第八章 数学与哲学PPT课件
数学与哲学
数学与哲学的紧密联系
• 目的性 • • • •
哲学和数学都是去解释这个世界和探讨 这个世界 正如恩格斯所说：“数服从于一定规律，同样， 宇宙也是如此。于是，宇宙的规律性第一次被提 出来了。” 理性 这两个科目都是用理性在思考问题 逻辑性 两个都有严密的逻辑性 抽象性
事实上，哲学是一切其它学科的母 学科。
• 数学与哲学是紧密联系的两个学科，
是血肉相连的两个学科。 • 数学、哲学、数学哲学： 三者的关系从普遍、一般再到特殊。 数学哲学为数学指引方向和发展哲学 的内容。
参考文献
• http://wiki.lets• • 李俊清 西方哲学的数学情缘 长治学院学报
• 在最初的时候，人类获得的知识是有限的。
它们混在一起叫做哲学。 • 后来，随着社会生产力的发展，人类社会 的进步，人类知识的积累越来越多，再把 它们混在一起是不合适。 • 于是，开始分科治学。各种学科就哲学下 划分出去。
所以说，哲学和数学的联系是天 生的。
例证：
• 柏拉图学苑的门口刻着“不懂几何者 拉图学苑的门口刻着“
• 以上是从数学与社会的关系、数学与
其它学科的关系、数学与人的发展的 关系等几个方面来讨论数学的。它们 都从某一个侧面反映了数学的本质特 征，为我们全面认识数学的性质提供 了一个视角。数学是这样一个古老而 创新的学科，她有着十分深厚的内涵 和广泛的外延，以至于无法用一个简 单的定义来规定什么是数学。要从本 质上来了解什么是数学，我们需要明 白数学的起源。
理性是哲学的最大的特点
• 原始的人类对于这个世界十分的困惑
却无法解释，于是诉诸于神———— 却无法解释，于是诉诸于神———— 神及神学的产生。 • 后来，随着人心智的发展，人类开始 用理性的角度思考问题，去解释最基 本的问题————哲学。 本的问题————哲学。 • 柏拉图————哲学产生于诧异。 柏拉图————哲学产生于诧异。
数学与哲学张景中
≤数学与哲学≥一、“万物皆数”观点的破灭与再生——第一次数学危机与实数理论1、毕达哥拉斯学派：数是万物的本原。
数产生万物，数的规律统治万物。
万物皆数，就是万物皆可用自然数或分数表示。
2、毕达哥拉斯（也许是他的门徒）发现，2既不是自然数，也不是分数。
2又是什么?他是不是数？不是数，它为什么能表示确定的集合量？是数，为什么求不出它的准确值。
3、任何两个分数无论多么近，居然还不能表示出线段上某些点的长度。
数的万能的力量被否定，这便是所谓第一次数学危机。
（人们发现了无理数，又不敢承认它是数）4、电影实际上是由许多不同的画面构成的，它不是连续变化的，但因为相继的两个画面相差甚微，我们便以为它是连续的了。
莱布尼茨提出“连续性定律”，认为世界上的连续性是用无穷小量来定义的一个理想概念。
5、戴德金与康托几乎同时提出了实数理论。
6、辩证法认为一切事物都包含着矛盾，即“一分为二”.也许，这正是因为事物的变化归根结底可以用数量的变化来描述。
而数量变化，分解到每一维上，无非是增加与减少。
表现出来，当然是矛盾的双方，而不是三方或多方。
二、那种几何才是真的1、选择一些不加证明而承认下来的命题作为基本命题。
把这些基本命题叫做公理或公设。
公理是许多学科都用到的量的关系，如“与同一物相等的一些物，它们彼此相等”，“全量大于部分”，等等。
而公设则是专门为了几何对象而提出的。
有五条公理和五条公设。
2、公设：①从一点到另一点可作一条直线；②直线可以无限延长；③已知一点和一距离，可以该点为中心，以该距离为半径作一圆；④所有的直角彼此相等；⑤若一直线与其他两直线相交，以致该直线一侧的两内角之和小于两直角，则那两直线延伸足够长后笔相交与该侧。
三、变量∙无穷小∙量的鬼魂1、赫拉克利特说：人不能两次踏入同一条河流，因为河水在流动，当人第二次踏进同一条河流时，已经不是第一次踏进时的河水了。
他用这个生动的比喻说明万物皆在不断变化之中。
但严格讲起来，概念上却是不清楚的。
高等数学中的哲学
