高一数学二次函数与一元二次方程教案
【教案】二次函数与一元二次方程、不等式+教学设计高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
二次函数与一元二次方程、不等式教学设计课题名称二次函数与一元二次方程、不等式姓名学校年级教材版本人教版A版一、教学目标1.使学生能够运用一元二次方程以及二次函数图像、性质解决实际问题。
2.渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法。
3.激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索的精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
二、教学重难点重点：一元二次不等式的应用。
难点：一元二次方程的根的情况与二次函数图像与x轴的位置关系的联系，数形结合的运用。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程一、导入（复习导入）师生活动复习解一元二次不等式步骤：1、a变正，（二次项系数化为正数）2、判别式。
（利用一元二次方程，求出判别式的值）3、求根。
（根据判别式情况求出一元二次方程的根）4、画草图。
（利用二次函数绘制图像）5、求解集。
（根据数形结合的思想求不等式解集）复习上节课所学内容，检测学生学习情况。
二、新指探究利用一元二次不等式求解实际问题。
【例1】一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下关系：y=−2y2+220y若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用整条流水线生产x辆摩托车，根据题意得：−2y2+220y>6000移项整理，得：y2−110y+3000<0对于方程y2−110y+3000=0，∆=100>0，方程有两个实数根y1=50，y2=60画出二次函数y=y2−110y+3000的图像（图2.3-6），结合图象得不等式y2−110y+3000<0的解集为{y|50<y<60}，从而原不等式的解集为：{y|50<y<60}。
二次函数与一元二次方程教学设计
二次函数与一元二次方程教学设计二次函数与一元二次方程教学设计1教学目标(一)教学知识点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.(二)能力训练要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.3.通过学生共同观察和讨论,培养大家的合作交流意识.(三)情感与价值观要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.体会方程与函数之间的联系.2.理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.教学难点1.探索方程与函数之间的联系的过程.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法讨论探索法.教具准备投影片二张第一张:(记作§2.8.1A)第二张:(记作§2.8.1B)教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.Ⅱ.讲授新课一、例题讲解投影片:(§2.8.1A)我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t的关系可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t的关系如下图所示,那么(1)h与t的关系式是什么?(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.[师]请大家先发表自己的看法,然后再解答.[生](1)h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40m/s,小球从地面被抛起,所以h0=0.把v0,h0代入上式即可求出h与t的关系式.(2)小球落地时h为0,所以只要令h=-5t2+v0t+h.中的h为0,求出t即可.还可以观察图象得到.[师]很好.能写出步骤吗?[生]解:(1)∵h=-5t2+v0t+h0,当v0=40,h0=0时,h=-5t2+40t.(2)从图象上看可知t=8时,小球落地或者令h=0,得:-5t2+40t=0,即t2-8t=0.∴t(t-8)=0.∴t=0或t=8.t=0时是小球没抛时的时间,t=8是小球落地时的时间.二、议一议投影片:(§2.8.1B)二次函数①y=x2+2x,②y=x2-2x+1,③y=x2-2x+2的图象如下图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?[师]还请大家先讨论后解答.[生](1)二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根0,-2;二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根(或一个根)1;二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点,方程x2-2x+2=0没有实数根.由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.[师]大家总结得非常棒.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.三、想一想在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道的?[师]请大家讨论解决.[生]在式子h=-5t2+v0t+h0中,当h0=0,v0=40m/s,h=60m时,有-5t2+40t=60,t2-8t+12=0,∴t=2或t=6.因此当小球离开地面2秒和6秒时,高度都是60m.Ⅲ.课堂练习随堂练习(P67)Ⅳ.