电位移矢量存在束缚电荷的情况下
2-4 介质中的高斯定律 电位移矢量
求：介质中的电场强度
v E
和电位移矢量
v D
。
解：由定义，知：
v D v P
v
0E
1 (1
r
v P
0
v
)D
v D
r
v P Pz
Dz Dz
4
v D
r r 1
v P
4 3
v P
…
v E
1
v D
4 0
3.5 介质中的高斯定律 边界条件
一、介质静电场基本方程
q
在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观 上不显出电特性
介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分 子的取向一致，宏观上出现电偶极矩
2）极化强度矢量
用极化强度矢量
v P
表示电介质被极化的程度。
P
lim
Pi
式中：pvi 表示i个分子极矩。
V 0 V
物理意义：等于单位体积内电偶极矩矢量和。
CE dl 0
微分方程：
D
E 0
本构方程： D r 0 E E
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 ，求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度
(
0
)
s0
sp
(
0)
s0
0 (1 )
讨论:
1.
华南师范大学电磁学11级期中考试试卷(含答案)
三、填空题(每空2分，共20分)
1、真空中一半径为R的均匀带电球面，总电量为Q（Q>0）。今在球面
上挖去非常小块的面积ΔS（连同电荷），且假设不影响原来的电荷分
布，则挖去ΔS后球心处电场强度的大小E＝
,其方向
为
。
2、导体在静电场中达到静电平衡的条件是
。
3、电介质的极化分为
和
。
4、如图4.5所示,BCD是以O点为圆心, 以R为半径的半圆弧, 在A点有一电 量为+q 的点电荷, O点有一电量为– q的点电荷, 线段
4、边长为a的正方形的顶点上放点电荷，如图，则p点的场强大小为： （A）； （B） ； （C） ； （D） 。
5、一半径为Ｒ的导体球表面的面电荷密度为σ，在距球心为２Ｒ处的P 点的电场强度大小为： （A） ；（B） ； （C） ； （D） 。
6、如题图所示，图中曲线表示某种球对称性分布的电荷产生的电势V随r的
2、静电场中P、Q两点的电势差： （A）与试探电荷的正负有关； （B）与试探电荷的电量有关； （C）与零势点的选择有关； （D）与P、Q两点的位置有关。
3、点电荷 Q 被曲面 S 所包围 ， 从无穷远处引入另一点电荷 q 至曲面 外一点，如图所示，则引入前后： （A） 曲面 S 的电场强度通量不变，曲面上各点场强不变； （B） 曲面 S 的电场强度通量变化，曲面上各点场强不变； （C） 曲面 S 的电场强度通量变化，曲面上各点场强变化； （D） 曲面 S 的电场强度通量不变，曲面上各点场强变化。
圆心O处的电场强度 2. 解： （1）由静电感应和高斯定理可知，球壳内表面带电－q，外表 面带电q＋Q。
（2）球壳内表面上电荷分布不均匀，但距球心O点都是a，由电势叠 加原理，在O点产生的电势为：。
9-6有电介质时的高斯定理 电位移
∫∫ D S
S1
= D 1 S＝S σ
σ σ E1 = = ε 1 ε r 1ε 0
v v v v 再利用 D 1＝ ε 1 E 1 , D 2＝ ε 2 E 2 可求得
σ σ E2 = = ε 2 ε r 2ε 0
方向都是由左指向右。 方向都是由左指向右。
有电介质时的高斯定理 电位移
负两极板A、 间的电势差为 （2）正、负两极板 、B间的电势差为 ）
