全国通用版2018_2019高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和差的正弦余弦和正切公式3.1.2第2课时两角和与差的

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高中数学第三章三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（三）课后集训基础达标1.已知α、β为锐角，且cos （α+β）=1312，cos （2α+β）=53，那么cos α的值是（）A.6556B.-6556C.259D.-259解析：∵α、β为锐角，∴α+β∈（0，π），2α+β∈（0，π23）.又cos （α+β）=1312，cos （2α+β）=53，∴sin （α+β）=135，sin （2α+β）=54，cos α=cos ［（2α+β）-（α+β）］=cos （2α+β）cos （α+β）+sin （2α+β）sin （α+β）=1312×53+135×54=6556.∴选A. 答案：A 2.当-2π≤x≤2π时，函数f （x ）=sinx+3cosx 的（） A.最大值是1，最小值是-1 B.最大值是1，最小值是-21C.最大值是2，最小值是-21D.最大值是2，最小值是-1 解析：f （x ）=sinx+3cosx=2（21sinx+23cosx ）=2sin （x+3π）. ∵-2π≤x≤2π，∴-6π≤x+3π≤65π.从而-1≤2sin（x+3π）≤2.∴选D. 答案：D3.若（4tan α+1）（1-4tan β）=17，tan αtan β≠-1,则tan （α-β）的值为（） A.41 B.21C.4D.12 解析：∵（4tan α+1）（1-4tan β）=17， tan αtan β≠-1，∴4tan α-4tan β=16+16tan αtan β. ∴βαβαtan tan 1tan tan +-=4=tan （α-β）.∴选C. 答案：C4.在△ABC 中，若2cosB·sinA=sinC，则△ABC 的形状一定是（） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形解析：sinC=sin ［π-（A+B ）］=sin （A+B ）， ∴2cosB·sinA=sin（A+B ）. ∴可得sinAcosB-cosAsinB=0，即sin （A-B ）=0，A=B.∴三角形为等腰三角形，故选答案C. 答案：C5.sin15°sin75°的值是_________________. 解析：原式=sin （45°-30°）sin （45°+30°） =（sin45°cos30°-cos45°sin30°）（sin45°cos30°+cos45°sin30°） =（4246-）×（4246+）=41. 答案：416.αααcos )30sin()30sin(︒--︒+的值为_________________.解析：原式=.1cos cos 212cos 30sin cos 30cos sin 30sin cos 30cos sin =⨯=︒+︒-︒+︒ααααααα答案：1综合运用7.a=sin12°+cos12°与b=2sin56°的大小关系是（）A.a=bB.a ＜bC.a ＞bD.a≤b 解析：化简a=2sin （12°+45°）=2sin57°，∴a＞b. 答案：C8.在△ABC 中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC 等于（）A.6516B.6556C.6516或6556D.6516-解析：cosC=cos ［π-（A+B ）］=-cos （A+B ）=-cosAcosB+sinAsinB.因为cosA=135，所以A 必为锐角，所以sinA=1312.因为sinB=53，若B 为钝角，则π43＜B ＜π65，3π＜A ＜2π，所以13[]12π＜A+B ＜34π，所以B 不可能为钝角，故B 必为锐角.所以cosB=54，则cosC=-135·54+1312·53=6516. 答案：A9.如下图，△ABC 中，∠BAC=45°，BC 边上的高AD 将BC 分成2 cm 和3 cm 两段，求△ABC 的面积.解：设∠BAD=α，∠CAD=β，AD=x.在Rt△ADB 中，tan α=x AD BD2=. 在Rt△ADC 中，tan β=x ADDC3=. tan45°=,132132tan tan 1tan tan =∙-+=∙-+xx x x βαβα 即652-x x =1. 解这个方程，得x=6或x=-1（舍），故S △ABC =21×5×6=15（cm 2）. 拓展探究10.（探究题）是否存在锐角α、β，使α+2β=π32①，tan 2α·tan β=（2-3）②同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由.解：假设存在锐角α，β，则由①式得tan （2α+β）=3tan 2tan1tan 2tan=∙-+βαβα③.将②式代入③得tan2α+tan β=3-3.所以tan 2α，tan β是方程x 2-（3-3）x+（2-3）=0的两个根.解得x 1=1，x 2=2-3.又0＜2α＜4π，所以tan 2α≠1.所以tan 2α=2-3，tan β=1，tan α=tan （2α+2α）·.33)32(1)32(22tan12tan222=---⨯=-αα 所以α=6π，β=4π.所以存在α=6π，β=4π使①②式同时成立.备选习题11.已知tan α、tan β是一元二次方程x 2+33x+4=0的两个根，α，β∈（-2π，2π），求α+β.解：易知tan （α+β）=3，∵α，β∈（-2π，2π），又∵tan α+tan β=-33＜0，tan α·tan β=4＞0，∴tan α＜0，tan β＜0. ∴α∈（-2π，0），β∈（-2π，0）. ∴α+β∈（-π，0）. ∴α+β=-π32. 12.已知sin （2α+β）+2sin β=0，求证： tan α=3tan （α+β）. 证明：由条件得：sin ［（α+β）+α］+2sin ［（α+β）-α］=0， ∴sin （α+β）·cos α+cos （α+β）·sin α+2sin （α+β）·cos α-2cos （α+β）·sin α=0. ∴sin α·cos（α+β）=3cos α·sin（α+β）. ∴)cos()sin(3cos sin βαβααα++=. 即：tan α=3tan （α+β）.13.求证：tan （α+β）-tan （α-β）-tan2β=tan （α+β）·tan（α-β）tan2β. 证明：由角之间的关系观察到2β=（α+β）-（α-β），所证等式可由tan2β=tan ［（α+β）-（α-β）］变形而得到. ∵tan2β=tan ［（α+β）-（α-β）］ =,)tan()tan(1)tan()tan(βαβαβαβα-++--+∴tan2β［1+tan （α+β）·tan（α-β）］=tan （α+β）-tan （α-β）. ∴tan2β+tan （α+β）tan （α-β）tan2β=tan （α+β）-tan （α-β）. ∴tan（α+β）-tan （α-β）-tan2β=tan （α+β）·tan（α-β）tan2β.14.tan α，tan β是方程ax 2-（2a+1）x+（a+2）=0的两根，求tan （α+β）的取值范围.解析：因为tan α、tan β是方程ax 2-（2a+1）x+（a+2）=0的两根，则有Δ=（2a+1）2-4a（a+2）≥0且a≠0.解得a≤41且a≠0, ∴a 的取值范围是（-∞，0）∪（0，41］.由根与系数关系知tan α+tan β=a a 12+，tan α·tan β=a a 2+.于是tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan -+=,212122112--=-+=+-+a a aa a a 由于-a-21≥-41-21=43-.且-a-21≠-21，∴tan（α+β）的取值范围是［43-，-21）∪（-21，+∞）. 15.已知sin （α+β）=21，sin （α-β）=31，求)tan(tan tan tan )tan(2βαββαβα+--+的值.解：∵sin（α+β）=sin αcos β+cos αsin β=21， sin （α-β）=sin αcos β-cos αsin β=31， ∴两式相加得sin αcos β=125，两式相减得cos αsin β=121. ∴βαβαsin cos cos sin =5，即βαtan tan =5.∴)tan(tan )tan tan 1)(tan()tan()tan(tan tan tan )tan(22βαββαβαβαβαββαβα+-+-+=+--+βαββαtan tan tan tan tan 2===5.。

