高中数学第三章概率3模拟方法__概率的应用教学案北师大版
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_14
3模拟方法——概率的应用一、教学分析这部分介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，但是对几何概型的要求仅限于体会几何概型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的。
随机模拟部分是本节的重点内容。
几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个。
它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关。
如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件。
二、教学建议1、本节的教学需要一些事物模型为教具，教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果。
在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精确度会越来越高。
2、注意与古典概型的对比。
三、教学目标1、知识与技能（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的计算公式。
2、过程与方法通过师生共同探究，体会几何概型知识的形成过程，提高学生利用数学知识解决实际问题的能力。
通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度价值观通过本节的教学，进一步培养学生用随机的观点认识世界，体会数学在实际生活中的广泛应用，激发学生的学习兴趣。
四、教学重点、难点教学重点：理解几何概型的定义、特点，会用公式计算几何概率。
教学难点:等可能事件的判断与几何概型和古典概型的区别。
（一）课题引入复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的。
那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢？比如：一个人到单位的时间可能是8:00至9:00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
高中数学 第三章 概率 3.3 模拟方法—概率的应用学案 北师大版必修3(2021年最新整理)
高中数学 第三章 概率 3.3 模拟方法—概率的应用学案 北师大版必修31高中数学 第三章 概率 3.3 模拟方法—概率的应用学案 北师大版必修3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学 第三章 概率 3.3 模拟方法—概率的应用学案 北师大版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为高中数学 第三章 概率 3.3 模拟方法—概率的应用学案 北师大版必修3的全部内容。
3模拟方法——概率的应用学习目标课标描述：初步体会几何概型的意义。
学习目标分解：1、学生通过试验、交流，结合对实例的分析，体会学习几何概型的必要性；2、学生通过讨论、类比,能说出古典概型和几何概型的区别和联系；3、学生通过体验，能总结几何概型的意义，并会利用几何概型概率公式求简单问题的概率。
学习重点:几何概型的意义。
学习难点：几何概型中随机试验结果个数的无限性理解.学习方法:试验、交流、归纳等方法的综合应用.学习过程:Ⅰ、体验与思考情境一、甲、乙二人玩转盘游戏。
如图，规定当指针指向阴影区域时，甲获胜，否则乙获胜。
分析：1、所有可能的试验结果与甲获胜包含的试验结果;2、能否用古典概型公式求甲获胜的概率，为什么？情境二、长为3米的绳子，从中间随机剪开，则得到的每段绳长都不小于1米的概率是多少?归纳：以上两个问题的共同特点是什么？如何求以上两个随机事件发生的概率？Ⅱ总结阅读课本P135~P136，回答：什么是几何概型？其概率公式是什么？举例说明：举一个几何概型的实例.(图2）(图3）（图1)2比较并探究：古典概型与几何概型的区别与联系是什么？Ⅲ应用阅读课本P136例1。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_20
§3.3模拟方法——概率的应用教学设计一、教材内容分析《模拟方法——概率的应用》是北师大版高中教材必修三第3章第3节的内容,安排在《随机事件的概率》和《古典概型》两节之后。
本小节共安排2课时,本节课是第1课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。
“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。
另外，本节内容的学习，可以帮助学生全面系统地掌握概率知识，体会抽象概括建立模型的思想方法和数形结合的思想方法，为应用数学解决实际问题提供了新的思想和方法。
二、学生情况分析学生之前已经学习了一般性随机事件，概率统计定义以及古典概型.而且有了一定的观察和归纳能力，几何概型的内容可以和古典概型的内容进行类比学习.但是，古典概型研究有限的事件，而几何概型研究无限事件，如何实现两者的过渡以及如何将问题实际背景转化为相应的长度，面积，体积等几何模型是有困难的，需要教师创设好的问题情境，选择好例题，帮助学生形成几何概型的概念，掌握计算方法。
三、教学目标1、过程与方法：通过自主探究、讨论交流，参与概念产生与发展的过程；经历观察、分析、类比等方法，养成逻辑推理能力；感知用图形解决概率问题的方法，渗透化归、数形结合等思想方法。
2、知识与技能：（1）了解模拟方法的基本思想，会用这种思想解决某些具体问题:如求某些不规则图形的近似面积；（2）记住几何概型的概念和特征，了解古典概型和几何概型的区别与联系；（3）掌握几何概型的计算方法和步骤，用几何概型来解决一些纯数学问题和实际生活问题。
3、情感态度与价值观：感受生活中处处有数学，体会数学对自然与社会所产生的作用；充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的问题；形成从有限向无限探究的意识，养成合作交流的习惯。
