考研数学证明题的知识点总结
考研高等数学重要基础知识点单调有界收敛准则及其应用
考研高等数学重要基础知识点单调有界收敛准则及其应用
2023考研高等数学重要基础知识点：单调有界收敛准则及其应用_中公教育网
一、单调有界准则
单调且有界的数列必收敛。
理解:单调递增且有上界的级数必收敛；具有下界的单调递减序列必定收敛。
题型:已知数列极限的递推关系，试图证明数列极限的存在性，并求出这个极限。
总结：
1)根据递推公式证明数列极限存在的基本思想:首先证明数列是单调有界的，从而得到数列极限的存在性；然后同时取方程两边的极限，得到方程，求出极限值。
2）证明数列单调有界的主要方法：
①先设出极限再求出极限值，对比极限值与数列前三项的大小关系确定证明数列单调递增还是单调递减、有上界还是有下界，以及上界或下界各是多少；
②证明时，先证有界性，再证单调性；
③为了更好地运用递推公式，证明过程中一般会用到数学归纳法。
以上根据具体问题给大家展示了利用单调有界收敛准则证明数列极限存在的具体分析思路和解题步骤，希望大家多总结方法，从题目中总结解题技巧和书写规范。
考研线代证明题
考研线代证明题摘要：1.考研线代证明题概述2.线性无关组的概念及性质3.证明题的解题思路和方法4.举例说明5.结论正文：一、考研线代证明题概述线性代数是考研数学的重要组成部分，其中证明题是历年考研数学试卷中必考的内容。
线代证明题主要涉及到向量空间、线性变换、特征值与特征向量、二次型等知识点。
这类题目不仅考查考生的数学知识，还考查考生的逻辑思维和推理能力。
二、线性无关组的概念及性质线性无关组是线性代数中一个基本概念，是指一组向量线性无关。
线性无关组的性质有：1.线性无关组中的向量可以线性表示其他向量；2.线性无关组中的向量数量是最大的；3.线性无关组中的向量具有线性无关性，即任意一个向量都不能由其他向量线性表示。
三、证明题的解题思路和方法解线代证明题，首先要理解题目所给出的已知条件，然后找到解题的思路。
具体方法如下：1.利用已知条件，通过线性组合将向量表示出来；2.利用线性无关组的性质，判断向量是否线性无关；3.利用矩阵的性质，如行列式、秩等，推导出所需结论。
四、举例说明假设有一个线性无关组a(1), a(2),..., a(s)，现在需要证明这个线性无关组是极大线性无关组。
我们可以按照以下步骤进行证明：1.假设a(1), a(2),..., a(s) 不是极大线性无关组，即存在一个向量a(i) 可以表示为a(1), a(2),..., a(s) 的线性组合，其中i 不属于{1, 2,..., s}。
2.根据线性组合的定义，可以得到一个矩阵方程，即a(i) = A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)，其中A、B、...、D 为待定系数。
3.由于a(1), a(2),..., a(s) 线性无关，所以矩阵方程中系数矩阵的行列式不为0，即|A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)| ≠0。
4.根据矩阵的秩的定义，系数矩阵的秩等于矩阵方程中未知数的个数，即r(A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)) = s。
考研数学：中值定理相关命题的证明方法总结
考研数学：中值定理相关命题的证明方法总结中值定理这一块是考研数学的重点同时也是难点，对于中值定理这一块的相关证明题，很多同学一碰到，多数是束手无措，难以找到解题的突破口，现在跨考教育数学教研室易老师就这一问题做详细的方法介绍。
这一类型的问题，从待证的结论入手，首先看结论中有无导数，若无导数则采用闭区间连续函数的性质来证明（介值或零点定理），若有导数则采用微分中值定理来证明（罗尔、拉格朗日、柯西定理），这个大方向首先要弄准确，接下来就待证结论中有无导数分两块来讲述。
一、结论中无导数的情况结论中无导数，接下来看要证明的结论中所在的区间是闭区间还是开区间，若为闭区间则考虑用介值定理来证明，若为开区间则考虑用零点定理来证明。
例1 ()f x 在[]0,3上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，证明：至少存在一点[]0,3c ∈，使得() 1.f c =分析：待证结论中无导数，则用闭区间连续函数的性质来证，且待证的结论的中值在闭区间上，故应采用介值定理来证明。
证明：()f x 在[]0,2上连续，,m M ∴∃使3(0)(1)(2)3m f f f M ≤++≤1m M ⇒≤≤,∴由介值定理可得结论。
二、结论中有导数情况① 结论中有导数，无端点信息，则采用罗尔定理来证明。
用罗尔定理来证明的常见题型：● 型一：()()0n f ξ=● 型二：结论中仅有ξ的相关表达式，且导数相差一阶用罗尔定理来证明题时，难点就在找原函数上，找原函数的常用方法分为两种，一为观察法，二为积分法。
