位置矢量矢径
2020年高中物理竞赛(力学篇)01运动的描述：描述质点运动的四个物理量(共12张PPT)
力学篇 （基础版）
P
一. 描述质点运动的四个物理量
1.位置矢量（单位：米）
位置矢量（位矢）： r 运动方程： r r(t)
O
vΓ
r(t)
Δs
P 2
2.位移：
r r2 r1 r(t2) r(t1)
P 1
v
rv 1
Δrvr
Г
2
直角 坐标系中
r
r
xi
( x2
v1 Δv
v2
或位矢对时间的二阶导数
r、av
描述质点运动状态的物理量 描述质点运动状态变化的物理量
直角坐标系中
加速度
a
dv
dv x
i
dv y
j
dv z
k
dt dt dt
dt
axi ay j azk
加速度大小
a a
a
2 x
a
2 y
az
2
任意曲线运动都可以视为沿x,y,z轴的三个各自独 立的直线运动的叠加（矢量加法）。
速度大小
v v
vx2
v
2 y
vz2
平均速度
v
r
x
i
y
j
z
k
t t t t
vxi vy j vzk
v
v(t )
速率（单位：米/秒）
平均速率
v s t
瞬时速率 v lim s ds t0 t dt
P
r r Q
O r r
注意 速度是矢量，速率是标量。
一般情况 v v (s r)
单向直线运动情况
——运动的独立性原理或运动叠加原理
大学物理教程1.2 质点的位矢、位移和速度
1.2 质点的位矢、位移和速度 11-1 电荷
说明 运动方程之所以可以在具体坐标系写成分量形 式，实际上是建立在运动的可叠加性基础上的。 例如：平抛物体时，物体的运动可以分解为在 水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的匀加速 直线运动。
第11章 静电场 第1章 质点运动学
位置矢量在直角坐标系中可用单位矢量表示为：
r xi yj zk
大小 r
方向 可由 三个 方向 余弦 表示
z
k
x2 y2 z2
r
P(x,y,z)
x cos r y cos r z cos r
j
y
O i
x
方向余 cos2 cos2 cos2 1 弦满足
1.2 质点的位矢、位移和速度 11-1 电荷
注意 速度为矢量！ (1) 方向
t 0 时，
B A , r
沿A点处轨道的切线方向
第11章 静电场 第1章 质点运动学
1.2 质点的位矢、位移和速度 11-1 电荷
(2) 大小
dr v v dt
s
lim
t 0
r t
同信息。
也就是说，平均速率和瞬时速率有不同的物理
意义，它们强调质点运动过程中关于运动快慢的不同 方面。 （1）平均速率更强调在一有限时间段内的总体 运动效果；
（2）瞬时速率更强调运动过程中的细节。
第11章 静电场 第1章 质点运动学
1.2 质点的位矢、位移和速度 11-1 电荷
某些典型速度大小的量级 单位：（m·-1) s 光 已知类星体最快的退行 电子绕核的运动 太阳绕银河中心的运动 地球绕太阳的运动 第二宇宙速度 第一宇宙速度 子弹出口速度 地球的自转（赤道） 空气分子热运动的平均速度（室温） 3.0×108 2.7×108 2.2×108 2.0×105 3.0×104 1.1×104 7.8×103 ~7×102 4.6×102 4.5×102
§2、速度、加速度的分量表达式
§2、速度、加速度的分量表达式上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，22;dt r d dt v d a dt r d v =≡≡ 。
在一般情况下它们往往都是时间t 的函数。
何谓定义呢？定义它本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是根据实际需要常常用到而定义下来的名称和概念。
例如过两点成一条直线……。
由于速度和加速度都是矢量，因此都可以将它们表示成分量的形式。
这次课将准备讨论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。
一、 直角坐标系——直角坐标系又称笛卡儿坐标系在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为：........z k y j x i r ++= （1）根据速度的定义可知dtr d v ≡将（1）代入，则有 1、速度： z y x v k v j v i dt dz k dt dy j dt dx i z k y j x i dt d dt r d v ++=++=++==...........................................)(于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的分量表达式为：z dtdz v y dt dy v x dt dx v z y x ======;;可见速度沿三直角坐标轴的分量（即分速度）就等于其相应的坐标对时间t 的一阶导数。
速度的大小：222z y x v v v v v ++== 速度的方向就用方向余弦来表示：vv k v v v j v v v i v z y y ===),cos(;),cos(;),cos( 。
同理，我们由加速度的定义不难得到它的分量表达式。
