初中数学：将军饮马问题习题
将军饮马18道典型习题
“将军饮马”常见模型及18道典型习题何为将军饮马？2000多年以前。
古希腊的亚历山大城里住着一位睿智的数学家海伦。
一天，城里来了一位将军，听闻海伦盛名，特来向他请教一个问题。
将军说，每天早上，他都骑着马儿从营帐出发，到河边让马儿饮水，然后，再去河岸同一侧的一块草地上带着马儿去吃草，问题时，在河岸的哪个具体位置喝水，行程最短？海伦略做沉思，给出了将军最佳方案。
此之谓“将军饮马”。
最佳方案为何？且阅下文：一、将军饮马常见的5种模型：1、一动两定（和最小）：如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路PA+PB的值最小？解析：做A点关于L的对称点A’，连接A’B，与L的交点即为P点。
为什么这时PA+PB最小？假设L上有一点M（与P点不重合）。
∵A点与A’关于L对称∴AP=A’P；AM=A’M；∴AP + BP =A’P +BP =A’B而AM + BM = A’M +MB在△A’MB中，两边之和大于第三边∴A’B < A’M +MB；而M为L上任一点（与P点不重合）。
∴动点P在A’B与L交点处时AP+BP最小。
2、一定两动：如图，点A是将军和马居住的营帐，小河L1依然像上题中一样潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，不同的是，这次吃草的地方不在是一个指定的点，而是L2所代表的一片草地，Q则是将军骑马吃草的地方，水足草饱以后，将军和马儿会再回到营帐。
那么，P点、Q点在何处时，将军走过的路AP+PQ+QA的值最小？解析：做A点关于L1的对称点A’；做A点关于L2的对称点A‘’；连接A’A‘’，与L1和L2的交点即为P、Q。
为什么此时，AP+PQ+AQ的和最小？假设L1上有点M（不与P重合）、L2上有点N（不与Q重合）。
∵A点与A’关于L1对称；A点与A‘’关于L2对称。
∴AP=A’P；AQ=A”Q；AM=A’M；AN=A”N；∴AP+PQ+AQ = A’P+PQ+A”Q =A’A”；AM+MN+AN = A’M+MN+A”N在四边形A’MNA”中：A’M+MN+A”N >A’A”∴P、Q位于A’A”与L1和L2的交点处时，AP+PQ+AQ的和最小。
将军饮马问题例题
将军饮马问题例题
例题：一个将军饮马，有三个酒坛，其中一个酒坛里装着毒酒，另外两个酒坛里装着普通的酒。
这三个酒坛外观相同，将军无法通过外观来判断哪个酒坛是有毒的。
在喝下一杯毒酒后，将军将会立即死亡。
现在将军有一匹马，这匹马可以闻出毒酒，如果马喝下一杯毒酒，它将会在30分钟后死亡。
将军只有30
分钟的时间来确定哪个酒坛里装着毒酒，并且不允许酒坛之间进行任何类型的测量。
解法：将军可以按照以下步骤确定毒酒所在的酒坛：
1. 为了节省时间，将将军的马分成三组，每组10匹马。
标记
这三组马为A、B、C。
2. 让A组的马尝试第一个酒坛，让B组尝试第二个酒坛，C
组尝试第三个酒坛。
3. 让所有的马者都喝下一杯酒。
4. 等待15分钟。
5. 如果A组的马中有马死亡，那么第一个酒坛是有毒的；如
果B组的马中有马死亡，那么第二个酒坛是有毒的；如果C
组的马中有马死亡，那么第三个酒坛是有毒的。
6. 如果在15分钟内没有任何马死亡，那么第一个酒坛是安全的，因此第二个酒坛是有毒的；如果A和B组的马都没有死
亡，那么第三个酒坛是有毒的。
这样，将军可以在30分钟内确定哪个酒坛里装着毒酒。
关于将帅饮马问题的练习10题
关于将帅饮马问题的练习10题1. 问题描述：将帅饮马问题是一道经典的逻辑思维题。
在一个 11*11 的棋盘上，放置了一个将军（用“J”表示）、一个士兵（用“S”表示）和一匹马（用“H”表示）。
将军每次可以行走一步，士兵每次可以行走两步，马每次可以行走三步。
他们的行走规则如下：- 将军每次可以向上、下、左、右四个方向行走一步；- 士兵每次可以向上、下、左、右四个方向行走两步；- 马每次可以向上、下、左、右八个方向行走三步。
2. 问题目标：请找出所有可能的将军、士兵和马的位置组合，使得将军和士兵都无法互相攻击。
3. 练题目：下面是10道练题目，请尝试找出每道题目下将军、士兵和马的位置组合。
- 题目1：将军和士兵的位置：(1, 1) 马的位置：(1, 2)- 题目2：将军和士兵的位置：(2, 3) 马的位置：(1, 3)- 题目3：将军和士兵的位置：(5, 1) 马的位置：(9, 2)- 题目4：将军和士兵的位置：(6, 1) 马的位置：(10, 3)- 题目5：将军和士兵的位置：(1, 1) 马的位置：(1, 5)- 题目6：将军和士兵的位置：(3, 2) 马的位置：(1, 5)- 题目7：将军和士兵的位置：(3, 3) 马的位置：(2, 5)- 题目8：将军和士兵的位置：(4, 4) 马的位置：(7, 6)- 题目9：将军和士兵的位置：(5, 1) 马的位置：(8, 4)- 题目10：将军和士兵的位置：(4, 1) 马的位置：(8, 8)4. 总结：将帅饮马问题是一种非常有趣的逻辑思维题，通过分析每个角色的行动规则和限制，在给定的棋盘上找到不会互相攻击的位置组合。
练这些题目可以锻炼我们的逻辑思维能力和问题解决能力。
初中数学：将军饮马问题习题
将军饮马“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
当两定点A、 B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB最小。
连接AB交直线l 于点P，点P即为所求作的点。
