浙教版七年级数学下册 4.3 乘法公式分解因式

4.3 乘法公式分解因式（1）
教学目标：
1、会用平方差公式分解因式。

2、了解因式分解的思考步骤。

教学重难点：
教学重点：用平方差公式分解因式是本节教学的重点。

教学难点：例1第（4）题和本节的“合作学习”的因式分解和化简过程较为复杂，是本节教学的难点。

教学过程：
一、题引入：
节头图：把一张如图甲形状的纸剪拼成图乙形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，你认为应该怎么剪？你能给出数学解释吗？
通过今天的学习，我们将解决这个问题。

（板书课题）
二、新课
1、上一章我们已学过平方差公式(a +b )(a －b )=a 2－b 2，今天我们将换一个角度来认识这个公式的应用。

由此可得：（板书）a 2－b 2＝(a +b )(a －b )
这就是说，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

我们运用这个公式可以把平方差形式的多项式进行分解因式。

2、做一做：（学生口答完成）
下列各式能用平方差公式a 2－b 2＝(a +b )(a －b )分解因式吗？a ，b 分别表示什么？把它们分解因式。

（1）x 2―1; (2)m 2―9; (3)x 2―4y 2
由此可见，运用平方差公式分解因式的关键是把要分解的多项式看成两个数的平方差。

公式中的字母可以是一个数、一个字母、也可以是一个式，所以在运用平方差公式分解因式前，首先能够找出字母所表示的数或式，尤其当项的系数是分数或小数时，给我们在判别上带来一定的困难，为此我们先来完、下面填空练习：
3、填空：
9
1x 2＝( )2 499x 2－0.01y 2＝( )2－( )2 4(x -y )2－9(x +y )2＝[ ]2－[ ]2
－252+0.25x 2=( )2－( )2
4、例题讲解：
例1 把下列各式分解因式：
（1）16a 2－1 （2）－m 2n 2+4l 2 (3) 25
9x 2－161y 4 (4) (x +z )2－(y +z )2 例题小结：
能用平方差公式分解因式的一般步骤：①表示成哪个数的平方差的形式；②运用平方差公式分解因式。

借助这个方法，我们也可以较轻松地解决节头图所提出的问题了：甲图形状的纸面积为（a 2－b 2），根据a 2－b 2＝(a +b )(a －b )可知乙图可看作长为(a +b )，宽为(a －b )的长方形，从而得到问题的解决。

当然在分解因式的过程中，有的时候需要对某些多项式能否运用平方差公式分解作出判断。

例2 判别下列各多项式能否用平方差公式分解因式，为什么？
―4x 2―y 2, 4x 2+(―y )2, (―4x )2―y 2
5、提出问题：对于多项式4x 3y －9xy 3能否直接用平方差公式分解因式？
合作学习：怎样把多项式4x 3y －9xy 3分解因式？
可按下述步骤思考：
（1）能否提取公因式？
（2）提取公因式后，多项式还能继续分解因式吗？
让学生通过分析、尝试、交流等形式归纳形成解决问题的策略、方法和步骤。

三、课内练习：书本157页练习（有针对性地选择学生板演，并由学生完成评价）
四、课堂小结：
1、今天学习了把乘法公式中的平方差公式逆向使用，得到的平方差公式进行的因式分解。

数学公式的互逆运用目的都是为了数学问题的解决。

2、运用平方差公式分解因式的关键是把要分解的多项式看成两个数平方差的形式。

当要分解的多项式是两个多项式的平方差时，分解成的两个因式一般要进行去括号等化简，如有同类项，要进行合并。

3、在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后再用平方差公式分解因式。

五、作业：
4.3乘法公式分解因式（2）
教学目标：
1、会用完全平方公式分解因式。

2、会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。

教学重难点：教学重点：用完全平方公式分解因式是本节教学的重点．
教学难点：例3分解和化简过程比较复杂，是本节教学的难点。

教学过程：
一、引入：
通过前两节课的学习，我们已掌握了运用“提取公因式法分解因式”和“运用平方差公式分解因式”，尤其是“平方差公式分解因式”是借助于多项式乘法公式中的平方差公式的逆向使用来实现多项式的因式分解。

在多项式乘法中我们还学习了两个完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2 , (a－b)2=a2－2ab+b2,
今天我们将借助于这两个完全平方公式的逆向使用来进行分解因式。

(板书课题)
二、新课：
1、板书：a2+2ab+b2＝(a+b)2a2－2ab+b2＝(a－b)2
这就是说，两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方。

运用完全平方公式分解因式的关键是把要分解的多项式看成两个数的和（或者差）的完全平方（仿书本“例如”举例说明）
2、完全平方式：a2+2ab+b2，a2－2ab+b2。

对一个多项式能否直接用完全平方公式，首先应判断其是否完全平方式。

例1判断下列各式是否完全平方式：
1
（1）4x3－4x+1（2）4x2－2x+1（3）4x2－4x+1（4）x2－x+
4
(5) 92x +1－3
2x
具体判别时可按如下的程序操作：
（1）先看能否把其中的某两个数的平方和的形式。

（2）如果能把其中的某两项写成两个数的平方和的形式，那么就要乍剩下的一项能否写成加上或减去同样两数乘积的两倍的形式。

例如：4x 3－4x +1中的任何两项都不能写成两个整式的平方和的形式，因此不能用完全平方公式来分解因式。

4x 2－2x +1中的4x 2+1虽然可以看成2x 与1的平方和，但是剩下的一项－2x 并不是－2x 与1乘积的两倍。

因此也不能用完全平方公式来分解因式。

4x 2－4x +1中的4x 2+1可以看成2x 与1的平方和，并且剩下的一项－4x 恰好是－2x 与1乘积的两倍，所以可以用完全平方公式来分解因式，分解的结果应是2x 与1的差的平方。

92x +1－3
2x ，虽然外观与a 2－2ab +b 2不一致，但它是完全平方式。

学习练习：书本159页“做一做”
（通过这样正、反两方面的对照，使学生正确判别能否用完全平方公式分解因式，以及分解的结果是什么样的两数和（或差）的平方。

）
3、例2 把下列各式分解因式：
（1）4a 2+12ab +9b 2; (2) ―x 2+4xy ―4y 2 (3) 3ax 2+6axy +3ay 2
范例讲解应注意以下几点：
（1）当两个平方项前面的符号为负时，应先提取“－”号，如―x 2+4xy ―4y 2=―(x 2―4xy +4y 2)
（2）第（3）由学生思考后，强调“多项式中有公因式的先提取公因式”
例3、分解因式：(2x +y )2－(2x +y )+9
本例分析要突出换元的思想，也就是把(2x +y )看作一个整体，教学中应当使学生理解换元的含义，体验换元的作用。

三、练习：书本160页“课内练习1、2”
四、小结：
1、通过这两节课的学习，我们熟悉了运用平方差公式分解因式和运用完全平方公式分解因式。

一般地，利用公式a 2－b 2＝(a +b )(a －b )，或a 2±2ab +b 2＝(a ±b )2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法。

公式中的a ,b 可以是一个数，也可以是一个整式。

2、运用公式法分解因式的关键是判断能用哪个公式，然后针对公式进行分解。

3、对综合运用多种方法分解因式时，应先考虑有公因式的先提取公因式，后运用公式法分解因式。

4、分解后的各因式，如果可以去括号、合并同类项等化简，则要化简。

五、作业：。