电位移矢量
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高斯定理与电位移矢量
高斯定理与电位移矢量
1、高斯定理的导出
高斯定理是建立在库仑定律的基础上的，在有电介质存在时，它也成立。
只不过计算总电场的电通量时，应计及高斯面内所包含的自由电荷和极化电荷。
令，称为电位移矢量，上式变为
上式称为有介质存在时的高斯定理，也称D的高斯定理。
2、电位移矢量D
，D既描述了E，又描述了P；既不单独描述E，又不单独描述P；D 本身没有明确的物理意义，只是为了计算上的方便引入的一个辅助矢量；
D的通量仅和自由电荷有关，而D本身与自由电荷和极化电荷均有关系；
D线仅发自自由电荷；
电位移矢量D是一个宏观矢量点函数。
电位移矢量有电介质时的高斯定理
1
Q0
补例1 把一块相对电容率r=3的电介质，放在极板
间相距d=1mm的平行平板电极之间。放入之前，两极 板的电势差是1000V。试求两极板间电介质内的电场 强度E, 电极化强度P，极板和电介质的电荷面密度, 电介质内的电位移D。
第九章 静电场中的导体和电介质 9-3 电位移矢量 有电介质时的高斯定理
第九章 静电场中的导体和电介质 9-3 电位移矢量 有电介质时的高斯定理
SD dS q0
有电介质的高斯定理：在静电场中，通过任意闭合曲 面的电位移通量等于该闭合曲面内所包围的自由电荷 的代数和。
电位移线从正的自由电荷发出，终止于负的自 由电荷！
二 电容率 电介质的性质方程
各 向同性 电介质 P e0E
E E0 E'
E'
r
r
1
E0
E0
r
注意E
0
和E0
0 0
d
-+
+ r
-+ + + E0
+ +-+ E'
+- +-+ E
-+- -+- -+- -+- -+- +-
第九章 静电场中的导体和电介质 9-3 电位移矢量 有电介质时的高斯定理
考虑到极化电荷和自由电荷的符号相反所以有：
r
r
1
0半 径为r的球面为高斯 面S，如图。
-+ q-+q
+
+- P
R
+ +
-
r
E
- + +- S
09介质中的高斯定理电位移矢量
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理 1.介质中的高斯定理 真空中的高斯定理 φ =
r r ∫∫ E ⋅ dS =
S
∑q
ε0
在介质中，高斯定理改写为： 在介质中，高斯定理改写为：
自由电荷 总场强
v v 1 ∫∫ E ⋅ dS =
S
ε0
∑ (q
S
0
+q )
'
束缚电荷
v v 1 ∫∫ E ⋅ dS =
v = εE
电常量。 电常量。
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 εr 的介 ： 质球中心， 质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。 区的 、 、 。 在介质球内、 解：在介质球内、外各作半径为 r 的 高斯球面。 高斯球面。 R
r r ∫∫ D ⋅ dS = ∑q0
S
r r r 球面上各点D大小相等 D 大小相等， 球面上各点 大小相等， // dS , cosθ = 1 II 2 ∑q0 D4πr = q0 , ∴ D = 高斯面 4πr 2 q q I区： 1 = 区 D II区： 2 = 区 D 2 4πr2 4πr
dr =
q 4πε 0r
9
例2：平行板电容器极板间距为 d , 极板面积为 S，面 ： ， 电荷密度为 σ0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 εr 的 电介质。求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电 电介质。 点的场强 ； 电容器的电 容。 ①. 过 P1 点作高斯柱面 左右底面分别经过导体 点作高斯柱面, 解： d' − σ 和 P1 点。 σ
r r φD = ∫∫ D ⋅ dS = ∑ q0
S
电位移矢量
4 极化电荷 Polarization charge or bound charge 在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性，但在 介质表面要出现电荷，这种电荷不能离开电介质到 其它带电体，也不能在电介质内部自由移动。我们 称它为束缚电荷或极化电荷。它不象导体中的自由 电荷能用传导方法将其引走。 在外电场中，出现束缚电荷的现象叫做电介质的极化。
由于热运动这种取向只能是部分的，遵守统计规律。 取向极化
E0
在外电场中的电介质分子
E0
l
E0
无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩。
