沪科版-数学-九年级上册-21.1 二次函数 课件
(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整 数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元， 每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元． ∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]， 即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；
问题2 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一 块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大 ，则它的边长应是多少米？
设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水 面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2， 则有
S x 20 x S x2 20x
此式表示了边长x与围网的面积S之间的关 系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个 对应值，即S是x的函数.
k 2 3k 4 2,
解：（1）由题意，得
k 1 0,
解得 k=2;
（2）当k=2时，将x=0.5代入函数关系式得 ，
y x2 2x 1
y 0.52 2 0.5 1 0.25
归纳总结
此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次 项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件， 求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入 法将x的值代入其中，求出y的值.
2
2
7.某商店销售一种成本为每千克40元的商品，根据市场 分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销 售单价每涨1元，月销售量就减少10kg,针对这种商品的 销售情况，请解答下列问题： （1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销
售利润分别为多少？ 450 kg,6750 元
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y 与x的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）
问题3 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每 人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增 加1人，可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人
才能使每天装配玩具总数最多？最多为多少？
设增加x 人，这时，则共有 (15+x) 个装配工,每
人每天可少装配_1_0_x__个玩具，因此，每人每天只装配 (190－10x) 个玩具.所以，增加人数后，每天装配玩
y=－10x2+40x+2850
函数都是用 自变量的二次整
式表示的
归纳总结
二次函数的定义： 形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做
二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数 、一次项系数和常数项.
温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常 数项，但不能没有二次项.
二 二次函数定义的应用
例2 y m 3 xm27.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（1）由题可知,
m2
7
1,
解得 m= 2
2;
m 3 0,
m2 7 2,
（2）由题可知,
解得 m=3.
m 3 0,
注意 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而 得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
变式训练
1.已知: y (k 2)x k ，k取什么值时，y是x的二次
函数？
解：当 k=2且k+2≠0，即k=-2时, y是x的二次函数.
2.若函数y (m2 9)x2 (m 2)x 4 是二次函数，那么m取值范围是什么？
解： .若函数y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4
cm）之间的函数关系； S 6a2(a 0)
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函
数关系；
x2 y (x 0)
4
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面
积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．
S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)
3.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0 (a≠0)
讲授新课
一 二次函数的定义
探究归纳
问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 y=6x2 .
此式表示了正方 体表面积y与正方体棱 长x之间的关系，对于 x的每一个值，y都有 唯一的一个对应值， 即y是x的函数.
解（：1）由题意，得
a2
3a 2 2,
a 4 0,
解得 a= 1;
（2）当a=-1时，函数关系式为 y (1 4)x2 1 5x2 1.
（3）将x=-2代入函数关系式中，有 y 5 (2)2 1 21.
6.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的
函数
（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（
2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y＝－10x2＋ 180x＋400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数 ，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问 题有意义.
三 二次函数的值
例4 一个二次函数 y (k 1)xk23k4 2x 1 . （1）求k的值. （2）当x=0.5时，y的值是多少？
1.什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变
量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确 定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函 数2..什么是一次函数？正比例函数？
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数 叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比 例函数.
A．y＝2x＋1 C．y＝3x2＋1
B．y 2
x
D．y
1 x2
1
4. 已知函数 y=3x2m-1－5
① 当m=＿1＿时，y是关于x的一次函数；
3
② 当m=＿2＿时，y是关于x的二次函数 .
5.若函数 y (a 4)xa23a2 a 是二次函数，求： （1）a的值， (2) 函数关系式， （3）当x=-2时，y的值是多少？
当堂练习
1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_-_3_x_2_,一次项 系数为_-_1_6___，常数项为 12 .
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是C ()
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C3．. m下,n列是函常数数是,且二m次≠函n 数的D是. m( ,nC为任)何实数
y x 40500 x 5010
10x2 1400x 40000
8.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y （cm2).求 （1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
二次函数
学习目标
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）
导入新课
情境引入
雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等 都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系 式表示？
导入新课
视频引入
思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗?
