洛阳市2016--2017学年第一学期期中考试高一数学试题(含答案)
2016-2017学年洛阳市高一(上)期末数学试卷((有答案))AlPMKn
2016-2017学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}2．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n3．（5分）若三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4，交于一点，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣4．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2），则二面角C﹣OA﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．（5分）已知倾斜角60°为的直线l平分圆：x2+y2+2x+4y﹣4=0，则直线l的方程为（）A．x﹣y++2=0 B．x+y++2=0 C．x﹣y+﹣2=0 D．x﹣y﹣+2=06．（5分）已知函数f（x）=，若a=f（log3），b=f（2），c=f（3），则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c7．（5分）如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=2，则的范围是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．（5分）已知函数f（x）=（a∈A），若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则集合A 可以是（）A．（﹣∞，0）B．[1，2） C．（﹣1，5]D．[4，6]9．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π+8 B．8π+16 C．16π+16 D．16π+4810．（5分）由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一平面上，ABCD是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（）A．1125πB．3375πC．450πD．900π11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．812．（5分）已知点P（t，t﹣1），t∈R，点E是圆x2+y2=上的动点，点F是圆（x﹣3）2+（y+1）2=上的动点，则|PF|﹣|PE|的最大值为（）A．2 B．C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）满足42x﹣1＞（）﹣x﹣4的实数x的取值范围为．14．（5分）已知直线l1：ax+4y﹣1=0，l2：x+ay﹣=0，若l1∥l2，则实数a=．15．（5分）若函数f（x）=，则f（﹣）+f（﹣）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）+f （）=．16．（5分）方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1）．（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）设AC中点为D，求△DBC的面积．18．（12分）已知函数f（x）=+．（1）求f（x）的定义域A；（2）若函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1.5，当x∈A时，求函数g（x）的值域．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）设M为AB上一点，且AM=AB，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．20．（12分）已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角为45°（1）若E为PC的中点，求证：PD⊥平面ABE；（2）若CD=，求点B到平面PCD的距离．22．（12分）已知圆心在直线x+y﹣1=0上且过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切，其半径小于5．（1）若C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，求圆C2的方程；（2）过直线y=2x﹣6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC2D面积最小时，求直线CD的方程．2016-2017学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}={1，2，3}，B={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B={1，2}．故选：B．2．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n【解答】解：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故A错误；若m∥α，m⊥n，则n与α关系不确定，故B错误；根据线面垂直的性质定理，可得C正确；若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m与n关系不确定，故D错误．故选C．3．（5分）若三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4，交于一点，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣【解答】解：联立y=3x，x+y=4，，解得，∵三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4相交于一点，∴把点（1，3）代入ax+y+1=0，可得a+3+1=0，解得a=﹣4．故选：B．4．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2），则二面角C﹣OA﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：设C在平面xoy上的射影为D（2，2，0），连接AD，CD，BD，则CD=2，AD=OA=2，四边形OBDA是正方形，∴OA⊥平面ACD，∴∠CAD为二面角C﹣OA﹣B的平面角，∵tan∠CAD===，∴∠CAD=60°．故选C．5．（5分）已知倾斜角60°为的直线l平分圆：x2+y2+2x+4y﹣4=0，则直线l的方程为（）A．x﹣y++2=0 B．x+y++2=0 C．x﹣y+﹣2=0 D．x﹣y﹣+2=0【解答】解：倾斜角60°的直线方程，设为y=x+b．圆：x2+y2+2x+4y﹣4=0化为（x+1）2+（y+2）2=9，圆心坐标（﹣1，﹣2）．因为直线平分圆，圆心在直线y=x+b上，所以﹣2=﹣+b，解得b=﹣2，故所求直线方程为x﹣y+﹣2=0．故选C．6．（5分）已知函数f（x）=，若a=f（log3），b=f（2），c=f（3），则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c【解答】解：函数f（x）=，则a=f（log3）=1﹣log3=1+log32＞1，b=f（2）=f（）=2∈（0，1），c=f（3）=2∈（0，1），由y=2x在R上递增，﹣＜﹣，可得2＜2，则c＜b＜a，故选：D．7．（5分）如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=2，则的范围是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|=2，|CE|=，可由勾股定理求得|OE|=，于是可得到k=1，即为的最大值．同理，的最小值为﹣1，故选B．8．（5分）已知函数f（x）=（a∈A），若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则集合A可以是（）A．（﹣∞，0）B．[1，2） C．（﹣1，5]D．[4，6]【解答】解：由题意，f（x）在区间（0，1]上是减函数．函数f（x）=（a∈A），当a=0时，函数f（x）不存在单调性性，故排除C．当a＜0时，函数y=在（0，1]上是增函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1]上是减函数，故A对．当1≤a＜2时，函数y=在（0，1]上是减函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1]上是增函数，故B不对．当4≤a≤6时，函数y=在（0，1]上可能没有意义．故D不对．故选A．