数学哲学的应用
高等数学中的哲学思想不仅在学术领域有重要意义，还对实际生活和工程领域有着广泛的 应用。例如，在物理学、计算机科学、经济学等领域，高等数学中的哲学思想都发挥着重 究
未来研究应更加注重跨学科的合作，尤其是数学与哲学的交叉研究。通过深入挖掘高等数学中的哲学思想，可以推动 这两个学科的共同发展。
高等数学与哲学的关系
高等数学与哲学有着密切的联系，两 者在某些方面是相通的。高等数学中 的概念和思想可以启发哲学思考，而 哲学思考也可以帮助我们更好地理解 高等数学中的知识。
高等数学中的一些概念，如无限、连 续、可微等，都可以引发哲学上的思 考。例如，无限的概念可以引发对无 穷小和无穷大的思考，这涉及到对时 间和空间的思考；连续的概念可以引 发对连续性和离散性的思考，这涉及 到对现实世界的思考；可微的概念可 以引发对平滑和粗糙的思考，这涉及 到对自然界的思考。
05
数学应用中的哲学思考
数学在物理中的应用与哲学思考
总结词
物理学的数学化进程中，哲学思考在理论构建和解释中起到 关键作用。
详细描述
物理学的发展过程中，数学作为工具和语言，为理论构建提 供了基础。然而，数学在描述物理现象时，其公理、定理和 证明等都涉及到哲学思考，如对现实世界的本质、空间与时 间的定义、因果关系等问题的探讨。
哲学原理
哲学原理是对世界和人类存在的根本 性思考和总结，是构建哲学体系的基 础。它们是对世界和人类存在本质的 探究和解释，具有普遍性和必然性。
数学证明与哲学论证
数学证明
数学证明是数学推理和证明的重要手段，通过一系列逻辑推理和演绎，证明某 个数学命题的正确性。数学证明要求严密、精确、无懈可击。
哲学论证
本质和传播等问题的探讨。
数学与哲学的关系
数学与哲学的关系数学是探讨数与形运动规律的学科，数学教学法是研究数学规律的，即研究在教学过程中如何最有效地向学生传授数学知识、发展学生思维、培养学生能力和个性的学科。
这些都是研究数学和数学教学过程中的特殊规律的科学，而马克思主义哲学是研究数学、自然科学、社会科学和思维科学的最一般、最普遍规律的科学。
马克思主义哲学来源于实践，同时又对实践具有重要的指导意义。
它来自于具体学科的最普遍规律、方法的高度抽象和概括，同时又对具体学科有着重要的指导作用。
因此，数学教育工作者只有将马克思主义哲学的唯物辩证法思想、认识论思想贯彻于认识数学、研究数学及数学教学的过程中，以马克思主义哲学思想为武器，用马克思主义哲学的观点去分析、解剖数学内容和数学的教学过程，用马克思主义哲学的思想去统帅数学的思想和方法，才能透彻明了地看待数学问题的思路，清晰、辩证地讲解数学演泽的逻辑过程，才能掌握好数学的思想和精神。
这就需要研究数学与哲学的联系，将马克思主义哲学与数学有机的辩证的结合在一起，用马克思主义哲学指导数学学习和数学教学。
1、数学对哲学的作用美国数学家罗滨逊给出了实数的非标准模型，为无限大、无限小提供了严格的理论依据，为微积分增添了直观的因素，从而创立了新的微积分理论——非标准分析。
在非标准分析中，构建非标准实数轴并引入单子概念，使非标准实数轴成为一个层次结构空间。
在该空间中，单子外部表现为不同数量层次之间质的差异；单子内部是无穷小量，其间只是量的差异，其比值是有限数量，其运算性质是同单子外普通实数是一样的，可重新作为微分运算的出发点。
因而非标准分析的建立就为阐明质量互变规律在“无限”领域的具体表现提供了一个适宜的数学模型。
而在这之前，人们在讨论质量互变规律中的量时，还没有涉及到无限数量的变化发生质变的情形，因而非标准分析的创立丰富了质量互变规律的内容。
法国数学家托姆，在考察自然界、社会领域大量存在不连续现象的基础上，运用微分映射的奇点理论，为这类客观现象建立了数学模型，用以预测和控制该类客观对象，这就是突变论的产生。
数学与哲学
数学的信仰、内在统一性与哲学思量记得当年刚接触高等数学时，赵育林教授曾在班里问过：你们觉得数学是科学吗？显然当时我并没能领会这个问题的深刻含义，即使时至今日，我仍然没有能力来充分论述这个问题。