是二次函数， 那么m取值范围是什么？
解：由题意得：
m2 2m 1 2 m 1 0
m的取值范围是m 3
【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概 念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档 次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高 一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自
变量）
① y=ax2+bx+c ② y=3-2x²
③y=x2
不一定是，缺少 a≠0的条件.
④y 1
x2
不是，右边 是分式.
⑤y=x²+x³+25
不是，x的最 高次数是3.
⑥ y=(x+3)²-x²
y=6x+9
方法归纳
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数 和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函 数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊 形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等.
具总数y可表示为y=_(1__90__－__1_0_x_)(_1_5_+_x_)_.
整理为： y=－10x2+40x+2850
此式表示了每天装配玩具总 数y与增加x人之间的关系，对 于x的每一个值，y都有唯一的 一个对应值，即y是x的函数.
想一想
问题1-3中函数关系式有什么共同点?
y=6x2 S x2 20x
课堂小结
二次函数
定义
右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0.
一般形式 y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
特殊形式
y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求 该产品的质量档次．
解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120，
整理得
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元， 每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元． ∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]， 即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；
问题2 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一 块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大 ，则它的边长应是多少米？
设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水 面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2， 则有
S x 20 x S x2 20x
此式表示了边长x与围网的面积S之间的关 系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个 对应值，即S是x的函数.
k 2 3k 4 2,
解：（1）由题意，得
k 1 0,
解得 k=2;
（2）当k=2时，将x=0.5代入函数关系式得 ，
y x2 2x 1
y 0.52 2 0.5 1 0.25
归纳总结
此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次 项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件， 求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入 法将x的值代入其中，求出y的值.
2
2
7.某商店销售一种成本为每千克40元的商品，根据市场 分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销 售单价每涨1元，月销售量就减少10kg,针对这种商品的 销售情况，请解答下列问题： （1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销
售利润分别为多少？ 450 kg,6750 元
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y 与x的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）
问题3 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每 人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增 加1人，可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人
才能使每天装配玩具总数最多？最多为多少？
设增加x 人，这时，则共有 (15+x) 个装配工,每
人每天可少装配_1_0_x__个玩具，因此，每人每天只装配 (190－10x) 个玩具.所以，增加人数后，每天装配玩
y=－10x2+40x+2850
函数都是用 自变量的二次整
式表示的
归纳总结
二次函数的定义： 形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做
二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数 、一次项系数和常数项.
温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常 数项，但不能没有二次项.
二 二次函数定义的应用
例2 y m 3 xm27.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（1）由题可知,
m2
7
1,
解得 m= 2
2;
m 3 0,
m2 7 2,
（2）由题可知,
解得 m=3.
m 3 0,
注意 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而 得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
变式训练
1.已知: y (k 2)x k ，k取什么值时，y是x的二次
函数？
解：当 k=2且k+2≠0，即k=-2时, y是x的二次函数.
2.若函数y (m2 9)x2 (m 2)x 4 是二次函数，那么m取值范围是什么？
解： .若函数y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4
cm）之间的函数关系； S 6a2(a 0)
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函
数关系；
x2 y (x 0)
4
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面
积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．
S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)
3.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0 (a≠0)
讲授新课
一 二次函数的定义
探究归纳
问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 y=6x2 .
此式表示了正方 体表面积y与正方体棱 长x之间的关系，对于 x的每一个值，y都有 唯一的一个对应值， 即y是x的函数.
解（：1）由题意，得
a2
3a 2 2,
a 4 0,
解得 a= 1;
（2）当a=-1时，函数关系式为 y (1 4)x2 1 5x2 1.
（3）将x=-2代入函数关系式中，有 y 5 (2)2 1 21.
6.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的
函数
（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（
2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y＝－10x2＋ 180x＋400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数 ，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问 题有意义.
