第三章线性方程组向量组相关性习题课

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同济大学线性代数教案第三章向量空间与线性方程组解的结构

线性代数教学教案第三章向量组及其线性组合授课序号01,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭维向量写成),,n a个分量，其中T,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量0⎪⎪⎪⎭或()0,0,,00=.2n a ⎪⎪⎪⎭称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：122,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭β，k ∈，则有1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β；（2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,,n n n n b ba a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭；()111212212221212,,,n n n n n n n n a b a b a b a b a ba b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭. 二、向量组及其线性组合：：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组．：给定n 维向量组,,,n ααα，对于任意一组数,,,n k k k ，表达式+n n k k α,n α和一个,n k ，使得++n n k =βα，,,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.三、向量组的等价：由向量组B 线性表示：,,m αα是m ,,s β是s 维向量组成的向量组. 中每一个向量,)s β均可由向量组,m α线性表,s β可由向量组:A 12,,,m ααα线性表示.A 与向量组可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组2,,,m αα与向量组:B 2,,,s βββ. 令矩阵),m A α，),s β，则向量组B 可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程=B向量组A 与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程=BY A四、主要例题：1211222221122n n n n m m mn n ma x a x a x a x a xb +++++=中第()121,2,,i i i mi a ai n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，维列向量2m b ⎪⎪⎪⎭， n n x β+=α12122212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，将矩阵A 与列向量组和行向量组对应2100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e ，将任一向量2n a ⎪⎪⎪⎭由12,,n e e e 线性表示536⎫⎪⎪⎪-⎭及向量组123101,2,11⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭βββ，试问α能否由12,ββ123-⎫⎛⎫⎛⎫授课序号02,m α，如果存在一组不全为零的数,m k ，使得m m k +α，则称向量组,m α线性相关．线性无关：若当且仅当0m k ==时，才有112m m k k k ++=0ααα,m α线性无关.m 个n 维向量构成的向量组12,,,m ααα线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组1122m m k k k +++=0ααα有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解0m k k k ===(,m m α线性相关的充分必要条件是存在某一个向量(1j ≤α2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例是向量组A 的部分组线性无关，则其部分组,m α是m 个,m α线性无关，而向量组,,m αβ线性相关，则向量,m α线性表示，且表示式是唯一的如果向量组1,,s ααα可由向量组,t β线性表示，并且s >,s α线性如果向量组12,,,s ααα可由向量组2,,t β线性表示，并且向量组,s α线性无关，则2,,s α与向量组,t β均线性无关，并且这两个向量组等价，则s t =.2322,2⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪α，存在一组不全为零的数20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e ，对任意一组数12120001001n n n n k k k k k k k ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e ，0n k ==时，才有1122n n k k k +++=0e e e ，所以向量组1,,n e e e 线性无关证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.221,11⎫⎛⎫⎛⎫⎪ =⎪ ⎪ -⎭⎝α，判断向量组12,,αα授课序号03,r α满足条件：）向量组1,,r ααα线性无关；）对于A 中任意的向量β，向量组,,r αβ线性相关，则称向量组12,,r ααα为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组向量组A 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为等价的向量组有相同的秩二、矩阵秩的概念及求法：rB ，则RA B ,n α为列构作矩阵),,n α，对矩阵的阶梯数给出矩阵的秩，从而给出向量组1,,n ααα的秩),n β，,n α与向量组,n β有相同的线性相关性，从而可以根据向量组,n β的极大无关组给出向量组12,,,n ααα的极大无关组，并给出不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示的表示20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e 线性无关，所以该向量组的极大无关组就是它3145,1227⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭α，向量1α与2α的分量不对应成比例，。

线性代数第三章向量与线性方程组例题

1.设α1=(1 2−1 0)，α2=(1312)，α3=(24−2)，α4=(1135)，α5=(223)，求向量组α1，α2，α3，α4，α5的一个极大（最大）无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。

2.设A为mxn阶矩阵，B为nxp阶矩阵，C为pxs阶矩阵，R(C)=p，且ABC=0，证明B=0.3.设A为mxn阶矩阵，X与b为m维列向量，Y为n维列向量，证明AY=b有解的充要条件是满足A T X=0的所有X均满足b T=0.4. 设α1=(1003)，α2=(11−12)，α3=(12−2a )，β=(01b −1)问a,b 为何值时，（1） β不能由α1，α2，α3线性表出（2） β可以由α1，α2，α3线性表出，并且写出表达式5. 设A=(λ+312λλ−113λ+3λλ+3)，讨论AX=0的解的情况。

6. 设A=(111a b c a 2b 2c 2)，讨论AX=0的解的情况。

7. 设A=(1 10 1 1 12 20−132a −3−21a )，β=(01b −1)，讨论方程组AX=β的解的情况。

8. 设A=(λ111λ111λ)，b=(1λλ2)，讨论方程组AX=b 的解的情况。

9. 已知三阶矩阵A 的第一行为a,b,c ，且a,b,c 不全为0，矩阵B=(12324636k)(k 为常数)满足AB =0，求AX =0的通解。

10. 设4元齐次线性方程组（I ）{2x 1+3x 2−x 3=0x 1+2x 2+x 3−x 4=0，且已知另一个四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为α1=(2−1a +21)，α2=(−124a +8)，(1)求（I ）的一个基础解系。

(2)a 为何值时（I ）与（II ）有非零公共解，并求所有非零公共解。

11. 在上例中将α1，α2改为α1=(a −51−1−1)，α2=(−6a +3−12)求（I ）与（II ）的所有非零公共解。

线性代数第三章线性方程组与向量的线性相关性

例1 判断下列线性方程组是否有解,若有解,求
出全部解.
x1 3 x 2 3 x 3 2 （） 3 x1 x 2 2 x 3 3 1 4x 2x x 2 2 3 1 x1 x 2 x 3 3 x 4 2 （） x1 x 2 x 3 5 x4 4 2 4 x 4 x x 1 1 2 3
（c1 、c 2 为任意常数）
例2 解线性方程组
解：
1 1 3 2 1 2 1 2 1 1 6 3 1 2 3 0 1 0 0 0 1 1 2 0 1 2 3 1 1 1 0 2
x1 x2 x3 1 x1 2 x2 x3 2 3 x1 x2 6 x3 3 2 x 2 x 3x 0 1 2 3
行有解 B ( A b ) 行阶梯形矩阵行最简形矩阵行
行最简形矩阵非零行（r 行）的第一非零元取为固定未知量，剩余的未知量取为自由未知量，令为 c1 , c 2 , c n r ，代回行最简形矩阵所表示的方程组求出固定未知量，从而得到通解）
R ( 1 , 2 , n ) ( ) R ( 1 , 2 , n , )
例7
判断能否由余下向量线性表？若能，给出表示式出 .
T T T T
(1) (1,1,1) , 1 (0,1,1) , 2 (1,1,0) , 3 (1,0,2) ( 2) ( 2,2,0) , 1 ( 1,1,1) , 2 (1,1,2)
x1 1 1 x2 1 0 c1 c2 c11 c2 2 x 0 4 3 0 1 x 4 （c1 、c2为任意常数）

