位置矢量和运动方程概述
国际单位制 （SI）
量的名称 长度
单位名称 米
单位符 号
m
质量
千克
Kg
时间
秒
s
电流
安培
A
热力学温度 开尔文
K
物质的量 摩尔
mol
发光强度 坎德拉
cd
只有量纲相同的物理量才能相加相减或者用等号相连接，量 纲可以用来帮助记忆与推导公式。
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§1–1 位置矢量 运动方程
第一章 运动和力
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§1–1 位置矢量 运动方程
第一章 运动和力
四、运动方程
r(t)
x(t)i
y(t)
j
z(t)k
y
x x(t)
y(t)
r(t)
分量式 y y(t)
o
x(t)
z z(t)
z(t)
z
x
从中消去参数 t 得轨迹方程
f (x, y, z) 0
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地球自转的周期
地球公转的周期
人类的寿命
人类文明史
古人类出现至今
地球的年龄
宇宙的年龄
10-22s 10-19s 10-16s 10-6s 100s 103s 105s 107s 109s 1011s 1014s 1017s 1018s
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§1–1 位置矢量 运动方程
第一章 运动和力
标量——计算遵从代数运算定则 1. 只有正值，如质量、速率、动能、频率 2. 既有正值，也有负值，如电流强度、电动势、功
矢量——计算遵从平行四边形定则 既有大小又有方向，如：力、位移、电场强度
张量——计算遵从矩阵运算法则 在一定坐标系下由若干个数值组成矩阵来表示的物理量， 如各向异性的电介质的极化率、铁磁值的磁化率和弹性体 的应力等。
§1–1 位置矢量 运动方程
第一章 运动和力
一、时间和空间
1.人类的“时空观念”
即人类对时间和空间的认识。
牛顿的绝对时空观
三个历史发展阶段
爱因斯坦的相对论时空观
新宇宙学的宇宙时空观
2.时间：时间本身具有单方向性，是一维的。
时间的单位是秒，符号为s。
3.空间：空间反映物质运动的广延性。
空间中两点之间的距离称为长度。
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§1–1 位置矢量 运动方程
第一章 运动和力
二、质点
定义：如果物体的大小和形状可以忽略时，就可 把物体当作是一个有一定质量的点，这样的点称为质 点。
1.质点是理想化的物理模型； 2.平动物体可以作为质点； 3.一个物体是否可以作为质点要视具体问题而定。 例：地球的自传与公转 问题：有人说：“地球很大不可以作为质点，原子 很小可以作为质点。” 这句话是否正确，为什么？
§1–1 位置矢量 运动方程
第一章 运动和力
质点做平抛运动时
运动方程：
r (t)
0ti
1 2
gt
2
j
0
0
P
x
x 0t
y
1 2
gt 2
y
消去参数 t 得
运动轨迹：
y
g
202
x2
（此即位抛物线方程）
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§1–1 位置矢量 运动方程
第一章 运动和力
例1-1 湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过离水
长度的单位是米，符号为m。
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§1–1 位置矢量 运动方程
物理量和量纲
引入或定义一个物理量， 必须：规定一种测量这个 物理量的方法或标准，规 定一个度量单位。
国际上规定7个基本物理 量——国际单位制，其他 的单位均可由基本单位导 出。
量纲dim Q = Lp Mq Ts
第一章 运动和力
➢ 数量级：是指数量的尺度或大小的级别，每个级别之间 保持固定的比例。研究的对象在空间尺度上属于不同的 数量级，便可能属于不同的研究领域。
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§1–1 位置矢量 运动方程
第一章 运动和力
某些时间间隔的数量级
Z0粒子的寿命
Σ0超子的寿命
π0介子的寿命 子寿命
钟摆的周期
自由中子的寿命
质量的单位是千克(公斤)，符号为kg。
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§1–1 位置矢量 运动方程
第一章 运动和力
三、位置矢量
