塑性力学-屈服条件(精)
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弹性与塑性力学基础-第五章屈服准则与塑性应力应变关系
0
m
0 0 m
Uv
1 3 ( m m m m m m ) m m 2 2 1 m ( 1 2 3 ) 3
1 m ( 1 2 3 ) 3
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
积之和的一半(主坐标系中)
U
1 ( 1 1 2 2 3 3 ) 2
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义 米塞斯屈服准则 5.2.2
由广义虎克定律
1
1 2 [ 2 ( 1 3 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
式中， 为波桑系数，于是可得
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义 米塞斯屈服准则 5.2.2
单位体积变化位能Uv确定
取应力球张量及应变球张量
m T0
由此得
0
m
0 0 m
m T0
§5-10 全量理论
5.10.1 问题的背景及引出 5.10.2 亨盖理论(1924年) 5.10.3 那达依理论(1937年) 5.10.4 伊留申理论(1943年) 5.10.5 全量理论的问题与发展
弹性与塑性 力 学 基 础
塑性力学论文
塑性力学中的屈服条件和本构关系摘要：塑性力学是研究材料在塑性变形状态下应力和应变关系的一门基础学科，它以大量的实验为基础，获得不同材料的本构关系，本文通过对材料屈服条件和本构关系的简单描述来增进对塑性力学的了解。
关键词：屈服条件，本构关系Abstract: Plastic mechanics is a basic subject focus on studing the relationship between the stress and the strain while the material is in a plastic state, it is based on a large number of experiments to obtain the constitutive model of different material. In this paper, we try to enhance the understanding of Plastic mechanics through learning the yield condition and the constitutive model of the material.Key word: yield condition、constitutive model.塑性力学又称塑性理论，是固体力学的一个分支，其任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。
在物体受到足够大外力的作用后，它的一部或全部变形会超出弹性范围而进入塑性状态，外力卸除后，变形的一部分或全部并不消失，物体不能完全恢复到原有的形态，这就是所谓的材料的塑性变形，塑性力学主要研究的是材料在塑性变形时应力和应变的关系。
要注意的是塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，永久变形与时间有关的部分属于流变学研究的范畴。
弹塑性力学10-6梁模型计算圆板和环板的塑形极限载荷(精)
r
o b
解：
o
z
r
b r a
z
a
m= 2Mp
2rM r 2 r b M p
2 r b r b 2rrq 2bq r b 2bq
b r b r 2b Mr 1 M p q r 6r
2
2
2
3
r
o
解：
o
z
r
r a
a
z
2rM r 2rM p r r 2rq 2 3
m= 2Mp
qr 2 Mr M p 6
Mr
r a
qa2 M p M p M 支圆板：
Mr
r a
0
ql 6
Mp a2
例题2：半径为 a 的简支环板，内半径为 b ，受均布载荷 q 作用，圆板单 位塑性极限弯矩为： Mp ，求塑性极限载荷。 2rq q
i 1
ai bi
( n 2) 2n 2 n
Pl M P cota i cot b i
i 1
n
正多边形（集中力作用在板中心）： a i b i
( n 2) 2n 2 n
Pl M P 2 tan
i 1
n
n
Pl 2nM P tan
r
o b
解：
o
b c a
z
a
m= 2Mp
z
2 r b M p brc 2rM r 2 r b M p P r c c r a
Mr
r a
0
Pl
2 a b M p ac
弹塑性力学-15 屈服理论
●应力空间
3 P(1, 2 , 3 )
以应力分量为坐标轴—空间坐标系
主应力空间：主应力分量为坐标轴
2 1
●应力路径 一点应力状态的变化：应力点 在应力空间的运动轨迹来描述
应力空间既非几何空间又非物理空间
15.1 屈服理论分析
3. 屈服条件的一般形式
材料屈服与否取决于其所受 的应力状态和材料特性参数
S
等倾线
L P
2
一点的应力矢量 OP 1e1 2e2 3e3
15.1 屈服理论分析
2. 屈服条件的一般形式
3 QL
OP 1e1 2e2 3e3
P
n
1 3
e1
1 3
e2
1 3 e3
平面 o S
2
1
OQ OP n
1 3
(1
2
3
)
15.1 屈服理论分析
3. 屈服条件的一般形式
3. 屈服条件的一般形式
由于
f (1, 2 , 3, k) 0
I1 ii x y z 1 2 3 3 m
I2
x y
y z
z x
2 xy
2 yz
2 zx
1 2 2 3 31
I3
x
y
z
2 xy
yz
zx
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
1 2 3
15.1 屈服理论分析
怎样建立屈服理论？
●根据屈服现象与机制，提出理论假设； ●基于理论假设建构屈服模型，即给出包含 屈服参数的理论公式； ●根据简单条件下的屈服试验结果，确定其 中的屈服参数； ●通过复杂应力状态下的屈服试验结果，对 理论进行检验。
