逻辑事件中常用的数制.
数制与码制以及逻辑运算
数制与码制以及逻辑运算第⼀章数制与码制以及逻辑运算第⼀节数制⼀、⼗进制数可表⽰数的基本数符为0~9，基数为10。
进位：逢⼗进⼀。
5328．013=5×103+3×102+2×101+8×100+0×10-1+1×10-2+3×10-3⼩数点左起⾸位称整数部分位，其位权为100=1位权：以基数为底，数位序数为指数的幂。
整数数位为n ，⼩数数位为m 的⼗进制数N 可写成：N=±（D n-1×10n-1+D n-2×10n-2+……+D 1×101+ D 0×100+ D -1×10-1+……D -m ×10-m ）=±∑（D i ×10i ）（n 、m 均为绝对值）——此称位置记数法⼆、⼆进制数 1基数为2：可表⽰数符为0、1。
逢⼆进⼀。
+ 11 01011．11=1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+1×2-2 =8+0+2+1+0.5+0.25=11.75⽤位置记数法表⽰为：N=±（B n-1×2n-1+B n-2×2n-2+……+B 1×21+B 0×20+B -1×2-1+……B -m ×2-m ） =±∑（D i ×10i ）80X86CPU 处理的信息以字节为单位。
⼀字节表⽰8位⼆进制数，其数值范围是00000000~11111111即0~255；双字节表⽰16位⼆进制数，其数值范围是00……00~11……11即0~65535；四字节表⽰32位⼆进制数，80486；⼋字节表⽰64位⼆进制数，80586。
计算机存贮器的基本存贮单位是存贮单元，每单元存放⼀字节⼆进制数。
存贮器由许多存贮单元组成，各存贮单元给予编号，称存贮地址，采⽤若⼲字节⼆进制表⽰。
数制和逻辑函数的基本概念
(374.26)8 = 011 111 100 . 010 110
6
2,二进制数与十六进制数的相互转换 ,
二进制数与十六进制数的相互转换,按照每4位二进制数 对应于一位十六进制数进行转换.
0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 . 0 1 1 0 = (1E8.6)16 (AF4.76)16 = 1010 1111 0100 . 0111 0110
11
三, 编码
数字系统只能识别0和1,怎样才能表示更多的数码,符 号,字母呢?用编码可以解决此问题. 用一定位数的二进制数来表示十进制数码,字母,符 号等信息称为编码. 用以表示十进制数码,字母,符号等信息的一定位数的 二进制数称为代码. 二-十进制代码:用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进 制数中的 0 ~ 9 十个数码.简称BCD码. 用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码, 因各位的权值依次为8,4,2,1,故称8421 BCD码. 2421码的权值依次为2,4,2,1;余3码由8421码加0011 得到;格雷码是一种循环码,其特点是任何相邻的两个码字, 仅有一位代码不同,其它位相同. 12
3,十进制数转换为二进制数 ,
采用的方法 — 基数连除,连乘法 原理:将整数部分和小数部分分别进行转换. 整数部分采用基数连除法,小数部分 采用基数连乘法.转换后再合并.
7
整数部分采用基数连除法, 先得到的余数为低位,后 得到的余数为高位.
2 2 2 2 2 2 44 余数 低位
小数部分采用基数连乘法, 先得到的整数为高位,后 得到的整数为低位.
各数位的权是2 各数位的权是2的幂
二进制数只有0和1两个数码,它的每一位都可以用电子元 件来实现,且运算规则简单,相应的运算电路也容易实现.
