第7讲线性方程组的解习题课【精选】
线性方程组典型习题及解答
线性方程组1. 用消元法解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=--+-=-+-+=--+-525222202122325432153215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 :⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→600000110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解.2. 讨论λ为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。
解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。
()()()()BA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+------→→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22222112101101111111111111111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此时方程组有唯一解;2)1(,21,213321++-=+=++-=λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解；当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。
3. 当b a ,取何值时线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231有解？并求其解。
线性方程组练习题及解析
线性方程组练习题及解析线性方程组是数学中的重要概念，在各个领域都有广泛的应用。
解线性方程组需要掌握一定的求解方法和技巧。
本文将提供一些线性方程组的练习题，并给出详细解析，帮助读者更好地理解和应用线性方程组的知识。
练习题一：解下列线性方程组：1) 2x + y = 83x - y = 42) -3x + 4y = 72x - y = -33) x + 2y = 53x - y = 10解析一：1) 首先，将方程组进行消元，将y消去。
将第一个方程乘以3，得到6x + 3y = 24。
与第二个方程相加，得到9x = 28。
解得x = 28/9。
将x的值代入第一个方程，解得y = 16/9。
因此，该方程组的解为x = 28/9，y = 16/9。
2) 将第一个方程乘以2，得到-6x + 8y = 14。
与第二个方程相加，得到7y = 11。
解得y = 11/7。
将y的值代入第一个方程，解得x = 1/7。
因此，该方程组的解为x = 1/7，y = 11/7。
3) 将第一个方程乘以3，得到3x + 6y = 15。
与第二个方程相加，得到6x + 5y = 25。
解得x = 25/6。
将x的值代入第一个方程，解得y =5/6。
因此，该方程组的解为x = 25/6，y = 5/6。
练习题二：解下列线性方程组：1) x + 2y - z = 52x - y + 3z = 23x + y - 2z = 12) 2x - y + z = 4x + 3y - z = -33x - y + 2z = 73) x - 2y + z = 12x - y + 3z = -33x + y + 2z = 2解析二：1) 首先，将方程组进行消元，将y和z消去。
将第一个方程乘以2，得到2x + 4y - 2z = 10。
与第三个方程相加，得到5x + 3y = 11。
将第一个方程乘以3，得到3x + 6y - 3z = 15。
与第二个方程相加，得到5x +3z = 17。
大学高等数学ppt课件第七章1线性方程组的求解
1
所以有
1
1
解得
1 1
1 1 0 1 1
0且 3
小结：
（1） 向量组
1 , 2 , , n
线性相关
齐次线性方程组
x11 x22
（2） 向量组
xnn 0
有非零解
1 , 2 , , n
线性无关
齐次线性方程组
是向量组 （， 1 21 ， ），2 （2，3，6）， =（5，8，13）， 例2 设 1
1 , 2 , , n 线性表示，或称向量 1 , 2 , , n 的线性组合。
, kn ，使得 k11 k22
1 ,2 , ,n ,
，如果存在
knn 成立，
因为 1， 2，3 线性无关
k1 k3 0 所以有 k1 k 2 0 k k 0 2 3
解得
k1 k2 k3 0
所以向量组
1 2，2 3，3 1 线性无关。
例6 设 1 , 2 , 3 线性无关，又 1 1 2 23 , 2 2 3 , 3 21 2 33 ，试证明 1, 2 , 3 线性相关 证明 设 k11 k2 2 k3 3 0 则有
由于
所以
1, 2 ,, m
ki li k
线性无关，
(i 1,2, , m)
所以 可由向量组
1，2， ，m
且表示方法唯一 线性表示，
定理 向量组
1 , 2 ,, n
线性相关的充分必要条件
是该向量组中至少有一个向量可由其余的向量组线性
表示。
证明 因为向量组
线性方程组的求解省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
x0 x
xR n
又 : E AE A 1 E E A 1 AE A 1 E E A 1 E AE A 1
E A 1 1 AE A 1 1 A E A 1
E A 1 1
1 A
4）Rnn 上旳范数均等价,即对Rnn上旳两个范数
及
s
t ,存在常数
C1>0,C2>0.使 C1
阵P使P•A=L•U。
③Gauss消元法旳改善 Gauss消元法旳缺陷：
对给定的Ax b, A 0, 欲求Ax b x ?
