直接插入排序算法
排序算法数学公式(一)
排序算法数学公式(一)排序算法数学公式内容概述本文主要介绍排序算法中常用的数学公式，并通过示例解释其应用。
排序算法是计算机科学中的重要内容，用于将一组元素按照特定的顺序进行排列。
数学公式在排序算法的设计和复杂度分析中起着重要的作用。
1. 插入排序直接插入排序直接插入排序的数学公式如下：T_{\text{insert}} = \frac{n^2}{4}其中，T_insert表示直接插入排序的时间复杂度，n表示待排序元素的个数。
示例：对于以下数组[5, 2, 4, 6, 1, 3]进行直接插入排序，可以按照以下步骤进行：1.初始状态：[5, 2, 4, 6, 1, 3]2.第一趟排序：[2, 5, 4, 6, 1, 3]3.第二趟排序：[2, 4, 5, 6, 1, 3]4.第三趟排序：[2, 4, 5, 6, 1, 3]5.第四趟排序：[2, 4, 5, 6, 1, 3]6.第五趟排序：[1, 2, 4, 5, 6, 3]7.第六趟排序：[1, 2, 3, 4, 5, 6]经过6趟排序，数组变为有序。
根据插入排序的时间复杂度公式，当n=6时，T_{\text{insert}} = \frac{6^2}{4} = 9，所以直接插入排序的时间复杂度为O(n^2)。
希尔排序希尔排序的数学公式如下：T_{\text{shell}} = O(n^{\frac{4}{3}})其中，T_shell表示希尔排序的时间复杂度，n表示待排序元素的个数。
示例：对于以下数组[5, 2, 4, 6, 1, 3]进行希尔排序，可以按照以下步骤进行：1.初始状态：[5, 2, 4, 6, 1, 3]2.第一轮排序，步长为3：[3, 2, 4, 6, 1, 5]3.第二轮排序，步长为2：[1, 2, 4, 3, 6, 5]4.第三轮排序，步长为1：[1, 2, 3, 4, 5, 6]经过3轮排序，数组变为有序。
根据希尔排序的时间复杂度公式，当n=6时，T_{\text{shell}} = O(6^{\frac{4}{3}}) \approxO()，所以希尔排序的时间复杂度为O(n^4/3)。
源代码--数据结构与算法(Python版)chap10 排序
交换类
（2）快速排序 快速排序采用分而治之(Divide and Conquer)
的策略将问题分解成若干个较小的子问题，采用 相同的方法一一解决后，再将子问题的结果整合 成最终答案。快速排序的每一轮处理其实就是将 这一的基准数定位，直到所有的数都排序完成 为止。
21
快速排序的基本步骤：
1. 选定一个基准值（通常可选第一个元素）； 2. 将比基准值小的数值移到基准值左边，形
14
• 交换类
交换类排序的基本思想是：通过交换无序序列 中的记录得到其中关键字最小或最大的记录，并将 其加入到有序子序列中，最终形成有序序列。交换 类排序可分为冒泡排序和快速排序等。
15
交换类
（1）冒泡排序 两两比较待排序记录的关键字，发现两
个记录的次序相反时即进行交换，直到没有 反序的记录为止。因为元素会经由交换慢慢 浮到序列顶端，故称之为冒泡排序。
3. 最后对这个组进行插入排序。步长的选法 一般为 d1 约为 n/2，d2 为 d1 /2， d3 为 d2/2 ，…， di = 1。
11
【例】给定序列（11，9，84，32，92，26，58，91，35， 27，46，28，75，29，37，12 ），步长设为d1 =5、d2 =3、 d3 =1，希尔排序过程如下：
for i in range(1,len(alist)):
#外循环n-1
for j in range(i,0,-1):
#内循环
if alist[j]<alist[j-1]:
alist[j],alist[j-1]=alist[j-1],alist[j] #交换
li=[59,12,77,64,72,69,46,89,31,9] print('before: ',li) insert_sort(li) print('after: ',li)
几种排序的算法时间复杂度比较
几种排序的算法时间复杂度比较1.选择排序：不稳定，时间复杂度 O(n^2)选择排序的基本思想是对待排序的记录序列进行n-1遍的处理，第i遍处理是将L[i..n]中最小者与L[i]交换位置。