例题9-6 一半径为 的金属球，带有电荷 0,浸埋在均匀 一半径为R的金属球 带有电荷q 浸埋在均匀 的金属球， 例题 无限大”电介质（电容率为ε），求球外任一点P的场 ），求球外任一点 “无限大”电介质（电容率为 ），求球外任一点 的场 强及极化电荷分布。 强及极化电荷分布。 P 根据金属球是等势体， 解: 根据金属球是等势体，而 ε r 且介质又以球体球心为中心对 称分布，可知电场分布必仍具 称分布， R Q0 球对称性， 球对称性，用有电介质时的高 斯定理来。 斯定理来。 S 如图所示， 如图所示，过P点作一半 点作一半 径为r并与金属球同心的闭合 径为 并与金属球同心的闭合 球面S， 球面 ，由高斯定理知
4εr（εr 2 1) 3 ′ σ 上负下正 σ2 = ε0 (εr2 1)E2 = εr1εr 2 +εr1εr3 + 2εr 2εr3
′ σ3 = ε0 (εr3 1)E3 =
4εr（εr3 1) 2 σ εr1εr 2 + εr1εr3 + 2εr 2εr3
上负下正
有电介质时的高斯定理 电位移
r r 由 P = ε0 (εr 1)E 得电极化强度矢量的分布
P=
r r 由 σ′ = P n 得束缚电荷的分布
华南师范大学电磁学11级期中考试试卷(含答案)
物理与电信工程学院11—12学年第（二）学期期中考试《电磁学》试卷年级 专业 姓名 学号一、判断题(每题2分，共10分，打√或打×)1、均匀带电球面激发的场强等于面上所有电荷量集中在球心时激发的场强。
2、对某一封闭曲面S, 如果有0E dS ∙=⎰，则该曲面上各点的场强一定为零。
3、有极分子组成的电介质，在电场作用下，只存在取向极化。
4、电位移矢量D的产生只与面内外的自由电荷有关，与束缚电荷无关。
5、由公式εσ=E 知，导体表面任一点的场强正比于导体表面处的面电荷密度，因此该点场强仅由该点附近的导体上的面上的面电荷产生的。
二、单选题（每题2分，共30分）1、在静电场中，有关静电场的电场强度与电势之间的关系，下列说法中正确的是: （A ）场强大的地方电势一定高； （B ） 场强相等的各点电势一定相等； （C ）场强为零的点电势不一定为零； （D ） 场强为零的点电势必定是零。
2、静电场中P 、Q 两点的电势差：（A ）与试探电荷的正负有关； （B ）与试探电荷的电量有关； （C ）与零势点的选择有关； （D ）与P 、Q 两点的位置有关。
3、点电荷 Q 被曲面 S 所包围 ， 从无穷远处引入另一点电荷 q 至曲面外一点，如图所示，则引入前后：（A ） 曲面 S 的电场强度通量不变，曲面上各点场强不变； （B ） 曲面 S 的电场强度通量变化，曲面上各点场强不变； （C ） 曲面 S 的电场强度通量变化，曲面上各点场强变化； （D ） 曲面 S 的电场强度通量不变，曲面上各点场强变化。
4、边长为a 的正方形的顶点上放点电荷，如图，则p 点的场强大小为： （A ）20a q πε； （B ） 2022a q πε； （C ） 20223a q πε； （D ） 203a q πε。
5、一半径为Ｒ的导体球表面的面电荷密度为σ，在距球心为２Ｒ处的P 点的电场强度大小为：q 2q-（A ）σε80；（B ） σε40； （C ） σε20； （D ） σε0。
09介质中的高斯定理电位移矢量
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理 1.介质中的高斯定理 真空中的高斯定理 φ =
r r ∫∫ E ⋅ dS =
S
∑q
ε0
在介质中，高斯定理改写为： 在介质中，高斯定理改写为：
自由电荷 总场强
v v 1 ∫∫ E ⋅ dS =
S
ε0
∑ (q
S
0
+q )
'
束缚电荷
v v 1 ∫∫ E ⋅ dS =
v = εE
电常量。 电常量。
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 εr 的介 ： 质球中心， 质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。 区的 、 、 。 在介质球内、 解：在介质球内、外各作半径为 r 的 高斯球面。 高斯球面。 R
r r ∫∫ D ⋅ dS = ∑q0
S