2、加速度根据加速度的定义：zy x z y x a k a j a i dt dv k dt dv j dt dv i dt z d k y d j x d i dt dz k dy j dx i dt d dt v d a ++=++=++=++==2222)(比较这些恒等式可得加速度的直角坐标分量表达式：z dt z d v dv a y dt y d v dt dv a x dtx d v dt dv a z t z y y y x x x ============222222 于是可得加速度的大小为：222z y x a a a a a ++== 加速度的方向用方向余弦表示。
大学物理填空题
填空题 第一章1. ()t r 与()t t r ∆+为某质点在不同时刻的位置矢量(矢径)，()t v 与()t t ∆+v 为不同时刻的速度矢量，试在两个图中分别画出 ， 以及 ， . 二2. 假设作用在一质量为10 kg 的物体上的力，在4秒内均匀地从零增加到50 N ，使物体沿力的方向由静止开始作直线运动．则物体最后的速率v ＝______________． 七3.. 以一定初速度斜向上抛出一个物体，若忽略空气阻力，当该物体的速度v与水平面的夹角为θ 时，它的切向加速度a t 的大小为______________，法向加速度a n 的大小为_______ ____________． 三4一质点沿x 轴作直线运动，它的运动学方程为 x =3+5t +6t 2-t 3 (SI)则(1) 质点在t =0时刻的速度=0v____ _____________；(2) 加速度为零时，该质点的速度=v ____________________． 七5.一质点沿直线运动其坐标x 与时间t 有如下关系: t A x tωβcos e -= (SI) (A 、β 皆为常数)(1) 任意时刻ｔ质点的加速度a = _______________________；(2) 质点通过原点的时刻t =___ ________________________．十一6 在x 轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为0v ，初始位置为x 0，加速度2Ct a =（其中C 为常量），则其速度与时间的关系为=v __________，运动学方程为=x __________． 六7. 一小珠可以在半径为R 的竖直圆环上作无摩擦滑动．今使圆环以角速度ω绕圆环竖直直径转动．要使小珠离开环的底部而停在环上某一点，则角速度ω最小应大于__ __________． 三9. 一圆锥摆摆长为l 、摆锤质量为m ，在水平面上作匀速圆周运动，摆线与铅直线夹(1) 摆线的张力T ＝______ _______________； (2) 摆锤的速率v ＝________ _____________． 四10. 飞轮作加速转动时，轮边缘上一点的运动学方程为S = 0.1 t 3 (SI).飞轮半径为2 m ．当此点的速率=v 30 m/s 时，其切向加速度为___________________，法向加速度为_______ ___________． 四11. 一质点从静止出发沿半径R =1 m 的圆周运动，其角加速度随时间t 的变化规律是AB AB )(t r )(t t r ∆+)(t t ∆+v)(t v O O m=12t 2-6t (SI)， 则质点的角速ω =_________________________；切向加速度 a t =__________________． 六13. 一质点沿半径为 0.1 m 的圆周运动，其角位移θ 随时间t 的变化规律是 θ = 2 + 4t 2 (SI)．在t =2 s 时，它的法向加速度a n =____________；切向加速度a t =_______________． 七14. 一质点沿半径为R 的圆周运动，其路程S 随时间t 变化的规律为221ct bt S -= (SI) ， 式中b 、c 为大于零的常量,且b 2>Rc. 则此质点运动的切向加速度a t =____ _________；法向加速度a n ＝____ ____________． 五15. 一块水平木板上放一砝码，砝码的质量m ＝0.2 kg ，手扶木板保持水平，托着砝码使之在竖直平面内做半径R ＝0.5 m 的匀速率圆周运动，速率v =1 m/s ．当砝码与木板一起运动到图示位置时，砝码受到木板的摩擦力为____________，砝码受到木板的支持力为________________． 六16. 利用皮带传动，用电动机拖动一个真空泵．电动机上装一半径为 0.1m 的轮子，真空泵上装一半径为0.29m 的轮子，如图所示．如果电动机的转速为1450 rev/min ，则真空泵上的轮子的边缘上一点的线速度为___ _______________，真空泵的转速为___________________．十二17. 距河岸(看成直线)500 m 处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n =1 r/min 转动．当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速度v =_________． 一18.