这样，经过i遍处理之后，前i个记录的位置已经是正确的了。
2.插入排序：稳定，时间复杂度 O(n^2)插入排序的基本思想是，经过i-1遍处理后,L[1..i-1]己排好序。
第i遍处理仅将L[i]插入L[1..i-1]的适当位置，使得L[1..i] 又是排好序的序列。
要达到这个目的，我们可以用顺序比较的方法。
首先比较L[i]和L[i-1]，如果L[i-1]≤ L[i]，则L[1..i]已排好序，第i遍处理就结束了；否则交换L[i]与L[i-1]的位置，继续比较L[i-1]和L[i-2]，直到找到某一个位置j(1≤j≤i-1)，使得L[j] ≤L[j+1]时为止。
图1演示了对4个元素进行插入排序的过程，共需要(a),(b),(c)三次插入。
3.冒泡排序：稳定，时间复杂度 O(n^2)冒泡排序方法是最简单的排序方法。
这种方法的基本思想是，将待排序的元素看作是竖着排列的“气泡”，较小的元素比较轻，从而要往上浮。
在冒泡排序算法中我们要对这个“气泡”序列处理若干遍。
所谓一遍处理，就是自底向上检查一遍这个序列，并时刻注意两个相邻的元素的顺序是否正确。
如果发现两个相邻元素的顺序不对，即“轻”的元素在下面，就交换它们的位置。
显然，处理一遍之后，“最轻”的元素就浮到了最高位置；处理二遍之后，“次轻”的元素就浮到了次高位置。
在作第二遍处理时，由于最高位置上的元素已是“最轻”元素，所以不必检查。
一般地，第i遍处理时，不必检查第i高位置以上的元素，因为经过前面i-1遍的处理，它们已正确地排好序。
4.堆排序：不稳定，时间复杂度 O(nlog n)堆排序是一种树形选择排序，在排序过程中，将A[n]看成是完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系来选择最小的元素。
排序算法分析和比较
一、设计思想排序是数据处理中使用频率很高的一种操作，是数据查询之前需要进行的一项基础操作。
它是将任意序列的数据元素（或记录）按关键字有序（升序或降序）重新排列的过程。
排序的过程中有两种基本操作：一是比较两个关键字的值；二是根据比较结果移动记录位置。
排序的算法有很多种，这里仅对插入排序、选择排序、希尔排序、归并排序和快速排序作了比较。
直接插入排序算法基本思路：直接插入排序时将一个元素插入已排好的有序数组中，从而得到一个元素个数增加1的新的有序数组。
其具体实现过程是，将第i个元素与已经排好序的i-1个元素依次进行比较，再将所有大于第i个元素的元素后移一个位置，直到遇到小于或等于第i个元素，此时该元素的后面一个位置为空，将i元素插入此空位即可。
选择排序算法基本思路：定义两个数组sela[]和temp[]，sela[]用来存放待排序数组，temp[]用来存放排好序的数组。
第一趟，将sela[]数组中n个元素进行比较，找出其中最小的元素放入temp[]的第一个位置，同时将sela[]中将该元素位置设置为无穷大。
第二趟，将sela[]数组中n个元素进行比较，找出其中最小的元素放入temp[]的第二个位置，同时将sela[]中将该元素位置设置为无穷大。
以此类推，n趟后将sela[]中所有元素都已排好序放入temp[]数组中。
希尔排序算法基本思路：希尔排序又称为变长步径排序，它也是一种基于插入排序的思想。
其基本思路是，定义一个步长数组gaps[1,5,13,43……]，先选取合适的大步长gap将整个待排序的元素按步长gap分成若干子序列，第一个子序列的元素为a[0]、a[0+gap]、a[0+2gap]……a[0+k*gap];第二列为a[1]、a[1+gap]、a[1+2gap]……a[1+k*gap]；……。
然后，对这些子序列分别进行插入排序，然后将gap按gaps[]数组中的步长缩小，按缩小后的步长再进行子序列划分排序，再减小步长直到步长为1为止。
用Java实现常见的8种内部排序算法
⽤Java实现常见的8种内部排序算法⼀、插⼊类排序插⼊类排序就是在⼀个有序的序列中，插⼊⼀个新的关键字。
从⽽达到新的有序序列。
插⼊排序⼀般有直接插⼊排序、折半插⼊排序和希尔排序。