在外电场中产生感应电偶极矩（约是前者的10-5)。
无极分子只有位移极化，感生电矩的方向沿外场方向。
有极分子有上述两种极化机制。 在高频下只有位移极化。
或介电常量dielectric constant。
0 称为电容率permittivity
例一：一个金属球半径为R，带电量q0，放在均匀的 介电常数为 电介质中。求任一点场强及界面处 ' ？ 解：导体内场强为零。 高斯面 q0均匀地分布在球表面上， 球外的场具有球对称性 q D dS q0 D 0 r ˆ rR
垂直于此曲线的横截面ds组成一个小圆柱体因而该体元具有电偶极矩根据定义它可视为两端具有电荷的偶极矩dsdldsdldlds10如果在电介质内任选一面的法线于极化强度矢量在该面法线方向上的分量dsdsdldsdldldsds11ds在非均匀电介质中有束缚电荷的积累
目录
第三章 静电场中的电介质
3.1 电介质对电场的影响 3.2 电介质的极化 一、电介质 电介质的极化 二、极化强度 极化电荷与极化强度的关系： 三、电介质的极化规律 退极化场
电位移矢量
q2 q3 1 ) = [ q1 ( + 2 4πε o r12 4πε o r13 + q2 ( 4πε o r21 q1 + 4πε o r23 q3 ) + q3 ( 4πε o r31 q1
r23
r31
q3
+
4πε o r32
q2
)]
1 W = ( q 1U 1 + q 2 U 2 + q 3 U 3 ) 2
5
v v v • P、D、E 之间的关系： 之间的关系：
v v v v v D = ε 0 E + P = ε 0 E + χ eε 0 E
v v D = (1 + χ e )ε 0 E
ε r = (1 + χ e )
称为相对电容率 或相对介电常量。 或相对介电常量。
εr
退极化场
v v v D = ε r ε 0 E = εE
自由电荷
二、有电介质时的高斯定律
v v ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫∫ ρ e dV
物理意义
S
V
通过任一闭合曲面的电位移通量，等于 通过任一闭合曲面的电位移通量， 该曲面内所包围的自由电荷的代数和。 该曲面内所包围的自由电荷的代数和。 电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。 电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。 与束缚电荷无关。 与束缚电荷无关。 电力线起始于正电荷终止于负电荷。 电力线起始于正电荷终止于负电荷。 包括自由电荷和与束缚电荷。 包括自由电荷和与束缚电荷。
v v q0 q0 E0 1 ( − 1) = + ∴E＝ 2 2 4πε0r 4πε0r ε r εr 7 束缚电荷的场 自由电荷的场
r23
r31
q3
+
4πε o r32
q2
)]
1 W = ( q 1U 1 + q 2 U 2 + q 3 U 3 ) 2
5
v v v • P、D、E 之间的关系： 之间的关系：
v v v v v D = ε 0 E + P = ε 0 E + χ eε 0 E
v v D = (1 + χ e )ε 0 E
ε r = (1 + χ e )
称为相对电容率 或相对介电常量。 或相对介电常量。
εr
退极化场
v v v D = ε r ε 0 E = εE
自由电荷
二、有电介质时的高斯定律
v v ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫∫ ρ e dV
物理意义
S
V
通过任一闭合曲面的电位移通量，等于 通过任一闭合曲面的电位移通量， 该曲面内所包围的自由电荷的代数和。 该曲面内所包围的自由电荷的代数和。 电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。 电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。 与束缚电荷无关。 与束缚电荷无关。 电力线起始于正电荷终止于负电荷。 电力线起始于正电荷终止于负电荷。 包括自由电荷和与束缚电荷。 包括自由电荷和与束缚电荷。
v v q0 q0 E0 1 ( − 1) = + ∴E＝ 2 2 4πε0r 4πε0r ε r εr 7 束缚电荷的场 自由电荷的场
电位移矢量ElectricDisplacement
穿出面元dS的电荷量为：dqsp P dS P nˆ dS
sp
dqsp dS
P nˆ
式中：nˆ 为媒质表面外法向单位矢量
8
第三章 静电场分析
13~14
八、电介质的极化 极化强度
2.极化电荷(束缚电荷)
dS
l
