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二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解
自学评价
1 ?二次函数的零点的概念
一元二次方程a* + /zx + c = O (a H O)的根也称为二次函数y = ax2 + bx + c ( a HO)的零点.
2.二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系
(1) 一元二次方程ax2+bx^-c = O (aHO)有两个不相等的实数根禹，勺。
判别式△ >0 O 对应的二次函数y = ax1 -\rbx^-c (aHO)的图象与兀轴有两个交点为(x p0), (兀2,0)O对应的二次函数y = ax2 +bx + c (aHO)有两个不同的零点西，x2；
(2)一元二次方程ax2+bx-hc = 0 (Q HO)有两个相等的实数根x, = x2<=>判别式 A = 0 o对应的二次函数y = ax2 +bx + c ( a ^0)的图象与兀轴有唯一的交点为(西，0) O对应的二次函数y = ax2+bx + c (a H0)有两个相同零点x} = x2:
(3)—元二次方程祇？+加+ c = 0 (G HO)没有实数根O判别式AvOo对应的二次
函数y = ax2 + + c ( a HO)的图象与x轴没有交点 <=>对应的二次函数y = ax2 +加+ c
(a H0)没有零点.
3.推广
⑴函数的零点的概念
一般地，对于函数y = f(x) (xeD),我们把使/(x) = 0的实数兀叫做函数y = f(x) (XG ￡))的零点.
⑵函数的零点与对应方程的关系
方程/(x) = 0有实数根。
函数y =于(兀)的图象与x轴有交点 o函数y =广(兀)有零点.
【精典范例】
例1：求证：一元二次方程2X2+3X-7= 0有两个不相等的实数根.
例2：右图是一个二次函数y = f(x)的图象.
(1)写出这个二次函数的零点；
(2)写出这个二次函数的解析式；
(3)试比较/(-4)/(-1), /(0)/(2)与0的大小关系.
例3：当关于兀的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：
(1)方程兀彳―祇+ /一7 = 0的两个根一个大于2,另一个小于2；
(2)方程cvc2+3x + 4a = 0的两根都小于1；
1 若方程2or2-x-l=0在(0,1)内恰有
一解，则d的取值范围是( )
A. a <-l
B. a > 1
C. D. 0 < 6Z < 1。
用二分法求方程的近似解 15页PPT文档
而且，当精确度为0.01时，由于
2.539 02.5 63 21 502 .0507 80.0 11 2
所以我们将＝2.53125作为函数 f(x)lnx2x6
的近似根（亦可将该区间内任意一点作为其近似根）。
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通过“取中点”，不断地把函数f ( x) 的零点所在的区
在 区 间 a,b内 有 零 点 。 即 存 在 c(a,b),使 f(c)0.
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试求函 f(x)数 lnx2x6 的零 (精 点确 0.0 到 )1 。
y
4
2
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01
5
x
-2
-4
问题情境
• CCTV2“幸运52”片段 ： 主持人李咏说道:猜一猜这架家用型数
码相机的价格.观众甲:2000!李咏:高了! 观众乙:1000! 李咏:低了! 观众丙:1600! 李咏:还是低了!········ 问题１:你知道这件商品的价格在什么
1．确定区间，验证，给定精确度；
2．求区间 (a,b)
的中点
x1
a
b 2
；
3．计算 f ( x 1 )
（1）若 f(x1)0，则
x 1 就是函数的零点，计算终止；
（2）若 f(a)f(x1)0，则令b x1（此时零点x0(a,x1)）
（3）若 f(x1)f(b)0则令 a （x1 此时点x0(x1,b)）
-0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010
我们发 (2,3现 )(： 2.5,3)(2.5,2.75 ) (2.5,2.62)5(2.5,2.562) 5(2.531,22.5562) 5 (2.531,22.5546)87(2.531,22.55390)62
用二分法求方程的近似解47247
重复操作，逐步缩小零点所在区间的长度， 直到这个长度小于题目给定的精确度
取出最终得到的区间内的任意一个值作为所 求方程的近似解
2020/2/11
借助计算器或计算机，用二分法求 方程-x3-3x+5＝0在区间(1,2)内的近似 解(精确度0.1)。
2020/2/11
解：设函数f(x)= -x3-3x+5 ，
二分法求方程的近似解
2020/2/11
１、方程实根与对应函数零点之间的联系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x) 的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
2020/2/11
2020/2/11
１、方程实根与对应函数零点之间的联系 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