r r r 球面上各点D大小相等 D 大小相等， 球面上各点 大小相等， // dS , cosθ = 1 II 2 ∑q0 D4πr = q0 , ∴ D = 高斯面 4πr 2 q q I区： 1 = 区 D II区： 2 = 区 D 2 4πr2 4πr
dr =
q 4πε 0r
9
例2：平行板电容器极板间距为 d , 极板面积为 S，面 ： ， 电荷密度为 σ0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 εr 的 电介质。求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电 电介质。 点的场强 ； 电容器的电 容。 ①. 过 P1 点作高斯柱面 左右底面分别经过导体 点作高斯柱面, 解： d' − σ 和 P1 点。 σ
r r φD = ∫∫ D ⋅ dS = ∑ q0
S
电位移矢量
4 极化电荷 Polarization charge or bound charge 在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性，但在 介质表面要出现电荷，这种电荷不能离开电介质到 其它带电体，也不能在电介质内部自由移动。我们 称它为束缚电荷或极化电荷。它不象导体中的自由 电荷能用传导方法将其引走。 在外电场中，出现束缚电荷的现象叫做电介质的极化。
由于热运动这种取向只能是部分的，遵守统计规律。 取向极化
E0
在外电场中的电介质分子
E0
l
E0
无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩。
在外电场中产生感应电偶极矩（约是前者的10-5)。
无极分子只有位移极化，感生电矩的方向沿外场方向。
有极分子有上述两种极化机制。 在高频下只有位移极化。
或介电常量dielectric constant。
0 称为电容率permittivity
例一：一个金属球半径为R，带电量q0，放在均匀的 介电常数为 电介质中。求任一点场强及界面处 ' ？ 解：导体内场强为零。 高斯面 q0均匀地分布在球表面上， 球外的场具有球对称性 q D dS q0 D 0 r ˆ rR
垂直于此曲线的横截面ds组成一个小圆柱体因而该体元具有电偶极矩根据定义它可视为两端具有电荷的偶极矩dsdldsdldlds10如果在电介质内任选一面的法线于极化强度矢量在该面法线方向上的分量dsdsdldsdldldsds11ds在非均匀电介质中有束缚电荷的积累
目录
第三章 静电场中的电介质
3.1 电介质对电场的影响 3.2 电介质的极化 一、电介质 电介质的极化 二、极化强度 极化电荷与极化强度的关系： 三、电介质的极化规律 退极化场
成都电子科技大学电磁场与电磁波2003-2016年考研初试真题+答案
电子科技大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：813 电磁场与电磁波注：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效。
一、填空题（每空1分，共20分）1． 在磁导率为μ的均匀介质中，已知恒定（稳恒）磁场的磁感应强度为B ，则介质中的电流体密度J 可以表示成 ，磁化电流体密度M J 可以表示成 。
2. 电荷的定向运动形成电流，当电荷密度ρ满足0=∂∂tρ时，电流密度J 应满足 ，此时电流线的形状应为 。
3. 某线极化波由空气中斜入射到与理想介质（03εε=、0μμ=、0σ=）的分界平面上。
如要使反射波振幅为零，则入射波的极化方式是 、入射角i θ= 。
4. 麦克斯韦通过数学的方法引入 ，从而建立了完整的麦克斯韦方程组。
5. 时变电磁场可以用矢量位A 和标量位ϕ来描述，但是位函数一般是不唯一的，如要得到唯一确定的位函数，可以规定 。
6. 均匀平面波在某一均匀媒质中传播，其电磁波的电场强度E 与磁场强度H 不同相位，则这种媒质是 。
