欧拉路径(欧拉回路)算法
欧拉路径——精选推荐
欧拉路径貌似很多博客都喜欢⽤⼀笔画来引⼊欧拉路径，但像您这样的强者时⽆需那些繁琐的东西，我们直接进⼊正题。
定义：图中经过所有边恰好⼀次的路径叫做欧拉路径。
如果起点和终点⼀样，那它就是欧拉回路。
判定：判定当前图中是否存在欧拉路径其实⽐寻找更⿇烦显然，欧拉回路也是欧拉路径，但为了⽅便区分，下⽂判定中的欧拉路径特指起点和终点不同。
判定⽅法：⾸先，当且仅当这张图将有向边视为⽆向边时联通。
1. 有向图欧拉路径：图中恰好存在⼀个点（起点）出度⽐⼊度多1，恰好⼀个点（终点）⼊度⽐出度多1，剩下所有点⼊度等于出度。
2. 有向图欧拉回路：图中所有点⼊度等于出度（任⼀点都可以做起点和终点）。
3. ⽆向图欧拉路径：图中恰好有两个点的度数为奇数（起点和终点），其他所有点的度数为偶数。
4. ⽆向图欧拉回路：图中所有点的度数都为偶数（任⼀点都可以做起点和终点）。
寻找：算法⼀：Fluery 算法。
时间复杂度O(m2)，不常⽤。
算法⼆：Hierholzer 算法。
时间复杂度O(m)，常⽤。
只写 Hierholzer 算法，做法⾮常简单。
1. 从起点开始dfs，标记选了的边不能重复选，这⾥⽤类似Dinic的当前弧优化。
2. 当前点不存在出边时回退，并将当前点⼊栈P。
3. 当dfs结束时倒序输出栈P中的节点即可。
算法导论上似乎有该算法证明。
例题：题⽬保证联通，所以直接判断⼊度和出度即可。
要求字典序最⼩，那么每次都要选能到达的最⼩的点。
可以将边离线下来按v从⼤到⼩排序，然后依次插⼊到链式前向星⾥，这样可以保证每次选到的都是最⼩的。
当前弧优化不加复杂度就假了。
code:#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define int long long#define in read()inline int read(){int p=0,f=1;char c=getchar();while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){p=p*10+c-'0';c=getchar();}return p*f;}const int N=1e5+5;const int M=2e5+5;int n,m;struct edge{int v,nxt;}e[M];inline void insert(int u,int v){e[++en].v=v;e[en].nxt=head[u];head[u]=en;}struct QWQ{int u,v;}E[M];inline bool cmp(QWQ a,QWQ b){return a.v>b.v;}int p[M],pn;void dfs(int u){for(int i=head[u];i;i=head[u]){int v=e[i].v;head[u]=e[i].nxt;dfs(v);}p[++pn]=u;}int flagin,flagout,flag;int ind[N],outd[N];int S=1;signed main(){n=in,m=in;for(int i=1;i<=m;i++)E[i].u=in,E[i].v=in,outd[E[i].u]++,ind[E[i].v]++;sort(E+1,E+1+m,cmp);for(int i=1;i<=m;i++)insert(E[i].u,E[i].v);for(int i=1;i<=n;i++){if(ind[i]!=outd[i])flag++;if(ind[i]==outd[i]+1)flagout++;if(ind[i]+1==outd[i])flagin++,S=i;}if(flag==0||(flag==2&&flagout==1&&flagin==1)){dfs(S);for(int i=pn;i>=1;i--)cout<<p[i]<<' ';}else cout<<"No";return 0;}练习：将每个字母视为点，单词视为边，就和上⾯差不多了，注意欧拉路径的起始点。
欧拉通路概念
欧拉通路概念欧拉通路是指一条路径，它恰好经过图中每个顶点一次，但不一定经过每条边。
欧拉通路是图论中的一个重要概念，它的研究对于解决一些实际问题具有重要的意义。
欧拉通路的定义欧拉通路是指一条路径，它恰好经过图中每个顶点一次，但不一定经过每条边。
如果一条欧拉通路恰好经过每条边一次，那么这条欧拉通路就是欧拉回路。
欧拉通路的性质欧拉通路有以下性质：1. 如果一个图有欧拉回路，那么这个图是一个连通图。