四、教学重点与难点重点：几何概型概念的建构和建立合理的几何概型进行简单的几何概率计算。
3.3模拟方法--概率的应用 教案(北师大版必修3)
§3 模拟方法——概率的应用●三维目标1．知识与技能使学生了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；并能够运用模拟方法估计概率．2．过程与方法培养学生实践能力、协调能力、创新意识和处理数据能力以及应用数学意识．3．情感、态度与价值观鼓励学生动手试验，探索、发现规律并解决实际问题，激发学生学习的兴趣．●重点难点重点：借助模拟方法来估计某些事件发生的概率；几何概型的概念及应用；体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体．难点：设计和操作一些模拟试验，对从试验中得出的数据进行统计、分析；应用随机数解决各种实际问题．●教学建议本节课是在采用信息技术和数学知识整合的基础上从生活实际中提炼数学素材，使学生在熟悉的背景下、在认知冲突中展开学习，通过试验活动的开展，使学生在试验、探究活动中获取原始数据，进而通过数与形的类比，在老师的引导、启发下感悟出模拟的数学结论，通过结论的运用提升为数学模型并加以应用，它实现了学生在学习过程中对知识的探究、发现的创作经历，调动了学生学习的积极性和主动性，同学们在亲身经历知识结论的探究中获得了对数学价值的新认识．本课是使学生通过试验掌握用模拟方法估计概率，主要是用分组合作试验、探究方法研究数学知识，因此评价时更注重探究和解决问题的全过程，鼓励学生的探索精神，引导学生对问题的正确分析与思考，关注学生提出问题、参与解决问题的全过程，关注学生的创新精神和实践能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：用试验的方法怎么模拟面积型几何概型⇒引导学生从实物进行试验模拟，通过试验发现利弊，进而激发学生思考其他方法⇒通过引导学生回答所提问题理解几何概型的条件、特征，讨论由几何概型能够解决的问题⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握与长度有关的几何概型问题的解题方法⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握与面积有关的几何概型问题的解题策略⇒通过例3及其变式训练阐明与体积有关的几何概型问题，使学生明确用几何概型解决问题的基本模式⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正课标解读1.记住几何概型的概念和特点(重点)．2．掌握几何概型的计算方法和步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题(重点、难点)．3．了解模拟方法的基本思想，会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等(难点).我们做这样一个试验：往一个圆木盘上随意的掷飞镖，飞镖可能落在圆盘上的任何一个位置．1．本试验的结果有多少个？ 【提示】 无数个．2．每个试验结果出现的可能性均等吗？ 【提示】 均等．3．它与古典概型有何区别？【提示】 古典概型中的结果是有限的，而本试验的结果是无限的． 1．模拟方法模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验．2．几何概型向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1 G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．几何概型用来计算事件发生的概率时适用于无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例．2．计算步骤①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性；②计算基本事件空间与事件A 所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)n 和m .这是计算的难点； ③利用概率公式P (A )＝m n计算.于1 m 的概率有多大？【思路探究】 先确定概率模型为几何模型，再计算．【自主解答】 如图所示，记A ＝{剪得的两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m ，事件A 包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度，为3×13＝1 m ，故事件A 发生的概率P (A )＝13.1．解决本题借助图形更容易理解．2．如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P (A )＝事件A 构成的区域长度全部试验结果构成的区域长度.函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，则任取一点x 0，求使f (x 0)≤0成立的概率． 【解】 令f (x )≤0，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，所以当所取的点x 0满足－1≤x 0≤2时，f (x 0)≤0成立．又区间[－5,5]的长度为10，区间[－1,2]的长度为3，因此在区间[－5,5]上任取一点x 0，使f (x 0)≤0成立的概率为310.【思路探究】 先利用图形找到点P 所落的区域，再利用面积比求概率．【自主解答】 如图，作AD ⊥BC ，垂足为D ，设ED ＝13AD ，则AE ＝23AD .过E 作MN∥BC ，则MN ＝23BC .∴S △AMN ＝12MN ·AE ＝12×23BC ×23AD ＝49×12BC ·AD ＝49S △ABC .设事件A ：“△PBC 的面积小于3”，而点P 落在△ABC 内任一点的概率相同，当点P 落在MN 上时，S △PBC ＝13S △ABC ＝3.当点P 落在线段MN 上部时，S △PBC >13S △ABC ＝3.当P 落在线段MN 下部时，S △PBC <13S △ABC ＝3.∴事件A 的概率只与四边形BCNM 的面积有关，属几何概型．