2021届北京《金学导航》模拟卷样卷数学
2021年3月北京市高考数学模拟试卷与答案
2021年3月北京市高考数学模拟试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）已知集合A＝{x|x+1≤0}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝R，则实数a的值可以为（）A．2B．1C．0D．﹣22．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上不是单调函数的是（）A．y＝x B．y＝x2C．D．y＝|x﹣1|3．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝a3，且a3≠0，则＝（）A．1B．C．D．34．（4分）不等式成立的一个充分不必要条件是（）A．B．x＞1C．0＜x＜1D．x＜05．（4分）如图，角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则的值为（）A．B．C．D．6．（4分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．2πD．27．（4分）在四边形ABCD中，AB∥CD，设．若，则＝（）A．B．C．1D．28．（4分）已知函数f（x）＝x3+x2﹣2|x|﹣k．若存在实数x0，使得f（﹣x0）＝﹣f（x0）成立，则实数k的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．[0，+∞）D．（﹣∞，0] 9．（4分）一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（）A．B．C．D．10．（4分）设集合A是集合N*的子集，对于i∈N*，定义，给出下列三个结论：①存在N*的两个不同子集A，B，使得任意i∈N*都满足φi（A∩B）＝0且φi（A∪B）＝1；②任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∩B）＝φi（A）•φi（B）；③任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∪B）＝φi（A）+φi（B）．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的機线上.11．（5分）已知向量＝（1，2），＝（3，t），且∥，则t＝．12．（5分）函数f（x）＝x﹣﹣6的零点个数是．13．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1．从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为．14．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝lnn，若存在p∈R，使得a n≤pn对任意的n∈N*都成立，则p的取值范围为15．（5分）已知函数f（x）＝sinωx，g（x）＝cosωx，其中ω＞0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．①当ω＝1时，△ABC面积的最小值为；②若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（14分）在①a1＝3，a4＝S2，②a3＝b2，a5＝b3﹣b1，③a1＝b2﹣2，a2＝S2﹣3这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的λ存在，求λ的最小值；若λ不存在，说明理由．设数列{a n}为等差数列，S n是数列{b n}的前n项和，且______，b3＝8，b n＝2b n﹣1（n≥2，n∈N*）．记c n＝，T n为数列{c n}的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意的n∈N*都有T n＜λ？17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PB＝PC，E为线段BC的中点，F为线段P A上的一点．（1）证明：平面P AE⊥平面BCP．（2）若P A＝AB＝PB，二面角A﹣BD﹣F的余弦值为，求PD与平面BDF所成角的正弦值．18．（14分）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如下．将河流水位在[20，22），[22，24），[24，26），[26，28），[28，30），[30，32），[32，34]各段内的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位变化互不影响．（1）求未来4年中，至少有2年该河流水位X∈[26，30）的概率（结果用分数表示）．（2）已知该河流对沿河A工厂的影响如下：当X∈[20，26）时，不会造成影响；当X∈[26，30）时，损失50000元；当X∈[30，34]时，损失300000元．为减少损失，A工厂制定了三种应对方案．方案一：不采取措施；方案二：防御不超过30米的水位，需要工程费用8000元；方案三：防御34米的最高水位，需要工程费用20000元．试问哪种方案更好，请说明理由．19．（14分）已知椭圆C的中心在原点，F（1，0）是它的一个焦点，直线l1过点F与椭圆C交于A，B两点，当直线l1⊥x轴时，＝．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆的左顶点为P，P A、PB的延长线分别交直线l2：x＝2于M，N两点，证明：以MN为直径的圆过定点．20．（15分）已知函数．（Ⅰ）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并说明理由；（Ⅱ）求证：．21．（14分）已知集合M⊆N*，且M中的元素个数n大于等于5．若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得a+b＝c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a，b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．（Ⅰ）分别判断集合{2，4，6，8，10}和集合{1，2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；（Ⅱ）已知集合{a1，a2，a3，a4，a5}是“关联的”，且任取集合{a i，a j}⊆M，总存在M 的关联子集A，使得{a i，a j}⊆A．若a1＜a2＜a3＜a4＜a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列；（Ⅲ）集合M是“独立的”，求证：存在x∈M，使得．2021年北京市海淀区高考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
北京市西城区2021届高三数学第一次模拟考试试题(含解析).doc
北京市西城区2021届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A. ()0-∞，B. ()23，C. ()()023-∞⋃，，D. ()3-∞，【答案】C 【解析】 【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C .【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题. 2.若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A. B.D. 20【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到()()3142z i i i =-+=+，再计算模长得到答案.【详解】()()3142z i i i =-+=+，故z ==故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 3.下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A. 2y x =+ B. y sinx = C. 3y x x =-D. 2xy =【答案】C 【解析】 【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除； B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除； C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足； D. 2xy =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除；故选：C .【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 7【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案. 【详解】3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5.设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+= B. 22(3)8x y -+= C. 22(3)2x y ++= D. 22(3)8x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===，圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 6.