2. 如果一个图有欧拉通路，那么这个图的所有顶点的度数都是偶数。
3. 如果一个图的所有顶点的度数都是偶数，那么这个图一定有欧拉回路。
4. 如果一个图只有两个顶点的度数是奇数，那么这个图一定有欧拉通路，这个欧拉通路的起点和终点分别是这两个度数为奇数的顶点。
欧拉通路的应用欧拉通路在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在电路设计中，欧拉通路可以用来检测电路中是否存在短路或开路。
在交通规划中，欧拉通路可以用来规划最优的路径。
在生物学中，欧拉通路可以用来研究蛋白质的折叠问题。
欧拉通路的求解欧拉通路的求解可以使用Fleury算法或Hierholzer算法。
Fleury算法是一种贪心算法，它从一个任意的顶点开始，每次选择一个未被访问的边，如果这条边不是桥，那么就可以通过这条边到达一个新的顶点。
如果这条边是桥，那么就必须选择这条边，因为这是唯一的一条可以到达新顶点的边。
Hierholzer算法是一种递归算法，它从一个任意的顶点开始，每次选择一个未被访问的边，然后递归地求解子图的欧拉通路，最后将所有的欧拉通路合并起来。
总结欧拉通路是图论中的一个重要概念，它的研究对于解决一些实际问题具有重要的意义。
欧拉通路有着许多重要的性质，可以用来检测电路中是否存在短路或开路，规划最优的路径，研究蛋白质的折叠问题等。
欧拉通路的求解可以使用Fleury算法或Hierholzer算法。
欧拉回路的算法演示
欧拉图中欧拉回路的算法，演示，及分析
设G为欧拉图，一般来说G中存在若干条欧拉回路，下面介绍两种求欧拉回路的算法。
1．Fleury算法，能不走桥就不走桥：
（1）任取v0∈V(G)，令P0=v0.
（2）设Pi=v0e1v1e2…e i v i已经行遍，按下面方法来从E(G)-{e1,e2,…,e i}中选取e i+1：
（a）e i+1与v i相关联；
（b）除非无别的边可供行遍，否则e i+1不应该为G i=G-{e1,e2,…,e i}中的桥。
（3）当（2）不能再进行时，算法停止。
可以证明，当算法停止时所得简单回路P m=v0e1v1e2…e m v m(v m=v0)为G中一条欧拉回路。
例15.2 图15.4(1)是给定的欧拉图G。
某人用Fleury算法求G中的欧拉回路时，走了简单回路v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2之后(观看他的错误走法)，无法行遍了，试分析在哪步他犯了错误?
解此人行遍v8时犯了能不走桥就不走桥的错误，因而他没行遍出欧拉回路。
当他走到v8时，G-{e2,e3,e14,e10,e1,e8}为图15.4(2)所示。
此时e9为该图中的桥，而e7,e11均不是桥，他不应该走e9，而应该走e7或e11，他没有走，所以犯了错误。
注意，此人在行遍中，在v3遇到过桥e3，v1处遇到过桥e8，但当时除桥外他无别的边可走，所以当时均走了桥，这是不会犯错误的。
弗罗莱(Fleury)算法求欧拉Euler通路回路
{ int a[200],x,i,k=0; LinkQueue Q; InitQueue(Q); EnQueue(Q,0); for(i=0;i<v;i++) a[i]=0; a[0]=1; while(!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q,x); for(i=0;i<v;i++) if(G[x][i]>0) if(a[i]!=1) { a[i]=1; EnQueue(Q,i); }//if }//while for(i=0;i<v;i++) if(a[i]==0) { k=1; break; } if(k==1) return 0;
欧拉图和哈密尔顿图
走过所有的点，并且最后还能回到起点的回 路
哈密尔顿图
定义：通过图G的每个结点一次且仅一次的环称为哈密尔顿环。具 有哈密尔顿环的图称为哈密尔顿图。通过图G的每个结点一次且仅 一次的开路称为哈密尔顿路。具有哈密尔顿路的图称为半哈密尔 顿图。
f：说法语、日语和俄语；
g：说法语和德语.
c f
g
解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边
(即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为
G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以
G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.