《线性代数(修订版)》教学课件 3.4 向量组的线性相关性

,α3
1 3
,
试讨论它的线性相关性.
解法一对向量组的矩阵 A = (α1,α2 ,α3 ) 施行初等行变换，将其化成行阶梯形：
1 2 3 1 2 3
A
=
(α1
,
α2
,
α3
)
=
2 3
4 5
1 3
0 0
0 1
5
6
,
0 0 5
可见 R( A) 从而向量组 α1,α2 ,α3 线性无关.
§ 3.4
向量组的线性相关性
3.4.1 线性相关与线性无关
定义给定向量组 A : α1, α2 , , αn , 若存在不全为零的数 k1, k2 , , kn , 使
k1α1 k2α2 knαn 0
则称向量组线性相关；若当且仅当 k1 k2 kn 0,
时上式才成立，则称向量组线性无关. 注：任一向量组，不是线性相关就是线性无关.
A 0.
向量组 α1,α2 , ,αn 线性无关
A 0.
R( A) n R( A) n
向量组的线性相关性与齐次线性方程组的解及矩阵的秩三者之间的联系.
设 n 个n 维向量 α1,α2 , ,αn ,
它所构成的方阵为 A = (α1,α2 , ,αn ),
向量组 α1,α2 , ,αn 线性相关（线性无关）
定理
设向量组α1,α2 , ,αn构成的矩阵为A (α1,α2 ,
则向量组线性相关的充要条件是 R(A) n; 向量组线性无关的充要条件是 R(A) n.
,αn ),
证明由定义，向量组线性相关，即存在不全为零的
数 x1, x2 , , xn , 使得 x1α1 x2α2 xnαn = 0, 即方程组 Ax 0有非零解，当且仅当R(A) n;

线性方程组向量组相关性习题课公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

1 0 1
矩阵A
(
1 ,
2
,
3)
2
2
0 ,
3 5 2
1 0 1 初等行变换 1 0 1
A 2 2 0 ~ 0 2 2
3 5 2
0 0 0
R( A) 2 3,
故向量组 1, 2 , 3线性相关.
例2 设 1, 2, , r线性相关,证明 : 存在不全为零的数t1, t 2, , t r,使对任何向量都有
则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b可经
向量组A :1,2 , ,s线性表出.
定义
设有两个向量组A
:
a
,
1
a
,
2
,
a
及B
m
:
b1,
b
,
2
,
b
,
s
若B组中的每个向量都能由向量组A
线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表出.
若向量组A与向量组B能相互线性表出,则称这
两个向量组等价.
向量组线性表出性质 1.自反性，2.传递性
那么称向量组 A0是向量组A的一个极大线性无关向量组(简称极大无关组);极大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩.
定理矩阵旳秩等于它旳列向量组旳秩，也等于它旳行向量组旳秩．
定理设向量组B能由向量组A线性表达，则向量组B旳秩不不小于向量组A旳秩．
推论１等价旳向量组旳秩相等．
极大无关组旳性质
零解,则对任意向量 ,都有
k1 1 k2 2 kr r (k1t1 k2t2 kr tr) 0
即
k1( 1 t1 ) k 2( 2 t 2 )
k r( r t r ) 0

第三章_向量与线性方程组补充习题答案

第三章向量与线性方程组补充习题答案1．设有三维列向量123211101,1,1,111λααλαβλλλ⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式惟一；（2）β可由123,,ααα线性表示，且表达式不惟一；（3）β不能由123,,ααα线性表示．【解】设112233x x x αααβ++=，得线性方程组12231110111111x x x λλλλλ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其系数行列式2111111(3)111A λλλλλ+=+=++．（1）若03λλ≠≠-且，则方程组有惟一解，β可由123,,ααα惟一地线性表示．（2）若=0λ，则方程组有无穷多个解，β可由123,,ααα线性表示，但表达式不惟一．（3）若=-3λ，则方程组的增广矩阵211003-318A 121303312112911290006033121129-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭可见方程组得系数矩阵A 与增广矩阵A 不等秩，故方程组无解，从而β不能由123,,ααα线性表示．2．设向量组T a )10,2,(1=α，T )5,1,2(2-=α，.),,1(,)4,1,1(3T T c b =-=βα试问：当a,b,c 满足什么条件时，（1）β可由321,,ααα线性表出，且表示唯一？（2）β不能由321,,ααα线性表出？（3）β可由321,,ααα线性表出，但表示唯一？并求出一般表达式。

【解】设有一组数321,,x x x ，使得 βααα=++332211x x x ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=--cx x x b x x x x x ax 3213213214510212该方程组的系数行列式=A .4451011212--=--a a（1）当4-≠a 时，行列式≠A 0，方程组有唯一解，β可由321,,ααα线性表出，且表示唯一；（2）当a=－4时，对增广矩阵作行初等变换，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1300012100101245101121124c b b b c b A若3b-c ≠1，则秩r(A)≠秩r(A ), 方程组无解，β不能由321,,ααα线性表出；（3）当a=-4且3b-c=1时，秩r(A)=秩r(A )=2<3，方程组有无穷多组解，β可由321,,ααα线性表出，但表示唯一。