2020/2/11
２、函数零点所在区间的判定
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)＜０，那 么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即
存在c ∈（a,b），使得f(c)=0，这个 c 也
就是方程f(x)=0的根。
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也叫步长，是区间 两端点的距离的大小
而|2.5-2.5625|=0.0625<0.1
所以我们可以取2.5作为方程lnx+2x-6=0 的近似值。
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2020/2/11
对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a) ·f(b)＜０的函数 y=f(x) ，通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二，使区间的两个端点逼近零点，进而 得到零点近似值。
由于f(2)≈－1.3069<0， f(3) ≈ 1.0986>0 即f(2)·f(3)<0， 所以函数在区间（2，3）内有零点x0 取2+3 =2.5 ，f(2.5) ≈-0.084<0
【高一】利用二分法求方程的近似解
【高一】利用二分法求方程的近似解4.1.2用二分法求方程的近似解一、目标1、科学知识与技能:（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的自学作准备。
2、过程与方法：（1）使学生在解方程对数求解的实例中认知二分播发思想；（2）让学生归纳整理本节所学的知识。
3、情感、态度与价值观：①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；②培育学生深入细致、冷静、细致的数学品质。
二、重点、难点重点：用二分法解函数f(x)的零点近似值的步骤。
难点：为何由?a－b?＜便可判断零点的近似值为a(或b)?三、学法与教法1、想－想。
2、教法：探究交流，讲练结合。
四、教学过程（一）、创设情景，揭示课题明确提出问题：（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程?x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？（2）通过前面一节课的自学，函数f(x)=?x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题就是，如何找出这个零点呢？（二）、研讨新知一个直观的见解就是：如果能将零点所在的范围尽量的增大，那么在一定的精确度的建议下，我们可以获得零点的近似值；为了便利，我们通过“挑中点”的方法逐步增大零点所在的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；再挑区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器配得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。
二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解
二分法是一种求解方程近似解的数值方法。
它的思路是将待求解
区间分成两个子区间，通过比较子区间端点函数值的符号确定新的待
求解区间，重复这个过程直到达到指定的精度要求。
二分法的优点是
收敛速度较快，但需要满足一定的前提条件，如函数在待求解区间内
单调、连续等。
具体实现时，可以先确定一个初始区间[a,b]，计算出函数在两
个端点的值f(a)和f(b)。
如果f(a)和f(b)符号相同，则表示该区间
内没有实根，需要选择另一个区间；否则，可以将区间的中点
c=(a+b)/2计算出来，计算f(c)的符号，如果与f(a)的符号相同，则
舍弃前一半区间，否则舍弃后一半区间，将c作为新的端点继续迭代，直到满足精度要求为止。
二分法求解方程的近似解，在数学、物理等领域广泛应用，它不
仅在理论上有严格的证明，而且在计算机实现中也十分方便。
在实际
问题中，我们可以通过对待求解区间的缩减和符号比较来快速确定解
的位置，从而实现高效的计算。
用二分法求方程的近似解课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
- + -6<0，因此f（x）的零点在区间 ,
64 8 4
4 2
＝
7 5
,
4 2
1,
5
2
上.
上，
上.
【方法总结】通过二分法不断缩小根所在区间长度，直到符合某个选项中的区间.用二分法求方程近似解，若没有给出初
始区间，首先要选初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能小.
高中数学
必修第一册
A. 2.52
B. 2.56
C. 2.66
D. 2.75
5. ［多选题］下列函数图象均与x轴有交点，其中不能用二分法求图象所对应函数的零点的是（AC）
A
B
C
D
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配套江苏版教材
6. 函数f（x）＝x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 a2＝4b .