数的逻辑推理理解数的逻辑关系和推理方法
数的逻辑推理理解数的逻辑关系和推理方法数的逻辑推理：理解数的逻辑关系和推理方法数学是一门基础学科，数的逻辑推理是数学中的重要内容之一。
在数学中，数的逻辑关系和推理方法帮助我们理解和解决各种问题。
本文将介绍数的逻辑关系和推理方法，并说明其在实际生活中的应用。
一、数的逻辑关系在数学中，数的逻辑关系是指数之间的相互联系和相互作用。
常见的数的逻辑关系有以下几种：1. 数的整除关系：当一个数能够被另一个数整除时，我们说前者是后者的倍数，后者是前者的约数。
例如，6能够被2和3整除，所以2和3是6的约数，而6是2和3的倍数。
2. 数的大小关系：数的大小关系是指数的大小比较。
我们可以用大于、小于、等于等符号来表示数的大小关系。
例如，3 > 2表示3大于2，2 < 3表示2小于3。
3. 数的奇偶关系：数的奇偶关系是指数的奇偶性质。
当一个数能被2整除时，我们称其为偶数，否则为奇数。
例如，4是一个偶数，而5是一个奇数。
4. 数的互质关系：两个数的最大公约数是1时，我们称两个数互质。
例如，2和3是互质数。
二、数的推理方法数的推理方法是通过数的逻辑关系，从已知条件推导出未知结论的方法。
1. 数的归纳法：数的归纳法是一种通过观察和推理来得出结论的方法。
首先，我们观察到一系列数满足某个规律，然后我们利用这个规律推理出一个数学上的结论。
例如，观察到1、3、5、7、9都是奇数，并且每个奇数与前一个奇数相差2，我们可以推测出下一个奇数为11。
2. 数的演绎法：数的演绎法是一种由已知条件得出结论的推理方法。
通过已知的数的逻辑关系，我们可以推导出一些新的数的关系。
例如，如果已知3和5是互质数，而且5和7是互质数，我们可以推断出3和7也是互质数。
3. 数的等式法：数的等式法是通过设置等式，利用已知的数的逻辑关系来得出未知数的值。
例如，如果已知3x + 2 = 8，我们可以通过求解这个等式得出x的值为2。
三、数的逻辑推理在实际生活中的应用数的逻辑推理在实际生活中有着广泛的应用。
1.2 逻辑代数运算规则
( A C ) ( C+D )
“或非－或非” 表达 式
AC CD
“与-或-非”表达式
2、逻辑函数的变换 （1）适应器件的情况: 例1 用与非门实现逻辑函数 L1 AC CD 将逻辑函数与或式变换与非-与非表达式 方法：将逻辑函数两次求反后用摩根定律
L1 AC CD AC CD ACCD
≥1
≥1 Y
C1
& BC
Y AB B BC BC
逻辑函数的建立及其表示方法
■根据真值表画出波形图
一般方法： 将真值表中的变量和函数的对应值分别用高、低电平表示
真值表
AB
L A0 1
0
0
10
00
1 B0
1
1
01 0
L
10 0
1
1
0
11
1
t1
t2
0
00
1
0
1
t3
t4
t5
例:异或函数的几种表达方式
事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件 不具备时，事件发生。这种因果关系称为非逻辑关系。
非逻辑举例
A
NC V
非逻辑举例状态表
A
灯
不通电
亮
通电
灭
3.非运算
非逻辑举例状态表
A
灯
不通电
亮
通电
灭
非逻辑符号
A
1
L
线圈(A)通电- 1 不通电- 0
灯(L)灭 -----0 亮 -----1
A
非逻辑真值表
逻辑函数为： Y F ( A, B,C )
１．与运算
(1) 与逻辑:只有当决定某一事件的条件全部具备时， 这一事件才会发生。这种因果关系称为与逻辑关系。
数字逻辑的一些基本运算和概念
““““““““数字逻辑的⼀些基本运算和概念进制转换基数：计数制中所⽤到的数字符号的个数，⽐如基数为R的计数制中，含0，1···R-1共R个数字符号，进位规律是“逢R进1”，称为R进制。
位权：在⼀种进位计数制表⽰的数中，⽤来表明不同数位上数值⼤⼩的⼀个固定的常数。
不同数位有不同的位权。
⽐如2进制：10001，第⼀个1位上的位权为 2^4，第⼆个1位上的位权为 2^0。
