常微方程

Peano现象: Cauchy问题解不唯一,即通过某个初 值点的积分曲线至少两条.
dy 2 y, dx y ( x0 ) 0,
sol1: y 0, 0, x x0 , sol 2 : y ( x x )2 , x x . 0 0
原则上讲初始函数 0(x) 可以任意取， 但在实际上，为方便起见，往往取 0(x) 的常数 值函数 0(x) y0 问题：这样构造函数列是否可行，即上述的积 分是否有意义？
n(x) 在 x0 x x0 h 命题2：对任意的自然数 n ，
上有定义，连续且满足 |n(x)-y0 | b
其相互关系：
代数方程 f ( x) x
x0 R, xn 1 f ( xn )
积分方程 y y0 x f ( , y( ))d
0
x
0 ( x) y0 x n 1 ( x) y0 x f ( , n ( )) d . 0
dy f ( x, y ), dx y ( x0 ) y0 ,
x0 a x x0 a, R: y0 b y y0 b.
其中函数 f ( x, y) 的条件可以是
(i) f ( x, y) C( R),
(ii) f y C( R),
n n n
即 x0 为 f ( x) 的不动点 下面证明唯一性:
f ( x0 ) x0 , ) x0 , f ( x0

f ( x0 ) f ( x0 ) N x0 x0 x0 x0
. x0 x0
如下图所示:
y
x2 f ( x1 )
定理1（存在唯一性定理）对于Cauchy问题 dy f ( x, y) ,( x, y) R {( x, y) || x x0 | a,| y y0 | b} (1) dx y( x0 ) y0 如果 f ( x, y) 在R上连续且关于 y 满足Lipschitz条件， 令 b M = max | f ( x, y ) |, h min(a, ). (x,y) R M
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0
的求解上。与代数方程类似，对于不能用初等解 法求解的微分方程，我们往往用数值法求解。在 用数值法求解Cauchy问题之前，需要在理论上先 解决下面二个基本问题：
(1) Cauchy问题
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0

x
x0
f (t , y)dt
的定义于 x0 x x0 h 上的皮卡（Picard）
. 的逐次逼近函数数列{n(x)}
取在 x0 x x0 h上的一个连续函数 作为逼近函数列的初始函数．令
0(x)
n(x)=y0 f (t ,n1(t))dt ,
x0
x
n 1, 2,......
(x,n(x)) R ，即 这表明：在 x0 x x0 h 上， n(x) 中的定积分总是有意义的。 命题3：函数列 {n(x)} 在 x0 x x0 h上一致收敛
记 lim n(x )=(x)
n
命题4： 为积分方程 y y0 f (t , y)dt y=(x)
x[ , ]
注5: 解的存在唯一定理还可用泛函分析的 Banach压缩映照原理证明
T : y0 f ( , ( ))d .
x0 x
B, B 为一Banach空间.
在一定条件下可以证明 T 为一压缩映照,从而 有唯一不动点,该不动点即为积分方程的解.
注6：解的存在唯一性定理对线性方程组的情形 也成立，我们有如下定理：
第 5讲
基本定理(1)
本节内容提要
一、解的存在唯一性与逐步逼近法 二、Gronwall不等式与比较定理
三、解的延拓
一、解的存在唯一性定理与 逐步逼近法
1.解的存在唯一性定理
1)导数解出情形
dy f ( x, y ), dx y ( x0 ) y0 ,
问题的提出：在前一章中，我们介绍了能用 初等方法求解的一阶方程的几种类型，但同时指 出，大量的一阶微分方程是不能用初等方法求出 其通解的；另一方面，实际问题所需要的往往是 要求满足某种初始条件的解，因此现在我们把注 意力集中在Cauchy问题
x0
x
的定义于 x0 x x0 h上的连续解，从而为Cauchy
dy f ( x, y ) 的定义于 x0 x x0 h上的解。 问题 dx y ( x0 ) y0
命题5：设 y=(x)为积分方程 y y0 x f (t , y)dt
xm xn