设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A. a b c +>B. 2ab c >C.a b2c +> D.112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C .【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 7.某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A. 2223S S ，且B. 2223S S ，且C. 2223S S ，且D. 2223S S ，且 【答案】D 【解析】【分析】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件，故{}2,22,23S =，得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件. 故12AB BCCD AD CC =====，1122BC DC ==，123AC =.故{}2,22,23S =，故22S ∈，23S ∈.故选：D .【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8.设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若a b a b +=+，则a 与b 共线，且方向相同，充分性； 当a 与b 共线，方向相反时，a b a b ≠++，故不必要. 故选：A .【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 9.已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A. ①③ B. ③④C. ②③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈，当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：D .【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10.设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A. (]0101， B. (]099， C. (]0100， D. ()0+∞，【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 【详解】()21010lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.在61()x x+的展开式中，常数项为________.(用数字作答) 【答案】20 【解析】 【分析】61()x x+的展开式的通项为6216-+=r r r T C x ，取3r =计算得到答案.【详解】61()x x +的展开式的通项为：6621661rr r r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，取3r =得到常数项3620C =.故答案为：20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12.若向量()()221a x b x ==，，，满足3a b ⋅<，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】()3,1- 【解析】 【分析】根据题意计算223a b x x ⋅=+<，解得答案.【详解】()()221a x b x ==，，，，故223a b x x ⋅=+<，解得31x -<<. 故答案为：()3,1-.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13.设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为____________.【解析】 【分析】根据渐近线得到b =c =.【详解】2221(0)4x y b b -=>，一条渐近线方程为：y x =，故b =c =6c e a.故答案为：2【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力. 14.函数()24f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________.【答案】 (1). π (2). 8π 【解析】 【分析】直接计算得到答案，根据题意得到2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，242ππα+≤，解得答案.【详解】()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 故242ππα+≤，解得8πα≤.故答案为：π；8π. 【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确. 故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力. 三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且1222.AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)66【解析】 【分析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ故6sin cos ,626n AB n AB n ABθ⋅====⋅.【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 17.已知ABC 满足 ，且263b A π==，，求sinC 的值及ABC 的面积.（从①4B π=，②3a =32a sinB =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）【答案】见解析 【解析】 【分析】 选择①时：4B π=,23A π=，计算62sin 4C =3a =，计算面积得到答案；选择②时，3a =6b ，故B A >，A 为钝角，故无解；选择③时，32a B =，根据正弦定理解得2sin B 62sin 4C =，根据正弦定理得到3a =，计算面积得到答案.详解】选择①时：4B π=,23A π=，故()62sin sin sin cos cos sin C A B A B A B -=+=+=根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 选择②时，3a =，6b =，故B A >，A 为钝角，故无解.选择③时，32sin a B =，根据正弦定理：sin sin a bA B=，故6sin 332sin B B =， 解得2sin B =，()62sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B -=+=+=. 根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.2021年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明) 【答案】(Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34E X = ；(Ⅲ)4 【解析】【分析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328C p X C ===.故分布列为：()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故4m ≥. 故m 的最小值为4.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 【答案】(Ⅰ)2a =；(Ⅱ)证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)求导得到()()'22a f x x a x =+-+，()'ta 12n 4f π==，解得答案. (Ⅱ) ()()()12'0x x a f x x--==，故02a x=，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，证明函数单调递减，故()()2min g x g e e >=-，得到证明.【详解】(Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.【点睛】本题考查了函数切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20.设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)计算得到故2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，1,2C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，计算得到面积. (Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到2122221224212221k mx x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，计算AB =，同理CD =AB CD =得到22m n =，得到证明.(Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故112PQ k k k=-≠-，得到结论. 