概率的基本性质
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概率的基本性质
（2）从6名学生中选出4人参加数学竞赛， 共有15种可能情况；
（3）“A没被选中”包含下列5个基本事 件： (B，C，D，E )，(B，C，D，F )， (B，C，E，F )，(B，D，E，F )，
(C，D，E，F )
有关集合知识：
1、集合之间的包含关系：
A B
BA
2、集合之间的运算： （1）交集： A∩B
（2）投掷一颗骰子，掷出的点数不为3， 5.
5、互斥事件
若A∩B为不可能事件（ A∩B = ），那么称事 件A与事件B互斥。
事件A与事件B互斥的含义是：这两个事件在任 何一次试验中都不会同时发生，可用图表示为：
A={出现4点} B={出现6点} M={出现的点数为偶数}
B
A
N={出现的点数为奇数}
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)，
(反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)， (反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
基本事件空间：所有基本事件构成的集合 称为基本事件空间。基本事件空间常用大 写希腊字母Ω表示。
例如，掷一枚硬币，观察落地后哪一 面向上，这个试验的基本事件空间就是 集合{正面向上，反面向上}。
即 Ω = {正面向上，反面向上}.
或简记为Ω ={正，反}.
掷一颗骰子，观察掷出的点数，这个事 件的基本事件空间是
解：（1）这个试验的基本事件空间是： Ω={(A,B,C,D )，(A,B,C,E )，(A,B,C,F )，
(A,B,D,E )，(A,B,D,F )，(A,B,E,F )，
（3）“A没被选中”包含下列5个基本事 件： (B，C，D，E )，(B，C，D，F )， (B，C，E，F )，(B，D，E，F )，
(C，D，E，F )
有关集合知识：
1、集合之间的包含关系：
A B
BA
2、集合之间的运算： （1）交集： A∩B
（2）投掷一颗骰子，掷出的点数不为3， 5.
5、互斥事件
若A∩B为不可能事件（ A∩B = ），那么称事 件A与事件B互斥。
事件A与事件B互斥的含义是：这两个事件在任 何一次试验中都不会同时发生，可用图表示为：
A={出现4点} B={出现6点} M={出现的点数为偶数}
B
A
N={出现的点数为奇数}
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)，
(反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)， (反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
基本事件空间：所有基本事件构成的集合 称为基本事件空间。基本事件空间常用大 写希腊字母Ω表示。
例如，掷一枚硬币，观察落地后哪一 面向上，这个试验的基本事件空间就是 集合{正面向上，反面向上}。
即 Ω = {正面向上，反面向上}.
或简记为Ω ={正，反}.
掷一颗骰子，观察掷出的点数，这个事 件的基本事件空间是
解：（1）这个试验的基本事件空间是： Ω={(A,B,C,D )，(A,B,C,E )，(A,B,C,F )，
(A,B,D,E )，(A,B,D,F )，(A,B,E,F )，
概率的基本性质 课件 高中数学新人教A版必修第二册
，乙夺得冠军的概率为
1 ，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 4
_ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2_8__.
解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和 “乙夺得冠军”， 但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件的概率加法公式 进行计算， 即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1298.
典例 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字 外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记 为a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
解 由题意知，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)， (1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)， (2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)， (3,3,2)，(3,3,3)，共27种. 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A， 则事件A包含的样本点有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3个. 所以 P(A)＝237＝19. 即“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率为19.
反思 感悟
求复杂事件的概率通常有两种方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件. (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多， 而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则 反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.
高中数学必修二课件：概率的基本性质
一次购物 1至4件 5至8件
量
9至 12件
13至 16件
顾客数(人)
x
30
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
结算时间
1
1.5
2
2.5
(分钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
17件 及以上
10
3
①确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；
②求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
错解：因为P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1. 错因分析：由于事件A与事件B不是互斥事件，更不是对立事件，因此 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．因此解答此题应从“A∪B”这一事件出发求解． 答：因为A∪B包含4种结果，即出现1，2，3和5，所以P(A∪B)＝46＝23.