并列表⽰法：⽐如 1001001.多项式表⽰法：按权展开：1 x 2^6 + 1 x 2^3 + 1 x 2^0.⼆转⼗10110.101 = 1x2^4 + 1x2^2 + 1x2^1 + 1x2^-1 + 1x2^-3 = 16 + 4 + 2 + 0.5 + 0.125.⼗转⼆整数转换，除基数取余法：45 ÷ 2 = 22 (1)22 ÷ 2 = 11 011 ÷ 2 = 5 (1)5 ÷ 2 = 2 (1)2 ÷ 2 = 1 01 ÷ 2 = 0 (1)得到45的⼆进制 1 0 1 1 0 1，注意，按照从下往上的顺序。
⼩数转换，乘⼆取整法：0.6875x 2------1.3750 (1)x 2------0.7500 0x 2------1.5000 (1)x 2------1.0000 (1)0.6875的⼆进制 0.1011，注意，按照从上向下的顺序。
有些时候，⽆法⽤有限位⼆进制表⽰⼗进制的⼩数，就要根据题⽬的精度要求，将最低位进⼀然后舍去。
此外，当⼀个⼗进制既有整数也有⼩数，只要把它们分开计算就好了。
⼋进制，和⼗六进制，类⽐即可。
需要注意的是：⼋转⼆的时候，每⼀位⼋进制数 ⽤三位⼆进制表⽰即可，⽐如 732 -> 111 011 010；⼗六转⼆⽤4位⼆进制数即可。
⼆转⼋的时候，不⾜补0，⽐如 ⼆进制 1001 需要看做 001 001 再转成 11。
三种基本的逻辑运算
11
也可以用图2.2.2表示与 逻辑，称为逻辑门或逻 辑符号，实现与逻辑运 算的门电路称为与门。
A B
＆
Y
A B
Y
图2.2.2 与门逻辑符号
若有n个逻辑变量做与运算，其逻辑式可表示为
Y A1A2An
2.2.2 或运算
或运算也叫逻辑加或逻辑或，即当其中一个条 件满足时，事件就会发生，即“有一即可
如图2.2.3所示电路，两个 并联的开关控制一盏灯就是或 逻辑事例，只要开关A、B有 一个闭合时灯就会亮。
如图221所示电路两个串联的开关控制一盏灯就是不逻辑事例只有开关ab同时闭合时灯才设开关闭合用1表示断开用0表示1表示灯灭用0表示逻辑赋值则可得到表221所示的输入输出的逻辑关系称为真值表表221与逻辑真值输入输出这种不逻辑可以写成下面的表达式
2.1 概述
2.1.1 二值逻辑和逻辑运算 在数字电路中，1位二进制数码“0”和“1”不仅
可以表示数量的大小，也可以表示事物的两种不同 的逻辑状态，如电平的高低、开关的闭合和断开、 电机的起动和停止、电灯的亮和灭等。
当二进制数码“0”和“1”表示二值逻辑，并按
某种因果关系进行运算时，称为
，最基本
的三种逻辑运算为“与”、“或”、“非”，它与
算术运算的本质区别是“0”和“1”没有数量的意义。
1
BY
00 11 01
11
其逻辑门符号如图 2.2.4所示，实现或逻辑
A
运算的门电路称为或门。 B
1
Y
A B
Y
图2.2.4 或门逻辑符号
若有n个逻辑变量做或运算，其逻辑式可表示为
Y A1 A2 An
3. 非逻辑运算
条件具备时，事件不发生；条件不具备时，事 件发生，这种因果关系叫做逻辑非，也称逻辑求反
常用数制
8421BCD码用0000H~1001H代表十进制数0~9，运算 法则是逢十进一。8421BCD码每位的权分别是8，4， 2，1，故得此名。 例如，1 649 的BCD码为0001 0110 0100 1001。
2.ASCII(American Standard Code for Information Interchange)码 ASCII码是一种字符编码，是美国信息交换标准代码的 简称，见表1-3.它由7位二进制数码构成，共有128个 字符。 ASCII主要用于微机与外设通信。当微机与ASCII码制 的键盘、打印机及CRT等连用时，均以ASCII码形式进 行数据传输。例如，当按微机的某一建时。键盘中的 单片机便将所按的键码转换成ASCII码传入微机进行相 应处理。
8+0+2+0=1010
（2）十进制
二进制
把一个十进制的整数一次除以所需要的底数，就能够转换 成不同底数的数。例如，为了把十进制的数转换成相应的 二进制数，只要把十进制数一次除以2并记下每次所得的余 数（余数总是1或0），所得的余数倒相排列即为相应的二 进制数。这种方法称为“除2取余”法。
（例1-1）把十进制数25转换成二进制数。 …… 余数 2 解 25 …… 1 2 12 …… 0 2 6 …… 0 2 3 …… 1 2 1 …… 1 0 所以，25D=11001B。
1.4
计算机中常用编码