【详解】(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N ，故A ⎛- ⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，C ⎛ ⎝⎭，1,D ⎛ ⎝⎭. 故四边形ABCD的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，故()22222214220k x k mx m k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，故2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12AB x =-==同理可得CD =，AB CD ==， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则221112x y +=，222212x y +=，相减得到()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=，即20a kb +=，同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=， 故11222PQ d b d b k c a kd kb k k--===-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21.对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g .(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2nk =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n = 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2n k =，当n 为奇数时，k 最大为12n k -=，得到答案.(Ⅲ) 讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时， 根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=；综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=.(Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <； 当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”， 故n n f g ≤. 综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==； 当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3 故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =.【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
2021届北京《金学导航》模拟卷样卷数学答案
＜２｝，Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝槡ｘ｝＝｛ｘ｜－１≤ｙ≤１｝，则 Ａ∪Ｂ＝ ［－１，２），故选 Ｃ．）
２．（理）Ｃ（解 析：由 （１＋２ｉ）（ｚ－ｉ）＝｜３＋４ｉ｜＝
槡３２＋４２＝５得 ｚ－ｉ＝１＋５２ｉ＝（１＋５（２１ｉ）－（１２ｉ－）２ｉ）＝
ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα＝４５，故选
Ａ．）
（文）Ｄ（解 析：因 为 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｘ＝槡５×
（槡１５ｓｉｎｘ＋槡２５ｃｏｓｘ）＝槡５ｓｉｎ（ｘ＋φ），其 中 φ满 足
ｓｉｎφ＝２，ｃｏｓφ＝１，因为 ｆ（α）＝槡５ｓｉｎ（α＋φ）＝０，
槡５
槡５
所以 α＋φ＝ｋπ，即 α＝ －φ＋ｋπ，所 以 ｃｏｓ２α＝
平面 ＰＡＢ，这与 Ｐ－ＡＢＣ为正四面体矛盾，所以假
设不成立，所以②错误；设正四面体 Ｐ－ＡＢＣ中，各
侧棱两两夹角为 α，ＰＣ与面 ＰＡＢ的夹角 为 β，则
ＶＳ－ＰＱＲ ＝１３Ｓ△ＰＱＲ·ｈ＝１３（１２ＰＱ·ＰＲｓｉｎα）·ＰＳ·
ｓｉｎβ，令 Ｏ到各个面的距离为 ｄ，则由体积分割法可
知
ＶＳ－ＰＱＲ
＝ＶＯ－ＰＱＲ
１－２ｉ，所以 ｚ＝１－ｉ，所以 ｚ的虚部为 －１．）
（文）Ｃ（解析：由（１＋２ｉ）（ｚ－ｉ）＝５得 ｚ－ｉ＝１＋５２ｉ
＝（１＋５（２１ｉ）－（１２ｉ－）２ｉ）＝１－２ｉ，所以 ｚ＝１－ｉ，故选 Ｃ．）
３．Ｄ（解析：由题意知 ｌ∥ｍ是 α∥β的既不充分也
不必要条件，ｌ⊥ｍ是 α⊥β的既不充分也不必要条
１０．Ｃ（解析：因为若 ＭＮ∥ＡＢ，则 ＡＢ∥平面 ＳＱＲ，因
为平面 ＰＡＢ∩平面 ＳＱＲ＝ＱＲ，所以 ＡＢ∥ＲＱ，所以 ①正确；假设存在点 Ｓ，取 ＱＲ的中点 Ｄ，由 Ｐ→Ｓ· （Ｐ→Ｑ＋ＰＲ）＝０得 ２Ｐ→Ｓ·Ｐ→Ｄ＝０，所以 Ｐ→Ｓ⊥Ｐ→Ｄ，即
【数学】2021届高考模拟黄金卷(全国卷)(文)(解析版)
2021届高考模拟黄金卷（全国卷）（文）1、已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则MN =（ ）A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x << 2、已知,R x y ∈，i 为虚数单位，且()2i -15i x y +=+，则()1i x y+-=( )A.2- B. 2i -C.2D. 2i3、已知,A B 是过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足2AF FB =,|OAB S AB ∆,则抛物线的标准方程为（ ）A ．24y x =B ．214y x =C ．28y x =D ．218y x =4、设向量(,4)a x =-,(1,)b x =-,若向量a 与b 同向,则x =( ) A.2B.-2C.2±D. 05、已知函数()()22log ,2f x x g x x ==-+，则函数()()y f x g x =⋅的图像只可能是( )6、若,x y 满足约束条件23001x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩,则3z x y =+的最大值为( )A.-6,B.-2C.2D.47、执行如图的程序框图,若9p =,则输出的S= （ ）A ．910 B ．718C ．89D ．258、如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2.在圆O 内，将线段MN 绕点N 按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将新线段MN 绕新点M 按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动…点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆O 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A.4π63-B.331-C. 33π-D.339、函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示,给出下列四个结论:①3π4ϕ=②1()2f =③当5[1,]2x ∈时,()f x 的最小值为-1④()f x 在117[,]44--上单调递增其中所有正确结论的序号是( ) A.①②④B.②③C.①②D. ①②③④10、若关于x 的方程0x e ax a +-=没有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,0e -⎤⎦B ．)20,e ⎡⎣C ．(],0e -D ．[)0,e 11、在ABC ∆中，若sin 2sin 60A C B b ︒＝,＝,＝ABC ∆的面积为（）A.8B.2C. D.412、已知双曲线221(0)y x m m-=>的焦点为12,F F ,渐近线为12,l l ,过点2F 且与1l 平行的直线交2l 于M ,若120F M F M ⋅=,则m 的值为( )A.1C.2D.313、某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[]481,720的人数为________.14、已知函数1e ,1()(2)2,1x x f x f x x -⎧≤=⎨-+>⎩把函数()y f x =的图象与直线y x =交点的横坐标按从小到大的顺序排成一个数列{}n a 则数列{}n a 的前n 项和n S =________.15、已知直线3y x =+为曲线()xf x ae =的一条切线，则实数a 的值为 .16、在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为______________.17、已知各项都不相等的等差数列{}n a ,66a =,又124,,a a a 成等比数列. 1.求数列{}n a 的通项公式2.设22na nb n =+,求数列{}n b 的前n 项和为n S .18、如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD , ,PB PA PB PA ⊥=,90DAB ABC ∠=∠=︒ , //AD BC ， 8,6,10AB BC CD ===,M 是 PA 的中点．