两条直路交叉成α 角，两辆汽车分别以速率1v 和2v 沿两条路行驶，一车相对另一车的速度大小为________ ___________________________. 二第二章1.质量相等的两物体A 和B ，分别固定在弹簧的两端，竖直放在光滑水平面C 上，如图所示．弹簧的质量与物体A 、B 的质量相比，可以忽略不计．若把支持面C 迅速移走，则在移开的一瞬间，A 的加速度大小a A ＝_______，B 的加速度的大小a B ＝_______． 一3. 假如地球半径缩短 1％，而它的质量保持不变，则地球表面的重力加速度g 增大的百分比是______________． 七4.如图所示，一个小物体A 靠在一辆小车的竖直前壁上，A 和车壁间静摩擦系数是μs ，若要使物体A 不致掉下来，小车的加速度的最小值应为a =_______________．. 五5. 一质量为1kg0.200.16，现对物体施一水平拉力F ＝t+0.96(SI)，则2秒 末物体的速度大小v ＝______________． 十二7. 质量为m 的小球，用轻绳AB 、BC 连接，如图，其中AB 水平．剪断绳AB 前后的瞬间，绳BC 中的张力比 T : T ′=___________________． 二第三章2. 设作用在质量为1 kg 的物体上的力F ＝6t ＋3（SI ）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物 体上的冲量大小Ｉ＝___ _______________． 十二5.一个打桩机，夯的质量为m 1，桩的质量为m 2．假设夯与桩相碰撞时为完全非弹性碰撞且碰撞时间极短，则刚刚碰撞后夯与桩的动能是碰前夯的动能的________倍． 九6.. 一个人站在平板车上掷铅球，人和车总质量为M ，铅球的质量为m ，平板车可沿水平、光滑的直轨道移动．设铅直平面为xy 平面，x 轴与轨道平行，y 轴正方向竖直向上．已知未掷球时，人、车、球皆静止．球出手时沿斜上方，它相对于车的初速度在xy 平面内，其大小为v 0，方向与x 轴正向的夹角为θ ，人在掷球过程中对车无滑动，则球被抛出之后，车对地的速度=V ______________________，球对地的速度=v______________________．三7. 如图所示，一斜面倾角为θ，用与斜面成α角的恒力F将一质量为m 的物体沿斜面拉升了高度h ，物体与斜面间的摩擦系数为μ．摩擦力在此过程中所作的功W f ＝________________________． 一8. 图中，沿着半径为R 圆周运动的质点，所受的几个力中有一个是恒力0F，方向始终沿Ax 轴正向，即i F F00=.当质点从A 点沿逆时针方向走过3 /4圆周到达B 点时，力0F 所作的功为W ＝__ ________． 三 10.某质点在力F ＝(4＋5x )i(SI)的作用下沿x 轴作直线运动，在从x ＝0移动到x ＝10 m 的过程中，力F所做的功为_________． 八11.有一劲度系数为k 的轻弹簧，竖直放置,下端悬一质量为m 的小球．先使弹簧为原长，而小球恰好与地接触．再将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离地面为止．在此过程中外力所作的功为______________________． 五12.已知地球质量为M ，半径为R ．一质量为m 的火箭从地面上升到距地面高度为2R 处．在此过程中，地球引力对火箭作的功为____________________． 十一14. 如图所示，质量m ＝2 kg 的物体从静止开始，沿1/4圆弧从A 滑到B ，在B 处速度的大小为v ＝6 m/s ，已知圆的半径R ＝4 m ，则物体从A 到B 的过程中摩擦力对它所作的功W ＝___________________． 二15. 光滑水平面上有一轻弹簧，劲度系数为k ，弹簧一端固定在O 点，另一端拴一个质量为m 的物体，弹簧初始时处于自由伸长状态，若此时给物体m 一个垂直于弹簧的初速度0v如图所示，则当物体速率为21v 0时弹簧对物体的拉力f =_________________．九第四章1.一长为l ，质量可以忽略的直杆，可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为m 的小球，如图所示．现将杆由水平位置无初转速地释放．则杆刚被释放时的角加速度β0＝__ __________，杆与水平方向夹21v m角为60°时的角加速度β ＝________________． 六2.地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常量为G ，则地球 绕太阳作圆周运动的轨道角动量为L ＝_________． 二3. 质量为m 的质点以速度v沿一直线运动，则它对直线外垂直距离为d 的一点的角动量大小是__ ________． 八4. 若作用于一力学系统上外力的合力为零，则外力的合力矩___ _________（填一定或不一定）为零；这种情况下力学系统的动量、角动量、机械能三个量中一定守恒的量是 ______ __________ 八7. 两个质量都为100 kg 的人，站在一质量为200 kg 、半径为3 m 的水平转台的直径两端．转台的固定竖直转轴通过其中心且垂直于台面．初始时，转台每5 s 转一圈．