课时小结本节课学了如下内容:1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系.2.理解了二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解了何时方程有两个不等的实根.两个相等的实根和没有实根.Ⅴ.课后作业习题2.9板书设计§2.8.1 二次函数与一元二次方程(一)一、1.例题讲解(投影片§2.8.1A)2.议一议(投影片§2.8.1B)3.想一想二、课堂练习随堂练习三、课时小结四、课后作业备课资料思考、探索、交流把4根长度均为100m的铁丝分别围成正方形、长方形、正三角形和圆,哪个的面积最大?为什么?解:(1)设长方形的一边长为x m,另一边长为(50-x)m,则S长方形=x(50-x)=-x2+50x=-(x2-50x+625)+625=-(x-25)2+625.即当x=25时,S最大=625.(2)S正方形=252=625.(3)∵正三角形的边长为 m,高为 m,∴S三角形= =≈481(m2).(4)∵2πr=100,∴r= .∴S圆=πr2=π・2=π・= ≈796(m2).所以圆的面积最大.二次函数与一元二次方程教学设计2教学目标一、教学知识点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2、理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标.二、能力训练要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神2、通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.3、通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识.三、情感与价值观要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2、具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.体会方程与函数之间的联系.2.理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标.教学难点1、探索方程与函数之间的联系的过程.2、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法讨论探索法教学过程：1、设问题情境，引入新课我们已学过一元一次方程kx+b=0 (k0)和一次函数y =kx+b (k0)的关系，你还记得吗?它们之间的关系是：当一次函数中的函数值y =0时，一次函数y =kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图像与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.2、新课讲解例题讲解我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (m )与运动时间t (s )的关系可以用公式 h =-5t 2+v 0t +h 0表示，其中h 0(m)是抛出时的高度，v 0(m/s )是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s 速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t的关系如下图所示，那么(1)h 与t 的关系式是什么?(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?小组交流，然后发表自己的看法.学生交流：(1)h 与t 的关系式是h =-5 t 2+v 0t +h 0，其中的v 0为40m/s，小球从地面抛起，所以h 0=0.把v 0,h 0带入上式即可求出h 与t 的关系式h =-5t 2+40t(2)小球落地时h为0 ，所以只要令 h =-5t 2+v 0t +h 0中的h=0求出t即可.也就是-5t 2+40t=0t 2-8t=0t(t- 8)=0t=0或t=8t=0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间.也可以观察图像，从图像上可看到t =8时小球落地.议一议二次函数①y=x2+2x ②y=x2-2x+1③y=x2-2x +2 的图像如下图所示(1)每个图像与x 轴有几个交点?(2)一元二次方程x2+2x=0 , x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下, 一元二次方程x2-2x +2=0有根吗?(3)二次函数的图像y=ax2+bx+c 与x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有什么关系?学生讨论后，解答如下：(1)二次函数①y=x2+2x ②y=x2-2x+1③y=x2-2x +2 的图像与x 轴分别有两个交点、一个交点，没有交点.(2)一元二次方程x 2+2x=0有两个根0，-2 ;x2-2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1 ;方程x2-2x +2=0没有实数根(3)从图像和讨论知，二次函数y=x2+2x与x 轴有两个交点(0,0),(-2,0) ，方程x2+2x=0有两个根0，-2;二次函数y=x2-2x+1的图像与x 轴有一个交点(1,0),方程 x2-2x+1=0 有两个相等的实数根1或一个根1二次函数y=x2-2x +2 的图像与x 轴没有交点, 方程x2-2x +2=0没有实数根由此可知，二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.小结：二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有焦点.