【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-3二倍角的正弦余弦正切公式

【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-3二倍角的正弦余弦正切公式优化练习二倍角的正弦、余弦、正切公式[课时作业] [A 组基础巩固]1．计算sin 15°sin 30°·sin 75°的值等于( ) A.34B.38C.18D.14解析：原式＝12sin 15°·cos 15°＝14sin 30°＝18.答案：C 2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋2α的值为( )A ．－13B ．－79C.13D.79解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝－79.答案：B3．tan 67°30′－1tan 67°30′的值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．4解析：tan 67°30′－1tan 67°30′＝tan 267°30′－1tan 67°30′＝＝－2tan 135°＝2. 答案：C4．函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，又f (－x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ＝－f (x )，函数为奇函数．答案：A5．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝22(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin 2θ)＝19，∴sin 2θ＝－79.答案：A6．若2±3是方程x 2－5x sin θ＋1＝0的两根，则cos 2θ＝________.解析：由题意，2＋3＋(2－3)＝5sin θ，即sin θ＝45，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－725.答案：－7257．已知tan x ＝2，则tan 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝________.解析：∵tan x ＝2， ∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－43. tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝34. 答案：348．已知sin θ2＋cos θ2＝12，则cos 2θ＝________.解析：由sin θ2＋cos θ2＝12，两边平方整理，得1＋sin θ＝14，即sin θ＝－34，cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－18.答案：－189．已知sin α＋cos α＝13，0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．解析：∵sin α＋cos α＝13，∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝－89且sin αcos α＝－49<0.∵0<α<π，sin α>0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0. ∴sin α－cos α＝sin α－cos α2＝1－sin 2α＝173. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)＝13×(－173)＝－179. tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717.10．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )·cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)． (1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解析：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2 cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，得a ＝－1. (2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.[B 组能力提升]1．若|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( )A ．－105 B.105 C ．－155D.155解析：因为5π2<θ<3π，|cos θ|＝15，所以cos θ<0，cos θ＝－15，因为5π4<θ2<3π2，所以sin θ2<0.因为sin2θ2＝1－cos θ2＝35，所以sin θ2＝－155.答案：C2．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析：先利用条件求出tan α，再利用倍角公式求tan 2α.把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2 α＝52，即3cos 2α＋4sin αcos α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 答案：C3．已知方程x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1tan αx ＋1＝0的一个根是2＋3，则sin 2α＝________.解析：由题意可知 (2＋3)2－⎝⎛⎭⎪⎫sin αcos α＋cos αsin α(2＋3)＋1＝0，即8＋43－sin 2α＋cos 2αsin αcos α(2＋3)＝0，所以(2＋3)112sin 2α＝4(2＋3)，所以sin 2α＝12.答案：124．设cos 2θ＝23，则cos 4θ＋sin 4θ的值是________．解析：cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝12＋12cos 22θ＝12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝1118. 答案：11185．已知向量p ＝(cos α－5，－sin α)，q ＝(sin α－5，cos α)，p ∥q ，且α∈(0，π)． (1)求tan 2α的值； (2)求2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6.解析：(1)由p ∥q ，可得(cos α－5)cos α－(sin α－5)(－sin α)＝0，整理得sin α＋cos α＝15.因为α∈(0，π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α－cos α ＝2－α＋cos α2＝75，解得sin α＝45，cos α＝－35，故tan α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. (2)2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－12cos α＋32sin α－32sin α－12cos α＝1－cos α＝85.6．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a·b ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期．(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围．解析：(1)f (x )＝a·b ＋λ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ，且直线x ＝π是f (x )的图象的一条对称轴，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)，所以ω＝k 2＋13.又因为ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以ω＝56，所以f (x )的最小正周期为6π5.(2)y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π4，0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×56×π4－π6＝－2sin π4＝－2，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5，则53x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为 [－1－2，2－2].。