当这两人以相同的快慢走到转台的中心时，转台的角速度ω ＝_________________．(已知转台对转轴的转动惯量J ＝21MR 2，计算时忽略转台在转轴处的摩擦)． 五8.哈雷慧星绕太阳的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．它离太阳最近的距离是r 1＝8.75×1010 m ，此时它的速率是v 1＝5.46×104 m/s ．它离太阳最远时的速率是v 2＝9.08×102 m/s ，这时它离太阳的距离是r 2＝______． 十一第五章1. 电荷分别为q1和q2的两个点电荷单独在空间各点产生的静电场强分别为1E 和2E ，空间各点总场强为E ＝1E＋2E ．现在作一封闭曲面S ，如图所示，则以下两式分别给出通过S 的电场强度通量⎰⋅S Ed 1＝______________________________，⎰⋅SE d ＝________________________________． 四2. 一半径为R ，长为L 的均匀带电圆柱面，其单位长度带有电荷λ．在带电圆柱的中垂面上有一点P ，它到轴线距离为r (r >R )，则P 点的电场强度的大小：当r <<L 时，E ＝_____________________；当r >>L 时，E ＝__________________． 六5. 如图所示，A 、B 为靠得很近的两块平行的大金属平板，两板的面积均为S ，板间的距离为d ．今使A 板带电荷q A ，B 板带电荷q B ，且q A > q B ．则A 板的靠近B 的一侧所带电荷为___________；两板间电势差U =______ ________________． 二6. 把一个均匀带有电荷+Q 的球形肥皂泡由半径r 1吹胀到r 2，则半径为R (r 1＜R ＜r 2)的球面上任一点的场强大小E 由__________变为______________；电势U 由 __________________________变为____ ____________(选无穷远处为电势零点)． 一7. 一半径r 1 = 5 cm 的金属球A ，带电荷q 1 = +2.0×10-8 C ，另一内半径为r 2 = 10 cm 、 外半径为r 3 = 15 cm 的金属球壳B ， 带电荷q 2 = +4.0×10-8 C ，两球同心放置，如图所示．若以无穷远处为电势零点，则A 球电势U A = __________________，B 球电势U B = ___________________,八8.一带电荷q 、半径为R 的金属球壳，壳内充满介电常量为εr 的各向同性均匀电介质，壳外是真空，则此球壳的电势U =___ _______________． 十一第六章3. 源保持接通的情r 的各向同性均匀电介质充满其内．如忽略边缘效应，介质中的场强应为__________________． 四4. 一个半径为R 的薄金属球壳，带有电荷q ，壳内真空，壳外是无限大的相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质．设无穷远处为电势零点，则球壳的电势U =_____________ _______________． 一5. 一平行板电容器，两板间充满各向同性均匀电介质，已知相对介电常量为εr ．若极板上的自由电荷面密度为σ ，则介质中电位移的大小D =________，电场强度的大小E =__ _____________． 九6. 一个孤立导体，当它带有电荷q 而电势为U 时，则定义该导体的电容为 C =______________，它是表征导体的___ ____________的物理量． 四7. 一空气平行板电容器，电容为C ，两极板间距离为d ．充电后，两极板间相互作用力为F ．则两极板间的电势差为______________，极板上的电荷为______________． 七d8.一平行板电容器，充电后与电源保持联接，然后使两极板间充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质，这时两极板上的电荷是原来的___ ___倍；电场强度是原来的 _________倍；电场能量是原来的_________倍． 五第七章1. 在真空中，电流由长直导线1沿半径方向经a 点流入一由电阻均匀的导线构成的圆环，再由b 点沿切向从圆环流出，经长直导线2返回电源(如图)．已知直导线上的电流强度为I ，圆环半径为R ．a 、b 和圆心O 在同一直线上，则O 处的磁感强度B 的大小为__________________________． 三6. 一个绕有500匝导线的平均周长50 cm 的细环，载有 0.3 A 电流时，铁芯的相对磁导率为600 ．(1) 铁芯中的磁感强度B 为___ __________________．(2) 铁芯中的磁场强度H 为____ _________________． (μ0 =4π×10-7 T ·m ·A -1) 七7. 氢原子中，电子绕原子核沿半径为r 的圆周运动，它等效于一个圆形电流．如果外加一个磁感强度为B 的磁场，其磁感线与轨道平面平行，那么这个圆电流所受的磁力矩的大小M =__________________．(设电子质量为m e ，电子电荷的绝对值为e ) 九 8.