1. 插⼊排序1.1 直接插⼊排序/*** 直接⽐较，将⼤元素向后移来移动数组*/public static void InsertSort(int[] A) {for(int i = 1; i < A.length; i++) {int temp = A[i]; //temp ⽤于存储元素，防⽌后⾯移动数组被前⼀个元素覆盖int j;for(j = i; j > 0 && temp < A[j-1]; j--) { //如果 temp ⽐前⼀个元素⼩，则移动数组A[j] = A[j-1];}A[j] = temp; //如果 temp ⽐前⼀个元素⼤，遍历下⼀个元素}}/*** 这⾥是通过类似于冒泡交换的⽅式来找到插⼊元素的最佳位置。
⽽传统的是直接⽐较，移动数组元素并最后找到合适的位置*/public static void InsertSort2(int[] A) { //A[] 是给定的待排数组for(int i = 0; i < A.length - 1; i++) { //遍历数组for(int j = i + 1; j > 0; j--) { //在有序的序列中插⼊新的关键字if(A[j] < A[j-1]) { //这⾥直接使⽤交换来移动元素int temp = A[j];A[j] = A[j-1];A[j-1] = temp;}}}}/*** 时间复杂度：两个 for 循环 O(n^2)* 空间复杂度：占⽤⼀个数组⼤⼩，属于常量，所以是 O(1)*/1.2 折半插⼊排序/** 从直接插⼊排序的主要流程是：1.遍历数组确定新关键字 2.在有序序列中寻找插⼊关键字的位置* 考虑到数组线性表的特性，采⽤⼆分法可以快速寻找到插⼊关键字的位置，提⾼整体排序时间*/public static void BInsertSort(int[] A) {for(int i = 1; i < A.length; i++) {int temp = A[i];//⼆分法查找int low = 0;int high = i - 1;int mid;while(low <= high) {mid = (high + low)/2;if (A[mid] > temp) {high = mid - 1;} else {low = mid + 1;}}//向后移动插⼊关键字位置后的元素for(int j = i - 1; j >= high + 1; j--) {A[j + 1] = A[j];}//将元素插⼊到寻找到的位置A[high + 1] = temp;}}2. 希尔排序希尔排序⼜称缩⼩增量排序，其本质还是插⼊排序，只不过是将待排序列按某种规则分成⼏个⼦序列，然后如同前⾯的插⼊排序⼀般对这些⼦序列进⾏排序。
24种插入法
24种插入法24种插入法是一种优化排序算法，它的基本思想是将一个列表分为已排序区间和未排序区间，每次从未排序区间取出一个元素，插入到已排序区间的正确位置，使已排序区间保持有序。
在这个过程中，相邻元素的比较和交换次数都很少，所以可以提高排序的效率。
此外，24种插入法还有一些变体，可以根据不同情况选用相应的插入法，达到更好的排序效果。
以下是24种插入法的详细介绍：1. 直接插入排序直接插入排序是最简单的插入法，它将未排序元素插入到已排序区间合适的位置。
时间复杂度为O(n²)，空间复杂度为O(1)。
2. 折半插入排序折半插入排序是对直接插入排序的优化，它采用二分查找的方式找到插入位置。
时间复杂度为O(n²)，空间复杂度为O(1)。
3. 希尔排序希尔排序是一种针对直接插入排序的改进，它将列表按照一定步长分组，每个子列表采用直接插入排序，随着步长逐渐缩小，最终变为一组，完成排序。
时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(1)。
4. 二路插入排序二路插入排序是对直接插入排序的改进，它采用两个指针，在有序区间之前和之后分别插入未排序元素。
时间复杂度为O(n²)，空间复杂度为O(1)。
5. 多关键词插入排序多关键词插入排序是针对多关键词排序的优化，它将排序条件拆分为多个关键词，分别进行插入排序。
时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(1)。
6. 基数插入排序基数插入排序是对基数排序的优化，它使用插入法对每个桶内的元素进行排序，并合并桶内已排序的元素。
