初中数学：将军饮马问题习题
将军饮马18道典型习题
“将军饮马”常见模型及18道典型习题何为将军饮马？2000多年以前。
古希腊的亚历山大城里住着一位睿智的数学家海伦。
一天，城里来了一位将军，听闻海伦盛名，特来向他请教一个问题。
将军说，每天早上，他都骑着马儿从营帐出发，到河边让马儿饮水，然后，再去河岸同一侧的一块草地上带着马儿去吃草，问题时，在河岸的哪个具体位置喝水，行程最短？海伦略做沉思，给出了将军最佳方案。
此之谓“将军饮马”。
最佳方案为何？且阅下文：一、将军饮马常见的5种模型：1、一动两定（和最小）：如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路PA+PB的值最小？解析：做A点关于L的对称点A’，连接A’B，与L的交点即为P点。
为什么这时PA+PB最小？假设L上有一点M（与P点不重合）。
∵A点与A’关于L对称∴AP=A’P；AM=A’M；∴AP + BP =A’P +BP =A’B而AM + BM = A’M +MB在△A’MB中，两边之和大于第三边∴A’B < A’M +MB；而M为L上任一点（与P点不重合）。
∴动点P在A’B与L交点处时AP+BP最小。
2、一定两动：如图，点A是将军和马居住的营帐，小河L1依然像上题中一样潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，不同的是，这次吃草的地方不在是一个指定的点，而是L2所代表的一片草地，Q则是将军骑马吃草的地方，水足草饱以后，将军和马儿会再回到营帐。
那么，P点、Q点在何处时，将军走过的路AP+PQ+QA的值最小？解析：做A点关于L1的对称点A’；做A点关于L2的对称点A‘’；连接A’A‘’，与L1和L2的交点即为P、Q。
为什么此时，AP+PQ+AQ的和最小？假设L1上有点M（不与P重合）、L2上有点N（不与Q重合）。
∵A点与A’关于L1对称；A点与A‘’关于L2对称。
∴AP=A’P；AQ=A”Q；AM=A’M；AN=A”N；∴AP+PQ+AQ = A’P+PQ+A”Q =A’A”；AM+MN+AN = A’M+MN+A”N在四边形A’MNA”中：A’M+MN+A”N >A’A”∴P、Q位于A’A”与L1和L2的交点处时，AP+PQ+AQ的和最小。
将军饮马问题例题
将军饮马问题例题
例题：一个将军饮马，有三个酒坛，其中一个酒坛里装着毒酒，另外两个酒坛里装着普通的酒。
这三个酒坛外观相同，将军无法通过外观来判断哪个酒坛是有毒的。
在喝下一杯毒酒后，将军将会立即死亡。
现在将军有一匹马，这匹马可以闻出毒酒，如果马喝下一杯毒酒，它将会在30分钟后死亡。
将军只有30
分钟的时间来确定哪个酒坛里装着毒酒，并且不允许酒坛之间进行任何类型的测量。
解法：将军可以按照以下步骤确定毒酒所在的酒坛：
1. 为了节省时间，将将军的马分成三组，每组10匹马。
标记
这三组马为A、B、C。
2. 让A组的马尝试第一个酒坛，让B组尝试第二个酒坛，C
组尝试第三个酒坛。
3. 让所有的马者都喝下一杯酒。
4. 等待15分钟。
5. 如果A组的马中有马死亡，那么第一个酒坛是有毒的；如
果B组的马中有马死亡，那么第二个酒坛是有毒的；如果C
组的马中有马死亡，那么第三个酒坛是有毒的。
6. 如果在15分钟内没有任何马死亡，那么第一个酒坛是安全的，因此第二个酒坛是有毒的；如果A和B组的马都没有死
亡，那么第三个酒坛是有毒的。
这样，将军可以在30分钟内确定哪个酒坛里装着毒酒。
关于将帅饮马问题的练习10题
关于将帅饮马问题的练习10题1. 问题描述：将帅饮马问题是一道经典的逻辑思维题。
在一个 11*11 的棋盘上，放置了一个将军（用“J”表示）、一个士兵（用“S”表示）和一匹马（用“H”表示）。
将军每次可以行走一步，士兵每次可以行走两步，马每次可以行走三步。
他们的行走规则如下：- 将军每次可以向上、下、左、右四个方向行走一步；- 士兵每次可以向上、下、左、右四个方向行走两步；- 马每次可以向上、下、左、右八个方向行走三步。
2. 问题目标：请找出所有可能的将军、士兵和马的位置组合，使得将军和士兵都无法互相攻击。
3. 练题目：下面是10道练题目，请尝试找出每道题目下将军、士兵和马的位置组合。
- 题目1：将军和士兵的位置：(1, 1) 马的位置：(1, 2)- 题目2：将军和士兵的位置：(2, 3) 马的位置：(1, 3)- 题目3：将军和士兵的位置：(5, 1) 马的位置：(9, 2)- 题目4：将军和士兵的位置：(6, 1) 马的位置：(10, 3)- 题目5：将军和士兵的位置：(1, 1) 马的位置：(1, 5)- 题目6：将军和士兵的位置：(3, 2) 马的位置：(1, 5)- 题目7：将军和士兵的位置：(3, 3) 马的位置：(2, 5)- 题目8：将军和士兵的位置：(4, 4) 马的位置：(7, 6)- 题目9：将军和士兵的位置：(5, 1) 马的位置：(8, 4)- 题目10：将军和士兵的位置：(4, 1) 马的位置：(8, 8)4. 总结：将帅饮马问题是一种非常有趣的逻辑思维题，通过分析每个角色的行动规则和限制，在给定的棋盘上找到不会互相攻击的位置组合。
练这些题目可以锻炼我们的逻辑思维能力和问题解决能力。
初中数学：将军饮马问题习题
