＋BA →|的值． [解] (1)证明：cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos Asin C ＋cos Csin A sin Asin C ＝sin A ＋C sin Asin C ＝sin B sin Asin C ＝1sin B. 所以sin Asin C ＝sin2B ，由正弦定理可得，b2＝ac ，因为b2＝a2＋c2－2accos B≥2ac－2accos B ，所以cos B≥12，即0<B≤π3. (2)因为sin B ＝74，且b2＝ac ，所以B 不是最大角， 所以cos B ＝1－sin2B ＝1－716＝34. 所以32＝BA →·BC →＝accos B ＝34ac ，得ac ＝2，因而b2＝2， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ，所以a2＋c2＝5.所以|BC →＋BA →|2＝a2＋c2＋2BC →·BA →＝a2＋c2＋2accos B ＝8，即|BC →＋BA →|＝2 2.变式训练： (xx·南通模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b ＝4，BA →·BC →＝8.(1)求a2＋c2的值；(2)求函数f(B)＝3sin Bcos B ＋cos2B 的值域．解：(1)因为BA →·BC →＝8，所以accos B ＝8.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝a2＋c2－16，因为b ＝4，所以a2＋c2＝32.(2)因为a2＋c2≥2ac，所以ac≤16，所以cos B ＝8ac ≥12. 因为B ∈(0，π)，所以0<B≤π3. 因为f(B)＝3sin Bcos B ＋cos2B ＝32sin 2B ＋12(1＋cos 2B)＝sin(2B ＋π6)＋12， 由于π6<2B ＋π6≤5π6，所以sin(2B ＋π6)∈[12，1]，所以f(B)的值域为[1，32]． 例2、已知函数f(x)＝2 3sin xcos x ＋cos 2x.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2)设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，求函数f(x)的值域． 解： f(x)＝2 3sin xcos x ＋cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π6＋π6＝2. (2)因为0≤x≤π4，所以π6≤2x＋π6≤2π3，所以1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤2. 即函数f(x)的值域为[1,2]．变式训练：已知函数f(x)＝2cos2x ＋2 3sin xcos x.课后反思：(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2)在△ABC 中，若f(C)＝2, 2sin B ＝cos(A －C)－cos(A ＋C) ，求tan A 的值．解：(1)f(x)＝2cos2x ＋2 3sin xcos x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1.所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)因为f(C)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＋1＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12.因为0＜C ＜π，所以π6<2C ＋π6<2π＋π6，所以2C ＋π6＝5π6，C ＝π3.因为2sin B ＝cos(A －C)－cos(A ＋C)＝2sin Asin C ，所以sin Acos C ＋cos Asin C ＝sin Asin C.则tan A ＝sin C sin C －cos C ＝sin π3sin π3－cos π3＝3＋32.巩固练习：完成专题强化训练的练习。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解三角形（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.(二) 应用正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．第1课时 三角形中的有关问题变式训练1：(1)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = （ ）A ．14 B ．34C ．4D ．3解：B 提示：利用余弦定理（2）在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A.020,45,80b A C === B.030,28,60a c B === C.014,16,45a b A ===D. 012,15,120a c A ===解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在△ABC 中，已知5cos 13A =，3sin 5B =，则cosC 的值为（ ）A 1665 B 5665 C 1665或 5665D 1665-解：A 提示:在△ABC 中，由sin sin A B A B >⇔> 知角B 为锐角（4）若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．解：02a << 提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)a a a a a a +++>+⎧⎨+++<+⎩可得（5）在△ABC 中，060,1,sin sin sin ABC a b cA b S AB C++∠===++V 则= ．4c =，由余弦定理可求得a =例3. 已知在△ABC 中，sinA(sinB ＋cosB)－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C ．解：由sinA(sinB ＋cosB)－sinC ＝0，得sinAsinB ＋sinAcosB －sin(A ＋B)＝0，所以sinB(sinA －cosA)＝0∵B ∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA ＝sinA ，由A ∈(0, π)，知A ＝4π从而B ＋C ＝π43，由sinB ＋cos2C ＝0得sinB ＋cos2(π43－B)＝0cos ＝(23π－2B)＝cos[2π－(2π＋2B)]＝cos(2π＋2B)＝－sin2B 得sinB －sin2B ＝0，亦即sinB －2sinBcosB ＝0，由此各cosB ＝21，B ＝3π，C ＝125π∴A ＝4π B ＝3π C ＝π125变式训练3：已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sinB ，△ABC 外接圆半径为2.（1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sinB 得22（224Ra －224Rc ）=（a －b ）Rb2.又∵R=2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab.∴cosC=ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°，∴C=60°.（2）S=21absinC=21×23ab=23sinAsinB=23sinAsin （120°－A ）=23sinA （sin120°cosA －cos120°sinA ）=3sinAcosA+3sin 2A =23sin2A －23cos2A+23=3sin （2A －30°）+23.