[推荐学习]高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦

[ 介绍学习 ] 高中数学第三章三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦[k12]两角和与差的正弦、余弦和正切公式疱工巧解牛知识 ?巧学一、两角和的余弦公式1.比较 cos( α- β) 与 cos( α+β) ，依据α+β与α- β之间的联系：α +β=α-(- β) ，则由两角差的公式得 cos( α+β)=cos ［α-(- β)］=cosαcos( - β)+sin αsin( - β)=cos αcosβ-sin αsin β,即cos( α+β)=cos αcosβ - sin αsin β.学法一得这种以 - β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有侧重要应用，同时也启迪我们要辩证地对待和角与差角 . 在公式C(α-β)中，因为角α、β是随意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是随意角 .2.用两点间的距离公式推导 C(α+β).图 3-1-5如图 3-1-5 ，在直角坐标系 xOy 内作单位圆O，以 O为极点，以 x 轴的非负半轴为始边，作出角α、 - β，使角α、 - β的终边分别交单位圆于点 P2、P4，再以 OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点 P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、- β的始边交单位圆于点 P1，则 P1(1 ，0). 设 P2(x ，y) ，依据随意角的三角函数的定义，有 sin α=y，cosα=x，即P2(cos α， sin α) ；同理 , 可得 P3(cos( α+β) ，sin( α+β)) ， P4(cos(- β) ，sin(- β)).由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.|P 1P3| 2=|P2P4| 2，即［cos( α+β)-1］2+sin 2(α+β)=22［cos(- β)- cosα］ +［sin(- β)- sin α］ .依据同角三角函数的基本关系, 整理得 2-2cos( α+β)=2 - 2(cos αcosβ - sin αsin β) ，即 cos( α+β)=cos αcosβ - sin αsin β.3.利用向量的数目积推导 C(α+β).图 3-1-6如图3-1-6 ，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆，以 Ox 为始边作角α、 - β，它们与单位圆的交点分别为 A、B.显然，OA =(cosα,sinα ),OB=(cos(-β ),sin(- β )).根据向量数目积的定义，有OA·OB=(cos α,sin α) ·(cos( - β),sin( - β))=cos αc os(- β)+sin αsin( - β)=cos αcosβ - sin αsin β.于是 cos( α+β)=cos αcosβ - sin αsin β.学法一得①在办理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，经过某种转变，归纳为一类已经解决或比较简单解决的问题，最后求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想 .②以随意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、引诱公式和两角和的余弦公式 . 熟记公式中角、函数的摆列次序及式中的正负号是正确使用公式的重点 .记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积，连结符号与左侧的连结符号相反 . 二、两角和与差的正弦1.公式的推导[k12]sin( α- β)=cos［ - ( α- β) ］=cos［(- α)+ β］22=cos( - α)cos β -sin(- α)sin β=sin αcos 22β- cosαsin β.在上边的公式中，以 - β代β，即可获得sin( α+β)=sin αcosβ+cosαsin β.2.和差公式是引诱公式的推行，引诱公式是和差公式的特例 . 如sin(2 π- α)=sin2 πcosα - cos2πsin α=0×cosα- 1×sin α=- sin α.当α 或β 中有一个角是的整数倍时，往常使2用引诱公式较为方便；上边公式中的α、β 均为随意角 .误区警告公式对分派律不建立，即sin( α±β )≠sin α± sin β，学习时必定要注意这一点 .学法一得公式使用时不单要会正用，还要能够逆用，如化简sin( α+β)cos β - cos( α+β)sin β，不要将sin( α+β) 和 cos( α+β) 睁开，而应该整体观察，进行以下变形：sin( α+β)cos β - cos( α+β)sin β=sin［( α+β)- β］=sin α，这也表现了数学中的整体原则 .记忆要诀记忆时要与两角和与差的余弦公式差别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连结符号与左侧的连结符号相同 .三、两角和与差的正切1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式，能够推导出两角和的正切公式：tan( α+β)=sin()sin cos cos sin，当cos()cos cos sin sincosαcosβ≠0时，我们能够将上式的分子、分母同时除以 cosαcosβ，即得用 tan α和 tan β表示的公式：tan( α+β)= tan tan，在上边的公式中，以- β1 tan tan代β，可得两角差的正切公式：tan( α- β)= tan tan.1 tan tan2.公式建立的条件要能应用公式，第一要使公式自己存心义，即 tan α、 tan β存在 . 并且 1+tan αtan β的值不为零，所以可得α、β 需知足的条件：α≠ kπ+, β≠ kπ+，α+β≠ kπ+或222α- β≠ kπ+，以上 k∈ Z. 当 tan α、 tan β、2tan( α±β ) 不存在时，能够改用引诱公式或其余方法解决 .学法一得两角和与差的正切相同不单能够正用，并且能够逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tanβ=tan( α+β)(1 - tan αtan β)就能够解决诸如tan15 °+tan30 °+tan15 °tan30 °的问题 . 所以在办理问题时要注意观察式子的特色，奇妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.典题 ?热题知识点一所求角可表示成两个特别角的和、差例 1 求 sin75 °,tan15 °的值 .解：sin75 °=sin(45 °+30°)=sin45 °cos30°+cos 45°sin30 °[k12]= 232162；22224tan15 °=tan(60 ° - 45°)= tan 60tan 4531231tan 60 tan 4513，或13tan15 °=tan(45 °- 30°)=tan 45tan 303231tan 45tan 30313.例 2求 sin 7cos15 sin8的值 .cos7sin15 sin8思路剖析：察看被求式的函数名称的特色和角的特色，此中7°=15° - 8°， 15°=8°+7°，8°=15°- 7°. 不论采纳哪一种代换方式，都可减少角的个数 . 利用和角或差角公式睁开，进行约分、化简、求值 . 若用 7°=15°- 8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用15°=8°+7°或8°=15°- 7°代换，分子、分母将会出现三次式，明显选择后者更好，不如比较一下.答案：原式 = sin 7cos(78 ) sin 8cos7sin(78 ) sin 8sin 7cos7 cos8 sin 8sin 7? sin 2 8sin 7 (1sin 2 8 )cos7cos8 sin 8 cos7sin 7 cos8 sin 8cos7? sin 2 8cos7 (1sin2 8 )sin 7cos8 sin 8[k12]sin 7 ?cos 2 8 cos7 cos8 sin 8 sin 7 cos8 cos7 sin 8 cos7 ? cos 2 8sin 7 cos8 sin 8cos7 cos8sin 7 sin 8sin15 tan1523.cos15巧解提示 : 原式 =sin(158 )cos15 ? sin 8cos(15 8 )sin15 ? sin 8sin15 ? cos8cos15 ? sin 8 cos15 ? sin8 cos15 ?cos8sin15 ? sin 8sin15 ? sin8sin15 ? cos8=tan15 °=tan(45 ° - 30°)cos15 ? cos83tan 45 tan 30 13.3 21 tan 45 ? tan 30313方法概括三角函数式的构造一般由角、三角函数符号及运算符号三部分构成 . 所以三角恒等变换常常第一找寻式子所包括的各个角之间的联系，并以此为依照选择能够联系它们的适合公式，这是三角恒等变换的重要特色 . 不论是化简、求值，仍是证明，其结果应按照以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母 .知识点二已知 α、β 的三角函数值，求 α±β 的三角函数值例 3 已知 sin α=1，求 cos(+α) 的值 .33[k12]思路剖析：因为是个特别角，所以依据 C (α+β)3的睁开式，只要求出cos α 的值即可 . 因为条件1只告诉了 sin α= ，没有明确角 α 所在的象限，3所以应分类议论，先求 cos α 的值，再代入睁开式确立 cos(+α) 的值 .3解：∵ sin α=1>0，∴α 位于第一、二象限 .3当 α 是第一象限角时， cos α=1 (1)22 2，33∴cos(3 +α)=coscos α-sin3sin α=31 22 3 1 2 2 3 ;23 236同理，当 α 是第二象限角时， cos α=22，3∴cos(3+α)=2 33.6方法概括解这种给值求值问题的重点是先分清 S ( α±β) 、C (α±β)、T ( α±β) 的睁开式中所需要的条件，联合题设，明确谁是已知的，谁是待求的 . 