高考数学专题复习5 点列、递归数列和数学归纳法

yx高考数学专题复习5 点列、递归数列和数学归纳法★★★高考在考什么【考题回放】1．已知数列{ a n }的前n 项和为S n ，且S n =2(a n -1)，则a 2等于( A ) A. 4 B. 2 C. 1 D. -22．在数列{}n a 中，121,2a a ==，且21(1)n n n a a +-=+-*()n N ∈，则10S = 35 ． 3．在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =__2 n+1-3___. 4．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1{+n a n的前n 项和的公式是 2n+1-2 .5．已知n 次式项式n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( .若在一种算法中，计算),,4,3,2(0n k x k=的值需要k －1次乘法，计算P 3（x 0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），则计算P 10（x 0）的值共需要 65 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P 0（x ）=a 0，P k +1（x ）=x P k （x ）+a k +1（k =0，1，2，…，n －1）.利用该算法，计算P 3（x 0）的值共需要6次运算，计算P n （x 0）的值共需要 2n 次运算.6．已知函数f (x )=32x x +，数列｜x n ｜(x n ＞0)的第一项x n ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x =f (x)在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图）.求证：当n *N ∈时，(Ⅰ) x ;231212+++=+n n n n x x x（Ⅱ）21)21()21(--≤≤n n n x .【专家解答】(I ) 证明：因为'2()32,f x x x =+所以曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率121132.n n n k x x +++=+即(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2,n n x x + 以221132nn n n x x x x +++=+. （II ）因为函数2()h x x x =+，当0x >时单调递增，而221132n n n n x x x x +++=+21142n n x x ++≤+211(2)2n n x x ++=+，所以12n n x x +≤，即11,2n nx x +≥因此1121211().2n nn n n n x x x x x x x ----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥ 又因为12212(),n n n n x x x x +++≥+ 令2,n n n y x x =+ 则11.2n ny y +≤因为21112,y x x =+= 所以12111()().22n n n y y --≤⋅=因此221(),2n n n n x x x -≤+≤ 故1211()().22n n n x --≤≤★★★高考要考什么【考点透视】本专题是等差（比）数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．【热点透析】高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．（2）给出S n 与a n 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力． 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．★★★突破重难点【范例1】已知数列{}n a 中，对一切自然数n ，都有()10,a n ∈且02121=-+⋅++n n n n a a a a ．求证：(1)n n a a 211<+； (2)若n S 表示数列{}n a 的前n 项之和，则12a S n <．解析： (1)由已知02121=-+⋅++n n n n a a a a 得21112++-=n n n a a a ， 又因为()10,a n ∈，所以11021<-<+n a , 因此12+>n n a a ，即nn a a 211<+． (2) 由结论(1)可知 11221212121a a a a n n n n ---<<<< ，即1121a a n n -<，于是21211111111211211222n n n S a a a a a a a a ---⎛⎫ ⎪=+++<+++=⋅< ⎪ ⎪⎝⎭， 即12a S n <．【点睛】从题目的结构可以看出，条件02121=-+⋅++n n n n a a a a 是解决问题的关键，必须从中找出1+n a 和n a 的关系．【文】).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S 解析（I ）,052168,21121111=++-+=-=++n n n n n n n n a a a a b a a b 代入递推关系得 整理得,342,0364111-==+-+++n n n n n n b b b b b b 即 .320,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由（Ⅱ）由,03234),34(234,342111≠=--=--=++b b b b b n n n n所以故的等比数列公比是首项为,2,32}34{=-q b n11221241142,2(1).3333111,1221()21(12)513(251).1233n n n n n n n n n n n n n n n b b n b a b b a S a b a b a b b b b nn n -=⋅=⋅+≥==+-=+++=++++-=+=+--即由得故【范例2】设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132nii T =<∑ 解析 (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… ①得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23所以a 1=2.