9．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π+8 B．8π+16 C．16π+16 D．16π+48【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四棱锥的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积为：=8π，四棱锥的底面面积为：4×4=16，高为3，故体积为：16，故组合体的体积V=8π+16，故选：B10．（5分）由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一平面上，ABCD是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（）A．1125πB．3375πC．450πD．900π【解答】解：该几何体的直观图如图所示，这个是一个正八面体，假设另两个顶点为E，F，ABCD是正方形，边长为15，∴BO==，EO==，∴该几何体的外接球的半径R=，∴该几何体的外接球的体积：V==1125．故选：A．11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，∴f（x）在（2，+∞）上递增，又∵f（x）=f（4﹣x），∴f（2﹣x）=f（2+x），即函数关于x=2对称，∵f（2﹣x）=f（），∴2﹣x=，或2﹣x+=4，∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，∴满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为﹣8，故选C．12．（5分）已知点P（t，t﹣1），t∈R，点E是圆x2+y2=上的动点，点F是圆（x﹣3）2+（y+1）2=上的动点，则|PF|﹣|PE|的最大值为（）A．2 B．C．3 D．4【解答】解：由题意，P在直线y=x﹣1上运动，E（0，0）关于直线的对称点的坐标为A（1，﹣1），∵F（3，﹣1），∴|PF|﹣|PE|的最大值为|AF|=4，故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）满足42x﹣1＞（）﹣x﹣4的实数x的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：不等式42x﹣1＞（）﹣x﹣4可化为22（2x﹣1）＞2x+4，即2（2x﹣1）＞x+4，解得x＞2，所以实数x的取值范围是（2，+∞）．故选：（2，+∞）．14．（5分）已知直线l1：ax+4y﹣1=0，l2：x+ay﹣=0，若l1∥l2，则实数a=﹣2．【解答】解：∵直线l1：ax+4y﹣1=0，l2：x+ay﹣=0，∴，解得a=﹣2（a=2时，两条直线重合，舍去）．故答案为：﹣2．15．（5分）若函数f（x）=，则f（﹣）+f（﹣）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）+f （）=7．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（x）+f（﹣x）=+=+=2，∴f（﹣）+f（﹣）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（）+f（）=2×3+=7．故答案为：7．16．（5分）方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为[0，）．【解答】解：设f（x）=，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，由圆心（2，0）到y=ax+a的距离=1，可得a=，∵方程=ax+a有两个不相等的实数根，∴实数a的取值范围为[0，）．故答案为[0，）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（10分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1）．（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）设AC中点为D，求△DBC的面积．【解答】解：（1）k BC==﹣，∴BC边上的高所在的直线的斜率为．则BC边上的高所在的直线方程为：y﹣4=（x﹣2），化为：3x﹣4y+10=0．（2）BC边所在的直线方程为：y+3=﹣（x﹣1），化为：4x+3y+5=0．∵D是AC的中点，∴D．点D到直线BC的距离d==．又|BC|==5，∴S===．△DBC18．（12分）已知函数f（x）=+．（1）求f（x）的定义域A；（2）若函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1.5，当x∈A时，求函数g（x）的值域．【解答】解：（1）要使函数有意义，必须：，解得1≤x≤3，函数的定义域为：[1，3]．（2）函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1，5，可得a=﹣（﹣1+5）=﹣4，b=﹣1×5=﹣5，g（x）=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，当x∈A时，即x∈[1，3]时，x=2函数取得最小值：y=﹣9，x=1或3时，函数取得最大值：﹣8．函数g（x）的值域[﹣9，﹣8]．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）设M为AB上一点，且AM=AB，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．【解答】证明：（1）取AB中点N，连结EN，DN，∵在△ABC中，N为AB中点，D为BC中点，∴DN∥AC，∵DN⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴DN∥平面ACC1A1，∵在矩形ABB1A1中，N为AB中点，E为A1B1中点，∴EN∥平面ACC1A1，又DN⊂平面DEN，EN⊂平面DEN，DN∩EN=N，∴平面DEN∥平面ACC1A1，∵DE⊂平面DEN，∴DE∥平面ACC1A1．解：（2）作DP⊥AB于P，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，D为BC的中点，∴DP⊥平面ABB1A1的所有棱长相等，D为BC的中点，∴DP⊥平面ABB1A1，且PB=AB，又AM=AB，∴MP=AB，∵A1E=EP，A1M=EP，∴∠DEP是直线DE与直线A1M所成角，∴由DP⊥平面ABB1A1，EP⊂平面ABB1A1，得DP⊥EP，设直线三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长为a，则在Rt△DPE中，DP=，EP=A1M=a，∴tan∠DEP==．∴直线DE与直线A1M所成角的正切值为．20．（12分）已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，解得：m=﹣1，∴f（x）=3x﹣3﹣x，令g（x）=0，即3x﹣3﹣x﹣=0，令t=3x，则t﹣﹣=0，即3t2﹣8t﹣3=0，解得：t=3或t=﹣，∵t=3x≥0，∴t=3即x=1，∴函数g（x）的零点是1；（2）∵对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（1+2at）对任意t∈R恒成立，∵f（x）在R是奇函数也是增函数，∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（﹣1﹣2at）对任意t∈R恒成立，即t2+a2﹣a≥﹣1﹣2at对任意t∈R恒成立，即t2+2at+a2﹣a+1≥0对任意t∈R恒成立，∴△=（2a）2﹣4（a2﹣a+1）≤0，∴a≤1，实数a的范围是（﹣∞，1]．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角为45°（1）若E为PC的中点，求证：PD⊥平面ABE；（2）若CD=，求点B到平面PCD的距离．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．∵PC与平面ABCD所成角为45°∴AC=PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．（2）解：CD=，可得AC=3，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴PC=3，由（1）的证明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，∵AC⊥CD，∴CD=ACtan30°=．=××3××d=d．设点B的平面PCD的距离为d，则V B﹣PCD=×3×sin150°=．在△BCD中，∠BCD=150°，∴S△BCD=××3=，∴V P﹣BCD=V P﹣BCD，∴d=，解得d=，∵V B﹣PCD即点B到平面PCD的距离为．