极化电荷面密度电位移矢量
工程电磁场(清华大学出版社)课后题解
l 2 + 4l 25 a 2 ⎭ ⎭ 2l α 0 ⎝ 0 0 2x0 r 0r 0l 0 第二章 静电场(注意：以下各题中凡是未标明电介质和导体的空间，按真空考虑） 2-1 在边长为a 的正方形四角顶点上放置电荷量为q 的点电荷，在正方形几何中心处放置电荷量为Q 的点电荷。
问Q 为何值时四个顶点上的电荷受力均为零。
解 如图建立坐标系，可得q ⎛ 12 1 ⎫ Q 2 1 E x e x = 4πε + 2 ⨯ 2a 2 ⎪e x + 4πε ⨯ 2 ⨯ a 2 / 2 e x q ⎛ 1 2 1 ⎫ Q 2 1 E y e y =+ 4πε 0 ⎝ 2 ⨯ 2a 2 ⎪e y + 4πε ⨯ 2 ⨯ a 2 / 2 e y ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫据题设条件，令 q 1 + ⎪ + Q 4 ⎪ = 0 ，2 ⎝ 解得 Q = - q(1 + 2 2)4⎭ ⎝ ⎭2- 有一长为2l ，电荷线密度为τ 的直线电荷。
1） 求直线延长线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位； 2） 求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位。
解 1）如图（a ）建立坐标系，题设线电荷位于 x 轴上l ~ 3l 之间，则 x 处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为d E = τd x (-e )， d ϕ = τd x4πε 0 x 4πε 0 x由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度和电位分别为 E (0) = 3l d E3lτd x(- e ) =τ(- e )⎰l⎰l4πε 0xx6πε lxϕ (0) = ⎰3ld ϕ = ⎰3lτd x =τln 3ll4πε 0 x 4πε 02）如图（b ）建立坐标系，题设线电荷位于 y 轴上- l ~ l 之间，则 y 处的电荷微元在点(0,2l ) 处产生的电场强度和电位分别为d E = τd y (-e )， d ϕ = τd y4πε 2r 4πε 0 r 式中， d y = 2l d θ cos 2 θ ， r = ， sin α = l cos θ = 1 ，分别代入上两式，并考虑 对称性，可知电场强度仅为 x 方向，因此可得所求的电场强度和电位分别为 E (2l ,0) = α = 2eα τd ycos θ = τe x cos θd θ = τe x sin α = τe x 2⎰0 d E x ⎰0 4πε 2 4πε ⎰0 4πε 0l 4 5πε 0l ϕ (2l ,0) = α ϕ = τ α d θ = τ ⎡ ⎛ 1 tan -1 1 + π ⎫⎤ = 0.24τ 2⎰0 d 4πε ⎰0co s θ 2πε ln ⎢tan 2 2 4 ⎪⎥ πε 0 0 ⎣ ⎝ 2-3 半径为a 的圆盘，均匀带电，电荷面密度为σ 。
重庆大学电磁场习题答案(第2章)
第二章习题答案2-2 真空中有一长度为l 的细直线，均匀带电，电荷线密度为τ。
试计算P 点的电场强度： （1）P 点位于细直线的中垂线上，距离细直线中点l 远处； （2）P 点位于细直线的延长线上，距离细直线中点l 远处。
解：（1）可以看出，线电荷的场以直线的几何轴线为对称轴，产生的场为轴对称场，因此采用圆柱坐标系，令z 轴与线电荷重合，线电荷外一点的电场与方位角φ无关，这样z '处取的元电荷z q 'd d τ＝，它产生的电场与点电荷产生的场相同，为：R20e R4z E πετ'=d d 其两个分量：θπετρρcos 20R4z e E d dE '=•=d （1） ()θπετsin 20z z R4e E d dE z d '-=-•=（2） 又θρθρtan ',cos ==z R所以：θθρd dz 2sec '= （3）式（3）别离代入式（1）（2）得：θρπεθτρd 04dE cos =； θρπεθτd sin 0z 4dE -= 'sin 'sin cos θρπετθθρπετθρπεθτθρ000004E 22d 2=⎰∴＝＝‘ （4）又 2l 42l 2l +='θsin （5）式（5）代入式（4）得：l55E 