位置矢量和运动方程
2-2质点运动的描述
r r r r r r ∆ r r2 − r1 v= = = 2i − 6 j ∆ t t 2 − t1
（3）质点在任意时刻的速度和加速度分别为 ） r r r dr r v (t ) = = 2 i − 4 tj dt r r dv r a (t ) = = −4 j dt 则
t = 2 s 时的速度
2 2 0
质点在oxy平面内运动， oxy平面内运动 例2-1 质点在oxy平面内运动，其运动方程为
r r r 2 r ( t ) = 2 ti + (19 − 2 t ) j
试求：（ ）质点的轨迹方程；（ ；（2） 试求：（1）质点的轨迹方程；（ ）在 t1 = 1s ：（ 时间内的平均速度；（ ；（3） 末质点的 到t2 = 2s 时间内的平均速度；（ ）2s末质点的 速度和加速度。 速度和加速度。 解：（1）将运动方程写成分量形式 ：（ ）
x = 10 + 3t 2 y = 2t
2
消去时间参数， 消去时间参数，可得轨迹方程
3 y = 2 x − 20
（2）速度 ） 加速度 习题2-11 习题
r r r r dr v = = 6 ti + 4 tj dt
r r r r dv a= = 6i + 4 j dt
一物体沿x轴作直线运动， 一物体沿x轴作直线运动，其加速度为
∫
v v0Байду номын сангаас
dv = −k 2 v
∫
t 0
dt
v0 v = v0 kt + 1
v0 dx v= = dt v0kt +1
分离变量， 分离变量，代入上下限 积分得
∫
x 0
dx =
自然坐标系
r
t
t 0
AB .
t R
ern
v2 R
en
法向加速度
a
an
v2 R
vB
B vA
R
O
A
大小，方向，作用
2. 一般圆周运动的
切向加速度和法向加速度 分析方法
vB r
v vB vA vrn vr v
vrn 表示速度方向改变量 vr 表示速度大小改变量
lim lim vr
t 0
rr t
t 0
s t
er
ds dt
er
ds dt
三、 自然坐标系下的加速度
1. 匀速圆周运动， 法向加速度
v vB
vA
v vB
vA
Δv vB vA ,
AB R
lim lim ar
t 0
则：a an2 a 2 (1.88)2 (1.2)2 2.23(m / s2 )
tg an
a
12233'
总结解题策略：
（1）分析问题特点，建立恰当的坐标系 （2）由运动方程求解速度随时间变化的表达式 （3）分别计算出切向加速度与法向加速度，再 求解合加速度的大小和方向
解：根据加速度的定义：
ar
anern
a er
v2 R
ern
dv dt
er
a an2 a 2
v
ds dt
2
R
a
d
dt
1.2t
质点的运动学方程
精品课件！
r 122 (12.6)2 cm 17.4 cm
与水平轴夹角
Δy ＝arctan 46.4 Δx
[问题] 位移与参考系的选择有关吗？
式中 t 的单位为s；x，y的单位为cm). [解 ]
r r ( t t ) r ( t )
6 6 t t 2 2 2 1 ( t 2 t 1 )i ( )j 320 320 6 6 4 2 2 2 ( 4 2 )i ( ) j 12i 12.6 j (cm) 320 320
r r (t )
r x(t )i y(t ) j z(t )k
一个矢量式等价三个标量式 x = x(t) 如
y = y(t)
z = z ( t)
1 2 x v 0 t at 等 2
3. 轨迹方程 轨迹方程——质点在运动过程中描出的曲线方程. 在运动方程中消去 t 就是轨迹方程， z f ( x, y) π π 如：x 2 cos t y 2 sin t z 0 6 6
2. 路程
路程 ——质点经过的路径的总长度. 位移与路程不同，前者是矢量，后者是标量.