三 二次函数的值
例4 一个二次函数 y (k 1)xk23k4 2x 1 . （1）求k的值. （2）当x=0.5时，y的值是多少？
1.什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变
量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确 定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函 数2..什么是一次函数？正比例函数？
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数 叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比 例函数.
A．y＝2x＋1 C．y＝3x2＋1
B．y 2
x
D．y
1 x2
1
4. 已知函数 y=3x2m-1－5
① 当m=＿1＿时，y是关于x的一次函数；
3
② 当m=＿2＿时，y是关于x的二次函数 .
5.若函数 y (a 4)xa23a2 a 是二次函数，求： （1）a的值， (2) 函数关系式， （3）当x=-2时，y的值是多少？
当堂练习
1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_-_3_x_2_,一次项 系数为_-_1_6___，常数项为 12 .
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是C ()
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C3．. m下,n列是函常数数是,且二m次≠函n 数的D是. m( ,nC为任)何实数
y x 40500 x 5010
10x2 1400x 40000
8.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y （cm2).求 （1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
二次函数
学习目标
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）
导入新课
情境引入
雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等 都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系 式表示？
导入新课
视频引入
思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗?
是二次函数， 那么m取值范围是什么？
解：由题意得：
m2 2m 1 2 m 1 0
m的取值范围是m 3
【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概 念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档 次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高 一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自
变量）
① y=ax2+bx+c ② y=3-2x²
③y=x2
不一定是，缺少 a≠0的条件.
④y 1
x2
不是，右边 是分式.
⑤y=x²+x³+25
不是，x的最 高次数是3.
⑥ y=(x+3)²-x²
y=6x+9
方法归纳
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数 和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函 数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊 形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等.
具总数y可表示为y=_(1__90__－__1_0_x_)(_1_5_+_x_)_.
整理为： y=－10x2+40x+2850
此式表示了每天装配玩具总 数y与增加x人之间的关系，对 于x的每一个值，y都有唯一的 一个对应值，即y是x的函数.
想一想
问题1-3中函数关系式有什么共同点?
y=6x2 S x2 20x
课堂小结
二次函数
定义
右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0.
一般形式 y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
特殊形式
y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求 该产品的质量档次．
解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120，
整理得
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新沪科版九年级数学上册《二次函数》课件(共12张PPT)
18．(12分)为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快廉租房建设力度，2014年市政府共投资2亿元人民币建设廉租房8万平方米，若今后两年投资的增长率均为x，设到2016年底政府共累计投资y亿元人民币． (1)求y与x之间的函数关系式； 解：y＝2＋2(1＋x)＋2(1＋x)2＝2x2＋6x＋6 (2)若三年累计投资达到9.5亿元人民币，求投资的年增长率． 解：2x2＋6x＋6＝9.5，解得x1＝0.5＝50%，x2＝－3.5(舍去)，故每年市政府投资增长率是50%
21．1 二次函数
1．一般地，形如 ________________(a，b，c是常数，a____0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量． 2．二次函数自变量的取值范围一般都是__________，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题___________．
y＝ax2＋bx＋c
≠
全体实数
y＝100(1＋x)2
y＋1成正比例，且当x＝2时，y＝10. (1)求y与x之间的函数关系式，并指出它属于哪种类型的函数； 解：y＝2x2＋2，二次函数 (2)若点(m，20)在其函数图象上，求m的值． 解：m＝±3
17．(10分)某软件商店销售一种益智游戏软件，如果以每盘60元的售价卖出，一个月能售出800盘，现根据市场分析，若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盘，请你写出当每盘的售价涨x元时，该商店月销售额y(元)与x的关系式，并指出y是x的什么函数． 解：根据题意，得y＝(60＋x)(800－10x)，所以y＝－10x2＋200x＋48 000.y是x的二次函数
谢谢观赏 You made my day!