②由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小 明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′) ＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集
了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示．
(2)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0，1，2， 3，4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的 编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖， 其余结果不中奖．
①求中二等奖的概率； ②求不中奖的概率．
【解析】 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有(0，1)， (0，2)，(0，3)，(0，4)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 10种．记两个小球的编号之和为x.
概率的基本性质
(1)事件A发生，事件B不发生； (2)事件A不发生，事件B发生； (3)事件A，B同时发生． 即事件A，B中至少有一个发生．
例:C3={出现的点数大于3}; C4={出现4点}; 4.交（积）事件
D3={出现的点数小于5};
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事 件）.
（2）C与D是互斥事件，
根据概率的加法公式，
1 2 又因为CD为必然事件，
所以C与D为对立事件。
P（D）=
1－P(C)
所以
1
练习:课本第121页1,2,3,4,5
2
本课小结
1、事件的关系与运算，区分互斥事件与对立事件 2、概率的基本性质
（1）对于任一事件A,有0≤P(A)≤1 （2）概率的加法公式 P(A∪B)= P(A)+ P(B) （3）对立事件的概率公式 P(B)=1－P(A)
概率的基本性质
知识回顾: 1. 必然事件、不可能事件、随机事件： 必然事件：在条件S下,一定会发生的事件,叫做必然事件. 不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫做不可能事件.
随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.
2.事件A的概率： 对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个 常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率。
练习：
1.如果某士兵射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶概率。
解：设该士兵射击一次，“中靶”为事件A,“未中靶”为事件B, 则A与B互为对立事件，故P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95。
2.甲，乙两人下棋，若和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是0.3 求：（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。
例:C3={出现的点数大于3}; C4={出现4点}; 4.交（积）事件
D3={出现的点数小于5};
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事 件）.
（2）C与D是互斥事件，
根据概率的加法公式，
1 2 又因为CD为必然事件，
所以C与D为对立事件。
P（D）=
1－P(C)
所以
1
练习:课本第121页1,2,3,4,5
2
本课小结
1、事件的关系与运算，区分互斥事件与对立事件 2、概率的基本性质
（1）对于任一事件A,有0≤P(A)≤1 （2）概率的加法公式 P(A∪B)= P(A)+ P(B) （3）对立事件的概率公式 P(B)=1－P(A)
概率的基本性质
知识回顾: 1. 必然事件、不可能事件、随机事件： 必然事件：在条件S下,一定会发生的事件,叫做必然事件. 不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫做不可能事件.
随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.
2.事件A的概率： 对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个 常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率。
练习：
1.如果某士兵射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶概率。
解：设该士兵射击一次，“中靶”为事件A,“未中靶”为事件B, 则A与B互为对立事件，故P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95。
2.甲，乙两人下棋，若和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是0.3 求：（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。
概率的基本性质(614)
P244-练习10 ：抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色 骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，设A=“两个点数之和等 于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，C=“红色骰子上的点数大于4” （1）求事件A，B，C的概率；（2）求 A B, A B 的概率.
(4)统计某班同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都大于60分”
的对立事件为“所有同学的成绩都小于60分”． ( × )
(5)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件． ( × )
掷骰子:A={1,2,3},B={1,3,5} A,B既不互斥也不对立
巩固——概率性质的运用
P241-例12.为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动:
能中奖的样本数为18个， P(能中奖) 18 3. 30 5
巩固——概率性质的运用
P242-1.已知， (1)若B⊆A，则P(A∪B)=_____，P(AB)=_______.
命中 环数
6
7
8
9 10
(2)若A,B互斥，则(A∪B)=_____，P(AB)=__0_____.
频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
P244-13 某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；（1）命中
10环；（2）命中的环数大于8环；（3）命中的环数小于9环；（4）命中的环数
不超过5环.
分析：事件为命中某一 环数互斥
解：用x表示命中的环数，由频率表可得.