22．（12分）已知圆心在直线x+y﹣1=0上且过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切，其半径小于5．（1）若C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，求圆C2的方程；（2）过直线y=2x﹣6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC2D面积最小时，求直线CD的方程．【解答】解：（1）由题意，设C1（a，1﹣a），则∵过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切，∴=，∴（a﹣2）（a﹣62）=0∵半径小于5，∴a=2，此时圆C1的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=9，∵C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，∴圆C2的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9；（2）设P（a，2a﹣6），圆C2的半径r=2，∴四边形PCC 2D面积S=2==3|PD|，|PD|==，∴a=3时，|PD|min=，此时面积最小为3，P（3，0）．∵C，D在以PC2为直径的圆上，∴方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=5，∵圆C2的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，∴两个方程相减，可得CD的方程为4x﹣2y﹣1=0．。
河南省洛阳市2017届高三上学期期中考试数学(理)试题.docx
【考试时间：2016年10月13日15：00~17：00】洛阳市2016—2017学年高中三年级期中考试数 学 试 卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题，共60分注意事项：1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}Z x x x A ∈=，＜＜3log 12，{}95＜x x B ≤=，则=⋂B A （ ） A ．),5[2e B.]7,5[ C ．}7,6,5{ D ．}8,7,6,5{2．复数i i++12的共扼复数是（ ） A ．i 2123+- B ．i 2123-- C.i 2123- D ．i 2123+3．设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ） A ．若α//m ,β//m ，则βα// B ．若α//m ，βα//，则β//m C ．若α⊂m ，β⊥m ，则βα⊥ D ．若α⊂m ，βα⊥，则β⊥m 4．函数)42cos(ln π+=x y 的一个单调递减区间是（ ）A ．)8,85(ππ--B ．)8,83(ππ--C ．)8,8(ππ--D ．)83,8(ππ-5．O 为△ABC 内一点，且02=++OC OB OA ，AC t AD =，若D O B ,,三点共线，则t 的值为（ ） A ．41B ．31C ．21 D.32 6．一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（ ）A ．121 B ．31 C ．42 D.21 7.由2,1,===x xy x y 及x 轴所围成的平面图形的面积是（ ） A ．12ln + B ．2ln 2- C ．212ln - D.212ln +8．直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 在BC 上，CD ＝2DB ，tan ∠BAD ＝51，则BAC ∠sin ＝（ ） A ．22 B ．23 C ．13133 D.22或13133 9．已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则方程182)(+-=x x x f 在 ),0(+∞解的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5 D.6 10．已知数列n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，14,2248==S S ，则=2016S （ ） A ．22252- B ．22253- C ．221008- D.222016-11．已知三棱锥ABC P -中，1===AC PB PA ，⊥PA 面ABC ，∠BAC ＝32π，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为（ ）A ．π3B ．π4C ．π5 D.π8 12．定义在R 上的函数)(x f 满足：x e x x f x f ∙=-')()(，且21)0(=f ，则)()(x f x f '的最大值为（ ）A ．0B ．21C ．1 D.2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡题目所指示的答题区域内作答。
洛阳市16-17学年高一上学期期中考试 数学(word版w)
洛阳市2016——2017学年度第一学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2的定义域为 A ．{x ｜x ≥－3，且x ≠－2} B ．{x ｜x ≥－3，且x ≠2}C ．{x ｜x ≥－3}D ．{x ｜x ≥－2，且x ≠－3}2．已知集合M ＝{1，2，m 2－3m －1}，N ＝{－1，3}，M ∩N ＝{3}，则m 的值为A ．4，－1B ．－1C ．1，－4D ．43．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，10]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，40]B ．[160，＋∞)C ．(－∞，40)∪(160，＋∞)D ．(－∞，40]∪[160，＋∞)4．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，8]B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8，40]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 x ≤－1x 2 －1＜x ＜12x x ≥1，若f (x )＝1，则x 的值为 A ．1，－1 B ．－1 C ．1 D ．125．函数f (x )＝2x ＋12x －1的图象一定 A ．关于y 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y ＝x 轴对称6．设a ＝40.6，b ＝80.34，c ＝(12)－0.9，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＞b ＞cB ． b ＞a ＞cC ． c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a7．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝x a ，g (x )＝log a x 的图象可能是8．要得到函数y ＝8·2－x 的图象只需要将函数y ＝(12)x 的图象 A ．向左平移3个单位 B ．向右平移3个单位C ．向左平移8个单位D ．向右平移8个单位9．函数y ＝x －3x －2的值域为A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[－112，＋∞)D ．(－112，＋∞) 10．若函数y ＝2＋ln 1＋x 1－x，x ∈[－12，12]的最大值与最小值分别为M , m ，则M ＋m ＝ A ．2 B ．－4 C ．0 D ．411．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝0，当x ≠1时，f (x )＝|ln|x －1||，设函数g (x )＝f (x )－m （m 为常数）的零点个数为n ，则n 的所有可能值构成的集合为A ．{0，4}B ．{3，4}C ．{0，3，4}D ．{0，1，3，4}12． 已知函数F (x )＝g (x )＋h (x ) ＝e x ，且g (x ), h (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，若对任意的x ＞0，不等式g (2x )≥ah (x )恒成立，则实数a 的取值范围是A ．(－∞，22]B ．(－∞，22)C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
河南省洛阳市2017届高三上学期期中考试数学理试卷Word版含解析