确定质点P 某一时刻在坐标系里的位置的物理量
称位置矢量, 简称位矢 r。
rv
x
v i
y
v j
z
v k
y
y r *P
k
i j
单位 矢
z ox
x
z
r 位矢 的值为 r rv x2 y2 z2
面高H的滑轮拉船靠岸，如图所示。设绳的原长为l0， 人以匀速v0拉绳。试写出小船的运动学方程。
解： 建立如图所示的坐标轴Ox
v0
初始时刻（t = 0）
滑轮至小船的绳长是l0
某时刻t
x
绳长减少到l0-v0t
此刻船的位置坐标 x
l
H
O
(l0 v0t)2 H 2
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下面列出某些物体长度的数量级
质子的半径
10-15m
原子的半径
10-10m
病毒的线度
10-7m
阿米巴变形虫的线度 10-4m
人的身长
100m
珠穆朗玛峰的高度 104m
地球半径
107m
太阳半径
109m
地球与最近恒星的距离 1016m
银河系的尺度
1021m
星系团
1023m
超星系团
1024m
可探测类星体的最远距离 1026m
大学物理-运动学
x
矢量OM 的端点 M 所画的圆叫参考圆。 矢量 OM 0 是 t = 0 时刻的位置，它与 x 轴的夹角φ叫初相位。 简谐振动的参考圆和矢量表示方法十分形 象，有很广泛的应用。
M M0
A
ω
ωt
O
φ x P
X
M
A
P x
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
第五节 抛体运动
第五节
抛体运动
将一质点以仰角θ抛射出 去，其初 速度为 v0，不计 空气阻力，此质点有一垂直 向下的恒加速度 g，研究质 点的运动情况。 解: 设 x 轴平行于水平面，
y 轴垂直向上，质点在 t = 0 时位于原点被抛出。 v0 在X轴和Y轴上的投影分别是 V0x=V0cosθ, V0y=V0sinθ 物体的加速度为: a = g = -g j 在水平方向加速度分量为零，物体作匀速运动，在垂 直方向加速度分量为-g 物体作垂直上抛运动, 因此 Vx=V0cosθ , Vy=V0sinθ - g t
A2
φ2
A1
φ1
x
振动 1 滞后振动 2 若周相差Δ Φ = 0 称两振动同步
0
A1 A2
相位差的问题 x 1= A cos( t +φ 1 ) ω x 2 = A cos ( t +φ 2 ) ω 若周相差Δ Φ = φ 2 φ 1 ＞ 0 0 称振动 2 超前振动 1
A2
φ2
A1
φ1
x
振动 1 滞后振动 2 若周相差Δ Φ = 0 称两振动同步 若周相差Δ Φ = π 称两振动反相
2020年高中物理竞赛(力学篇)01运动的描述：描述质点运动的四个物理量(共12张PPT)
力学篇 （基础版）
P
一. 描述质点运动的四个物理量
1.位置矢量（单位：米）
位置矢量（位矢）： r 运动方程： r r(t)
O
vΓ
r(t)
Δs
P 2
2.位移：
r r2 r1 r(t2) r(t1)
P 1
v
rv 1
Δrvr
Г
2
直角 坐标系中
r
r
xi
( x2
v1 Δv
v2
或位矢对时间的二阶导数
r、av
描述质点运动状态的物理量 描述质点运动状态变化的物理量
直角坐标系中
加速度
a
dv
dv x
i
dv y
j
dv z
k
dt dt dt
dt
axi ay j azk
加速度大小
a a
a
2 x
a
2 y
az
2
任意曲线运动都可以视为沿x,y,z轴的三个各自独 立的直线运动的叠加（矢量加法）。
速度大小
v v
vx2
v
2 y
vz2
平均速度
v
r
x
i
y
j
z
k
t t t t
vxi vy j vzk
v
v(t )
速率（单位：米/秒）
平均速率
v s t
瞬时速率 v lim s ds t0 t dt
P
r r Q
O r r
注意 速度是矢量，速率是标量。
一般情况 v v (s r)
单向直线运动情况
——运动的独立性原理或运动叠加原理
第二章 质点运动学
第二章 质点运动学运动学的任务是描述随时间的推移物体位置变化(运动)的规律,不涉及物体间相互作用与运动的关系。
§2.1 质点的运动学方程一、质点的位置矢量和运动学方程 要描述某质点在空间的位置，可以在参考系上先建立一个空间直角坐标系xyz o -，从坐标原点向该质点引一条有向线段，用r表示。
1、 位置矢量定义：自参考点（原点o ）引向质点P 所在位置的矢量。
质点位矢在直角坐标系中的表示：k z j y i x r++=ˆˆk j i,ˆ,ˆ分别为沿x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位矢量，z y x ,,称为质点的位置坐标，质点的一组位置坐标就对应于一个位置矢量，也就对应质点一空间位置。