此中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知拥有平方关系的三角函数值 . 可是，关于 cos( π+α) 、cos( +α) 这样的函数求2[k12]值，因为它们的角与的整数倍有关，所以无需2按它们的睁开式求值，直接利用引诱公式可能更简单 .例 4 已知 cos( α -)=1，sin(- β)=2，并且29232＜α＜π， 0＜β＜，求cos的值 .22思路剖析：察看给出的角2() (2) ，联合2公式C(α-β)睁开式的特色，只要利用同角三角函数的基本关系计算出 sin( α- ) 、cos( - β) 的22值即可 .解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜＜，0 22422＜＜.2 4∴＜α - ＜π， - ＜ - β＜ .42422又∵ cos( α-2)=91＜0，∴22.∴sin() 1 sin 2 ()1( 1)2 4 5.2299同理，∵ sin(- β)= 2>0，∴02.232∴ cos()1sin 2 () 1 (2)2 5 .22332cos[() ( )]22=cos( α-2)cos(- β)+sin( α- )sin(- β)2221 5 4 52 7 5 .9 3 93 27例 5 在△ ABC 中， sinA= 3 ,cosB= 5，求 cosC.5 13思路剖析：此题主要观察三角形中的三角函数问题 . 若不注意“△ ABC ”这个条件，就会产生多解，所以解这种问题时必定要注意尽量压缩角的范围，避开分类议论，同时要注意结论能否切合题意 .解：∵cosB= 52 , ∴B ∈( ,) 且 sinB= 12.13 2 4213∵sinA=3 23 52 , ∴A ∈(0, 4) ∪( , π).43) ，则3若 A ∈( , π),B ∈( ,2 A+B ∈( π, ) 与44 2A+B+C=π 矛盾，∴A (34, π). 所以 A ∈(0,) 且 cosA=4.45从而cosC=cos ［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=4 5 3 12 16 5 13 5 13 65例 6 如图 3-1-7 ，已知向量OP =(3,4) 绕原点旋转45°到 OP′的地点，求点 P′(x ′,y ′) 的坐标 .图 3-1-7思路剖析：此题相当于已知角α 的三角函数值，求α+45°的三角函数值 . 解：设∠ xOP=α.2234因为 |OP|= 34 5 ，所以cosα=,sin α= .55因为x′=5cos( α+45°)=5(cos αcos45° - sin αsin 45°)5( 324 2 )2，52522同理 , 可求得 y′=5sin( α+45°)= 7 2，所以2P′(22 , 722 ).方法概括①已知角α 的某一三角函数值和角α 所在的象限，则角α 的其余三角函数值独一；已知角α 的某一三角函数值，不知角α 所在的象限，应先分类议论，再求α 的其余三角函数值.②一般地，90°±α，270°±α的三角函数值，等于α 的余名函数值，前面加上一个把α 当作锐角时原函数值的符号，它的证明也可经过两角和、差的三角函数式进行 . ③在给值求值的题型中，要灵巧办理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来 .知识点三已知三角函数值求角例 7 已知 sin α=5，sin β=10 , 且α、β都是510锐角，求α+β的值 .思路剖析： (1) 依据已知条件可先求出α+β的某个三角函数值，如 cos( α+β).(2) 由两角和的余弦公式及题设条件知只要求出 cosα、cosβ即可 .(3) 因为α、β都是锐角，所以 0＜α +β＜π ,y=cosx 在(0, π) 上是减函数，进而依据cos( α+β) 的值即可求出α+β的值 .解：∵ sin α=5 ,sin β=10，且α、β都是锐510角，∴ cosα=1 sin2 2 55，cosβ= 1 sin231010.∴c os( α+β)=cos αcosβ - sin αsin β= 25310510 2 .5105102又∵ 0＜α +β＜π , ∴α +β= .4方法概括给值求角的一般步骤是：①确立所求角的范围；②找到该范围内拥有单一性的某一三角函数值；③先找到一个与之有关的锐角，再由引诱公式导出所求角的值 .知识点四利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式例 8 已知 3sin β=sin(2 α+β)，求证：tan( α+β)=2tan α.思路剖析：察看条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β，结论中含有α+β、α，若从条件下手，可采纳角的变换，β=( α+β)- α，2α+β=( α+β)+ α，睁开后转变成齐次整式，约分得出结论 .证明：∵3sin β=3sin ［ ( α+β)- α］=3sin( α+β)cos α - 3cos( α+β)sin α，sin(2 α+β)=sin［( α+β)+ α］[k12]=sin( α+β)cos α+cos( α+β)sin α，又 3sin β=sin(2 α+β) ，∴3sin( α+β)cos α - 3cos( α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos( α+β)sin α.∴2sin( α+β)cos α=4cos( α+β)sin α.∴t an( α+β)=2tan α.方法概括对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件下手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系 .知识点五变用两角和差的三角函数公式化简求值例 9 用和、差公式证明tan12 °+tan18 °+33 tan12 °· tan18 °=3 .3解∵：tan12tan18=tan(12 °+18°)=tan30 °=3，1 tan12? tan183∴tan12 °+tan18 °=33 (1- tan12 °· tan18 °) ，即左边[k12]= 3 (1- tan12 °tan18 °)+3 tan12 °tan18 °=3 333=右侧 .∴t an12 °+tan18 °+3 tan12 °· tan18 °=3 .33方法概括三角公式经过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主假如经过对函数构造式的变形与对角的分、拆、组合来实现的 .例 10 求(1+tan1 °)(1+tan2 °)(1+tan3 °)(1+tan45 °) 的值 .解：因为α+β=45°时，tan( α+β)=tan tan=1，所以1tan tantan α+tan β+tan αtan β=1，即(1+tan α)(1+tan β)=2.于是(1+tan1 °)(1+tan44 °)=(1+tan2 °)(1+tan43°)==(1+tan22 °)(1+tan23 °)=2.又因为 1+tan45°=2，所以原式 =223.方法归纳当α+β=kπ+,k ∈ Z时，4(1+tan α)(1+tan β)=2 ；当α+β=kπ -,k ∈Z时，4(1+tan α)(1+tan β)=2tan αtan β.问题 ?研究思想方法研究问题 1 在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些公式时要注意些什么问题？研究过程 : 使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵巧使用公式所一定的，特别是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更为重要，这也是学好三角函数的基本功 .如： cos( α- β)cos β- sin( α- β)sin β化简为 __________.将α- β看作一个角，β 看作另一个cos( α- β)cos β - sin(α-角,则β)sin β=cos［(α- β)+ β］ =cosα.解答此题时不单利用角的变换：α=( α- β)+ β，同时运用了公式的逆向变换 .探究结论:两角和的正切公式tan(α+β)=tan tan.除了掌握其正向使用之1 tan tan外，还需掌握以下变换：1- tanαtanβ=tan tan；tan() tanα+tan β=tan(α+β)(1- tanαtanβ)；tan αtan βtan( α+β)=tan( α+β)- tan α -ta nβ等 . 两角和的正切公式的三种变形要熟习，其在此后解题中常常使用，要能灵巧办理 .问题 2 2004 年重庆高考有一题为：求函数 y=sin4x+ 2 3 sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在［ 0, π］上的单一递加区间.该函数变形后就需要用到形如asinx+bcosx(a 、b 不一样时为零 ) 的式子的变换，我们称之为协助角变换，那么怎样进行协助角变换？研究过程 : 形如 asinx+bcosx(a 、b 不一样时为零 )的式子能够引入协助角变形为Asin(x+ φ) 的形式.asinx+bcosx=22(a sin x b cosx) ,a b2222a b a b令 cosφ=2ab 2 ,sinφ=a2b 2，则a b原式= a2b2(sinxcosφ +cosxsinφ )= a2 b 2sin(x+ φ).( 此中φ角所在象限由 a、b 的符号确立，φ 角的值由 tan φ=b确立，常常取φ=arctan b ).a a研究结论 : 协助角变换是三角变形的重要形式，它的应用十分宽泛，特别是在数学中求三角函数的最值及物理学中间波的合成时，都是重要的工具. 比如2sinx-3cosx ，就能够利用这一结论将其化为一个三角函数的形式，进而确立其最值，因为 a=2,b=-3,A= a 2b213，所以2sinx-3cosx=13 sin(x+φ)，(此中φ 在第四象限，且 tan φ=32 ) ，所以 2sinx-3cosx的最大值是13 ，最小值是13 .。