洛阳市2016—2017学年高中三年级期中考试数 学 试 卷（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{}Z x x x A ∈=，＜＜3log 12，{}95＜x x B ≤=，则=⋂B A （ ）A ．),5[2e B.]7,5[ C ．}7,6,5{ D ．}8,7,6,5{ 2．复数ii ++12的共扼复数是（ ） A ．i 2123+- B ．i 2123-- C.i 2123- D ．i 2123+ 3．设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ）A ．若α//m ,β//m ，则βα//B ．若α//m ，βα//，则β//mC ．若α⊂m ，β⊥m ，则βα⊥D ．若α⊂m ，βα⊥，则β⊥m4．函数)42cos(ln π+=x y 的一个单调递减区间是（ ） A ．)8,85(ππ-- B ．)8,83(ππ-- C ．)8,8(ππ-- D ．)83,8(ππ- 5．O 为△ABC 内一点，且02=++，t =，若D O B ,,三点共线，则t 的值为（ ）A ．41B ．31C ．21 D.32 6．一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（ ）A ．121B ．31 C ．42 D.21 7.由2,1,===x xy x y 及x 轴所围成的平面图形的面积是（ ） A ．12ln + B ．2ln 2- C ．212ln - D.212ln + 8．直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 在BC 上，CD ＝2DB ，tan ∠BAD ＝51，则BAC ∠sin ＝（ ）A ．22B ．23C ．13133 D.22或13133 9．已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则方程182)(+-=x x x f 在),0(+∞解的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D.610．已知数列n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，14,2248==S S ，则=2016S （ ）A ．22252-B ．22253-C ．221008- D.222016-11．已知三棱锥ABC P -中，1===AC PB PA ，⊥PA 面ABC ，∠BAC ＝32π，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为（ ）A ．π3B ．π4C ．π5 D.π812．定义在R 上的函数)(x f 满足：x e x x f x f ∙=-')()(，且21)0(=f ，则)()(x f x f '的最大值为（ ）A ．0B ．21 C ．1 D.2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若21cos sin cos sin =+-αααα，则α2tan 的值为 ． 14．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若105=a ，305=S ，则20163211...111S S S S ++++＝ ．15．等腰△ABC 中，底边BC ＝23,-，则△ABC 的面积为 ． 16．b a ,为正数，给出下列命题：①若122=-b a ，则1＜b a -；②若111=-a b ，则1＜b a -； ③1=-b a e e ，则1＜b a -； ④若1ln ln =-b a ，则1＜b a -．其中真命题的有 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）数列{}n a 中， 11=a ，11++=-n n n n a a a a ，*∈N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）n S 为{}n a 的前n 项和，n b ＝n n S S -2，求n b 的最小值．18.（本小题满分12分） 函数))2,2(0)(sin(ππϕωϕω-∈+=，＞x y 的一条对称轴为3π=x ，一个对称中心为)0,127(π，在区间]3,0[π上单调． （1）求ϕω,的值； （2）用描点法作出)sin(ϕω+=x y 在],0[π上的图像．19．（本小题满分12分）锐角△ABC 中，其内角A 、B 满足：B B ocsA cos 3sin 2-=．（1）求角C 的大小；（2）D 为AB 的中点，CD ＝1，求△ABC 面积的最大值．20．（本小题满分12分）函数x e x x f ∙=)(．（1）求)(x f 的极值；（2）x x x f k +≥⨯221)(在),1[+∞-上恒成立，求k 值的集合．21．（本小题满分12分）等腰△ABC 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝2，E 、F 分别为AC 、BC 的中点，将△EFC 沿EF 折起，使得C 到P ，得到四棱锥P —ABFE ，且AP ＝BP ＝3．（1）求证：平面EFP ⊥平面ABFE ；（2）求二面角B-AP-E 的大小．22．（本小题满分12分）已知函数xk x x f -=ln )(有两个零点1x 、2x ． （1）求k 的取值范围；（2）求证：ex x 221＞+．2016-2017学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016秋•洛阳期中）集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}，B={x|5≤x＜9}，则A∩B=（）A． C．{5，6，7} D．{5，6，7，8}【考点】交集及其运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】化简集合A，再求A∩B的值．【解答】解：集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}={x|2＜x＜8，x∈Z}={3，4，5，6，7}，B={x|5≤x＜9}，∴A∩B={5，6，7}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）（2016秋•洛阳期中）复数的共扼复数是（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．﹣i D．+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==的共扼复数是+i．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2016秋•洛阳期中）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ）A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βB ．若m ∥α，α∥β，则m ∥βC ．若α⊂m ，β⊥m ，则βα⊥D ．若α⊂m ，βα⊥，则β⊥m【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，m ∥β或m ⊂β；在C 中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D 中，m ⊥与β相交、平行或m ⊂β．【解答】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中，若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，故B 错误；在C 中，若α⊂m ，m ⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确；在D 中，若α⊂m ，α⊥β，则m ⊥与β相交、平行或m ⊂β，故D 错误．故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4．（5分）（2016秋•洛阳期中）函数y=lncos （2x+）的一个单调递减区间是（ ） A ．（﹣，﹣） B ．（﹣，﹣） C ．（﹣，﹣） D ．（﹣，）【考点】复合函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】先求出函数的定义域，结合复合函数单调性的关系进行求解即可．【解答】解：设t=cos （2x+），则lnt 在定义域上为增函数， 要求函数y=lncos （2x+）的一个单调递减区间， 即求函数函数t=cos （2x+）的一个单调递减区间，同时t=cos （2x+）＞0， 即2k π≤2x+＜2k π+，k ∈Z ， 即k π﹣≤x ＜k π+，k ∈Z ，当k=0时，﹣≤x＜，即函数的一个单调递减区间为（﹣，﹣），故选：C【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系以及对数函数和三角函数的性质是解决本题的关键．5．