极化电荷的特点：
1) 极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷；
极化强度矢量：
P 表示电介质被极化的程度。
P lim V 0
pi V
Npav
C/m2
式中：pi 表示第i个分子极矩；N表示分子密度。
物理意义：表示单位体积内电偶极矩矢量和。
2
第三章 静电场分析
13~14
八、电介质的极化 极化强度
1.极化与极化强度矢量
极化强度矢量：
P 的实验关系式
dV
V
E 0 D0 0 C D0 dl 0
16
第三章 静电场分析
13~14
九、介质中的高斯定理 边界条件
1.电位移矢量(Electric Displacement)
线性介质：P 随
E
线性变化的介质。
媒 均匀介质：均匀分布， 与空间坐标无关。
sp (P1 P2 ) nˆ nˆ:12
10
第三章 静电场分析
13~14
八、电介质的极化 极化强度
3.例题
z
求半径为a，永久极化强度为 P
P
eˆr
的球形驻极体中的极化电荷
O
分布。已知：P P0eˆz
驻极体：外场消失后，仍保
电位移矢量
(E f
E ) f P
P
0
(0E P) f
P P
二、电位移矢量
令 D 0E P
电位移矢量 单位：C/m2
则 D f
表明静电场中任一点上电位移矢量的散 度等于该点的自由电荷体密度。
D dS S
V f dV
不论在真空中还是电介质中，穿过任 意 闭曲面的电位移矢量的面积分，等 于该 曲面内的总自由电荷，而与一切 极化电 荷及曲面外的自由电荷无关。
三、静电场的辅助方程(介质的物性方程)
D 0E P
电介质的物性方程 反映介质的介电特性
在各向同性线性电介质中：
D E0 P
P E0
D
0 E
0E
0 (1 )E
0rE
E
称为电介质的电极化率，表征电介质是否易于极化。
0r 称为电介质的介电常数，单位 F/m r 1 / 0 称为电介质的相对介电常数，无量纲
本节要点
➢ 本节的研究目的
研究在有电介质情况下，高斯通量定理的数学 表达式；
D f
D dS S
V f dV
介质中的高斯通量定理
D 0E P
电介质的物性方程
电位移矢量
➢ 本节的研究目的
研究在有电介质情况下，高斯通量定理的数 学表达式；
➢ 本节的研究内容
一、考虑极化电荷的高斯通量定理 二、电位移矢量
三、静电场的辅助方程
一、考虑极化电荷的高斯通量定理
当有电介质存在时，电场可看成由自由电荷和极化电荷 共同在真空中引起的。
极化电荷与自由电荷来源不同，但从激发电场这一特性来 讲，极化电荷和自由电荷没有区别。
自由电荷激发的电场
极化电荷激发的电场
电位移矢量
本节要点
本节的研究目的
研究在有电介质情况下，高斯通 S
V f dV
D 0E P
介质中的高斯通量定理 电介质的物性方程
自由电荷激发的电场
E
Ef
f
0
f 0
极化电荷激发的电场
EP
EP
0
P 0
一、考虑极化电荷的高斯通量定理
当有电介质存在时，电场可看成由自由电荷和极化电荷 共同在真空中引起的。
M点处电场强度 E E f EP
E (Ef EP ) 0
E
(Ef
EP )
f
P
0
三、静电场的辅助方程(介质的物性方程)
D 0E P
电介质的物性方程 反映介质的介电特性
在各向同性线性电介质中：
D
0
E
P
D 0E 0E
0(1 )E
0r E
E
P 0E
称为电介质的电极化率，表征电介质是否易于极化。
0r 称为电介质的介电常数，单位 F/m r 1 / 0 称为电介质的相对介电常数，无量纲
E
(Ef
EP )
f P 0
(0E P) f
P P
二、电位移矢量
令 D 0E P
电位移矢量 单位：C /m2
则 D f
表明静电场中任一点上电位移矢量的散 度等于该点的自由电荷体密度。
D dS S
V f dV
不论在真空中还是电介质中，穿过任意 闭曲面的电位移矢量的面积分，等于该 曲面内的总自由电荷，而与一切极化电 荷及曲面外的自由电荷无关。
电位移矢量
本节的研究目的
研究在有电介质情况下，高斯通量定理的数 学表达式；
本节的研究内容
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jd
dD dt
0Em
sin t
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导线中传导电流与位移电流大小之比，等于同意导 线中传导电流密度与位移电流密度之比，即
j jm 0
对于铜导线，这一比值为1019/ω ，即使是对于超
高频电流，这一比值仍非常大，说明导线中虽然存在 位移电流，但微不足道，占绝对优势的是传导电流。
§9-6 位移电流 电磁场理论
一、 位移电流
1. 问题的提出
对稳恒电流 LH dl I
对于如图所示的电容器
充、放电过程