(全国通用版)2018-2019高中数学第三章三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换第1课时

＝cosx2＋sincxos2x．
证法二：cosx2＋sincxos2x＝coEs3v2xa2－sliu2xna＋32txic－oons2x32ox＋nl2xy.
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3
课时作业学案
Evaluation only.
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2．常见的三角恒等变换
(1)asinx＋bcosx＝___a_2_＋__b_2 __sin(x＋φ)(ab≠0)，其中
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tanφ＝ba，φ
所在象限由
Care和abte的d符w号it确h定A．sp仅o仅s讨e.论Sbali＝de±1s，fo±r3.，N±E3T3的3情.5况C．lient Profile 5.2.0.0.
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2004-201D1．Asp1o＋s2ceosαPty
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2．已知 sinθ＝35，52π<θ<3π，那么 tan2θ＋cos2θ的值为
( B)
A． 1100－3
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CreaCte．d－w3－ith1C10A0osppyorsigห้องสมุดไป่ตู้h.St 2li0d0e4s-f2o0r1.D1N．EA3Ts＋p31o1.0s05eCPliteynLt tPdr.ofile 5.2.0.0.
θ
∴tan2θ＝sinC2θo＝p3y．right 2004-2011 Aspose Pty Ltd.

高中数学第三章三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.(高考全国卷Ⅱ，理2)函数y=sin2xcos2x 的最小正周期是( )A.2πB.4πC.4π D.2π 解析：y=sin2xcos2x=21sin4x,所以最小正周期为T=42π=2π.答案：D2.(高考全国卷Ⅱ，理10)若f(sinx)=3-cos2x ，则f(cosx)等于( )A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x解析：f(sinx)=3-(1-2sin 2x)=2sin 2x+2,所以f(x)=2x 2+2.因此f(cosx)=2cos 2x+2=(2cos 2x-1)+3=3+cos2x. 答案：C3.已知α为锐角，且sinα∶sin 2α=8∶5，则cosα的值为( ) A.2512 B.258 C.257 D.54 解析：由2sin2cos2sin 22sin sin ααααα==2cos 2α=58，得cos 2α=54， cosα=2cos 22α-1=2×(54)2-1=257. 答案：C4.求下列各式的值：(1)cos 12πcos 125π=______________； (2)(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)=______________；(3)21-cos 28π=______________； (4)-32+34cos 215°=______________；(5)︒-︒5.22tan 15.22tan 2=_________________解析：(1)原式=cos 12πsin 12π=21sin 6π=41；(2)原式=cos212π-sin 212π=cos 6π=23； (3)原式=21-(2cos 28π-1)=21-cos 4π=42-；(4)-32+34cos 215°=32(2cos 215°-1)=32cos30°=33；(5)原式=21tan45°=21. 答案：(1)41 (2)23 (3)42- (4)33 (5)2110分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若tanx=2，则tan2(x-4π)等于( ) A.34 B.-34 C.43 D.43- 解析：tan(2x-2π)=-tan(2π-2x)=-cot2x=x 2tan 1-,而tan2x=4122-⨯=-34,∴原式=43.答案：C2.当0＜x ＜2π时，函数f(x)=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为( )A.2B.32C.4D.34解析：f(x)=x x x x cos sin 2sin 8cos 222+=x tan 1+4tanx≥42=4，当且仅当tanx=21时，取“=”.答案：C3.化简cos72°cos36°=________________. 解析：原式=︒︒=︒︒︒=︒︒•︒︒36sin 4144sin 36sin 472sin 72cos 236sin 236sin 236cos 72cos =41. 答案：414.在△ABC 中，tanA+tanB+33+tanAtanB 且sinAcosA=43，判断三角形的形状. 解：由sinAcosA=43，得21sin2A=43，即sin2A=23， ∴2A=60°或120°.∴A=30°或60°.又由tanA+tanB=3-(1-tanAtanB)，得tan(A+B)=3tan tan 1)tan tan 1(3-=---BA B A ，∴A+B=120°.当A=30°时，B=90°，tanB 无意义，∴A=60°,B=60°，即三角形为等边三角形. 5.平面上两塔相距120 m ，一人分别在两塔的底部测得一塔顶的仰角为另一塔顶仰角的2倍，又在两塔底的连线中点测得两塔顶的仰角互余.求两塔的高.解析：如图所示，设两塔的高分别为x m 、y m ，且∠ADB=α，∠AMB=θ.由题意，得∠CBD=2α，∠AMC=90°， ∠AMB=∠MCD=θ，所以x=60tanθ，y=θtan 60， x=120tan α，y=120tan2α.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.12012,360022x x y xy 解得x=40，y=90.答：两塔高分别是90 m 和40 m.6.(2006高考北京卷，理15)已知函数f(x)=xx cos )42sin(21π--， (1)求f(x)的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tanα=-34，求f(α)的值. 解：(1)由cosx≠0,得x≠kπ+2π(k ∈Z ). 故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+2π,k ∈Z }.(2)因为tanα=54-,cosα=53，且α为第四象限的角，所以sinα=54-,cosα=53.故f(α)=αααααααπαcos 2cos 2sin 1cos )2cos 222sin 22(21cos )42sin(21+-=--=--=ααααcos cos sin 2cos 22-=2(cosα-sinα)=514. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.已知θ是第三象限的角，若sin 4θ+cos 4θ=95，那么sin2θ等于( ) A.322 B.322- C.32 D.-32解析：(sin 2θ+cos 2θ)2=sin 4θ+cos 4θ+2sin 2θcos 2θ=sin 4θ+cos 4θ+21(sin2θ)2，而(sin 2θ+cos 2θ)2=1，可以得到sin2θ=±322，又由于θ是第三象限的角，所以sin2θ=322. 答案：A2.已知tanα=71，tanβ=2π，0＜α＜β＜2π,则α+2β等于( ) A.45π B.4π C.45π或4π D.47π解析：∵tan2β=43tan 1tan 2=-ββ，∴tan(α+2β)=28314371-+=1.∵tanα=71＜1,∴0＜α＜4π.tan2β=43＜1,∴0＜2β＜4π.∴0＜α+2β＜43π.∴α+2β=4π.答案：B3.(2006高考上海卷，理17)求函数y=2cos(x+4π)cos(x-4π)+3sin2x 的值域和最小正周期.解：y=2(cosxcos4π-sinxsin 4π)(cosxcos 4π-sinxsin 4π)+3sin2x =cos 2x-sin 2x+3sin2x=cos2x+3sin2x=2sin(2x+6π).∴原函数的值域是［-2,2］，周期T=22π=π. 4.化简︒-+︒+10sin 110sin 1. 解：原式=︒︒-︒+︒+︒︒+︒+︒5cos 5sin 25cos 5sin 5cos 5sin 25cos 5sin 2222=|sin5°+cos5°|+|sin5°-cos5°|=sin5°+cos5°+cos5°-sin5°=2cos5°. 5.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：原式=21cos20°cos40°cos80° =︒︒︒=︒︒︒=︒︒︒︒︒20sin 1680cos 80sin 2880cos 40cos 40sin 220sin 480cos 40cos 20cos 20sin 2 =16120sin 16160sin =︒︒. 6.已知sin 22α+sin2αcos α-cos2α=1，α∈(0,2π)，求sin α,tan α.解：由题意知4sin 2αcos 2α+2sin αcos 2α-2cos 2α=0，即2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0. 又α∈(0,2π)，∴sinα+1≠0,cos 2α≠0. 由2sin α-1=0得sin α=21，∴α=6π,tan α=33.7.已知sin(α-4π)=1027，cos2α=257，求sin α及tan(α+3π).解：由sin(α-4π)=1027,得22(sin α-cos α)=1027，即sin α-cos α=57. ① 又由cos2α=257得cos 2α-sin 2α=257，即(cos α+sin α)(cos α-sin α)=257，∴cosα+sin α=-51. ②由①②得sin α=53，cos α=54-,∴tanα=-43.tan(α+3π)=1132548343344331433tan 313tan -=+-=+-=-+αα. 8.当x∈［-2π,2π］时，求f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的周期、最大值及此时的x 值. 解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=2sin(2x+4π)+2.周期T=π.当x ∈［-2π,2π］时，2x+4π∈［-43π,45π］,sin(2x+4π)∈［-1,1］. ∴f(x)∈［22-,22+］.∴f(x)max =22+.由2x+4π=2k π+2π得x=k π+8π. 又∵x∈［-2π,2π］，∴x=8π,即当x=8π时，f(x)的最大值为22+.9.(2006高考安徽卷，理17)已知43π＜α＜π,tanα+cosα=310-.(1)求tanα的值；(2)求)4sin(282cos 112cos2sin82sin 522πααααα--++的值.解：(1)∵tanα+cosα=310-,∴3tan 2α+10tanα+3=0,解得tanα=-31或tanα=-3.∵43π＜α＜π,∴-1＜tanα＜0.∴tanα=-31.(2)∵tanα=-31,∴)4(sin 282cos 112cos2sin82sin 522παααααα--++=451tan 3tan 4cos sin 82cos 16sin 4)2cos 2(sin 522-=-+=--+•+++αααααααα. 10.(2006高考四川卷，理17)已知A 、B 、C 是△ABC 三内角，向量m =(-1,3)，n =(cosA,sinA),且m ·n =1. (1)求角A ； (2)若BB B22sin cos 2sin -+1=-3，求tanC. 解：(1)∵m ·n =1,∴(-1,3)·(cosA,sinA)=1,即3sinA-cosA=1,2(sinA·23-cosA·21)=1,sin(A-6π)=21. ∵0＜A ＜π,-6π＜A-6π＜65π,∴A-6π=6π.∴A=3π.(2)由题知BB B B 22sin cos cos sin 21-+=-3，整理得sin 2B-sinBcosB-2cos 2B=0. ∵cosB≠0,∴tan 2B-tanB-2=0. ∴tanB=-2或tanB=-1.而tanB=-1使cos 2B-sin 2B=0，舍去. ∴tanB=2.∴tanC=tan［π-(A+B)］=-tan(A+B)=11358321322tan tan 1tan tan +=-+⨯-=-+-B A B A .。

