非线性微分方程
非线性微分方程和稳定性
第六章 非线性微分方程和稳定性在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数的微分方程不能用初等积分方法求解.这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincar é,1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下,直接根据微分方程本身的结构和特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.§6.1 引言考虑微分方程(,)d f t dt=xx (6.1)其中函数(,)f t x 对n D R ∈⊆x 和t ∈(-∞,+∞)连续，对x 满足局部李普希兹条件. 设方程(5.1)对初值(t 0,x 1)存在唯一解01(,,)x t t x ϕ=，而其它解记作00(,,)x x t t x =.现在的问题是：当01x x -很小时，差0001(,,)(,,)x t t x t t x ϕ-的变化是否也很小?本章向量1(,...,)Tn x x =x 的范数取1221()nii x ==∑x .如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性，第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.如果对于任意给定的0ε>和00t ≥都存在0(,)0t δδε=>，使得只要0x 满足01δ-<x x就有0001(,,)(,,)t t t t ϕε-<x x x对一切t ≥t 0成立，则称(6.1)的解01(,,)t t x ϕ=x 是稳定的.否则是不稳定的.假设01(,,)t t ϕ=x x 是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要0x 满足011δ-<x x就有0001lim((,,)(,,))0t t t t t ϕ→∞-=x x x则称(6.1)的解01(,,)t t ϕ=x x 是渐近稳定的.为了简化讨论，通常把解01(,,)t t ϕ=x x 的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,)t t t =x x x ,01()(,,)t t t ϕϕ=x 作如下变量代换.令()()y t t ϕ=-x (6.2) 则d dt y =()()(,())(,())d t d t f t t f t t dt dtϕϕ-=-x x (,())(,())(,)df t t f t t F t ϕϕ=+-=y y于是在变换(6.2)下，将方程(6.1)化成(,)d F t dt=yy (6.3)其中(,)(,())(,())F t f t t f t t ϕϕ=+-y y .这样关于(6.1)的解()t ϕ=x 的稳定性问题就化为(6.3)的零解y =O 的稳定性问题了.因此，我们可以在下文中只考虑(6.1)的零解x =O 的稳定性，即假设(,)f t O O ≡，并有如下定义:定义6.1 若对任意0ε>和00t ≥，存在0(,)t δδε=，使当0δ<x 时有 00(,,)t t ε<x x (6.4)对所有的0t t ≥成立，则称(6.1)的零解是稳定的.反之是不稳定的. 定义6.2 若(6.1)的零解是稳定的，且存在δ1>0, 使当01δ<x 时有00lim (,,)0t t t →∞=x x则称(6.1)的零解是渐近稳定的.例1 考察系统⎪⎩⎪⎨⎧-==x dtdyydt dx的零解的稳定性.解 对于一切0t ≥，方程组满足初始条件0(0)x x =,22000(0)(0)y y x y =+≠的解为 0000()cos sin ()sin cos x t x t y ty t x t y t=+⎧⎨=-+⎩ 对任一0ε>，取δε=，则当12220()x y δ+<时，有112222220000122200[()()][(cos sin )(sin cos )]()x t y t x t y t x t y t x y δε+=++-+=+<=故该系统的零解是稳定的.