位矢的大小： 222z y x r r ++==位矢的方向（用方向余弦表示）：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα γβα,,分别为位矢与x 轴，y 轴，z 轴正方向的夹角。
2、质点的运动学方程由于质点的运动的不同时刻，位矢不同，则有：)(t r r= 即为质点的运动学方程，它给出了任意时刻质点的位置。
方程在直角坐标系中的正交分解式：k t z j t y i t x t r)()()()(++=质点运动学方程的标量形式为： )(),(),(t z z t y y t x x === 3、质点的运动轨迹质点运动时位矢端点描出的曲线，称质点运动轨迹。
由运动学方程消去t 得： 0),,(=z y x f[例] 一质点的运动学方程为：j t r i t R rsin cos +=，求其轨迹。
解：由已知，tR y t R x sin cos == ，则轨迹方程：222R y x =+，圆心在原点。
二、质点的位移和路程1、位移：描述质点在一定时间间隔内位置变动的物理量，用r∆表示。
)()(t r t t r r-∆+=∆位移在直角坐标中的正交分解式： k t z j t y i t x t r t t r r)()()()()(∆+∆+∆=-∆+=∆注意：质点的位移是矢量，其大小 12r r r r -=∆≠∆2、路程：描述质点在一定时间间隔内在其轨迹上经过路径的长度，用l ∆表示。
位矢
(1)质点运动的二维坐标表示
r
r(t )
x(t)i
y(t) j
Δ r r2-r1 i yj
v
dr
dx
i
dy
j
dt dt dt
a
dv dt
d
2
r
dt 2
d2x dt 2
i
d2 y dt 2
j
(2)质点运动的自然坐标表示
刻的速度和加速度。求解这类问题的基本方法是微分
法。 第二类问题：已知质点的加速度（或速度）随时间的
变化规律和初始条件，求质点在任意时刻的速度和运
动方程，求解这类问题的基本方法是积分法。
5 .牛顿运动定律
第一定律可认为是惯性参考系的定义,掌握要点: 惯性、运动状态改变的原因--力。 第二定律是在惯性参考系中力的瞬时作用规律,掌握 要点:质量是F惯 m性a定 d量P表述,力P是产m生v 加速度的原因。
F=F0+k x 的作用,其中F0、k均为常量，且B在x=0处的速度为v0, 求B的速度与坐标间的关系。
思路： 加速度是位置的函数a=a(x):
即a=(F0 / m) +(k/m)x,
a dv dv dx v dv , dt dx dt dx
0x
adx
v
v0
vdv
(3)力是速度的函数F=F(v):一质量为m的轮船C在停靠码头之
an at , t 1s
（2）
s
0tvdt
1
0
3tdt
1.5
m
课后练习题
1 .一电子在电场中运动,其运动方程为:
位置矢量
τ
r
6
y x z cos α = , cos β = , cos γ = r r r
此三个角满足关系： 此三个角满足关系：
2 2
设位矢与x， ， 三轴的夹角为 三轴的夹角为α 设位矢与 ，y，z三轴的夹角为α、β、γ。
z
γ
P ( x, y , z )
cos α + cos β + cos γ = 1
2
α
x
4
二、 n
ˆ τ
ˆ n
ˆ τ
O
质点P沿已知的平面轨道运动。 质点 沿已知的平面轨道运动。 沿已知的平面轨道运动 将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一 将此轨道曲线作为一维坐标的轴线， 作为坐标原点。 点O作为坐标原点。 作为坐标原点 质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长 质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长 来表示， 称为弧坐标。 称为弧坐标 度s来表示，s称为弧坐标。 来表示 运动方程： 运动方程：s = s (t ) 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。 在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标和法向坐标。 在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标和法向坐标。 •切向坐标 τ 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向； 切向坐标 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向； •法向坐标 n 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。 法向坐标 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。