对S1面 对S2面
LH
dl
I
LH dl 0
矛 盾
稳恒磁场的安培环路定理已
不适用于非稳恒电流的电路
L
D
I
S1 S2
Id
充
A
B R
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二、麦克斯韦方程组
1. 麦克斯韦方程组的积分形式
(1) 电场的性质 (2) 磁场的性质
D d S q dV
s
v
B dS 0
s
(3) 变化电场和磁场的联系
D
LH
dl
I
Id
s
j dS
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麦克斯韦提出的位移电流概念已经为无线电波的 发现及其广泛的实际应用所证实。
通常导体中的电流主要是传导电流，位移电流可 以不计，电介质中的电流主要是位移电流，传导电流 可以不计。
位移电流与传导电流的关系 (1) 位移电流与传导电流在产生磁效应上是等效的。 (2) 产生的原因不同：传导电流是由自由电荷运动 引起的，而位移电流本质上是变化的电场。
所以d D的方向与
dt
D
的方向相同，也与导线中传导电流
的场方减向弱相，同所；以当ddDt电与容D器的放方电向时相，反电，容但器仍两和极导板线间中的传电导Biblioteka 电流的方向一致。（见上图）
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麦克斯韦认为，可以把电位移通量对时间的变化率看 作一种电流，称为位移电流。
Id
S
dD dt
电
D
I
Id
A
B
放 电
R
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22-8 导体表面附近的电场
任意形状导体表面外的电场为 E ，σ 是导体表面电荷面密度
0
。
解题思路 正如前例，选择小的闭合圆柱面作为高
斯面。该圆柱面的高度极小，使其一侧圆形 底面刚好在导体上方，另一侧底面刚好在导 体表面下方，且两底面垂直圆柱轴线。
电流I，可以由位移电流Id继续下去，从而构成了电
流的连续性。
非稳定电流的安培环路定理
在磁场中H沿任一闭合回路的线积分，在数值上
等于穿过以该闭合回路为边线的任意曲面的全电流。
即
H
dl
I
Id
j
dS
D t
dS
将上式用于前面的电路取S2面的情况，则
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三、 电磁场的物质性
1. 电磁场具有实物物质的基本特性: 能量,质量和动量
a. 电磁场的电磁能量密度为:
w 1
DE BH
2
b. 单位体积的场的质量：（电磁场不为零）
m
w c2
1 2c2
DE BH
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电磁场量和表征介质电磁特性的量之间的关系
D
E
0 r
E
B H 0r H
j E
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电场和磁场的本质及内在联系
电荷
运动
激 发
电场
变化 变化
电流 激 发
磁场
麦克斯韦电磁场理论的局限性 （1）麦克斯韦方程可用于高速领域。
（2）麦克斯韦电磁理论在微观区域里不完全适 用，它可以看作是量子电动力学在某些特殊条件 下的近似规律。
并计算电容器内离两板中心连线处r(r<R)的磁感应
强度Br和R处的BR 。
解： 电容器两极板间的位移电流为
E
Id
=
dY D dt
=
S
dD = dt
p R2e0
dE dt
=
2.8A
r R
电容器两极板间的r<R处各点磁感应强度为Br， 应用安培环路定理
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H
dl
1
0
(3)通过导体时的效果不同：传导电流通过导体时产 生焦耳热，而位移电流不产生焦耳热。
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例9-13 半径为r=0.1m的两块圆板构成平行板电 容器，由圆板中心处引入两根长直导线给电容器
匀速充电，使电容器两板间电场的变化率为
dE/dt=1013 V/(m·s) 。求电容器两板间的位移电流，
在导线内作用着一个交变电场E=Emcosωt（式中ω 是角频率。试估计导线中传导电流与位移电流的
大小比。
解：根据欧姆定律的微分式 ，导线中的电流密度为
j E Em cost
是导线电阻率，而导线
D
I
S2 A
Id B R
中的电位 移D为
D 0Em cost
于是位移电流密度为
s
t
dS
(4) 变化磁场和电场的联系
蝌ÑEr
r ?dl
L
- dΦ = dt
?