(1)求证：//BM 平面PCD ； (2)求三棱锥B CDM -的体积．19、为喜迎元旦,某电子产品店规定的买超过5 000元电子产品的顾客可以今与抽奖活动，中奖者可获得扫地机器人一台.现有甲品牌和乙品牌的扫地机器人作为奖品.从这两种品牌的扫地机器人中各随机抽取6台,检侧它们充满电后的工作时长(单位:分).相关数据如下表所示.(1)根据所提供的数据分别计算抽取的甲、乙两种品牌扫地机器人充润电后工作时长的平均数与方差.(2)从甲品牌被抽中的6台扫地机器人中随机抽出2台.求抽出的2台扫地机器人充满电后工作时长之和小于420分钟的概率(3)下表是一台乙品牌扫地机器人的使用次效与当次充满电后工作时长的相关欲据.求该扫地机器人工作时长y 与使用次数x 之间的回归直线方程，并估计该扫地机舒人使用第200次时间充满电后的工作时长附ˆyb x a ∧∧=+,121()()()nii i nii xx y y b xx ∧==--=-∑∑,a y b x ∧∧=-20、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的四个顶点围成的菱形的面积为椭圆的一个焦点为圆2220x y x +-=的圆心 (1)求椭圆的方程.(2)若M N ,为椭圆上的两个动点，直线OM ON ,的斜率分别为12k k ,，当1234k k =-时，MON△的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由21、设()e (1)x f x a x =-+.(1)若0,()0a f x >≥对一切R x ∈恒成立,求a 的最大值; (2)是否存在正整数a ,使得13...(21))n n n n n an +++-<对一切正整数n 都成立？若存在,求a 的最小值;若不存在,请说明理由.22、在直角坐标系xOy 中,以O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的参数方程为{x t y at== (t 为参数),曲线1C 的方程为(4sin )12ρρθ-=,定点()6,0A ,点P 是曲线1C 上的动点, Q 为AP 的中点.（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程;（2）直线l 与直线2C 交于,A B 两点,若AB ≥,求实数a 的取值范围.23、设函数()133f x x x a a =-+-+，R x ∈． (1)当1a =时，求不等式()7f x >的解集. (2)对任意R m +∈，R x ∈恒有()49f x m m≥--，求实数a 的取值范围．参考答案1答案及解析： 答案：C 解析：∵{}|42M x x =-<<，{}{}2|60|23N x x x x x =--<=-<<，∴{}|22M N x x =-<<2答案及解析： 答案：B解析：∵,R x y ∈,i 为虚数单位,且i--1i x y =+,∴11y x -=-⎧⎨=⎩，解得1,1x y ==. 则()()21i 1i 2i x y-=-=-.故选：B.3答案及解析： 答案：A解析：设1122(,),(,)A x y B x y , 2AF FB =，则122y y =-，又由抛物线焦点弦性质，212y y p =-，所以2222y p -=-，得21,2y p y ==，11322AF BF BF p +== ，得339,,424BF p AF p AB p ===。
2021年北京市西城区中考数学一模试卷(学生版+解析版)
2021年北京市西城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是( )A ．圆柱B ．三棱锥C ．三棱柱D ．正方体2．（2分）2021年2月27日，由嫦娥五号带回的月球样品（月壤）正式入藏中国国家博物馆，盛放月球样品的容器整体造型借鉴自国家博物馆馆藏的系列青铜“尊”造型，以体现稳重大方之感，它的容器整体外部造型高38.44cm ，象征地球与月亮的平均间距约384400km ．将384400用科学记数法表示应为( )A ．438.4410⨯B ．53.84410⨯C ．43.84410⨯D ．60.384410⨯3．（2分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．4．（2分）若实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是( )A ．0a b ->B ．0ab >C ．b a >-D ．2a b <5．（2分）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是( )A ．4B ．5C ．6D ．86．（2分）如图，AB 是O 的直径，CD 是弦（点C 不与点A ，点B 重合，且点C 与点D 位于直径AB 两侧），若110AOD ∠=︒，则BCD ∠等于( )A ．25︒B ．35︒C ．55︒D ．70︒7．（2分）春回大地万物生，“微故宫”微信公众号设计了互动游戏，与大家携手走过有故宫猫陪伴的四季．游戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复【猫春图】，就可以随机抽取7款“猫春图”壁纸中的一款，抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是( )A ．17B ．27C ．149D ．2498．（2分）风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为5C ︒时，风寒温度(C)T ︒和风速(/)v km h 的几组对应值，那么当气温为5C ︒时，风寒温度T 与风速v 的函数关系最可能是( )风速v （单位：/)km h0 10 20 30 40 风寒温度T （单位：C)︒5 3 1 1- 3- A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．二次函数关系D ．反比例函数关系 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如果分式32x x -+的值为0，那么x 的值为 ．2222aa 10．（2分）将一副直角三角板如图摆放，点A 落在DE 边上，//AB DF ，则1∠= ︒．11．（2分）比7大的整数中，最小的是 ．12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线的交点，那么DAC ∠与ACB ∠的大小关系为：DAC ∠ ACB ∠（填“>”，“ =”或“<” )．13．（2分）已知方程组2521x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y +的值为 ． 14．（2分）某公司销售一批新上市的产品，公司收集了这个产品15天的日销售额的数据，制作了如下的统计图．关于这个产品销售情况有以下说法：①第1天到第5天的日销售额的平均值低于第6天到第10天的日销售额的平均值； ②第6天到第10天日销售额的方差小于第11天到第15天日销售额的方差；③这15天日销售额的平均值一定超过2万元．所有正确结论的序号是 ．15．（2分）将二次函数2y x =的图象向右平移3个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变量x 的取值范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降，写出的x 的取值范围是 ．16．（2分）某商家需要更换店面的瓷砖，商家打算用1500元购买彩色和单色两种地砖进行搭配，并且把1500元全部花完．已知每块彩色地砖25元，每块单色地砖15元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的2倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的3倍，那么符合要求的一种购买方案是 ．三、解答题（本题共68分，第17～21题，毎小题5分，第22题6分，第23题5分，第24～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
2021届北京市高三下学期3月学科综合能力测试数学试题 PDF版
因为 △ABC 为等腰三角形，
所以 C 为顶角．
所以 a b 4 ．
…………13 分 …………14 分
…………2 分
数学参考答案 第 7 页（共 14 页）
因为 c2 a2 b2 2ab cos C ，
所以 c 6 ．
由正弦定理得 sin B b sin C ． c
（Ⅰ）分别指出下列数列是否可“嵌入”区间 [0, 2] ； ① A1 : 2, 3 ； ② A2 :1, 0,1 .
（Ⅱ）已知数列 A 满足 an n (n 1, 2,, k ) ，若数列 A 可“嵌入”区间[1, m0 ] (m0 N) ，求
数列 A 的项数 k 的最大值；
（Ⅲ）求证：任取数列 A : a1, a2 ,, a2021 满足 ai [0,1](i 1, 2,, 2021) ，均可以“嵌入” 区
（11） (, 0]
（12） 2 (2 2,0)
数学参考答案 第 6 页（共 14 页）
（ 5 ）C （10）A
（13） 1
（14） 2π 1（答案不唯一）
（15）①③④
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 14 分）
解：选条件①： a 4 ， c 6
（Ⅰ）在 △ABC 中，因为 c2 a2 b2 2ab cos C ， 且 cos C 1 ， a 4 ， c 6 8 所以 36 16 b2 8b( 1) 8 所以 b 4 ， b 5 （舍）． 由正弦定理得 sin B b sin C ． c 因为 cos C 1 ， C (0, π) 8 所以 sin C 1 cos2 C 3 7 ． 8 所以 sin B 7 ． 4
（Ⅲ）请直接写出 f (x) 的零点个数.