∵S △ABC ＝9，S △AMN ＝49S△ABC ＝4，∴P (A )＝S △ABC －S △AMN S △ABC＝9－49＝59.如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种模型称为面积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P (A )＝事件A 构成的区域面积全部试验结果构成的区域面积.一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．【解】 海豚在水中自由游弋，其在水池中的哪个位置是等可能的，故为几何概型，如图所示：区域Ω是长30 m ，宽20 m 的长方形，图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”．问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积30×20－26×16＝184(m 2)．P (A )＝184600＝2375≈0.31，即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率数为0.31.1111锥M －ABCD 的体积小于16的概率．【思路探究】 解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．【自主解答】 如图，正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1.设M －ABCD 的高为h ， 则13×S ABCD ×h <16. 又S ABCD ＝1，∴h <12，即点M 在正方体的下半部分，∴所求概率P ＝12V正方体V 正方体＝12.1．这是一道与体积有关的几何概型题，事件的全部结果对应的区域就是棱长为1的正方体，所求事件须满足V M －ABCD <16，结合体积公式可确定点M 在正方体内的位置，从而解决问题．2．体积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：P (A )＝事件A 构成的区域体积全部试验结果构成的区域体积.在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离都大于13棱长的概率．【解】 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离都大于13棱长(即大于1)，则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的定义，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.选错几何度量致误在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率．【错解】 设“AM ＜AC ”为事件A .在边AB 上取AC ′＝AC ，在∠ACB 内任作射线CM可看作是在线段AC ′上任取一点M ，过点C 、M 作射线CM ，则概率为P (A )＝AC ′AB ＝ACAB＝22. 【错因分析】 虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C 和任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，因此不满足几何概型的条件．【防范措施】 弄清基本事件的度量是正确解答本题的关键，本题基本事件的度量是∠ACB 的大小而不是线段AB 的长度．【正解】 设“AM ＜AC ”为事件A ，在∠ACB 内的射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 在任何位置都是等可能的，在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝67.5°，故满足条件的概率为P (A )＝67.590＝0.75.几何概型的计算步骤：判断是否为几何概型↓确定并计算基本事件空间↓计算事件A 所含基本事件对应的区域的几何度量↓代入公式计算图3－3－11．如图3－3－1所示，在地面上水平放置一个塑料圆盘，某人将一个玻璃球随意丢到该圆盘中，则玻璃球落在A 区域的概率应为( )A.12B.18C.14D ．1 【解析】 总区域是圆的整个区域，A 对应区域占整个圆的12，所以球落在A 区域的概率为12，故选A.【答案】 A2．在两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂上一盏灯，则灯与木杆两端的距离都大于2 m 的概率是( )A.13B.12C.16D.14 【解析】 把绳子三等分，当灯挂在中间一段绳上时，灯与木杆两端的距离都大于2 m ，故所求概率为13.【答案】 A3．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台即乘上车的概率是________．【解析】 总的时间段长为10 min ，在车站停1 min ，∴P ＝110.【答案】 1104．在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有带麦锈病的种子的概率是多少？【解】 记D ＝{取出10毫升种子中含有带麦锈病的种子}，则P (D )＝取出的种子体积所有种子的体积＝101 000＝0.01.一、选择题1．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )A ．0.008B ．0.004C ．0.002D ．0.005【解析】 大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出的2毫升水样中有大肠肝菌为事件A ，则事件A 构成区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005.【答案】 D 2．(2012·辽宁高考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45【解析】 设AC ＝x ，CB ＝12－x ，所以x (12－x )<32，解得x <4或x >8.又x >0,12－x >0，所以0<x <4或8<x <12.