¶
r B
r ?dS
¶t
s
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上述麦克斯韦方程组描述的是在某区域内以积分形 式联系各点的电磁场量（D、E、B、H）和电流、电 荷之间的依存关系。而不能给出某一点上这些量之 间的关系。通过数学变换可以得到麦克斯韦方程组 得微分形式，它给出了电磁场中逐点的上述量之间 的相互依存关系。
Br
2r
D t
dS
=
e0
d dt
rr E ?dS
e0
dE dt
pr2
Br
0 0
2
r
dE dt
E
当 rR
r
Br
0 0
2
R
dE dt
5.6106 T
R
上面所计算得到的电场是全电流激发的总磁场。
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例9-14 假设图示电路中电源为交变电动势，则
运动的速度永远是 3´ 108 m/s ，并且其传播速度在任何
参考系中都相同。
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c. 一个实物的微粒所占据的空间不能同时为另 一个微粒所占据，但几个电磁场可以相互叠加， 可以同时占据同一空间。
3.实物和场在某些情况下可以相互转化
小结 实物和场都是物质存在的形式，它们分别
从不同方面反映了客观真实。同一实物可以反 映出场和粒子两个方面的特性。
d D
dt
位移电流密度为
jd
1 S
d D
dt
dD dt
电场中某一点位移电流密度矢量 jd等于该点电位移
矢量对时间的变化率；通过电场中某一截面的位移
电流
I
等于通过该截面电位移通量
d
对时间的变化
率，即
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令传导电流和位移电流相加的合电流It=I+Id。在 有电容器的电路中，电容器极板表面被中断的传导
c. 对于平面电磁波，单位体积的电磁场的动量 p和
能量密度 w间的关系是：
pw c
2.场物质与实物物质的不同
a. 电磁场以波的形式在空间传播，而以粒子(光子)的 形式和实物相互作用。光子没有静止质量，而电子、 质子、中子等基本粒子却具有静止质量。
b. 实物可以以任意的速度(但不大于光速)在空间运动, 其速度相对于不同的参考系也不同,但电磁场在真空中
H
dl
Id
dD dt
dD dq I dt dt 解决了前面的矛盾之处。
H dl I
由此可见，位移电流的引入，揭示了电场和磁场内 在的联系和依存关系，反映了自然现象的对称性。 电磁感应定率说明变化的磁场产生涡旋电场，位移 电流的论点说明变化的电场产生涡旋磁场，这两种 变化的场永远互相联系着，形成统一的电磁场。
E dA EA Q e0ncl A 0
E 0
上页 下页 返回 退出
位移电流的提出
1、产生上述矛盾的原因在于非稳定情况下电流不再连续。
2、电流在极板处出现中断，但极板上的电荷q、电荷面密度σ、
其间的电位移D随时间变化。
3、通过整个截面的电位移通量ΨD=SD也随时间变化。 4、设平行板电容器极板面积为S，极板上电荷面密度σ 。充、
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选择进入下一节 §9-0 教学基本要求 §9-1 电磁感应定律 §9-2 动生电动势 §9-3 感生电动势 感生电场 §9-4 自感应和互感应 §9-5 磁场的能量 §9-6 位移电流 电磁场理论 §9-7 电磁场的统一性和电磁场量的相对性
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放电过程的任一瞬间
D= εE
D
I S d
dt
电流密度