然而，由于112222220lim[()()]()0t x t y t x y →∞+=+≠所以该系统的零解不是渐近稳定的.例2 考察系统dxx dtdy y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 的零解的稳定性.解 在0t ≥上，取初值为00(0,,)x y 的解为：00()()ttx t x e y t y e--⎧=⎨=-⎩ 其中22000x y +≠对任一0ε>，取δε=，则当12220()x y δ+<时，有1122222222122200[()()]()()(0)t t x t y t x ey ex y t δε--+=+≤+<=≥故该系的零解是稳定的. 又因为1122222222lim[()()]lim()0t t t t x t y t x ey e --→∞→∞+=+=可见该系统的零解是渐近稳定的.例3 考察系统dxx dtdy y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 的零解的稳定性.解 方程组以00(0,,)x y 为初值的解为00()()ttx t x e y t y e ⎧=⎨=⎩(0)t ≥ 其中2200x y +≠. 111222222222220[()()]()()t t t x t y t x e y e x y e +=+=+由于函数e t 随t 的递增而无限地增大. 因此,对于任意0ε>，不管12220()x y +取得怎样小，只要t 取得适当大时，就不能保证1222[()()]x t y t +小于预先给定的正数ε，所以该系统的零解是不稳的.例4 考虑常系数线性微分方程组dxAx dt= (6.5)其中n x R ∈,A 是n ×n 阵.证明，若A 的所有特征根都具严格负实部，则(6.3)的零解是渐近稳定的.证明 不失一般性，我们取初始时刻00t =,设Φ(t )是(6.5)的标准基本解矩阵，由第3章内容知满足0(0)x x =的解()x t 可写成0()()x t t x =Φ (6.6)由A 的所有特征根都具负实部知lim ()0t t →∞Φ= (6.7)于是知存在t 1>0，使t >t 1时()1t Φ<.从而对任意0ε>，取0δε=则当00x δ<时，由(6.6)有00()()x t t x x ε≤Φ≤<, 1t t >(6.8)当t ∈[0,t 1]时, 由解对初值的连续相依性, 对上述0ε>，存在δ1 >0，当01x δ<时()x t O ε-<, 1[0,]t t ∈取01min{,}δδδ=，综合上面讨论知，当0x δ<时有()x t ε<, [0,]t ∈+∞即0x =是稳定的.由(6.7)知对任意0x 有0lim ()0t t x →∞Φ=，故0x =是渐近稳定的.。
非线性微分方程的近似解法
非线性微分方程的近似解法
非线性微分方程的近似解法有多种，比如准则近似法、加权法、谱正
则近似法、最小二乘法、Adomian分解法、拉格朗日-奥尔德尼法、局部
拟合法等等。
准则近似法是基于一组谐振函数和它们的线性组合构造近似解的方法。
加权法又称多项式拟合法，是一种优化方法，基于给定的一组观测数据，建立一个最优的函数拟合模型，以此解决数值求解的问题。
谱正则近似法是把离散的谱系数和给定的函数值满足最小二乘法引入
一组约束条件，可以由此求得一个接近给定函数的正弦级数的近似解。
最小二乘法是一种误差平方和函数的极小化最优化方法，可以用来求
解非线性方程组。
Adomian分解法是一种将非线性方程化为线性方程组来求解的方法。
拉格朗日-奥尔德尼法是一种最优化方法，常用于求解连续可微分的
非线性优化问题。
局部拟合法是一种在计算上求解非线性方程的方法，要求该方程的解
函数在有限个指定点上满足拟合条件。
非线性微分方程及稳定性
定理 (1) 若矩阵A的全部特征值都具有负实部,则系统 (6.12)的零解是渐近稳定的;
(2) 若矩阵A的全部特征值中至少有一个具有正实部,则系统 (6.12)的零解是不稳定的.