时间复杂度为O(dn)，空间复杂度为O(max)。
7. 大小插入排序大小插入排序是对多关键词排序的优化，它根据元素的大小关系建立排序树，对树进行遍历并插入已排序区间。
时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(nlogn)。
8. 块插入排序块插入排序是对桶排序的优化，它将待排序元素分为若干块，分别进行插入排序，再将已排序块合并。
排序算法实验报告
数据结构实验报告八种排序算法实验报告一、实验内容编写关于八种排序算法的C语言程序，要求包含直接插入排序、希尔排序、简单项选择择排序、堆排序、冒泡排序、快速排序、归并排序和基数排序。
二、实验步骤各种内部排序算法的比较：1.八种排序算法的复杂度分析〔时间与空间〕。
2.八种排序算法的C语言编程实现。
3.八种排序算法的比较，包括比较次数、移动次数。
三、稳定性，时间复杂度和空间复杂度分析比较时间复杂度函数的情况：时间复杂度函数O(n)的增长情况所以对n较大的排序记录。
一般的选择都是时间复杂度为O(nlog2n)的排序方法。
时间复杂度来说：(1)平方阶(O(n2))排序各类简单排序:直接插入、直接选择和冒泡排序；(2)线性对数阶(O(nlog2n))排序快速排序、堆排序和归并排序；(3)O(n1+§))排序,§是介于0和1之间的常数。
希尔排序(4)线性阶(O(n))排序基数排序，此外还有桶、箱排序。
说明：当原表有序或基本有序时，直接插入排序和冒泡排序将大大减少比较次数和移动记录的次数，时间复杂度可降至O〔n〕；而快速排序则相反，当原表基本有序时，将蜕化为冒泡排序，时间复杂度提高为O〔n2〕；原表是否有序，对简单项选择择排序、堆排序、归并排序和基数排序的时间复杂度影响不大。
稳定性：排序算法的稳定性:假设待排序的序列中，存在多个具有相同关键字的记录，经过排序，这些记录的相对次序保持不变，则称该算法是稳定的；假设经排序后，记录的相对次序发生了改变，则称该算法是不稳定的。
稳定性的好处：排序算法如果是稳定的，那么从一个键上排序，然后再从另一个键上排序，第一个键排序的结果可以为第二个键排序所用。
基数排序就是这样，先按低位排序，逐次按高位排序，低位相同的元素其顺序再高位也相同时是不会改变的。
另外，如果排序算法稳定，可以防止多余的比较；稳定的排序算法：冒泡排序、插入排序、归并排序和基数排序不是稳定的排序算法：选择排序、快速排序、希尔排序、堆排序四、设计细节排序有内部排序和外部排序，内部排序是数据记录在内存中进行排序，而外部排序是因排序的数据很大，一次不能容纳全部的排序记录，在排序过程中需要访问外存。
《直接插入排序》课件
感谢观看！
1 信息
更多信息和算法请访问 我们的网站。
2 学习
访问我们的课程和图书 来提升你的技能。
3 代码
查看我们的代码库，学 习更多关于算法和数据 件
欢迎来到这个课件！在这个课件里，我们将会学习关于直接插入排序的一些 基础知识。
什么是直接插入排序？
简介
直接插入排序是一种简单 的排序算法。
适用场景
通常用于对少量元素进行 排序。
核心思想
通过不断比较和移动元素， 将一个无序的数列变为有 序。
工作原理
1
已排序的元素
从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序。
2
寻找插入位置
取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描。
3
后移元素
如果被扫描的元素（已排序）大于新元素，将该元素后移一位。
4
插入新元素
重复步骤 3 直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置。将新元素插入到该位 置后。
示例代码
Java 代码
在 Java 中实现直接插入算法。 我们可以通过使用上述代码实现直接插入排序。
时间复杂度
1 最好情况
2 最坏情况
时间复杂度为 O(n)。
时间复杂度为 O(n²)。
直接插入排序的时间复杂度取决于排序数据的初始顺序。
总结
优点
简单而有效，适用于排序少量元素。
缺点
时间复杂度为平方级别，不适合排序大量元素。
思考
你认为还有哪些实际应用可以使用直接插入排序？
常见的排序算法
几种排序算法的比较