r r
o
β
y
2.质点的运动方程 2.质点的运动方程
r r 质点运动时，在某时刻t，位矢可表示为： r = r (t ) 质点运动时，在某时刻t 位矢可表示为：
r r r = r ( t ) 称为运动方程（位矢方程） 称为运动方程 位矢方程） 运动方程（
大学物理：描写运动的物理量
dvx d ( R sin(t )) ax R 2 cos(t ) dt dt dvy d ( R cos(t )) ay R 2 sin(t ) dt dt dvz az dt
a axi a y j az k 2 R cos(t )i 2 R sin(t ) j 0k 2 r
•运动方程的分量表达式：
x x(t ) y y (t ) z z (t )
5、轨迹与轨迹方程 •定义：质点运动时所经过的空间点的集合。
•一般情况下轨迹是一条曲线
•描写轨迹曲线的数学方程叫轨迹方程
•怎样计算轨迹方程： 将运动方程分量式中的t消去，即得轨迹方程 例题1、已知一个质点的运动方程为：
Δr
r2 Y
①定义：单位时间内质点 所走过的路程。
②平均速率： ③瞬时速率 （简称为速率）
s v t
v
lim
t o
s ds t dt
7、速度与速率的比较： 速度是矢量，而速率是标量。 可以证明：平均速度的大小不一定等于平均速率， 而瞬时速度的大小则一定等于瞬时速率。
r v lim t t 0 r lim t t 0 r lim t t 0 s lim v t t 0
r r2 r1
注：位移矢量与我们所选 择的起止时间有关。 位移也与坐标系的选择 有关。 X
Z r1 O
Δr
r2 Y
位移也有分量表示：
3、路程： 质点在一段时间所走 过的轨迹的弧长。用 ΔS表示。
r1 x1i y1 j z1k r2 x2 i y2 j z 2 k x x2 x1 y y 2 y1 z z 2 z1
02位置矢量运动学方程
•法向坐标 n 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。
5
ˆ 为单位矢量， 大小不变， ˆ, n
但方向改变。 强调：自然坐标系是建立在运动 质点上的，它随质点一起运动在 轨道曲线上。轨道上各点的自然 坐标系的二个坐标轴的方位是不 断变化的。
n
n
s 0O s 0
6
位置矢量在直角坐标系中可以从原点o向质点p所在位置画一矢量来表示质点位置称为位置矢量简称位矢
位置矢量 运动学方程
1
一、位置矢量
1.位置矢量 描写质点空间位置的物理量。 在直角坐标系中，可以从原点 O向质点P所在位置画 一矢量 r 来表示质点位置， z P( x, y, z ) r 称为位置矢量，简称位矢。
4
二、自然坐标系
1.自然坐标系
ˆ n
ˆ
ˆ n
ˆ
O
质点P沿已知的平面轨道运动。 将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一 点O作为坐标原点。
质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长 度s来表示，s称为弧坐标。 运动方程：s s(t ) 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。
在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标的端点代表质点的位置，位 矢的大小表示原点到质点的距离，位 矢的方向由原点指向质点P。 位矢可表示为：
r xi yj zk
o x
x
z
r
y
y
i , j, k 表示沿x，y，z轴的单位矢量。
2
2 2 2 位矢大小（位矢的模）：r | r | x y z
y
质点的运动实际上就是它的位置在随时间的变化。 即质点运动时，位置矢量是时间的函数。
质点运动时，在某时刻t，位矢可表示为： r r (t )
1-3 位置矢量和运动方程
）
B．椭圆；
C．圆；
x 2t 1 2 y gt 2
D和路程
1、位移 （反映物体位置的变化）
r rB rA
r r ( xB x A ) ( y B y A ) ( z B z A )
例：匀速率圆周运动 消去 t ，得到：
{
x = R cos ω t y = R sin ω t
为轨迹方程。
x2 +y2 = R2
轨迹?