第三章向量组的线性相关性与线性方程组

第三章向量组的线性相关性与线性方程组一. 单项选择题 1.向量组n ααα,,,21 线性无关的充分必要条件为( )A. n ααα,,,21 均不为零向量;B. n ααα,,,21 中任意两个向量的分量不成比例;C.n ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余n-1个向量线性表示; D. n ααα,,,21 中有一部分向量线性无关.解: C. 2.m ααα,,,21 均为n 维向量,则下列结论正确的是( )A. 若,02211=+++m m k k k ααα 则m ααα,,,21 线性无关;B. 若对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有,02211≠+++m m k k k ααα则m ααα,,,21 线性无关;C. 若m ααα,,,21 线性相关,则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有;02211=+++m m k k k αααD. 若000021=⋅++⋅+⋅m ααα ,则m ααα,,,21 线性无关. 解: B. 3.321,,ααα线性无关,则以下线性无关的是( )A. ;,,133221αααααα-++B. ;2,,3213221ααααααα++++C.;3,32,2133221αααααα+++D. ;323,232,321321321ααααααααα+-+-++解: C.对A 中向量有0)()()(133221=-++-+αααααα, 对B 中向量有0)2()()(3213221=++-+++ααααααα,对D 中向量有0)323()232()(321321321=+--+-+++ααααααααα对C 中向量有,033022101;330022101),,()3,32,2(321133221≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++ααααααααα所以选择C. 4.m m βββααα,,,,,2121 ，和是两向量组,若存在两组不全为零的实数和m λλλ,,,21 m k k k ,21 ，，使得0)()()()(111111=-++-+++++m m m m m m k k k k βλβλαλαλ ,则( )A. m m βββααα,,,,2121 ，，和都线性相关; B.m m βββααα,,,,2121 ，，和都线性无关;C.m m m m βαβαβαβα--++,,,,,1111 线性相关; D. m m m m βαβαβαβα--++,,,,,1111线性无关.解: D.将已知等式变形得0)()()()(111111=-++-+++++m m m m m m k k βαβαβαλβαλ .5.设γβα,,线性无关, δβα,,线性相关,则( )A.线性表示；，，必可由δγβαB. 线性表示；，，可由必不δγαβC. 线性表示；，，必可由γβαδD. .线性表示，，必不可由γβαδ 解: C.由已知得.线性表示，必可由βαδ从而.线性表示，，必可由γβαδ 6.设β可由向量组m αα,,1 线性表示,但不能由(Ⅰ) 11,,-m αα 线性表示,记(Ⅱ) βαα,,,11-m ,则( )A.m α不能由(Ⅰ)及(Ⅱ)线性表示; B.m α不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示; C.m α可由(Ⅰ)及(Ⅱ)线性表示; D.m α可由 (Ⅰ)线性表示,但不能由(Ⅱ)线性表示.解: B. 设m m m m k k k αααβ+++=--1111 (*)则必有0≠m k ,否则与β不能由11,,-m αα 线性表示矛盾.对(*)式变形即得m α可由(Ⅱ)线性表示.7.向量组321,,ααα线性无关, 133322211αλαβααβααβt -=-=-=，，也线性无关,则( )A.t =λ,B. t ≠λ,C. 1==t λ,D. t 2≠λ 解: D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=λαααβββ1001101),,(,),,(321321t ,321,,βββ线性无关 01001101≠---λt ,故选(D)8.设B A ,均为n 阶非零矩阵,且0=AB ,则A 和B 的秩 ( )A.必有一个等于零;B. 都小于n;C.一个小于n,一个等于n;D.都等于n. 解: B.由0=AB 和0≠B 得: 方程组0=AX 有非零解,所以,;)(n A r <同理可得:;)()(n B r B r T <= 故选B.9. 设矩阵n m A ⨯的秩为m En m A r ,)(<=为m 阶单位阵,下述结论正确的是( ) A.矩阵A 的任意m 个列向量必线性无关;B.矩阵A 的任意一个m 阶子式不等于零;C.若矩阵B 满足0=BA ,则0=B ;D.矩阵A 通过初等行变换,必可化为)0(m E 的形式.解: C.若0=BA ,则,0)(==TT T B A BA 即: T B 的列向量均为方程组0=X A T的解. 而,)()(m A r A r T ==即: m n T A ⨯为列满秩矩阵, 所以, 方程组0=X A T 仅有零解.亦即: .0==TB B 10.设有向量组),10,5,1,2(),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα则该向量组的极大线性无关组是 ( ) A. 321,,ααα; B. 421,,ααα; C. 521,,ααα; D. .,,,5421αααα解: B.以该向量组为列构造矩阵A ,对A 施行初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==000000100010110203011001424527121203121301)(54321TT T T T A ααααα,初等行变换不改变列向量组间的线性关系. 所以, 421,,ααα为向量组的一个极大无关组.11.设非齐次线性方程组B AX =中,,)(r A r n m =⨯则下列结论成立的为( )A.r=m 时,方程组有解;B.r=n 时,方程组有唯一解;C.m=n 时,方程组有唯一解;D.r<n 时,方程组有无穷解. 解: A.r=m 时,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.12.设A 为m ×n 矩阵,B 为n 维列向量,则下列结论成立的是( )A. 若0=AX 仅有零解,则B AX =有唯一解;B. 若0=AX 有非零解,则B AX =有无穷解;C. 若B AX =有无穷解,则0=AX 仅有零解;D. 若B AX =有无穷解,则0=AX 有非零解. 解: D.若B AX =有无穷解,则n A r <)(,故0=AX 有非零解. 13.设A 为n 阶实矩阵,TA 是A 的转置矩阵,则对于线性方程组 (I): 0=AX 和(II) 0=AX A T,必有 ( ) A.(II)的解是(I)的解,(I)的解也是(II)的解; B.(II)的解是(I)的解,但(I)的解不是(II)的解; C.(I)的解不是(II)的解,(II)的解也不是(II)的解; D.(I)的解是(II)的解,但(II)的解不是(I)的解. 解: A.设 ),0(0≠=ξξA 则),0(00≠=⋅=ξξTT A A A 所以,(I)的解是(II)的解; 反之,设 ),0(0≠=ηηA A T 则),0(0)()()(≠==ηηηηηA A A A TT T η为一个列向量,所以必有: 0=ηA .亦即: (II)的解是(I)的解. 因此,选A.14.21,ββ是非齐次线性方程组B AX =的两个不同解,21,αα是对应导出组的基础解系.21,k k 为任意常数,则B AX =的通解为( )A.;2)(2121211ββααα-+++k kB. ;2)(2121211ββααα++-+k k C. ;2)(2121211ββββα-+++k k D. .2)(2121211ββββα++-+k k解: B.211,ααα-线性无关,并且是导出组的解,所以211,ααα-为导出组的一个基础解系;221ββ+为B AX =的特解,故选(B).15.设321,,ααα为四元线性方程组B AX =的三个解向量,且3)(=A r , T)4,3,2,1(1=α,T )3,2,1,0(32=+αα,c 为任意常数,则B AX =的通解为( )A.,11114321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c B. ,32104321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c C. ,54324321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c D. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321c 解: C.T )4,3,2,1(1=α为B AX =的一个特解.其导出组的基础解系仅含一个向量,且)(2321ααα+-为导出组的一个非零解, 故B AX =的通解为)](2[3211αααα+-+c .16.齐次线性方程组AX =,0111113212=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x λλλλ若存在三阶非零方阵B 满足0=AB ,则( )A.λ=-2,且|B |=0;B. λ=-2,且|B |≠0;C. λ=1,且|B |=0;D. λ=1,且|B |≠0. 解: C.B 的三个列向量均为0=AX 的解向量,即方程组0=AX 有非零解,故|A |=-(2)1-λ=0,从而λ=1;当λ=1时,r(A )=1,故0=AX 基础解系包含两个向量,矩阵B 的三个列向量必线性相关, 所以|B |=0.17.若TT )1,1,0(,)2,0,1(21-==ξξ均为方程组0=AX 的解,则A 为( )A.()112-, B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--110102, C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110201 , D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110224解: A.