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
i=5
38
38
49
65
97
76
13
27
49
i
直接插入排序算法演示
void InsertSort(SqList &L) {//对顺序表L做直接插入排序 for(i=2;i<=L.length;++i) if(L.r[i].key<L.r[i-1].key)//待排序记录关键字<有序序列最后一个记录关键字 { L.r[0] =L.r[i];//待排序记录复制为哨兵 L.r[i]=L.r[i-1]; for(j=i-2;LT(L.r[0].key,L.r[j].key);--j)//记录后移 L.r[j+1]=L.r[j]; L.r[j+1]=L.r[0];//R[i]插入到正确位置 } }
0 1 2 3 4 5 6 7 8
i=5
76
38
49
65
97
76
13
27
49
i
直接插入排序算法演示
void InsertSort(SqList &L) {//对顺序表L做直接插入排序 for(i=2;i<=L.length;++i) if(L.r[i].key<L.r[i-1].key)//待排序记录关键字<有序序列最后一个记录关键字 { L.r[0] =L.r[i];//待排序记录复制为哨兵 L.r[i]=L.r[i-1]; for(j=i-2;LT(L.r[0].key,L.r[j].key);--j)//记录后移 L.r[j+1]=L.r[j]; L.r[j+1]=L.r[0];//R[i]插入到正确位置 } }
0 1 2 3 4 5 6 7 8
i=2
38
49
49
65
97
76
13
27
49
i
直接插入排序算法演示
void InsertSort(SqList &L) {//对顺序表L做直接插入排序 for(i=2;i<=L.length;++i) if(L.r[i].key<L.r[i-1].key)//待排序记录关键字<有序序列最后一个记录关键字 { L.r[0] =L.r[i];//待排序记录复制为哨兵 L.r[i]=L.r[i-1]; for(j=i-2;LT(L.r[0].key,L.r[j].key);--j)//记录后移 L.r[j+1]=L.r[j]; L.r[j+1]=L.r[0];//R[i]插入到正确位置 } }
0 1 2 3 4 5 6 7 8
i=3
38
38
49
65
97
76
13
27
49
i
直接插入排序算法演示
void InsertSort(SqList &L) {//对顺序表L做直接插入排序 for(i=2;i<=L.length;++i) if(L.r[i].key<L.r[i-1].key)//待排序记录关键字<有序序列最后一个记录关键字 { L.r[0] =L.r[i];//待排序记录复制为哨兵 L.r[i]=L.r[i-1]; for(j=i-2;LT(L.r[0].key,L.r[j].key);--j)//记录后移 L.r[j+1]=L.r[j]; L.r[j+1]=L.r[0];//R[i]插入到正确位置 } }
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
i=5
76
38
49
65
97
97
13
27
49
j
i
直接插入排序算法演示
void InsertSort(SqList &L) {//对顺序表L做直接插入排序 for(i=2;i<=L.length;++i) if(L.r[i].key<L.r[i-1].key)//待排序记录关键字<有序序列最后一个记录关键字 { L.r[0] =L.r[i];//待排序记录复制为哨兵 L.r[i]=L.r[i-1]; for(j=i-2;LT(L.r[0].key,L.r[j].key);--j)//记录后移 L.r[j+1]=L.r[j]; L.r[j+1]=L.r[0];//R[i]插入到正确位置 } }
演示
直接插入排序算法演示