观察法：i ）待证结论若为这种形式'()g()()g'()0()()f f f x g x ξξξξ+=⇐原函数为ii ）待证结论若为这种形式()'()()()'()0()f x fg f g g x ξξξξ-=⇐原函数为积分法：i ）待证结论若为这种形式()'()()()0()()g x dx f g f F x e f x ξξξ⎰+=⇐=原函数为ii ）待证结论若为这种形式()"()()'()0()'()g x dxf g f F x e f x ξξξ⎰+=⇐=原函数为 例2 ()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(1)0,f =证明：(0,1)ξ∃∈，使得 '()2()0f f ξξξ+=分析：有导数，无端点信息，采用罗尔定理。
考研数学解答证明题的思路与方法
考研数学解答证明题的思路与方法一、引言在考研数学中，解答证明题是一项重要的任务。
要正确解答证明题，需要具备一定的思路和方法。
本文将介绍考研数学解答证明题的常用思路和方法，帮助考生提高解题的能力。
二、归纳法归纳法是解答证明题常用的一种方法。
其基本思路是通过证明结论在某个特殊情况成立的前提下，在下一个更一般的情况中同样成立。
归纳法可以分为数学归纳法和强归纳法两种。
1. 数学归纳法数学归纳法通常适用于证明一些递推关系或与正整数相关的结论。
其基本步骤包括：首先证明当n=1时结论成立；然后假设当n=k时结论成立，利用这个假设证明当n=k+1时结论也成立。
通过这种方法可以推广到所有的正整数n。
2. 强归纳法与数学归纳法类似，强归纳法也通过已知结论在某一情况下成立的前提下，推广到更一般的情况中。
不同之处在于强归纳法在假设某个情况成立时，同时假设之前的情况也成立。
通过这种方法可以解决一些复杂的证明问题。
三、反证法反证法是另一种常用的证明方法。
其基本思路是假设结论不成立，然后推导出与已知的事实相矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
反证法常用于证明一些唯一性问题，或证明某个命题的否定推出矛盾。
四、递推法递推法是解答证明题的又一重要方法。
其基本思路是利用已知条件和递推公式，从已知情况出发，通过递推关系逐步推导出目标结论。
五、条件必要性与充分性在解答某些证明题时，需要分别证明条件的必要性和充分性。
必要性是指如果某个条件成立，则结论必然成立；充分性是指如果结论成立，则条件必然成立。
通过证明必要性和充分性可以确保得到正确的结论。
六、举反例有时候，在解答证明题时，可以通过举反例来证明某个命题是错误的。
只要找到一个例子使得命题不成立，就可以推断该命题是错误的。
七、总结考研数学解答证明题需要掌握一定的思路和方法。
本文介绍了几种常用的解题方法，包括归纳法、反证法、递推法、条件必要性与充分性以及举反例法。
掌握这些方法，将有助于考生在考试中解答证明题时更加得心应手。
2020考研数学：极限计算方法之定义证明法
版权所有翻印必究1 2020考研数学：极限计算方法之定义证明法极限是高数整个学科的基石，是高数处理问题的基本思想；在考试中每年分值在10分左右，主要考查计算，而极限的计算方法较为灵活，定义证明法虽然在考试中并未直接涉及，但是了解定义证明法求极限对于理解极限的定义非常有帮助。
利用极限定义证明极限存在一直以来都是考研数学关于讨论极限存在方法中的难点，也是大家必须掌握的内容，同时本考点会结合着其他知识点进行考查。
相对来说，利用极限的定义证明极限存在是讨论极限存在的基本方法，接下来讲解一下利用定义证明极限存在的知识点。
1、函数极限定义（1）设函数()f x 在0x 的某去心邻域内有定义，如果存在实数A ，使得0ε∀>，∃0δ>，当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-+ 时，有()|f x A ε-<|，则称()f x 在0x 点处的极限值为A ，记作0lim ()x x f x A →=。
设函数()f x 在0x 的某左邻域内有定义，如果存在实数A ，使得0ε∀>， 0δ∃>当00(,)x x x δ∈-时，有()|f x A ε-<|，则称()f x 在0x 点处的左极限为A ，记作0lim ()x x f x A -→=。
或0()f x -，或0(0)f x -。
类似地，可以定义右极限，记作0lim ()x x f x A +→=，或0()f x +，或0(0)f x +。
左极限和右极限统称为单侧极限。
（2）设函数()f x 在()(),,X X -∞-+∞ 上有定义（X 为某正数），如果存在实数A ，使得0ε∀>， 0M ∃>，当x M >时，有()|f x A ε-<|，则称当x →∞时()f x 的极限值为A ，记作lim ()x f x A →∞=。