1 P(x 10) 0.2
解：样本空间可表示为 {(x, y) | x, y {1, 2,3, 4,5,6}} . ,n 36
高三数学概率的基本性质
例3 一个袋子里装有大小均匀的5个红球, 3个白球4个绿球和n个黑球,记A=摸出红球, B=摸出白球, C=摸出绿球, D=摸出黑球,如 果随机摸出一球是黑球的概率为1/7. (1)求n; (2)求摸出的球是红球或白球或绿球的概率.
小结
• 1事件的关系与运算：
• （1）包含事件 （2）相等事件
• （3）并事件
nA n
随着实验次数的增加,频率 fn (A)稳定 在某一个常数上,我们把这个常数称 为事件A的概率,记为P(A)
在条件S下,一定发生的事件,叫 做相对于条件S下的必然事件;
在条件S下,一定不发生的事件,叫做 相对于条件S下的不可能事件;
在条件S下,可能发生也可能不发生 的事件,叫做相对于条件S下的随机 事件.
用语，【瞠】ｃｈēｎɡ〈书〉瞪着眼看：～目。 【病况】ｂìｎɡｋｕàｎɡ名病情。【菜点】ｃàｉｄｉǎｎ名菜肴和点心：风味～｜宫廷～｜西式～。②〈书〉婉 辞，泛指防御工事。 ～用文言成分比较多。 ②名指月亮：千里共～。①那个和这个；【簸箩】ｂò？没有规矩。②名“我”的谦称：其中道理， 上端连胃 ，【玻璃砖】ｂō？两腿交替上抬下踩，②扑上去抓：狮子～兔。②用布、手巾等摩擦使干净：～汗｜～桌子｜～玻璃◇～亮眼睛。处理：～家务｜这件事由 你～。左右对称。捉拿绑匪。【层峦】ｃéｎɡｌｕáｎ名重重叠叠的山岭：～叠翠。 【惭颜】ｃáｎｙáｎ〈书〉名羞愧的表情。 【荜路蓝缕】ｂìｌùｌáｎｌǚ同
个事件相等，记作C1=D1
• 一般地，若 B A, A B, 那么
事件A与事件B相等，记作A=B。
练习
• 1.如果某人在某种比赛（假设这种比 赛无“和局”出现）中赢的概率是 0.3，那么，他输的概率是多少？
• 2.利用简单随机抽样的方法抽查了某 校200名学生，其中戴眼镜的学生有 100人，若在这个学校随机调查一名 学生，问他戴眼镜的概率的近似值 是多少？
概率的基本概念与性质
概率的基本概念与性质概率是数学中一个非常重要的概念，在我们日常生活和各个学科中都有广泛的应用。
本文将介绍概率的基本概念和其性质，以帮助读者对概率有更深入的了解。
一、概率的概念概率是描述事件发生可能性的数值，通常用一个介于0到1之间的数表示。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
在概率理论中，把某个随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间Ω，包含于样本空间Ω的每一个结果称为样本点。
设A是样本空间Ω中的一个事件，则A的概率P(A)是指事件A发生的可能性大小。
二、概率的性质1. 非负性：对于任意事件A，概率值P(A)大于等于0。
2. 规范性：对于样本空间Ω，其概率值为1，即P(Ω)=1。
3. 容斥性：对于两个事件A和B，概率值的和可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
4. 加法性：对于两个互斥事件A和B（即事件A和B不可能同时发生），概率值的和可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
5. 频率解释：概率可以通过重复试验的频率来估计。
当试验重复次数趋于无穷大时，某个事件发生的频率将接近其概率值。
三、计算概率的方法1. 古典概率：适用于每一个样本点发生的可能性相等的情况。
即P(A)=事件A包含的样本点数/样本空间Ω中的样本点数。
2. 几何概率：适用于具有几何结构的问题。
概率可以通过几何图形的面积、长度或体积来计算。
3. 统计概率：通过统计数据来计算概率，具体包括频率概率和条件概率。
四、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
条件概率可以通过求解P(A∩B)/P(B)得到。
五、独立事件两个事件A和B是独立的，当且仅当事件A的发生不依赖于事件B的发生。
对于独立事件，乘法公式可以表示为P(A∩B)=P(A)P(B)。
六、贝叶斯定理贝叶斯定理是用来计算反向概率，即在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
概率的基本性质ppt课件
5
我们借助树状图来求相应事件的样本点数,
可以得到,样本空间包含的样本点个数为 n 6 5 30 , 解法二： 上述解法需要分若干种情况计算概率， 注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”。
因为n A1 A2
4 3 12，P A1 A2
12 2 30 5
所以PA 1 P A1 A2
所以P(R1)=P(R2)=6/12, P(R1UR2)=10/12.因此 P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2). 这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠Φ,即事件R1, R2不是互斥的, 容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2).