2021年北京市中考数学模拟试卷(有答案)
北京市2021年中考数学模拟试卷 姓名 准考证号 考场号 座位号 考生须知 1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题。
满分100分。
考试时间120分钟。
2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3. 试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。
1. 下列几何体中，是圆柱的为2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）＞4a （B ）＞0b c - （C ）＞0ac （D ）＞0c a +3. 方程式⎩⎨⎧=-=-14833y x y x 的解为（A ）⎩⎨⎧=-=21y x （B ）⎩⎨⎧-==21y x （C ）⎩⎨⎧=-=12y x （D ）⎩⎨⎧-==12y x解析：本题考查二元一次方程组，难度易4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。
已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为（A ）231014.7m ⨯ （B ）241014.7m ⨯ （C ）25105.2m ⨯ （D ）26105.2m ⨯5. 若正多边形的一个外角是o 60，则该正多边形的内角和为（A ）o 360 （B ）o 540 （C ）o 720 （D ）o 9006. 如果32=-b a ，那么代数式b a a b a b a -⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+222的值为（A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）347. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()02≠=+=a c bx ax y 。
2021届北京市高三入学定位考试数学试题(解析版)
北京市2021届高三入学定位考试试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合{}5A x x =<，{}*21,N B x x n n ==-∈，则AB =（ ）A.{}1,1,3-B.{}1,3 C.{}1,3,5D.{}0,1,3『答案』B 『解析』{}1,3,5,B =⋅⋅⋅，{}1,3A B =，故选：B.2. 设复数：1z i =+，则在复平面内复数4z 对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第三象限C. 实轴上D. 虚轴上『答案』C『解析』()()2224124z i i ⎡⎤=+==-⎣⎦，故对应点为()4,0-， 故选：C.3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 8B. 83C. 4D. 43『答案』B『解析』由三视图，在棱长为2的正方体中还原该几何体如下，该几何体是底面为正方形，高为2的正四棱锥，所以其体积为118222333V Sh ==⨯⨯⨯=. 故选：B.4.在62x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（ ） A. 60B. 30C. 20D. 15『答案』A『解析』因为62x ⎫⎪⎭展开式的第1r +项为6632216622r rr r r r r r T C x x C x ---+=⋅⋅⋅=⋅⋅，令630r -=，则2r ，所以常数项为2236260T C =⋅=.故选：A.5. 设P 为圆222440x y x y +---=上一点，则点P 到直线340x y -=距离的取值范围 是（ ） A.[]2,4B.[]0,4C.[]1,2 D. []0,9『答案』B『解析』圆()()222123x y -+-=，圆心()1,2，半径3，圆心到直线距离1d ==，所以点P 到直线340x y -=距离的最短为0，最长为134+=， 故选：B.6. 设函数()sin xf x x =，则()fx 是（ ）A. 奇函数，且存在0x 使得()01f x >B. 奇函数，且对任意0x ≠都有()1f x <C. 偶函数，且存在0x 使得()01f x >D. 偶函数，且对任意0x ≠都有()1f x <『答案』D『解析』可知()f x 的定义域{}x x ≠关于原点对称，且()()sin sin ()x xf x f x xx --===-，所以()f x 是偶函数，故A ，B 错误；当0x >时，令()sin g x x x =-，则()cos 10g x x '=-≤，()g x ∴在()0,∞+单调递减，则()(0)0g x g <=，即sin 0x x -<，sin 1xx <，令()sin h x x x =+，则()cos 10h x x '=+≥，()h x ∴在()0,∞+单调递增，则()(0)0h x h >=，即sin 0x x +>，sin 1xx >-， sin 11x x ∴-<<，即sin 1x x <，∴当0x >时，()1f x <，因为()f x 是偶函数，所以对任意0x ≠都有()1f x <.故选：D.7. 过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则以线段AB 为直径的圆一定（ ） A. 经过原点B. 经过点()1,0-C. 与直线1x =-相切D. 与直线1y =-相切『答案』C 『解析』设()11,A x y ，()22,B x y ，利用焦半径公式可得：12AB x x p=++，又1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以M 到直线1x =-距离为12122x x p d AB ++==，的所以以线段AB 为直径的圆一定直线1x =-相切. 故选：C.8. 设随机变量ξ的分布列如下其中126,,,a a a ⋅⋅⋅构成等差数列，则16a a ⋅的（ ）A. 最大值为19 B. 最大值为136 C. 最小值为19D. 最小值为136『答案』B『解析』1234561a a a a a a +++++=，1613a a +=，216161236a a a a +⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1616a a ==时取等，故选：B.9. 在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』C 『解析』余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C.10. 设函数()3,log ,x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩， 其中0a >.若函数()2y f x =-有且仅有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A. （0，2） B. （0，9） C.