现代研究手段主要有：论证、实验与科学计算。
研究手段决定了任何一门学科，只要有明确的可具体界定的可实证的研究对象，能够建立起完整严密的逻辑体系，都可以成为科学。
虽然探索过程中的不够完整缜密会成为某些异见人士攻击的借口（数学三次危机即是明佐），但无数前辈同仁们在曲折中不断进取、去伪存真的过程中，还是逐渐建立了现代科学大厦。
现在把眼光放回至数学，现代数学所研究的对象自然是明确而众多的，我们的公理化系统建立在定义、公理和未定义项上，而后繁衍。
而公理可谓是上帝禁区，没人染指。
莱布尼茨（Leibniz）曾说：“对于那些试图证明一切，甚至连最初的原则也想加以证明的人们的努力，我给予很同的评价，而且我自己也常常参与其事。
但是我不赞同因过分的细密而阻碍了创造的技巧，或者在这种借口下抛弃了最好的创造而剥夺其结果。
”由此我们可见数学研究的某些特征，这些特征导致了GH 哈代（Hardy）所言的“证明只不过是指指点点”的客观性。
因此，我更倾向于认为数学是一种信仰，信仰其体系的公正性，信仰其研究的有效性和必要性，信仰其核心价值－－剥离抽象以保其强大的生命力与通用价值。
对数学的热爱与追求，源于对其操作手法及其带来的思想冲击的认同与维护。
在上述的说明下，我们来讨论一下数学的统一性，首先必须阐明的是，颇具影响力的数学统一性研究可能需要查看Hilbert在上世纪三十年代左右所从事的数学大统一的探索，作为二十世纪数学进展的执牛耳者，正如物理学巨擘爱因斯坦（Einstein）也追求大统一一样，希尔伯特（Hilbert)亦想在若干简练的公理体系下建立起现代枝繁叶茂的数学大厦。
当然，凡是高瞻远瞩者，有此构想，理属自然。
而结果也是大家所明了的：爱因斯坦的助手、奥地利年轻的逻辑学家和数学家哥德尔（Godel）关于不完备性的证明着实将希尔伯特的梦想打得粉碎。
数学、哲学与数学哲学
数学、哲学与数学哲学摘要本文探讨了数学和哲学之间的关系，数学对哲学的影响，以及当代数学哲学发展的困境，并指出了数学哲学发展的新途径。
关键词数学哲学数学哲学一、早期的数学家为什么都是哲学家？在古希腊，哲学家都格外重视数学。
最早的唯物主义哲学家泰勒斯，提出了原子唯物论的德谟克利特，最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都曾到埃及学习几何。
毕达哥拉斯学派认为世界的本源是数：“万物皆数”，虽然这个看法现在看来可笑，但毕达哥拉斯学派是第一次抽象的处理数学概念的人，使得数学理论从大地测量、计算等活动中抽象出来，他们在研究中发现了毕达哥拉斯（九章算术称勾股定理）定理，发现了不能表示为分数的数的无理性。
虽然这个发现令他们恐慌不已。
比毕达哥拉斯学派更广为人知的是柏拉图学院，该院学生以亚里士多德最为出名。
这些学生大多是那个时代最出名的数学家、哲学家和天文学家。
他们的研究偏重纯数学，忽视应用，但是他们的研究极大地丰富了各种知识体系。
后来这许多学派和个人的工作，被欧几里得总结在《几何原本》中，在《几何原本》中，欧几里得从几条公理出发，演绎了500多条希腊大师的定理、结论。
欧几里得的《几何原本》，给哲学家们提供了一条认识真理的方法：从少数几条公理的前提出发，用逻辑推理的方法证明结论。
这一思想对哲学家们产生了重要影响。
唯理论的两位大家-----笛卡尔和莱布尼茨正是两位数学大家。
勒奈·笛卡尔（1596～1650）,伟大的哲学家、物理学家、数学家。
解析几何的创始人。
人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。
” 1628年，他从巴黎移居荷兰，开始了长达20年的潜心研究和写作生涯，先后发表了许多在数学和哲学上有重大影响的论著。
1634年写了《论世界》，书中总结了他在哲学、数学和许多自然科学问题上的看法。
1641年出版了《行而上学的沉思》，1644年又出版了《哲学原理》等。
数学中的哲理.