7. 若两个同频率、同方向传播、极化方向互相垂直的线极化波的合成波为圆极化波，则它们的振幅___________、相位差为 ______________；如果两个波的合成波为纯驻波，则它们的传播方向 、且极化方向 。
8． 在理想导体表面上， 矢量总是平行于导体表面， 矢量总是垂直于导体表面。
9． 均匀平面电磁波由空气中垂直入射到与无损耗介质（02.25εε=、0μμ=、0σ=）的分界平面上时，反射系数Γ= ，折射(透射)系数 τ= 。
10．自由空间中位于r '处的源（ρ或J ）在t 时刻发生变化，此变化将在 时刻影响到r 处的位函数（ϕ或A ）。
11．横截面尺寸为25mm 20mm a b ⨯=⨯的矩形波导中填充介质为空气，能传输的电磁波的最低频率为 Hz ；若要实现单模传输，则电磁波的最高工作频率为 Hz 。
二、判断题，正确的划“√”，错误的划“×”（每题1分，共10分）1. 方程ρ=⋅∇D 表明，电位移矢量D 只与自由电荷有关，而与极化电荷无关，即D 与电介质无关。
电位移矢量和电荷面密度的关系
电位移矢量和电荷面密度的关系一、引言电场是物理学中的一个重要概念，它是描述电荷相互作用的一种方式。
在电场中，电荷会受到力的作用，从而产生运动。
在研究电场时，我们需要了解电位移矢量和电荷面密度的关系。
二、什么是电位移矢量1. 电位移矢量的定义电位移矢量（D）是描述介质中极化程度的物理量。
它表示单位体积内的极化电荷密度。
2. 电位移矢量的单位国际单位制中，电位移矢量的单位为库仑/平方米（C/m²）。
3. 电位移矢量和极化强度的关系极化强度（P）和电位移矢量（D）之间存在着线性关系：D=ε0E+P，其中ε0为真空介质常数，E为外加场强。
三、什么是电荷面密度1. 电荷面密度的定义在介质表面上分布着一定数量的自由或束缚带点电荷，称为表面密度。
若表面上带正(或负)点总数Q，则单位面积上带正(或负)点数就称为表面电荷密度σ。
2. 电荷面密度的单位国际单位制中，电荷面密度的单位为库仑/平方米（C/m²）。
四、电位移矢量和电荷面密度的关系1. 介质中的电场当介质中存在电场时，原子或分子会产生极化。
这种极化现象会导致介质内部产生一个等效的自由电荷分布。
这些自由电荷会产生一个新的电场，称为极化电场。
2. 电位移矢量和极化强度之间的关系根据定义，D=ε0E+P。
其中，E为外加场强，P为极化强度。
我们可以将其改写为D=ε0E+ε0χeE，其中χe是介质的介电常数。
因此，D和E之间存在线性关系。
3. 电位移矢量和表面密度之间的关系在介质表面上存在一定数量的自由或束缚带点电荷。
这些带点电荷会对周围的介质产生极化作用。
因此，在表面处也会存在一个等效的自由电荷分布。
这个等效自由电荷分布就可以用表面密度来描述。
4. 总结因此，我们可以得出结论：电位移矢量和电荷面密度之间存在着线性关系。
具体而言，D=ε0E+σ，其中E为外加场强，σ为表面电荷密度。
五、应用举例1. 电容器中的应用在电容器中，两个导体板之间的空气或介质就是一种极化介质。
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▪ 线性:
物理量之间的关系是线性函数
v D
vv
v E
▪ 非均匀、非线性、非各向同性的“三非”介质
Di
v
(1) ij
L
j
j,k
非均匀 非线性 各向异性
作业
p.35页：7、9
磁化使介质内部或表面上出现的电流称为磁化电流。
由于介质在宏观电磁场的作用下，将被极化和磁化，即出现宏观的附加电荷和 电流，这些附加的电荷和电流也要激发电磁场，使原来的宏观电磁场有所改变。 所以在介质的极化和磁化过程中，电荷和电场、电流和磁场是互相制约的，介 质的内部宏观电磁现象就是这些电荷、电流分布和电磁场之间相互作用的结果。
1、介质的概念
介质：介质由分子组成，分子内部有带正电的原子核及核外
电子，内部存在不规则而迅变的微观电磁场。
宏观物理量：因我们仅讨论宏观电磁场，用介质内包含大
