第1章_1位置矢量位移详解

y(t)
r(t)
z z(t)
从中消去参数 t 得轨迹方程
o
z(t)
x(t)
x
f (x, y, z) 0
z
1.1.3 位移
y
A r B
rA
rB
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
o
x
o
xA
xB x
xB xA
把
经过时间间隔 t
由始点 A 指向终点
B后的, 有质向点线位段置矢量r 发称生为变点化A,到
r r 位矢长度的变化
r
x2 2
y2 2
z22
x12 y12 z12
位置矢量与位移及路程的异同
位置矢量 位 移
状态量 过程量
位置矢量与位移都是矢量.
位 移 路 程
矢量 标量
位移与路程都是过程量;位移与过程无关， 路程与过程有关
1.2 速度和加速度
1.2.1 速度 1.2.2 加速度 1.2.3 例题分析
B 的位移矢量 , 简称位移. r rB rA
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
o
xA
xB x
若质点在三维空间中运动
r
(xB
xA
)i
(
yB
yA
)
j
xB
(zB
xA
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
d2x dt 2
a axi ay j azk
加速度大小
ay
dvy dt
d2 y dt 2
a ax2 ay2 az2
az
dvz dt
d2z dt 2
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度；
二 已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程 .
2. 坐标系
在确定了参照系之后，为了确切地、定量 地说明一个质点相对于所选参照系的位置， 就得在此参照系上固结一个坐标系.
最常见的是笛卡儿直角坐标系： y P(x, y,z)
o
x
z
1.1.2 位置矢量
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在
y
坐位标置r系矢量里x,的i简位称置y位的j 矢物r理zk.量称
1.2.1 速度
1 平均速度
在t 时间内, 质点从点
A 运动到点B, 其位移为
y r(t t)
B
s r
r r(t t) r(t)
tv时间内r,
质点的平均速度
x
i
y
j
o
A r (t)
x
或
v
t t vxi
v
平均速度大小
y
t j
v
平均速度 v 与 r 同方向.
(x)2 (y)2
t t
r(t)
求导
v(t )
求导
a(t)
积分
积分
➢ 运动学的问题一般可以分为如下两类。
（1）已知运动方程求速度、加速度的问题（在曲线
运动中还可以求运动轨迹）。这类问题的求解是非常 简单的，根据在前面学习的公式，大家可以看到对运
动方程求时间的一阶导数就得到速度，再求一次导数 就得到加速度。再将具体的时间代入到速度和加速
度公式中就可以求得任意时刻的速度和加速度。
（2）已知加速度和初始条件求速度、运动方程的
问题（在曲线运动中还可以求运动轨迹）。这类问题
在数学上看是典型的积分问题。积分常数的确定常常
需要一些已知条件，即初始条件。初始条件是指问题 给定时刻（通常是t为零的时刻，但也有t不为零的情况）
质点运动的速度和位置（常用 和 v来0 表示）x0。
y 18 x2 2
y ( 0 ,1 8 )
质点的轨道曲线如图所示
（2）质点的位置矢量为
r
2ti
(18
2t
2
)
j
o
（3）质点的速度为
v
r
2i
4tj
(6,0)
x
（4）前2s内的平均速度为
v
r (2)
r (0)
20
1
2 2i (18 2 22 ) j 18 j
2 瞬时速度
当 t 0 时平均速度的极限值叫做瞬时速度，
简称速度
v lim
r
dr
v
lim
tx 0i
t
lim
dt
y
j
t0 t t0 t
v
dx
i
dy
j
v
dt vxi
dt
vy
j
y v y
若质点在三维空间中运动,
v
v x
其速度为
v
dx
i
dy
j
dz
k
o
x
dt dt dt
瞬时速率：速度v 的大小称为速率
单位时间内的速度增 量即均加速度
a v t
a 与 v 同方向 .
y vA
vB
B
A
O
x
2）（瞬时）加速度
a lim v dv t0 t dt
vA
v
vB
加速度 a
加速度大小
dv dt
a
limdd2tr2v t0 t
dvx
i
dt
ax2
dv y dt
a
2 y
j
质点作三维运动时加速度为
ax
dvx dt
4 路程（s ）: 质点实际运动轨迹的长度.
位移的物理意义
y
确切反映物体在空间位置的
变化, 与路径无关，只决定于
s P1 r
P2
质点的始末位置.
r
xi
yj
zk
r (t1)
r
r (t2 )
O
r
x2 y 2 z 2
z
x P1(x1, y1, z1)
P2 (x2 , y2 , z2 )
注意
1.1 位置矢量和位移
1.1.1 参考系和坐标系 1.1.2 位置矢量 1.1.3 位移
1.1.1 参照系和坐标系
1 参考系 为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系. ➢ 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不 同，这就是运动描述的相对性.
宇宙中的所有物体都处于永不停止的运动 中，这就是运动的绝对性.
1.2.3 例题分析
1. 已知一质点的运动方程为 x 2t, y 18 2t2 其中x、y以m计，t 以s计. 求：
（1）质点的轨道方程并画出其轨道曲线； （2）质点的位置矢量；
（3）质点的速度； （4）前2s内的平均速度； （5）质点的加速度.
（1）将质点的运动方程消去时间参数t，得 质点轨道方程为
y j
z
o
k
r
i x
*P
x
式中 i、j 、k 分别为x、y、z z
方向的单位矢量. r 位矢 的值为
r r x2 y2 z2
r 位矢 的方向余弦
cos x r
cos y r
y
r
P
cos z r
o
r(t)
2
运动方程 x(t)i y(t
)
j
z
(t)k
z
yP
x
x x(t) 分量式 y y(t)
v v (dx )2 (dy )2 (dz )2 dt dt dt
讨论
一运动质点在某瞬时位于矢径 r(x, y) 的端点
处，其速度大小为
dr （A） dt
d r （C） dt
dr （B） dt
（D）
(dx)2 (dy)2 dt dt
1.2.2 加速度（反映速度变化快慢的物理量）
1） 平均加速度