一首数学哲理诗
“点”的自述 我是一个“点”， 曾为自己的渺小而难堪， 对着庞大的宏观世界， 只有闭上失望的双眼。 经过一位数学教授的启发， 我有了新的发现： 两个“点”可以确定一条直线； 三个“点”能构成园的“金环”。 我也有自己的半径和圆心。 不信，从月球看地球， 也是宇宙渺小的雀斑。 我欣喜，我狂欢！ 谁没有自己的位置？ 不！你的价值在闪光， 只是，你还没有发现。
10
对联隐括生平
汉淮阴侯韩信墓前祠庙门上有一副对联：
生死一知己， 存亡两妇人。
这幅对联用到了两个数词且对仗工整，同时也概括了韩 信生平的两个重要部分。 满腹韬略的韩信，先在项羽部下从军，未被重视，后又 改刘邦麾下，人未重用。韩信愤而出走，被丞相萧何连夜追 回。在萧何的极力推荐之下，刘邦才封韩信为大将，遂建功 立业，被封为淮阴侯。汉朝建立后，韩信受到刘邦的猜忌， 颖其兴兵造反。而设计诱他入网的，恰恰又是 萧何 。后人 萧何 ，败也 萧何 ”之说，这就是上联“生死一知 有“成也 己”的由来。 当初，韩信家贫，食不果腹，一位在河边洗衣的老农妇 曾供养他十来天。可是韩信被捕后，把他斩于长乐宫的也是 11 一位妇人—— 吕后 。这就是下联中叹道的“存亡两妇人” 的由来。
8
周总理妙用“一”字
“一”字虽极为普遍，但其所表达的意境却出神入化，绘 景、抒情、警示、评说无所不用。 1960年，周总理在观赏京剧《霸王别姬》时，利用“一” 字对项羽这个人物作了精辟的评论。当演到项羽不听劝阻， 一言堂 ”；项羽回宫，姬继续 决意出战刘邦时，他说：“ 一家之言 规劝不听，他说：“ ”；项羽孤军深入刘邦设下的 埋伏圈时，他说：“ ”；项羽被困下，他说： 一意孤行 一筹莫展 一曲挽歌 “ ”；姬备酒宽慰，项羽悲歌“力拔山兮”时，他 说：“ ”；最后四面楚歌，姬自刎，他说： 一败涂地 “ ”。这里六个“一”概括了项羽失败的全过程， 批评了项羽的“孤家寡人”策略，显示了周总理这位政治家 的精辟见识和幽默风格。
数学与哲学的关系
数学是表述简洁、清晰、歧义较少的逻辑体系。
在数学中，不仅各种数字、函数，就连加、减、乘、除，大于、小于、等于，以及指数、导数、积分等符号本身，也都是约定俗成、极少歧义的概念。
特别是几何方法，能用清晰、直观的坐标或图形，表达比较复杂的逻辑关系。
在学校的学习中，我们常常把各门学科的应用题，用几何的方法描述出来，以便清晰地看出其中各个因素的相互逻辑关系，然后列出适当的数学公式，解出要求的问题。
形式逻辑可以用几何图形，表示各种概念复杂的逻辑关系。
哲学也是一门科学，它当然也可以使用这种科学的方法来进行表述。
形式逻辑要求概念都是确定的，以便它进行正常的推理和运算。
辩证法认为，任何概念都是在一定的条件下确定的，不同的条件可能导致不同的结果，所以它必须研究确定概念的不同条件和不同结果。
而具体研究几个不同条件和不同结果，也只能是运用有限的手段，遵循形而上学的方法，一个一个去研究。
简单一点说，辩证法的本质就是指出事物在不同条件下的不同结果。
确定概念的条件和被确定的概念之间的关系，类似于数学中的函数关系。
y = f ( x )用数学的术语，马克思这样表述。