当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB最小。
ABl 当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA PB 最大。
A作点 B关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。
连接AB并延长交直线l 于点P，点P 即为所求作的点。
模型 1 定直线与两定点模型Al作法结论PA+ PB 的最小。
PA+PB 的最小值为AB′。
PA PB 的最大值为AB。
lB当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA PB 最大。
作点B关于直线l 的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P 即为所求作的点。
PA PB 的最大值为AB′。
B模型实例例 1．如图，正方形 ABCD 的面积是 12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，则 PD+PE 的最小值为 。
例 2．如图，已知△ ABC 为等腰直角三角形， AC=BC=，4 ∠ BCD=15°， P 为CD 上的动点，则 PA PB 的最大值是多少？热搜精练1．如图，在△ ABC 中， AC=BC=，2 ∠ ACB-90°， D 是 BC 边的中点， E 是AB 边 上一动点，则 EC+ED 的最小值是 。
DCB2．如图，点C的坐标为（3，y），当△ ABC的周长最短时，求y 的值yA（3，0）OB（2，0）x3．如图，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一点，且DM-3，N是AC上的一动点，求DN MN 的最小值与最大值。
将军饮马基础题
1、在古战场上，将军需从营地A出发，到达河边l饮马，然后返回营地B，以下哪种策略能使将军的总路程最短？A. 直接从A到l，再从l到BB. 选择河边l上离A最近的点饮马C. 选择河边l上使A到该点再到B距离和最小的点饮马（答案）D. 先到B，再从B到l，最后返回A2、将军的营地位于山丘上，他需要下山走到河边饮水，再上山返回另一营地。
为了节省体力，他应该：A. 尽量选择陡峭的路径下山和上山B. 下山时走直线，上山时走曲线C. 利用光的折射原理，选择看似最近的路径D. 找到使上下山总路程最短的点饮水（答案）3、假设河边是一条直线，将军需要从点A到河边饮马，然后到点B，河边的哪个点是他应该选择的？A. AB连线与河边的交点B. A点关于河边的对称点与B连线和河边的交点（答案）C. B点关于河边的对称点与A连线和河边的交点D. 河边中点4、将军的营地A和B分别位于山的两侧，中间隔着一条河。
为了最快回到B营地，他应该：A. 直接游泳过河B. 找到河边使得从A到河边再到B总时间最短的点C. 选择离A营地最近的河边点D. 先走到河边任意点，再根据情况决定下一步（答案：B，若考虑实际情况，可能需要结合游泳速度和行走速度综合考虑最优解，但题目简化为寻找最短路径点）5、在平原上，将军需要从A点出发到直线型的河边l饮马，然后返回B点，他应该：A. 选择离A或B更近的河边点B. 选择AB连线与河边的交点C. 通过作图法找到使总路程最短的河边点（答案）D. 随机选择一个河边点6、将军的营地A和B位于一片广阔的草原上，中间有一条笔直的河流。
为了最快完成饮马并返回，他应该：A. 走到河边中点饮马B. 走到AB连线与河边的交点饮马C. 利用几何知识找到最优饮马点（答案）D. 直接从A走到B，不饮马7、假设将军的营地A和B位于同一高度，中间隔着一条河，为了最快完成饮马任务，他应该：A. 选择离A营地较近的河边点B. 选择离B营地较近的河边点C. 通过计算找到使总时间（考虑行走和饮水时间）最短的点（答案，若题目未明确只考虑路程，则需综合考虑）D. 走到河边任意点饮马8、在山地环境中，将军需要从A点到河边l饮马，然后返回B点，考虑到地形因素，他应该：A. 忽略地形，直接选择AB连线与河边的交点B. 根据地形调整路径，但仍选择AB连线与河边的交点饮马C. 综合考虑地形和路程，找到最优饮马点（答案）D. 选择离A或B营地最近的河边点。
将军饮马18道典型习题
将军饮马18道典型习题将军饮马"是一个古希腊数学问题，源于2000多年前。
当时，一位将军向城里的著名数学家海伦请教：他每天早上都要骑马到河边让马喝水，然后到河岸同一侧的一块草地上让马吃草。
将军想知道，在河岸的哪个具体位置让马喝水，可以让他和马儿走的路程最短。
经过思考，海伦给出了答案，这就是"将军饮马"问题。
以下是"将军饮马"问题的五种常见模型：1.一动两定（和最小）模型：假设点A是将军和马儿居住的营帐，点B是指定的草地，小河L在两点之间流过。
问题是，将军和马儿在哪个具体位置喝水，可以让他们走的路程最短？解决方法是，做A点关于L的对称点A'，连接A'B，与L的交点即为P点。
这时，PA+PB最小。
为什么呢？因为在L 上任意取一点M（不与P重合），根据几何原理，PA+PB=A'P+PB=A'B，AM+MB>A'B，所以动点P在A'B与L 交点处时，PA+PB最小。
2.一定两动模型：假设点A和小河L1与第一种模型一样，但是这次，草地不是指定的点，而是由L2代表的一片草地。
问题是，在哪个具体位置喝水和吃草，可以让将军和马儿走的路程最短？解决方法是，做A点关于L1的对称点A'，做A点关于L2的对称点A''，连接A'A''，与L1和L2的交点即为P、Q。