塑性力学02屈服条件
1. Lode实验 1926年W.Lode在软钢,铜和镍的薄壁筒上做实验, 薄壁筒受轴向力 P 和内压 p 的作用.
Tresca条件有: 1 3 1 S
Mises条件有:
1 3 2
S
32
应力状态为:
1
pr t
13
2
z
pr P
2t 2rt
S
3r 0
P r2p
1 .1 5
实验表明Mises条件较符合.
(2) 应力应变是非线性关系
(3) 应力应变之间不存在单值关系
• 塑性力学考虑的材料的简化的应力应变关系有
s
理想弹
s
塑性体
o
o
s
线性硬 s 化弹塑
o
性体
o
理想刚 塑性体
线性硬 化刚塑 性体
2-2 初始屈服条件和屈服曲面
• 初始屈服条件. 对于单向拉伸时拉伸应力等于材料的屈服应力 时开始屈服, 但是在一般情况下一点的应力状态时六个应力分 量, 我们不能简单地说哪一个分量达到屈服应力,这一点开始屈 服. 但有一点可以肯定, 屈服条件应该和这六个分量有关, 把它
力点仍应满足屈服条件, 因而
o
在三维主应力空间中, 屈服面
是一个等截面柱体, 它的母线
1
与L直线平行(图中深黄色线).
L(123)
2
(2) 现在我们来进一步研究在 平面上的屈服曲线. 首先因为
材料是均匀各向同性的, 则 1,2,3 互换时也会屈服, 所以
这条屈服曲线应对称于直线1,2,3. 另外可以假设拉伸和压缩时 的屈服极限相等(没有Bauschinger效应),因此当应力符号改变 时, 屈服条件仍不变. 这就是说, 这条屈服曲线应关于原点对称.
塑性力学2屈服条件
1 3 1 2 2 z 4 z 2 2
z 2 z 2 ( ) 4( ) 1 s s
• Mises屈服条件为
J2
(
1 1 2 2 2 2 6 ( z 3 2 z z z ) 6 3
z 2 ) 3( z ) 2 1 s s
Mises圆
外切 Tresca六边形
内接 Tresca 六边形
e '
e '
2 4 两种屈服条件的简单算例1 2.4
设一应力状态为σ1=30， σ2=25， σ3=10，材料的强度极限 σs=20. 试用Tresca条件和Mises条件判断材料是否屈服。
* *
对Tresca条件： σ1-σ3=30-10=20，2k= σs =20 即σ1-σ3 = 2k 材料开始屈服 对Mises条件： 条件
2 2 初始屈服条件和初始屈服面1 2.2
2 2 初始屈服条件和初始屈服面2 2.2
*
2 2 初始屈服条件和初始屈服面3 2.2
*
2 2 初始屈服条件和初始屈服面4 2.2
几何意义
屈服条件 服条件 f ij 0 在以应力分量为坐标的应力空间中为一曲面。
称为屈服曲面。 屈服曲面是区分弹性和塑性的分界面。
中性变载 加载准则
2 6 几种硬化法则1-1 2.6 1 1
实际材料的加载曲面的演化规律非常复杂，在应用中使用简化模型。 1、等向强化（各向同性强化）模型 认为后继屈服曲面（加载曲面）就是屈服曲面在应力空间的相似扩大。 等向强化模型的表达式可写成：
f ( ij ) K 0
其中f是初始屈服函数，
其中f 是初始屈服函数，
ˆ ij 是后继屈服曲面中心在应力空间中的位置，它是 是后继屈服曲面中心在应力空间中的位置 它是 h 的函数。 的函数
塑性力学之屈服条件与破坏条件
第三章 屈服条件(yield criteria)
3.1 屈服条件的概念 3.2 描述屈服条件的坐标体系 3.3 屈服条件的研究历史 3.4 常用的几种屈服条件
强度极限
屈服上限
屈服下限 弹性极限
b L y e
强化段
U y
软化段
卸载
残余变形
弹性变形
图3.1 低碳钢的应力应变曲线
◆ 理想弹塑性力学模型
理想弹塑性力
学模型亦称为弹
性完全塑性力学 模型，该模型抓 住了韧性材料的 主要变形特征。
tan 1 E
其表达式为：
E E s s
(当 s时) (当 s时)
◆ 理想线性强化弹塑性力学模型
理想线性 强化弹塑性 力学模型亦 称为弹塑性 线性强化材 料或双线性 强化模型。 其数学表达 式为：
1 2 2 4 k 2 2 3 2 4 k 2 3 1 2 4 k 2 0 或 3 2 4J2 27 J 32 36k 2 J 2 96k 4 J 2 64k 6 0
(p, q, θσ)： 土力学
1 p ( 1 2 3 ) 3 1 q ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 1 1 2 2 1 3 tan ( ) 3 1 3