圆
轨迹：质点在运动时所描绘出的空间径迹。
【习题 1-1】 一质点在平面内运动，其参数方
1 2 程为： x 2t ， y gt （g为重力加速 2
度）。则此质点的运动轨迹为（
2、 质点作圆周运动位置矢量大小一定不变。
【习题1-3】一个点的运动方程是 r R cos ti R sin tj
，R 、ω是正常数，当t=T/4到t = 3T/4时间内，质点通 2 过的路程是（ ）。其中 。 y T A．2R
B．πR
C．0 D．πRω
x
【习题1-4】 一个点的运动方程是 r R cos ti R sin tj
，R 、ω是正常数，从t =T/4到t =3T/4时间内该质点的位 2 y 移是（ ）。其中 。 T A． -2R i
B． 2R i Ｃ．-2R j
Ｄ．0
x
【补充例题1】 一质点在 xoy 平面内按x = t 2 ，y = t3/16的规律沿曲线运动，其中 x、y 以m为单位，t 以s 为单位。试求：质点2s末到4s末的位移。 解：
运动方程 （分量式）
运动方程举例： x = x0 + υ0 cos θ t 斜抛运动： y = y0 + υ0 sinθ t
力学 第二章 质点运动学
v
arccos vz 5618'
v
二、平均加速度与瞬时加速度
1、平均加速度：速度矢量对时间的平均变化率。
a v v(t t) v(t)
t
t
v(t )
v
速度矢端曲线
v( t t )
§2.3 质点的直线运动(x vx ax )
一、运动学方程
x xt
二、速度和加速度
1、速度（瞬时速度）
vx
dx dt
大小表示质点在t时刻运动的快慢；
正负分别对应于质点沿Ox正向和负向运动。
2、加速度
ax
dvx dt
d2x dt 2
ax与vx同号，则加速；ax与vx反号，则减速。
4、质点的运动学轨迹方程
质点运动时描出的轨迹称为质点的轨迹。 也就是位置矢量的矢端曲线。
质点在平面Oxy上运动，
轨迹方程： y y(x) 或者：f (x, y, z) 0
例题：r R cos tiˆ R sin tˆj, 求:轨迹方程。
y R
解： x2 y2 R2.
x
二、位移
v
v
v
4、注意：
（1）平均速度的大小不等于平均速率。 （2）瞬时速度的大小等于瞬时速率。 （3）即使位置矢量的大小不变，也可以有速度。
ΔS
r(t )
r
S
r(
t
t
)
o
dr / dt
r(t )
ΔS
S
r
r( t t )
第一章物体运动的描述
第一章 物体运动的描述§1.1描述质点运动状态的物理量一、位矢和位移1、 位矢r—描述质点的位置 （1） 定义：从坐标原点O 到运动质点P 的有向线段OP 称为质点P 的位矢。
OP r =（2） 位矢的直角坐表示j y i x r+= 当质点运动时：)(t r r=)()()()()(t y y t x x j t y i t x t r ==⇒+=（3） 位矢的大小和方向位矢的大小22y x r r +==位矢的方向——与X 轴的夹角xy tg =α 2、 位移r∆——描述质点位置的变化设t 时刻，质点处于P 点，位矢为)(t r。
经时间t 后于t+Δt 时刻运动到P /点，位矢为)(t t r ∆+，则从初位置P 到未位置P /的有向线段：)()(t r t t r r -∆+=∆叫质点在t t t ∆+→时间内的位移。
讨论：（1）r∆与r ∆的区别r∆——位移的大小，r ∆——位矢长度的改变量。
（2）位移r∆与路程S ∆的区别r ∆是矢量，S ∆是标量，且S r ∆≠∆当0→t 时，ds rd =但，r d dr≠二、速度v——描述质点位置变化的快慢1、 平均速度v定义：质点在t t t ∆+→时间内的位移r∆与时间t ∆的比值，叫质点在t t t ∆+→内的平均速度。
tr v ∆∆=方向：与r∆同方向大小：tr v ∆∆=讨论：平均速率v 与平均速度大小v的区别ts v ∆∆=t r v ∆∆=tr v ∆∆≠ 2、 速度v（1） 定义：t r v t ∆∆=→∆lim 0 dtrd v = 即：速度是位矢对时间的一阶导数。
方向：沿轨迹切线且指各质点前进的方向。
大小：dt rd v =讨论：dtdsdt r d v == 是否成立？ （2） 在直角坐系下的表示j v i v j dtdy i dt dx v y x+=+=dtdy v dtdxv yx ==大小：22y x v v v +=方向：与与X 轴的夹角xy v v tg =α三、加速度a——描述质点速度变化的快慢 1、 平均加速度a设t 时刻，质点处于P 点，速度为)(t v。