这时，AP+PQ+QA的和最小。
为什么呢？因为在L1上取点M（不与P重合），在L2上取点N（不与Q重合），根据几何原理，AP+PQ+AQ=A'P+PQ+A''Q=A'A''，AM+MN+AN>A'A''，所以动点P和Q在A'A''与L1、L2的交点处时，AP+PQ+QA的和最小。
3.两动一定模型：假设点A和小河L1与第一种模型一样，但是这次，将军要骑马到L2代表的一片草地吃草，然后再回到营帐。
关于将军饮马难题的练习10题
关于将军饮马难题的练习10题
1. 将军饮马难题是著名的逻辑难题之一，以下是10个练题帮助理解和解决这个难题。
2. 题目一：题目一：
- 将军饮马难题描述了将军通过一条连续的河流骑马前行的情景。
- 请阐述将军饮马难题的具体要求和条件。
3. 题目二：题目二：
- 给定一个车辆的行驶速度、将军饮马的速度以及将军饮马的间隔时间，请计算将军饮马时车辆与将军的距离。
4. 题目三：题目三：
- 假设将军饮马的路径有所改变，如何调整速度和时间间隔，才能保持将军和车辆的固定距离？
5. 题目四：题目四：
- 假设将军饮马时遇到突发情况，需要停下来处理，重新上路后可以追上车辆吗？
6. 题目五：题目五：
- 若车辆的速度变化，将军饮马的速度还能保持不变吗？请解释为什么？
7. 题目六：题目六：
- 假设将军饮马的速度变化，车辆的速度保持不变，将军和车辆之间的相对距离如何变化？
8. 题目七：题目七：
- 将军饮马难题中是否有其他影响将军和车辆距离的因素？请列举并解释。
9. 题目八：题目八：
- 假设将军饮马的速度快于车辆的速度，将军和车辆之间的相对距离会怎样变化？
10. 题目九：题目九：
- 将军饮马难题中的数学模型是什么？使用该模型可以解决哪些相关问题？
11. 题目十：题目十：
- 将军饮马难题中是否存在法律或道德层面的问题？请阐述你的观点和理由。
以上是关于将军饮马难题的练习10题，希望能帮助你更好地理解和解决这个难题。
中学数学 “将军饮马”类问题 (含答案)
最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。
2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。
3.如图，点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。
使△PAB 的周长最小4.如图，点 P，Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。
使四边形 PAQB 的周长最小。
5.如图，点 A 是∠MON 外的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小6. .如图，点 A 是∠MON 内的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小E MMEHM30°二、常见题型三角形问题1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD⊥BC，E 是 AC 上的一点，M 是 AD 上的一点，若 AE = 2，求 EM+EC 的最小值A解：∵点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B，A∴连接 BE，交 AD 于点 M，则 ME+MD 最小，过点 B 作 BH⊥AC 于点 H，则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3在直角△BHE 中，BE = BH2 + HE2 B= (3 3)2 + 12 = 2 7D C B D C2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 4 2，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是．解：作点 B 关于 AD 的对称点B'，过点 B'作 B'E⊥AB 于点E，交 AD 于点 F，则线段 B'E 的长就是 BM＋ＭＮ的最小值在等腰 Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4CB'M F D A N E B3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小，则这个最小值C 解：作 AB 关于 AC 的对称线段AB'，过点 B'作 B'N⊥AB，垂足为 N，交 AC 于点M，则 B'N = MB'+MN = MB+MNB'N 的长就是 MB+MN 的最小值则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。
将军饮马问题专练练习附答案