定理(Hurwitz准则) 实系数 n 次代数方程
的所有根具有负实部(包括负实根)的充分必要条件是:
定理 若特征方程
没有零根或零实部的根，则非
就有
则称系统(6.3)的零解
是渐近稳定的; 区域
称为
吸引域;如果吸引域是全空间,则称
是全局渐近
稳定的
. (3) 若
都
与
使
但
则称
是不稳定的。
6.3 相平面
现在讨论二阶微分方程组
（6.5）
它的解
（6.6）
如果把时间t当做参数，仅考虑x，y为坐标的（欧氏）空间， 此空间成为方程组（6.5）的相平面（若方程组是高阶的，则称为 相空间）。在相平面（相空间）中方程组的曲线称为轨线。对一般 的方程组（6.5）在相平面上一个点可能有不止一条轨线经过。但 如果方程组（6.5）是驻定方程组，即其右端函数不显含时间t的情 形，此时（6.5）式变成：
为研究（6.1）的特解
邻近的解的性态，通常先利用
变换: 把方程（6.1）化为：
(6.28) （6.3）
其中 此时显然有：
（6.4）
6.2 稳定性的基本概念
定义6.1 设
是系统(6.3)适合初值条件
的解
(1) 若
使得只要
对一切
恒有
则称系统(6.3)的零解
是稳定的。
(2) 若 1)
是稳定的;
2)
使得只要
）趋近于它时，称此极限圈为
稳定的。如果轨线是负向（即
非线性微分方程
非线性微分方程是指其中的变量（或变量的函数）的次数大于一。
这些方程通常比线性微分方程（其中变量的次数为一）更难解决。
举个例子，下面是一个非线性微分方程的例子：
y'' + y^3 = 0
在这个方程中，y'' 表示y 的二次导数，y^3 表示y 的立方。
这是一个非线性微分方程，因为y 的次数为三。
要解决非线性微分方程，通常需要使用迭代方法，例如牛顿迭代法或二分法。
还有一些数值解法，例如Runge-Kutta 方法或常微分积分法，可以用来解决非线性微分方程。
尽管非线性微分方程很难解决，但它们在许多领域都非常重要，例如生物学、化学和物理学。
特殊非线性微分方程的解析解
微分方程初值函数能直接求解的方程是一阶显式 微分方程组，若给出的方程不是这类函数，则需 要通过本书介绍的方法选择一组状态变量，将原 方程变换成一阶显式微分方程组，以便用给定的 求解函数直接求解。
若某微分方程模型求解速度极慢，则有可能为刚 性方程，需要调用 ode15s() 等函数来求解，此外， 其他类型的微分方程，如微分代数方程、隐式微 分方程与延迟微分方程等，也可以由 MATLAB 语 言提供的现成函数直接求解。 二阶微分方程的边值问题可以由本书提供的三种 算法求解。
【例7-30】
【例7-31】
【例7-32】
本章内容简介
本章介绍了基于 MATLAB 符号运算工具箱 dsolve() 函数的线性微分方程的解析解方法，并介绍基于 该函数的特殊非线性微分方程的解析解。
对一般非线性微分方程来说，解析解是不 存在的，只能依赖数值解的方法对其进行 研究。 引入了数值解的概念，并以最简单的一阶 微分方程的 Euler 算法为例，介绍了一般数 值解法的思路并介绍了变步长求解的概念， 还介绍了 MATLAB 下的微分方程数值求解 函数 ode45( )，通过例子演示了该函数的使 用方法。
7.2.3.2 基于 MATLAB 的微分方程
求解函数
【例7-7】
【例7-8】
7.2.3.3 MATLAB 下带有附加参数的 微分方程求解
【例7-9】
7.2.4 微分方程转换
7.2.4.1 单个高阶常微分方程处理方法
【例7-10】
7.2.4.2 高阶常微分方程组的变换方法
仿真 (simu) 与模型连接 (link)
7.6.2 Simulink 相关模块
odegroup 命令可以打开自定义模块集
9-第六章 非线性微分方程(1)