[)9,+∞D.()[)0,29,⋃+∞『答案』D『解析』根据选项，可得：若9a =时，函数()3,9log ,9x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，令()2f x =， 当9x ≤时，令2x =，解得2x =或2x =-；当9x >时，令3log 2x =，解得9x =（舍去），此时函数()2y f x =-有且仅有两个零点，排除A 、B ；若1a =时，函数()3,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，令()2f x =， 当1x ≤时，令2x =，解得2x =-或2x =（舍去）；当1x >时，令3log 2x =，解得9x =，此时函数()2y f x =-有且仅有两个零点，排除C.故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数()1f x x =的定义域为_________.『答案』[)()-100⋃+∞，，『解析』联立10,0,x x +≥⎧⎨≠⎩，得函数的定义域为[)()1,00,-⋃+∞.故答案为：[)()1,00,-⋃+∞12. 设平面向量，()3,a k =，(),4b k =，若//a b ，且a 与b 方向相反，则实数k =________.『答案』-『解析』因为//a b ，所以23412k =⨯=，解得k =±又a 与b 方向相反，故k =-故答案为：-13. 若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线2y x =垂直，则其离心率为________.『答案』『解析』因为渐近线方程b y x a =±，所以12b a =，则2a b =，c ==，故离心率为2c ab ==.故答案为：.14. 设函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>对于任意R x ∈，都有()()f x f x π≤+成立，则符合条件的ω的一个值为________.『答案』2『解析』由题意，函数()sin cos )4f x x x x πωωω=+=+， 要使得函数()f x 对于任意R x ∈，都有()()f x f x π≤+成立，则满足kT π=，即2k w ππ⋅=，当1k =时，2w ππ=，此时2ω=，故符合条件的ω的其中一个值为2. 故答案为：2.15. 蜂巢结构精密，是通过优胜劣汰的进化自然形成的.单蜂巢的横截面为正六边形，有人研究发现，蜂巢横截面结构和科学论证的最“经济”平面简单结构完全一致，最“经济”平面简单结构同时满足以下两点：（1）横截面图形由全等的正多边形组成，且能无限无缝隙拼接（称此正多边形具有同形结构）；（2）边长为1的单个正n 边形的面积与边数之比nP 最大.已知具有同形结构的正n（3n ≥）边形的每个内角度数为α，那么()*360N k k α︒=∈.给出下列四个结论：①64P =；②正三角形具有同形结构；③具有同形结构的正多边形有4个；④k 与n 满足的关系式为22nk n =-；其中所有正确结论的序号是________.『答案』①②④『解析』对于①，2661464P ==，①正确；对于②③④，n 边形的内角和为()1802n ︒⨯-，正()3n n ≥边形的每个内角度数为()2180n nα-⨯︒=，所以()360360221802n n k n n α︒︒===-⨯︒-，又*N k ∈，故()2244222n k n n -+==+--，故3,4,6n =，所以22nk n =-，3,4,6n =.所以②④正确，③不正确，故答案为：①②④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是11A C 的中点，且12AC BC AA ===.（Ⅰ）求证：11//A B 平面ABD ；（Ⅱ）求直线1AB 与平面ABD 所成角的正弦值.『解』（Ⅰ）如图，由三棱柱111ABC A B C -，得11//A B AB ，又因为11A B ⊄平面ABD ，AB平面ABD ，所以11//A B 平面ABD ；（Ⅱ）因为1CC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，所以CA ，CB ，1CC 两两垂直，故分别以CA ，CB ，1CC 为x 轴，y 轴，z 轴， 如图建立空间直角坐标系，则()0,2,0B ，()2,0,0A ，()10,2,2B ，()1,0,2D ，所以()12,2,2AB =-，()12,2,0AB =-，()1,0,2AD =-，设平面ABD 的法向量(),,n x y z =，由0AB n ⋅=，0AD n ⋅=，得220,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令2x =，得()2,2,1n =. 设直线1AB 与平面ABD 所成角为θ，则1113sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>==⋅，所以直线1AB 与平面ABD 所成角的正弦值为.17. 在ABC 中，3A π=，b =再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（Ⅰ）B 的大小；（Ⅱ）ABC 的面积 .条件①：222b ac =+； 条件②：cos sin a B b A =. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.『解』若选择条件①：222b ac +=+.（Ⅰ）因为222b ac =+，由余弦定理222cos 22a c b B ac +-==， 因为()0,B π∈，所以4B π=.（Ⅱ）由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2b Aa B===，又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12=+=，所以11sin 22ABC S ab C ===△.若选择条件②：cos sin a B b A =.（Ⅰ）由正弦定理sin sin a bA B =，得sin sin a B b A =.又因为cos sin a B b A =，所以sin cos B B =，又因为()0,B π∈，所以4B π=.（Ⅱ）由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2b Aa B===，又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+1222=+⨯=，所以11sin 22ABC S ab C ===△.18. 为了解某校学生的体育锻炼情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两个年级中各抽取6名学生进行体育水平测试测试，得分如下（满分100分） ：A 年级6名学生体育测试得分分别为：73，62，86，78，91，84.B 年级6名学生的体育测试得分分别为：92，61，85，87，77，72.