7. 某同学在借助计算器求“方程lg x＝2-x的近似解（精确度0.1）”时，设f（x）＝lg x+x-2，算得f（1）<0，
第8章
8.1
二分法与求方程近似解
8.1.2
用二分法求方程的近似解
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
学习目标
1. 通过具体实例，理解二分法的概念和适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，并从中
体会函数与方程之间的联系.
2. 借助于计算器或信息技术手段用二分法求方程的近似解.
核心素养：数学运算、逻辑推理.
∵ f（0）＝c>0，∴ a>0.
1
取区间［0，1］的中点2，则
1
2
3
3
1
用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解（1）【教学目标】1．使学生理解利用二分法求方程的近似解的思想方法，会用二分法求某些方程的近似解2．通过本节内容的学习，让学生体会到在现实世界中，等是相对的，而不等是绝对的，这样可以加深对数学的理解．【学习指导】我们已经学过一元一次方程、一元二次方程等方程的解法，并掌握了一些方程的求根公式．实际上，大部分方程没有求根公式，那么，这些方程怎么解？学完这一课，你就会知道利用方程的根与函数的零点的关系求方程的实数解（近似解）了．本节的重点就是利用二分法求方程的近似解，所谓二分法就是：对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而和到零点近似值的方法．【例题精析】例1．借助计算机或计算器，用二分法求函数f(x)= x3-5x2-4x+2的一个零点，精确到0.05．【分析】先用大范围法寻找零点所在的区间，然后不断使用二分法，逐步缩小区间，直至达到精度的要求．【解法】先作出x与f(x)的对应值表，并试图找出一个根所在的区间：通过举值，发现函数在(0，1)与(5，6)内都至少有一个零点，现不妨求(0，1)内的一个零点．令x1=0.5，f(0.5)= -1.125．因为f(0)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0，0.5)．令x2=0.25，f(0.25)≈0.7．因为f(0.25)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.5)．令x3=0.375，f(0.375)≈-0.15．因为f(0.375)·f(0.25)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.375)．令x4=0.3125，f(0.3125)≈0.29．因为f(0.375)·f(0. 3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.375)．令x5=0.359375，f(0.359375)≈-0.04．因为f(0.359375)·f(0.3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.359375)．由于|0.359375-0.3125|=0.047＜0.05，此时区间(0.3125，0.359375)的两个端点精确到0.05的近似值都是0.336，所以函数的一个零点为0.336．【评注】①选好初定区间是使用二分法求近似解的关键．选取初定区间的方法有多种，常用方法有试验估计法，数形结合法，函数单调性法，函数增长速度差异法等等．②本题还有两个零点，你能把它独立求解出来吗？(答案为-1，5.646．)例2．（师生共同探究）概括用二分法求方程的近似解的基本程序．【分析】通过对例1的研究，希望能够对解决问题的方法进行提炼，而这一点切不可以由老师包办代替，要通过师生的合作探究解决问题．【解法】（1）在同一坐标系中分别作出两个简单函数的图象，注意两个图象与x轴的交点坐标；（2）估算出第一个解的区间（x1，x2），（x1＜x2）；（3）计算f （221x x ＋）的值，若f （221x x ＋）＜0，则第二个解区间为（221x x ＋，x 2）；若f （221x x ＋）＞0，则第二个解区间为（x 1，221x x ＋）；若f （221x x ＋）＝0，则近似解为x ＝221x x ＋； （4）重复第（3）步的操作，直至给出的解区间（x i ，y i ）满足精确度要求为止；（5）写出原方程的近似解．【评注】利用二分法求方程的实数解的过程亦可以用下图表示．例3．利用计算器，求方程18lg 3=+x x 的近似解（精确到0.1）．【分析】作一张草图，找好解所在的大致区间．【解法】分别画出函数x y lg =和318x y -=的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程18lg 3=+x x 的解，由图象可以发现，方程18lg 3=+x x 有唯一解，并且这个解在区间（2，3）内,记为0x设 x x x f lg 18)(3--=，用计算器计算，得f (2)>0 , f (3)<0 则 )3,2(0∈xf (2.5)>0 , f (2.75)<0 则 )75.2,52(0．∈xf (2. 5)>0 , f (2.625)<0 则 )625.2,52(0．