当 f (t , x) 在某域 G 内 兹条件. 存在唯一性定理
∂f 存在且连续，则 f (t , x) 在 G 上关于 x 满足局部李普希 ∂x
如 f (t , x) 在某域 G 内连续,且关于 x 满足局部李普希茨条
件，则方程组(1)在区间 t − t0 ≤ h 上存在唯一解 x = ϕ (t , t0 , x0 ), ϕ (t0 , t0 , x0 ) = x0 ，其中
6 -- 4
dV 可表为 dt
dV = μV + W ( x) 且当 μ = 0 时 W 为定正函数，当 μ ≠ 0 时 W 为常负函数或恒为零， dt
又在 x = 0 的任意小邻域内至少存在某个 x 使得 V ( x ) > 0 ，则方程组（1）的零解是 不稳定的. (3) 二次型 V 函数的构造 如果 n 维一阶常系数线性微分方程组
∂f 在域 G 内连续， 则方程组(1)的满足初值条件 （2） ∂x
的解 x = ϕ (t , t0 , x0 ) 作为 t , t0 , x0 的函数在它的存在范围内是连续可微的. (2) 李雅普诺夫稳定性 (a) 零解 可以通过变换 x = y − ϕ (t ) 化为方程组 对方程组
dy = g (t , y ) 的某特解 y = ϕ (t ) ， dt
6 -- 1
⎛ b h = min ⎜ a, ⎝ M
⎞ f (t , x ) . ⎟ , M = (max t , x )∈R ⎠
解的延拓与连续性定理
如 f (t , x) 在某域 G 内连续且关于 x 满足局部李普希
茨条件， 则方程组(1)的满足初值条件 （2） 的解 x = ϕ (t , t0 , x0 ) ((t0 , x0 ) ∈ G ) 可以延拓， 或者延拓到 +∞ (或 −∞ )；或者延拓到使点( (t ,ϕ (t , t0 , x0 )) )任意接近 G 的边界.而方 程组(1)的解 x = ϕ (t , t0 , x0 ) 作为 t , t0 , x0 的函数在它的存在范围内是连续的. 可微性定理 如 f (t , x) 和
《常微分方程》第六章 非线性微分方程
定理6.1 (稳定性的Liapunov判别法) 设有定义在 D Rn
上的定正(定负)函数 V (x), dV dt
(6.2)
表示 V (x) 沿系统(6.2)的轨线
的全导数
dV (1) 若 dt (6.2)
dV (2) 若 dt (6.2)
在 D 上是常负(常正)的,则 x 0 是稳定的; 在 D 上是定负(定正)的,则 x 0 是渐近稳定的;
称为 x 0 吸引域;如果吸引域是全空间,则称 x 0 是全局渐近
稳定的.
(3) 若 0 0, 0, 都 x0 与 t1 t0 , 使 x0 ,
但 x(t;t0, x0 , 则称 x 0 是不稳定的;
例如, 微分方程 dx ax
dt
满足初值条件 x(t0 ) x0 ,
(a)
(b)
又知,对任意常数,函数x cos(t ), y sin(t ), 也是方程组的解,它的积分曲线是经过(,1, 0)的螺旋
线,但是它们与解x cos t, y sin t有同一条轨线 x2 y2 1.
同是,我们也可以看出, x cos(t ), y sin(t )
(6.1)称为非自治系统, (6.2)称为自治系统,
6.1.1 非自治系统与自治系统的主要区别
自治系统不论是在相空间还是增广相空间,轨线匀不相交. 而非自
治系统在增广相空间积分曲线不相交,但在相空间轨线可能相交.
定义6.1 若存在 x* D 使 f (x*) 0, 则点 x* 称为系统(6.2)
的解为
x x0ea(tt0 ) .
6.3 判定稳定性的Liapunov函数法
定义6.3 设 D x x H Rn,V C(1) (D).
