几种常用的数制
常见基数数学的符号
常见基数数学的符号
在数学中，常见的基数符号通常用于表示数的底数或基数。
以下是一些常见的基数符号及其含义：
1. 十进制（Decimal）：使用数字0-9来表示数值，基数为10。
没有特定的符号来表示十进制，因为它是最常用的数制。
2. 二进制（Binary）：使用数字0和1来表示数值，基数为2。
在计算机科学中非常常见，因为计算机内部使用二进制进行运算。
二进制的基数可以用下标2来表示，例如二进制数1010表示十进制的10（即2^3 +
0*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10）。
3. 八进制（Octal）：使用数字0-7来表示数值，基数为8。
在计算机科学中也常用，因为它可以更紧凑地表示二进制数。
八进制的基数可以用下标8来表示，例如八进制数12表示十进制的10（即8^1 + 2*8^0 = 8 + 2 = 10）。
4. 十六进制（Hexadecimal）：使用数字0-9和字母A-F（或a-f）来表示数值，基数为16。
在计算机科学中常用，因为它可以更紧凑地表示二进制数，并且易于人类阅读和书写。
十六进制的基数可以用下标16或者前缀"0x"或"0X"来表示，例如十六进制数A表示十进制的10（即16^1 + 10*16^0 = 16 + 10 = 26）。
请注意，这些符号主要用于表示数的进制或基数，而不是用于表示特定的数学运算或概念。
在数学中，还有其他符号用于表示各种数学概念和运算，例如加号（+）表示加法，减号（-）表示减法，乘号（×）表示乘法，除号（÷）表示除法，等等。
计算机中常用的数制
2 1 ··········· 0 0 ··········· 1
二进制的高位
转换结果： （2·5·6·）· 10=（100000000）2
转换方法： 乘2取整，直到积为整（即去整 后为零——基数乘法）
例：将十进小数0.8125转换成二进制数
小数点.
分离整数 1
0. 8 1 2 5
2
1. 6 2 5 0
= 8+0+2+1++0+0.25=（11.25）10
（159)8 = 1 82 + 5 81 + 9 80
= 64+40+9=（113）10
（2A4）16 = 2 162 +10 161 + 4 160
=512+160+4=（676）10
友情提示 • 请理解并熟记常用进位计数制的表
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 …
浮点数表示
10101100
定点小数
符号位 “0”表示正 、 “1”表示 负
小数点 S
定点整数
S
小数点
无符号位
数据在计算机中的表示
浮点数表示
规格化的形式：
阶符 阶码 数符 尾数
0.1≤尾数的绝对值<1 唯一规定了小数点的位置。
(110.011)2=1.10011×2+10=11001.1×2-10=0.110011×2+11
计算机中常用的数制
进位计数制
几种常见的进位计数制
十进制 二进制 八进制 十六进制
各种进数值的转换
进位计数制： 是一种科学的计数方法，它以累计和进位
常用数制及其相互转换
一、常用数制及其相互转换在我们的日常生活中计数采用了多种记数制，比如：十进制，六十进制（六十秒为一分，六十分为一小时，即基数为60，运算规则是逢六十进一），……。
在计算机中常用到十进制数、二进制数、八进制数、十六进制数等，下面就这几种在计算机中常用的数制来介绍一下。
1．十进制数我们平时数数采用的是十进制数，这种数据是由十个不同的数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9任意组合构成，其特点是逢十进一。
任何一个十进制数均可拆分成由各位数字与其对应的权的乘积的总和。
例如：???这里的10为基数，各位数对应的权是以10为基数的整数次幂。
为了和其它的数制区别开来，我们在十进制数的外面加括号，且在其右下方加注10。
2．二进制数在计算机中，由于其物理特性（只有两种状态：有电、无电）的原因，所以在计算机的物理设备中获取、存储、传递、加工信息时只能采用二进制数。
二进制数是由两个数字0、1任意组合构成的，其特点是逢二进一。
例如：1001，这里不读一千零一，而是读作：一零零一或幺零零幺。
为了与其它的数制的数区别开来，我们在二进制数的外面加括号，且在其右下方加注2，或者在其后标B。
任何一个二进制数亦可拆分成由各位数字与其对应的权的乘积的总和。