∈x f (2. 5625)>0 , f (2.625)<0 则 )625.2,56252(0．∈x 因为2．5625与2．625精确到0．1的近似值的为2．6，所以原方程的近似解为6.20=x ．【评注】由本题进一步熟悉用二分法求方程的近似解．【本课练习】1．函数f (x )=x 2+4x +4在区间[-4,-1]上( )．A 、没有零点B ．有无数个零点C ．有两个零点D ．有一个零点2．方程ln x +2x =6在区间上的根必定属于区间( )A ．(-2,1)B ．5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．下列函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )A ．B ．C ．D ．4．函数f (x )=5-x 2的负数零点的近似值(精确到0.1)是（） A ．-2.1 B ．-0.2 C ．-2.2 D ．-2.35．求方程2x +x =4的近似解(精确到0.1) （ ）。
用二分法求方程近似解
： 即 若
a 或 b；否则重复2~4。
ab
01
说明：用二分法求函数的零点近似值的方法仅对
函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适
用；用二分法求函数的零点近似值必须用上节的
三种方法之一先求出零点所在的区间。
02
例1．借助计算器或计算机用二分法求方程
2x 3x7
03
的近似解（精确到0.1）。
yx32x2x2
例2．求函数 的零点，并画出它的图象。
f(x)ax3bx2cxd
b(,0) b (例13,．2已)知函数
的图象如图所示，则 A． B． C． D．
b (0,1)
b(2,)
例4．已知函数
f(x)m x2(m 3)x1
x 的图象与
轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数
m 的取值范围是（ ）
3．（1）一次函数y=ax+b的零点： x b a
一定为变号零点
（2）二次函数 yax2bxc的零点：
4． 题型一：求零点：即为求解方程的根。
题型二：求零点个数及所在区间：
解一：利用计算器或计算机作
x, f ( x ) 的对应值表
、若在区间 ( a , b ) 上连续，并且有 f(a)f(b)0
，那么函数 y f (x) 在区间 [ a , b ] 内至少有一个实数
根、若能证明 y f (x) 在 [ a , b ] 上的单调性，则在
[ a , b ] 有且只有一个零点、再在其它区间内同理去寻找。
解二：试探着找到两个x对应值为一正一负（至少 有一个）；再证单调增函数即可得有且只有一个。
202X
用二分法 求方程的
近似解 (1)
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
用二分法求方程的近似解.doc
Ａ．1000 Ｂ．10 Ｃ．100 Ｄ．500
二分法检索（二分查找或折半查找）演示．
材料二：高次多项式方程公式解的探索史料
由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数 y f (x) 的零点（即 f (x) 0 的
根），对于 f (x) 为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．
○2 若 f (a) · f (x1) < 0 ，则令 b = x1 （此时零点 x0 (a, x1 ) ）；
○3 若 f (x1) · f (b) < 0 ，则令 a = x1 （此时零点 x0 (x1, b) ）； 4．判断是否达到精度 ；
即若| a b | ，则得到零点零点值 a （或 b ）；否则重复步骤 2~4．
或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为
1 的区间；
○2 建议列表样式如下：
零点所在区间
中点函数值
区间长度
[1，2]
f (1.5) >0
1
[1，1.5]
f (1.25) <0
0.5
[1.25，1.5]
f (1.375) <0
0.25
如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．
3．计算 f (x1) ：
师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近 似零点的具体步骤． 分析条件
“ f (a) · f (b) 0 ”、“精度 ”、“区间中点”及“| a b | ”的意义．
利用多媒体呈现教学材料：
○1 若 f (x1) = 0 ，则 x1 就是函数的零点；
式． 生：根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析． 师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数． 生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程解的个数的方法，并进行、讨论、交流、
《利用二分法求方程的近似解》说课稿