类似地，可以分别定义x →-∞和x →+∞时()f x 的极限lim ()x f x →-∞和lim ()x f x →+∞。
2019考研数学三证明题详解及答案
2019考研数学三证明题详解及答案一、问题背景介绍2019考研数学三中的证明题是该科目中的一项重要部分。
本文将对2019年考研数学三的证明题进行详细解析，并提供答案及说明。
二、第一道证明题详解题目：证明若函数f(x) 在区间[a,b] 上连续，则必在该区间上有界。
证明过程：首先，我们可以利用反证法来证明这个结论。
假设函数 f(x) 在区间[a,b] 上连续，但却无界。
由于 f(x) 在 [a,b] 上连续，所以在该区间上 f(x) 是有界的。
根据闭区间上连续函数的性质，连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值。
所以，我们可以找到 f(x) 在 [a,b] 上的最大值 M 和最小值 m。
假设 f(x) 在 [a,b] 上无界，那么必然存在一个数 A，使得对于任意的x∈[a,b]，f(x) > A。
在区间 [a,b] 上，我们可以找到无限个点 x1，x2，x3...，它们都满足 f(x) > A。
由于 f(x) 是有界的，所以必然存在一条水平线 y = M+1，位于最大值 M 上方。
根据连续函数的性质，我们可以找到开区间 (c,d)，其中 c∈[a,b]，这样在 (c,d) 内的任意一个点 x 都满足 f(x) > A。
然而，由于连续性的定义，我们知道 f(x) 是有界函数，所以在 (c,d) 的某一点 x' 上，f(x') ≤ M。
这与 f(x') > A 相矛盾。
因此，假设不成立。
即证明了函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续时必有界。
三、第二道证明题详解题目：证明方程 x^2 - 4x + 3 = 0 的解集为{1, 3}。
证明过程：首先，我们可以通过求根公式来解方程 x^2 - 4x + 3 = 0。
根据求根公式，对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以表示为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
考研数学重要定理性质及公式证明总结
考研数学重要定理、性质及公式证明总结1. 证明一元函数可微、可导及连续的关系 :（1） 函数y = f ( x )在点x 0处可微的充分必要条件是函数y = f ( x )在点x 0处可导,且当函数y = f (x )在点x 0处可微时,有dy = f '( x 0 ) ∆x = f '( x 0 ) d x ； （2） 如果函数y = f ( x )在点x 0处可导,则函数函数y = f ( x )在点x 0处必连续,反之不一定.证明:（1）参看同济教材七版上册111页； （2）参看同济教材七版上册82页.2. 证明费马定理 :设函数f ( x )在x = x 0处可导且取极值,则f '( x 0 ) =0. 证明:参看同济教材七版上册125页.3. 证明罗尔定理 :设f ( x )在[a , b ]上连续,在(a , b )内可导,且f (a ) = 证明:参看同济教材七版上册126页.4. 证明柯西中值定理 :f (b ),则至少存在一点ξ ∈(a ,b ), 使得f '(ξ ) =0. 设f ( x )、g ( x )在[a , b ]上连续, (a , b )内可导, 且g '( x ) ≠ 0,则∃ξ ∈(a , b ),使得f (b ) - f (a ) = f '(ξ ).证明:参看同济教材七版上册130页.5. 证明洛必达法则:设f ( x ), g ( x )在点x 0的某去心邻域内可导,且g '( x ) ≠ 0, 又满足:f '( x )f ( x )g (b ) - g (a )f '( x )g '(ξ )（1）lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0（, 2）极限lim 存在或为∞;则lim = lim .x →x 0 x → x 0 x →x 0 g '( x ) x →x 0 g ( x ) x → x 0 g '( x ) 证明:参看同济教材七版上册133页.6. 证明函数单调性的充分判别法 :设f ( x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导,且f '( x ) > 0 (< 0), 则f ( x )在[a , b ]上单调增加（单调减少）. 证明:参看同济教材七版上册144页.7. 