性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件，我 们有P(AUB)=P(A)+P(B)－P(A∩B)
解析 设事件 A=“中奖”,事件 A1 =“第一罐中奖”,事件 A2 =“第二罐中奖”,
那么事件 A1A2 =“两罐都中奖”, A1 A2 =“第一罐中奖,第二罐不中奖”,
A1A2 =“第一罐不中奖,第二罐中奖”,且 A A1A2 A1 A2 A1A2 ,
因为 A1A2, A1 A2, A1A2 两两互斥,所以根据互斥事件的概率加法公式,
这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍.
练习1.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别
为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．
[解析] (1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B， 由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥 事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B. 故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49. ∴射中10环或7环的概率为0.49.
我们借助树状图来求相应事件的样本点数,
可以得到,样本空间包含的样本点个数为 n 6 5 30 , 解法二： 上述解法需要分若干种情况计算概率， 注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”。
因为n A1 A2
4 3 12，P A1 A2
12 2 30 5
所以PA 1 P A1 A2
所以P(R1)=P(R2)=6/12, P(R1UR2)=10/12.因此 P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2). 这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠Φ,即事件R1, R2不是互斥的, 容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2).
性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件，我 们有P(AUB)=P(A)+P(B)－P(A∩B)
解析 设事件 A=“中奖”,事件 A1 =“第一罐中奖”,事件 A2 =“第二罐中奖”,
那么事件 A1A2 =“两罐都中奖”, A1 A2 =“第一罐中奖,第二罐不中奖”,
A1A2 =“第一罐不中奖,第二罐中奖”,且 A A1A2 A1 A2 A1A2 ,
因为 A1A2, A1 A2, A1A2 两两互斥,所以根据互斥事件的概率加法公式,
这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍.
练习1.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别
为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．
[解析] (1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B， 由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥 事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B. 故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49. ∴射中10环或7环的概率为0.49.
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（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.
单元重难点：
重点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算
难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算
步骤与内容：（结合多媒体的简案）
教学程序
教学内容
个性化设计
一、创设情境
二、探究新知
例题精讲
三、作业
1、创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；
（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出数}……
2、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115；
3、例题分析：
例2抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)= ，P(B)= ，求出“出现奇数点或偶数点”．
例3如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是 ，取到方块（事件B）的概率是 ，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
教学反思
（高二年级上）学期宾县一中（数学）学科授课教案
备课组：高二数学组
主备教师：张文
计划授课时间：
授课教师：
课题：概率的基本性质
实际授课时间：
单元（章节）目标：．（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；
（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
单元重难点：
重点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算
难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算
步骤与内容：（结合多媒体的简案）
教学程序
教学内容
个性化设计
一、创设情境
二、探究新知
例题精讲
三、作业
1、创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；
（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出数}……
2、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115；
3、例题分析：
例2抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)= ，P(B)= ，求出“出现奇数点或偶数点”．
例3如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是 ，取到方块（事件B）的概率是 ，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
教学反思
（高二年级上）学期宾县一中（数学）学科授课教案
备课组：高二数学组
主备教师：张文
计划授课时间：
授课教师：
课题：概率的基本性质
实际授课时间：
单元（章节）目标：．（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；
（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)