解二
c
英
意
e
a
例
半哈密尔顿图
哈密尔顿图 哈密尔顿图
N
周游世界的游戏——的解
哈密顿图
哈密顿图
无哈密顿 通路
哈密顿图
存在哈密 顿通路
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图;
实例
已知有关人员a, b, c, d, e, f, g 的有关信息
a：说英语；
b：说英语或西班牙语；
c；说英语，意大利语和俄语；
a：说英语； b：说英语或西班牙语；
英
德
c；说英语，意大利 语和俄语；
b
g
d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
西
d
日
法
f
如果题目改为：试问这7个人应如何安排座位, 才能使每个人都能与
他身边的人交谈？
解：用结点表示人，用边表示连接的两个人能说讲一种语言，够造
欧拉回路构造算法
欧拉回路构造算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：欧拉回路是图论中的一个重要概念，在一幅图中指的是一条包含图中每一条边且经过每一条边仅一次的闭合路径。
欧拉回路构造算法是指寻找一条欧拉回路的方法，即将给定的图转化为满足欧拉回路性质的路径。
欧拉回路构造算法有多种，其中最为经典和常用的算法是Fleury 算法和Hierholzer算法。
Fleury算法是一种基于贪心思想的算法，其基本思路是每次选择一条不是桥的边，通过DFS搜索来构造欧拉回路。
具体步骤如下：1. 从图中任选一个顶点作为起点。
2. 找到可以走的一条不是桥的边，并走向该边所连接的顶点。
3. 如果该边是割边，则在走完该边后，必须选择一条不是割边的边继续前进。
4. 重复步骤2和步骤3，直到不能走为止。
Fleury算法的时间复杂度为O(E^2)，其中E为图中的边数。
Hierholzer算法是另一种求解欧拉回路的经典算法，其基本思想是通过遍历所有的边来构造欧拉回路。
具体步骤如下：1. 从图中任意一个顶点开始，选择一条边进行遍历。
2. 如果走到某个节点时无法继续行走，则回退到之前分叉点重新选择一条边继续遍历。
3. 直到遍历完所有的边，形成一个闭合回路即为欧拉回路。
欧拉回路构造算法的应用十分广泛，例如在网络设计、图像处理、数据压缩等领域都有着重要的作用。
通过欧拉回路构造算法，我们可以快速有效地找到一条经过所有边的闭合路径，从而解决一系列实际问题。
欧拉回路构造算法是解决图论中欧拉回路问题的重要工具。
不同的算法适用于不同的情况，可以根据具体问题的要求选择合适的算法。
通过学习和了解欧拉回路构造算法，我们可以更好地运用图论知识解决实际问题，提高问题解决的效率和准确性。
希望本文对读者有所帮助，欢迎大家进一步深入学习和探讨。
第二篇示例：欧拉回路构造算法是图论中一种重要的算法，用于寻找图中存在的欧拉回路。
欧拉回路是指一条包含所有边且不重复经过任何边的闭合路径。
在很多实际应用中，欧拉回路是一个非常有用的概念，比如在电子电路的布线设计、网络路由、以及城市旅行等领域都有很多应用。
欧拉图（离散数学）
欧拉图（离散数学）
定义
欧拉回路：通过图中每条边⼀次且仅⼀次，并且过每⼀顶点的回路。
欧拉图：具有欧拉回路的图。
欧拉通路：通过图中每条边⼀次且仅⼀次，并且过每⼀顶点的通路。
半欧拉图：具有欧拉通路⽽⽆欧拉回路的图。
连通：图中从⼀个顶点到达另⼀顶点，若存在⾄少⼀条路径，则称这两个顶点是连通着的。
连通图：⽆向图中，如果任意两个顶点之间都能够连通，则称此⽆向图为连通图。
判断
⽆向图 G 有欧拉通路：图连通，G 中奇度顶点的数⽬为2（分别为欧拉通路的两个端点）。
⽆向图 G 是欧拉回路：图连通，G 中每个顶点都是偶度顶点。
有向图 G 有欧拉通路：图连通，G 中除两个顶点外（起点与终点），其余顶点的⼊度都等于出度。
其中起点的⼊度⽐出度⼩1，终点的⼊度⽐出度⼤1。
有向图 G 有欧拉回路：图连通，G 中所有顶点的⼊度等于出度。
hierholzer算法算法原理
1. Hierholzer算法的基本概念Hierholzer算法是一种用来寻找欧拉回路的经典算法。