证明曲线凹凸性的充分判别法 :设f ( x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内二阶可导,且f ''( x ) > 0 (< 0), 则f ( x )在[a , b ]上的图形是凹的（凸的）. 证明:参看同济教材七版上册148页.8. 证明极值点的充分条件 :设f (x )在x = x 0处二阶可导, f '( x 0 ) = 0, 若f '( x 0 ) > （0 证明:参看同济教材七版上册155页.< 0）,则x = x 0是极小（大）值点.a∆ → a 9. 证明拐点的必要条件及充分条件 :（1）设f ( x )在x = x 0处二阶可导,且点( x 0 , f ( x 0 ))是曲线f (x )的拐点,则f ''( x 0 ) = 0； （2）设f (x )在x = x 0处三阶可导, f ''( x 0 ) = 0, 若f ''( x 0 ) ≠ 0, 则点(x 0 , f ( x 0 ))是曲线f (x )的拐点. 证明:（1）设f ''( x 0 )∃ ⇒ f ( x )在x = x 0的某邻域可导,因( x 0 , f ( x 0 ))是曲线的拐点 ⇒ f ( x )在x = x 0的两侧凹凸性相反⇒ f '( x )在x = x 0的两侧单调性相反,又f '( x )在x = x 0连续 ⇒ x = x 0是f '( x )的极值点,对f '( x )使用费马定理, 得f ''( x 0 ) = 0.（2）f ''( x ) = lim f '( x ) - f '( x 0 ) = lim f '( x ) > 0或< 0 ⇒ f '( x )在x = x 两侧异号 0x → x 0 x - x x →x 0 x - x0 0 0⇒ ( x 0 , f ( x 0 ))是曲线f (x )的拐点.10. 证明积分中值定理 :设f ( x )在[a , b ]上连续,则至少存在一点ξ ∈(a , b ), 使得⎰b f ( x )dx =f (ξ )(b - a ). 证明:参看同济教材七版上册242页例6.11. 证明变限积分函数的连续性 :设f ( x )在[a , b ]上可积,则对∀x 0 ∈[a , b ], 有F ( x ) = xf (t )dt 在[a ,b ]上连续.证明:因f ( x )在[a , b ]上可积, 故f ( x )在[a , b ]上有界,则可设 f ( x ) ≤ M （x ∈[a , b ]）.x +∆xx +∆x 又∀x , x + ∆x ∈[a , b ], 有 ∆F = F ( x + ∆x ) - F ( x ) = ⎰xf (t ) d t - ⎰x f (t )dt = ⎰xf (t )dtx +∆x x +∆x≤ ⎰xf (t ) d t ≤ ⎰xMdt = M ∆x ,因此,当x , x + ∆x ∈[a ,b ]时,lim ∆F = 0,即F ( x )在[a , b ]上连续.x 012. 证明牛顿 — 莱布尼茨公式:设F ( x )是连续函数f ( x )在区间[a , b ]上的一个原函数,则⎰bf ( x )dx = F (b ) - F (a ). 证明:参看同济教材七版上册240页.13. 证明二元函数可微的必要条件 :设z = f ( x , y )在点( x , y )处可微,则z = f ( x , y )在点( x , y )处可导,且z = f ( x , y )在点( x , y )处的 全微分dz = ∂z dx + ∂zdy .∂x ∂y证明: 参看同济教材七版下册73页.14. 证明二元函数可微的充分条件 :设z = f (x , y )的两个偏导数∂z , ∂z在点( x , y )处都连续,则z = f ( x , y )在点( x , y )处可微. ∂x ∂y证明: 参看同济教材七版下册74页.⎰x⎰L Pdx + Qdy = ⎪ ∑ ∞15. 证明比值判别法（数一数三）:⎧⎪⎪ρ < 1 ⇒ ∑ n =1u n 收敛 ∞ u n +1 ⎪ ∞设∑u n 为正项级数, 设ρ = lim ,则⎨ ρ > 1 ⇒ ∑u n 发散n =1 n →∞ u n⎪⎪ρ = 1 ⇒ ∞ n =1u n 可能收敛也可能发散 ⎩证明: 参看同济教材七版下册262页.16.证明阿贝尔定理（数一数三）:∞n =1 如果级数∑ a x n 当x = x ( x ≠ 0)时收敛,那么满足 x < x 的一切x 都使该幂级数绝对收敛;nn =0 ∞反之,如果级数∑ a x n 当x = x 时发散,那么满足 x > x 的一切x 都使该幂级数发散.nn =0证明: 参看同济教材七版下册274页.17. 证明格林公式（数一）:设区域D 由分段光滑的闭曲线L 围成,函数P ( x , y )及Q ( x , y )在D 上具有一阶连续偏导数,则 ⎛ ∂Q - ∂P ⎫⎰⎰ ∂x ∂y ⎪dxdy . D ⎝ ⎭证明: 参看同济教材七版下册205页.18. 