将军饮马问题专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知线段AB及直线l，在直线l上确定一点P，使PA PB最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题．【详解】解：∵点A，B在直线l的同侧，∵作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P，∵P A+PB=PB′+P A=AB′为最小故选：C．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在直线上找一点到两点距离最短的方法是解题的关键．2．如图，等边∵ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）AB ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】连接BE ，交AD 于点M ，过点E 作EF ∵BC 交于点F ，此时EM ＋CM 的值最小，求出BE 即可．【详解】解：连接BE ，交AD 于点M ，过点E 作EF ∵BC 交于点F ，∵∵ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，∵B 点与C 点关于AD 对称，∵BM ＝CM ，∵EM ＋CM ＝EM ＋BM ＝BE ，此时EM ＋CM 的值最小，∵AC ＝6，AE ＝2，∵EC ＝4，在Rt ∵EFC 中，∵ECF ＝60°，∵FC ＝2，EF ＝在Rt ∵BEF 中，BF ＝4，∵BE ＝故选：C ．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题的关键．3．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（）A．4B．4.5C．5.5D．5【答案】D【解析】【分析】连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的长即可．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∵点B与点D关于直线AC对称，连接BE，交AC于点N'，连接DN'，∵DN'=BN'，DN'+EN'=BN'+ EN' BD，则BE的长即为DP+PE的最小值，∵AC是线段BD的垂直平分线，又∵CE=CD-DE=4-1=3，在Rt∵BCE中，BE2=CE2+BC2=25，∵BE＞0，∵BE=5，即DP+PE的最小值为5，故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将PE+PD的最小值转化为BE的长是解题的关键．二、填空题4．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【解析】【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP＝A'P，∵AP+BP＝A'P+BP＝A'B，此时P点到A、B的距离最小，∵A（0，3），∵A'（0，﹣3），∵B（6，5），5-（-3）=8，6-0=6∵A'B，∵P点到A、B的距离最小值为10，故答案为：10．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离是解题的关键．5．如图，在等边∵ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．【答案】6【解析】【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵∵ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，∵点E关于AD的对应点为点F，∵CF就是EP+CP的最小值．∵∵ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∵F是AB的中点，∵CF=AD=6，即EP+CP的最小值为6，故答案为6．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．6．已知点(1,1)A ，(3,5)B ，在x 轴上的点C ，使得AC BC +最小，则点C 的横坐标为_______． 【答案】43【解析】【分析】作点A 关于x 轴的对称点A '，连接A 'B ，与x 轴的交点即为点C ，连接AC ，则AC ＋BC 的最小值等于A 'B 的长，利用待定系数法求得直线A 'B 的解析式，即可得到点C 的坐标．【详解】解：如图所示，作点A 关于x 轴的对称点A '，连接A 'B ，与x 轴的交点即为点C ， 连接AC ，则AC ＋BC 的最小值等于A 'B 的长，∵A （1，1），∵A '（1，−1），设直线A 'B 的解析式为y ＝kx ＋b （k ≠0），把A '（1，−1），B （3，5）代入得153k b k b -=+⎧⎨=+⎩， 解得34k b =⎧⎨=-⎩， ∵y ＝3x −4，当y ＝0时，x ＝43， ∵点C 的横坐标为43， 故答案为：43．【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．如图，一牧童在A 处放羊，牧童的家在B 处，A 、B 距河岸的距离AC 、BD 分别为500m 和700m ，且C 、D 两地相距500m ，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走______m ．【答案】1300【解析】【分析】本题可以把两线段的和最小的问题转化为两点之间线段最短的问题解决．转化的方法是作A 关于CD 的对称点，求解对称点与B 之间的距离即可．【详解】解：作A 关于CD 的对称点E ，连接BE ，并作BF AC ⊥于点F ．则5007001200EF BD AC m =+=+=，500BF CD m ==．在Rt BEF △中，根据勾股定理得：1300BE 米． 故答案为：1300．