00πετρπετρ22=∴＝图2-2长直线电荷周围的电由于对称性，在z 方向 z E 分量彼此抵消，故有0=z Eρρρπετe l5e E e E 0z z 2E =+=∴（2）成立如图所示的坐标系在x 处取元电荷dx dq τ=则它在P 点产生的电场强度为R20e R4x d E d πετ'=其在x 方向的分量为：20x R 4x d dE πετ'=又 x l R -=2020x x l 4x d R4x d dE )-(''='=∴πετπετ()l 3x l 4x l 4x d E 02l 2l 2l 2l 020x πετπετπετ='-⨯=''=--⎰∴∴∴////1)-( x 0x x x e l3e E Eπετ==∴2-3 真空中有一密度为m C n /2π的无穷长线电荷沿y 轴放置，还有密度别离为2/1.0m C n 和2/1.0m C n -的无穷大带电平面别离位于z=3m 和z=-4m 处。
电磁学中几个基本矢量的性质
电磁学中几个基本矢量的性质杨东杰2900103013摘要本文在学习完电磁学的基本矢量知识的基础上，统一地推导研究电磁学中各个矢量的性质，即散度、旋度及其边界条件。
关键字散度旋度边界条件引言在学习了第二章关于电磁场的一些基本规律之后，我们知道了很多电磁场的基本理论知识，但是书本上都是分别逐一地对各个矢量的性质，如散度、旋度及边界条件进行推论，所以本文意在对各个矢量的性质作一个统一的推导总结，从而加深对知识的理解。
正文一，电场强度的散度、旋度及边界条件。
1，散度。
用电荷按体密度分布库伦定律：利用可将写为对上式两边取散度，得利用关系式，上式变为在利用函数的挑选性，有则由式(2)得因已假设电荷分布在区域V内，故可由上式得的E散度2，旋度。
在静电场中，由式1，微分算符是对场点坐标求导，与源点坐标无关，故可将算符从积分中移出，即对上式两边取旋度，即上式右边括号内是一个连续标量函数，而任何一个标量函数的梯度再求旋度时恒等于0，则得在时变电磁场中，变化的磁场会产生电场。
在一回路中，由法拉第电磁感应定律，得利用斯托克斯定理，上式可表示为上式对任意回路所谓面积S都成立，故必有3，边界条件。
在参数分别为的两种媒质的分界面上，设分界面法向单位矢量为，是沿分界面的切向单位矢量。
则在垂直于分界面的矩形闭合路径abcda上，由麦克斯韦第二方程，当时有故得或也可写为表明电场强度的切向分量是连续的。
二，电位移矢量的散度、旋度及边界条件。
1，散度。
在电介质中，在外场作用下电介质发生极化，产生极化电荷。
电介质中的电场可视为自由电荷和极化电荷在真空中产生电场的叠加，即。
将真空中成立的式3推广至电介质中，得即极化电荷也是产生电场的通量源。
由式(后面会推导)代入上式得而由于，我们得到2，旋度。
由于本构关系，我们可以由的旋度直接得到：在静电场中，而在时变电磁场中，3，边界条件。
如同以上边界条件的界定下，在分界面上取一个扁圆柱形闭合面，当其高度时，圆柱侧面对积分的贡献可忽略，且此时分界面上存在的自由电荷面密度为，则得即故或当两种媒质都不是理想导体的边界条件时，有，则三，磁感应强度的散度、旋度及边界条件。
2-4 介质中的高斯定律 电位移矢量
求：介质中的电场强度
v E
和电位移矢量
v D
。
解：由定义，知：
v D v P
v
0E
1 (1
r
v P
0
v
)D
v D
r
v P Pz
Dz Dz
4
v D
r r 1
v P
4 3
v P
…
v E
1
v D
4 0
3.5 介质中的高斯定律 边界条件
一、介质静电场基本方程
q
在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观 上不显出电特性
介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分 子的取向一致，宏观上出现电偶极矩
2）极化强度矢量
用极化强度矢量
v P
表示电介质被极化的程度。
P
lim
Pi
式中：pvi 表示i个分子极矩。
V 0 V
物理意义：等于单位体积内电偶极矩矢量和。
CE dl 0
微分方程：
D
E 0
本构方程： D r 0 E E
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 ，求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度
(
0
)
s0
sp
(
0)
s0
0 (1 )
讨论:
1.