“一个变量的函数是另外一个变量，它的值随着前者的值而变化，也就是依赖于前者。
” 我们可以具体举例用公式来表述上述概念。
比如在Y=X+1中，当X大于1时，那么Y大于2。
在Y=X+1中，当X小于1时，那么Y小于2。
在Y=X+1中，当X等于1时，那么Y等于2。
在上述三句话中，每一句都是形而上学的表述，在确定的条件下，表述确定的概念。
当我们把上述三个形而上学的表述放在一起分析时，就有了质的变化。
我们说这既是形而上学的表述，又是辩证的表述。
因为它指出了事物在不同条件下的不同结果。
我们还可以说，Y 在有的条件下大于2，在有的条件下小于2，在有的条件下等于2。
这也是一种辩证的表述。
可见有些所谓辩证的表述，不过是省略了几个形而上学表述中具体的条件，而用一个不确定的概念取而代之而已。
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数学的概念是由于生产实践和时代发展的需要而形成 的，数学家提出的概念不是创造，而是对客观创造的 描述，是人的主观能动性的反映.数学既可以来自现实 世界的直接抽象，也可以来自人类思维的能动创造， 但它具有客观性.一个方程有多少解，有哪些解，这些 都是客观的.一个定理可能被不同的人以不同的方式同 时发现，但不管人类有没有发现，怎么发现这个定理， 定理本身是客观存在着的，就像人类发现它之前隐藏 在什么地方一样.但数学的结论是数学家推导出来的， 数学家的任务是发现这个结论和定理以后用数学的语 言简明扼要的表述出来，也就是发挥人的主观能动性， 从而使得数学为社会服务，为人类服务.
数学、哲学本是一家.数学思维与哲学思维、 数学方法论与哲学方法论等等，在抽象性以及 若干特征上都是十分接近的，彼此相辅相成. 历史上有众多数学家的哲学修养都很深，且其 中不乏哲学名家，比如古代的有欧几里得，阿 基米德等；近现代的有庞加莱，罗素等.这不 能不说明数学与哲学之间存在着深刻的本质人类其实是伴着数学长大的；哲学也是如 此，哲学不仅是哲学家创造的，哲学原本存在 于人类共同的思维中，哲学家的贡献仅在于用 人类共有的理性思维去观察、总结、整理了人 类的“哲学”.哲学贯穿人类生活之中.
其次，数学、哲学的研究对象都具有抽象性
哲学研究世界上一切事物共同的普遍的规律， 这些被研究的东西虽然是具体的，是包罗万象 的，但哲学研究的是它们共有的最本质的客观 规律，这种普遍规律只有与具体内容脱离之后 才能成为普遍适应的规律，这就要求哲学对具 体的东西作抽象的研究
比如哲学中的物质，我们不考虑它的形状、大 小、存在方式以及表现形式，哲学只考虑它的 客观存在性.实际上存在着两个世界：一个是 人们可以看到、听到、摸到的由具体事物组成 的实在世界；另一个是理智才能把握的抽象世 界.具体的实在世界是相对的，变化的；而抽 象世界则是绝对的，永恒的
哲学坚持世界的物质性是第一性，坚持意识对
物质的依赖关系，但也承认意识对物质的能动 作用.它强调物质能够为我们的意识所反映，
即能够被人们所认识，人具有主观能动性，这 就与不可知论划清了界限.物质世界是有规律
的，这种规律是客观的，规律的客观性表明， 它不能被人为地创造，也不能被人为地消灭.