再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23, n=2,3，4,…将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13×(2n+1－2n), n=2,3, …整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, …, 因而数列{a n +2n}是首项为a 1+2=4,公比为4的等比数列，即a n +2n = 4×4 n －1= 4 n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …(Ⅱ) S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2) = 23×(2n+1－1)(2n－1)T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1) 所以 1ni i T =∑=321(ni =∑12i－1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 32【点睛】S n 与a n 始终是我们的重点，需要我们引起重视；注意总结积累数列不等式放缩的技巧．【文】设数列{}n a 的前n 项和为S n ，若{}n S 是首项为S 1各项均为正数且公比为q 的等比数列. （１）求数列{}n a 的通项公式n a （用S 1和q 表示）； （２）试比较122+++n n n a a a 与的大小，并证明你的结论.解析 （１）∵{}n S 是各项均为正数的等比数列， ∴)0(11>=-q q S S n n ． 当n=1时，a 1=S 1； 当2112,(1)n n n n n a S S S q q --≥=-=-时．∴⎩⎨⎧≥-==-)2()1()1(211n q q S n S a n n （２）当n=1时，213211312(1)2(1)[()]0,24a a a S S q q S q S q +-=+---=-+> ∴2312a a a >+．当2n ≥时，21211112(1)(1)2(1)n n n n n n a a a S q q S q q S q q --+++-=-+---()3211.n S q q-=-∵210,0,n S q ->>①当q=1时，321(1)0,2.n n n q a a a ++-=∴+= ②当,10时<<q .2,0)1(123++<+∴<-n n n a a a q ③当,1时>q .2,0)1(123++>+∴>-n n n a a a q综上可知：当n=1时，2312a a a >+．当212,1,2;n n n n q a a a ++≥=+=时若则 若2101,2;n n n q a a a ++<<+<则 若211,2.nn n q a a a ++>+<则【范例3】由坐标原点O 向曲线)0(323≠+-=a bx ax x y 引切线，切于O 以外的点P 1),(11y x ，再由P 1引此曲线的切线，切于P 1以外的点P 222,(y x ），如此进行下去，得到点列{ P n n n y x ,(}}.求：（Ⅰ）)2(1≥-n x x n n 与的关系式；（Ⅱ）数列}{n x 的通项公式；（Ⅲ）当∞→n 时，n P 的极限位置的坐 解析 （Ⅰ）由题得b ax x x f +-='63)(2过点P 1（),11y x 的切线为),0)()((:11111≠-'=-x x x x f y y l1l 过原点 32211111113(3)()(36),.2x ax bx x x ax b x a ∴--+=--+=得 又过点P n （,)n n x y 的:()()n n n n l y y f x x x '-=-因为n l 过点P n-1（11,)n n x y -- 11()()n n n n n y y f x x x --'∴-=-整理得.0))]((32[112121=----+----n n n n n n n n x x x x a x x x x211111()(23)0,230.13(2).22n n n n n n n n n n x x x x a x x x x a x x a n -----∴-+-=≠+-=∴=-+≥由得（Ⅱ）由（I ）得11().2n n x a x a --=--所以数列{x n -a }是以2a 公比为21-的等比数列 .])21(1[)21(21a x a a x n n n n --=∴-=-∴-（法2）通过计算,])21(1[,,,4321a x x x x x nn --=而猜出再用数学归纳法证明.（Ⅲ）,])21(1[lim lim a a x n n n n =--=∞→∞→ .23)(lim 333a ab ab a a a f y n n -=+-==∴∞→n P 点∴的极限位置为（).2,3a ab a -【点睛】注意曲线的切线方程1111:()()l y y f x x x '-=-的应用，从而得出递推式．