1)为使主元
a
k
kk
0, 需Dk
0k
1,2,, n 1, 但前提条件
只有Dn 0， A 0.
2)在Dn 0的条件下，可通过交换 两个方程使主元非零， 但仍
有问题存在：可能违反 运算规则（除法） 非常小的数做分母。
n 1 n 2n 1 n n 1
6
1 n3 1 n2 5 n 326
回代：N回 1 2
n n 1
n
2
N总
N消
N回
1 3
n3
1 2
n2
5 6
n
n n 1
2
1 3
n3
n2
1 3
n
o
1 3
n3
§3 三角求解求法
一、基本思想
已知：Ax b, 且A的顺序主子式Dk 0(k 1,2,..., n). 则A有D分解A LU；L为单位矩阵，U为上三角阵. 于是Ax b即为LUx b, 令Ux y，Ly b. 先求Ly b y Ux y x. 即先求解Ly b，得y，再求解Ux y，得x. 此即为LU分解法的基本思路.
(单位下三角矩阵旳逆为单位下三角矩阵，乘积也为单位下三角矩阵) 由此引进如下更一般旳三角分解旳概念：
课件：线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
最简形方程组
x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 (2) 0=0
x1 5x3 = 1 x2+2x3 = 2 0=0
由此可得原方程组的通解
x1 = 5x3+1 x2 = 2x32 x3 = x3
上述求方程组解的方法---Gauss消元法
第1章 行列式和线性方程组的求解
则称A为阶梯形矩阵(简称阶梯阵). 这时称A 中非零行的行数为A的阶梯数. 例如
1 1 2 0 4
11 0 0 4
01 00
3 0
2 2
2 3
,
0 1 0 2 2 0 0 0 2 3
00 0 0 0
00 0 0 4
第1章 行列式和线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
如果阶梯阵A还满足如下条件
§1.4 线性方程组的求解
1. 线性方程组的换法变换, 倍法变换和消法变 换统称为线性方程组的初等变换.
注: 倍法变换必须用非零的常数去乘某一个 方程.
2. 阶梯形线性方程组的有三中基本类型. 例如
2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0=1
x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5
x1+ 2x2 + x3+ x4 = -1 2x1 - x2 +2x3+ x4 = 2 x1 + x2 +2x3+ 2x4 = 0
第三章 矩阵的相抵变换和秩·线性方程组
§3.1 消元法
例2. 设线性方程组
x1 x2 x3 0
x1
(
1) x2
线性方程组的解法例题线性方程组的解法
线性方程组的解法例题线性方程组的解法第二章线性方程组的解法n阶线性方程组的一般形式为:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1 ax,ax, ,ax b 2112222nn2(2.0.1)an1x1,an2x2, ,annxn bnAx b用矩阵表示为: 其中A称为系数矩阵，x称为解向量，b称为常数向量(简称方程组自由项)，它们分别为:x1 b1 a11a12a1nx b aa2122a2n x 2 b 21，， Axn bn an1an2ann如果矩阵A非奇异，即A的行列式值det(A) 0，则根据克莱姆(Cramer)规则，方程组有唯一解:Di,i 1,2, ,n xi D其中D det(A)，Di表示D中等i列换b后所得的行列式值。
但克莱姆规则不适用于求解线性代数方程组，因为计算工作量大得难以容忍。
实际用于求解线性代数方程组的计算方法主要有两种:一是消去法，它属于直接解法;二是迭代解法。
消去法的优点是可以预先估计计算工作量，并且根据消去法的基本原理，可以得到矩阵运算(如矩阵求逆等)的求解方法。
但是，由于实际计算过程总存在有误差，由消去法得到的结果并不是绝对精确的，存在数值计算的稳定性问题。
迭代解法的优点是简单，便于编制计算机程序。
在迭代解法中，必须考虑迭收敛速度快慢的问题。
?2.1 线性方程组的直接计算求解线性代数方程组的直接解法主要是消去法(或称消元2法)。
消去法的基本思想是通过初等行变换:将一个方程乘以某个常数，以及将两个方程相加或相减，减少方程中的未知数数目，最终使每个方程中含一个未知数，从而得到所需要的解。
