统计学分布表(T分布,F分布,卡方分布,正态分布)
几种常见的分布
应用：假设检验。
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各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布 之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
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六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
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七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分 布时，这个向量的模呈瑞利分布。
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ห้องสมุดไป่ตู้
四、对数正态分布
定义：如果一个随机变量的对数服从正态分布，那么该随机变量服从对数 正态分布。
应用：金融保险业、投资收益计算等。
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五、柯西分布(Cauchy distribution)
应用：主要应用于物理学中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中， 它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线形状。
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在 区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变 量服从区间上的均匀分布。
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三、指数分布(Exponential distribution)
f分布t分布与卡方分布
布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
2当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=v X i 的i2(n)，它的分分布称为自由度等于 布密度p(z )=n 的1 AnX22- n2 0,n-1.+处 2 -u , 0u 2e du ,2分布，记作Zz _2e其他,称为Gamma 函数，且】1 =1，式中的『-=I2分布是非对称分布，具有可加性，即当丫与Z_I - = n 。
2相互独立，且丫2(n )， Z 2(m )，贝y Y+Z 〜2(n+m )。
Y+Z= X+§1.4 常用的分布及其分位数 1.卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分证明：先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独 立且都服从N(0,1)，再根据 2分布的定义以及上述随机变 量的相互独立性，令 丫=X 2+X 2+…+X -, z=x 备+X 2+2+…+Xn+m ，即可得到丫+Z 〜2(n +m )。
2. t 分布若X 与丫相互独立，且X 〜N(0,1) , 丫〜2(n ),则Z =x . 丫的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z〜t (n),它的分布密度；z2 V .n丿n 1 ~Y。
”心LP(z)=―；=时(殳)I请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时，t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3. F分布若X与丫相互独立，且X〜2(n)，丫〜2(m), 则Z=X丫的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于n mm的F分布，记作Z〜F (n, m)，它的分布密度2P (Z(m nz) 2n mn m------ in——1 z2-,z 0 n m2 20,其他。
请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度1的次序有关，当 Z 〜F (n , m )时，刁〜F (m ,n )。
t分布,卡方x分布，F分布
t分布,卡⽅x分布，F分布T分布：温良宽厚命名与源起“t”，是伟⼤的Fisher为之取的名字。
Fisher最早将这⼀分布命名为“Student's distribution”，并以“t”为之标记。
Student，则是William Sealy Gosset（⼽塞特）的笔名。
他当年在爱尔兰都柏林的⼀家酒⼚⼯作，设计了⼀种后来被称为t检验的⽅法来评价酒的质量。
因为⾏业机密，酒⼚不允许他的⼯作内容外泄，所以当他后来将其发表到⾄今仍⼗分著名的⼀本杂志《Biometrika》时，就署了student的笔名。
所以现在很多⼈知道student，知道t，却不知道Gosset。
（相对⽽⾔，我们常说的正态分布，在国外更多的被称为⾼斯分布……⾼斯~泉下有知的话，说不定会打出V字⼿势~欧耶！）看懂概率密度图这⼀点对于初学者尤为重要，相信还是有不少⼈对正态分布或者t分布的曲线没有确切的理解。
⾸先，我们看⼀下频率分布直⽅图，histogram：上图，最关键的就是横轴了，柱⾼，即，对于横轴上每⼀个点，发⽣的频次。
图中横轴为4处，次数最多，⼤约12次；依次类推，横坐标为10处，发⽣1次……我们做单变量的探索性数据分析，最喜欢做柱状图了，或者再额外绘制⼀条Density曲线于其上（见下图）。
很容易就可以看出数据的分布（集中趋势、离散趋势），图中，数据⼤多集中在4左右（均数、众数），有⼀点点右偏态，但基本还是正态分布。
下图，⼿绘曲线，即密度曲线，英⽂全称Probability Density Function/Curve。
实际上是对上⾯柱状图的⼀个平滑，但它的纵坐标变为了概率，区别于柱状图的频次。
但理解起来意义差不多。
以下，我们就⽤Density曲线来讲解T分布的特征。
T分布的可视化我们平常说的t分布，都是指⼩样本的分布。
但其实正态分布，可以算作t分布的特例。
也就是说，t分布，在⼤⼩样本中都是通⽤的。
之前有读者问过：“是不是样本量⼤于30或者⼤于50，就不能⽤t分布了呀”？完全不是这样的！t分布，⼤⼩通吃！具体且看下⽂分解。
几种常见的分布
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一、正态分布 (Normal distribution)
E[X]=A D[X]=B2
应用：如果一个量是由许多微小的独立随机因影响的结果，就可以认为这个量 具有正态分布。在自然现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。
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二、均匀分布(Uniform distribution)
。
应用：三角形分布经常用于商务决策，尤其是计算机模拟领域。通常，如果对结果的概率 分布所知信息很少，例如仅仅知道最大值与最小值，那么可以使用平均分布模型。但 是，如果已经知道了最可能出现的结果，那么就可以用三角形分布进行模拟。 三角形分布以及Beta分布在项目管理中大量地用作项目评估与审核技术以及关键途径 的输入信息，以建立在最大值与最小值之间事件发生的概率模型。
正态分布
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几种常见的分布
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分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布、三角形分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系
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应用：射击比赛等。
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十三、超几何分布
定义：在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所 得次品数X=k，是一个随机变量：
应用：产品质量检测等。（注：在实际应用时，只要N>=10n，可用二项分 布近似描述不合格品个数。）
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十四、泊松分布（Poisson distribution）
f分布t分布和卡方分布
§1、4 常用得分布及其分位数1、 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布，它们与正态分布一起，就是试验统计中常用得分布。
当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑ii X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它得分布密度p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21=π。
2χ分布就是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。
证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性，令Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。
2、 t 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n Y X得分布称为自由度等于n 得t 分布，记作Z ～ t (n )，它得分布密度 P(z)=)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。
请注意：t 分布得分布密度也就是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。
这时， t 分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。
3、 F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=m Y n X得分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 得F 分布，记作Z ～F (n , m )，它得分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。
5.3卡方分布、t分布及F分布
F分布的分位数
自由度为n, m的F分布的分位数记作 F (n, m ). 1) F ( n, m ) 0, 非对称分布。 2) 当F ~ F (n, m )时，P{F F (n, m )} .