《用二分法求方程的近似解》说课稿说课教师：朱雪清各位老师：大家好！今天我说的课是-—-—--普通高中课程标准实验教科书—-—--数学-——-—必修1--—--第三章第一节——--——《用二分法求方程的近似解》.下面，我将从——-——教材地位—-—--—学情分析---—-——教学理念-——----—教学过程等多个方面，重点为大家阐明两个问题，即①怎么教②为什么这样教,希望能得到各位专家、老师的指导.一、教学地位分析1、教材的地位和作用用二分法求方程的近似解》是新课程中第三章—--——《函数与方程》——--第一节的新增内容,体现了本套教材的数学应用意识，所以，数学应用意识的培养--————与数学思想的渗透—-—-—-是本章教学的重要任务。
为了帮助学生认识函数与方程的关系，教科书分三个层面来展现：从简单的一元二次方程和二次函数入手,建立起方程的根与函数零点的关系，侧重点在于学习零点存在定理.通过用二分法求方程的近似解，体现函数的零点——--—与方程的根之间的关系，让学生学会用二分法求方程的近似解.通过建立函数模型-----—--以及运用模型解决问题，体会二分法在生活中运用的巧妙性与实用性。
要求学生根据具体函数的图像，借助计算器用-—---二分法求相应方程的近似解，沟通了函数、方程、不等式等高中知识，体现了二分法的工具性和实用性，同时也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思想。
所以，数学应用意识的培养-——-—-与数学思想的渗透—-———-是本章教学的重要任务.二分法是一个重要的数学思想方法，至少蕴涵着三个思想：近似的思想—--—逼近的思想---——-和算法的思想。
近似思想是数学应用的一个重要的指导思想，在很多时候，我们只需要给定精度的近似值，—-——---—而且利用二分法，在理论上我们可以无限“逼近”任意精度下的解，从而使得误差任意小,—————另外，二分法具有明显的程序化特征,可以让学生提前感受程序化处理问题的过程，这是算法的重要思想。
4.1.2利用二分法求方程的近似解
4.1.2教学分析求方程的解是常见的数学问题， 这之前我们学过解一元一次、 一元二次方程，但有些方 程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解， 这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用. 用二分法求方程近似解的特点是： 运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算. 在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步.三维目标1 •让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.2•了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步 了解算法思想. 3•回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣. 重点难点用二分法求方程的近似解. 课时安排 1课时教学过程导入新课师：（手拿一款手机）如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？ 生1 ：先初步估算一个价格，如果高了再每隔 10元降低报价.生2 :这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔 100元降低报价•如果低了， 每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3:先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的 一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报 出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法. 譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障（相距大约3 500米）•电工是怎样检测的呢？是按照生 1那样每隔10米或者 按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生 3那样来检测呢？生：（齐答）按照生3那样来检测.师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下 新知探究 提出问题① 解方程 ② 解方程 ③ 解方程 ④ 解方程 ⑤ 我们知道，函数f 如何找出这个零点的近似值？⑥ “取中点”后，怎样判断所在零点的区间？ ⑦ 什么叫二分法？⑧ 试求函数f X = In x + 2x — 6在区间 2 , 3 ⑨ 总结用二分法求函数零点近似值的步骤 . ⑩ 思考用二分法求函数零点近似值的特点 . 讨论结果： ① x = 8.② x =— 1, X = 2.③ x =— 1, X = 1, x = 2.④ x=-^f 2, x = ^2, x = 1, x = 2.⑤ 如果能够将零点所在的范围尽量缩小， 那么在一定精确度的要求下， 我们可以得到零 点的近似值.