2.1.1 三角形方程组的计算对下三角形方程组:a11x1 b1ax,ax b 2112222(2.1.1)an1x1,an2x2, ,annxn bn可以通过前代的方法求解:先从第1个方程求出x1，代入第2个方程求出x2，依次类推，可以逐次前代求出所有xi(i 1,2, ,n)，计算公式如下:b1x1 a11i～1bi～ aij xj(2.1.2)j 13xi , i 2, 3, , n aii对上三角形方程组:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1ax, ,ax b 2222nn2annxn bn(2.1.3)可以通过回代的方法求解:先从第n个方程求出xn，代入第n～1个方程求出xn～1，依次类推，可以逐次回代求出所有xi(i n,n～1, ,1)，计算公式如下:bnxn annnbi～ aij xj(2.1.4)j i,1xi , i n～1, n～2, , 1 aii2n 前代法和回代法的计算量都是次四则运算。
线性方程组解PPT课件
VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转 化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解 未知数。在消元过程中，通过行变换将方 程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通 过回代过程求解未知数。该方法具有较高 的计算效率和精度，适用于大规模线性方 程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的 运动状态，分析系统的平衡点和 稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流 和电压关系，分析电路的阻抗、导 纳和转移矩阵等参数，为电路设计 和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如 声波、光波和水波等，分析波的传 播规律和特性。
线性方程组解ppt课件
目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个 未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未 知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比 迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。 迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词
线性方程组的解法详细教案(公开课)
线性方程组的解法详细教案(公开课)
前言
本文将详细介绍线性方程组的解法，希望通过此公开课，学生们能更好地掌握这一知识点。
一、什么是线性方程组
线性方程组是由若干个线性方程组成的集合，其中每个线性方程的未知数个数相同。
例如：
2x + 3y = 7
4x - 5y = 1
这就是一个由两个线性方程组成的线性方程组，其未知数个数为2。
二、解线性方程组的方法
1.高斯消元法
高斯消元法是一种基本的线性代数算法，方程组的增广矩阵可
以通过行初等变换来进行化简，从而得到其阶梯形矩阵或行最简阶
梯形矩阵，进而求解线性方程组。
2.克拉默法则
克拉默法则是一种基于行列式的方法，它可以求解规模较小的
线性方程组。
但由于其需要计算多个行列式，某些时候计算量较大，而且稳定性较差。
三、解线性方程组的步骤
1.对系数矩阵进行消元，通过行初等变换将其变为阶梯形矩阵
或行最简阶梯形矩阵。
2.根据阶梯形矩阵或行最简阶梯形矩阵，列出新的线性方程组。
例如：
2x + 3y = 7
0x - 1y = -5
3.反推得到未知数的值，从下往上推导出每个未知数的解。
例如：
y = 5
2x + 3(5) = 7
2x = -8
x = -4
四、总结
通过以上的讲解，我们可以简单地总结如何解一个线性方程组：
1.通过高斯消元法或者克拉默法则将系数矩阵转化为阶梯形矩
阵或行最简阶梯形矩阵
2.由阶梯形矩阵或行最简阶梯形矩阵列出新的线性方程组
3.通过反推的方式得出未知数的解
希望这份详细的教案可以帮助大家更好地掌握线性方程组的解法。
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其余n - r个作为自由未知量,
并令 n - r个自由未知量全取0，
即可得方程组的一个解．
证毕
统计软件分析与应用
线性代数A
2.7 线性方程组的解，习题课
小结 RA RB n Ax b有唯一解 RA RB n Ax b有无穷多解.