（5分）（2016秋•洛阳期中）O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【考点】平行向量与共线向量．【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用．【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．2++=，可得=﹣2==2，因此点O是直线AE的中点．可得B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，点M为AC 的中点．利用平行线的性质即可得出．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．∵2++=，∴=﹣2==2，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，∴=，∴，∴AD=AM=AC，=t，∴t=．故选：B．【点评】本题考查了向量三角形法则、平行线的性质定理、向量共线定理三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．（5分）（2016秋•洛阳期中）一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】把三视图还原成原图如图：是一个棱长为1的正方体切去了四个小三棱锥．【解答】解：把三视图还原成原图如图：是一个棱长为1的正方体切去了四个小三棱锥．∴V=1﹣=．故选：B．【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2016秋•洛阳期中）由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形的面积是（）A．ln2+1 B．2﹣ln2 C．ln2﹣D．ln2+【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】利用定积分的几何意义，首先表示平面图形，然后计算定积分．【解答】解：由题意，由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形如图，其面积是；故选：D．【点评】本题考查了定积分的应用；关键是将曲边梯形的面积正确利用定积分表示，然后正确计算．8．（5分）（2016秋•洛阳期中）直角△ABC中，∠C=90°，D在BC上，CD=2DB，tan∠BAD=，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．或【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】设DE=k，BD=x，CD=2x，BC=3x，先在Rt△ADE中，由tan∠BAD=，得出AE=5k，AD=k，在Rt△BDE中，由勾股定理求出BE，于是AB=AE+BE=5k+，然后根据AC的长度不变得出AD2﹣CD2=AB2﹣BC2，即26k2﹣4x2=（5k+）2﹣9x2，解方程求出x=k，或x=k，然后在Rt△ABC中利用正弦函数的定义即可求解．【解答】解：设DE=k，BD=x，CD=2x，BC=3x．∵在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠BAD==，∴AE=5DE=5k，∴AD==k．∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，∴BE==，∴AB=AE+BE=5k+．∵∠C=90°，∴AD2﹣CD2=AB2﹣BC2，即26k2﹣4x2=（5k+）2﹣9x2，解得k2=x2，或x2，即x=k，或x=k，经检验，x=k，或x=k是原方程的解，∴BC=3k，或k，AB=AE+BE=5k+=6k，或，∴sin∠BAC==，或．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，设DE=k，BD=CD=x，利用勾股定理列出方程26k2﹣4x2=（5k+）2﹣9x2是解题的关键，本题也考查了解无理方程的能力，考查了转化思想和数形结合思想，计算量较大，属于难题．9．（5分）（2016秋•洛阳期中）已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈时，f（x）=x，则方程f（x）=在（0，+∞）解的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；数形结合；综合法；函数的性质及应用．【分析】确定f（x）是以4为周期的周期函数，关于直线x=1对称，作出相应函数的图象，即可得出结论．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．∴f（x）是以4为周期的周期函数．∵f（x+2）=﹣f（x）=f（﹣x），∴函数关于直线x=1对称，在（0，+∞）上函数y=f（x）与y=的图象如图所示，交点有4个，∴方程f（x）=在（0，+∞）解的个数是4，故选B．【点评】本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性，考查数形结合的数学思想，属于中档题．10．（5分）（2016秋•洛阳期中）已知数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣2【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；整体思想；等差数列与等比数列．【分析】由S n为等比数列{a n}的前n项和，由前n项和公式求得a1和q的数量关系，然后再来解答问题．【解答】解：∵数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，∴=2，①=14，②由②÷①得到：q8=2或q8=﹣3（舍去），∴=2，则a1=2（q﹣1），∴S2016===2253﹣2．故选：B．【点评】本题考查了等边数量的前n项和，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键，注意：本题中不需要求得首项和公比的具体数值．11．（5分）（2016秋•洛阳期中）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=AC=1，PA⊥面ABC，∠BAC=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．8π【考点】球内接多面体．【专题】综合题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，进而可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：△ABC中，BC==．设△ABC外接圆的半径为r，则2r=，∴r=1，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为=，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为=5π．故选：C．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P﹣ABC的外接球的半径是关键．12．（5分）（2016秋•洛阳期中）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•e x，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．2【考点】导数的运算．【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】先构造函数，F（x）=，根据题意求出f（x）的解析式，即可得到=，再根据根的判别式即可求出最大值．【解答】解：令F（x）=，则F′（x）===x，则F（x）=x2+c，∴f（x）=e x（x2+c），∵f（0）=，∴c=，∴f（x）=e x（x2+），∴f′（x）=e x（x2+）+x•e x，∴=，设y=，则yx2+y=x2+2x+1，∴（1﹣y）x2+2x+（1﹣y）=0，当y=1时，x=0，当y≠1时，要使方程有解，则△=4﹣4（1﹣y）2≥0，解得0≤y≤2，故y的最大值为2，故的最大值为2，故选：D．【点评】本题考查了导数和函数的关系以及函数的值域问题，关键是构造函数和利用根的判别式求函数的值域，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2016秋•洛阳期中）若=，则tan2α的值为﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：若==，则tanα=3，∴tan2α===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．14．（5分）（2016秋•洛阳期中）等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a5=10，S5=30，则+++…+= ．