解一:TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ξξ线性无关,故基础解系的秩≥2, 从而r(A )=1,答案为(A);解二:令),(21ξξ=X ,一一验证可得(A)中矩阵满足0=AX ,故选(A).18.已知,96342321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t Q P 为三阶非零阵,且,0=PQ 则( ) A.P t ,6=的秩必为1; B. P t ,6=的秩必为2;C. P t ,6≠的秩必为1;D. P t ,6≠的秩必为2. 解: C.若0=PQ ,则必有)(Q r 小于或等于方程组0=PX 的基础解系所包含向量个数. 从而 .3)()(≤+Q r P r 又因为P 为三阶非零阵, 所以.0)(≠P r 若,6≠t 则,2)(=Q r 此时必有,113)(0=-≤<P r 即必有.1)(=P r若,6=t 则,1)(=Q r 此时必有,213)(0=-≤<P r 即必有1)(=P r 或.2)(=P r 所以应选C.19.设.),,(,),,(,),,(321332123211TT T c c c b b b a a a ===ααα 则三直线0=++i i i c y b x a 其中)3,2,1(022=≠+i b a i i 交于一点的充分必要条件为( )A.321,,ααα线性相关; B. 321,,ααα线性无关;C.);,(),,(21321αααααr r = D. 321,,ααα线性相关; 21,αα线性无关.解: D.解一:三直线有一交点,说明21,αα线性无关, 3α可由21,αα线性表示.故选(D);解二:方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332211c c c y x b a b a b a 存在唯一解的充要条件为系数矩阵与增广矩阵的秩相等,等于2,故选(D); 解三:设交点为),(00y x ,则,20103αααy x --=即3α可由21,αα唯一线性表示.故选(D).20.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111c b a c b a c b a 是满秩的,则( )直线321321321213213213c c c z b b b y a a a x c c c z b b b y a a a x --=--=----=--=--与 A.交于一点; B.重合; C.平行不重合; D.异面解: A.解一:矩阵A 分块为,321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααA 321,,ααα为A 的行向量, 321,,ααα线性无关.而又3221αααα--与线性无关,二直线不平行.又由，）（）（）（0133221=-+-+-αααααα这说明三个向量133221αααααα---，，共面.所以二直线相交.解二:记133322211ααβααβααβ-=-=-=，，,则21213βββββ，，--=线性无关.因此二直线共面又不平行.故选(A).解三:引入参数方程,令,213213213t c c c z b b b y a a a x =--=--=--令一个参数为τ,则得方程组如下⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+-=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(0)()()(133221133221133221c c c c t c c b b b b t b b a a a a t a a τττ方程组有唯一解的充要条件为2321αααα--与线性无关,因此二向量与13αα-线性无关,故二直线交于一点.解四:用纯粹空间几何方法:将321,,ααα视为向径,即),,(i i i c b a 为三个点,有r(A )=3知此三点不共线.因此决定一平面π.而二直线一是过),,(1111c b a =α与32αα-平行;一是过),,(3333c b a =α与12αα-平行,此二直线均在π上且不平行,故相交.解五:取特殊情况⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001A ,代入可得二直线相交.二.填空题1.若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解,则常数4321,,,a a a a 应满足关系式为 .解: 4231aa a a +=+ 线性方程组有解系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等, 对增广矩阵施行初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=14321432110101100011000111001110001100011a a a a a a a a a A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→3214321214321000110001100111100110001100011a a a a a a a a a a a a a所以应有 4231a a a a +=+.2.设t ηη,,1 及t t k k ηη++ 11均为非齐次线性方程组B AX =的解向量,则=++t k k 1解: 11=++t k k将t t k k ηη++ 11代入方程组B AX =得,)(11B k k A t t =++ηη 即 ,11B A k A k t t =++ηη 从而,)(1B B k k t =++ 即11=++t k k .3.若向量组321,,ααα线性无关,(1) 321332123211222αααβαααβαααβ-+=+-=++-=，，线性； (２) 3213321232113432232αααηαααηαααη++=++=++=，，线性．解: (1) 相关;(2)无关对(1)中向量有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=211121112),,(,),,(321321αααβββ, 321,,βββ线性无关 0211121112≠---,故(1)相关;类似可得(2)无关. 4.向量组)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321--==-=αααt 的秩为2,则t =解: t =3.解一:用行列式为0.0321=ααα 得t =3 解二:用矩阵的初等变换得 t =3.5.n 阶矩阵A 各行元素和为0,且r(A )=n-1,则方程组0=AX 的通解为解: k(1,1,…,1),k 为任意常数.(1,1,…,1)满足方程,方程基础解系仅含一个向量, 故通解为k(1,1,…,1),k 为任意常数. 6.设);,,2,1,(,j i n j i a a j i ≠=≠ ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----11312112232221321 (1111)n n n n n n n a a a a a a a a a a a a A ,,111,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= B x x x X n 则方程组B X A T=的解为 .解: (1,0,0,…,0)T.|A |为范得蒙行列式,故|TA |≠0,方程组有唯一解.矩阵方程对应的线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---1 (11)132211232222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x由观察可知 (1,0,0,…,0)T为方程组的解.7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221t A ,B 为三阶非零矩阵,且0=AB ,则=t . 解: 3-=t若0=AB ,则B 的列向量为齐次线性方程组0=AX 的解. B 为三阶非零矩阵,所以齐次线性方程组0=AX 有非零解. 从而有,0||=A 解得3-=t .三.计算题 1.设向量组)2(,,,21≥n n ααα 线性无关,,,,,,111322211ααβααβααβααβ+=+=+=+=--s s s s s讨论s βββ,,,21 的线性关系. 解:设02211=+++s s k k k βββ ,整理得:0)()()(122111=++++++-s s s s k k k k k k ααα , 由)2(,,,21≥n n ααα 线性无关得 01211=+==+=+-s s s k k k k k k ,线性方程组对应的系数行列式为1)1(111... (00)11001110001--+==s D所以,(1)当s 为奇数时,D=2≠0,方程组仅有零解, s βββ,,,21 线性无关;(2) 当s 为偶数时,D=0,方程组有非零解, s βββ,,,21 线性相关.2.设A 为n m ⨯矩阵,B 为m n ⨯矩阵,E 为n 阶单位阵()n m >.已知E BA =,试判断A 的列向量组是否线性相关?为什么? 解: 因为 ,)()()(n E r AB r A r ==≥ 另一方面, n A r ≤)(显然成立, 所以必有 .)(n A r = 从而A 的列向量组线性无关. 3. 设向量组321,,ααα线性相关,向量组432,,ααα线性无关,问:(1)1α能否用32,αα线性表示?(2) 4α能否用321,,ααα线性表示?解: (1) 由向量组432,,ααα线性无关可知32,αα线性无关,而321,,ααα线性相关,故必有1α可用32,αα线性表示. (2) 若4α能由321,,ααα线性表示,由(1)结果知4α应能由32,αα线性表示,这与432,,ααα线性无关矛盾.所以4α不能由321,,ααα线性表示.4.设);,,2,1(),,,(21n r r i a a a Tin i i i <== α是n 维实向量,且r ααα,,,21 线性无关. 