我们，还在路上……
有意义
C
D
0
A
21．1 二次函数
1．一般地，形如 ________________(a，b，c是常数，a____0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量． 2．二次函数自变量的取值范围一般都是__________，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题___________．
y＝ax2＋bx＋c
≠
全体实数
y＝100(1＋x)2
y＋1成正比例，且当x＝2时，y＝10. (1)求y与x之间的函数关系式，并指出它属于哪种类型的函数； 解：y＝2x2＋2，二次函数 (2)若点(m，20)在其函数图象上，求m的值． 解：m＝±3
17．(10分)某软件商店销售一种益智游戏软件，如果以每盘60元的售价卖出，一个月能售出800盘，现根据市场分析，若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盘，请你写出当每盘的售价涨x元时，该商店月销售额y(元)与x的关系式，并指出y是x的什么函数． 解：根据题意，得y＝(60＋x)(800－10x)，所以y＝－10x2＋200x＋48 000.y是x的二次函数
谢谢观赏 You made my day!
我们，还在路上……
有意义
C
D
0
A
沪科版数学九年级上册教学课件：21.1 二次函数(共27张PPT)
解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120，
整理得
x2－18x＋72＝0，
解得
x1＝6，x2＝12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第6档．
【解题归纳】解决此类问题的关键是要吃透题意， 确定变量，建立函数模型．
新课进行时
思考： 1.已知二次函数y＝－10x2＋180x＋400 ,自变量x的取 值范围是什么？ 2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y＝－10x2＋ 180x＋400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题 有意义.
新课进行时 核心知识点三 二次函数的值
例4 一个二次函数 y (k . 1)xk23k4 2x 1
（1）求k的值.
（2）当x=0.5时，y的值是多少？
解：（1）由题意，得
k
2
3k
4
2,函数Leabharlann 系；S 6a2 (a 0)
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；
y x2 (x 0)
4
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与 一对角线长x(cm)之间的函数关系．
S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)
2
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6
元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量
减少5件，
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．
∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，
即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；
沪科版九年级数学上册 21.1 二次函数 课件(共19张ppt)
双曲线
思考：●什么是二次函数？
●二次函数的图象是什么样的？
探究新知
观察下面图片，说说这些是什么样的曲线？
喷泉形成的轨迹
拱桥
探究新知
篮球的运行轨迹
探究新知
二次函数的概念
问题1：某水产养殖户用40米的围网，在水库中围一块矩形
的水面，投放鱼苗。要使围成的水面面积最大，它的长应
是多少米？
探究新知
解析：设围成的矩形水面的一边长为 x m，那么，矩形
____________．
4．某厂今年一月份新产品的研发资金为 a 元，以后每
月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 x，则该厂
今年三月份新产品的研发资金 y (元)关于 x 的函数关系
2
y＝a(1＋x)
式为_____________．
随堂练习
5．矩形的周长为16 cm，它的一边长为 x (cm)，面积为
一般形式
y=ax2+bx+c
(a≠0，a,b,c是常数）
特殊形式
y=ax2 ( a≠0)；
y=ax2+bx (a≠0，a,b是常数)；
y=ax2+c (a≠0，a,c是常数)．
y (cm2)．求：
(1) y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围；
(2) 当 x＝3 时矩形的面积．
解：(1) y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
课堂小结
定 义
二次
函数
等号两边都是整式；
自变量的最高次数是2；
二次项系数a≠0．
即 y＝－10x2＋40x＋2850．
沪科版九年级上册21.1.1二次函数的概念(共17张PPT)
1 x2
不是
(3) y x(1 x)
是
(4) y (x 1)2 x2 不是
先化简后判断
知识巩固
2. 把下列函数化成二次函数的一般式,并分别说出二);
解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6; 1,-5,6
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2; (3)y=-2(x+3)2.
S= x(20-x) =-x2+20
y=(190-10x)(15+x) =-10x2+40x+2850
上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同的特征? 经化简后都具有y=ax²+bx+c(a,b,c是常数, a≠0 )的形式.