其整数部分的权由低向高依次是：1、2、4、8、16、32、64、128、……，其小数部分的权由高向低依次是：0.5、0.25、0.125、0.0625、……。
二进制数也有其运算规则：加法：0+0=0????0+1=1???1+0=1????1+1=10乘法：0×0=0????0×1=0????1×0=0????1×1=1二进制数与十进制数如何转换：（1）二进制数—→十进制数对于较小的二进制数：对于较大的二进制数：方法1：各位上的数乘权求和??例如：（101101）2=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20=45（1100.1101）2=1×23+1×22+0×21+0×20+1×2-1+1×2-2+0×2-3+1×2-4=12.8125方法2：任何一个二进制数可转化成若干个100…0?的数相加的总和??例如：（101101）2=（100000）2+（1000）2+（100）2+（1）2而这种100…00形式的二进制数与十进制数有如下关联：1后有n个0，则这个二进数所对应的十进制数为2n。
计算机中常用的数制
十进制数转换为非十进制数
十进制数
整数
小数
二进制数
转换方法：
除2取余，直到商为0 （基数除法）
例：将十进数45转换成二进制数 2 2 2 4 5 2 2 1 1 2 5 2 2 2 1 0 余数 · · · · · · · · · · 1 · · · · · · · · · · · 0 · · · · · · · · · · · 1 · · · · · · · · · · · 1 · · · · · · · · · · 0 · · · · · · · · · · 1 ·
累计到 10 进位
10进制
累计到 8 进位
8进制
累计到 2 进位
2进制 进位基数
进位基数决定了数的每一位的权限
两个概念
• 基数 • 位权
• 提示:按位权展开
• 两种表示方法：
– 脚标： (520)10 (100.11)2 – 字母： 520D 100.11B (11.37)8 11.37O (4F.B6)16 4F.B6H
（159)8
= 1 82 + 5 81 + 9 80
= 64+40+9=（113）10
（2A4）16
= 2 162 +10 161 + 4 160 = 512+160+4=（676）10
友情提示
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 „
转换方法：
例：将十进小数0.8125转换成二进制数 分离整数
乘2取整，直到积为整（即去整 后为零——基数乘法）
0. 8 1 2 5 2 1. 6 2 5 0 0. 6 2 5 2 1. 2 5 0
数字设计知识点总结
数字设计知识点总结数字设计是计算机科学领域中的一个重要分支，涉及到数字系统的设计和操控。
在这篇文章中，我们将对数字设计的一些关键知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、数字设计概述数字设计是指使用数字信号来处理和操控信息的过程。
它主要包括数字电路设计和数字系统设计两个方面。
数字电路设计关注如何将逻辑门和触发器等基本元件组合成特定功能的逻辑电路。
而数字系统设计则更加注重整个系统的功能和性能。
二、数字信号与模拟信号数字信号是离散的信号，只能取有限个值，常用0和1表示。
而模拟信号是连续的信号，在时间和幅度上都是连续变化的。
数字设计主要处理数字信号，因为数字信号在处理和传输过程中更加稳定和可靠。
三、数字逻辑门数字逻辑门是数字电路的基本组成部分，常见的逻辑门有与门、或门、非门、异或门等。
通过逻辑门的组合和连接，可以构建出更为复杂的数字电路，实现各种功能。
四、数字电路的设计方法在数字电路设计中，常用的设计方法有真值表、卡诺图和逻辑方程等。
真值表是用来描述输入输出关系的表格，卡诺图是一种图形化的最小化方法，逻辑方程则用代数形式表示逻辑功能。
五、时序逻辑与组合逻辑数字电路可以分为时序逻辑和组合逻辑。
组合逻辑的输出只与当前输入有关，没有记忆功能；而时序逻辑的输出还受到过去输入的影响，具有时序性。
常见的时序电路有触发器、计数器等。
六、数字系统的设计层次数字系统的设计可以按照不同的层次进行，从高到低依次为算法级、寄存器传输级、逻辑门级、物理实现级。
不同层次的设计可以有不同的优化方法和工具支持。