【点睛】此题的难点在于确定点P 的位置，能够根据轴对称的知识正确作图．三、解答题8．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,5)A ，(2,1)B ，(6,1)C ．(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；(2)在x 轴上找一点P ，使PB PC 的值最小（保留作图痕迹），并写出点P 的坐标．【答案】(1)见解析；(2)见解析，P 的坐标为(4,0)．【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质结合坐标系，分别确定点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，即可作出111A B C △；（2）作出点B 关于x 轴的对称点B 2，连接B 2C ，交x 轴于P ，点P 即为所求做的点．(1)解：解：（1）如图所示，111A B C △即为ABC 关于y 轴对称的三角形．(2)解：如图所示，点P即为所求做的点，点P的坐标为(4,0)．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称图形，将军饮马问题，熟知轴对称的性质是解题关键，注意坐标系中两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一点．（1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小；（2）若点P为AB的中点，当∵BPE满足什么条件时，△ABC是等边三角形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）∵BPE=90°，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC，再根据两点间线段最短的性质，连接CP交AD于点E，并连接BE，即可得解；（2）因为P 为AB 的中点，要使∵ABC 是等边三角形，则需BC =AB ，根据等腰三角形三线合一的性质，所以CP ∵AB ，即∵BPE =90°．【详解】解：（1）如图，连接CP 交AB 于点E ，则点E 为所求；（2）∵BPE =90° ，理由如下：∵∵BPE =90°∵CP ∵AB ，∵点P 为AB 的中点，∵CP 垂直平分AB∵CA =CB∵AB =AC∵AB =AC =BC∵∵ABC 是等边三角形【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及对称、两点间线段最短、线段中垂线定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．10．如图，铁路上A 、B 两站相距8km ，C 、D 为两个村庄，AC AB ⊥，BD AB ⊥，垂足分别为A 、B ，已知2km AC =，4km BD =，现在要在铁路AB 上修建一个中转站P ，使得P 到C 、D 两村的距离和最短．请在图中画出P 点的位置，并求出PC PD +的最小值．【答案】图见解析，10cm【解析】【分析】试卷第11页，共11页 根据轴对称求最短路线作出C 点对称点C ′，连接C′D 即可得出P 点位置，再利用勾股定理得出C′D 即为收购站P 到C 、D 两村庄的距离和最小值．【详解】解：作C 点关于AB 的对称点C '，连接C D '与AB 的交点就是P 点过C '作C E DB '⊥的延长线于点E则2BE AC AC '===，8C E AB '==∵6DE BD BE =+=在Rt DEC '中2222268100C D DE C E =+'='=+∵10C D '=∵PC PD +的最小值为10cm ．【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路线问题，根据已知得出P 点位置是解题关键．。
关于将军饮马难题的练习10题
关于将军饮马难题的练习10题1. 将军饮马难题是一个著名的数学逻辑题。
2. 问题是一个军队将军需要与他的士兵一起通过一条狭窄的通道，但通道上只能容纳两个人，将军必须牵着马过去。
士兵们有不同的移动速度，每个士兵通过通道的时间也各不相同。
3. 下面是10个练题，每个题目都有不同的条件，找到解决方案并计算出通过通道所需要的最少时间。
题目1:士兵A过去需要1分钟，士兵B过去需要2分钟，将军过去需要5分钟，马过去需要10分钟。
求通过通道所需要的最少时间。
题目2:士兵A过去需要2分钟，士兵B过去需要4分钟，将军过去需要6分钟，马过去需要10分钟。
求通过通道所需要的最少时间。
题目3:士兵A过去需要5分钟，士兵B过去需要10分钟，将军过去需要20分钟，马过去需要30分钟。
求通过通道所需要的最少时间。
题目4:士兵A过去需要3分钟，士兵B过去需要4分钟，士兵C过去需要8分钟，将军过去需要10分钟，马过去需要15分钟。
求通过通道所需要的最少时间。
题目5:士兵A过去需要2分钟，士兵B过去需要5分钟，士兵C过去需要10分钟，将军过去需要15分钟，马过去需要20分钟。
求通过通道所需要的最少时间。
题目6:士兵A过去需要1分钟，士兵B过去需要3分钟，士兵C过去需要6分钟，士兵D过去需要8分钟，将军过去需要10分钟，马过去需要15分钟。
求通过通道所需要的最少时间。
题目7:士兵A过去需要2分钟，士兵B过去需要3分钟，士兵C过去需要4分钟，士兵D过去需要8分钟，将军过去需要10分钟，马过去需要15分钟。
