电位移矢量和磁场强度矢量的辅助性的探讨

目 录

1引言 (1)

2电位移矢量 (2)

2.1电介质的极化 (2)

2.2电位移矢量 (3)

3磁场强度矢量 (4)

3.1磁介质的磁化 (4)

3.2磁场强度 (5)

4电位移矢量和磁场强度的辅助性 (7)

4.1各向同性均匀介质中D 的辅助性的表现 (7)

4.2各向同性均匀介质中H 的辅助性的表现 (8)

4.3有极化电流时D 的辅助性的表现 (9)

5D 和H 的辅助性在麦克斯韦方程组中的表现 (11)

6结论 (13)

参考文献 (14)

致 谢 (15)

摘 要

在做电磁场分析时，除了两个基本量B 和E 外，常常用到两个辅助的物理量电位移

矢量D 和磁场强度H ，使得电磁场与电磁波的相关计算得以简化。本文主要是对电位移D 和磁场强度H 的辅助性作一个系统的讨论。

关键词：电位移矢量；磁场强度；辅助性；极化强度；磁化强度

Abstract

Doing electromagnetic field analysis, in addition to the basic amount B and E the

outer two are often used in two complementary physical quantities ：electric displacement

vector D and magnetic field strength H , making the relevant calculation of

electromagnetic field and wave to simplify. This article is the electric displacement D and

magnetic field strength H for a system supporting the discussion.

Key words: electric displacement vector; magnetic field strength; auxiliary; polarization; magnetization

1引言

大学普通物理电磁学中，为了研究媒质中极化电荷、极化电流、磁化电流而引起的

附加场对初始的外场的影响及相互作用，在两个基本量E 和B 的基础上，引入了两个辅

助性矢量电位移D 和磁场强度H ，简化了媒质中电磁场的分析计算，避开了考虑极化

电荷、极化电流、磁化电流所引起的困难，也简化了位移电流的定义式，引入后的麦克斯韦方程微分形式更加精炼直观，这给电磁场的计算带来了很大方便，所以深入分析讨

论电位移D 和磁场强度H 的辅助性很有必要，这对物理学的学习和物理教学都有很大

的帮助。

2电位移矢量

2.1电介质的极化

根据电介质中束缚电荷的分布特征，把电介质的分子分为无极分子和有极分子两类。在外电场的作用下，介质中的非极性分子发生位移极化，而极性分子发生取向极化，受到极化的介质中会出现宏观电荷分布，即极化电荷分布。极化电荷要产生退化电场，

空间中的电场E 为外电场0E 与退化电场'E 的叠加[1]。

0'E E E =+ (1)

其实质是无极分子变为有极分子，不规则排列的有极分子沿外场方向排列趋于一致，宏观上出现电特性。

为了分析计算极化电荷产生的附加电场'E ，需了解电介质的极化特性。不同的电

介质的极化程度是不一样的，引入极化强度来描述电介质的极化程度。将单位体积中的电偶极矩的矢量和称为极化强度，表示为

0lim i

i

V P P V ?→=?∑ (2)

式中的i i i P q d = 为体积V ?中第i 个分子的平均电矩。P 是一个宏观矢量函数[2]。

利用散度定理s V

P d S PdV ?=???? ，不难推导出闭合面S 限定的体积V

内的极

图1极化电荷的排列 n e dS =

化电荷体密度为

P P ρ=-?? (3)

2.2电位移矢量

有（1）可知，电介质内的电场可视为自由电荷和极化电荷在真空中产生的电场的

叠加，即0'E E E =+ 。将真空中的高斯定律推广到电介质中，得

00

P E ρρε+??= (4) 即极化电荷也是产生电场的通量源。将式(3)代入式(4)中，得

00E P ερ????+=??