非线性微分方程解的稳定性
非线性微分方程解的稳定性非线性微分方程解的稳定性是数学物理等多个学科面对微分方程解时所要考虑的重要问题。
一、非线性微分方程解的稳定性1. 含有稳定性的概念非线性微分方程求解的稳定性是指改变求解方法或迭代步长时，得到的求解结果的差异是限定的范围，从而确定所使用的解法或迭代过程的可靠性。
2. 非线性微分方程求解的稳定性判断求解非线性微分方程的稳定性主要判断其所使用的解法的收敛性以及使用的迭代步长的可靠性。
二、影响非线性微分方程解稳定性的因素1. 微分方程本身特征由于求解非线性微分方程的过程是多参数的复杂迭代运算，它本身的复杂性也影响了求解的稳定性。
如方程的阶数较高、参数较多等，它们会加大求解过程的难度，影响对结果的准确性及稳定性。
2. 求解方法的限制由于当下的求解方法还不能充分支撑求解非线性微分方程解过程，因而会造成求解结果的不稳定性。
3. 天气因素除了方程本身及求解方法等原因之外，天气因素也会直接影响非线性微分方程求解的稳定性，对天气变化的相关参数实时的监测和分析，及时调整迭代过程的参数设置，也是影响求解稳定性的一个重要因素。
三、维持非线性微分方程解稳定性1. 加强数值分析求解非线性微分方程时可以使用更加先进、准确的数值分析技术，分析问题的不确定性等，进行参数预估，从而可以稳定微分方程求解的结果。
2. 针对性修改求解方法多种求解方法可以在一定程度上修正或调节求解结果的不稳定性，以及减轻重要的误差，从而避免非线性微分方程求解的稳定性出现明显的变化。
3. 建立状态变化分析模型根据各参数的变化和影响，建立状态变化分析模型，可以更好地把握系统的运行情况变化，从而保证非线性微分方程解的稳定性。
四、总结微分方程求解的稳定性是指求解结果随参数变化或求解方法变化的差异，其稳定性的确定及提高是面对此类问题必须认真考虑的，应通过加强数值分析，针对性修改求解方法，建立状态变化分析模型等多种方法，以确保非线性微分方程求解的稳定性及准确性。
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• 微分方程（4）右端不含自变量，其右端为零得到的代数 方程Ay-By2=0的解y1(t)= 0 ,y2(t)= A/B是微分方程（4）的 常数解，称为平衡解。
• 微分方程（7）右端不含自变量时为驻定微分方程。
• 驻定微分方程右端为零得到的代数方程的解
是微分方程的常数解，也是特解，称为驻定解或平衡解。
9 第六章 非线性微分方程§6.1
按线性近似的稳定性 dx Ax (8) dt
现考虑非线性驻定微分方程组 d x Ax R(x), R(0) 0 (11)
右端函数满足条件
dt R(x)
lim
0
x 0 x
显然，方程组有零解x=0。 可以按(11)的线性近似方程组
(8)零解的稳定性态决定非线性驻定微分方程组(11)的稳定性 态。即
• 二维情形零解的稳定性态在平面上的示意图如图(6.2)。
6 第六章 非线性微分方程§6.1
稳定性态在平面上的示意图
7 第六章 非线性微分方程§6.1
稳定性态在平面 上的示意图
d y Ay By2 (4) dt
例 对微分方程(4)，当 A<0,B<0时，其零解y=0 为渐近稳定，稳定域为 y<A/B。特解y2(t)=A/B 为不稳定。
4 第六章 非线性微分方程§6.1
稳定性定义 d x f (t, x), dt
f (t,0) 0. (5)
假设 方程组(5)的右端函数f(t,x)在包含原点的域G内有连续的 偏导数，从而满足方程组的解的存在唯一性、延拓、连续 性和可微性条件。
稳定性定义 如果对任意给定的 >0，存在 = ( ,t0)，使 当任一x0满足||x0||≤ 时，方程组(5)的由初值条件x(t0)= x0确 定的解x(t)对一切t≥t0均有||x(t)||≤ ，则称方程组(5)的零解 是稳定的。
和当A<0,B<0时的特解y2(t)
为不稳定的。
• 对方程组
d y g(t, y) dt
• 的某特解 y= φ(t), 可以通过变换 x=y-φ(t)化为方程组
d x f (t, x), f (t, 0) 0
dt
的零解。
其中