为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. 〔“取中点”，利用二分法求方程的近似解（展示多媒体课件，区间逼近法）• 2x — 16= 0. x 2— x — 2= 0. x 3— 2x 2— x + 2= 0.X 2-2 x 2— 3x +2 = 0. x = In x + 2x — 6 在区间2, 3内有零点.进一步的问题是, 内零点的近似值.4° a + b一般地，我们把x =—盯称为区间(a , b )的中点〕⑥ 比如取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f (2.5) < 0,因为f (2.5) - f (3) < 0,所 以零点在区间(2.5,3)内.⑦ 对于在区间［a , b ］上连续不断且f (a ) • f (b ) < 0的函数y = f (x )，通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值.像这样每次取区间的中点， 将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的 方法称为二分法.⑧ 因为函数f (x ) = ln x + 2x — 6,用计算器或计算机作出函数 f (x ) = ln x + 2x — 6的对 应值表.由表可知，f (2) < 0, f (3) > 0,则f (2) • f (3) < 0，这说明f (x )在区间(2,3)内有零点 X 0，取区间(2,3)的中点X 1= 2.5，用计算器算得f (2.5) — 0.084，因为f (2.5) - f (3) < 0, 所以 X o € (2.5,3). 同理，可得表(下表)与图像(如图1).由于(2約(2.礼:劝(2. 5, 2.⑸,所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小 (见上表).这样，在一定的精确度下，我们可以在 有限次重复相同步骤后， 将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值. 特别 地，可以将区间端点作为函数零点的近似值. 例如，当精确度为0.01时，由于12.539 062 5 —2.531 25| = 0.007 812 5 <0.01 ,所以，我们可以将 x = 2.531 25 作为函数 f (x ) = In x + 2x — 6零点的近似值.⑨给定精度£，用二分法求函数f (x )的零点近似值的步骤如下：确定区间［a, b ］，验证f (a ) • f (b ) <0，给定精度£ . 求区间(a , b )的中点c . 计算f (c ): 若f (c ) = 0,则c 就是函数的零点； 若 f (a ) • f (c ) < 0,则令 b = c 〔此时零点 X 0€ (a , c )〕； 若 f (c ) • f (b ) < 0,则令 a = c 〔此时零点 X 0€ ( c , b )〕. 判断是否达到精度 £，即若|a — b | < £ ,则得到零点值a (或b );否则重复步骤2°1°2°3°4°.⑩由函数的零点与相应方程的关系， 我们可用二分法来求方程的近似解. 由于计算量较 大，而且是重复相同的步骤，因此， 我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算 机完成计算.应用示例例1求方程2x 3+ 3x — 3= 0的一个实数解，精确到 0.01.3解：考察函数f (x ) = 2x + 3x — 3，从一个两端函数值反号的区间开始， 应用二分法逐步 缩小方程实数解所在区间.经试算，f (0) =— 3< 0, f (2) = 19> 0，所以函数 f (x ) = 2x 3+ 3x — 3 在［0,2］内存在零 点，即方程2x 3+ 3x — 3= 0在［0,2］内有解.取［0,2］的中点1 ,经计算，f (1) = 2> 0,又f (0) < 0,所以方程2x 3+ 3x — 3 = 0在［0,1］ 内有解.3如此下去，得到方程 2x + 3x — 3 = 0的实数解所在区间的表如下.左端点右端点 第1次 0 2 第2次 0 1 第3次 0.5 1 第4次 0.5 0.75 第5次 0.625 0.75 第6次 0.687 5 0.75 第7次 0.718 75 0.75 第8次 0.734 375 0.75 第9次 0.742 187 5 0.75 第10次 0.742 187 5 0.746 093 75 第11次0.742 187 50.744 140 625至此，可以看出，区间 ［0.742 187 5,0.744 140 625］ 是0.74.所以0.74是方程2x 3+ 3x — 3 = 0精确到0.01点评：利用二分法求方程近似解的步骤：① 确定函数f (x )的零点所在区间(a , b )，通常令 ② 利用二分法求近似解. 变式训练利用计算器，求方程 x 2— 2x — 1 = 0的一个近似解. 活动：教师帮助学生分析：2 , .画出函数f (x ) = x — 2x — 1的图像，如图2所示.