当二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y =0时自变量x 的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.基础练习1、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标.(1)y=6x2-2x+1 (2)y=-15x2+14x+8 (3)y=x2-4x+42、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ;若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是3、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 .4、已知抛物线y=x2+px+q与x 轴的两个交点为(-2，0)，(3，0)，则p= ，q= .5. 已知抛物线 y=-2(x+1)2+8 ①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x 轴的两个交点间的距离.6、抛物线y=a x2+bx+c(a0)的图象全部在轴下方的条件是(A) a0 b2-4ac0(B)a0 b2-4ac0(B) (C)a0 b2- 4ac0 (D)a0 b2-4ac0想一想在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的.高度是60 m?你是怎样知道的?学生交流：在式子h =-5t 2+v 0t +h 0中v 0为40m/s， h 0=0，h=60 m，代入上式得-5t 2+40t=60t 28t+12=0t=2或t=6因此当小球离开地面2秒和6秒时，高度是6 0 m.课堂练习 72页小结：本节课学习了如下内容：1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点坐标分别是A(x1，0 )， B( x2，0 )2、一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c 这三个二次之间互相转化的关系.体现了数形结合的思想3、二次函数y=ax2+bx+c 何时为一元二次方程?二次函数与一元二次方程教学设计3一、教学目标：1。
二次函数与一元二次方程,不等式教案
二次函数与一元二次方程,不等式教案
一、教学内容：
二次函数与一元二次方程及不等式的概念、特征及应用
二、教学目标：
1、掌握二次函数的定义及一般式形式；
2、掌握一元二次方程的定义及解法；
3、掌握不等式的定义及解法；
4、能够应用一元二次方程和不等式解决实际问题；
三、教学重点：
1、引出二次函数的概念，掌握一般式形式；
2、了解一元二次方程的定义，熟练掌握解题步骤；
3、理解不等式的定义和解题步骤；
4、熟练运用一元二次方程和不等式解决实际问题；
四、教学过程：
Step1. 问题引入
1. 用图像说明二次函数的特点
2. 提出求抛物线顶点坐标的问题，引出一元二次方程 Step2. 探究解题思路
1. 引入一元二次方程的概念，介绍其一般式形式和解法
2. 通过案例让学生掌握解一元二次方程的步骤
Step3. 深入学习
1. 引入不等式的概念，介绍其定义及解答
2. 通过案例让学生熟练掌握不等式的解法
Step4. 应用与练习
1. 通过实际问题让学生熟练掌握二次函数与一元二次方程、不等式的概念，特征及应用
2. 通过实际问题让学生熟练掌握求解一元二次方程、不等式的步骤
Step5. 总结
1. 总结一元二次方程及不等式的定义、特征及求解步骤
2. 总结二次函数的定义及特征。
二次函数与一元二次方程、不等式教案
【板书设计】
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
三个二次关系 例 1
例2 例3
2.解一元二次不等式
【教学反思】 本节通过画图，看图，分析图，小组讨论列出表格深化知识，抽象概括进行教学，让每个学生动
手，动口，动脑，积极参与，提高教学效率和教学质量，使学生进一步理解数形结合和从特殊到一般 的思想方法。
m，则另一边长为
32
4
5x
m
，总面积
S
x(32 5x)
5x2
32x ， 0
x
32 5
，当
x
16 5
m
S max 时，
256 5
m2
。
16 m
256 m2
答：当长方形一边（垂直于旧墙）为 5 ，另一边为 4 m 时猪舍面积最大，最大值为 5 。
【课堂小结】
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
（4）不等式>0，看草图上方，写对应 x 的结果；
不等式<0，看草图下方，写对应 x 的结果；
跟踪训练一
1．求下列不等式的解集
（1） + 2 − 3 > 0 ；
（2）3 2 − 7 ≤ 10 ；
（3）− 2 + 4 − 4 < 0
（4） 2 −
+
1 4
≤
0
【答案】（1） <− 2，或 > 3
（2）
≤− 3，或 ≥ 10
ax2 bx c 0的解集为x | 2 x 3 ，故答案为：x | 2 x 3 。
（2）当 k 0 时，不等式为 8 0 恒成立，符合题意；
当 k 0 时，若不等式 kx2 6kx k 8 0 对任意 x R 恒成立，则 36k 2 4k (k 8) 0 ，解得
21.3《二次函数与一元二次方程第1课时》教案
21.3二次函数与一元二次方程
第1课时
一、教学目标
1.理解二次函数图象与X轴交点的横坐标与一元二次方程的根之间的联系.
2 .经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，渗透数形结合的思想方法.
3 .通过共同探究的方式，培养学生的合作交流意识，以及观察问题和解决问题的能力.
4 .在探索二次函数与一元二次方程的关系的过程中，让学生感受数学知识之间的内在联系，认识到事物之间的联系与转化.
二、教学重难点
重点：理解二次函数图象与X轴交点的横坐标就是一元二次方程的根难点：探索二次函数与一元二次方程之间的关系.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
函数值等于O时自变量X的一个值，即二次函数的图象与X轴一个交点的横坐标.