如图： r 同
S1 S2 S3
[问题] 二者何时相同？
s1 rp r
O
P
s3 s2
Q
rQ
[例题1]一质点在xOy平面内依照 x = t 2 的规律沿曲线
y = x3 / 320 运动,求质点从第2 秒末到第 4 秒末的位移(
( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j
[ x(t t )i y(t t ) j ] [ x(t )i y(t ) j ] [ x(t t ) x(t )]i [ y(t t ) y(t )] j
第二章 质点运动学
第二章 质点运动学运动学的任务是描述随时间的推移物体位置变化(运动)的规律,不涉及物体间相互作用与运动的关系。
§2.1 质点的运动学方程一、质点的位置矢量和运动学方程 要描述某质点在空间的位置，可以在参考系上先建立一个空间直角坐标系xyz o -，从坐标原点向该质点引一条有向线段，用r表示。
1、 位置矢量定义：自参考点（原点o ）引向质点P 所在位置的矢量。
质点位矢在直角坐标系中的表示：k z j y i x r++=ˆˆk j i,ˆ,ˆ分别为沿x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位矢量，z y x ,,称为质点的位置坐标，质点的一组位置坐标就对应于一个位置矢量，也就对应质点一空间位置。
位矢的大小： 222z y x r r ++==位矢的方向（用方向余弦表示）：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα γβα,,分别为位矢与x 轴，y 轴，z 轴正方向的夹角。
2、质点的运动学方程由于质点的运动的不同时刻，位矢不同，则有：)(t r r= 即为质点的运动学方程，它给出了任意时刻质点的位置。
方程在直角坐标系中的正交分解式：k t z j t y i t x t r)()()()(++=质点运动学方程的标量形式为： )(),(),(t z z t y y t x x === 3、质点的运动轨迹质点运动时位矢端点描出的曲线，称质点运动轨迹。
由运动学方程消去t 得： 0),,(=z y x f[例] 一质点的运动学方程为：j t r i t R rsin cos +=，求其轨迹。
解：由已知，tR y t R x sin cos == ，则轨迹方程：222R y x =+，圆心在原点。
二、质点的位移和路程1、位移：描述质点在一定时间间隔内位置变动的物理量，用r∆表示。
)()(t r t t r r-∆+=∆位移在直角坐标中的正交分解式： k t z j t y i t x t r t t r r)()()()()(∆+∆+∆=-∆+=∆注意：质点的位移是矢量，其大小 12r r r r -=∆≠∆2、路程：描述质点在一定时间间隔内在其轨迹上经过路径的长度，用l ∆表示。
动力学中的矢量分析与运动学方程
动力学中的矢量分析与运动学方程动力学是研究物体运动的力学分支，而矢量分析和运动学方程是动力学中的两个重要概念。
本文将探讨它们的关系和应用。
一、矢量分析在动力学中的应用矢量分析是研究矢量在空间中运动和变化的数学方法。
在动力学中，我们常常需要分析物体的位移、速度和加速度等矢量量，而矢量分析提供了一种有效的工具。
首先，我们来看位移矢量。
位移矢量是描述物体从一个位置到另一个位置的矢量，它的大小等于两个位置之间的直线距离，方向则是从起始位置指向结束位置。
通过矢量分析，我们可以计算出物体在某一时刻的位移，从而了解其位置的变化。
其次，速度矢量是描述物体运动快慢和方向的矢量，它等于位移矢量除以时间间隔。
通过矢量分析，我们可以计算出物体在某一时刻的速度，从而了解其运动状态。
最后，加速度矢量是描述物体运动变化率的矢量，它等于速度矢量的变化率。
通过矢量分析，我们可以计算出物体在某一时刻的加速度，从而了解其运动的加速度变化情况。
总之，矢量分析在动力学中的应用非常广泛，通过对位移、速度和加速度等矢量量的分析，我们可以深入理解物体的运动规律和变化情况。
二、运动学方程的推导和应用运动学方程是描述物体运动规律的数学方程。
在动力学中，我们常常需要通过运动学方程来研究物体的运动状态和变化。
首先，我们来看匀速直线运动的运动学方程。
对于匀速直线运动，物体的位移随时间的变化是线性的，即位移与时间成正比。
因此，我们可以得到匀速直线运动的位移公式：位移等于速度乘以时间。
其次，对于匀加速直线运动，物体的加速度是恒定的，位移随时间的变化是二次函数关系。
通过对位移、速度和加速度的分析，我们可以得到匀加速直线运动的运动学方程：位移等于初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。