（磁场中任一点放一个小的载流试验线圈可以确定该点的磁感强度，其大小等于放在该点处试验线圈所受的__________和线圈的________的比值． 十9. 将同样的几根导线焊成立方体，并在其对顶角A 、B 上接上电源，则立方体框架中的电流在其中心处所产生的磁感强度等于________________．十10. 已知三种载流导线的磁感线的方向如图，则相应的电流流向在图(1)中为由______向________； 图(2)中为由________向________；图(3)中为由________向________． 二ef图(1)图(2)图(3)12. 两根长直导线通有电流I ，图示有三种环路；在每种情况下，⎰⋅l Bd 于：___ _________________________________(对环路a )． （1分）____________________________________(对环路b )． （1分）____ ________________________________(对环路c )． （1分）六13.磁场中某点处的磁感强度为)SI (20.040.0j i B-=，一电子以速度j i 66100.11050.0⨯+⨯=v (SI)通过该点，则作用于该电子上的磁场力F 为__________________．(基本电荷e =1.6×10-19C) 十二14. 带电粒子穿过过饱和蒸汽时，在它走过的路径上，过饱和蒸汽便凝结成小液滴，从而显示出粒子的运动轨迹．这就是云室的原理．今在云室中有磁感强度大小为B = 1 T 的均匀磁场，观测到一个质子的径迹是半径r = 20 cm 的圆弧．已知质子的电荷为q = 1.6×10-19 C ，静止质量m = 1.67×10-27 kg ，则该质子的动能为_ ____________． 三17. 如图，在面电流密度为j的均匀载流无限大平板附近，有一载流为I 半径为R 的半圆形刚性线圈，线圈平面与载流大平板垂直，与j平行线圈所受磁力矩为_____________________，受力为_______________． 一18. 如图，半圆形线圈(半径为R )通有电流I ．线圈处在与线圈平面平行向右的均匀磁场B中．线圈所受磁力矩的大小为__________，方向为__ __________．把线圈绕OO ＇轴转过角度____________时，磁力恰截距为零. 三19. 铜的相对磁导率r = 0.9999912，其磁化率m =_________________它是_____磁性磁介质． 十第八章1. 由导线弯成的宽为a 高为b 的矩形线圈，以不变速率v 平b行于其宽度方向从无磁场空间垂直于边界进入一宽为3a 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直(如图)，然后又从磁场中出来，继续在无磁场的空间运动．设线圈右边刚进入磁场时为t =0时刻，试在附图中画出感应电流I 与时间t 的函数关系曲线．线圈的电阻为R ，取线圈刚进入磁场时感应电流的方向为正向．(忽略线圈自感) 一3.如图所示，在一长直导线L 中通有电流I ，ABCD 为一矩形线圈，它与L 皆在纸面内，且AB 边与L 平行．(1)矩形线圈在纸面内向右移动时，线圈中感应电动势方向为 ． (2)矩形线圈绕AD 边旋转，当BC 边已离开纸面正向外运动时，线圈中感应动势的方向为________ ________________． 五4. 在磁感强度为B的磁场中，以速率v 垂直切割磁力线运动的一长度为L 的金属杆，相当于____________，它的电动势 ＝____________，产生此电动势的非静电力是__ ____________． 八5. 在直角坐标系中，沿z 轴有一根无限长载流直导线，另有一与其共面的短导体棒．若只使导体棒沿某坐标轴方向平动而产生动生电动势，则 (1) 导体棒平行x 轴放置时，其速度方向而沿___________ 轴．导体棒平行z 轴放置时，其速度方向而沿_____________ 轴． 十二6. 长为l 的金属直导线在垂直于均匀磁场的平面内以角速度ω转动．如果转轴在导线上的位置是在____________，整个导线上的电动势为最大，其值为____________；如果转轴位置是在___________，整个导线上的电动势为最小，其值为____________． 九10.一自感线圈中，电流强度在 0.002 s 内均匀地由10 A 增加到12 A ，此过程中线圈内自感电动势为 400 V ，则线圈的自感系数为L =____________． 十11.面积为S 的平面线圈置于磁感强度为B的均匀磁场中．若线圈以匀角速度ω绕位于线圈平面内且垂直于B 方向的固定轴旋转，在时刻t = 0B与线圈平面垂直．则任意时刻t 时通过线圈的磁通量为__________________，线圈中的感应电动势为__________________．若均匀磁场B是由通有电流I 的线圈所产生，且B =kI (k 为常量)，则旋转线圈相对于产生磁场的线圈最大互感系数为______________． 十一13.图示为一圆柱体的横截面，圆柱体内有一均匀电场E，其方向垂直纸面向内，E 的大小随时间t 线性增加，P 为柱体内与轴线相距为r 的一点则 (1)P 点的位移电流密度的方向为____________． (2) P 点感生磁场的方向为___________． 十一C。