2018年秋高中数学第三章三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标：1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(易错点)[自主预习·探新知]1．二倍角的正弦、余弦、正切公式23．正弦的二倍角公式的变形(1)sin αcos α＝12sin 2α，(2)1±sin 2α＝(sin_α±cos _[基础自测]( ) α成立．( ) α都不成立．( )k π(k ∈Z )，故此说法错误．α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α.[答案] (1)× (2)√ (3)× 2．sin 15°cos 15°＝________.14 [sin 15°cos 15°＝12×2sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.] 3．12－cos 2π8＝________.－24 [12－cos 2π8＝12－1＋cosπ42＝12－12－12×22＝－24.] 4．若tan θ＝2则tan 2θ＝________. －43 [tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43.] [合作探究·攻重难](1)cos π7cos 7cos 7的值为( )A ．14 B ．－14C ．18D ．－1(2)求下列各式的值：①cos 415°－sin 415°；②1－2sin 2④1sin 10°－3cos 10°.【导学号：84352329】5πcos 2π7，cos 4π7＝8sin π7cos π7cos 2π7cos4π78sinπ7＝＝－18.215°＋sin 215°)＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. ②1－2sin 275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32. ③1－tan 275°tan 75°＝2×1－tan 275°2tan 75°＝2×1tan 150°＝－2 3.④1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝－cos 32sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.][规律方法] 对于给角求值问题，一般有两类：直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.[跟踪训练] 1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)1sin 50°＋3cos 50°. [解] (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4＝5，2≤α＜2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[思路探究] 依据以下角的关系设计解题思路求解：(1)α＋π4与2α＋π2，α－π4与2α－π2具有2倍关系，用二倍角公式联系；(2)2α＋π2与2α差π2，用诱导公式联系．[解] (1)∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22＝－31250.(2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2⎦⎥⎤－1＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.母题探究：1.在例2(1)的条件下，求sin 4α的值．[解] 由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×725×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝－336625.2．将例2(1)的条件改为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．[解] ∵0＜x ＜π4，∴π4－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.又sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.又cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2×513×1213＝120169，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413.[规律方法] 解决条件求值问题的方法有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.当遇到\f(π,4)±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . 类似的变换还有：cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ， sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等.[探究问题]1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形．2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导．(1)化简：1tan θ＋1＋1tan θ－1＝________.(2)证明：3tan 12°－3212°－＝－4 3.[原式＝θ＋θ＝－2tan θ1－tan 2θ＝左边＝212°－sin 12°－32cos 12°3－sin 24°cos 24°＝＝－43＝右边，所以原等式成立．] [规律方法] 证明三角恒等式的原则与步骤观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[跟踪训练]2．求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ； (2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ. [证明] (1)左边＝1＋A ＋2B2－1－A －2B2＝coA ＋2B ＋A －2B2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边， ∴等式成立．(2)法一：左边＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ＝右边．法二：右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边． [当堂达标·固双基]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°B [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－32；sin 215°＋cos 215°＝1，故选B.] 2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4B [易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.]3．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝________.6 [sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.] 4．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.3 [∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π知sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝2π3，∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3.]5．已知π2＜α＜π，cos α＝－45.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．[解] (1)因为cos α＝－45，π2＜α＜π，所以sin α＝35，＝－2425，＝－1725.。

2018年秋高中数学第三章三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 第1课时两角和与差的

第1课时两角和与差的正弦、余弦公式学习目标：1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．[自主预习·探新知]1．两角和与差的余弦公式x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝aa2＋b2，[基础自测]α，β是任意的．( )－β)＝sin α－sin β成立．( )β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.()[解析](1)正确．根据公式的推导过程可得．(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( ) A ．0B ．12 C ．32D ．cos 54°B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝12.]3．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －π4＝________.－210 [∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22sin α－22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－210.] 究·攻重难]给角求值问题(1)cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为) A ．－32B ．－1C ．12D ．32(2)若θ是第二象限角且sin θ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.(1)D (2)－12＋5326[(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32. (2)∵θ是第二象限角且sin θ＝513，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1213，∴cos(θ＋60°)＝12cos θ－32sin θ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－32×513 ＝－12＋5326.(3)原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin －50°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.][规律方法] 解决给角求值问题的策略 1对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.2一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求.[跟踪训练] 1．化简求值：(1)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)原式＝sin20°＋30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.给值求值、求角问题(1)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P 的横坐标为45，点Q 的横坐标为513，则cos ∠POQ ＝________.(2)已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：①cos(2α－β)的值；②β的值.[思路探究] (1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ 的正弦、余弦值，再依据∠POQ ＝∠xOP ＋∠xOQ 及两角和的余弦公式求值．(2)先求sin α，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.(1)5665 [(1)由题意可得，cos ∠xOP ＝45，所以sin ∠xOP ＝35.再根据cos ∠xOQ ＝513，可得sin ∠xOQ ＝－1213，所以cos ∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos ∠xOP ·cos∠xOQ －sin ∠xOP ·sin∠xOQ ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665. (2)①因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010， cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22，又因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.][规律方法] 给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：1当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. 2当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. [跟踪训练]2．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，因为sin(α－β)＝－35＜0，所以cos(α－β)＝45，因为cos α＝255，所以sin α＝55，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255.辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2？提示：能．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.2．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a公式．提示：a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝b a 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b2共同确定)．(1)sin π12－3cos π12＝________.(2)已知a ＝(3，－1)，b ＝(sin x ，cos x )，x ∈R ，f (x )＝a·b ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间.[思路探究] 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α－β)、S (α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2 [(1)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式＝2 ⎛⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 法二：(化余弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12－sin π6sin π12＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋12＝－2cos 4＝－ 2.(2)f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，∴T ＝2πω＝2π，值域[－2,2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z .] 母题探究：1.若将例3(2)中a ＝(3，－1)改为a ＝(－1，3)，其他条件不变如何解答？[解] f (x )＝－sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴T ＝2π，值域为[－2,2]，由－π＋2k π≤x ＋π6≤2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，－π6＋2k π，k ∈Z .2．若将例3(2)中a ＝(3，－1)改为a ＝(m ，m )其中m ＞0，其他条件不变，应如何解答？[解] f (x )＝m sin x ＋m cos x ＝2m sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴T ＝2π，值域为[－2m ，2m ]，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z . [规律方法] 辅助角公式及其运用1公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin α＋φ或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos α－φ将形如a sin α＋b cos αa ，b 不同时为零的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.2形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.[当堂达标·固双基]1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A ．－32B ．－12C ．12D ．32B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°，sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°，∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－12.] 2．化简2cos x －6sin x 等于( )A ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xC ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x D ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x D [2cos x －6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x －sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .] 3．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________.cos α [cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α.] 4．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.[解析] ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos ββ＝0②，①②两式相加可得sin 2α＋cos 2α＋sin 2ββ)＝1，∴sin(α＋β)＝－12.＝55，cos β＝1010，求α－β. α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.。