二次函数的相关概念
一般地,表达式形如 y=ax²+bx+c (其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6; -1,4,-6 (3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18. -2,-12,-18
例题分析
例1 关于x的函数 y (m 1)xm2m 是二次函数,求m的值.
解 根据题意得m+1≠0且 m²-m=2,解得m=2.
注意:二次函数的二次项系数不能为零.
课堂小结
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数, a≠0 )
6. 列出函数表达式，并求自变量的取值范围. （1）一块矩形草地的长为100m,宽为80m,欲在中间修筑两条互相垂直的宽为 x(m)的小路,这时坪的面积为y(m²).求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围.
（2）某商品每件成本40元,以单价55元试销,每天可售出100件。根据市场预 测,定价每减少1元,销售量可增加10件. 求每天销售该商品获利金额y(元)与定 价x(元)之间的函数关系.
沪科版九年级数学上册课件：21.1(共11张PPT)
11
12
4
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一 天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法 来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元， 其销售量可增加10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销 售利润最大?
思考如下问题并回答： 1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?
2.如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?
3.若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多 少件商品?
5
4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围.
5.若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式.
将函数关系式y=x(20－2x)(0＜x＜10）化为：
大家好
1
沪科版·九年级数学·上册
2
3
1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取 x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形 的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中：
2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3.我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也 随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式.
间的函数关系；
（ 3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金， 若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数 关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S （cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系.
9
10
正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长 为xcm的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子. (1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间 的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm时=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，
12
4
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一 天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法 来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元， 其销售量可增加10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销 售利润最大?
思考如下问题并回答： 1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?
2.如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?
3.若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多 少件商品?
5
4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围.
5.若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式.
将函数关系式y=x(20－2x)(0＜x＜10）化为：
大家好
1
沪科版·九年级数学·上册
2
3
1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取 x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形 的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中：
2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3.我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也 随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式.
间的函数关系；
（ 3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金， 若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数 关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S （cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系.
9
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正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长 为xcm的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子. (1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间 的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm时=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，
沪科版九年级数学课件-二次函数
課堂小結
1.定義：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)的函數叫做x的二次函數. y=ax²+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)的幾種不同表示形式: (1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
先化簡後判斷
2.說出下列二次函數的二次項係數、一次項係數和常數項：
函數解析式
二次項係數a 一次項係數b 常數項c
y x2 58x 112
－1
y 1 x2 13x
1
2
2
y x2
58
－112
13
0
0
0
二次函數y=ax²+bx+c中a≠0,但b、c可以為0.
3. 關於x的函數 y (m 1)xm2m 是二次函數, 求m的值.
問題2：某商店1月份的利潤是2萬元，2、3月份利潤逐月增長，這兩個月
利潤的月平均增長率為x，求3月份的利潤y與x間的函數運算式.
因為某商店1月份的利潤是2萬元，所以2月份的利潤是2（1+x）萬元，3月份 的利潤是2（1+x）²萬元，即y=2（1+x）².
問題3：有一玩具廠，如果安排裝配工15人，那麼每人每天可裝配玩具190個； 如果增加人數，那麼每增加1人，可使每人每天少裝配玩具10個.問增加多少人才 能使每天裝配玩具總數最多？玩具總數最多是多少？
解：根據題意得m+1≠0且 m²-m=2，解得m=2.
注意:二次函數的二次項係數不能為零.
4.要用長20m的鐵欄杆，一面靠牆，圍成一個矩形的花圃，設連牆的一邊為x, 矩形的面積為y, (1)請寫出y關與x的函數運算式. (2)當x=3時,矩形的面積為多少?