void InsertSort(SqList &L) {//对顺序表L做直接插入排序 for(i=2;i<=L.length;++i) if(L.r[i].key<L.r[i-1].key)//待排序记录关键字<有序序列最后一个记录关键字 { L.r[0] =L.r[i];//待排序记录复制为哨兵 L.r[i]=L.r[i-1]; for(j=i-2;LT(L.r[0].key,L.r[j].key);--j)//记录后移 L.r[j+1]=L.r[j]; L.r[j+1]=L.r[0];//R[i]插入到正确位置 } }
0 1 2 3 4 5 6 7 8
i=4
38
38
49
65
97
76
13
27
49
i
直接插入排序算法演示
void InsertSort(SqList &L) {//对顺序表L做直接插入排序 for(i=2;i<=L.length;++i) if(L.r[i].key<L.r[i-1].key)//待排序记录关键字<有序序列最后一个记录关键字 { L.r[0] =L.r[i];//待排序记录复制为哨兵 L.r[i]=L.r[i-1]; for(j=i-2;LT(L.r[0].key,L.r[j].key);--j)//记录后移 L.r[j+1]=L.r[j]; L.r[j+1]=L.r[0];//R[i]插入到正确位置 } }
0 1 2 3 4 5 6 7 8
i=2
38
38
49
65
97
76
13
27
49
j
i
直接插入排序算法演示
void InsertSort(SqList &L) {//对顺序表L做直接插入排序 for(i=2;i<=L.length;++i) if(L.r[i].key<L.r[i-1].key)//待排序记录关键字<有序序列最后一个记录关键字 { L.r[0] =L.r[i];//待排序记录复制为哨兵 L.r[i]=L.r[i-1]; for(j=i-2;LT(L.r[0].key,L.r[j].key);--j)//记录后移 L.r[j+1]=L.r[j]; L.r[j+1]=L.r[0];//R[i]插入到正确位置 } }
0 1 2 3 4 5 6 7 8
i=3
38
38
49
65
97
76
13
27
49
iபைடு நூலகம்
直接插入排序算法演示
void InsertSort(SqList &L) {//对顺序表L做直接插入排序 for(i=2;i<=L.length;++i) if(L.r[i].key<L.r[i-1].key)//待排序记录关键字<有序序列最后一个记录关键字 { L.r[0] =L.r[i];//待排序记录复制为哨兵 L.r[i]=L.r[i-1]; for(j=i-2;LT(L.r[0].key,L.r[j].key);--j)//记录后移 L.r[j+1]=L.r[j]; L.r[j+1]=L.r[0];//R[i]插入到正确位置 } }
0 1 2 3 4 5 6 7 8
i=2
49
38
65
97
76
13
27
49
i
直接插入排序算法演示
void InsertSort(SqList &L) {//对顺序表L做直接插入排序 for(i=2;i<=L.length;++i) if(L.r[i].key<L.r[i-1].key)//待排序记录关键字<有序序列最后一个记录关键字 { L.r[0] =L.r[i];//待排序记录复制为哨兵 L.r[i]=L.r[i-1]; for(j=i-2;LT(L.r[0].key,L.r[j].key);--j)//记录后移 L.r[j+1]=L.r[j]; L.r[j+1]=L.r[0];//R[i]插入到正确位置 } }
0 1 2 3 4 5 6 7 8
i=2
38
49
38
65
97
76
13
27
49
i
直接插入排序算法演示
void InsertSort(SqList &L) {//对顺序表L做直接插入排序 for(i=2;i<=L.length;++i) if(L.r[i].key<L.r[i-1].key)//待排序记录关键字<有序序列最后一个记录关键字 { L.r[0] =L.r[i];//待排序记录复制为哨兵 L.r[i]=L.r[i-1]; for(j=i-2;LT(L.r[0].key,L.r[j].key);--j)//记录后移 L.r[j+1]=L.r[j]; L.r[j+1]=L.r[0];//R[i]插入到正确位置 } }
0 1 2 3 4 5 6 7 8
i=4
38
38
49