由于计算机只能识别0和1两种状态，因而计算机 处理的任何信息必须以二进制形式表示。这些二进制 形式的代码即为二进制编码（Encode)。计算机中常用 的二进制编码有BCD码和ASCⅡ码等。 1.BCD（Binary Coded Decimal)码----二-十进制码 BCD码是一种二进制形式的十进制码，也称二-十进制 码。它用4位二进制数表示1位十进制数，最常用的是 8421BCD码，见表1-2。
逻辑代数基本运算
逻辑代数基本运算逻辑代数是一门研究命题逻辑中命题间的逻辑关系的数学分支学科。
在逻辑代数中，有一些基本的运算规则和定理，通过这些运算规则可以简化逻辑表达式、证明命题的等价关系等。
本文将介绍逻辑代数中的基本运算，包括逻辑与、逻辑或、逻辑非、异或、同或等运算。
首先，逻辑与运算是逻辑代数中最基本的运算之一。
逻辑与运算表示为“∧”，当且仅当所有参与运算的命题均为真时，逻辑与运算的结果才为真。
例如，命题P∧Q的真值表如下：P | Q | P∧Q---|---|---T | T | TT | F | FF | T | FF | F | F其次，逻辑或运算也是逻辑代数中的重要运算。
逻辑或运算表示为“∨”，当参与运算的命题中至少有一个为真时，逻辑或运算的结果为真。
例如，命题P∨Q的真值表如下：P | Q | P∨Q---|---|---T | T | TT | F | TF | T | T逻辑非运算是一元运算，表示为“¬”，其作用是对命题的真值取反。
例如，对于命题P，逻辑非运算的结果为非P。
真值表如下：P | ¬P---|---T | FF | T逻辑异或运算表示为“⊕”，当参与运算的命题真值不相同时，逻辑异或运算的结果为真。
例如，命题P⊕Q的真值表如下：P | Q | P⊕Q---|---|---T | T | FT | F | TF | T | TF | F | F最后，逻辑同或运算表示为“⊻”，当参与运算的命题真值相同时，逻辑同或运算的结果为真。
例如，命题P⊻Q的真值表如下：P | Q | P⊻Q---|---|---T | T | TT | F | FF | T | F逻辑代数中的基本运算对于逻辑推理和命题等价的判断具有重要的作用。
通过熟练运用逻辑代数的基本运算规则，可以简化逻辑表达式、证明逻辑关系等，提高逻辑思维能力和解题效率。
逻辑代数的基本运算规则是逻辑推理和逻辑思维的基础，对于逻辑学习和应用都具有重要的意义。
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可以看出，二进制数每一位的权值是……、23、22、21、20。
在数字电路和计算机内部，常常采用二进制，因为二 进制只有0和1，采用开关的通、断和脉冲的高、低电平都 很容易用它来表示。
2.十六进制数（Hex)
十六进制数是人们研究和学习二进制数的一种工具，十六 进制数的基数是16，它有0~9、A、B、C、D、E、F十六个数 码，计数规则是“逢十六进一”。它的位权是由基数16的幂决 定的。在表示时，十六进制数的后面加上字母H, 例如一个十六 进制数3CB0H可以展开表示为：
数字逻辑电路
逻辑事件中常用的数制
逻辑事件中常用的数制
◆ 数制：在实际应用中，常用的数制有十进制、二进制和十六 进制。
◆ 数制的三个要素：基、权、进制。
基：数码的个数。例如，十进制数的基为10，分别为0、1、2、 3、4、5、6、7、8、9；二进制数的基为2，分别为0、1。
权：数码所在位置表示数值的大小。例如，十进制数每一位的 权为10n 。
进制：逢基进一。例如，十进制数是逢十进一。
逻辑事件中常用的数制
日常生活中，十进制数最为常用，以1234这个数为例，按位 展开后是：
1234 1103 2102 3101 4100
其中，103、102、101、100是十进制数各位的权值。
1.二进制数（Binary)
在数字电路中，应用最广泛的是二进制数。二进制数的每 一位仅有0和1两个数码，基数是2，它的位权是由基数2的幂决 定的。在表示时，二进制数的后面加上字母B,以与十进制数相 区别，例如一个二进制数1101可以展开表示为：
3CB0H 3163 12162 11161 0160
可以看出，十六进制数每一位的权值是……、163、162、 161、160。