一类三阶非线性偏微分方程的解法

一类三阶非线性偏微分方程的解法

摘要讨论了一类三阶非线性偏微分方程，借助换元变换的思想，将难于求解的三阶非线性偏微分方程化为一组易于求解的非线性代数方程，并给出了一般解。

关键词非线性偏微分方程；换元变换;解法

近年来，人们提出了许多求解非线性方程的好方法，如双线性变换法、延拓结构法、分离变量法、F-函数展开法等，并用这些方法求解了许多非线性方程。然而非线性方程(尤其是非线性偏微分方程)的求解非常困难，而且求解非线性方程没有也不可能有统一而普适的方法，以上的方法也只能具体应用于某些非线性方程的求解。本文通过巧妙地引入一个新的变换，并选取一个变换函数形式，只需通过进行简单的求偏导数运算，就可将难于求解的非线性偏微分方程化为易于求解的非线性代数方程。

0 引言

考虑如下一类非线性偏微分方程：（1.1）

其中，α、β是任意常数。

方程（1.1）涵盖了许多物理和力学中非常著名和重要的非线性偏微分方程：

1）当α=β=0时，（1.1）式变为非线性平流方程[1]：

（1.2）

2）当β=0时，（1.1）式变为方程[2]：

（1.3）

3）当α=0时，（1.1）式变为方程[3]：

（1.4）

而（1.1）式本身就是一个方程（1.5）。因此研究方程（1.1）有重要的理论意义。

为了求解上述方程（1.1），引入一个新的变换：

，，（1.6）

其中为待定常数，和为两个变换函数。

只要变换函数和选得准确，就可将难于求解的非线性偏微分方程（1.1）化为一组易于求解的非线性代数方程，从而使整个求解过程大大简化，也使求解难度大大降低。考虑到我们研究的非线性偏微分方程一般为非线性波动方程[4]，由弹性动力学[5]知识可知，其解应含有因子，因此，我们直接把演化函数选为如下形式：（1.7）

其中，且h为波数，c为波速。

至于变换函数则应根据具体的方程灵活选择，下面我们应用这个思想来求解属于这一类方程中的几个很重要的非线性偏微分方程。

1 应用举例

方程[5]

参考文献

[1]姜礼尚，孔德兴，陈志浩.应用偏微分方程讲义[M].高等教育出版社，2008，

1.

[2]潘祖梁.非线性问题的数学方法及其应用[M].杭州：浙江大学出版社，1998.

[3]郭玉翠.非线性偏微分方程引论[M].清华大学出版社，2008，3.

[4]陈祖樨.偏微分方程[M].高等教育出版社，2003，5.

[5]张玉峰，张鸿庆.Burgers-KdV方程的二类行波解[J].应用数学和力学，2000，21(10).