已知在体育测试中，将得分大于84分的学生记为体育水平优秀. （Ⅰ）分别估计A ，B 两个年级的学生体育水平优秀的概率；（Ⅱ）从A ，B 两个年级分别随机抽取2名学生，估计这4名学生中至少有2人体育水平优秀的概率；（Ⅲ）记A ，B 两个年级6名样本学生体育测试得分数据的方差分别为2AS ，2BS ，试比较2AS 与2BS 的大小.（结论不要求证明）『解』（Ⅰ）根据数据，A 年级6名学生的体育测试得分中有2个大于84分，用频率估计概率，可得A 年级的学生体育水平优秀的概率约为2163=；B 年级6名学生的体育测试得分中有3个大于84分，可得B 年级的学生体育水平优秀的概率约为3162=. （Ⅱ）记事件“从A ，B 两个年级分别随机抽取2名学生，这4名学生中至少有2人体育水平优秀”为M .的“这4名学生中恰有0人体育水平优秀的概率.22011111329P ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.事件“这4名学生中恰有1人体育水平优秀”的概率2211122111111111113323223p C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯-+-⨯⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则()01519P M p p =--=，答：估计这4名学生中至少有2人体育水平优秀的概率()59P M =.（Ⅲ）由题设中的数据，可得79A B x x ==，求得()()222222222222221117615712,1872681366A B S S =+++++=+++++可得22BA S S <.19. 设函数()()1xe f x a x x =--，其中R a ∈.（Ⅰ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在()2,1--上有极大值，求a 的取值范围.『解』（Ⅰ）由题意()x e f x x =，求导得()()21x e x f x x -'=.所以()l f e=，()l 0f '=所以曲线()y f x =在点()()1,l f 处的切线方程为y e =.（Ⅱ）()()21x e x f x ax -'=-，令()()21x e x g x ax -=-，则()()2322x e x x g x x -+'=.因为对于()2,1x ∀∈--，()()23110x e x g x x ⎡⎤-+⎣⎦'=<恒成立，所以()g x 在()2,1--上单调递减，即()f x 在()2,1--上单调递减， 因为()f x 在()2,1--上有极大值，所以()f x 在()2,1--上存在“左正右负”变号零点.由零点存在性定理：只需()()20,10,f f ⎧->⎪⎨-<''⎪⎩，即230,4210.a e e ⎧-->⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩所以2234a ee -<<-. 所以函数()f x 在()2,1--上有极大值时，a 的取值范围为223,4e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 20. 已知椭圆E ：()22104x y m m +=>，圆W ：224x y +=，过点()2,0A -作直线l 交椭圆E 于另一点B ，交圆W 于另一点C .过点B ，C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1B ，1C .（Ⅰ）设()0,2C ，B 为AC 的中点，求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若1m =，求11B C 的最大值.『解』（Ⅰ）由B 为AC 的中点，得()1,1B -，代入椭圆E 的方程，得43m =，所以椭圆E 的方程为223144x y +=.（Ⅱ）由题意得直线l 的斜率存在. 当直线l 的斜率为0时，110B C =当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为()2y k x =+，设()11,B x y ，()22,C x y .联立方程()222,1,4y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()()222214164410k x k x k +++-=.则()()()2222161614410kkk ∆=-+->，()21216214k x k +-=-+，所以()21221414k x k -=+. 联立方程()222,4,y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去y ，得()()222214410k x k x k +++-=.则()()2224121k x k --⋅=+，所以()222211k x k -=+.于是()()2211122221421141k k B C x x k k --=-=-++24222121241451345k k k k k ==≤=++++.当且仅当2214k k =，即212k =时，11B C 取最大值43.综上所述，当k =时，11B C 取最大值43.21. 已知{}n a 是无穷数列，且10a <.给出两个性质：①对于任意的m ，*N n ∈，都有m n m na a a +>+；②存在一个正整数p ，使得n p na a +>，对于任意的*N n ∈都成立.（Ⅰ）试写出一个满足性质①的公差不为0的等差数列{}n a （结论不需要证明）（Ⅱ）若2nn a -=-，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，并说明理由；（Ⅲ）设{}n a 为等比数列，且满足性质②，证明：数列{}n a 满足性质①.『解』（Ⅰ）答案不唯一，如3n a n =-.因为m n m na a a +>+，即()()()111111a m m d a m d a n d++->+-++-，即1a d <，只需取10a <，0d >即可；（Ⅱ）数列{}n a 同时满足性质①和性质②.理由如下：由2nn a -=-，得n a <，且112n n n a a a +=>.所以1p =，使得n p na a +>，对于任意的*N n ∈都成立.所以数列{}n a 满足性质②.由1n na a +>，得数列{}n a 为递增数列.又因为0n a <，所以对于任意的*,N m n ∈，m n m m n a a a a +>>+.即数列{}n a 满足性质①.（Ⅲ）设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，当0q >时，由10a <，得n a <，由题意，知n p na a +>，即()10p n a q ->，所以10p q -<，即1p q <.故01q <<. 当0q <时，由10a <，得20a >.由性质②，知22p a a +>，即()210p a q ->，所以10p q ->，即1pq >.故111p p a a q a +=<，这与性质②不符，所以0q <不成立. 综上，等比数列{}n a 的公比()0,1q ∈.所以1n n na a q a +=>，即数列{}n a 为递增数列，且0n a <.故对于任意的*,N m n ∈，m n m m n a a a a +>>+.即数列{}n a 满足性质①.。