即：
二次函败「必7丫，2, 二一元二次方程>J3x+20,
：）。
时，图象与簿!有两个交点11Δ^40c>0,有两个不相等的实败根」
2 .如果函数值y等于-5又会怎样呢？
首先，在图象上画出直线产-5此时这条直线与二次函数的图象有一个交点（-T，-》；再求解其对应的一元二次方程f+3x+2=-；,得到方程的解是M=X2=
结合上边的分析及其图象，我们得到：
：二痴由y⅛r÷2,U -元二次方程H=/
:图粼与直线r4只有一个交点：：A='*=C,有两个相等的实数《1:
3 .如果函数值y等于-2,又会怎样呢？
同样，先在图象上画出直线产-2,此时这条直线与二次函数的图象无交点；再求解其对应的一元二次方程f+3x+2=-2,此方程无解.。
22_2二次函数与一元二次方程(教案)
22.2 二次函数与一元二次方程【知识与技能】理解二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握二次函数图象与x轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式实行判别，理解用图象法确定一元二次方程的近似解的方法.【过程与方法】通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系，体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法.【情感态度】进一步增强学生的数形结合思想方法，增强学生的综合解题水平.【教学重点】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【教学难点】一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系.一、情境导入，初步理解问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.假设不考虑空气阻力，球的飞行高度h（m）与飞行时间t（s）之间具相关系：h=20t-5t2.考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要飞行多长时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要飞行多长时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？【教学说明】教师可通过教材的引例，引用其递进式的问题链，让学生在相互交流过程中，自不过然地感受到引用方程思想来解决函数问题的思想方法.教师巡视，即时释疑解惑，并尽量予以肯定和鼓励，激发学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知通过对上述问题的思考，能够看出二次函数与一元二次方程之间存有着密切联系.例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，能够看作解一元二次方程-x2+4x=3;反过来，解方程x2-4x+3=0又能够看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.问题1画出函数y=x2-4x+3的图象，根据图象回答以下问题：（1）图象与x轴交点的坐标是什么？（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x2-4x+3=0有什么关系？（3）你能从中得到什么启示？问题2以下函数的图象与x轴有公共点吗？假设有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相对应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2; (2)y=x2-6x+9; (3)y=x2-x+1.问题3一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？【教学说明】让学生在合作交流过程中完成问题1，2，并对问题3形成一个初步理解，达到从感性理解到理性思考的飞跃，从而理解新知.教师应巡视，对学生的交流成果给予积极评价，最后教师应在黑板上实行归纳总结.【归纳结论】一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：（1）假设抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0.那么当x=x0时，函数的值为0，所以x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.所以可通过方程的根的判别式Δ＜0，Δ=0和Δ＞0来判别抛物线与x轴的交点的个数（Δ=b2-4ac，其中a、b、c为抛物线表达式中二次项系数，一次项系数和常数项）.【试一试】1.若抛物线y=x2-mx+1与x轴没有公共点，则m的取值范围是.2.求证：抛物线y=x2+ax+a-2与x轴总有两个交点.【教学说明】让学生分组完成两个小题，使他们能体验成功的喜悦，对尚有困难的学生，应给予指导.三、使用新知，深化理解1.画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答：（1）方程x2-2x-3=0的解是什么？（2）x取什么值时，函数值大于0？（3）x取什么值时，函数值小于0？2.利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数解.【教学说明】题1可让学生自主完成，教师予以巡视，并作指导；题2的处理建议师生共同完成，这里涉及到逼近求值思想，应作为指导.评讲此题的目的是让学生能进一步体验函数与方程的密切联系，但不要求学生掌握，只要理解即可.【答案】1.图象如下列图：(1)当x1=3,x2=-1.(2)当x<-1或x>3时函数值大于0.（3）当-1<x<3时，函数值小于0.2.