证明曲线积分与路径无关问题（数一）:我们已知:设P ( x , y ), Q ( x , y )在区域D 上连续,则曲线积分⎰LPdx + Qdy 在D 内与路径无关⇔ 对区域D 内∀ 分段光滑闭曲线C , 有⎰CPdx + Qdy = 0.证明: 设区域D 是一个单连通区域,函数P ( x , y ), Q ( x , y )在D 上具有一阶连续偏导数,则曲线积分⎰ Pdx + Qdy 在D 内与路径无关 ⇔ ∂Q = ∂P(( x , y )∈ D ).L证明: 参看同济教材七版下册209页.∂x ∂y 证明: 设区域D 是一个单连通区域,函数P ( x , y ), Q ( x , y )在D 上具有一阶连续偏导数,则Pdx + Qdy 在D 内是某一函数u ( x , y )的全微分⇔ ∂Q = ∂P(( x , y )∈ D ).∂x ∂y （这里的u ( x , y )也称为Pdx + Q dy 的一个原函数） 证明: 参看同济教材七版下册211页.。
考研数学备考复习有些证明
考研数学备考复习有些证明我们在准备考研数学的备考时，需要把一些证明的题型了解清楚。
为大家精心准备了考研数学复习证明的指导，欢送大家前来阅读。
一、数列极限的证明数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准那么。
二、微分中值定理的相关证明微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：1.零点定理和介质定理;2.微分中值定理;包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。
3.微分中值定理积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。
三、方程根的问题包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
四、不等式的证明五、定积分等式和不等式的证明主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法;积分学的方法：换元法和分布积分法。
六、积分与路径无关的五个等价条件这一局部是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。
首先是确定做题顺序，可以采用填空、计算、选择、证明的顺序。
因为尽管选择题的分数相对要少一些，但它们一般对根底知识要求较高，选项迷惑性大，有时需要花很多时间去分析也难以取舍;而且有些选择题的计算量也是很大的，如果在做题的开始就感觉不顺而花太多时间的话，会影响考试的心理状态。
证明题考查的是严密的逻辑推理，难度也比拟大。
因此，建议这两类题型可以放在后面做，而先做相对简单的。
一般来说，平时复习的时候要尽量从自己薄弱的方面“榨取”分数，而正式考试时，先通观整个试卷，迅速客观地评估自己的实力，明确哪些分数是必得的，哪些是可能得到的，哪些是根本得不到的，再采取不同的应对方式，才能镇定自假设，进退有据，最终从整体上获胜。
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考研数学证明题的知识点总结
考研数学证明题的知识点总结
考试难题一般出现在高等数学，对高等数学一定要抓住重难点进行复习。
高等数学题目中比较困难的是证明题，在整个高等数学，容易出证明题的地方如下：
一、数列极限的证明
数列极限的证明是数一、二的`重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。
二、微分中值定理的相关证明
微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：
1.零点定理和介质定理；
2.微分中值定理；
包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。
3.微分中值定理
积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。
三、方程根的问题
包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
四、不等式的证明
五、定积分等式和不等式的证明
主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法；积分学的方法：换元法和分布积分法。
六、积分与路径无关的五个等价条件
这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。