所以P ＝(4－0)＋(12－8)12＝23.【答案】 C图3－3－23．(2013·临沂检测)如图3－3－2，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率是( )A.13B.14C.15D.16【解析】 设A ＝{射线OA 落在∠xOT 内}，则A 的几何度量为60°，而区域的总几何度量为360°，故P (A )＝60°360°＝16.【答案】 D4．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则小蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.18B.116C.127D.38 【解析】 小蜜蜂若要“安全飞行”，则需控制在以正方体中心为中心的棱长为1的小正方体内部，所以“安全飞行”的概率为两者体积之比，即为127.【答案】 C图3－3－35．如图3－3－3，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23【解析】 不妨设矩形的长、宽分别为a 、b ，于是S 矩形＝ab ，S △ABE ＝12ab ，由几何概率的定义可知P ＝S △ABE S 矩形＝12.【答案】 C 二、填空题6．在区间[－2,2]上，随机地取一个数x ，则x 2位于0到1之间的概率是________．【解析】 x 2位于0到1之间时x ∈[－1,1]，∴P ＝24＝12.【答案】 12图3－3－47．如图3－3－4所示，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________．【解析】 因为小正方形的面积与大正方形的面积的比值为49.所以所投的点落入小正方形内的概率是49.【答案】 498．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．【解析】 P ＝18·43πa 3a 3＝16π.【答案】 16π三、解答题9．设m 在[0,5]上随机地取值，求方程x 2＋mx ＋m 4＋12＝0有实数根的概率．【解】 方程有实数根⇔Δ＝m 2－4(m 4＋12)≥0⇒m ≤－1或m ≥2.又∵m ∈[0,5]，∴方程x 2＋mx ＋m 4＋12＝0有实数根的m 的取值范围为[2,5]．∴方程x 2＋mx ＋m 4＋12＝0有实数根的概率为P ＝区间[2，5]的长度区间[0，5]的长度＝35.10．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .(1)若a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求f (x )有零点的概率； (2)若a ，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数，求f (1)＞0的概率．【解】 (1)a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，则基本事件的总数为5×5＝25.f (x )有零点的条件为Δ＝a 2－4b ≥0.即a 2≥4b ；而事件“a 2≥4b ”包含12个基本事件：(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以f (x )有零点的概率P 1＝1225.(2)a ，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数， f (1)＝－1＋a －b ＞0， 即a －b ＞1，由右图可知f (1)＞0的概率P 2＝12×3×34×4＝932.图3－3－511．如图3－3－5所示，在单位圆O 的某一直径上随机地取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率．【解】 弦长不超过1，即|OQ |≥32，而点Q 在直径AB 上，是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式，得P (A )＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32.(教师用书独具)利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y ＝2x 与x 轴，x ＝±1围成的部分)的面积． 【自主解答】 (1)利用计算器或计算机产生一组－1～1之间和一组0～2之间的随机数a ，b ，其中a ，b 分别是随机点的横坐标和纵坐标；(2)统计出落在正方形内的点数N 和落在阴影部分的点数N 1；(3)计算频率N 1N，即为点(a ，b )落在阴影部分的概率的近似值；(4)设阴影部分的面积为S ，用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S4.∴N 1N ≈S 4. ∴S ＝4N 1N即为阴影部分面积的近似值．如图，在长为4、宽为2的矩形中有一个以矩形的长为直径的半圆．试用随机模拟法近似估计π的值．【解】 设“随机向矩形内投点，所投的点落在半圆内”为事件A .(1)利用计算机或计算器产生一组－2～2之间和一组0～2之间的随机数a ，b ，其中a ，b 分别是随机点的横坐标和纵坐标；(2)统计出试验总次数N 和满足条件x 2＋y 2<4的点(x ，y )的个数N 1；(3)计算频率f n (A )＝N 1N，即为概率P (A )的近似值．半圆的面积为S 1＝2π，矩形的面积为S ＝8.由几何概型的概率公式得P (A )＝π4， 所以N 1N ≈π4，所以4N 1N 即为π的近似值．。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_4
北师大版高中数学必修(三)《概率的应用》教学设计课题：模拟方法-----概率的应用问题提出：小明家的晚报在下午5:30~6:30的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6:00~7:00的任何一个时间随机地开始晚餐。
（1）你认为晚报在晚餐之前被送到和晚餐之后被送到哪一种可能性更大？（2）晚报在晚餐之前被送到的概率是多少？猜测：（1）晚报在晚餐之前被送到可能性更大。