七、时钟与同步电路在数字电路中，时钟起着非常重要的作用。
时钟信号用来同步电路中的各个部件，确保它们按照预定的时间步进工作。
同步电路的设计需要考虑时钟的频率、相位以及时序要求等方面。
八、数制与编码在数字设计中，常用的数制有二进制、八进制和十六进制。
二进制是最基础也最常用的数制，其他数制都是二进制的进位表示形式。
编码则是将一定范围内的数字或字符映射成二进制形式，常见的编码方式有BCD码、格雷码等。
计算机常用数制之间的转换
计算机常用数制之间的转换在计算机科学中，数制是指用来表示数字的符号系统。
计算机常用的数制有二进制、八进制、十进制和十六进制。
这些数制之间的转换是计算机科学中非常重要的基础知识。
本文将介绍这些数制之间的转换方法。
一、二进制转八进制二进制数是由0和1组成的数，八进制数是由0到7组成的数。
将二进制数转换为八进制数的方法是将二进制数从右往左每三位分成一组，然后将每组转换为对应的八进制数。
如果最左边的一组不足三位，则在左边补0。
例如，将二进制数101101101转换为八进制数的过程如下：101 101 101= 5 5 5因此，二进制数101101101转换为八进制数555。
二、二进制转十进制二进制数转换为十进制数的方法是将二进制数从右往左每一位乘以2的幂次方，然后将结果相加。
例如，将二进制数101101101转换为十进制数的过程如下：1×2^8 + 0×2^7 + 1×2^6 + 1×2^5 + 0×2^4 + 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0= 256 + 0 + 64 + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1= 365因此，二进制数101101101转换为十进制数365。
三、二进制转十六进制二进制数转换为十六进制数的方法是将二进制数从右往左每四位分成一组，然后将每组转换为对应的十六进制数。
如果最左边的一组不足四位，则在左边补0。
例如，将二进制数101101101转换为十六进制数的过程如下：1011 0110 1= B 6 1因此，二进制数101101101转换为十六进制数B61。
四、八进制转二进制八进制数是由0到7组成的数，二进制数是由0和1组成的数。
将八进制数转换为二进制数的方法是将八进制数的每一位转换为对应的三位二进制数。
例如，将八进制数555转换为二进制数的过程如下：5 5 5= 101 101 101因此，八进制数555转换为二进制数101101101。
计算机运算基础复习1常见的几种数制
几个重要概念重点概念1：计算机中的数据都是以二进制形式进行存储和运算的重点概念2：在计算机中存储数据时，每类数据占据固定长度的二进制数位，而不管其实际长度。
一般长度为字节的整倍数例如：在八位微机中，整数216 存储为11011000B整数56 存储为00111000B复习1）十进制特点：每一位数有02)二进制特点：3）十六进制特点：1（即乘10101000376542复习真值与机器数例：真值与机器数+77机机例：真值与机器数-77机机2数的定点与浮点表示计算机中如何表示实数中的小数点呢？计算机中不用专门的器件表示小数点，而是用数的两种不同的表示法来表示小数点的位置。
根据小数点的位置是否固定，数的表示方法分为定点表示和浮点表示,相应的机器数称为定点数和浮点数。
任意一个二进制数N均可表示为：N＝S·2J其中：最后面或最前面，即分为定点纯小数与定点纯整数两类，如图1-6所示。
01000000定点小数：定取不同的数值，则在计算机中除了要表示尾码示阶码J。
因此，一个浮点数表示为阶码和尾数两部分，尾数一般是定点纯小数，阶码是定点纯整数，其形式如图点N = 2p S点例:X= +10110.01= 2 +101×（+ 0.1011001）26点= 2无符号数带符号数数有正、负→带符号数把符号位和数值位一起编码：原码，反码，补码。
顺时针调：7＋9 ＝4 （mod 12）逆时针调：7－3 ＝4 （mod 12）由于时钟上超过12点时就会自动丢失一个数与原码相同，只要将符号位的得到它的真值。
对一个二进制数按位取反，最低位加1。