定义：含有个参数的方程组的任一解，称为线性 方程组的通解．
设RA n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn,从而
Dn所对应的 n个方程只有零解 根据克拉默定理 ,
统计软件分析与应用
线性代数A
2.7 线性方程组的解，习题课
这与原方程组有非零解相矛盾，
R( A) n 不能成立． 即 RA n. 充分性. 设 RA r n,
则 A 的行阶梯形矩阵只含 r 个非零行， 从而知其有 n - r 个自由未知量 . 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解 .
2.7 线性方程组的解，习题课
一、线性方程组有解的判定条件
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩， 讨论线性方程组 Ax b 的解．
定理1 n 元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
的充分必要条件是系数矩阵的秩 RA n.
证 必要性. 设方程组 Ax 0 有非零解，
即得与原方程组同解的方程组
x1 x2
2 2
x3 x3
5
3 4
3
x4 x4
0, 0,
统计软件分析与应用
线性代数A
2.7 线性方程组的解，习题课
由此即得
x1 x2
2
x3
5 3
x4
,
-2
x3
-
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
-
x2 x2
x3 x3
-
x4 0 3x4 1
.
x1 - x2 - 2x3 3x4 -1 2
解 对增广矩阵B进行初等变换
1 - 1 - 1 1 0 1 - 1 - 1 1 0 B 1 -1 1 - 3 1 ~ 0 0 2 - 4 1
2
x2 x2 -
x3 2 x3
x4 0 - 2x4
0
.
x1 - x2 - 4 x3 - 3 x4 0
解 对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 A 2
1
2 1 -1
2 -2 -4
1 - 2 - 3
r2 r3
-
2r1 r1
1 0 0
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
统计软件分析与应用
线性代数A
2.7 线性方程组的解，习题课
二、线性方程组的解法
例1 求解齐次线性方程组
x1 2 x1
1 - 1 - 2 3 - 1 2 0 0 - 1 2 - 1 2
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线性代数A
2.7 线性方程组的解，习题课
1 - 1 0 - 1 1 2 ~ 0 0 1 - 2 1 2.
0 0 0 0 0
由于RA RB 2, 故方程组有解，且有
方程０＝１，
这与方程组有解相矛盾. 因此 RA RB.
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2.7 线性方程组的解，习题课
充分性. 设 RA RB,
设 RA RB rr n,
则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行，
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,
x1 x2 x4 1 2
x1 x3
x2 x4 1 2x4 1 2
2
x2 x3
x2 0 x4 0x2 2x4
1
2
x4 0 x2 x4
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线性代数A
2.7 线性方程组的解，习题课
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2
x1
2c2
5 3 c2,
x2 x3
-2c2 c1 ,
-
4 3
c2
,
x4 c2,
5
x1 x2 x3 x4
c1
2 -2 1 0
c2
-1 -3
1 2
r2 r3
-
2r1r1
1 0
-2 5
3 -4
-1 0
1 - 1
2 1 2 - 2 3 r3 - r2 0 50 -04 0 12
显然，R( A) 2, R(B) 3, 故方程组无解．
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线性代数A
2.7 线性方程组的解，习题课
统计软件分析与应用
线性代数A
2.7 线性方程组的解，习题课
定理2 n 元非齐次线性方程组 Amn x b 有解 的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩
阵 B A,b的秩.
证 必要性．设方程组 Ax b 有解,
设RA RB,
则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾
x2 x3 x4
x2
1 0
0
x4
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线性代数A
2.7 线性方程组的解，习题课
例２ 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1
2 -
x2 x2
3x3 5x3
-
x4 3 x4
1, 2,
2x1 x2 2x3 - 2x4 3.
解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 B 3
-2 -1
3 5
2 -3 -3
2 -6 -6
1 - 4 - 4
统计软件分析与应用
线性代数A
2.7 线性方程组的解，习题课
r3 - r2
1 0
2 1
2 2
1 4
1
r1
- 2r2
0
0 1
-2 2
-5 3 4
r2
(-3)
0
0
0
3 0
3
0 0 0 0