（2）概率大约是----（学生猜测估计）动手实践用两个转盘（或随机数表）来模拟上面的过程，一个转盘模拟晚报的送达，另个转盘模拟开始晚餐，两个转盘各转到一次并记录下结果就完成一次模拟。
（1）转动每个转盘50次，并记录下每次结果。
（2）根据全班模拟的结果，估计“晚报在晚餐之前被送到”的概率附：随机数表10 09 78 25 33 76 52 01 35 86 34 67 35 48 7617 39 29 27 49 45 37 54 20 48 05 64 89 47 42 96 24 80 52 40 37 20 63 61 04 02 29 16 65 08 42 26 89 53 19 64 50 93 03 23 20 90 25 60 15 95 33 47 64 35 08 03 36 06 99 01 90 25 29 09 37 67 07 15 38 31 13 11 65 88 67 43 97 04 43 52 76 59 02 80 79 99 70 80验证：方法一、用两个转盘分别模拟晚报送达和开始晚餐时间方法二、用随机数表替代转盘模拟晚报送达和开始晚餐时间模拟实验结果和猜测结果一致证明：方法一、利用线性规划知识可求晚报在晚餐之前被送到概率P= (过程略)方法二、P=P=思考交流（1）设晚报在下午5:45~6:45的任何一个时间随机地被送到，而小明一家人还是在下午6:00~7:00的任何一个时间随机地开始晚餐，“晚报在晚餐之前被送到”的概率较前面的问题是变大还是变小了？将你的结论与同学交流。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_2
模拟方法——概率的应用一．教学目标：1．通过试验初步体会几何概型及其基本特征；2．会把一些简单的实际问题转化为几何概型，会运用几何概型的概率计算公式求简单的几何概型的概率问题；3．通过亲身试验，感受数学不仅仅是抽象的符号，还和我们的生活密切相关。
通过试验体会辩证的唯物主义思想，和实事求是的科学作风。
二．教学重点、难点：重点: 将实际问题转化为几何概型求概率的问题难点:如何实际问题转化为几何概型求概率的问题三．教学方法与教学手段：自主探究、数学试验四．教学过程：（一、）复习巩固1．请同学们回忆下求随机事件的概率的方法有哪些呢?2．古典概型的基本特点是什么呢？（二、）创设情景，引入新课：问题1：取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？问题2：取一个边长为2a的正方形及其内图1切圆（如图1）随机地向正方形内射箭,假设射箭都能中靶,求射中圆内的概率为多少？问题3: 有一杯1 L的水,其中有1个微生物,用一个容器从这杯水中取出10ml,求容器中的水含有这个微生物的概率.归纳上述三个问题的特点，引入几何概型。
同时让学生思考古典概型的方法还能用吗？如何几何概率计算呢？进一步分析上述三个概率问题的求法。
问题1分析：剪刀落在中点的时候，显然能够得到符合要求的两段绳子，我继续剪可以么？到什么时候为止？落在中间的点有无穷多，我把这些点全取出。
总基本事件也有无穷多，古典概型的方法还能用吗？怎么处理？练习:取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2m的概率有多大？问题2分析:由于靶点随机的落在正方形内,而靶点落在圆内时,事件A发生解：记“射中圆内”为事件A，正方形的面积圆的面积=)(A P =4π 答：射中圆内的概率为4π由于问题2的可操作性，下面通过试验“用频率估计概率的方法”来研究它的概率问题。
两人一组合作试验，用扎针来模拟射箭，用针孔代替射箭的靶点。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_22
几何概型【三维目标】一、知识与技能1.理解几何概型的概念，掌握几何概型的计算公式；2.正确将几何概型问题转化为相应的几何图形，用图形的几何度量进行解决问题。
二、过程与方法1.通过对几何概型四个测度的探究，培养学生的观察力及归纳推理能力；2.通过对长度型与角度型，面积型和体积型的区分，培养学生思维的深刻性和灵活性。
三、情感态度与价值观通过概念的归纳概括，培养学生的观察、分析的能力，积极思维，追求新知的创新意【重点难点】1、重点：理解几何概型的概念，掌握其计算公式；区分几何概型的四种测度，能够准确解决几何概型问题是教学重点。
2、难点：区分几何概型的四种测度，特别是是长度和角度的区别是教学难点。
【教学方法】合作探究、引导学生理解几何概型的概念【教学设计】Ⅰ.回顾：古典概型的特征.基本事件概率的计算Ⅱ.新课引入：一. 思考1 现有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，如何剪才能使得所得两段绳长都不小于1m？思考2 图中两个转盘，甲乙两人玩游戏，规定当指针指向B区域时甲获胜，否则乙胜，在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？二、【新课讲授】知识点一几何概型的含义1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．几何概型与古典概型的异同点 类型异同古典概型 几何概型 不同点一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有有限个 一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 相同点每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等知识点二 几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). 思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．三．【典例分析】题型一 与长度有关的几何概型在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．例1 取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？