1位置矢量矢径
/
s
2
),
a
24(m
/
s2
)
第2秒内的加速度 （应为平均值）
a
v2
v1
18 j(m /
s 2）
a
18(m / s2）
t
3.v
r
0,即rx v x
ry vy
0
4. r 4t 2 (19 2t 3 )2 由 dr 0, 便 可 求 出 质 点 离 原 点 最 近 时 刻 dt
切向：质点前进的切线方向
et
法向：与切向垂直，指向曲 线凹的一面。
P
特征： en , et的方向不断变化，
en
且始终垂直。
四、 圆周运动的加速度
1、切向加速度(tangential acceleration)
v
ds dt
et
vet
ret
质点作变速率圆周运动时
a
dv dt
并量且为指向，litm圆e0n 心称eet，t为n在法l沿itm向径0单矢位而te矢n且量指，即向则：圆d有de心tt：的 方dd向t e上n 取单位矢
lim
et
lim
en
t0 t t0 t
即：det
dt
d
dt
en
故
v det
v0ekti
kt
v(t)
v0ekt ,
v(t)
dx x(t) , dx
dt x0
t 0
v(t )dt
大学物理B-复习资料PPT课件
为v
( A)
，它们之间的关系必定有
| v | v, | v| v.
(B) | v | v, | v| v.
[D]
(C) | v | v, | v| v.
(D) | v | v, | v| v.
瞬时速度的大小等于瞬时速率；平均速度的大小不一定 等于平均速率，如质点沿圆周运动一周。
rA r
rB 0
z
x
AB r rB rA
注意位移与路程的区别。
A
B
A
3
速度
研究质点运动，不仅知道质点的位移，还有必要知道在多 长的时间里有这一位移，即需知道物体运动的快慢程度。为比 较两物体运动的快慢程度，需引入速度的概念。
平均速度（矢量） v r
y
t
方向与位移的方向相同
A(t) s B(t+t) 瞬时速度（简称速度）
at
dv dt
（D）只有（3）是对的。
v dr a dv
dt
dt
13
9.某质点作直线运动的运动学方程为x=3t-5t3+6（SI），则该质 点作
（A）匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向； （B）匀加速直线运动，加速度沿x轴负方向；
[ D]
（C）变加速直线运动，加速度沿x轴正方向；
（D）变加速直线运动，加速度沿x轴负方向。
v dx 3 15t2(m s1) dt
a dv 30t(m s2 ) dt
变加速直线运动，加 速度沿x轴负方向。
14
圆周运动
vB v A
B
l
A
0R
匀速圆周运动：在任意相等的时 间内行经相等长度的圆弧；即质 点在每一时刻的速率相等。
理论力学第五章——点的运动
'
当Δt 0， Δv/Δt的极限称为点在瞬时t的加速度：
v dv d 2 x a lim 2 x t 0 t dt dt
5.1 点的直线运动
已知加速度或速度方程， 采用积分法 求运动方程 ，积 分常数由运动初始条件决定。 dv a dv adt dt v t dv adt
由于
dτ dτ ds dτ ds v n dt dt ds ds dt
所以
dv v a τ n dt
2
5.4 自然法
4 点的切向加速度和法向加速度
dv v a τ n dt
上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at 的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它 表明速度代数值随时间的变化率；分矢量 an的方向永 远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方 向随时间的变化率。
2 t 2
2
at tan | | 0.25 an
2
5.4 自然法
全加速度为aτ和an的矢量和
a at an
全加速度的大小和方向由下列二式决Leabharlann ： 大小：a at an
2
2
方向：
at an cos(a ,t ) , cos(a ,n ) a a
5.4 自然法
如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动 点的运动称为匀变速曲线运动。现在来求它的运动规 律。 at c
dτ τ j 1 lim lim n n ds s 0 s s 0 s
t"
5.4 自然法
3 点的速度
r s ds v lim lim t 0 t t 0 t dt
电磁场与电磁波第四版课后思考题