人们只能发挥人的主观能动性，认识规律，利 用规律为实际的目的服务.
再次，数学和哲学都有广泛的应用性.
哲学是人类认识世界的先导，为任何一门具体学科的 发展提供科学的指导.虽然哲学在任何具体学科领域都 无法与该学科一争高下，但它可以从事任何具体科学 所无法完成的工作，它为学科的诞生准备条件.从这点 来讲，哲学是“望远镜”.当旅行者到达一个地方时， 他虽然不再需要用望远镜观察这个地方，但他要用它 来观察前方.
首先，它们的研究对象都具有客观存在性。 哲学是理论化、系统化的世界观，是自然知识、
社会知识的概括和总结，也是认识和改造世界 的根本方法理论，是关于自然界、人类社会、 人类思维三大领域普遍规律的科学 。
哲学坚持世界的一元论思想，即坚持世界是物 质的，哲学的研究对象就是由这些物质所组成 的这个世界.而这里所说的物质，并没有具体 地指明是什么，只要是客观存在、不以人的意 志为转移的、构成这个世界的东西都是物质. 场、能等等都是物质的具体存在形式 。
数学在当今世界的广泛应用是勿庸置疑的，数学的应 用无处不在.著名科学大师庞加莱说过：“没有数学这
门语言，事物之间大多数密切的类似关系将永远不会
被我们发现；我们也无从发现世界内部的和谐，而这 种和谐正是唯一真正的客观现实……正是这种唯一真
正的客观现实的和谐，是我们所能达到的唯一真 理……”.数学对整个世界起着极大的作用，数学渗透 到每一门学科，量化这门学科，甚至控制这门学科.数
第二类数学对象不是直接从具体事物中抽象出来的， 而是从理论上研究第一类数学对象时新发现的，或者 简单地说，是从逻辑推导而来的，表现为逻辑上的存 在性.第二类数学对象的存在性问题有时对于整个人类 来讲都不是轻而易举的事情，可以说人类掌握的知识 武器越多，越能够更具体地认识掌握一些表现为逻辑 上数学对象的存在性问题，并且使它的存在性由逻辑 上的可能性转化为实际上的现实性.历史上对虚数的发 现与认识就是一个典型的范例.
数学的一个重要特征就是数学的抽象性，数学 撇开了事物的具体属性而时刻关注最一般的数 与形的规律.数学研究总是撇开事物的具体背 景，抓住最本质、最具有量的规定性的关系进 行讨论.
一切实在物皆有形，形可以用数来描述.运动与变化伴 随着能量的交换与转化，能量可以用数来表示；人的
知识本质上是信息，信息可以用数来记取，万物有质 的不同，然质又可以用数刻画.它考虑数，并不在意这 些数从什么地方来.它考虑形，也不在意这些形用什么 材料做成或存在于何处.数学撇开了具体属性而刻画出 最一般的数与形的规律，这就是数学的抽象.人们对世 界的认识越深入，数学的研究对象的抽象性也越高.
数学是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理 而形成的系统化的理论知识总和，是一种现实 世界的空间形式和数量关系表示.数学的研究 对象有其特殊性，数学不仅研究事物的质的多 样性，而且还研究事物的量的确定性.
根据思维行程，数学可分为两类：第一类是从 具体事物抽象出来的具有直接的现实原型；第 二类是从逻辑推导出来的表现为逻辑上的可能 性.从数学发展的实践来看，在19世纪以前， 数学是在解决生产实际和科学技术问题的过程 中发展起来的.数学问题来自实际问题，所以 第一类数学对象的存在性是显而易见的.
在这一章，主要讨论数学与哲学的 关系。着重阐明若干数学中的辩证法， 以及数学、哲学的相互影响。简单介绍 数学对自然科学、社会科学和人文科学 的作用，这与哲学对它们的作用有类似 之处。
第一节 哲学特征和数学特性
数学与哲学之间有不解之缘，它们的联系非常 密切，表现在它们的主要特征具有很大的共同 性。