(计算机 已知负数的补码求真值在计算机中，用补码表示方法：按位取反，最低位加12 105 2 52 12 26 0[ 105D ] 补8位= 0 –0110 1001B = 0 –69H －D 2000:0 如，用DEBUG 查看到存放在内存中的一组符号数：由最高位判断：0 →正数7DH的真值= 7 ×16 + 13 = 125 D凡是能在计算机内存储或参与运算的都是二进制形式的机器数，计算机只能出别“0”和“1”，对于某个二进别致的最高位究竟应看做为符号位还是数值位，理论上是无法自动识别但是，由于引入了补码概念，使得计算机在进行无符号数和有符号数的运算时能够实现操作的一致性，且结果合理。
数制的定义
=（?）8
（11 011 111. 011 100）2 100） 3 3 7 .3 4 为八进制的337.34 为八进制的337.34
4. 八进制数转化为二进制数 思想：一位拆三位。 思想：一位拆三位。 方法： 方法：把一位八进制数写成对应的三位二进 制数，然后按权连接即可。 制数，然后按权连接即可。 例5： （ 5
4 2 7 0 ）8 = （ ？）2 （ 二进制数转化为十六进制数 思想：四位合一。 思想：四位合一。 方法：以小数点为基准， 方法：以小数点为基准，整数部分从 右至左，小数部分从左至右， 右至左，小数部分从左至右，每四位 一组，不足四位时， 一组，不足四位时，整数部分在高端 补0，小数部分在低端补 。然后，把 ，小数部分在低端补0。然后， 每一组二进制数用一位相应的十六进 制数表示，小数点位置不变，即可。 制数表示，小数点位置不变，即可。
逻辑否定的真值表
逻辑变量 A 0 1 “非”运算结果 非 Y= A 1 0
电 源
A Y
“非”运算 非
4）“异或”运算 ） 异或” 用“⊕”表示“异或”关系 表示“异或” Y=A⊕B= AB+AB ⊕ 运算规则 ① Y=0⊕0=0 ⊕ ② Y=0⊕1=1 ⊕ ③ Y=1⊕0=1 ⊕ ④ Y=1⊕1=0 ⊕
② Y=0 × 1=0, 0∧1=0, 0 1=0 ∧ ③ Y=1 × 0=0, 1∧0=0, 1 0=0 ∧ ④ Y=1 × 1=1, 1∧1=1, 1 1=1 ∧
两个逻辑变量“ 两个逻辑变量“与”运算真值表
逻 辑 变 量 “与”运算结 与 果 A B Y=A × B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
? ）2
（185）10 =（10111001）2 ） （ ）
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第一节 几种常用的数制
4. 十六进制 十六进制的每一位有十六个不同的数码，分别用 十六进制的每一位有十六个不同的数码， 0~9、 0~9、A、B、C、D、E、F表示。 表示。 任意十六进制数 D 均可展开为： 均可展开为：
D = ∑ki ×16i
ki可以是0 ~ 9、A、B、C、D、E、F 中之一。 可以是0 中之一。 [例1.1.4]：十六进制数1B.2E的展开式及十进制数为： 1.1.4]：十六进制数1B.2E的展开式及十进制数为 的展开式及十进制数为：
2 1 0
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8
−1
−2
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第一节 几种常用的数制
3. 八进制 在某些场合有时也使用八进制。 在某些场合有时也使用八进制。八进制数的每一位有 0~7八个不同的数码 计数基数为8 0~7八个不同的数码，计数基数为8。低位和相邻的高 八个不同的数码， 位之间的进位关系是“逢八进一” 位之间的进位关系是“逢八进一”。 任意八进制数 D 的展开式： 的展开式：
D = ∑ki ×8
i
ki 可以是 0 ~ 7 中的任何一个。 中的任何一个。 [例1.1.3]：将八进制数12.4展开并转换为为十进制数。 1.1.3]：将八进制数12.4展开并转换为为十进制数 展开并转换为为十进制数。
(12.4)8 = 1× 8 + 2× 8 + 4× 8
1 0
−1
= (10.5)10
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4
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第一节 几种常用的数制