(5) 可见，矢量0E P ε+ 的散度仅与自由电荷体密度0ρ有关。把这一矢量称为电位移矢

量，表示为

0=D E P ε+ (6)

这样，式(6)变成

0D ρ??= (7)

这就是电介质中高斯定律的微分形式[3]。

3磁场强度矢量

3.1磁介质的磁化

在物理学中，通常用一个简单的原子模型来解释物质的磁性。电子在自己的轨道上以恒定速度绕原子核运动，形成一个环形电流，它相当于一个磁偶极子，将其磁偶极矩称为轨道磁矩。另外，电子和原子核本身还要自旋，这种自旋形成的电流也相当于一个磁偶极子，将其磁偶极矩称为自旋磁矩。通常可以忽略原子的自旋，每个磁介质分子等效于一个环形电流，称为分子电流。分子电流的磁偶极矩称为分子磁矩，表示为

m p i S =? (8)

式中，i 为分子电流的电流强度，n S e S ?=?? 为分子电流所围的面积元矢量，其方向与

i 流动的方向成右手螺旋关系[4]，如图3

磁介质产生磁化的物理机制是：在外磁场的作用下，磁介质中的分子磁矩在磁场的作用下，按一定方向有序排列；受到磁化介质中会出现宏观电流分布，称为磁化电流。

将以上讨论归纳一下可看出，磁介质与磁场的相互作用表现在两个方面。其一，外加磁场是磁介质中的分子磁矩沿外磁场取向，磁介质被磁化；其二，被磁化的磁介质要产生附加磁场，从而使原来的磁场分布发生变化[5]。

如同将电介质中的电场强度E 看做是真空中自由电荷产生的电场强度0E 和极化

电荷产生的电场强度'E 的叠加那样，磁介质中的磁感应强度B 也看做是在真空中传导

电流产生的感应强度0B 和磁化电流产生的磁感应强度'B 的叠加[5]，即

0'B B B =+ (9)

引入磁化强度M ，用它来描述磁介质磁化的程度。把单位体积中的分子磁矩的矢

量和称为磁化强度，表示为

0lim mi

i

V P M V ?→=?∑ (10)

式中的mi p 表示体积V ?内第i 个分子的磁矩[6]。

利用斯托科斯定理c s

M dl M d S ?=????? ，不难推导出磁化电流密度 =M J M ?? (11)

3.2磁场强度

前面分析了磁介质的磁化以及磁化后的磁介质产生的宏观磁效应这两个方面的问题，磁化电流就是把这两个方面的问题联系起来的物理量。因此，在无界的磁介质内的磁场相当于传导电流0I 和磁化电流M I 在无界的真空中产生的磁场的叠加.将真空中的安培环路定理推广到磁介质中,得

()

00M B J J μ??=+ (12) 即考虑磁化电流也是产生磁场的漩涡源.将式(11)代入(12),可得

图4环绕曲线C 的分子电流 图5周界曲线C 上圆柱形体积元

00B M J μ????-=????

(13)

引入包含磁化效应的物理量-磁场强度H ,即令

B H M μ=- (14) 这样,式(13)可以改写为

0H J ??=

(

15)

这就是安培环路定理的微分形式[7]。

4电位移矢量和磁场强度的辅助性

4.1各向同性均匀介质中D 的辅助性的表现

电介质在外电场中极化，空间中任一点的电场强度0'E E E =+ ，要求出场强E 必须

同时知道自由电荷和极化电荷的分布，但极化电荷的分布又依赖于电极化强度P ,P 又

取决于场强E ,于是就出现了求解时的循环'P E E P E ρ→→→→ ,正是为了克服这一

困难，可以使计算一开始就不用出现P ρ而引入0D E P ε=+ 这个辅助物理量，这样也就

避开了求P ρ，P ，'E 的步骤。

在各向同性电介质中，对于某些对称性的场合，用(7)式根据自由电荷密度0ρ求D ，进而可以求E 。根据D 的定义，要由D 求E 必须还要知道P ,而

0e P E χε= (16)

将上式代入(6)式得

0(1)e D E εχ=+ (17)

所以，只要知道介质的电极化率e χ，便可由D 求E 。在上式中可以看出介质中任一点

的D 与该点的E 方向相同，大小成正比，比例系数()01e εχ+只与该点的介质性质e χ有关，叫做电介质的绝对介电常数，记为[8]ε，即

0(1)e εεχ=+ (18)

真空中的绝对介电常数为0ε，为了衡量不同电介质的介电常数，常把它们与真空作比较，我们把某种电介质的绝对介电常数ε与真空的绝对介电常数0ε之比，叫做该电介质的相对介电常数，记作r ε，即 r 0

1e εεχε==+ (19) 根据(17)、(18)、(19)式最后可以得到

0r D E E εεε== (20)

由此可见，电位移矢量D 是一个辅助量，是为了分析有介质时的电场而引入的。它

不但使存在电介质时的高斯定理的表达式（7）更简单，而且使用更方便，从而简化了电介质中电场的计算，避免考虑极化电荷所引起的困难。

此外，在各向异性电介质中，D 和E 的方向不同，介电常数ε是一个张量，表示为

ε[9]。这时，D 和E 的关系式可写为

D E ε=? ， x x xx xy xz y yx

yy yz y zx zy zz z z D E D E D E εεεεεεεεε????????????=??????????????????