变式训练：某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34题型二 与面积有关的几何概型例2 取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.变式训练：花园小区内有一块三边长分别是5 m 、5 m 、6 m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m 的概率是________．题型三 与体积有关的几何概型a 2例3 在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少？变式训练：一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．题型四与角度有关的几何概型例4.如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．变式训练：如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率．四、【课堂小结】1.几何概型适用于试验结果是无限多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).五．作业基础：P103 练习4，习题3。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_5
计
一、复习：
1、古典概型具备的两个特征：
（1）、试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；
（2）、每个试验结果出现的可能性相同。
二、新课讲授：
例1、某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率。
分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
（4）计算频率 ．
记事件A={面积介于36cm2与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间}，
则P（A）的近似值为fn(A)= ．
例3、在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。
教
学
反
思
解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则
P(A)= = =0.01．
答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
例4、取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A发生的概率。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_6
《模拟方法---概率的应用》教学设计三维目标：知识与技能：使学生了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；并能够运用模拟方法估计概率。
过程与方法：培养学生实践能力、协调能力、创新意识和处理数据能力以及应用数学意识。
情感、态度与价值观：鼓励学生动手试验，探索、发现规律并解决实际问题，激发学生学习的兴趣。
教学重难点：重点：借助模拟方法来估计某些事件发生的概率难点：设计和操作一些模拟试验，对从试验中得出的数据进行统计、分析；应用随机数解决各种实际问题．教学过程：创设情境、导入新课：我们做这样一个试验：图1，我们往正方形中随机地撒一把芝麻，假设每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性都是相同的（随机撒100粒芝麻，学生统计落在阴影区域A的芝麻数目）。
1.活动：观察落在区域A的芝麻数目与落在正方形内的芝麻数目的比值；计算区域A的面积与正方形的面积的比值；你能发现二者有什么关系？2．假如我们去200粒芝麻、300粒芝麻等你能猜想什么样的结论？3．假设图形换成图2，反复做如上实验，还能得出类似结论吗？动手实践、探究新知：学生动手实践，小组研究，形成结论并展示。
图1 提问1.回顾古典概型的特点和计算公式？答：特点：<1>有限性；<2>等可能性图2 提问2.大家能猜想出来什么样的结论？落在区域内的芝麻数落在正方形内的芝麻数区域的面积正方形的面积提问3.如图, 曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A, 直线x=1, 直线y=1, x轴、y轴围成一个正方形, 你能否设计一个方法求出区域A的近似面积?（小组讨论，教师指导）教师指导：借助如上结论我们可以计算区域A的面积！抽象概括、深入研究：几何概型：向平面上有限区域（集合）G 内随机地投掷点M , 若点M 落在子区域G 1⊂G 的概率与G 1的面积成正比, 而与G 的形状、位置无关, 即 则称这种模型为几何概型.问题1.几何概型与古典概型有何区别？答：<1>无限性 <2>等可能性问题2.几何概型中的这种正比关系与G 的形状、位置有关系吗？答：无关。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_0
几何概型的教学设计
【教学目标】
1、知识与技能
几何概型的含义及其基本特征
求解几何概型的基本步骤
情感、态度与价值观目标
化
【教学重难点】
【学情分析及教学内容分析】
本节课是在学生已经学习了用频率去估计概率以及几何概型的基础
能性的一种定
量分析。
学生已经能够较熟练的解决古典概型的相关问题。
生活中其实大量存在
的位置、向
有很多生活上本节课是在学生已经学习了用频率去估计概率以及几何
能性的一种定
量分析。
学生已经能够较熟练的解决古典概型的相关问题。
生活中其实大量存在
的位置、向
有很多生活上
是停留在感
学生在理解几何概型时因为古典概型的有限性通常会把它向古典概
几何概型的含
困难的地方。
几何概型作为等可能事件概率的另一种模型在整个概率这一章有着重要的
将实际问题给
程中体现了由数到形的思想以及转化的思想。
本节和古典概型共同构成了等可能事件概率的