九年级数学上册 21.1 二次函数课件 (新版)沪科版
第21章 二次函数(hánshù)与反 比例函数(hánshù)
第一页，共18页。
1.一元二次方程的一般形式(xíngshì)是 什么？
2。一次函数、正比例函数的定义(dìngyì) 是什么？
第二页，共18页。
合作学习，探索新知 :
请用适当的函数表达式表示下列(xiàliè)问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
（ （12） ）写写出出正圆方的体面的积表y（面积）S与（它的）周与长正cx（m方c2体m棱）长之a间（的cm函）数之关间系的；函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（ ）与一对角线长x
（cm）之间的函数关系． cm2 cm 2
第十四页，共18页。
已知二次函数(hánshù) y=x²+px+q , 当x=1时,函数(hánshù)值为4, 当x=2时, 函数(hánshù)值为 -5 , 求这个二次函数 (hánshù)的表达式.
第十五页，共18页。
5.已知二次函数(hyáns2h(ùx)1)2 4
（1）你能说出此函数(hánshù)的最小值 吗？
（2）你能说出这里(zhèlǐ)自变量能取哪些 值呢？
第十六页，共18页。
开动脑筋
问题(wèntí)：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围 都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y( cm)与2 圆的半径 x（cm)
第十页，共18页。
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数
((h2)á它ns是hù一)? 次函数？
(3)它是正比例函数 (hánshù)？
第十一页，共18页。
例1: 关于(guānyú)x的函数
第一页，共18页。
1.一元二次方程的一般形式(xíngshì)是 什么？
2。一次函数、正比例函数的定义(dìngyì) 是什么？
第二页，共18页。
合作学习，探索新知 :
请用适当的函数表达式表示下列(xiàliè)问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
（ （12） ）写写出出正圆方的体面的积表y（面积）S与（它的）周与长正cx（m方c2体m棱）长之a间（的cm函）数之关间系的；函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（ ）与一对角线长x
（cm）之间的函数关系． cm2 cm 2
第十四页，共18页。
已知二次函数(hánshù) y=x²+px+q , 当x=1时,函数(hánshù)值为4, 当x=2时, 函数(hánshù)值为 -5 , 求这个二次函数 (hánshù)的表达式.
第十五页，共18页。
5.已知二次函数(hyáns2h(ùx)1)2 4
（1）你能说出此函数(hánshù)的最小值 吗？
（2）你能说出这里(zhèlǐ)自变量能取哪些 值呢？
第十六页，共18页。
开动脑筋
问题(wèntí)：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围 都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y( cm)与2 圆的半径 x（cm)
第十页，共18页。
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数
((h2)á它ns是hù一)? 次函数？
(3)它是正比例函数 (hánshù)？
第十一页，共18页。
例1: 关于(guānyú)x的函数
沪科版九年级数学上21.1二次函数 (共22张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
例3：已知二次函数y=x²+px+q, 5, 求这个二次函 数的解析式.
解 ： 把 x=1,y=4和 x=2,y=-5分 别 代 入
函 数 yx2pxq,得 ：
｛1 p q 4 4 2 p q 5
解 得 ， p12,q15.
所 求 的 二 次 函 数 是 y x 2 1 2 x 1 5
按所求的函数关系式计算出售定
价为80元时所得利润。
课堂小结：
• 1、二次函数的概念 • 2、能列一些简单的二次函数解析式 • 3、认识二次函数的一般形式，能够把
任意一个二次函数化成它的一般形式， 并指出二次项及其系数，一次项及其 系数，常数项
• 4、能够找出一些特殊的二次函数的自 变量取值范围
• 5、体味数学来源生活，又作用于生活
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月31日星期二2021/8/312021/8/312021/8/31 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/312021/8/31August 31, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/31
•
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
例3：已知二次函数y=x²+px+q, 5, 求这个二次函 数的解析式.
解 ： 把 x=1,y=4和 x=2,y=-5分 别 代 入
函 数 yx2pxq,得 ：
｛1 p q 4 4 2 p q 5
解 得 ， p12,q15.