f (t, x) g(t, y) d(t) g(t, x (t)) g(t,(t))
• 满足初值条件y(0)=y0>A/B的解y2(t)趋于无穷； • 满足初值条件的解y(0)=y0<A/B趋于特解y1(t)= 0。
2
第六章 非线性微分方程§6.1
李雅普诺夫稳定性
• 一般称当A>0,B>0时的特解
y2(t)和当A<0,B<0时的特解
y1(t)为稳定的。
• 而称当A>0,B>0时的特解y1(t)
定理2 若特征方程(10)没有零根或零实部特征根(特征值)，
则非线性方程组(11)的零解的稳定性态与其线性近似方程(8) 零解的稳定性态一致：当特征方程(11)的根均具负实部根 (包括负根)时，方程组(8)的零解是渐近稳定的；当特征方 程(10)具正实部根(包括正根)时,方程组(11)的零解不稳定。
其特征方程为 det(A E) 0 (10)
由第五章(5.52)式知线性微分 方程组的任一解均可表为形如
li cimt meit , 1 i n
m0
• 的线性组合。其中λi 为特征方程(10)的根，li≥0为由根λi的 重数确定的整数。
定理1 若特征方程(10)的根均具负实部根(包括负根)，则方程 组(8)的零解是渐近稳定的；若特征方程(10)具正实部根(包括 正根)，则方程组(8)的零解是不稳定的；若特征方程(10)没有 正实部根(包括正根)的根，但有零根或零实部的根，则方程 组(8)的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或 零实部的根的重数是否等于1而定。
dt
• 即y的方程组的特解y= φ(t)变为x的方程组的零解。
3
第六章 非线性微分方程§6.1
例 d y Ay By2 (4) dt
例 对方程(4)的特解y2(t)= A/B ，可通过变换 x=y-A/B
• 化为方程
d x Ax Bx2 (7) dt
• 这样，讨论方程(4)的特解y2(t)= A/B的稳定性态 便可化为讨论上方程的零解x=0的稳定性态。
解 •
方程有通解
y(t)
B
A ce At
特解
y1(t)
0,
y2 (t)
A B
• 满足初值条件的解为
y(t)
A
• (a)当A>0,B>0时：
B
A y0
满足初值条件y(0)=y0>0的解趋于特解y2(t)= A/B； • 满足初值条件y(0)=y0<0的解y1(t)趋于无穷。 • (b)当A<0,B<0时：
第六章 非线性微分方程
§6.1 稳定性
李雅普诺夫稳定性 按线性近似决定稳定性 V 函数方法 (李雅普诺夫第二方法)
§6.2 定性
奇点 极限环 平面图貌
*§6.3 混沌
1 第六章 非线性微分方程§6.1
李雅普诺夫稳定性
例 求一阶非线性微分方程 d y Ay By2
dt
的解的图貌。其中A,B为常数且A·B>0，初值条件为y(0)=y0。
x0
D时，满足初值条件x(t0)=
x0的解x(t)均有
lim
t
x(t)
0
则域D0称为(渐近)稳定域或吸引域。
• 若稳定域为全空间，即 0 =+∞，则称零解x=0是全局渐近
稳定的或简称为全局稳定的。
• 当零解x=0不是稳定时，称它是不稳定的，
• 即：如果对某给定的 ，不管怎样小，总有x0满足||x0||≤ ， 使方程组(5)的由初值条件x(t0)= x0确定的解x(t) ，至少存在 某有t1>t0，有||x(t1)||= 。
• 当A>0,B>0时，微分方 程(9)的零解x=0为渐近稳 定，稳定域为x>-A/B。 • 而对微分方程(4)的特解y2(t)=A/B为渐近稳定，稳定域
为y>0。零解y=0为不稳定。 8 第六章 非线性微分方程§6.1
常系数线性微分方程组稳定性
• 考虑常系数线性微分方程组
d x Ax (8) dt
• 如果方程组(5的零解x=0稳定，且存在 0，使当||x0||≤
•
满足初值条件x(t0)= x0的解x(t)均有 则称零解是渐近稳定的。
lim x(t) 0
t
0时，
5 第六章 非线性微分方程§6.1
(续) 稳定性定义
d x f (t, x), dt
f (t,0) 0. (5)
稳定性定义 如果零解x=0渐近稳定，且存在域D0，当且仅当