最后，对于曲线运动，物体的运动轨迹是曲线形状的。
通过对曲线的参数方程进行分析，我们可以得到曲线运动的运动学方程。
总之，运动学方程是描述物体运动规律的重要工具，通过对位移、速度和加速度等物理量的分析，我们可以推导出各种运动情况下的运动学方程，从而深入理解物体的运动规律。
位矢
(1)质点运动的二维坐标表示
r
r(t )
x(t)i
y(t) j
Δ r r2-r1 i yj
v
dr
dx
i
dy
j
dt dt dt
a
dv dt
d
2
r
dt 2
d2x dt 2
i
d2 y dt 2
j
(2)质点运动的自然坐标表示
刻的速度和加速度。求解这类问题的基本方法是微分
法。 第二类问题：已知质点的加速度（或速度）随时间的
变化规律和初始条件，求质点在任意时刻的速度和运
动方程，求解这类问题的基本方法是积分法。
5 .牛顿运动定律
第一定律可认为是惯性参考系的定义,掌握要点: 惯性、运动状态改变的原因--力。 第二定律是在惯性参考系中力的瞬时作用规律,掌握 要点:质量是F惯 m性a定 d量P表述,力P是产m生v 加速度的原因。
F=F0+k x 的作用,其中F0、k均为常量，且B在x=0处的速度为v0, 求B的速度与坐标间的关系。
思路： 加速度是位置的函数a=a(x):
即a=(F0 / m) +(k/m)x,
a dv dv dx v dv , dt dx dt dx
0x
adx
v
v0
vdv
(3)力是速度的函数F=F(v):一质量为m的轮船C在停靠码头之
an at , t 1s
（2）
s
0tvdt
1
0
3tdt
1.5
m
课后练习题
1 .一电子在电场中运动,其运动方程为:
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
位置矢量
τ
r
6
y x z cos α = , cos β = , cos γ = r r r
此三个角满足关系： 此三个角满足关系：
2 2
设位矢与x， ， 三轴的夹角为 三轴的夹角为α 设位矢与 ，y，z三轴的夹角为α、β、γ。
z
γ
P ( x, y , z )
cos α + cos β + cos γ = 1
2
α
x
4
二、 n
ˆ τ
ˆ n
ˆ τ
O
质点P沿已知的平面轨道运动。 质点 沿已知的平面轨道运动。 沿已知的平面轨道运动 将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一 将此轨道曲线作为一维坐标的轴线， 作为坐标原点。 点O作为坐标原点。 作为坐标原点 质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长 质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长 来表示， 称为弧坐标。 称为弧坐标 度s来表示，s称为弧坐标。 来表示 运动方程： 运动方程：s = s (t ) 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。 在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标和法向坐标。 在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标和法向坐标。 •切向坐标 τ 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向； 切向坐标 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向； •法向坐标 n 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。 法向坐标 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。
r r
o
β
y
2.质点的运动方程 2.质点的运动方程
r r 质点运动时，在某时刻t，位矢可表示为： r = r (t ) 质点运动时，在某时刻t 位矢可表示为：
r r r = r ( t ) 称为运动方程（位矢方程） 称为运动方程 位矢方程） 运动方程（
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
物质的量
发光强度摩尔坎德拉Fra bibliotekmol
cd
只有量纲相同的物理量才能相加相减或者用等号相连接，量 纲可以用来帮助记忆与推导公式。