【文】数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211,1,1,2,2n n a S n a n n n ==--=⋅⋅⋅ （Ⅰ）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥，并求n S 关于n 的表达式；（Ⅱ）设()()()1/,n n n n n S f x x b f p p R n +==∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解析 由()21n n S n a n n =--()2n ≥得()21()1n n n S n S S n n -=---，即()221(1)1n n n S n S n n ---=-，所以1111n n n nS S n n -+-=-，对2n ≥成立． 由1111n n n n S S n n -+-=-，121112n n n n S S n n ----=--，…，2132121S S -=相加得1121n n S S n n +-=-，又1112S a ==，所以21n n S n =+， 当1n =时，也成立．（Ⅱ）由()111n n n n S n f x x x n n ++==+，得()/n n n b f p np ==． 而23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+，234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+，23111(1)(1)1n n nn n n p p P T p p p p p np np p-++--=+++++-=--.【范例4】设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －112n -，n x 由以下方法得到： x 1＝1，点P 2 (x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)nn n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a nx ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离．(Ⅰ)求x 2及C 1的方程．(Ⅱ)证明{n x }是等差数列．解：(Ⅰ)由题意,得A(1,0), C 1：y =x 2-7x +b 1.设点P(x,y)是C 1上任意一点,则|A 1=令f (x)=(x-1)2+(x 2-7x+b 1)2, 则21()2(1)2(7)(27).f x x x x b x '=-+-+- 由题意得2()0f x '=, 即2222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-= 又P 2(x 2,0)在C 1上, ∴2=x 22-7x 2+b 1解得x 2=3, b 1=14. 故C 1方程为y=x 2-7x +14. (Ⅱ)设P(x,y)是C 1上任意一点,则|A n =令g(x)=(x-x n )2+(x 2+a n x+bn)2,则2()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a '=-++++, 由题意得,1()0n g x +'=,即211112()2()(2)n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++=0,又∵2112n n n n n x a x b ++=++,∴(x n+1-x n )+2n(2x n+1+a n )=0(n≥1),即(1+2n+1)x n+1- x n +2 na n =0, (*) 下面用数学归纳法证明x n =2n-1. ① 当n=1时,x 1=1,等式成立.② 假设当n=k 时,等式成立,即x k =2k-1.则当n=k+1时,由(*)知(1+2k+1)x k+1-x k +2ka k =0, (*)又a k =-2-4k-112k +,∴1122112k k k k k x a x k ++-==++. 即当n=k+1,时等式成立.由①②知,等式对n∈N +成立,∴{x n }是等差数列.【点睛】注意第（1）小题其实是第（2）小题的特例，对于求数列的通项公式，归纳猜想证明是十分常用的手段．【文】已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ （I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),nn b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列．解析 （I ）证明：2132,n n n a a a ++=- 2112(),n n n n a a a a +++∴-=- *211211,3,2().n n n na aa a n N a a +++-==∴=∈-{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列．（II ）解：由（I ）得*12(),n n n a a n N +-=∈112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+12*22...2121().n n nn N --=++++=-∈ （III ）证明：1211144...4(1),n n b b b b n a ---=+ 12(...)42,n n b b b nb +++∴= 122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20.n n n b nb +--+= ③ 21(1)20.n n nb n b ++-++= ④④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+= 即2120,n n n b b b ++-+= *211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈ {}n b ∴是等差数列．★★★自我提升1. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，…，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为（A ）(A) 2002 (B) 2004 (C) 2006 (D) 20082. 