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a5=10，S5=30，可得，解得a1，d．可得S n，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=10，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴S n==n（n+1），∴==．则+++…+=++…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2016秋•洛阳期中）等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由题意可得BC边上的高为||，利用直角三角形中的边角关系求得∠C=30°=∠B，可得∠A=120°，AB=AC，利用余弦定理求得AB=AC的值，可得△ABC的面积•AB•AC•sin120° 的值．【解答】解：等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积故BC边上的高为||，故有sin∠C==，∴∠C=30°=∠B，∴∠A=120°，AB=AC，∴=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°，∴AB=AC=2，∴△ABC的面积为•AB•AC•sin120°=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，直角三角形中的边角关系，余弦定理，属于中档题．16．（5分）（2016秋•洛阳期中）a，b为正数，给出下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若﹣=1，则a﹣b＜1；③e a﹣e b=1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb=1，则a﹣b＜1．期中真命题的有①③．【考点】不等式的基本性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；不等式．【分析】不正确的结论，列举反例，正确的结论，进行严密的证明，即可得出结论．【解答】解：①中，a，b中至少有一个大于等于1，则a+b＞1，由a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，所以a﹣b＜1，故①正确．②中﹣==1，只需a﹣b=ab即可，取a=2，b=满足上式但a﹣b=＞1，故②错；③构造函数y=x﹣e x，x＞0，y′=1﹣e x＜0，函数单调递减，∵e a﹣e b=1，∴a＞b，∴a﹣e a＜b﹣e b，∴a﹣b＜e a﹣e b=1，故③正确；④若lna﹣lnb=1，则a=e，b=1，a﹣b=e﹣1＞1，故④不正确．故答案为：①③．【点评】本题考查不等式的性质、导数的应用等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力、推理能力、运用转化与化归思想的能力．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）（2016秋•洛阳期中）数列{a n}中，a1=1，a n﹣a n+1=a n a n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）S n为{a n}的前n项和，b n=S2n﹣S n，求b n的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）由a1=1，a n﹣a n+1=a n a n+1，n∈N*．可得=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：b n=S2n﹣S n=+…+．再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a1=1，a n﹣a n+1=a n a n+1，n∈N*．∴=1，∴数列是等差数列，公差为1，首项为1．∴=1+（n﹣1）=n，可得a n=．（2）由（1）可得：S n=1++…+．∴b n=S2n﹣S n=+…+．∴b n+1﹣b n=+…+++﹣（+…+）=+﹣=﹣＞0，∴数列{b n}单调递增，∴b n的最小值为b1=．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•洛阳期中）函数y=﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（﹣，））的一条对称轴为x=，一个对称中心为（，0），在区间上单调．（1）求ω，φ的值；（2）用描点法作出y=sin（ωx+φ）在上的图象．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．【专题】综合题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用三角形函数的周期，对称轴，对称中心，即可ω，φ．（2）用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象．【解答】解：（1）由题意得：，即，解得又ω＞0，k∈Z，所以ω=2，x=为对称轴，2×+φ=kπ+，所以φ=kπ﹣，又φ∈（﹣，），∴φ=﹣，（2）由（1）可知f（x）=sin（2x﹣），由x∈，所以2x﹣∈，列表：﹣﹣画图：【点评】本题主要考查三角函数的周期，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，属于中档题．19．（12分）（2016秋•洛阳期中）锐角△ABC中，其内角A、B满足：2cosA=sinB﹣cosB．（1）求角C的大小；（2）D为AB的中点，CD=1，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】（1）由已知利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可得cosA=cos（﹣B），结合A，B为锐角，利用三角形内角和定理可求C的值．（2）设∠ACD=α，延长CD到E，使CD=DE，则AEBC为平行四边形，在△ACE中，由正弦定理可得a=4sinα，b=4sin（﹣α），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用化简可得S△ABC=2sin（2α+）﹣，利用正弦函数的性质可求△ABC面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2cosA+cosB=sinB，可得：cosA=sinB﹣cosB=cos（﹣B），…2分又∵A，B为锐角，∴0，＜﹣B＜，∴A=﹣B，A+B=，可得：C=π﹣=．…5分（2）设∠ACD=α，延长CD到E，使CD=DE，则AEBC为平行四边形，在△ACE中，AC=b，AE=BC=α，CE=2，∠CAE=，∠AEC=﹣α，由正弦定理可得：==，所以，a=4sinα，b=4sin（﹣α），…7分S△ABC=absin∠ABC=sin=4sinα•sin（﹣α）=2sinαcosα﹣2sin2α=sin2α+cos2α﹣=2sin（2α+）﹣，…11分当α=时，△ABC的面积取得最大值，最大值为2﹣．…12分【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式，三角形内角和定理，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，综合性较强，属于中档题．20．（12分）（2016秋•洛阳期中）函数f（x）=x•e x．（1）求f（x）的极值；（2）k×f（x）≥x2+x在递减，φ（x）≥φ（0）=1，故k≤1，综上，k=1，故k∈{1}．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．21．（12分）（2016秋•洛阳期中）等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】转化思想；运动思想；空间角；立体几何．【分析】（1）用分析法找思路，用综合法证明．取EF中点O，连接OP、OC．等腰三角形CEF 中有CO⊥EF，即OP⊥EF．根据两平面垂直的性质定理，平面PEF和平面ABFE的交线是EF，且PO⊥EF，分析得PO⊥平面ABFE．故只需根据题中条件证出PO⊥平面ABFE，即可利用面面垂直的判定定理证得平面EFP⊥平面ABFE．（2）根据第一问分析空间位置关系，可建立空间直角坐标线求得平面ABP和平面AEP的法向量的所成角，利用向量角和二面角关系，确定二面角大小．【解答】解：（1）证明：在△ABC中，D为AB中点，O为EF中点．由AC=BC=，AB=2．∵E、F分别为AC、BC的中点，∴EF为中位线，得CO=OD=1，CO⊥EF∴四棱锥P﹣ABFE中，PO⊥EF，…2分∵OD⊥AB，AD=OD=1，∴AO=，又AP=，OP=1，∴四棱锥P﹣ABFE中，有AP2=AO2+OP2，即OP⊥AO，…4分又AO∩EF=O，EF、AO⊂平面ABFE，∴OP⊥平面ABFE，…5分又OP⊂平面EFP，∴平面EFP⊥平面ABFE．