因为其在普通物理学中涉及不多，在这里不做重点讨论。

4.2各向同性均匀介质中H 的辅助性的表现

磁介质在外磁场中极化，空间中任一点的磁感应强度0'B B B =+ ，要求出磁感应强

度B 必须同时知道传导电流和磁化电流的分布，但磁化电流的分布又依赖于磁化强度

M , M 又取决于磁感应强度B ,于是就出现了求解时的循环'M B B J M B →→→→ ,

正是为了克服这一困难，可以使计算一开始就不用出现M J 而引入0

-B H M μ= 这个辅助物理量，这样也就避开了求M J ，M ，'B 的步骤。

在各向同性均匀电介质中，对于某些对称性的场合，用(15)式根据传导电流密度

0J 求H ，进而可以求B 。根据H 的定义，要由H 求B 必须还要知道M ,而

m M H χ= (21)

将上式代入(14)式得

0(1)m B H χμ=+ (22)

所以，只要知道介质的电极化率m χ，便可由H 求B 。在上式中可以看出介质中任一点

的H 与该点的B 方向相同，大小成正比，比例系数0(1)m χμ+只与该点的介质性质m χ有关，叫做磁介质的磁导率，记为μ，即

0m (1)μμχ=+ (23)

真空中的磁导率为0μ，为了衡量不同磁介质的磁导率，常把它们与真空作比较，我们

把某种磁介质的磁导率μ与真空的磁导率0μ之比，叫做该磁介质的相对磁导率，记作

r μ，即 r m 0

1μμχμ==+ (24) 根据(22)、(23)、(24)式最后可以得到

0r B H H μμμ== (25)

综上可知，磁场强度H 在任一点处的旋度等于该点处的自由电流密度。它的引入

简化了磁介质中磁场的分析计算，避开了考虑磁化电流所引起的困难。这给磁场的计算

带来了很大方便，尤其在线性、各向同性媒质中，媒质的磁化强度M 与磁场强度H 有

线性同向关系时，可根据自由电流I 求出磁场强度H 在求出磁感应强度B [10]。

此外，在各向异性磁介质中，B 和H 的方向不同,μ是一个张量，表示为μ。这时，

B 和H 的关系式可写为

B H μ=? ， x x xx xy xz y yx

yy yz y zx zy zz z z B H B H B H μμμμμμμμμ????????????=??????????????????

因为其在普通物理学中涉及不多，在这里不做重点讨论。

4.3有极化电流时D 的辅助性的表现

由式（15）知安培环路定律的微分形式： 0H J ??=

而电荷守恒定理： 000J t ρ???+=? (26) 式（15）变形得： ()

00J H ??=????≡ 式（26）变形得： 00J t

ρ???=-?

在时变场情况下，00t

ρ?≠?，故上边两式矛盾。而式（7）0D ρ??= 可推广到时变场，在时变场中，电荷也守恒，即满足：

000J t ρ???+=? 所以00000D D J J J t t t ρ???????+=??+??=??+= ?????

? ，可见这样的电流0D J t ???+ ???? 的散度为零。它是连续的，故安培环路定理右边应以0D J t ??

?+ ???? 代替0J

[11]，即为:

0D

H J t ???=+?

(

27)

电位移矢量D 的引入，使位移电流的定义d D

J t ?=?

变得非常精炼，而非

()0

d E P J t ε?+=?