《电磁场与电磁波理论》思考题第1章思考题什么是标量什么是矢量什么是矢量的分量什么是单位矢量什么是矢量的单位矢量什么是位置矢量或矢径直角坐标系中场点和源点之间的距离矢量是如何表示的什么是右手法则或右手螺旋法则若两个矢量相互垂直，则它们的标量积应等于什么矢量积又如何若两个矢量相互平行，则它们的矢量积应等于什么标量积又如何若两个非零矢量的标量积等于零，则两个矢量应垂直还是平行若两个非零矢量的矢量积等于零，则两个矢量应垂直还是平行直角坐标系中矢量的标量积和矢量积如何计算什么是场什么是标量场什么是矢量场什么是静态场或恒定场什么是时变场什么是等值面它的特点有那些什么是矢量线它的特点有那些哈密顿算子为什么称为矢量微分算子标量函数的梯度的定义是什么物理意义是什么什么是通量什么是环量矢量函数的散度的定义是什么物理意义是什么矢量函数的旋度的定义是什么物理意义是什么什么是拉普拉斯算子标量和矢量的拉普拉斯运算分别是如何定义的直角坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子在的表示式是怎样的三个重要的矢量恒等式是怎样的什么是无源场什么是无旋场为什么任何一个梯度场必为无旋场为什么任何一个无旋场必为有位场为什么任何一个旋度场必为无源场为什么任何一个无源场必为旋度场高斯散度定理和斯托克斯定理的表示式和意义是什么什么是矢量的唯一性定理在无限大空间中是否存在既无源又无旋的场为什么直角坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的圆柱坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的球面坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的点电荷的严格定义是什么点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。
当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。
就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上。
即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。
研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷的分布模型有哪几种电流分布模型他们是如何定义的常用的电荷分布模型有体电荷、面电荷、线电荷和点电荷；常用的电流分布模型有体电流模型、面电流模型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。
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v tan
1.73v
j
Notice:
1、经常出现的错误：
vr
r 2ti
2, vr
dr
dt
vv v, a d vr
dt
2、弄清公式s 1 at 2 , v at的适用条件 2
3、学会利用初始条件确定积分的上、下限
4、常用到的关系变换 a dv dv dx dv v dt dx dt dx
y r sin
二、圆周运动的角速度、角加速度
如右图: 质点在xoy平面上做半径 为r的圆周运动。
角坐标: (t)
1、平均角速度：在t时间内，从A 点运动到B点，与x轴的夹角从变 为+，
y
B
r A
o x
平均角速度，单位为弧度每秒rads-1。
t
2、角速度：当t0时，平均角速度的极限值就是角速度
lim d
t0 t dt
即为圆运动的角速度，其 单位为弧度每秒rads-1。
y
B
r A
o x
3、速率与角速度的关系：在t时间内，质点从A点运动到
B点，所经过的弧长为s=r，则当t0时，s/t的极
限值为：
v lim s r lim
t0 t
t0 t
即: v ds r d
dt dt
y
例3 AB两物体由一长为l的刚性细杆相连，A、B两
物体可在光滑轨道上滑行，如物体A以恒定的速率v向 左滑行，当=60时，物体B的速度为多少？
y
B
l
o
A
v x
解 （首先）建立坐标系,如图
物体A 的速度
y
vA
vxi
dx dt
i
vi
物体B 的速度
B
l
vB
vy
j
dy dt
j
o
x y？
A
v x
3 速度与速率
速度
反映质点空间位置变化的快慢和方向
定义：单位时间内的位移
平 均
v
r /
t
x
i
y
j
z
k
t t t
量
vx
v
x rt
t
,vy
vx2
y t
, vz
v
2 y
v
2 z
z t
定义：平均速度的极限
瞬 时 量
v
dr
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt dt
vx
dx dt
, vy
at
1- 3圆周运动(circular motion)
一、 平面极坐标
设一质点在 Oxy 平面内
y
运径动r，某与时x刻它轴位之于间点的夹A 角。矢
A
r
为 。于是质点在点 A 的位
置可由 A(r, ) 来确定 。
o
x
以 (r, ) 为坐标的参考系为平面极坐标系。
x r cos
它与直角坐标系之间的变换关系为
k
例2：一r质点2t在ixoy(1平9面上2t运3 )动j，(S运I )动，方求程：为：
1、任一时刻的速度 2、第2秒末和第2秒内的加速度各为多少 3、何时质点的位置矢量与其速度矢量垂直 4、质点距离原点最近的时刻
解：1.v
dr
2i
6t 2
j (m
/
s)
2.a
ddtv
12tj (m
/
s
2
积分
积分
例1：一质点从x=0处以v=v0沿x轴运动，已知加速度 a=-k v（k为常数），求质点运动的速度及位置矢量。
已知： xt0 x0 0; vt0 v0; a kv
求：
v(t)
0
?