从图像上可以发现， 方程x 2— 2x — 1 = 0的一个根X 1在区间(2,3)内，另一个根X 2在区间 (—1,0)内.根据图像，我们发现f (2) =— 1< 0, f (3) = 2 > 0，这表明此函数图像在区间 (2,3)上穿过x 轴一次，即方程+ 3、1计算得f I —厂4> 0,发现X 1€ (2,2.5)( 解：设f (x ) = x 2— 2x — 1,先画出函数图像的简图，如图 2.内的所有值，若精确到 0.01，都 的实数解.b —a =1; (精确到0.1) 如图2)，这样可以进一步缩小 x i 所在的区间.因为f(2) =— 1< 0, f (3) = 2> 0,所以在区间(2,3)内，方程x2— 2x— 1 = 0有一解，记为X1.取2与3的平均数2.5，因为f(2.5) = 0.25 > 0,所以2< X i< 2.5.再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25) =— 0.437 5 < 0, 所以 2.25 < X i < 2.5.如此继续下去，得 f (2) < 0, f (3) > 0= X i € (2,3),f(2) < 0, f(2.5) > 0= x i€ (2,2.5),f(2.25) < 0, f(2.5) >0=x i€ (2.25,2.5),f (2.375) < 0, f(2.5) > 0=x i€ (2.375,2.5),f (2.375) < 0 , f (2.437 5) > 0= X i € (2.375,2.437 5).因为2.375与2.437 5精确到0.i的近似值都为2.4 ,所以此方程的一个近似解为 2.4.点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.例2利用计算器，求方程Ig X = 3—X的近似解.(精确到0.i) 活动：学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.分别画出y = Ig X和y = 3—x的图像，如图3所示.在两个函数图像的交点处，函数值相等.因此，这个点的横坐标就是方程Ig x= 3—X的解.由函数y = Ig x与y = 3 —x的图像可以发现，方程Ig X = 3 —X有唯一解，记为X i,并且这个解在区间(2,3)内.解：设f(X)= Ig x+ x — 3，设x i为函数的零点即方程Ig x = 3 —x的解. 用计算器计算，得f(2) < 0, f(3) > 0= x i € (2,3),f(2.5) < 0, f (3) >0=X i€ (2.5,3),f(2.5) < 0, f (2.75) >0=X i€ (2.5,2.75),f(2.5) < 0, f (2.625) >0=x i€ (2.5,2.625),f (2.562 5) < 0, f (2.625) > 0= X i € (2.562 5,2.625).因为2.562 5与2.625精确到0.i的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为 2.6.例3 求方程In x — 2x+ 3 = 0在区间［i,2］内的根.(精确到0.i)解：设f(x) = In x— 2x+3,则原方程的根为函数f(x)的零点.设x i为函数的零点即方程In x — 2x+ 3 = 0的解.因为f(i) = i, f (2) = — 0.306 852 8i9 ,所以f (i) f(2) < 0，即函数f (x)在［i,2］内有一个零点.根据二分法，用计算器得出以F表格：（步长为0.25）0.062 5）由上述表格可以得到下表与图像（图4）:因为 f (1.75) = 0.059 615 787 >0, f (1.812 5) 所以区间[1.75,1.812 5] 内的所有值若精确到 所以1.8是方程In X — 2x + 3= 0精确到0.1的实数解.点评：①先设出方程对应的函数， 画出函数的图像，初步确定解所在的区间，再用二分法求方程近似解.② 二分法，即逐渐逼近的方法.③ 计算量较大，而且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机完成计算比较容易. 知能训练根据下表中的数据，可以断定方程e X— X — 2= 0的一个根所在的区间为( ).X—1 0 1 2 3 X e0.37 1 2.72 7.39 20.0 X + 21 23 45A. ( —1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)分析：设 f (x ) = e x—x — 2, f (1) < 0, f (2) > 0，即 f (1) f (2) < 0,A X € (1,2).答案：C 课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价. 引导方法：从基本知识基本技能和思想方法两方面来总结.① 掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用.=—0.030 292 892 < 0,0.1，都是 1.8.②思想方法：函数方程思想、数形结合思想. 课后作业：P119习题4— 1 A组1,3.。