所 求 的 二 次 函 数 是 y x 2 1 2 x 1 5
按所求的函数关系式计算出售定
价为80元时所得利润。
课堂小结：
• 1、二次函数的概念 • 2、能列一些简单的二次函数解析式 • 3、认识二次函数的一般形式，能够把
任意一个二次函数化成它的一般形式， 并指出二次项及其系数，一次项及其 系数，常数项
• 4、能够找出一些特殊的二次函数的自 变量取值范围
• 5、体味数学来源生活，又作用于生活
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月31日星期二2021/8/312021/8/312021/8/31 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/312021/8/31August 31, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/31
沪科版数学九年级上册21.1二次函数课件
d
1 2
n2
3 2
n②
y 20 x2 40x 20③
y是x的函数吗? y是x的一次函数？
2、定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做二次函数。
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是 常数，a≠0)的函数叫做二次函数
称：a为二次项系数， ax2叫做二次项 b为一次项系数， bx叫做一次项 c为常数项,
问题1： 正方体的六个面是全等的正方形,设正方 形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y 都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可
以表示为y=6x2①
问题:
问题2：多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从
一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3)条
(是) (否)
(4)y=(x+3)²－x² (5)y= －x
(是)
(6)v= r ²
(否) (7) y=x²+x³+25 (否)
3
(否) (8)y=2²+2x
(否)
(是)
例2. y=(m+3)x m2－7 (1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
C y=x2
D y=2+ √x2 +1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的 条件是( ) A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n
D m,n为任何实数
随堂练习
沪科版九年级数学上册21.二次函数的应用(第1课时)课件
即x在对称轴的右侧.
函数的值随着x的增大而减小.
∴当x＝－3时，y最大值＝ ；
当x＝1时，y最小值＝－ .
x＝－5
y
－3
O
1
x
知识归纳
当自变量的范围有限制时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c
的最值可以根据以下步骤来确定：
(1) 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
(2) 画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明
例题与练习
解：设与墙垂直的一边为x米，园子面积为S平方米，
由题意得
S＝x(20－2x)
＝－2x2＋20x
＝－2(x－5)2＋50 (0＜x＜10)．
∵－2＜0，
∴当x＝5(在0＜x＜10的范围内)时，园子面积S的最大
值为50平方米．
例题与练习
例3 如图，有长为 30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大
可用长度为 10 m)，围成中间隔有一道篱笆 (平行于AB)
的矩形花圃．设花圃的一边AB为 x m，面积为 y m2.
(1) 求y与x的函数关系式；
(2) y是否有最大值？如果有，
要求出y的最大值．
例题与练习
解：(1)由题意得：y＝x(30－3x)，即y＝－3x2＋30x.
(2)由题意得：0＜30－3x≤10，即
直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为 (0，0.5)，
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋0.5.
抛物线经过点 (450，81.5)，代入上式，得
81.5＝a·4502＋0.5.
解得 a＝
＝
函数的值随着x的增大而减小.
∴当x＝－3时，y最大值＝ ；
当x＝1时，y最小值＝－ .
x＝－5
y
－3
O
1
x
知识归纳
当自变量的范围有限制时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c
的最值可以根据以下步骤来确定：
(1) 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
(2) 画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明
例题与练习
解：设与墙垂直的一边为x米，园子面积为S平方米，
由题意得
S＝x(20－2x)
＝－2x2＋20x
＝－2(x－5)2＋50 (0＜x＜10)．
∵－2＜0，
∴当x＝5(在0＜x＜10的范围内)时，园子面积S的最大
值为50平方米．
例题与练习
例3 如图，有长为 30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大
可用长度为 10 m)，围成中间隔有一道篱笆 (平行于AB)
的矩形花圃．设花圃的一边AB为 x m，面积为 y m2.
(1) 求y与x的函数关系式；
(2) y是否有最大值？如果有，
要求出y的最大值．
例题与练习
解：(1)由题意得：y＝x(30－3x)，即y＝－3x2＋30x.
(2)由题意得：0＜30－3x≤10，即
直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为 (0，0.5)，
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋0.5.
抛物线经过点 (450，81.5)，代入上式，得
81.5＝a·4502＋0.5.
解得 a＝
＝