v0
r (t) ?
x
解： a dv kv dv kdt（分离变量）
dt
v
v(t) dv
两边积分：
az
dvz dt
d2z dt 2
加速度大小
a
ax2
a
2 y
az2
加速度:
av
dvv dt
d 2 rv dt 2
自然坐标系
质点运动学两类基本问题
(1) 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度；
(2) 已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程 。
r(t) 求导 vv(t) 求导 a(t)
)
dt
第2秒末的加速度即t=2, 求得:
a
24
j (m
/
s2
),
a
24(m
/
s2
)
第2秒内的加速度 （应为平均值）
a
v2
v1
18 j(m /
s 2）
a 18(m / s2）
t
3.v r 0,即rxvx ryvy 0
4. r 4t 2 (19 2t 3 )2 由 dr 0, 便 可 求出 质 点 离 原 点 最 近 时 刻 dt
OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量
x2 y2 = l2
两边求导得， 2x dx 2 y dy 0 dt dt
2x dx 2 y dy 0 dt dt
即
dy x dx
dt y dt
vB
x y
dx dt
j
dx v, tan
vvB
dt
沿y
轴正向,
当
x y
vB
60时 vB
B
r A
o x
圆周运动质点的速度和角速 度的瞬时关系(大小）为：
v r
4、平均角加速度：在t时间内，质点从A点运动到B 点，角速度从变为+，
为平均角加速度，单位为rads-2。
t
5、角加速度：当t0时，平均角 加速度的极限值就是角加速度
lim d
t0 t dt
y
B
r A
o x
即为圆运动的角加速度，其单位为弧度每秒rads-2。
dy dt
, vz
dz dt
速率 反映质点沿实际轨道移动的快慢
定义：单位时间内的路程
v s t
平均速率 平均速度的大小
定义：平均速率的极限
v ds dt
4
加速度 平均加速度:
av vv t
直角坐标系
av
v axi
ay
v j
az
v k
ax
dvx dt
d2x dt 2
ay
dvy dt
d2 y dt 2
三、自然坐标系
用自然坐标系表示平面曲线运动中的速度和加速度
切向：质点前进的切线方向
e
t
法向：与切向垂直，指向曲 线凹的一面。
P
特征：
r en
,
ert的方向不断变化，
en
且始终垂直。
四、 圆周运动的加速度
1、切向加速度(tangential acceleration)
v
ds dt
et
vet
ret
v0 v
v(t) ekt v0
t
k dt
0
v(t)
ln v(t) v0
v0ekti
kt
v(t)
v0ekt ,
v(t)
dx dt
,
x(t )
dx
x0
t 0
v(t )dt
x0=0
t
t
x(t) x0 v(t)dt v0ektdt
0
v0 (1 ekt )
0
k
r(t)
v0
(1
ekt )i
质点作变速率圆周运动时
a
dv dt
dv dt
et
v
det dt
v2
et2 v1
o r et1
et2et et1
由速度大小的变化引起的，方向
为为切切向向单加位速矢度量，的以方a向表t ，示故被称
由沿速度方向 单位矢量的变 化引起的
所以切向加速度表示为：
at
dv dt
et
利用角量与线量的关系得：