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第一象限内双曲线 Ｅｎ上任取一点为 Ａｎ，点 Ａｎ在 Ｅｎ的两条渐近线
上的射影分别为 Ｂｎ、Ｃｎ，记△ＡｎＢｎＣｎ 的面积为 ａｎ，则 ａ１ ＋ａ２ ＋ａ３
＋… ＋ａ２０２０＝
（ ）
Ａ．５０５
Ｂ．１０１０
Ｃ．２０２０
Ｄ．２０２１
（文）已知双曲线 Ｃ的渐近线方程为 ｙ＝±２ｘ，则下列结论正确的
是
Ａ．Ｃ的方程为
个不相等的实数根，则实数 ｍ的取值范围是
（ ）
Ａ．（－∞，３） Ｂ．（－∞，３］ Ｃ．（－１，４） Ｄ．（－１，４］
１０．如 图，点 Ｏ是 正 四 面 体 Ｐ－ＡＢＣ底 面
$
ＡＢＣ的中心，过点 Ｏ的直线交 ＡＣ，ＢＣ于 点 Ｍ，Ｎ，Ｓ是棱 ＰＣ上的点，平面 ＳＭＮ与 棱 ＰＡ的延长线相交于点 Ｑ，与棱 ＰＢ的 ! & 延长 线 相 交 于 点 Ｒ，有 下 列 命 题：① 若 ' ＭＮ∥ＡＢ，则 ＡＢ∥ＲＱ；②存在点 Ｓ与直线 ＭＮ，使 Ｐ→Ｓ· （Ｐ→Ｑ＋Ｐ→Ｒ）＝０；③ ｜Ｐ→１Ｑ｜＋ ｜Ｐ→１Ｒ｜＋｜Ｐ→１Ｓ｜一定为常数．其中正确命题的个数是
题目要求的．
１．已知集合 Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－ｘ－２＜０｝，Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝ｓｉｎｘ｝，则 Ａ∪Ｂ＝ （ ）
Ａ．［－１，２］ Ｂ．（－１，２） Ｃ．［－１，２） Ｄ．（－１，１）
２．（理）若复数 ｚ满足（１＋２ｉ）（ｚ－ｉ）＝｜３＋４ｉ｜，则 ｚ的虚部为 （ ）
Ａ．５
Ｂ．３
Ｃ．－１
Ｄ．－２
（文）若复数 ｚ满足（１＋２ｉ）（ｚ－ｉ）＝５，则 ｚ＝
（ ）
Ａ．１－２ｉ
Ｂ．１＋２ｉ Ｃ．１－ｉ
Ｄ．１＋ｉ
３．已知 α，β是两个不同的平面，ｌ，ｍ是两条不同的直线，且直线 ｌα，
ｍβ，则下列命题正确的是
（ ）
Ａ．ｌ∥ｍ是 α∥β的必要不充分条件
Ｂ．ｌ⊥ｍ是 α⊥β的充分不必要条件
Ｃ．ｌ⊥β是 α⊥β的充要条件
Ｄ．ｌ∥β是 ｌ∥ｍ的既不充分也不必要条件
若 ｜ＰＦ｜＝槡３｜ＰＱ｜，则 ｜ＦＭ｜＝
择报考的对应比例，则下列叙述不正确的是
獉獉獉
（ ）
所 占 比
城镇户籍 农村户籍
男性
女性
Ａ．是否倾向选择报考警察院校与户籍有关
Ｂ．是否倾向选择报考警察院校与性别有关
Ｃ．调查样本中倾向选择报考警察院校的群中，男性人数多于女性
人数
Ｄ．倾向选择报考警察院校的群中，农村户籍人数多于城镇户籍人数 ５．（理）已知 ｘ＞ｙ＞０，若 ａ＝ｘｌｇｘ，ｂ＝ｙｌｇｙ，ｃ＝ｘｌｇｙ，ｄ＝ｙｌｇｘ，则下列式子
Ｄ．－２５槡５
（文）函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｘ，若 ｆ（α）＝０时，则 ｃｏｓ２α＝
Ａ．４５
Ｂ．－４５
Ｃ．３ ５
Ｄ．－３５
（ ）பைடு நூலகம்
【金 学 导 航 · 模 拟 卷 ·２０２１届 高 三 数 学 试 题 （一 ）· Ｄ区 专 用 · 第 １页 （共 ４页 ）】
{ ９．函数 ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ２（ｘ－１），ｘ≥２，若方程 ｆ（ｘ）＝－ｘ＋ｍ有且只有两 ｆ（ｘ＋１），ｘ＜２
一定成立的是
（ ）
Ａ．ａ＞ｂ
Ｂ．ｃ＞ｄ
Ｃ．ａ＝ｂ
Ｄ．ｃ＝ｄ
（文）已知 ｘ＞ｙ＞１，若 ａ＝ｘｌｇｙ，ｂ＝ｙｌｇｘ，则下列式子成立的是 （ ）
Ａ．ａ＞ｂ
Ｂ．ａ＜ｂ
Ｃ．ａ＝ｂ
Ｄ．ａ与 ｂ的大小不能确定
６．（理）右图是一块高尔顿板示意图：在一
块木板 上 钉 着 若 干 排 互 相 平 行 但 相 互
４．人民警察为人 民，警 察 这 个 职 业 越 来 越 受 学 生 的 喜 爱，为 了 解 户
籍、性别对高三学生报考警察院校倾向的影响，某高中从高三学生
中随机抽取了 １２０名进行调查，其中男生和女生的人数相同，城镇
户籍 ８０人，农村户籍 ４０人，绘制的不同群体中倾向选择报考与倾
向选择不报考的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选
金 学 导 航
模拟版·数学（１０－１）
命题：北京金学教育中心数学研究室
审定：中央教科所《教育文摘周报》社
（试卷总分 １５０分 考试时间 １２０分钟）
题号 第Ⅰ卷
第Ⅱ卷 总分 合分人 复分人
得分
第Ⅰ卷（选择题 共 ６０分）
得分 评卷人 一、选择题：本大题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０ 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
得 ５元，经测算小球下落过程中每次碰撞向左落下的机会是向右
落下的机会的两倍，则参与游戏者每玩一次游戏老板亏损的概率
为
（ ）
Ａ．１２１７
Ｂ．１８６１
Ｃ．３８２１
Ｄ．１２６７
（文）移 动 支 付 技 术 的 进 步 给 人 们 的 生 活 带
来了巨大的便利，很多人出门已经习惯了不
老年人
带现金，达到“一机在手，天下我有”的境界．
% #
() "
*
（ ）
Ａ．０
Ｂ．１
Ｃ．２
Ｄ．３
１１．（理）如图，已知抛物线 Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）
的焦点为 Ｆ，点 Ｐ（ｘ０，２槡３）（ｘ０＞２ｐ）是抛
物线 Ｃ上一点，以 Ｐ为圆心的圆与线段
ＰＦ相交于点 Ｑ，与过焦点 Ｆ且垂直于对
称轴的直线交于点 Ａ，Ｂ，｜ＡＢ｜＝｜ＰＱ｜，直
线 ＰＦ与 抛 物 线 Ｃ的 另 一 交 点 为 Ｍ，
中年人
某超 市 某 日 采 用 手 机 支 付 的 老、中、青 三 个
年龄段的顾客及采用现金支付的比例如图
所示，其中采用现金支付的占 １０％，若某日
青年人
该超市采用手机支付的青年人的人数约为
６７５，则估计该日进入该超市购物的总人数约为
（ ）
Ａ．９８０
Ｂ．１２８０
Ｃ．１５００
Ｄ．１６９８
７．（理）已知一族双曲线 Ｅｎ：ｘ２－ｙ２＝５２０ｎ５（ｎ∈Ｎ，且 ｎ≤２０２０），设在
错开的圆柱形小木块，小木块之间留有
适当的空隙作为通道，小球从上方的通
道 口 落 下，将 与 层 层 小 木 块 碰 撞，最 后 掉入下方的某一个球槽内．某游戏老板 将高尔顿板稍微做了倾斜，并规定参与
游戏者每玩一次消费 ２元，若小球落入
１号球槽得 １元，小球落入 ２号球槽得 ２元，…，小球落入 ５号球槽
ｙ２ ４
－ｘ２
＝１或
ｘ２－ｙ４２ ＝１
（ ）
Ｂ．Ｃ的离心率为槡５或槡２５ Ｃ．若 Ｃ的实轴长为 ４，则虚轴长为 ２ Ｄ．若 Ｃ的离心率为槡５，则方程为 ｘ２－ｙ４２ ＝１ ８．（理）若 ｘ＝α时，函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｘ取得最大值，则 ｓｉｎ２α＝
（ ）
Ａ．４５
Ｂ．－４５
Ｃ．２５槡５