量分子的物理小体元内的平均值表示的物理量称为宏观物理量。
分子分类：
(1)有极分子：无外场时，正负电中心不重合，有分子电偶极矩。 但固有取向无矩，不表现宏观电矩。 (2)无极分子：无外场时，正负电中心重合，无分子电偶极矩， 也无宏观电矩。 (3)分子电流：介质分子内部电子运动可以认为构成微观电流。 无外场时，分子电流取向无规，不出现宏观电流分布。
rr JM , JP
4、诱导电流
rr r r J J f JM JP
激发磁场
r
v B
v
0J f
00
E t
r
v B
r
0 (J f
r JP
r
JM ) 00
r E t
r P J P t
5、磁场强度 6、磁场的散度、旋度方程
磁场强度
4、介质中的麦氏方程
1）介质中普适的电磁场基本方程，可用于任意介质，
当
，回到真空情况。
2）12个未知量，6个独立方程，求解必须给出 与 ， 与 的关系。
介质的电磁本构方程
首先讨论非铁磁介质
1）电磁场较弱 ⑴ 各向同性均匀介质
极化率
电容率
磁化率
磁导率
均呈线性关系
相对电容率 相对磁导率
⑵ 各向异性介质（如晶体）
电容率张量
磁导率张量
各向异性介质电 性质方程矩阵形 式
2）电磁场较强时 电位移矢量与电场强度的关系为非线性关系
2、介质的极化（Polarization of medium）
1、极化强度
pi = p
P=np
nql
dS
np
dS
P
dS
pr
r ql
2、束缚电荷密度
S
介质 1
由于极化，分子或原子的正负电荷发生位移， 体积元内一部分电荷因极化而迁移到的外部， 同时外部也有电荷迁移到体积元内部。因此 体积元内部有可能出现净余的电荷（又称为 束缚电荷）。
介质的极化和磁化
介质的极化：介质中分子和原子的正负电荷在外加电场力的作用下发生小的位移， 形成定向排列的电偶极矩；或原子、分子固有电偶极矩不规则的分布，在外场作用 下形成规则排列。
极化使介质内部或表面上出现的电荷称为束缚电荷。
介质的磁化：介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，微观上形成不规则 分布的磁偶极矩。在外磁场力作用下，磁偶极矩定向排列，形成宏观上的磁偶极 矩。
对于铁磁物质，一般情况不仅非线性，而且非单值
在电磁场频率很高时，情况更复杂，介质会出现色散现象。即使在电磁场较弱
的情况
表现为频率的函数。
3）导体中的欧姆定律
电导率
适用于所有 情况
几个物理词汇
▪ 均匀:
物理性质不随空间位置变化
vv
v X
v X
vv
v X
vv C
▪ 各向同性:
物理性质与方向无关
vv
vv I
dl
3、极化电流密度
pr
r qi xi
i
r
P lim
r V qi xi
V 0 V
r
r
P lim t V 0
V qi
dxi dt
lim
V
V 0
r
V qivi lim
V
V 0
r
V Ji V
r JP
r P r t J P
电磁场引起介质的磁化和极化
rr M, P
磁化和极化出现磁化电流和极化电流
4、电场的散度、旋度方程
它仅起辅助作用并不代表场量。它在具体应用中与电场强度的关系可由实验或 计算来确定。
3、介质的磁化（Magnetization of medium）
1、磁化强度
分子电流、磁矩
mr iar
mi=m
V
r mi
0
mr
V
r
B
2、磁化电流密度（矢量）
在介质交界面上的一个薄的层内， 存在磁化面电流分布
束缚电荷是电极化强度矢量之源
（1）均匀介质内，束缚电荷只出现在自由电荷附近 以及介质界面出。
（2）非均匀介质内，一般在整个介质内部都出现束 缚电荷。
（3）在两种不同均匀介质交界 面上的一个很薄的层内，由于两 种物质的极化强度不同，存在极 化面电荷分布。
n
3、电位移矢量
存在束缚电荷的情况下，总电场包含了束 缚电荷产生的场，一般情况自由电荷密度可 知，但束缚电荷难以得到(即使实验得到极 化强度,他的散度也不易求得)为计算方便， 要想办法在场方程中消掉束缚电荷密度分布。