sinC积分的解法及其应用

本科毕业论文（设计）题目：Sinc积分的解法及其应用学院：学生姓名：学号：专业：数学与应用数学年级：完成日期：指导教师：Sinc积分的解法及其应用摘要：Sinc积分即0sin xdx x+∞⎰，是积分学中一个著名的积分，许多积分的计算最后都转化为此积分。

在实际生活中也会遇到此积分。

由于被积函数的原函数不能用初等函数表示，因此不能用牛顿—莱布尼茨公式计算此积分的结果。

本文中，我们将用不同种方法来计算此积分，从而得到0sin2xdxxπ+∞=⎰，进而讨论此积分的应用。

关键词：参变量；拉普拉斯变换；留数定理；Fourier变换The Solution and Application of the Sinc integralwhich many integrals can be converted. This integral also appears in real life. Since the antiderivative of the integrand can not be expressed with elementary functions , the value of this integral can not be calculated using Newton - Leibniz formula. In this paper, we shallwe discuss the application of this integral.Key words:parameter; Laplace transform; residue theorem; Fourier transformation目录前言 (1)一、用多种方法计算sinc积分 (2)（一）利用二重积分计算 (2)（二）利用含参变量反常积分的方法计算 (3)1、由比较判别法的推论 (3)2、由狄利克雷判别法 (5)3．利用阿贝尔判别法 (6)（三）利用无穷级数的方法计算 (7)（四）利用复变函数理论中留数定理计算 (8)（五）利用拉普拉斯变换计算 (10)1．利用拉普拉斯变换计算方法一 (10)2.利用拉普拉斯变换方法二 (11)二、应用 (12)参考文献 (15)前言sinc 积分即为0sin xdx x+∞⎰，是积分学中一个著名的积分，它在自然科学中有着广泛的应用。

由于sin x x 在0x =点处无定义，但是因为sin lim 1x xx→∞=，所以在0x =点处可将()sin x f x x =作连续开拓，也就是当0x =时，令sin 1x x =，则()sin xf x x=在)0,+∞⎡⎣连续，又因为函数()sin f x x =在)1,+∞⎡⎣连续，对于1p ∀>，有1sin 2pxdx ≤⎰，因此1sin x dx x +∞⎰收敛，从而0sin x dx x +∞⎰收敛。

但是对于1x ∀≥有21cos 2sin sin 2xx x -≥=，即sin 1cos 21cos 2222x x xx x x x -≥=-，所以111sin cos 222x dx x dx dx x x x+∞+∞+∞≥-⎰⎰⎰，由上述证明即可知1cos 22xdx x+∞⎰收敛，但是12dx x +∞⎰发散。

所以1sin x dx x +∞⎰发散，因此0sin x dx x +∞⎰也发散，于是可以得知0sin xdx x+∞⎰为条件收敛。

由于此积分被积函数的原函数不能用初等函数表示，因此不能用牛顿—莱布尼茨公式计算此积分的结果，本文即用不同种方法来计算此积分，从而得到0sin 2x dx x π+∞=⎰。

除此之外，本文还将用此积分来证明傅里叶变换定理。

一、用多种方法计算sinc 积分：（一） 利用二重积分计算定理一：设(),f x y 在矩形区域[][],,D a b c d =⨯上可积，且对每个[],x a b ∈，积分(),dcf x y dy ⎰存在，则累次积分(),b dacdx f x y dy ⎰⎰也存在，且()()(),,,b d d baccaDf x y d dx f x y dy dy f x y dx σ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰定理二：设(),f x y 在矩形区域[][],,D a b c d =⨯上可积，且对每个[],y c d ∈，积分(),baf x y dx ⎰存在，则累次积分(),d bcady f x y dx ⎰⎰也存在，且()(),,dbcaDf x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰特别地当(),f x y 在矩形区域[][],,D a b c d =⨯上连续时，则有()()(),,,bd d baccaDf x y d dx f x y dy dy f x y dx σ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

由以上定理知，二重积分0sin xy I e xdxdy ∞∞-=⎰⎰可以用两种方法计算，即先对x 求积分和先对y 求积分，从而得出两种结果，再联立这两种方法便可以得到此积分的计算结果。