，简化了媒质中电磁场的分析计算。

5D 和H 的辅助性在麦克斯韦方程组中的表现

在有媒质的情况下，电介质的电场可视为自由电荷和极化电荷在真空中产生的电场的叠加，将真空中的高斯定律推广到电介质中，得0

E ρε??= ；同样，磁介质中的磁场相当于传导电流和磁化电流在无界的真空中产生的磁场的叠加，将真空中的安培环路

定理推广到磁介质中，并考虑位移电流，得()

0d B J J μ??=+ 。所以媒质中的麦克斯韦方程组微分形式为：

E ρε??= (28) B E t

???=-? (29) =0 B ?? (30)

()

0d B J J μ??=+ (31) 而场源ρ包括电介质中全部宏观电荷，而它又包括自由电荷0ρ和极化电荷P ρ， 即： 0P ρρρ=+；

场源J 包括磁介质中全部宏观电流，它包括传导电流0J 和诱导电流'J 的总和，其中诱导电流'J 是极化电流P J 和磁化电流M J 之和，

即： 00M P 'J J J J J J =+=++ 。

因为有极化电荷、磁化电流、极化电流的影响，式（28）-式（31）并不能解决具体问题，所以需对其进行变形：

00

P E ρρε+??= (28) B E t

???=-? (29) =0 B ?? (30)

()

0M 0d B J J J μ??=++ (31) 在引入极化强度P 和磁化强度M 后，经过整理得：

()

00E P ερ??+= (32) B E t

???=-? (33) =0 B ?? (34)

()000 E P B M J t εμ?+????-=+ ????

(35) 引入0=D E P ε+ 和0

B H M μ=- ，使D 的散度只与自由电荷有关，H 的旋度只与传导电流有关，而极化电荷、极化电流、磁化电流的这些影响包含在D 和H 的内部。将

其代入式（32）-式（35），得到精炼的麦克斯韦方程组微分方程：

0D ρ??= (36)

B E t

???=-? (37) =0 B ?? (38)

0 D H J t

???=+? (39) 式（36）-式（39）表明，只用0ρ和0J 就可以求解出D 和H ，对于线性和各向同

性的媒质，再利用电磁场的辅助方程：

D E ε= (40)

B H μ= (41)

0J E σ= (42)

即可求出E 和B 。

综上所述，通过D 和H 这两个辅助量，由0ρ和0J 直接就可以求解出E 和B ，避开

了极化电荷、磁化电流、极化电流的影响，也使麦克斯韦方程微分形式更加精炼直观。

6结论

在各向同性均匀媒质中，在基本量E 和B 的基础上，通过D 和H 这两个辅助量，

由0 和0J 直接就可以求解出E 和B ，避开了极化电荷、磁化电流、极化电流的影响，

同时也使麦克斯韦方程微分形式更加精炼直观，这给电磁场的计算带来了很大方便。所

以引入D 和H 两个具有辅助性的物理量非常有必要。在高频条件下，电位移矢量和磁场强度的辅助性表现就更加明显。

参考文献

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[4] 郭硕鸿．电动力学[M ]．北京：高等教育出版社 (第一版)，1797：26-28，51-60．

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(自然科学版)，1996，32（4）：2．

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2001，14（2）：4．

[7] 赵凯华，陈熙谋．电磁学[M ]．北京：高等教育出版社(第二版)，1985：193-205．

[8] 马信山，张济世，王平．电磁场基础[M ]．北京：清华大学出版社，1995：20-34．

[9] 梁灿彬，秦光戎．电磁学[M ]．北京：人民教育出版社 (第一版)，1981：137，142-168．

[10] 梁灿彬，秦光戎，梁竹键．电磁学[M ].北京：人民教育出版社 (第二版)，2004：11．

[11] 梁绍荣, 刘昌年, 盛正华. 普通物理学（第三分册,电磁学）[M ].北京：高等教育出版社, 1981.

致谢

衷心感谢我的指导老师谢实崇教授在论文的写作过程中对我的悉心指导，他严谨精细的治学态度，渊博的知识，孜孜不倦的工作热忱和诲人不倦的精神我将铭记在心！感谢物电学院的老师对我成长的关心和帮助。要特别感谢我的家人，他们是支持我前进的动力；他们的关爱使我对生活充满信心，勇敢地面对生活、学习中的各种压力；是他们才使我安心完成学业。最后感谢图书馆、电子阅览室为我提供查找资料的场所和优质的服务。

声明

本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得内江师范学院或其他教育机构的学位证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表示谢意。

本学位论文成果是本人在内江师范学院读书期间在导师的指导下取得的，论文成果归内江师范学院所有，特此声明。