不同的数码不仅可以用来表示数量的不同大小， 不同的数码不仅可以用来表示数量的不同大小，而且 可以用来表示不同的事物或事物的不同状态。 可以用来表示不同的事物或事物的不同状态。 在用于表示不同事物的情况下， 在用于表示不同事物的情况下， 这些数码已经不再具有表示数量大小的含义了， 这些数码已经不再具有表示数量大小的含义了， 它们只是不同事物的代号而已。 它们只是不同事物的代号而已。 这些数码称为代码 这些数码称为代码。 代码。 例如:一位运动员编一个号码。 例如:一位运动员编一个号码。 为了便于记忆和查找，在编制代码时总要遵循一定 为了便于记忆和查找， 的规则，这些规则就称为码制。 的规则，这些规则就称为码制 码制。
D = ∑ki ×10i
ki是第 i 位的系数，可以是0~9中的任何一个。 位的系数，可以是0 中的任何一个。 [例1.1.1]：将十进制数12.56展开为: 1.1.1]：将十进制数12.56展开为 展开为:
12.56 = 1 × 10 + 2 × 10 + 5 × 10
1 0
6
−1
+ 6 × 10
所以 (67)10 = (1000011)2
12
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第一节 几种常用的数制
小数部分：乘 2 法 小数部分： [例1.1.7]：将十进制数0.625转换为二进制数。 1.1.7]：将十进制数0.625转换为二进制数 转换为二进制数。 0.625 2 × 1.250 0.250 2 × 0.500 0.500 2 × 1.000
第一节 几种常用的数制
第一节 几种常用的数制
概述 几种常用的数制 不同数制间的转换
推出 下页 总目录
1
第一节 几种常用的数制
一、概述
数 字 量：它们的变化在时间上和数量上都是离散的。 它们的变化在时间上和数量上都是离散的。 它们数值的大小和每次变化的增减变化都是某一个最 小数量单位的整数倍， 小数量单位的整数倍，而小于这个最小数量单位的数 值没有任何物理意义。 值没有任何物理意义。 数字信号：表示数字量的信号。 数字信号：表示数字量的信号。 数字电路：工作在数字信号下的电子电路。 数字电路：工作在数字信号下的电子电路。 例如：统计通过某一个桥梁的汽车数量， 例如：统计通过某一个桥梁的汽车数量，得到的就是 一个数字量，最小数量单位的“1”代表 一辆”汽车， 代表“ 一个数字量，最小数量单位的“1”代表“一辆”汽车， 小于1的数值已经没有任何物理意义。 小于1的数值已经没有任何物理意义。
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2
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第一节 几种常用的数制
模 拟 量：它们的变化在时间上和数值上都是连续的。 它们的变化在时间上和数值上都是连续的。 模拟信号：表示模拟量的信号。 模拟信号：表示模拟量的信号。 模拟电路：工作在模拟信号下的电子电路。 模拟电路：工作在模拟信号下的电子电路。 例如： 例如：热电偶工作时输出的电压或电流信号就是一 种模拟信号， 种模拟信号， 因为被测的温度不可能发生突跳， 因为被测的温度不可能发生突跳，所以测得的电压 或电流无论在时间上还是在数量上都是连续的。 或电流无论在时间上还是在数量上都是连续的。 这个信号在连续变化过程中的任何一个取值都有具 体的物理意义，即表示一个相应的温度。 体的物理意义，即表示一个相应的温度。
(010,110.101,010)2
（ 2 6 . 5
16
2 ）8
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第一节 几种常用的数制
5. 八进制数与二进制数的转换 将八进制数转换为二进制数时， 将八进制数转换为二进制数时，只要将八进制数的 每一位代之以等值的二进制数即可。 每一位代之以等值的二进制数即可。 [例1.1.11]：将八进制数（52.43）8转换为二进制数。 1.1.11]：将八进制数（52.43） 转换为二进制数。
−2
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第一节 几种常用的数制
任意 N 进制数展开式的普遍形式： 进制数展开式的普遍形式：
D = ∑ki N
i
其中 ki 是第 i 位的系数； 位的系数； ki 可以是 0 ~ N-1 中的任何一个； 中的任何一个； N 称为计数的基数； 称为计数的基数； Ni 称为第 i 位的权。 位的权。
D = ∑ki × 2
i