已知T n b b b ),,,(21 =β是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0 (00)221122221211212111n rn r r n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a的非零解向量,试判断向量组βααα,,,,21r 的线性关系.解: 设有一组数k k k k r ,,,,21 使得 02211=++++βαααk k k k r r 成立.因为T n b b b ),,,(21 =β是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0.............................00221122221211212111n rn r r n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的解,且0≠β,所以有: ),,,2,1(0r i Ti==βα即: ),,,2,1(0r i i T ==αβ因此,在02211=++++βαααk k k k r r 两侧同乘Tβ得 02211=++++ββαβαβαβT r T r T T k k k k ,即:0=ββTk .但0≠ββT ,故必有0=k .从而由02211=++++βαααk k k k r r 得 02211=+++r r k k k ααα . r ααα,,,21 线性无关,所以有: 021====r k k k .因此, 向量组βααα,,,,21r 的线性无关. 5.设有向量组T T T T p p ),10,6,2(,)2,1,2,3(,)1,5,3,1(,)3,1,1,1(4321--=+-=--==αααα,(1) p 为何值时,向量组线性无关,并将T)10,6,1,4(=α用该向量组线性表示; (2) p 为何值时,向量组线性相关,求向量组的秩和一个极大无关组.解(1)用矩阵的初等行变换.将ααααα,,,,4321按列构造矩阵如下⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----p p p p p p 12000101003412042311267402124603412042311102136101511623142311故p ≠2时,,4),,,(4321=ααααr 向量组4321,,,αααα线性无关.若设44332211αααααx x x x +++=, 对以上阶梯形矩阵对应线性方程组求解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--==--==23124324321p p x x p p x x(2) p =2时,,3),,,(4321=ααααr 向量组4321,,,αααα线性相关.因为,3),,(321=αααr 即321,,ααα线性无关,所以321,,ααα为一极大无关组.6.设),5,3,1,1(),9,4,2,1(),1,2,1,1(),5,3,1,1(),3,2,0,1(4321+=+=+-===b a a βαααα(1) b a ,为何值时,β不能由4321,,,αααα线性表示;(2) b a ,为何值时,β能由4321,,,αααα唯一线性表示,写出线性表示式.解:对矩阵)(4321βαααα施行初等变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-010000100121101111158153342321211011111a b a a b a(1) a =-1,b ≠0时,r(A )=2≠r(B A |)=3, β不能由4321,,,αααα线性表示;(2) a ≠-1时, r(A )=r(B A |)=4, β能由4321,,,αααα唯一线性表示,进一步计算得线性表示式为32111112αααβ+++++++-=a ba b a a b 7.设向量),,,,1(,)4,1,1(,),3,1,2(,)10,2,(321c b a TT T =-=-==βααα 试问c b a ,,满足什么条件时, (1)β可由321,,ααα线性表示,且表示唯一?(2) β不能由321,,ααα线性表示?(3) β可由321,,ααα线性表示,但表示不唯一?并求出一般表示式.解: 设有一组数321,,k k k ,使得βααα=++332211k k k ,其对应的线性方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=--ck k k b k k k k k ak 3213213214310212该方程组的系数行列式为 4451011212--=--=a a A(1)当4-≠a 时,,0||≠A 方程组有唯一解, β可由321,,ααα线性表示,且表示唯一.(2)当4-=a 时,对增广矩阵进行初等变换:.1301210101245101121124⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=c b b b c b A若,13≠-c b 则),()(A r A r ≠方程组无解, β不能由321,,ααα线性表示.(3)当4-=a 且13=-c b 时, ,32)()(<==A r A r 方程组有无穷多解.β可由321,,ααα线性表示,但表示不唯一.进一步求解得:t b k b t k t k (12,12,321+=---==为任意常数).所以,有 .)12()12(321αααβ++++-=b b t t从而133221,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.8.对于线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ讨论λ取何值时,方程组无解,有唯一解和有无穷多解.在方程组有无穷多解时,试用其导出组的基础解系表示全部解.解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=)1(3)1)(2(010110211)1(311101102112112113112λλλλλλλλλλλλλλλλA所以:(1) 当12≠-≠λλ且时, ,3)()(==A r A r 方程组有唯一解; (2) 当2-=λ时,,3)(2)(=<=A r A r 方程组无解; (3) 当1=λ时, ,31)()(<==A r A r 方程组有无穷解;这时,增广矩阵化为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00000002111A ,对应的线性方程组为:3212x x x ---=,令032==x x 得方程组的一个特解为:.)0,0,2(0T-=η导出组对应的线性方程组为:321x x x --=,分别令⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10,013232x x x x 得导出组的一个基础解系为:.)1,0,1(,)0,1,1(21TT -=-=ξξ 所以,方程组的全部解为:2122110,(k k k k ξξηη++=为任意常数).9.已知线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=+++-=+-+=+-+tx x x x x px x x x x x x x x x x 4321432143214321617231462032,讨论t p ,取何值时,方程组有解,无解;有解时,试用其导出组的基础解系表示通解.解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=20000008001221011401161117231461203211t p t p A所以,(1) 当2-≠t 时,)()(A r A r ≠,方程组无解; (2) 当2-=t 时,)()(A r A r =,方程组有解; 若8,2-=-=p t 得方程组的通解为2121,(,)1,0,2,1()0,1,2,4()0,0,1,1(k k k k T T T --+-+-=η为任意常数).若8,2-≠-=p t 得方程组的通解为k k T T (,)0,1,2,1()0,0,1,1(--+-=η为任意常数).10.设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000322212321321x c x b x a cx bx ax x x x (1) c b a ,,满足何关系时,方程组仅有零解;(2) c b a ,,满足何关系时,方程组有无穷解,并用基础解系表示全部解.解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛))((000111111222a c b c a c a b c b a c b a (1) c b a ,,互不相等时,r(A )=n=3,方程组有唯一零解;(2) b c a ≠=时,通解为 k(1,0,-1); c b a ≠=时,通解为 k(1,-1,0); a c b ≠=时,通解为 k(0,1,-1).11.设B 为三阶非零矩阵,其行向量满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ,(1) 求λ;(2)证明|B |=0.解:由题意得方程组有非零解,故系数行列式为零,即,011312221=---λ解得 1=λ.另一方面,当1=λ时,r(A )=2,线性方程组基础解系包含一个向量, 所以,r(B )=1,从而|B |=0.12.设有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++34324241333232313232222131321211a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x(1) 若)4,3,2,1(=i a i 两两不等,则方程组无解;(2) 若)1,1,1(),1,1,1(),0(,214231-=-=≠-====ββk k a a k a a 为方程组的解,求其通解.解(1)增广矩阵行列式为范得蒙行列式,故,0)(41≠-=∏≤<≤j i j ia aD增广矩阵的秩为4,而系数矩阵的秩≤3,所以,方程组无解.