∴当2A=120°，即A=60°时，S max =233.第2课时 应用性问题２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；３．实际问题中有关术语、名称．（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．例1．(1)某人朝正东方走x km 后，向左转1500，然后朝新方向走3km ，结果它离出发点恰好3km ，那么x 等于 （ ）（A ）3 （B ）32 （C ）3或 32 （D ）3解：C 提示：利用余弦定理（2）甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）A 403203,3m m B 103,203m m C 10(32),203m m - D153203,23m m 解：A（3）一只汽球在2250m 的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A 点处的俯角为018，汽球向前飞行了2000m 后，又测得A 点处的俯角为082，则山的高度为（ ） A 1988m B 2096m C 3125m D 2451m 解： B（4）已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 向北偏东025方向，B 向西偏北020方向，若A 的航行速度为25 nmi/h ，B 的速度是A 的35，过三小时后，A 、B 的距离是 ． 解：90.8 nmi(5) 货轮在海上以40km/h 的速度由B 到C 航行， 航向为方位角0140NBC ∠=，A 处有灯塔， 其方位角0110NBA ∠=，在C 处观测灯塔A 的典型例题基础过关方位角035MCA ∠=，由B 到C 需航行半小时， 则C 到灯塔A 的距离是解：10(62)-km 提示：由题意知 075BCA ∠=，利用余弦定理或解直角三角形可得变式训练1：如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30ο，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1ο）？解：连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10×cos120°=700. 于是,BC=107.∵sin 20107ACB ∠=, ∴sin ∠ACB=73,∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援.例2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南2(cos )10θθ=方向300 km 的海面P 处，并以20 km / h 的速度向西偏北ο45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h 的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭,则6010+≤t OQ 由余弦定理知OPQ PO PQ PO PQ OQ ∠⋅-+=cos 2222由于PO=300,PQ=20t()5445cos cos =-=∠οθOPQ 故2222203009600OQ t t =+-()21060t ≤+ 即2362880t t -+≤ 解得 2412≤≤t答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．变式训练2：如图所示,海岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B 处测得岛A 在船的南偏东030方向上，船航行30海里后，在C 处测得岛A 在船的南偏东045方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？ 解：由题意得，在△ABC 中，BC=30，030B =，0135ACB ∠=北2010A B•C所以 015A =，由正弦定理可知：sin sin BC ACA B=0030sin15sin 30AC ∴= 所以060cos15AC =， 于是A 到BC 所在直线的距离为0sin 4560cos15sin 45AC =40.9838≈> 所以船继续向南航行无触礁危险。
例3. 如图所示，公园内有一块边长2a 的等边△ABC 形状的三角地， 现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上， E 在AC 上.（1）设AD ()x x a =≥，ED y =，求用x 表示y 的函数关系式； （2）如果DE 是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE 的位置 应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的 位置又在哪里？请给予证明.解：（1）在△ABC 中，D 在AB 上，2a x a ∴≤≤Q S △ADE =12S △ABC 02011sin 60sin 6024x AE AB ∴⋅=⋅ 22a AE x ∴= ，在△ADE 中，由余弦定理得：4222242a y x a x =+- 422242(2)a y x a a x a x∴=+-≤≤（2）令 2x t =，则224a t a ≤≤ 则4242a y t a t=+-令 42224()2,[,4]a f t t a t a a t=+-∈， 则4242222244(2)(2)()1a t a t a t a f t t t t --+'=-==22(,2) ()0t a a f t '∴∈<当时,；22(2,4) ()0t a a f t '∈>当时, 222222 ()3,(2)2,(4)3f a a f a a f a a ===又22,2 t a x a ∴==当 即 时,y 有最小值2a ，此时DE ∥BC ，且2AD a =224, 2 t a a x a a y ==当 或 即 或 时,有最大值3a ，此时DE 为△ABC的边AB 或AC 的中线上.变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h ，梯形面积为S ，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角α应该是多少？解：设 CD a =，则2,,sin tan h h CD a CB AB a αα===+则， 所以 12()2tan tan h S hS a a h a h αα=++⋅∴=-设两腰与下底之和为l ，则22cos 2tan sin sin S h h S l a CB h h h αααα-=+=-+=+⋅22212sin 3sin cos 2222sin cos 2sin cos 2222S S h h h h ααααααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪=+⋅=+⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31tan 222tan 2S h h αα⎛⎫⎪=++⋅ ⎪⎪⎝⎭312tan 3222tan 2S Sh h h h αα⎛⎫ ⎪≥+⨯⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭当且仅当31tan 222tan 2αα=时，上式取等号，即当3tan 23α=时，上式取等号 0030,602αα∴==即，所以下角060α=时，梯形两腰及下底之和达到最小．例4. 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。