将军饮马“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
当两定点A、 B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB最小。
连接AB交直线l 于点P，点P即为所求作的点。
当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB最小。
ABl 当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA PB 最大。
A作点 B关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。
连接AB并延长交直线l 于点P，点P 即为所求作的点。
模型 1 定直线与两定点模型Al作法结论PA+ PB 的最小。
PA+PB 的最小值为AB′。
PA PB 的最大值为AB。
lB当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA PB 最大。
作点B关于直线l 的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P 即为所求作的点。
PA PB 的最大值为AB′。
B模型实例例 1．如图，正方形 ABCD 的面积是 12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，则 PD+PE 的最小值为 。
例 2．如图，已知△ ABC 为等腰直角三角形， AC=BC=，4 ∠ BCD=15°， P 为CD 上的动点，则 PA PB 的最大值是多少？热搜精练1．如图，在△ ABC 中， AC=BC=，2 ∠ ACB-90°， D 是 BC 边的中点， E 是AB 边 上一动点，则 EC+ED 的最小值是 。
DCB2．如图，点C的坐标为（3，y），当△ ABC的周长最短时，求y 的值yA（3，0）OB（2，0）x3．如图，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一点，且DM-3，N是AC上的一动点，求DN MN 的最小值与最大值。
将军饮马基础题
1、在古战场上，将军需从营地A出发，到达河边l饮马，然后返回营地B，以下哪种策略能使将军的总路程最短？A. 直接从A到l，再从l到BB. 选择河边l上离A最近的点饮马C. 选择河边l上使A到该点再到B距离和最小的点饮马（答案）D. 先到B，再从B到l，最后返回A2、将军的营地位于山丘上，他需要下山走到河边饮水，再上山返回另一营地。
为了节省体力，他应该：A. 尽量选择陡峭的路径下山和上山B. 下山时走直线，上山时走曲线C. 利用光的折射原理，选择看似最近的路径D. 找到使上下山总路程最短的点饮水（答案）3、假设河边是一条直线，将军需要从点A到河边饮马，然后到点B，河边的哪个点是他应该选择的？A. AB连线与河边的交点B. A点关于河边的对称点与B连线和河边的交点（答案）C. B点关于河边的对称点与A连线和河边的交点D. 河边中点4、将军的营地A和B分别位于山的两侧，中间隔着一条河。
为了最快回到B营地，他应该：A. 直接游泳过河B. 找到河边使得从A到河边再到B总时间最短的点C. 选择离A营地最近的河边点D. 先走到河边任意点，再根据情况决定下一步（答案：B，若考虑实际情况，可能需要结合游泳速度和行走速度综合考虑最优解，但题目简化为寻找最短路径点）5、在平原上，将军需要从A点出发到直线型的河边l饮马，然后返回B点，他应该：A. 选择离A或B更近的河边点B. 选择AB连线与河边的交点C. 通过作图法找到使总路程最短的河边点（答案）D. 随机选择一个河边点6、将军的营地A和B位于一片广阔的草原上，中间有一条笔直的河流。
为了最快完成饮马并返回，他应该：A. 走到河边中点饮马B. 走到AB连线与河边的交点饮马C. 利用几何知识找到最优饮马点（答案）D. 直接从A走到B，不饮马7、假设将军的营地A和B位于同一高度，中间隔着一条河，为了最快完成饮马任务，他应该：A. 选择离A营地较近的河边点B. 选择离B营地较近的河边点C. 通过计算找到使总时间（考虑行走和饮水时间）最短的点（答案，若题目未明确只考虑路程，则需综合考虑）D. 走到河边任意点饮马8、在山地环境中，将军需要从A点到河边l饮马，然后返回B点，考虑到地形因素，他应该：A. 忽略地形，直接选择AB连线与河边的交点B. 根据地形调整路径，但仍选择AB连线与河边的交点饮马C. 综合考虑地形和路程，找到最优饮马点（答案）D. 选择离A或B营地最近的河边点。
将军饮马18道典型习题
将军饮马18道典型习题将军饮马"是一个古希腊数学问题，源于2000多年前。
当时，一位将军向城里的著名数学家海伦请教：他每天早上都要骑马到河边让马喝水，然后到河岸同一侧的一块草地上让马吃草。
将军想知道，在河岸的哪个具体位置让马喝水，可以让他和马儿走的路程最短。
经过思考，海伦给出了答案，这就是"将军饮马"问题。
以下是"将军饮马"问题的五种常见模型：1.一动两定（和最小）模型：假设点A是将军和马儿居住的营帐，点B是指定的草地，小河L在两点之间流过。
问题是，将军和马儿在哪个具体位置喝水，可以让他们走的路程最短？解决方法是，做A点关于L的对称点A'，连接A'B，与L的交点即为P点。