(2)若),0(,4231≠-====k k a a k a a 原方程等价于方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++3322133221k x k kx x k x k kx x系数矩阵的秩为2,故导出组基础解系仅含一个向量为,21ββ-取方程组的特解为,1β 方程组的通解为: k k k )(2,0,2()1,1,1()(211-+-=-+βββ为任意常数).13.设有两方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=---=--+⎪⎩⎪⎨⎧=---=----=-+111253314624343143213214321421t x x x x nx x x m x x x x x x x x x x x x (II)(I)(1) 求方程(I)的通解;(2) t n m ,,为何值时,(II)与(I)同解.解: (1)对(I)的增广矩阵初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→521041010210011A得通解为 .)1,2,1,1()0,5,4,2(TTk X +---=(2)将(I)的通解Tk k k k X ),25,4,2(+-+-+-=代入(II)中各方程: 代入第一个方程得: 0)4)(2(=+--k m ,k 为任意实数,故m =2.类似可得: n =4,t =6.将m =2, n =4, t =6代入方程(II),得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--=---=--+5112452434314321x x x x x x x x x对增广矩阵初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→5210041010210012A与(I)的增广矩阵变化结果一样,所以,(I)与(II)同解.14.设有四元线性方程组(I)⎩⎨⎧=-=+004221x x x x ,另有方程组(II)的通解为 )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+k k ,(1) 求(I)的基础解系;(2) 判断(I)和(II)有无公共非零解,若有,求其公共非零解. 解:(1) 方程组(I)的系数的秩为2,自由未知量有两个为43,x x ,令⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==01,104343x x x x 代入方程得基础解系为: (-1,1,0,1)和(0,0,1,0).(2)将两方程组基础解系以列排成矩阵,进行初等行变换:()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10101001110000001010210121101010,,,4321αααα,从而,3214αααα++=.即: 4321αααα+-=+,其中21αα+为(I)的解,43αα+-为(II)的解,所以,两方程组有公共非零解,全部公共解为k(43αα+-)=k(-1,1,1,1).(k 为任意常数).15.设线性方程组(I)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0.........................02211221111n n n n n n x a x a x a x a 的一个基础解系为),,1(),,,(21n j b b n j j =,写出(II)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0.........................02211221111n n n n n n y b y b y b y b 的通解.解: ),,1(),,,(21n j b b n j j =为方程(I)的一个基础解系,故满足方程组,代入(I)得:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0.........................2211221111n j n n j n n j n j b a b a b a b a ),,1(n j =, 这表明),,1(),,,(21n i a a n i i =为方程组(II)的解.方程(I)的一个基础解系包含n 个向量,所以(I)的系数矩阵的秩为n,从而),,1(),,,(21n i a a n i i =线性无关. 另一方面, 方程(II)的的系数矩阵B 的秩为n, 故(II)的基础解系应包含n 个向量,所以 ),,1(),,,(21n i a a n i i =为(II)的一个基础解系.方程组(II)的通解为∑=ni n i i ika ak 121),,,( 为任意常数. 四.证明题1. 设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,其中m n <,若E AB =,证明B 的列向量组线性无关. 证明: ,)()()(n E r AB r B r ==≥另一方面, B 是n m ⨯矩阵,所以,),min()(n n m B r ≤≤ 综合即有 ,)(n B r =因此B 的n 个列向量线性无关,亦即B 的列向量组线性无关.2. 设ξξξ,TE A -=是n 维向量,证明: (1);12=⇔=ξξTA A(2)当1=ξξT时,A 不可逆.证明: (1) TT T T T T T E E E E A ξξξξξξξξξξξξξξ)2()(2))((2--=+-=--=由A A =2得 T T E ξξξξ)2(--=T E ξξ-所以必有 ,12=-ξξT 即 .1=ξξT(2) 由(1)得当1=ξξT 时, A A =2. 若A 可逆,则,02=-A A 即0)(=-E A A 从而必有 ,0=-E A 亦即.E A =又因为T E A ξξ-=,所以必有0=ξξT,与1=ξξT 矛盾.因此应有A 不可逆. 3. 证明n 维列向量组n ααα,,,21 线性无关的充要条件为:.. (2)12221212111≠=nT n T n T n n T T T n T T T D αααααααααααααααααα证明: 设),(21n A ααα =则n ααα,,,21 线性无关的充要条件为.0||≠A另一方面,A A D T =, 从而2||||||A A A D T ==,0||≠D 的充要条件为.0||≠A所以应有 n ααα,,,21 线性无关的充要条件为0||≠D .4. 设有向量组(I)321,,ααα,(II) ,,,,4321αααα(III) ,,,,5321αααα且r(I)=r(II)=3,r(III)=4,证明: 45321,,,ααααα-线性无关.证明: 设,0)(454332211=-+++αααααk k k k由r(I)=r(II)=3得4α可由321,,ααα唯一线性表示,设为 3322114ααααl l l ++=,代入得,0)()()(54343324221411=+-+-+-ααααk k l k k l k k l k 因为,,,,5321αααα线性无关,所以,04433422411==-=-=-k k l k k l k k l k 从而04321====k k k k ,得证. 5.对n 阶方阵A ,若存在正整数k 使得0=αk A ,且01≠-αk A .证明向量组ααα1,,,-k A A 线性无关.证明: 设01110=+++--αααk k A t A t t 上式两侧同乘以1-k A:0)(11101=+++---αααk k k A t A t t A即0)1(21110=+++---αααk k k k A t A t A t 由0=αk A 得 0)1(21====-+αααk k k AA A 所以应有 01=-αk A t 而01≠-αk A ,从而必有00=t . 因此有 0111=++--ααk k A t A t 同理上式两侧同乘以2-k A 得 01=t .类似可得012===-k t t所以向量组ααα1,,,-k A A 线性无关性得证. 6.设321,,ααα为齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系. 证明: 133221,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.证明: 因为)3,2,1(0==i A i α,所以, 0)(2121=+=+ααααA A A .即: 21αα+为方程组0=AX 的一个解.同理可得: 1332,αααα++也是方程组0=AX 的解. 以下只需证明133221,,αααααα+++的线性无关性.设0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ,整理得:0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关,所以必有0322131=+=+=+k k k k k k 解得: 0321===k k k即: 321,,ααα线性无关.7.设t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系,0≠βA . 证明t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关.证明: 设0)()()(22110=+++++++t t k k k k αβαβαββ其中t j k j ,2,1(=)为任意实数.则)(22110=++++∑=t t tj j k k k k αααβ (*)上式两侧同乘以A 得 0)(22110=++++∑=t t tj j A k A k A k A k αααβ因为t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系,所以应有021====t A A A ααα .从而)(0=∑=tj j A k β而0≠βA ,所以必有 0=∑=tj jk代入(*)得02211=+++t t k k k ααα由t ααα,,,21 线性无关得 021====t k k k 又由0=∑=tj jk得00=k所以必有t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关.。