上页 下页 返回 帮助
§1–1 位置矢量 运动方程
第一章 运动和力
x x(t ) y y(t )
y (t )
y
r (t )
z
z (t )
o
x(t )
x
上页
下页
返回
帮助
§1–1 位置矢量 运动方程
质点做平抛运动时 运动方程：
0
第一章 运动和力
1 2 r (t ) 0 ti 2 gt j
x 0 t
2 y1 gt 2
0
P
x
上页 下页 返回 帮助
§1–1 位置矢量 运动方程
第一章 运动和力
下面列出某些物体长度的数量级
质子的半径 10-15m 原子的半径 10-10m 病毒的线度 10-7m 阿米巴变形虫的线度 10-4m 人的身长 100m 珠穆朗玛峰的高度 104m 地球半径 107m 太阳半径 109m 地球与最近恒星的距离 1016m 银河系的尺度 1021m 星系团 1023m 超星系团 1024m 可探测类星体的最远距离 1026m
标量——计算遵从代数运算定则 1. 只有正值，如质量、速率、动能、频率 2. 既有正值，也有负值，如电流强度、电动势、功 矢量——计算遵从平行四边形定则 既有大小又有方向，如：力、位移、电场强度 张量——计算遵从矩阵运算法则 在一定坐标系下由若干个数值组成矩阵来表示的物理量， 如各向异性的电介质的极化率、铁磁值的磁化率和弹性体 的应力等。
§1–1 位置矢量 运动方程 一、时间和空间
1.人类的“时空观念”
即人类对时间和空间的认识。
第一章 运动和力
牛顿的绝对时空观 三个历史发展阶段 爱因斯坦的相对论时空观
新宇宙学的宇宙时空观
2.时间：时间本身具有单方向性，是一维的。
时间的单位是秒，符号为s。
3.空间：空间反映物质运动的广延性。
空间中两点之间的距离称为长度。 长度的单位是米，符号为m。
*P r
x
r r x2 y 2 z 2
上页 下页 返回 帮助
§1–1 位置矢量 运动方程 四、运动方程
第一章 运动和力
r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k
分量式
z z (t ) 从中消去参数 t 得轨迹方程
f ( x, y, z) 0
质量的单位是千克(公斤)，符号为kg。
上页 下页 返回 帮助
§1–1 位置矢量 运动方程 三、位置矢量
第一章 运动和力
确定质点P 某一时刻在坐标系里的位置的物理量
称位置矢量, 简称位矢
。 r
r x i y j z k
单位 矢
y
y
j
位矢 r 的值为
z
i o z k x
上页 下页 返回 帮助
§1–1 位置矢量 运动方程 二、质点
第一章 运动和力
定义：如果物体的大小和形状可以忽略时，就可 把物体当作是一个有一定质量的点，这样的点称为质 点。 1.质点是理想化的物理模型； 2.平动物体可以作为质点； 3.一个物体是否可以作为质点要视具体问题而定。 例：地球的自传与公转 问题：有人说：“地球很大不可以作为质点，原子 很小可以作为质点。” 这句话是否正确，为什么？
数量级：是指数量的尺度或大小的级别，每个级别之间 保持固定的比例。研究的对象在空间尺度上属于不同的 数量级，便可能属于不同的研究领域。
上页 下页 返回 帮助
§1–1 位置矢量 运动方程
第一章 运动和力
某些时间间隔的数量级
Z0粒子的寿命 Σ0超子的寿命 π0介子的寿命 子寿命 钟摆的周期 自由中子的寿命 地球自转的周期 地球公转的周期 人类的寿命 人类文明史 古人类出现至今 地球的年龄 宇宙的年龄 10-22s 10-19s 10-16s 10-6s 100s 103s 105s 107s 109s 1011s 1014s 1017s 1018s
0
初始时刻（t = 0）
滑轮至小船的绳长是l0
l
H
某时刻t
绳长减少到l0-v0t
x
O
此刻船的位置坐标 x (l0 v0t ) 2 H 2
上页 下页 返回 帮助
上页 下页 返回 帮助
§1–1 位置矢量 运动方程 物理量和量纲
引入或定义一个物理量， 必须：规定一种测量这个 物理量的方法或标准，规 定一个度量单位。
国际上规定7个基本物理 量——国际单位制，其他 的单位均可由基本单位导 出。 量纲dim Q = Lp Mq Ts
第一章 运动和力
国际单位制 （SI）
y
消去参数 t 得 运动轨迹：
y
g
2 2 0
x
2
（此即位抛物线方程）
上页 下页 返回 帮助
§1–1 位置矢量 运动方程
第一章 运动和力
例1-1 湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过离水 面高H的滑轮拉船靠岸，如图所示。设绳的原长为l0， 人以匀速v0拉绳。试写出小船的运动学方程。 解： 建立如图所示的坐标轴Ox