2018_2019学年高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3课件新人教A版

3 答案(1)1+ 2
2 2 2 (2)1+ 2
π 4
一
二
思维辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打 “×”. (1)对任意的角总有 sin 2θ=2sin θ. ( ) (2)不存在角 α,使得 cos 2θ=2cos θ. ( )
2tan�� π 成立的条件是 α ≠ k π + ,k∈Z. 2 1-tan2 �� (4)对于任意角 α,都有 sin 2=2sin 4cos 4. 4 (5)若 tan α=2,则 tan 2α=-3. 1 π 2 (6)2-cos28 = 4 . π (7)若 sin 2α=-sin α,α∈ ,π ,则 tan 2α= 3. 2
的值.
解∵x∈ 0,
∴4-x∈ ∵sin ∴cos
π
π -�� 4 π -�� 4
π 4 π 0, 4
, .
5 12
= 13, = 13.
π
119 169 12 13
又 sin 2x=cos 2 -2�� =cos 2 4 -�� =2cos2 4 -�� -1=169,
cos
π -�� 4
=sin
π -�� 4
=
120 5 ,∴原式= 169 5 13 13
=
24 . 13
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解法二原式= =
cos2 ��-sin2 ��
2 2 cos �� 2 2 sin��
(cos��+sin��)(cos��-sin��)

【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-2两角和与差的正弦余弦和正

【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-2两角和与差的正弦余弦和正切公式2课堂导学案二倍角的正弦、余弦、正切公式（2）课堂导学三点剖析1.两角和与差的正切【例1】已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan(2α+4π). 思路分析：想办法利用已知条件中的角α+β与α-β表示所求式中的角,不难看出2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),tan(2α+4π)用tan2α表示出来. 解：tan2α=tan ［(α+β)+(α-β)］ =.7435135)tan()tan(1)tan()tan(-=⨯-+=-+--++βαβαβαβα tan2β=tan ［(α+β)-(α-β)］ =.8135135)tan()tan(1)tan()tan(=⨯+-=-++--+βαβαβαβα tan(2α+4π)=1137417412tan 12tan 1=+-=-+αα. 2．两角和与差的正切公式的运用【例2】计算下列各式的值：（1）tan15°+tan75°; (2)︒+︒-15tan 115tan 1; (3)︒︒-︒+︒19tan 41tan 119tan 41tan ; (4))6tan()3tan(1)6tan()3tan(παπαπαπα++++-+; (5).12tan 3112tan 3ππ+- 解：（1）tan15°+tan75°=tan(45°-30°)+tan(45°+30°)=︒-︒++︒+︒-30tan 130tan 130tan 130tan 1 =331331331331-+++-=13313113-+++- =2)13(2)13(22++- =2-3+2+3=4;(2)原式=︒︒+︒-︒15tan 45tan 115tan 45tan =tan(45°-15°) =tan30°=33; (3)原式=tan(41°+19°)=tan60°=3;(4)原式=tan ［(α+3π)-(α+6π)］ =tan 6π=33; (5)原式=12tan 3tan 112tan 3tan ππππ+-=tan(3π-12π) =tan 4π=1. 3.给值求角问题【例3】已知α,β,γ都是锐角，且tan α=21,tan β=51,tan γ=81,求α+β+γ的值. 错解:因为tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+ =.97512115121=⨯-+ tan(α+β+γ)=819718197tan )tan(1tan )tan(⨯-+=+-++γβαγβα=1.∵α、β、γ都是锐角，∴0＜α+β+γ＜π23, 故：α+β+γ=4π或45π. 正解:因为tan(α+β)=97. tan ［(α+β)+γ］=1.由已知γ＜β＜α.又因0＜21＜33, 所以0＜γ＜β＜α＜6π,得0＜α+β+γ＜2π. 故α+β+γ=4π. 各个击破题演练1 已知tanx=41,tany=-3,求tan(x+y)的值. 解：tan(x+y)=.711)3(411341tan tan 1tan tan -=-⨯--=-+y x y x 变式提升1已知tan α=71,tan β=31,求tan(α+2β). 解：tan(α+β)=21317113171tan tan 1tan tan =∙-+=∙-+βαβα, tan(α+2β)=tan ［(α+β)+β］ =312113121tan )tan(1tan )tan(∙-+=∙+-++ββαββα=1. 类题演练2利用和(差)角公式化简: (1)θθθθtan 2tan 1tan 2tan +-； (2)θθtan 1tan 1+-. 解：(1)原式=tan(2θ-θ)=tan θ.(2)原式=θπθπtan 4tan1tan 4tan+-=tan(4π-θ). 变式提升2 (1)求tan50°-tan20°-33tan50·tan20°的值. 解∵tan50°-tan20°=tan30°(1+tan50°·tan20°),∴tan50°-tan20°-33tan50°·tan20° =tan30°(1+tan50°tan20°)-33tan50°·tan20° =tan30°+tan30°·tan50°tan20°-33tan50°·tan20° =tan30°=33. (2)化简：tan(18°-x)tan(12°+x)+3［tan(18°-x)+tan(12°+x)］解：tan30°=tan［(18°-x)+(12°+x)］ =33)12tan()18tan(1)12tan()18tan(=+︒-︒-+︒+-︒x x x x . ∴tan(18°-x)+tan(12°+x) =33［1-tan(18°-x)tan(12°+x)］. ∴原式=1.温馨提示tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β)这一公式变形在解题中经常用到，只要题目中有tan α+tan β或tan α-tan β,一般用正切公式的变形，整体代入都能凑效. 类题演练3已知α、β都是锐角,且tan α=21,tan β=31,求α+β. 解：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=.1312113121=∙-+ ∵α、β均为锐角，∴0°＜α+β＜180°∴α+β=45°.变式提升3已知tan α=3(1+m),3(tan α·tan β+m)+tan β=0,且α、β都是锐角，求α+β. 解：由已知可得tan α=3+3m,①tan β=-3tan αtan β-3m.②由①+②可得tan α+tan β=3(1-tan αtan β), ∴βαβαtan tan 1tan tan -+=tan(α+β)=3. 又∵0＜α＜2π,0＜β＜2π, ∴0＜α+β＜π, ∴α+β=3π.。