这时，PA+PB最小。
为什么呢？因为在L 上任意取一点M（不与P重合），根据几何原理，PA+PB=A'P+PB=A'B，AM+MB>A'B，所以动点P在A'B与L 交点处时，PA+PB最小。
2.一定两动模型：假设点A和小河L1与第一种模型一样，但是这次，草地不是指定的点，而是由L2代表的一片草地。
问题是，在哪个具体位置喝水和吃草，可以让将军和马儿走的路程最短？解决方法是，做A点关于L1的对称点A'，做A点关于L2的对称点A''，连接A'A''，与L1和L2的交点即为P、Q。
这时，AP+PQ+QA的和最小。
为什么呢？因为在L1上取点M（不与P重合），在L2上取点N（不与Q重合），根据几何原理，AP+PQ+AQ=A'P+PQ+A''Q=A'A''，AM+MN+AN>A'A''，所以动点P和Q在A'A''与L1、L2的交点处时，AP+PQ+QA的和最小。
3.两动一定模型：假设点A和小河L1与第一种模型一样，但是这次，将军要骑马到L2代表的一片草地吃草，然后再回到营帐。
关于将军饮马难题的练习10题
关于将军饮马难题的练习10题
1. 将军饮马难题是著名的逻辑难题之一，以下是10个练题帮助理解和解决这个难题。
2. 题目一：题目一：
- 将军饮马难题描述了将军通过一条连续的河流骑马前行的情景。
- 请阐述将军饮马难题的具体要求和条件。
3. 题目二：题目二：
- 给定一个车辆的行驶速度、将军饮马的速度以及将军饮马的间隔时间，请计算将军饮马时车辆与将军的距离。
4. 题目三：题目三：
- 假设将军饮马的路径有所改变，如何调整速度和时间间隔，才能保持将军和车辆的固定距离？
5. 题目四：题目四：
- 假设将军饮马时遇到突发情况，需要停下来处理，重新上路后可以追上车辆吗？
6. 题目五：题目五：
- 若车辆的速度变化，将军饮马的速度还能保持不变吗？请解释为什么？
7. 题目六：题目六：
- 假设将军饮马的速度变化，车辆的速度保持不变，将军和车辆之间的相对距离如何变化？
8. 题目七：题目七：
- 将军饮马难题中是否有其他影响将军和车辆距离的因素？请列举并解释。
9. 题目八：题目八：
- 假设将军饮马的速度快于车辆的速度，将军和车辆之间的相对距离会怎样变化？
10. 题目九：题目九：
- 将军饮马难题中的数学模型是什么？使用该模型可以解决哪些相关问题？
11. 题目十：题目十：
- 将军饮马难题中是否存在法律或道德层面的问题？请阐述你的观点和理由。
以上是关于将军饮马难题的练习10题，希望能帮助你更好地理解和解决这个难题。
中学数学 “将军饮马”类问题 (含答案)
最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。
2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。
3.如图，点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。
使△PAB 的周长最小4.如图，点 P，Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。
使四边形 PAQB 的周长最小。
5.如图，点 A 是∠MON 外的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小6. .如图，点 A 是∠MON 内的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小E MMEHM30°二、常见题型三角形问题1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD⊥BC，E 是 AC 上的一点，M 是 AD 上的一点，若 AE = 2，求 EM+EC 的最小值A解：∵点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B，A∴连接 BE，交 AD 于点 M，则 ME+MD 最小，过点 B 作 BH⊥AC 于点 H，则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3在直角△BHE 中，BE = BH2 + HE2 B= (3 3)2 + 12 = 2 7D C B D C2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 4 2，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是．解：作点 B 关于 AD 的对称点B'，过点 B'作 B'E⊥AB 于点E，交 AD 于点 F，则线段 B'E 的长就是 BM＋ＭＮ的最小值在等腰 Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4CB'M F D A N E B3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小，则这个最小值C 解：作 AB 关于 AC 的对称线段AB'，过点 B'作 B'N⊥AB，垂足为 N，交 AC 于点M，则 B'N = MB'+MN = MB+MNB'N 的长就是 MB+MN 的最小值则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。