解：作y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7,x2≈2.7.我们还能够通过持续缩小根所在的范围估计一元二次方程的根：观察函数y=x2-2x-2的图象能够发现，当自变量为2时的函数值小于0（点（2，-2）在x轴的下方），当自变量为3时的函数值大于0（点（3，1）在x轴的上方），因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续持续的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2在2＜x＜3这个段经过x轴，也就是说当自变量取2，3之间的某个值时，函数的值为0，即方程x2-2x-2=0在2，3之间有根.我们可通过取平均数的方法持续缩小根所在的范围.例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间.重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间……能够看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而能够作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，因为｜2.6875-2.75｜=0.0625＜0.1，我们能够将2.6875作为根的近似值.四、师生互动，课堂小结1.抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有何关联？你能不画出抛物线y=ax2+bx+c而理解此抛物线与x轴的交点情况吗？你是怎样做的？2.你能利用抛物线来确定相对应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？1.布置作业：教材习题22.2第1、2、3、4、6题.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学首先通过具体情况让学生感受用方程思想方法来解决函数问题的思路，然后通过图象来探究一元二次方程的根和二次函数与x轴交点之间的关联.这样整个教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数间的关系来类比引导挖掘、探索二次函数与一元二次方程的关系.此外，通过观察图象直观理解、解答练习以及实际观察分析都是必经的途径与方法，重在让学生自主体会.。
21.3二次函数与一元二次方程 教案
21.3二次函数与一元二次方程教学设计讲授新课题目：写出二次函数y=x2-2x-3的顶点坐标,对称轴，并画出它的图象.教师提示：通过列表法展示该二次函数的画图过程探究一提问：当x为何值时，y=0?展示列表与图像，启发学生思考图像与x轴的交点，同时y=0时，即是方程x2-2x-3=0的解。
学生用已学知识列表法独立解答，并积极踊跃发言，验证自己的解答结果是否正确。
学生观察图像与列表，思考老师的问题并回答。
通过题目引导学生探究二次函数与一元二次方程的关系，而学生对于简单的题目轻而易举即可解答，增加了自信心的同时，也不知不觉地进入了探究新知的环节。
通过循序渐进的提问与提示，引导学生一步步思考，一步步探索二次函数与一元二次方程的关系。
探究一【例】如图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴有几个交点？交点的横坐标与一元二次方程x2+3x+2=0的根有什么关系？引导并帮学生完善结论：总结：一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴有两个公共点(x1，0)、(x2，0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根x=x1、x=x2 ,反之亦成立. 学生结合上一道习题的解答过程思考，小组讨论解答。
学生通过两道题目的解答，总结出二次函数与一元二次通过启发让学生意识到二次函数与x轴的交点与一元二次方程的根的关系，随即抛物例题让学生自主解答，进一步学习新知。
学生通过自己解答题目找出规律，并自主归纳总结，加深了对变式：变式：不画图象，你能说出函数y=x2+x-6的图象与 x 轴的交点坐标吗？方程的关系。
请一位学生上台解答展示解答过程，其他学生自主解答。
新知的理解，且能培养学生的归纳总结能力、发现规律的能力。
总结新知后及时巩固练习，帮助学生加深理解，增强运用新知解答问题的能力探究二探究二：观察二次函数y=x²-6x+9的图象和二次函数y=x²-2x+3的图象，分别说出一元二次方程x²-6x+9=0和x²-2x+3=0的根的情况.提问：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系?例：用图象法求一元二次方程x²+2x－1= 0 的近似解（精确到0.1）。
二次函数与一元二次方程教案
二次函数与一元二次方程教案教案标题：探索二次函数与一元二次方程教案目标：1. 了解二次函数与一元二次方程的定义和基本性质；2. 掌握解一元二次方程的方法；3. 掌握二次函数的图像特征和性质；4. 能够应用二次函数和一元二次方程解决实际问题。
教案步骤：一、引入（5分钟）1. 利用实例引出学生对于二次函数和一元二次方程的初步认识。
2. 引导学生思考二次函数与一元二次方程的联系，并提出学习的目标。
二、理论讲解（15分钟）1. 介绍二次函数的定义和一般形式，解释二次函数图像的特征。
2. 讲解一元二次方程的定义和一般形式，介绍解一元二次方程的方法。
三、解题演练（20分钟）1. 给学生提供一些简单的一元二次方程，引导学生运用所学方法解题。
2. 给学生提供一些简单的二次函数图像，要求学生根据图像特征写出函数的表达式。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，引导学生将问题转化为一元二次方程，并解答问题。