线性方程组与向量的线性相关性

方程组有唯一解.
(2) 当3时，
11 r (A,b)00
00
11
3
00
12 3 36 3002
r32r132(r132)2100
0 1 0
1 1 0
1 2 0
R (A )R (A ,b)2,方程组有无穷多解，
x x
1 2
1 c, 2 c,
(cR).
x 3 c ,
2020/4/10
13 00 00
30 013 00
31 3 31133
20 110
0 1
0 0
0 0
000 010 1 1
x 1 3 c 1 c3 2c,2 ,
xx2 2 cc1 1, ,
x
3
x3
1c
3
c2
2,
,
(其中 c1 , c2为任意常数)
xx44 c32 c, 2 , xx55 00, ,
x 3 c ,
(cR).
2020/4/10
19
(3) 当0时，
1 (A,b) 1
1
1 1 1
1 1 1
0 3 0
r2 r3
r1 r1
1 0 0
1 0 0
1 0 0
0 3 0
可见 R (A ) 1 ,R (A ,b )2 ,故方程组此时无解.
2020/4/10
20
方法二：对增广矩阵作初等行变换
解： 1 2 1 1 0 1r3 r1 1 2 1 1 0 1
(A,
b)
0 10
1 1 2
1 0 2
1 1 1
1 2 1
1r3 r2 0 1 1 1 1 1
02rr442rr32

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3 5 2 0
整理得到

k1
k3 0,
2 k1 2 k2 0,
()

3 k1 5 k2 2 k3 0.
线性方程组()的系数行列式
1 0 1 2 2 0 0, 3 5 2
线性方程组()必有非零解,从而 1, 2 , 3
向量组，若
i) 向量组 1,2 ,L ,r可经 1, 2 ,L , s 线性表出；
ii) r s.
则向量组 1,2 ,L ,r必线性相关. 推论1 若向量组 1,2 ,L ,r 可经向量组 1, 2 ,L , s
线性表出，且1,2 ,L ,r 线线性无关，则 r s.
例１研究下列向量组的线性相关性
1 0 1