四种常见强度理论及强度条件
1. 最大拉应力理论（第一强度理论）
最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。即认为无论材料处 于什么应力状态,只要最大拉应力达到简单拉伸时破坏的极限值， 就会发生脆性断裂。 1 0 1－构件危险点的最大拉应力 强度条件
3.1 屈服条件的概念 3.2 描述屈服条件的坐标体系 3.3 屈服条件的研究历史 3.4 常用的几种屈服条件
强度极限
屈服上限
屈服下限 弹性极限
b L y e
强化段
U y
软化段
卸载
残余变形
弹性变形
图3.1 低碳钢的应力应变曲线
◆ 理想弹塑性力学模型
理想弹塑性力
学模型亦称为弹
性完全塑性力学 模型，该模型抓 住了韧性材料的 主要变形特征。
tan 1 E
其表达式为：
E E s s
(当 s时) (当 s时)
◆ 理想线性强化弹塑性力学模型
理想线性 强化弹塑性 力学模型亦 称为弹塑性 线性强化材 料或双线性 强化模型。 其数学表达 式为：
1 2 2 4 k 2 2 3 2 4 k 2 3 1 2 4 k 2 0 或 3 2 4J2 27 J 32 36k 2 J 2 96k 4 J 2 64k 6 0
(p, q, θσ)： 土力学
1 p ( 1 2 3 ) 3 1 q ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 1 1 2 2 1 3 tan ( ) 3 1 3
四种常见强度理论及强度条件
1. 最大拉应力理论（第一强度理论）
最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。即认为无论材料处 于什么应力状态,只要最大拉应力达到简单拉伸时破坏的极限值， 就会发生脆性断裂。 1 0 1－构件危险点的最大拉应力 强度条件
第五章：屈服准则与塑性应力应变关系
2
OP (1, 2 , 3 )
P点向OE投影，投影点N，则OP：。
O
OP ON NP
1
ON ( m , m , m )
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
所以：
3
P
N
E
NP ( 1 , 2 , 3 ) ( m , m , m ) ( 1 m , 2 m , 3 m ) ( '1 , '2 , '3 )
f ( J 2 , J3 ) C
对拉压性能相同时，以f()是J3的偶函数。 注意：屈服准则方程也是进入塑性后应力需要准则。 因为塑性行为的复杂性，对材料的单向应力状态下，应力应变关系作以 下几种模型的假定，本教材主要用前两种：
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系
5.1 屈服准则概念
屈服准则、屈服条件，描述材料从弹性进入塑性并使塑性变形继续的条 件。对于单向应力采用：
s
作为屈服准则。但是对于复合应力状态，屈服准则与应力状态有关，屈服准 则为：
f ( x , y , z , xy , yz , zx ) C
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
屈服函数表现出几何图形，对了解其性质和两种屈服准 则的比较有积极作用。 屈服函数是一曲面，首先看二维应力，即： 3 0
Mises屈服函数：
2 12 1 2 2 s2
为一椭圆。 Treasca屈服函数：
1 2 s 2 3 s 3 1 s
代表应力偏量。如果P应力状态代表塑 性变形，对于Mises屈服准则：
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理想刚 塑性体
线性硬 化刚塑 性体
s
o
线性硬 化弹塑 性体
s
o
第二节 初始屈服条件和初始屈服曲面
初始屈服条件的应力表示形式：
简单应力状态
单拉
s 0
纯剪 s 0
一般应力状态
f ij 0
与应力状态的各分量有关； 屈服函数在应力空间表示一个曲面 代表材料屈服各种可能的应力状态 与坐标选取无关：
第二章 屈服条件
第一节 简单拉伸时的塑性现象
曲线的基本特征 应变硬化 应变软化 •比例、弹性 L b •非弹性、初始屈服 D s •硬化、软化 C e B 1初始屈服 p A •Hooke定律 s 1 •材料常数 tan E 2应变硬化 O O D 硬化规律 p e 3后继屈服 s •后继弹性 •后继屈服应力 D 反向屈服点 •非材料常数 s s A 4反向加载 Bauschinger效应 s •Bauschinger效应