ki 可以是 0 和 1 中的任何一个。 中的任何一个。 [例1.1.2]：将二进制数101.11展开并转换为十进制数。 1.1.2]：将二进制数101.11展开并转换为十进制数 展开并转换为十进制数。
(10111)2 = 1× 2 + 0× 2 + 1× 2 + 1× 2 + 1× 2 . = (5.75)10
(1000 1111 1100. 0110 1010)2
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第一节 几种常用的数制
5. 八进制数与二进制数的转换 将二进制数转换为八进制数时， 将二进制数转换为八进制数时，只要将二进制数的 整数部分从低位到高位每3 整数部分从低位到高位每3位分为一组并代之以等 值的八进制数,同时将小数部分从高位到低位每3 值的八进制数,同时将小数部分从高位到低位每3位 分为一组并代之以等值的八进制数就可以了。 分为一组并代之以等值的八进制数就可以了。 [例1.1.10]：将二进制数010110.101010转换为八进制数。 1.1.10]：将二进制数010110.101010转换为八进制数 转换为八进制数。
整数部分= 整数部分=1= k-1
整数部分= 整数部分=0= k-2
整数部分= 整数部分=1= k-3
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13
所以 ( 0 .625 )10 = ( 0.101 ) 2
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第一节 几种常用的数制
3. 二-十六转换 从低位到高位将整数部分每 4 位二进制数分为一 组并代之以等值的十六进制数， 组并代之以等值的十六进制数，同时从高位到低 位将小数部分的每4 位将小数部分的每4位数分为一组并代之以等值的 十六进制数，即可得到对应的十六进制数。 十六进制数，即可得到对应的十六进制数。 [例1.1.8]： 1.1.8]： 将二进制数010100011011.10110010转换为十六进制数 将二进制数010100011011.10110010转换为十六进制数。 转换为十六进制数。
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3
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第一节 几种常用的数制
随着计算机科学与技术突飞猛进地发展，用数字电路 随着计算机科学与技术突飞猛进地发展， 进行信号处理的优势更加突出。 进行信号处理的优势更加突出。 数字信号通常都是以数码形式给出的。 数字信号通常都是以数码形式给出的。 不同的数码可以用来表示数量的不同大小。 不同的数码可以用来表示数量的不同大小。 数制： 数制：把多位数码中每一位的构成方法以及从低位 到高位的进位规则称为数制。 到高位的进位规则称为数制。 在数字电路中经常使用的计数进制有十进制、二进 在数字电路中经常使用的计数进制有十进制、 制和十六进制。有时也用到八进制。 制和十六进制。有时也用到八进制。 算术运算：当两个数码分别表示两个数量大小时， 算术运算：当两个数码分别表示两个数量大小时， 它们可以进行数量间的加、 除等运算。 它们可以进行数量间的加、减、乘、除等运算。这 种运算称为算术运算 算术运算。 种运算称为算术运算。
(1B.2E)16 =1×161 +11×160 + 2×16−1 +14×16−2
= (27.1796875)10
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第一节 几种常用的数制
三、不同数制间的转换 数制间的转换
1. 二-十转换 将二进制数转换为等值的十进制数称为二-十转换。 将二进制数转换为等值的十进制数称为二-十转换。 转换时只要将二进制数按二进制数展开式展开， 转换时只要将二进制数按二进制数展开式展开， 然后各项数值按十进制数相加， 然后各项数值按十进制数相加， 就可得到等值的十进制数。 就可得到等值的十进制数。 [例1.1.5]：将二进制数101.11转换为十进制数。 1.1.5]：将二进制数101.11转换为十进制数 转换为十进制数。
（ 5
2.
4
3 ）8
(101,010.100,011)2
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