数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于n∈N*满足以下运算性质：(1) 2*2 = 1，(2) ( 2n + 2) * 2 = 3(2n * 2)．则2n *2用含n 的代数式表示为 3n-1_3. 若数列{a n }满足112,0;2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若167a =，则20a 的值为（ B ）(A) 67 (B) 57 (C) 37 (D) 174. 弹子棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形的球垛，使剩下的弹子尽可能少，那么剩余的弹子有(B)（A ）0颗 （B ）4颗 （C ）5颗 （D ）11颗5. 一个机器猫每秒前进或后退一步，程序设计人员让机器猫以每前进3步，然后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令P （n ）表示第n 秒时机器猫所在的位置的坐标，且P （0）=0，那么下列结论中错误的是（ C ）（A ）P(3)=3 （B ）P(5)=1 （C ）P(101)=21 （D ）P(103)<P(104)6. 已知函数f (x ) = 2x 2－x ,则使得数列{qpn n f +)(}(n∈N +)成等差数列的非零常数p 与q 所满足的关系式为 .p=-2q7. (理) 已知x 轴上有一点列：P 1(x 1,0), P 2(x 2,0), …,P n (x n ,0),…点P n+2 分有向线段1+n n P P 所成的比为λ，其中n∈N*，λ>0为常数，x 1=1, x 2=2.（1）设a n =x n+1－x n ，求数列{a n }的通项公式；（2）设f (λ)=∞→n lim x n ，当λ变化时，求f (λ)的取值范围.解析 （1）由题得 112121,111n n n n n n n n n x x x x ax a x x λλλλ+++++++-=∴=-==-+++1211,a x x =-=又∴{a n }是首项为1，公比为11λ-+的等比数列，∴11()1n n a λ-=-+ 121321121(2)()()()1.11230,|| 1.lim 1.11211n n n n n n x x x x x x x x a a a x λλλλλ--→∞=+-+-++-=+++++>∴-<∴=+=++++又∴当λ>0时 2(2)113()2(,2)222f λλλλ+-==-∈++ (文) 设曲线与一次函数y ＝f （x ）的图象关于直线 y ＝x 对称，若f (-1)=0，且点 1(1,)n n na P n a ++在曲线上，又a 1= a 2．（1）求曲线C 所对应的函数解析式； （2）求数列{a n }d 的通项公式．解析：（1）y ＝x -1 (2) a n ＝（n －1）！8．（理）过P （1，0）做曲线C ：y=x k(x ∈(0,+∞),k ∈N +，k>1)的切线，切点为Q 1，设Q 1在x 轴上的投影为P 1，又过P 1做曲线C 的切线，切点为Q 2，设Q 2在x 轴上的投影为P 2，…，依次下去得到一系列点Q 1、Q 2、Q 3、…、Q n 的横坐标为a n ，求证：（Ⅰ）数列{a n }是等比数列；（Ⅱ）11-+≥k na n ； （Ⅲ）∑∑==+++=-<ni n i ni i a a a a k k a i 12112).:( 注解：（Ⅰ）,1-='k kx y 若切点是),(kn n n a a Q ，则切线方程为).(1n k n k n a x ka a y -=--当1=n 时，切线过点P （1，0）即).1(01111a ka a k k -=--得.11-=k k a 当1>n 时，切线过点)0,(11--n n a P 即).(011n n k n k n a a ka a -=---得.11-=-k k a a n n∴数列}{n a 是首项为1-k k ，公比为1-k k的等比数列. .)1(n n k k a -=∴…6分 （Ⅱ）n n n n n n n n n k C k C k C C k k k a )11()11(11)111()1(2210-++-+-+=-+=-= .111110++=-+≥k n k C C nn（Ⅲ）记nn n a na n a a S +-+++=12121 ， 则.1211132++-+++=-n n n a n a n a a S k k两式相减nn n n a a a a a n a a a a S k k 11111111)11(3211321++++<-++++=--+..11,1,].)1(1)[1(11])1(1[112k k S k S kk N k k k k k k k k k k S k n n n nn -<∴-<∴>∈---=-----<∴+ （文）已知曲线C ：xy =1，过C 上一点),(n n n y x A 作一斜率为21+-=n n x k 的直线交曲线C 于另一点),(111+++n n n y x A ，点列),3,2,1( =n A n 的横坐标构成数列{n x }，其中7111=x ．（1）求n x 与1+n x 的关系式； （2）求证：{3121+-n x }是一等比数列.解析：（1）过C ：x y 1=上一点),(n n n y x A 作斜率为n k 的直线交C 于另一点1+n A ，则2111111111+-=⋅-=--=--=+++++n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x y y k ，于是 21+=+n n n x x x ． （2）记3121+-=n n x a ，则n n nn n n a x x x x a 2)3121(231221312111-=+--=+-+=+-=++，因为023121,711111≠-=+-==x a x 而，因此数列{3121+-n x }是等比数列．。