2 k
k 2 s
3 k
k 3 s
(4)讨论和评价 屈服条件的常数：
Tresca:
Mises:
s 0.5 s
s 0.577 s
实际工程材料： s (0.56 ~ 0.6) s 中间主应力和平均应力
2
Tresca: Mises: 不包含 包含
Tresca条件:
1 3 1 S
Mises条件:
1 3 2 2 S 3
1 3 S
1.15 1.00 1
Mises条件
Tresca条件
0
1
实验表明Mises条件较符合
2. Taylor 、Quinney 实验(1931) 软钢、铜和铝薄壁圆管的拉扭联合实验 拉力 P , 扭矩 T 管壁处于平面应力状态 P T x xy 2 rt 2 r 2t r是管的平均半径， t 管的壁厚
• 塑性变形规律的重要特点 (1) 要有一个判别材料是处于弹性阶段还是塑性阶段的判断 式, 即屈服条件: 初始屈服条件 s 和后继屈服条件 '
s
(2) 应力应变是非线性关系
(3) 应力应变之间不存在单值关系
• 塑性力学中，材料的简化应力应变关系 s s 理想弹 塑性体 o o
Mises条件：(应力强度不变条件) 应力强度达到一定值时，材料开始进入塑性状态。
Mises条件的物理解释：
形状变形比能： 应力偏量第二不变量：
Wd
1 2 k 3E
1 2 J2 k 3
oct
2
八面体剪应力：
剪应力均方值:
2 k 3
2 2 k 15
(3)常数的确定 屈服条件对各种应力状态都适用，用简单应力状态确定常数 简单拉伸 不为零的应力 1 屈服判断： 1 s
m
未考虑
未考虑
实验验证 1. Lode实验(1926)
采用钢、铜和镍的两端封闭的薄壁圆管, 受轴向拉力 P 和内压 p 的作用。
应力状态为：薄壁近似均匀应力(柱坐标系，z沿着管的轴向) pr pr P 1 2 z t 2t 2 rt
3 r 0
r是管的平均半径， t 管的壁厚 P 2 r p 通过改变轴向拉力和内压的比值，改变应力状态
30
1
30
y
2
x
2 k 2
2 rk 3
(2) Mises屈服条件(1913) 用外接圆柱面来代替正六棱柱面，屈服曲线就是正六边形的外 2 接圆 2 2 2 x y k 3 主应力表示：
1 x ( 1 3) 2
2
1 y 2 2 1 3 6
常数确定： Tresca: Mises: 简单剪切
1 k 1 k
1
k s k s
平面上由屈服 轨迹的几何关系决定？
3
屈服判断： s Tresca: s 0.5 s 1 s Mises: s 3
常数确定： Tresca: Mises:
f ( I1 , I 2 , I 3 ) 0
屈服与静水应力无关： f ( J 2 , J 3 ) 0
初始屈服面及在 平面上的轨迹 在应力空间中，初始屈 服面是母线平行于L线 的柱面
3
L( 1 2 3 )
o
2
(2) 在 平面上的初始屈服 曲线 •基本假设 •屈服与平均应力无关 •材料是均匀各向同性的
6
y
30
x
5
3
1 s , 2 0, 3 s 0, 0
p
4
2
中间其他点的实验测定？
第三节 Tresca条件和Mises条件
（1）Tresca屈服条件(1864) 金属挤压实验观测, 发现当最大剪应力达到一个固定值, 材料 开始屈服
最大剪应力条件：
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx k / 2
1 2 3
1 3 k
主应力代数值大小未明确的一般情况下：
1 2 k
3 1 k
2 3 k
六个平面在主应力空间形成正六棱柱面
Tresca屈服条件在 平面上的轨迹是一个正六边形
3
外接圆的半径为:
2 k 3
o
内切圆的半径为:
2 k 2
2 2
1 2 2 3 3 1 2k 2
2 2 2 2 6 2 k x y y z z x xy yz zx 2 2 2
应力强度（Mises等效应力）表示： i k
1
•没有Bauschinger效应
•几何特性： •包围原点的外凸曲线 •分别关于 1 , 2 , 3 对称 •关于原点对称
实验确定 平面上30度 范围的初始屈服曲线
3
4 2
5
1
单拉：A点
1 s , 2 3 0
6
1
o
1, 30
A B
纯剪：B点