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l l B
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将军饮马
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
模型1 定直线与两定点 模型 作法 结论
当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最小。
连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。
PA+ PB 的最小。
当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使
PA+PB 最小。
作点B 关于直线l 的对称点
B ′，连接AB ′交直线于点P ，点P 即为所求作的点。
PA+PB 的最小值为AB ′。
当两定点A 、B 在直线l 同侧
时，在直线l 上找一点P ，使
PA PB -最大。
连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。
PA PB -的最大值为AB 。
当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使PA PB -最大。
作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′并延长交直线于点P ，点P 即为所求作的点。
PA PB
-的
最大值为AB ′。
P
E D C B A P D C B A
E D
C B A
模型实例
例1．如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD+PE 的最小值为 。
例2．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边 上一动点，则EC+ED 的最小值是 。
A （3M
N
D C
B
A
2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值。
3．如图，正方形ABCD 中，AB-7，M 是DC 上的一点，且DM-3，N 是AC 上的一 动点，求DN MN 的最小值与最大值。
O C
D M
N B A 模型实例
例1．如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且OP=10，在OA 上有一 点Q ，OB 上有一点R 。
若△PQR 周长最小，则最小周长是多少？
热搜精练
1．如图，∠MON=40°，P 为∠MON 内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点， 当△PAB 的周长取最小值时： （1）找到A 、B 点，保留作图痕迹；
（2）求此时∠APB 等于多少度。
如果∠MON= ，∠APB 又等于多少度？
2．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别 找一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM 的度数。
O N
O
N
B
3．如图，在x 轴上找一点C ，在y 轴上找一点D ，使AD+CD+BC 最小，并 求直线CD 的解析式及点C 、D 的坐标。
4．如图∠MON=20°，A 、B 分别为射线OM 、ON 上两定点，且OA=2，OB=4， 点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段 AQ+PQ+PB 的最小值是多少？
2
2
1
F C D O
y
x
E
B
A
模型实例
例1．在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示， 点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上， 且OA=6，OC=4，D 为OC 中点，点E 、F 在线段 OA 上，点E 在点F 左侧，EF=2。
当四边形BDEF 的周长最小时，求点E 的坐标。
热搜精练
C D O y x B
A
2
1
A 1．在平面直角坐标系中，矩形OAC
B 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在， x 轴、y 轴的正半轴上，A （3，0），B （0，4），D 为边OB 的中点。
（1）若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；
（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标。
2．村庄A 和村庄B 位于一条小何的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？。