电介质的极化和介质中的高斯定理
串联 1 1 1 C C1 C2
C C1C2 C1 C2
0S d1 d2 r1 r2
②.已知 U，求0、E、D。
0
q S
CU S
0SU
S d1 d 2
0U
r1 r2
d1 d2
r1 r2
d1 d2
r1 r2 d
22
E1
Байду номын сангаас
0 0r1
d1
r1
0U
d2
r2
0r1
1）不管是位移极化还是取向极化，其最后的宏观 效果都是产生了极化电荷。
综 2）两种极化都是外场越强，极化越厉害，所产生 述：的分子电矩的矢量和也越大。
3）极化电荷被束缚在介质表面，不能离开电介质 到其它带电体，也不能在电介质内部自由移动。它 不象导体中的自由电荷能用传导方法将其引走。
7
二、极化强度矢量
r
r 称为相对
介电常数或
电容率。
从电学性质看电介质的分子可分为两类：无极分子、
有极分子。
每个分子负电荷对外影响均可等效为 单独一个静止的负电荷 的作用。其大小为 分子中所有负电之和，这个等效负电荷的 作用位置称为分子的“负电作用中心”。
-
3
同样，所有正电荷的作用也可等效一
个静止的正电荷的作用，这个等效正电 荷作用的位置称为“正电作用中心”。
电场 E有如下关系：Pe0E
e 称为电极化率或极化率， 在各向同性线性电介质
中它是一个纯数。
14
D 在均匀0各E 向同P 性介0质E 中P e0E e 0(1 Ee)0E
r0E
r (1e) 称为相对介电常数或电
容率。
在各向同E性介质中D.rE0关称系为：介D 电常数r，0E E
09介质中的高斯定理电位移矢量
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理 1.介质中的高斯定理 真空中的高斯定理 φ =
r r ∫∫ E ⋅ dS =
S
∑q
ε0
在介质中，高斯定理改写为： 在介质中，高斯定理改写为：
自由电荷 总场强
v v 1 ∫∫ E ⋅ dS =
S
ε0
∑ (q
S
0
+q )
'
束缚电荷
v v 1 ∫∫ E ⋅ dS =
v = εE
电常量。 电常量。
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 εr 的介 ： 质球中心， 质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。 区的 、 、 。 在介质球内、 解：在介质球内、外各作半径为 r 的 高斯球面。 高斯球面。 R
r r ∫∫ D ⋅ dS = ∑q0
S
r r r 球面上各点D大小相等 D 大小相等， 球面上各点 大小相等， // dS , cosθ = 1 II 2 ∑q0 D4πr = q0 , ∴ D = 高斯面 4πr 2 q q I区： 1 = 区 D II区： 2 = 区 D 2 4πr2 4πr
dr =
q 4πε 0r
9
例2：平行板电容器极板间距为 d , 极板面积为 S，面 ： ， 电荷密度为 σ0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 εr 的 电介质。求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电 电介质。 点的场强 ； 电容器的电 容。 ①. 过 P1 点作高斯柱面 左右底面分别经过导体 点作高斯柱面, 解： d' − σ 和 P1 点。 σ
r r φD = ∫∫ D ⋅ dS = ∑ q0
S
《电磁场理论与电磁波》课后思考题
《电磁场理论与电磁波》课后思考题第一章 P301.1 如果A B =A C ，是否意味着B =C 为什么答：否。
1.2 如果⨯⨯A B =A C ，是否意味着B =C 为什么答：否。
1.3 两个矢量的点积能是负的吗如果是，必须是什么情况答：能。
当两个矢量的夹角θ满足(,]2πθπ∈时。
1.4 什么是单位矢量什么是常矢量单位矢量是否是常矢量答：单位矢量：模为1的矢量；常矢量：大小和方向均不变的矢量（零矢量可以看做是特殊的常矢量）； 单位矢量不一定是常矢量。
例如，直角坐标系中，坐标单位矢量,,x y z e e e 都是常矢量；圆柱坐标系中，坐标单位矢量,ρφe e 不是常矢量，z e 是常矢量；球坐标系中，坐标单位矢量,,r θφe e e 都不是常矢量。