它的基本原理是通过遍历图中的所有边，找到一条路径，使得每个节点都被经过且每条边都被遍历到。
欧拉回路是一种经过图中每条边一次且回到起点的路径，这种路径的存在性以及如何找到它一直是图论中的一个经典问题。
2. 经典图的定义在讲解Hierholzer算法的原理之前，我们需要先了解一些经典图的定义。
图是一种由节点和边构成的数据结构，一般用G(V, E)来表示，其中V是节点的集合，E是边的集合。
当图中的每条边都不重复出现且每个节点之间都存在相互连接的边时，称这种图为欧拉图。
而欧拉回路则是在欧拉图的基础上，经过图中每条边一次且回到起点的路径。
3. Hierholzer算法的基本思路在讲解Hierholzer算法的具体原理之前，我们先来了解一下它的基本思路。
Hierholzer算法的基本思路是利用递归的方式来在欧拉图中寻找欧拉回路。
它的核心是通过拆边和回溯的方式，找到一条满足条件的路径，并将其合并成一条欧拉回路。
4. Hierholzer算法的具体步骤Hierholzer算法的具体步骤可以大致分为以下几个步骤：- 从图中任意选取一个节点作为起点，将其入栈。
- 对起点进行深度优先遍历，直到遇到没有未访问的边的节点，将节点加入到路径中。
- 如果当前节点的邻接节点还有未访问的边，则将当前节点入栈，并选择一个邻接节点作为下一个起点进行深度优先遍历。
- 如果当前节点的邻接节点都已经访问完，则将该节点加入到路径末尾，并将栈中的节点依次加入到路径中，直到找到一个出边没有访问的节点。
- 重复以上步骤直到所有的边都被经过。
5. Hierholzer算法的应用Hierholzer算法在实际生活中有很多应用，比如在网络路由系统中寻找最优路径、在交通规划中寻找最优车辆行驶路线等。
另外，在图论研究中，Hierholzer算法也被广泛应用于求解欧拉回路的问题，并且它的时间复杂度相对较低，适用于大规模的图。
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欧拉路径（欧拉回路）相关定义：
若图G中存在这样一条路径，使得它恰通过G中每条边一次,则称该路径为欧拉路径。
若该路径是一个圈，则称为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。
具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。
判断图是否为欧拉图：
无向图为欧拉图，当且仅当为连通图且所有顶点的度为偶数。
无向图为半欧拉图，当且仅当为连通图且除了两个顶点的度为奇数之外，其它所有顶点的度为偶数。
有向图为欧拉图，当且仅当其基图（忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图）连通，且所有顶点的入度等于出度。
有向图为半欧拉图，当且仅当其基图连通，且有且仅有一个顶点的入度比出度大1、有且仅有一个顶点的入度比出度小1，其它所有顶点的入度等于出度。
欧拉回路（路径）的算法：
有向图：
第一步，判断是否存在欧拉路径（欧拉回路），如果不存在，算法结束。
第二步，如果存在欧拉路径，从入度比出度小1的点开始BFS；如果存在欧拉回路，从任意一点开始。
第三步，设DFS到点u，遍历u的出边e(u,v)。
第四步，如果e未被标记，转到第五步，否则转到第三步。
第五步，标记e(u,v)，DFS点v。
第六步，边e(u,v)入栈。
第七步，完成DFS后，从栈顶顺序输出边构成一个欧拉路径（欧拉回路）。
无向图：
第一步，判断是否存在欧拉路径（欧拉回路），如果不存在，算法结束。
第二步，如果存在欧拉路径，从度为奇数的点开始BFS；如果存在欧拉回路，从任意一点开始。
第三步，设DFS到点u，遍历u的出边e(u,v)。
第四步，如果e未被标记，转到第五步，否则转到第三步。
第五步，标记e(u,v)及它的反向边，DFS点v。
第六步，边e(u,v)入栈。
第七步，完成DFS后，从栈顶顺序输出边构成一个欧拉路径（欧拉回路）。
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