m1 i n
Ni

0
x1 x0

N 1 N
n
mn
n 1 N
n
x0 R,
limx
n
x0 .
f ( x0 ) f (limxn ) lim f ( xn ) limxn1 x0 .
0
x
的定义于 x0 x x0 h 上的一个连续解，则
(x) (x)
(x0 x x0 h) 即为Cauchy问题（1）的解。
n 注1 ： 由命题2，函数列 {n ( x)}n0 有如下性质：
n ( x)
n ( x)在 x0 x x0 h上有定义，连续且
n ( x) y0 b ( x) y0 b.
注2:
b h M
的几何意义如下图
注3:
f y
的连续性可以保证Lipschitz条件
f C ( R) y f L, ( x, y) R. y
f f ( x, y1) f ( x, y2 ) ( x, y2 ( y1 y2 ) y1 y2 L y1 y2 . y
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0
x
的定义于 x0 x x0 h上的解的充分必要条件是
y=(x) 为积分方程 y y0 x0 f (t , y)dt 的定义于
x0 x x0 h 上的解。
现在我们先构造积分方程 y y0
(iii) L 0, ( x, y1 ), ( x, y2 ) R, f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
在历史上 •1820年Cauchy在(i)和(ii)的条件下证明方程解 存在唯一性。 •1876年Lipschitz在(i)和(iii)下证明方程解存 在唯一性。 •1890年Picard用逐次逼近法证明方程解的存在 唯一性。 Peano在(i)的条件下证明解的存在性。我 们先来看Peano的方法。
证明 lim xn 存在 n
证明函数列 { n ( x)}n n 0 在 某区间 I 上一致收敛
证明极限值 为方程的解
) 证明收敛的连续函数 ( x是 定义在区间 I上的方程的解
我们用皮卡（Picard）的逐次逼近法来证明 定理1。为了简单起见，只就区间 x0 x x0 +h 来讨论，对于 x0 h x x0 的讨论完全一样。 命题1：y=(x) 为Cauchy问题
Peano现象的稀有性: 存在测度,使得会发生 Peano现象的方程类的测度为零. Lavrentief现象:即在任一点处都发生Peano现象.
下面我们给出如下定义： 定义1：设 f ( x, y) 在R上有定义， 若存在 L 0 ,对任意 的 ( x, y1 ),( x, y2 ) R ,使得 | f ( x, y1) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 |, 则称 f ( x, y)在R上关于 y 满足Lipschitz常数，且称 L 为Lipschitz常数。
证明：先证存在性，构造如下数列 x0 R, xn 1 f ( xn ), n 0, 1, 2,
{ x } 下面证明， n n0 收敛于 f ( x) 的不动点。 即证
0, N,
m n N,
xm xn .
xm xn xm xm1 xm1 xm2 xn1 xn
易判断的两个充分条件。
结果1：如果 f ( x, y)在R上关于 y 的偏导数 f y ( x, y) 存在 且有界，则 f ( x, y) 在R上关于 y 满足Lipschitz条件。
结果2：如果 f ( x, y) 在R上关于 y 的偏导数f y ( x, y) 连续，则 f ( x, y) 在R上关于y满足Lipschitz条件。 有了上面的准备知识后，我们就可以叙述Cauchy问 题的解的存在唯一性定理了。
附注1：如果 f ( x, y) 在R上关于 y 满足Lipschitz 条件，则 f ( x, y)在R上关于 y 是连续的，有时也 称为Lipschitz连续的。 附注2：对于给出在R上有定义的函数 f ( x, y) ，根
据定义去验证它是否关于 y 满足Lipschitz条件，
一般是困难的，下面我们给出在实际应用中容
但反之不对.例 f ( x, y) y 。 注4: 当右端函数 f ( x, y) 是线性时,Cauchy问题 解有 什么样的存在范围? 即
dy P( x) y Q( x), P( x), Q( x) C[ , ]. dx
结论:过任一初值 ( x0 , y0 ), x0 [ , ] 所确定的解在 [ , ] 上都有定义。 在证明过程中取 M max P( x) y0 Q( x) .
x0
x
如果存在定义在区间 I [ , ] 上的一个连续函数， 使得