…6分（2）由（1）知OD，OF，OP两两垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系（如图）：则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），E（0，，0），P（0，0，1）…7分∴，，设，分别为平面AEP、平面ABP的一个法向量，则⇒取x=1，得y=2，z=﹣1∴．…9分同理可得，…11分由于=0，所以二面角B﹣AP﹣E为90°．…12分【点评】证面面垂直，找对线面垂直是解决问题的关键，求二面角转化为向量角是解决问题方向．考查了空间位置关系，用勾股定理确定垂直关系，求二面角大小的空间向量法，平面法向量的求解方法．考查了折叠问题的运动思想，空间想象能力，分析问题解决问题的能力，化归与转化的能力．属于中档题．22．（12分）（2016秋•洛阳期中）已知函数f（x）=lnx﹣有两个零点x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）求证：x1+x2＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）问题转化为函数g（x）=xlnx的图象与直线y=k有2个交点，求出g（x）的单调性，画出函数图象，从而求出k的范围即可；（2）设x1＜x2，根据函数的单调性得到x2，﹣x1∈（，+∞），g（x）在（，+∞）递增，从而证出结论即可．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣有2个零点，即函数g（x）=xlnx的图象与直线y=k有2个交点，g′（x）=lnx+1，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，x=是极小值点，g（）=﹣，又x→0时，g（x）→0，x→+∞时，g（x）→+∞，g（1）=0，g（x）的大致图象如图示：；由图象得：﹣＜k＜0，（2）证明：不妨设x1＜x2，由（1）得：0＜x1＜＜x2＜1，令h（x）=g（x）﹣g（﹣x）=xlnx﹣（﹣x）ln（﹣x），h′（x）=ln，当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）在（0，）递减，h（）=0，∴h（x1）＞0，即g（x1）＞g（﹣x1），g（x2）＞g（﹣x1），x2，﹣x1∈（，+∞），g（x）在（，+∞）递增，∴x2＞﹣x1，故x1+x2＞．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，是一道中档题．。
河南省洛阳市2017-2018学年高一上学期期中考试数学Word版含答案(打印版)
洛阳市2017—2018学年第一学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷(选择题)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}|31,1,0,1A x x B =-<<=-，则A B =A. {}2,1,0,1--B. {}2,1,0--C. {}1,0,1-D. {}1,0-2.已知()2214f x x +=，则()3f -= A. B. C. D.3.下列函数中，既是偶函数，又是上()0,+∞的减函数的是A. 1y x= B. x y e -= C. 21y x =-+ D.lg y x = 4.已知集合{}2|210M x R ax x =∈+-=，若M 中只有一个元素，则a 的值是A. 0B. -1C. 0或-1D.0或1 5.函数()()22log 32f x x x=++-的定义域是 A. ()3,2- B. [)3,2- C. (]3,2- D.[]3,2-6.方程3log 3x x +=的解是0x ，若()0,1,x n n n N ∈+∈，则n =A. 0B. 1C. 2D. 37.若函数()225f x x ax =-+在区间[)1,+∞上单调递增，则a 的取值范围是 A.(],2-∞ B. [)2,+∞ C. [)4,+∞ D. (],4-∞8.已知()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()()22f f -+=的值为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 39.函数()2xx f x x⋅=的图象大致为10.已知23x y a ==，且112x y+=，则a 的值为 A. 36 B. 6 C. 66 11.已知4213332,4,25a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A. b a c <<B. a b c <<C. b c a <<D.c a b <<12.若对任意(],1x ∈-∞-，都有()3121x m -<成立，则m 的范围是 A. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.(),1-∞D.(],1-∞二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数()f x 的图象过点()4,2，则18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.14.已知函数()()1log 23a f x x =+-(0a >且1a ≠)恒过定点(),m n ，则m n += .15.计算:711log 221lg lg 2510074-+⎛⎫-÷+= ⎪⎝⎭. 16.已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，若()f x 在区间[]4,t -上的值域为[]4,4-，则实数t 的取值范围为 .三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(本题满分10分)设全集U R =，集合{}25371|24,|22x x A x x B x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤<=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭， (1)求(),U A B C A B ；(2)若集合{}|20C x x a =+>，且BC C =，求a 的取值范围.18.(本题满分12分)如图所示，定义域为(],2-∞上的函数()y f x =是由一条射线及抛物线的一部分组成，利用该图提供的信息解决下面几个问题.(1)求()f x 的解析式；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不同解，求a 的取值范围；(3)若()98f x =，求x 的取值集合.19.(本题满分12分)设函数()223,.f x x x a x R =--+∈ (1)王鹏同学认为，无论a 为何值，()f x 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明理由；(2)若()f x 是偶函数，求a 的值；(3)在(2)的条件下，画出()y f x =的图象并指出其单调递增区间.20.(本题满分12分)某工厂今年前三个月生产某种产品的数量统计表如下:为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数可选择二次函数2y px qx r =++(,,p q r 为常数且0p ≠)，或函数x y a b c =⋅+(,,a b c 为常数).已知4月份的产量为1.37万件，请问用以上那个函数作为模拟函数较好，请说明理由.21.(本题满分12分)已知函数()21ax b f x x +=+是()1,1-上的奇函数，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (1)求()f x 的解析式；(2)判断()f x 的单调性，并加以证明；(3)若实数t 满足()()10f t f t ++>，求t 的取值范围.22.(本题满分12分)对于函数()f x ，若存在一个实数a 使得()()f a x f a x +=-，我们就称()y f x =关于直线x a =对称，已知()()2112.x x f x x x m e e --=-++(1)证明()f x 关于1x =对称，并据此求()1291112191101010101010f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值； (2)若()f x 只有一个零点，求m 的值.。
河南省洛阳市20172018学年高一数学上学期期中试题(含解析)
洛阳市2017-2018学年第一学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得。
选D。
2. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方法一：令，解得。
∴。
选B。
方法二：∵，∴。
∴。
选B。
3. 下列函数，既有偶函数，又是上的减函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】选项A中，函数为奇函数，不合题意，故A不正确；选项B中，函数没有奇偶性，故B不正确；选项C中，函数为偶函数，且在上单调递减，符合题意；选项D中，函数为偶函数，但在上单调递增，不合题意，故D不正确。
选C。
4. 已知集合，若中只有一个元素，则的值是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】当时，，满足题意。
当时，要使集合中只有一个元素，即方程有两个相等的实数根，则，解得。
综上可得或。
选C。
5. 函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，解得。
∴函数的定义域为。
选A。
6. 方程的解为，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，∵,.∴函数在区间上有零点。
∴。
选C。
7. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，函数图象的对称轴为，∵函数在区间上单调递增，∴，解得。
∴实数的取值范围是。
选D。
8. 已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得。
选B。
9. 函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为。
当时，；当时，。
∴，其图象如选项B所示。
选B。
10. 已知，则，则值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，解得。
又，∴。
选D。
点睛：（1）对于形如的连等式，一般选择用表示x,y的方法求解，以减少变量的个数，给运算带来方便；（2）注意对数式和指数式的转化，即；另外在对数的运算中，还应注意这一结论的应用。
河南省洛阳市2017年10月2017～2018学年度高一第一学期期中考试数学试题及参考答案教师专用
洛阳市2017年10月2017～2018学年度第一学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】由题意得。
选D。
2.已知,则( )A. B. C. D.【参考答案】B【试题解析】方法一:令,解得。
∴。
选B。
方法二:∵,∴。
∴。
选B。
3.下列函数,既有偶函数,又是上的减函数的是( )A. B. C. D.【参考答案】C【试题解析】选项A中,函数为奇函数,不合题意,故A不正确；选项B中,函数没有奇偶性,故B不正确；选项C中,函数为偶函数,且在上单调递减,符合题意；选项D中,函数为偶函数,但在上单调递增,不合题意,故D不正确。
选C。
4.已知集合,若中只有一个元素,则的值是( )A. B. C.或 D.或【参考答案】C【试题解析】当时,,满足题意。
当时,要使集合中只有一个元素,即方程有两个相等的实数根,则,解得。
综上可得或。
选C。
5.函数的定义域是( )A. B. C. D.【参考答案】A【试题解析】由,解得。
∴函数的定义域为。
选A。
6.方程的解为,若,则( )A. B. C. D.【参考答案】C【试题解析】令,∵,.∴函数在区间上有零点。
∴。
选C。
7.若函数在区间上单调递增,则的取值范围是( )A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】由题意得,函数图象的对称轴为,∵函数在区间上单调递增,∴,解得。
∴实数的取值范围是。
选D。
8.已知,则的值为( )A. B. C. D.【参考答案】B【试题解析】由题意得。
选B。
9.函数的图象大致为( )A. B. C.D.【参考答案】B【试题解析】函数的定义域为。
当时,；当时,。
∴,其图象如选项B所示。
选B。
10.已知,则,则值为( )A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】∵,∴,∴,∴,解得。
洛阳市高一上学期期中考试数学测试卷解析版
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2 2 8
∵方程 f x a 有三个不同解
∴
3 8
a
≤0,即
a
的取值范围为
3 8
,0
;
（3）当 x ≤0 时,令 x 2 9 ,解之得: x 7 ;
8
8
当 0 x ≤2 时,令 3 x 2 9 x 3 9 ,解之得: x 1 （ x 5 舍去）.
3m
1
1 2x
即可. min
∵
1 2x
min
1 2 1
2 ,∴ 3m 1 2 ,解之得: m 1 .
∴ m 的取值范围是 ,1 .
高一数学试题 第 4 页
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题（每小题 5 分,共 20 分）
∴ f x 0, x 0
.
x 22 4, x 0
画出函数 f x 的图象如下页图所示:
高一数学试题 第 5 页
y
4
4
O
24
x
4
令 4x x 2 4 （ x 0 ）,解之得: x 2 2 2 .
∵ f x 在区间 4, t上的值域为 4,4
解析
当
a
0
时, 2x
1
0
,解之得:
x
1 2
,∴
M
1 2
,符合题意;
当 a 0 时, 4 4a 0 ,解之得: a 1.
综上所述, a 的值是 0 或 1 .
5. 函数 f x
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洛阳市2016——2017学年度第一学期期中考试
高一数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数(
)12
f x x =+的定义域为 A ．{}|32x x x ≥-≠-且
B ．{}|32x x x ≥-≠且
C ．{}|3x x ≥-
D ．{}|23x x x ≥-≠且 2.已知集合{}{}{}21,2,31,1,3,3M m m N M
N =--=-=，则m 的值为 A ．4,1- B ．1- C ．1,4-
D ．4 3.已知函数()248f x x kx =--在[]5,20上具有单调性，则实数k 的取值范围是
A ．(],40-∞
B ．[)160,+∞
C ．()(),40160,-∞+∞
D ．(][),40160,-∞+∞
4.已知函数()22,1,,112,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
，若()1f x =，则x 的值为
A ．1,1-
B ．1-
C ．1
D ．12
5.函数()2121
x x f x +=-的图象一定 A ．关于y 轴对称
B ．关于原点对称
C ．关于x 轴对称
D ．关于y x =轴对称
6.设0.90.60.3414,8,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
7.在同一平面直角坐标系中，函数()(),log a a f x x g x x ==的图象可能是
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8.要得到函数82x y -=⋅的图象只需要将函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的图象 A ．向左平移3个单位 B ．向右平移3个单位
C ．向左平移8个单位
D ．向右平移8个单位
9.函数32y x x =-的值域为
A ．2
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
10.若函数1112ln
,,122x y x x +⎡⎤=+∈-⎢⎥-⎣⎦的最大值与最小值分别为,M m ，则M m += A ．2 B ．4- C ．0 D ．4
11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()10f =，当1x ≠时，()ln 1f x x =-，设函数
()()g x f x m =-（m 为常数）的零点个数为n ，则n 的所有可能值构成的集合为
A ． {}0,4
B ．{}3,4
C ．{}0,3,4
D ．{}0,1,3,4
12. 已知函数()()()x F x g x h x e =+=，且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，
若对任意的()0,x ∈+∞，不等式()()2g x ah x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是
A ．(,22-∞
B ．(,22-∞
C ．(],2-∞
D ．(),2-∞
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
.
13. 已知集合{}1,2A =，集合B 满足A
B A =，则集合B 有 个。