2. 提供一些实际问题，引导学生根据问题描述绘制对应的二次函数图像，并分析解决问题的方法。
五、总结归纳（10分钟）1. 学生总结二次函数与一元二次方程的基本性质和解题方法。
2. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调学生在课后的复习重点。
六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，要求学生巩固所学的知识和解题方法。
2. 鼓励学生积极思考，提出问题并准备下节课的讨论。
教案评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度；2. 练习题表现：检查学生对于二次函数和一元二次方程的掌握情况；3. 实际问题解决能力：评估学生运用所学知识解决实际问题的能力。
教案扩展：1. 可以引入二次函数的最值问题，进一步拓展学生对于二次函数的理解；2. 可以引入一元二次方程的根与系数之间的关系，加深学生对于一元二次方程的理解。
教案注意事项：1. 确保学生已经掌握一元一次方程的解法和基本概念，为学习二次函数和一元二次方程打下基础；2. 鼓励学生多做练习，加深对于二次函数和一元二次方程的理解；3. 教师要及时给予学生反馈，帮助他们纠正错误和提高解题能力。
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与轴的位置之间有什么联系？） 以＞0为例,如下表所示: △﹥0 △=0
△﹤0
方程无实根
y x x1 x2 o y x x1 =x2 o y x o
思考：当二次函数（﹤0）时，是否也有类似的结论呢？ 探究点二：函数的零点 一元二次方程的的实数根就是二次函数的值为零时自变量的的值， 也就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，因此一元二次方程的的实数 根也称为二次函数 的零点。 一般地，对于函数，把使的实数叫做函数的零点。 函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图象与x轴的交点
的横坐标之间的关系： 函数的零点方程实数根函数的图象与轴的交点横坐标。
探究点三：函数的零点的求解与判定 练习:说出几个具体一元二次方程的根并指出其相应的二次函数的 零点情况：
①方程与函数； ②方程与函数； ③方程与函数 注:(1)函数的零点是数，不是一个点。 （2）并不是所有函数都有零点。 例1、 求证：一元二次函数 有两个零点 小结：函数零点的求解与判断 ①（代数法）求方程 f(x)=0的实数根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x) 的图象联系起来，并 利用函数的性质找出零点．
高一数学二次函数与一元二次方程教案
知识目标:（1）会用判别式的符号解释二次函数图象与x轴交点及一元二 次方程的根。
（2）理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的 大致区间。
能力目标：体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的 数学思想。
情感目标：培养学生积极探索，主动参与，大胆创新，勇于开拓的精神 教学过程: 一、引入 等式是关于的一元二次方程，关系式则是关于自变量的二次函数。今天 我们将进一步研究它们之间的关系。 二、新授 观察思考：
设问2:如果二次函数y＝f(x)的零点是－1和5，如图3，试判断 f(-2)f(0)、f(4)f(6)与0的大小。
设问3:如果不知道二次函数y＝f(x)的零点，但是有f(-2)f(0)<0、
f(4)f(6)<0，我们可以得出什么样的结论？你能否画出它的大致图
像？根据图像你能够得到什么样的式子？（幻灯片）
例2 如图（幻灯片）是一个二次函数的图象。 ⑴写出这个二次函数的零点； ⑵写出这个二次函数的解析式； ⑶试比较，与0的大小关系。
解：⑴由图象可知此函数的零点是：=–3，=1。 ⑵由⑴可设= ∵∴ ∴。 即这个二次函数的解析式为。
⑶∵， ∴﹤0，﹤0。
设问1:已知二次函数f(x)的图象，判断f(-2)、f(0)、f(4)、f(6)与0的大 小；如果开口向下呢？
1、 几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数，如 ①方程与函数； ②方程与函数； ③方程与函数。
研讨探究 问题：一元二次方程的根与二次函数图象和x轴交点坐标有什么关
系？ 探究点一：二次函数图象与一元二次方程根的关系。
⑴以①为例（幻灯片） 结论：一元二次方程的判别式＞0 一元二次方程有两个不相等的实数根
和
和
三、课堂小结
◆函数零点与方程根的联系；
◆一元二次方程根的分布与函数图象之间的关系及处理方法；
◆本节课运用了哪些数学思想方法.
四、作业 课本 P81习题1、2。
备用：若方程在内恰有一解，则的取值范围是（B）
﹤
﹥1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
﹤﹤1
0≤＜1
解：设
由题意得：＜0 ∴＜0解得﹥1 ∴选B
对应的二次函数的图象与轴有两个交点为（3，0），（–1，0）。 （2）再研究②③，能得类似的结论吗？ 结论：一元二次方程判别式=0一元二次方程有两等根对应的二次函数的图
象与轴有唯一的交点为（1，0）。 一元二次方程判别式﹤0 一元二次方程 方程无实数根对
应的二次函数的图象与轴没有交点。 联想发散 2、一元二次方程（＞0）根的个数及其判别式与二次函数（＞0）图象
结论：如果二次函数y=f(x)对于实数m,n,m<n,有f(m)·f(n)<0,则存在x∈
(m,n),使得f(x)=0,即函数在区间(m,n)上有一个零点.
练习:二次函数的部分对应值如下表：
–3 –2 –1 0
1
2
3
4
6
–4 –6 –6 –4
6
不求、、的值，可以判断方程的两根所在的区间是（）
和 和