高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切(第2

3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切 (第二课时)
要点 1 和角正切公式 tan(α＋β)＝1t－anαtan＋α ttaannββ ．要点 2 差角正切公式 tan(α－β)＝1t＋anαtan－α ttaannββ ．
要点 3 公式的变形 tanα ＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanα tanβ )； tanα －tanβ ＝tan(α－β)(1＋tanα tanβ )．要点 4 公式 T(α±β)中的符号(±)规律可简记为“分子同，分母反”
这两项．
解析由题意，得
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝13，① cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝15，② ①＋②，得 2cosαcosβ＝185，∴cosαcosβ＝145. ①－②，得 2sinαsinβ＝－125，∴sinαsinβ＝－115. ∴tanαtanβ＝csoinsααscionsββ＝－4115＝－14.
＝tan 3 [1－tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)]＋ 3tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)
π
π
π
π
＝ 3－ 3tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)＋ 3tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)＝ 3.
②原式＝ 33(tan20°＋tan40°)＋tan40°·tan20°
＝ 33tan60°(1－tan20°tan40°)＋tan40°tan20°
1－ 3tan75° (5) 3＋tan75° .
【解析】 (1)原式＝tan(45°＋30°)＋tan(45°－30°)
＝11＋－ttaann3300°°＋11－＋ttaann3300°°
1＋＝
33＋1－

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第三章 3.1 3.1.2 第2课时两角和与差的正切A 级基础巩固一、选择题 1.tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°＝( A )A ． 3B ．33C ．1D ．－ 3[解析] 原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝3．2．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)＝( A )A ．17 B ．7 C ．－17D ．－7[解析]∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35，∴cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34，∴tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan α·tan π4＝－34＋11－－34＝17，故选A ． 3．tan(α＋β)＝25，tan(α－β)＝14，则tan2α＝( D )A ．16 B ．2213 C ．322D ．1318[解析] tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝α＋β＋α－β1－α＋βα－β＝25＋141－25×14＝1318．4．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β等于( C ) A ．2 B ．1 C ．12D ．4[解析]∵tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4， ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝4⇒tan αtan β＝12．5．在△ABC 中，若0<tan B tan C <1，则△ABC 是( B ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．形状不能确定[解析]∵0<tan B tan C <1，∴B ，C 均为锐角， ∴sinBsinCcosBcosC<1，∴cos(B ＋C )>0，∴cos A <0，∴A 为钝角．6．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的值为( B )A ．π3B ．－2π3C ．π3或－2π3D ．－π3或2π3[解析] 由韦达定理得tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α<0，tan β<0， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，又－π2<α<π2，－π2<β<π2，且tan α<0，tan β<0，∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3．二、填空题7．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为17．[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝β－α－tan α1＋β－αα＝3－21＋3×2＝17．8．tan70°＋tan50°－3 [解析]∵tan70°＋tan50° ＝tan120°(1－tan50°·tan70°) ＝－3＋3tan50°·tan70°∴原式＝－3＋3tan50°·tan70°－3tan50°·tan70° ＝－3．三、解答题9．已知sin α＝－31010且α是第三象限角，求tan(α－π4)的值．[解析]∵sin α＝－31010且α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin2α＝－1－－31010＝－1010． ∴tan α＝sin αcos α＝3．∴tan(α－π4)＝tan α－tanπ41＋tan α·tanπ4＝3－11＋3×1＝12．10．设tan α＝12，tan β＝13，且α、β都是锐角，求α＋β的值．[解析] tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1．又∵α、β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4．B 级素养提升一、选择题1．已知α∈(－π2，3π2)，tan(α－π4)＝－3，则sin α＝( A )A ．55B ．－55 C ．255D ．±55[解析] tan α＝tan[(α－π4)＋π4] ＝α－π4＋tanπ41－α－π4π4＝－12，∵α∈(π2，3π2)，∴α∈(π2，π)，∴sin α＝15＝55，故选A ．2．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( B )A ．－22B ．22C ．12D ．－12[解析] 由tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tanA ＋tanB 1－tanA·tanB ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，∵A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22． 3．已知α＋β＝π6，且α、β满足3(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α等于( D )A ．－33B ． 3C ．－ 3D ．3 3[解析]∵3(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0， ∴3tan αtan β＋3(tan α＋tan β)＝tan α－23① ∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝33，∴3(tan α＋tan β)＝3(1－tan αtan β)，②将②代入①得3＝tan α－23，∴tan α＝3＋23＝33． 4．在△ABC 中，若tan B ＝－sinA ＋－，则这个三角形是( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 [解析] 因为△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以tan B ＝－sinA ＋－＝cosCcosB ＋sinCsinB＋＋－＝cosCcosB ＋sinCsinB 2cosBsinC，即sinB cosB ＝cosC·cosB＋sinCsinB 2cosBsinC， ∴cos(B ＋C )＝0，∴cos(π－A )＝0，∴cos A ＝0， ∵0<A <π，∴A ＝π2，∴这个三角形为直角三角形，故选B ．二、填空题5．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝17． [解析] tan α＋β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－131－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝17．6．已知△ABC 中，3tan A tan B －tan A －tan B ＝ 3.则C 的大小为π3．[解析] 依题意：tanA ＋tanB1－tanAtanB ＝－3，即tan(A ＋B )＝－3，又0<A ＋B <π， ∴A ＋B ＝2π3，∴C ＝π－A －B ＝π3．三、解答题7．已知tan(π12＋α)＝2，tan(β－π3)＝22，求：(1)tan(α＋β－π4)；(2)tan(α＋β)．[解析] (1)tan(α＋β－π4)＝tan[(α＋π12)＋(β－π3)]＝α＋π12＋β－π31－α＋π12β－π3＝2＋221－2·22＝－2．(2)tan(α＋β)＝tan[(α＋β－π4)＋π4]＝α＋β－π4＋tanπ41－α＋β－π4π4＝－2＋11－－2＝22－3．8．已知A 、B 、C 是△ABC 的三内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )，且m ·n ＝1．(1)求角A ；(2)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝－3，求tan C ． [解析] (1)m ·n ＝1，∴(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1，即3sin A －cos A ＝1,2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1．∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12．∵0<A <π，∴－π6<A －π6<5π6．∴A －π6＝π6，即A ＝π3．(2)由tan ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝tanB ＋11－tanB ＝－3，解得tan B ＝2．又A ＝π3，∴tan A ＝3．∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B ) ＝－tanA ＋tanB 1－tanAtanB ＝－2＋31－23＝8＋5311．C 级能力拔高已知tan α、tan β是方程x 2＋x －6＝0的两个根，求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)·cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．[解析]∵tan α、tan β是方程x 2＋x －6＝0的两个根， ∴tan α＋tan β＝－1，tan αtan β＝－6， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－17．sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)＝α＋β－α＋βα＋β－α＋βα＋β＋α＋β＝11＋α＋β[tan 2(α＋β)－3tan(α＋β)－3]＝4950×⎝ ⎛⎭⎪⎫149＋37－3＝－52．。