3) 当较小时，表中查不出 F (n, m )， 可先查F1 (m, n)，
知道自由度n和α可查t分布的分位数表。
n 30, t n u
卡方分布的分位数
2 自由度n的 2分布的分位数记作 ( n).
1) ( n) 0, 非对称分布。
2
2) 当Z ~ ( n)时， P{ Z ( n)} .
2
2
自由度n, , 可以从 3) 给出概率和 2 2 中查出 ( n). 分布的分位数表
§5.3 卡方分布，t分布及F分布
与F分布的关系
5.常用分布的分位数
1.卡方分布
什么是卡方分布
设随机变量X 1 , X 2 , , X n相互独立, 且都服从
n i 1 2 i
N (0,1), 则随机变量Z X 服从自由度为n的
分布，记作Z ~ ( n).
3) u u1
0.005 ，u0.995 2.58.
t分布的分位数
自由度为n的t分布的分位数记作 t ( n).
为对称分布，记号方式类似标准正态分布。
1) 当T ~ t (n)时，P{T t ( n)} .
2) 0.5时，t n 0,
3) t (n) t1 (n),
，
又根据 F 分布的定义，
1 ~ F (n, m) ， X
1 P F n , m 所以 X ，
1 F n, m 因此 F1 (m, n)
F分布的概念及表和查表方法
F分布F分布是1924年英国统计学家R·A·Fisher提出，并以其姓氏的第一个字母命名的。
它是一种非对称分布，有两个自由度，且位置不可互换。
F分布有着广泛的应用，如在方差分析、回归方程的显着性检验中都有着重要的地位。
中文名F分布外文名F-distribution领域统计学提出者提出时间1924特性非对称分布目录1定义2性质定义若总体，与为来自X的两个独立样本，设统计量则称统计量F服从自由度和的F分布，记为分布的概率密度为分布的概率密度函数图像如图1所示图1[2]若总体与总体独立，为来自X的一个样本，为来自Y的一个样本，则统计量则称统计量F服从自由度为和，非中心参数为的非中心F分布，记为性质性质1：性质2：设，则。
性质3：设，则。
性质4：分布的分布函数可用标准正态分布的分布函数来逼近。
即其中，(，充分大)。
性质5：若总体与独立，为来自X的一个样本，为来自Y的一个样本，为已知参数。
则统计量性质6：若总体与独立，为来自X的一个样本，为来自Y的一个样本，则统计量F统计学附录表F—分布临界值表——α（―）α=Fα1234568 1224∞k1k2116211200002161522500230562343723925244262494025465 234567891011121314α=α=α=α=242526272829304060120∞注：三大抽样分布一般是指卡方分布（χ2分布）、t分布和F分布，是来自正态总体的三个常用的分布。
说明：F分布表横坐标是x，纵坐标是y（如下图），一个α分位点一张表，根据公式中的分子自由度(表第一行数字，k1)和分母自由度（表第一列数字,k2）；它是一种非对称分布，有两个自由度，且位置不可互换。
f分布表查询方法例：1.首先需要了解自由度是多少，例如当分位数α=时，找到α=的表。
2、这里以分位数为α=，自由度为（2,3）的F分布为例。
首先选择分位数为的分位数表，然后找到上方一行的2，对应2下方的一列。
计量经济学查表值
计量经济学查表值
计量经济学是应用数学和统计学方法研究经济学问题的学科。
在实际研究过程中，经常需要查找一些数值表格以便进行数据分析和模型建立。
下面是一些常见的计量经济学查表值：
1. t分布表，用于计算t统计量的p值和置信区间。
2. F分布表，用于计算F统计量的p值和置信区间。
3. 卡方分布表，用于计算卡方统计量的p值和置信区间。
4. 标准正态分布表，用于计算标准正态分布的累积概率和反函数值。
5. t检验临界值表，用于计算两个样本之间的t检验临界值。
6. F检验临界值表，用于计算方差分析和回归分析中F检验的临界值。
7. Durbin-Watson统计量表，用于计算回归分析中的自相关性。
8. Breusch-Pagan检验表，用于检验方差齐性。
以上是一些常见的计量经济学查表值，研究者们可以根据自身的研究需求进行选择和使用。
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