1.5 在圆柱坐标系中，矢量ρφz a b c =++A e e e ，其中a 、b 、c 为常数，则A 能是常矢量吗为什么答：否。
因为坐标单位矢量,ρφe e 的方向随空间坐标变化，不是常矢量。
1.6 在球坐标系中，矢量cos sin r θa θa θ=-A e e ，其中a 为常数，则A 能是常矢量吗为什么答：是。
对cos sin r θa θa θ=-A e e 转换为直角坐标系的表示形式，化简可得22(cos sin )z z a θθe ae ==+=A 。
1.7 什么是矢量场的通量通量的值为正、负或0分别表示什么意义答：通量的概念：d d d n SSψψF S F e S ==⋅=⋅⎰⎰⎰（曲面S 不是闭合）d d n SSF S F e S =⋅=⋅⎰⎰ψ（曲面S 是闭合）通过闭合曲面有净的矢量线穿出S 内有正通量源<ψ有净的矢量线进入，S 内有负通量源进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，S 内没有通量源1.8 什么是散度定理它的意义是什么答：散度定理：d d SVF S F V ⋅=∇⋅⎰⎰意义：面积表示的通量=体积表示的通量1.9 什么是矢量场的环流环流的值为正、负或0分别表示什么意义答：环流的概念：Γ(,,)d CF x y z l =⋅⎰环流的值为正、负或0分别表示闭合曲线C 内有正旋涡源、负旋涡源和无旋涡源。
9-3 电位移矢量 有电介质时的高斯定理
ε = ε 0ε r
D = P + ε0 E
（任何介质） 任何介质） 介质 （均匀介质） 均匀介质） 介质
0
D = εE
S
有介质时的高斯定理 电容率 极化电荷面密度
ε = ε 0ε r
σ ' = Pn
∫ D ⋅ dS = ∑ q
第九章 静电场中的导体和电介质
9-3 电位移矢量 有电介质时的高斯定理
D = ε 0 E + P = ε 0 E + χ eε 0 E = ε 0 (1 + χ e ) E
电介质的相对电容率 电介质的相对电容率 相对
ε r = 1 + χe
第九章 静电场中的导体和电介质
9-3 电位移矢量 有电介质时的高斯定理
电介质的电容率 电介质的电容率 总结 电位移矢量
D = ε0εr E = εE
第九章 静电场中的导体和电介质
9-3 电位移矢量 有电介质时的高斯定理
一 概述 极化电荷和自由静电荷一样产生电场(电场线 电场线)， 极化电荷和自由静电荷一样产生电场 电场线 ， 因此高斯定理在有介质时，其电荷应该即包括自由电 因此高斯定理在有介质时， 荷也包括极化电荷，即 荷也包括极化电荷，
∫ E ⋅ dS = ε ∑ ( q
三
有电介质时的高斯定理的应用 有介质时先求 D → E → U
一个半径为R、电荷为q(设 的导体球， 例9-3 一个半径为 、电荷为 设q>0)的导体球，在 的导体球 的无限大均匀电介质， 它周围充满电容率为ε的无限大均匀电介质，求电介 质内任一点的场强。 质内任一点的场强。 解： 在与导体球接触的 介质的表面的极化电荷q′ 介质的表面的极化电荷 ′ 也是球对称分布的。 也是球对称分布的。 过任一点P作半 过任一点 作半 径为r的球面为高斯 径为 的球面为高斯 面S，如图。 ，如图。 P
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因为： 所以：
F qE
M qEl sin
(3.1)
力偶矩矢量M可用矢量叉乘的形 式表示为：
M ql E 定义一个矢量： P q l
则：
（3.2）
M PE
（3.3）
矢量P叫做偶极子的电偶极矩（简称偶极矩或电矩）
式（3.3）说明力偶矩M力图使偶极子的电矩P转到
两个相距很近而且等值异号的点电荷的整体叫做偶极子。 很近的含义：场点与这两个点电荷的距离比两个点电荷之 间的距离大得多。 讨论偶极子在外电场中所受的力矩
1、外电场为均匀电场的情形
由力学可知这个力偶矩的 大小为：
M Fl sin
其中l是偶极子两个点电荷联线的长度，θ 是联线与场强E 的夹角。
有极分子的取向极化机理
当外电场E存在时，每个偶极子将由于受到力偶矩而转
向（这个力偶矩力图使每个偶极子的偶极矩转到与场强一致
的方向）。如果每个有极分子的偶极矩都转到与场强一致的
方向，这将是一种非常强烈的极化，这些偶极子激发的场强
互相加强，其强度将非常可观。
极化强度：
P pi V
S
有极分子：在第二类电介质中，每个分子的正、负电荷