因此，先对y 求积分可以得到： 0sin sin sin xy xy y e x I xdx e dy x dx dx x x ∞-∞∞∞+∞-=⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 再求先对x 积分得到的结果： 0sin xy I dy e xdx ∞∞-=⎰⎰001sin xy e dy x d y -∞∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰()1sin cos xy xy x e e xdxdy dy y ∞∞-∞-⎡⎤=-⋅-⎢⎥⎣⎦⎰⎰11sin cos xy xye x e xd dy y y -∞∞-∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅--⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰ 00111sin cos sin xyxyxyx e x e e xdx dy y yy ∞∞-∞-∞-⎡⎤⎛⎫=-⋅+⋅+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰ 对上式进行合并，得2011cos 1sin sin xy xy xy x e xdx x e e y y y ∞---∞⎛⎫⎛⎫+=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰可以得到， 02cos sin 1xyy x x e y y -∞⎛⎫-I =+ ⎪+⎝⎭()2sin cos 1xy e y x x y -∞--=+21dyy∞=+⎰ 2π=因此，此积分的计算结果为 0sin 2x dx x π+∞=⎰。

（二） 利用含参变量反常积分的方法计算在使用该方法计算之前，需要对所引入的参变量积分（及其导数）的一致收敛性进行讨论。

1、由比较判别法的推论推论1：设f 定义于),a +∞⎡⎣，在任何有限区间[],a u 上可积，且()lim p x x f x λ→∞=则有：()1.当1,0p λ>≤<+∞时，()af x dx +∞⎰收敛；()2.当1,0p λ<<≤+∞时，()af x dx +∞⎰发散。

所以可以考虑积分()0sin (0)xxI e dx xααα+∞-=≥⎰ （2.1）因为sin lim 0xx xe xα-→∞=，即0λ=，所以由推论1得到()I α在半直线0α≥上是一致收敛的。

因此()I α在0α≥上连续。

又()()0sin lim 0xdx xαα+∞→I =I =⎰，将（2.1）再对α微分可以得到 ()'00sin sin xx xx e dx e xdx xααα∞∞--I =-⋅=-⎰⎰又因为011sin x xe xdx e αααα∞--∞-=-=⎰即()'1ααI =（2.2）可以得到， ()'lim 0αα→∞I =。

再对（2.2）两端(),α∞上求积分，即得到()2arctan 12du u απαα∞I ==-+⎰ 因此，当0α+→时可以得到()02πI =由上，()0sin 0x dx x ∞I =⎰。

即可得出此积分的计算结果 0sin 2x dx x π∞=⎰。

2、由狄利克雷判别法定理三：（狄利克雷判别法）若()()uaF u f x dx =⎰在),a +∞⎡⎣上有界，()g x 在),a +∞⎡⎣上当x →+∞时单调趋于0，则()()af xg x dx +∞⎰收敛。

因此对于积分()0sin 0,0kxxe dx xακα∞-I =>>⎰（3.1）（3.1）对α微分得到()'0cos x e xdx καα∞-I =⎰因为cos 1x α≤，即cos x α在)0,+∞⎡⎣上有界，且x e κ-为单调函数， 所以0cos x e xdx κα∞-⎰在)0,+∞⎡⎣上是一致收敛的。

又由于 ()'0cos x e xdx καα∞-I =⎰1cos x e xdxd κακ-∞=-⎰()011cos sin x x x e e x dx κκααακκ∞--=-⋅+⋅⋅-⎰()201cos sin cos xxx x ee x x e dx κκκααααακκ∞---=-⋅+-⋅⋅⎰22201cos sin cos xx x x ee x x e dx κκκαααααακκκ∞---=-⋅+-⋅⋅⎰合并后可得:()20220sin cos 11cos x xe x x e xdx κκαακααακκκ-∞-∞-⎛⎫+=-=⎪⎝⎭⎰进而可以得到 2222201cos xexdx κκκακακακ∞-=⋅=++⎰，即 ()'22καακI =+是一致收敛的。

所以，当0α≥时，上式对α求积分，得到arctanακI = （3.2） （3.2）式是在假定0κ>之下导出的，但当α看作常量时，I 是κ的函数，当0κ= 时它是连续的，即 00lim κ+→I =I 若0α>，则 ()00lim 2arctgarctg καπκ+→I ==+∞= 对α取特值，令1α=，可以得到0sin 2x dx x π+∞=⎰。

3．利用阿贝尔判别法设()0sin xx I e dx x αβα+∞-=⎰，()0sin x xJ e dx xαββ+∞-=⎰,()0sin x D dx x ββ+∞=⎰. 当0β≥时，将()0sin xxJ e dx xαββ+∞-=⎰右端积分号下对β求导，可以得到 ()'cos x J e xdx αββ+∞-=⎰。

因为函数cos x e x αβ-在0β≥和0x ≥时连续，并且()cos 0x x e x e ααβα--≤>，且x e dx α+∞-⎰收敛，所以0cos x e xdx αβ+∞-⎰对于β-∞<<+∞一致收敛，故由莱布尼茨法则得知： ()'22cos x J e xdx ααββαβ+∞-==+⎰。