1 2, 2 2 , 3 0 .
3
5
2
解一
令 k1 1 k2 2 k3 3 0,即
1 0 1 0 k1 2 k2 2 k3 0 0
线性相关. 分析我们从定义出发, 考察向量方程
k1( 1 t1 ) k 2 ( 2 t 2 ) k r ( r t r ) 0
即向量方程
k1 1 k 2 2 k r r (k1t1 k2 t2 kr tr) 0
b k11 k22 L kss ,
则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b可经
向量组A :1,2 ,L ,s线性表出.
定义
设有两个向量组A
:
a
,
1
a
,L
2
,
a
及B
m
:
b1,
b
,L
2
,
b
,
s
若B组中的每个向量都能由向量组A
线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表出.
若向量组A与向量组B能相互线性表出,则称这
两个向量组等价.
向量组线性表出性质 1.自反性，2.传递性
向量组等价性质 1.自反性，2.传递性，3.对称性
3.线性相关
定义:如果向量组 1,2 ,L ,s (s 2)中有一向量可经其余向量线性表出，则向量组 1,2 ,L ,s
称为线性相关的.
定义：向量组 1,2 ,L ,s (s 1) 称为线性相关
()只有零解 A 0 R( A) n.
定理6 矩阵 A 的秩为 r 的充要条件是 A中有一
个 r 级子式不等于0，且所有 r 1级子式等于0．
7 线性方程组
定理7 线性方程组有解的充分必要条件是
的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即
R( A) R( A).
7.1齐次线性方程组解的性质；基础解系 1.基础解系的条件 2.基础解系的性质：与基础解系等价的线性无关组任意n-r个线性无关的解向量 3.基础解系的求法
推论2 任意 n＋1 个 n 维向量必线性相关.
推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数的向量
5.向量组的秩
定义设有向量组A,如果在A中能选出r个向量i1 , i2 ,L ,ir ,满足
(1)部分组 A0 : i1 ,i2 ,L ,ir 线性无关;
(2)向量组A中任意r 1个向量(如果A中有r 1 个向量的话)都线性相关,
aij
，则 R( A) min(s,n).
sn
定理5 设 A (aij )nn ，则 A 0 R( A) n ;
A 0 R( A) n
推论1 n
齐次线性方程组 aij x j 0(i 1, 2,L , n) ()
j 1
()有非零解系数矩阵A (aij )nn的行列式 A =0 R( A) n.
a12k1 a22k 2 L a s2k s 0, L L L L L L L L L L L L L
()
a1nk1 a2nk 2 L a snk s 0,
若线性方程组()只有唯一零解,则 1, 2,L , s
线性无关.
若线性方程组()有非零解,则 1, 2,L , s
零解,则对任意向量 ,都有
k1 1 k2 2 kr r (k1t1 k2t2 kr tr) 0
即
k1( 1 t1 ) k 2( 2 t 2 )
L k r( r t r ) 0
由k1 , k 2 , , k r 不全为零得知:
A 2 2 0 ~ 0 2 2
3 5 2
0 0 0
R( A) 2 3,
故向量组 1, 2 , 3线性相关.
例2 设 1, 2,L , r线性相关,证明: 存在不全为零的数t1, t 2,L , t r,使对任何向量都有
1 t1 , 2 t 2 ,L , r t r (r 2)
线性相关与线性无关还可以通过线性表出的概念来体现,即看其中有无某个向量(不是任意一个向量), 可由其余向量线性表出? 此外, 还应注意到 : 线性相关与线性无关是一对排中对立的概念, 据此, 在论证某些相关性问题时, 我们往往采用反证法.
研究这类问题一般有两个方法
方法1 从定义出发
令k1 1 k 2 2 L k s s 0,
2）等价向量组必有相同的秩. 反之，有相同的秩的两个向量组不一定等价.
3）若向量组 1,2 ,L ,s 可经向量组 1, 2 ,L , t
线性表出，则秩{1,2 ,L ,s } 秩 {1, 2 ,L , t }
6.矩阵的秩
定义矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，
1.设 A
线性相关.
解二
1
0
1
1 2, 2 2 , 3 0 ,
3
5
2

矩阵A

(
1
,
2
,
3)

1 2
0 2
1 0 ,
3 5 2
1 0 1 初等行变换 1 0 1
如果存在 P 上不全为零的数 k1, k2 ,L , ks
使 k11 k22 L kss 0.
4.线性无关
定义：若向量组 1,2 ,L ,s 不线性相关，则称
向量组 1,2 ,L ,s为线性无关的. 即
若不存在 P 中不全为零的数 k1, k2 ,L , ks P ，使
a11 a21
as1 0
k
1

a12

M

k
2

a
22

M

L

k
s

a
s
2

M

0

M
a1n
a2n
a sn

0

整理得线性方程组
a11k1 a21k 2 L a s1k s 0,
根据极大线性无关组的定义来证，（本身线性无关，其余向量可由其线性表出）它往往还与向量组的秩相联系．
证明不失一般性,设 i1 , i2 , , ir 是 1 , 2 , , s中的任意r个线性无关的向量,于是对于任意的 k (k 1,2, , s),向量组 i1 , i2 , , ir , k 线性
1 t1 , 2 t 2 , , r t r
线性相关.
例3 已知向量组 1, 2,L , s的秩是r,证明: 1, 2,L , s中任意r个线性无关的向量均构成它的
一个极大线性无关组.(习题7)
分析证明向量组的一个部分组构成极大线性无关组的基本方法就是：
1, 2,L
, s)
即向量 j添上一个分量后得到向量 j .若向量组A :
1,2 ,L
, s线性无关, 则向量组B
:
1, 2 ,L
,

也
s
线性无关.反言之, 若向量组B线性相关, 则向量组
A也线性相关.
短向量线性无关，则加长向量线性无关；长向量线性相关，则缩短向量线性相关
定理2 设 1,2 ,L ,r 与 1, 2 ,L , s 为两个
相关, 否则这向量组的秩大于r .
是否有某组不全为零的数 k1 , k 2 , , k r ,而使得对
每个恒有非零解,因此可得如下证明.
证明因为 1 , 2 , , r 线性相关,所以存在不全
为零的数k1, k2 , , kr ,使
k1 1 k 2 2 k r r 0
考虑线性方程
k1x1 k2x2 L kr xr 0 因为r 2,它必有非零解,设(t1 , t 2 , , t r)为任一非
k11 k22 L kss 0 则称向量组 1,2 ,L ,s 为线性无关的. 等价的，对于一个向量组 1,2 ,L ,s , 若由
k11 k22 L kss 0
必有 k1 k2 L ks 0,
则称向量组 1,2 ,L ,s为线性无关的.
第三章线性方程组习题课
1.线性组合
定义给定向量组A :1,2 ,L ,s对于任何一组实数k1, k2 ,L , ks ,向量 k11 k22 L ks s
称为向量组A的一个线性组合
2.线性表出
给定向量组A :1,2 ,L ,s和向量b,如果存在一组
实数k1, k2 ,L , ks ,使
7.2非齐次线性方程组解的性质解的结构
推论非齐次线性方程组（3）在有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出（4）只有零解.