“重心”在没有外电场时并不重合，因此偶极矩并不为零。 气态的H2O、SO2、NH3、H2S及液态的水、硝基苯、酯类、
有机酸等分子都属于有极分子。
由于有极分子不断作无规则的热运动，各个分子偶 极矩的方向杂乱无章，因此宏观看来不显电性。 在外电场的作用下，无论是无极分子还是有极分子都 要发生某种变化，这种变化叫做电介质的极化。 电介质极化分为：
-------
r
+++++++
-------
U
1
r
U0
E
1
r
E0
C r C0
电容率
相对电容率
r 1
0 r
3.3 电介质中的电场
极化电荷与自由电荷的关系
E E0 E ' E0
r 1 E' E0 r r 1 ' 0 r
1 Q' r Q0 r
电介质的极化率χ ：取决于电介质的性质 均匀电介质：电介质中各点的χ 相同 在各向异性介质（绝大多数的晶体）中，P
与E的关系与方向有关，同一大小的场强如果方 向不同，引起的极化强度也会不同。
3.4有介质存在时的高斯定理
以充满介质的平行板电容 器为例 1 ' E d S ( Q Q ) 0
S
0 '
Q'
r 1 Q0 r
0
r
- - -S - - -
+++++++++++
0 r 电位移矢量 D 0 r E E （均匀各向同性介质） 有介质时的高斯定理 D dS Q0i
S
r
- - - - - r d E0 E' E
----------E0 0 / 0 E E0 / r P '
+++++++++++
+
+
+
+ + +
P ( r 1) 0 E
极化强度与场强的正比关系是一条实验规律，
其关系为：
P 0 E
r 1
第3章
静电场中的电介质
学习基本要求
一 了解电介质的极化及其微观机理，了解电位 移矢量D的概念，以及在各向同性介质中，D 和电场强度E的关系 。
二 理解电介质中的高斯定理，并会用它来计算 对称电场的电场强度。 三 了解静电场是电场能量的携带者，了解电场 能量密度的概念，能用能量密度计算电场能量。
与导体不同，静止电荷激发的静电场可以存在于 电介质内部，于是问题变得复杂。本章要讨论的 正是电介质中的静电场 。
荷(或束缚电荷)。 然而，在外电场的作用下，这些带电粒子仍然可
以有微观的位移，而且正如后面将要看到的那样，这 种微观位移将激发附加的电场，从而使总电场改变。
当场点与分子的距离远大于分子的
线度时，整个中性分子激发的电场就可
以近似采用一种“重心模型”来计算。 即可以认为分子中所有正电荷和所 有负电荷分别集中于两个几何点上，这 两个点分别叫做正、负电荷的“重心”。
P 的单位： C m 2
p P V
i
P
pi :分子偶极矩
:极化强度
r P
+ +
- - - - - -
+++++++++++
l
+ + + +
' Sl
Sl
----------'
表面极化电荷面密度：
' P
成立条件？
3.2 电介质对电容的影响
相对电容率
+++++++
与外场E一致的方向上（图3－3b）。只有当P∥E
时偶极子所受的力矩才为零。
2、外电场不均匀的情形
偶极子除受到力矩外还将受到一个外力，情 况较复杂，在此不予讨论。
偶极子激发的静电场 1、延长线上的场强表达式：
2ql 2p E 3 4 0 r 4 0 r 3
2、中垂面上的场强表达式：
E p 4 0 r 3
点电荷场强与r的平方成反比，偶极子场强与r的立 方成反比。这表明偶极子场强随距离增大的减弱比 点电荷场强迅速得多。
3.1 电极化强度
电介质可以分成两类。
无极分子：在第一类电介质中，每个分子的正、负电荷
“重心”在没有外电场时彼此重合，因此与这分子等效的偶 极子的偶极矩（今后简称为分H4分子及气态、液态的CCl4分子都属于无 极分子。
几个基本概念
物理无限小体积：宏观看来足够小而微观看来足够大（包 含大量分子）的体积。 微观值：该量在媒质中各微观点上的值。
宏观值：微观值在物理无限小体积中的平均值 。
电介质是由中性分子构成的。
电介质是电的绝缘体，它内部的自由电子很少。 由于分子内有力的约束，电介质分子中的带电粒子不 能发生宏观的位移，因而这些带电粒子被称作极化电
位移极化和取向极化两种。
（1）无极分子的位移极化机理 （2）有极分子的取向极化机理
无极分子的位移极化机理
在外电场E的作用下，无极分子中正、负电荷
的“重心”向相反方向作一个微小的位移（如下
图所示），两个“重心”不再重合，于是分子的 偶极矩不再为零，其方向与场强E一致，其大小与 E成正比。分子在外电场作用下的这种变化叫做位 移极化。