求通过通道所需要的最少时间。
题目8:士兵A过去需要1分钟，士兵B过去需要2分钟，士兵C过去需要4分钟，士兵D过去需要8分钟，士兵E过去需要16分钟，将军过去需要20分钟，马过去需要30分钟。
求通过通道所需要的最少时间。
题目9:士兵A过去需要2分钟，士兵B过去需要4分钟，士兵C过去需要6分钟，士兵D过去需要8分钟，士兵E过去需要10分钟，士兵F过去需要12分钟，将军过去需要15分钟，马过去需要20分钟。
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l A
l
l B
A
l l B
A
l P
l
l A
将军饮马
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
模型1 定直线与两定点 模型 作法 结论
当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最小。
连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。
PA+ PB 的最小。
当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使
PA+PB 最小。
作点B 关于直线l 的对称点
B ′，连接AB ′交直线于点P ，点P 即为所求作的点。
PA+PB 的最小值为AB ′。
当两定点A 、B 在直线l 同侧
时，在直线l 上找一点P ，使
PA PB -最大。
连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。
PA PB -的最大值为AB 。
当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使PA PB -最大。
作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′并延长交直线于点P ，点P 即为所求作的点。
PA PB
-的
最大值为AB ′。
P
E D C B A P D C B A
E D
C B A
模型实例
例1．如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD+PE 的最小值为 。
例2．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边 上一动点，则EC+ED 的最小值是 。
A （3M
N
D C
B
A
2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值。
3．如图，正方形ABCD 中，AB-7，M 是DC 上的一点，且DM-3，N 是AC 上的一 动点，求DN MN 的最小值与最大值。
O C
D M
N B A 模型实例
例1．如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且OP=10，在OA 上有一 点Q ，OB 上有一点R 。
若△PQR 周长最小，则最小周长是多少？
热搜精练
1．如图，∠MON=40°，P 为∠MON 内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点， 当△PAB 的周长取最小值时： （1）找到A 、B 点，保留作图痕迹；
（2）求此时∠APB 等于多少度。
如果∠MON= ，∠APB 又等于多少度？
2．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别 找一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM 的度数。
O N
O
N
B
3．如图，在x 轴上找一点C ，在y 轴上找一点D ，使AD+CD+BC 最小，并 求直线CD 的解析式及点C 、D 的坐标。
4．如图∠MON=20°，A 、B 分别为射线OM 、ON 上两定点，且OA=2，OB=4， 点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段 AQ+PQ+PB 的最小值是多少？
2
2
1
F C D O
y
x
E
B
A
模型实例
例1．在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示， 点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上， 且OA=6，OC=4，D 为OC 中点，点E 、F 在线段 OA 上，点E 在点F 左侧，EF=2。
当四边形BDEF 的周长最小时，求点E 的坐标。
热搜精练
C D O y x B
A
2
1
A 1．在平面直角坐标系中，矩形OAC
B 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在， x 轴、y 轴的正半轴上，A （3，0），B （0，4），D 为边OB 的中点。
（1）若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；
（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标。
2．村庄A 和村庄B 位于一条小何的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？。