完整内容。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3 模拟方法——概率的应用预习课本P150～152，思考并完成以下问题 (1)几何概型的定义是什么？(2)古典概型与几何概型有什么区别？(3)几何概型的概率公式是什么？[新知初探]1．几何概型的定义向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．2．几何概型的特点(1)无限性，在一次试验中，可能出现的结果有无限个，即有无限个不同的基本事件； (2)等可能性，每个基本事件发生的可能性(概率)是均等的．因此，几何概型适用于试验结果有无限多个且各个结果等可能发生的概率模型，主要解决有关长度、面积、体积的概率问题．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．( )(2)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个．( ) (3)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等．( )答案：(1)× (2)√ (3)×2．取一根长度为4 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是________．解析：把绳子4等分，当剪断点位于中间2 m 时，两段绳子都不少于1 m ，故所求概率为P＝24＝12.答案：123．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是________．解析：设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为12π×124＝π8.答案：π8与长度(角度)有关的几何概型[典例] 在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率．[解] 以O 为起点作射线OC 是随机的，而射线落在∠AOB 内的任何位置是等可能的，作∠AOD ＝∠BOE ＝30°，则OC 落在∠DOE 内符合题目要求，OC 落在∠DOE 内只与∠DOE 的大小有关，符合几何概型的特点．设事件A 为“射线OC 落在∠DOE 内”．事件A 的度量是90°－30°－30°＝30°，试验的全部结果的度量是90°，由几何概型的概率公式得P (A )＝30°90°＝13.如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种概率称为长度型的几何概型．可按下列公式来计算其概率：P (A )＝事件A 构成的区域长度角度全部试验结果构成的区域长度角度.[活学活用]某人欲从某车站乘车出差，已知该人能乘坐的车均为每小时一班，且车会在站内停留5 min 等待旅客上车．求此人等待时间不多于10 min 即可上车的概率．解：设事件A 为“等待上车的时间不多于10 min”，设汽车在时刻60 min 时开走，则汽车在时刻55 min 时进站上人，所以此人只要在时刻45 min 之后到达车站即可．所以此人到达车站的时刻位于[45,60]这一时间段内，因此由几何概型的概率公式，得P (A )＝60－4560＝14，即此人等待上车时间不多于10 min 的概率为14. 与面积有关的几何概型[典例] 向面积为S 的矩形ABCD 内任投一点P ，试求△PBC 的面积小于S4的概率．[解] 如图所示，设△PBC 的边BC 上的高为PF ，线段PF 所在的直线交AD 于点E ，当△PBC 的面积等于S 4时，即12BC ·PF ＝14BC ·EF ，所以PF ＝12EF ，过点P 作GH 平行于BC 交AB 于G ，交CD 于H ，所以满足S △PBC ＝S4的点P 的轨迹是线段GH .所以满足条件“△PBC 的面积小于S4”的点P 应落在矩形区域GBCH 内．设“△PBC 的面积小于S4”为事件A ，所以由几何概型的概率公式得P (A )＝S2S ＝12.所以△PBC 的面积小于S 4的概率是12.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果构成的区域面积计算事件的概率即可．[活学活用]设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22 C.π6D.4－π4解析：选D 画草图易知区域D 是边长为2的正方形，到原点的距离大于2的点在以原点为圆心，2为半径的圆的外部，所以所求的概率为2×2－14×π×222×2＝4－π4.与体积有关的几何概型[典例] 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] 先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝23. [答案] 23在一个几何概型中，如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.[活学活用]已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，求使四棱锥M ABCD 的体积不超过16(事件A )的概率．解：设M 到平面ABCD 的距离为h ，则V M ABCD ＝13S 四边形ABCD ·h ≤16.又S 四边形ABCD ＝1，所以只要h ≤12即可．所有满足h ≤12的点组成以四边形ABCD 为底面，12为高的长方体，其体积为12.又正方体的体积为1，所以使四棱锥M ABCD 的体积不超过16(事件A )的概率为P (A )＝121＝12.[层级一 学业水平达标]1．灰太狼和红太狼计划在某日12：00～18：00这个时间段内外出捉羊，则灰太狼和红太狼在14：00～15：00之间出发的概率为( )A.12B.13C.14D.16解析：选D P ＝15－1418－12＝16.2．在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为( )A ．0B ．0.002C ．0.004D ．1 解析：选C 由几何概型公式得P ＝2500＝0.004.3.如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形圆心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．解析：S 扇形＝14×π×22＝π，S 阴影＝S 扇形－S △OAB ＝π－12×2×2＝π－2，∴P ＝π－2π＝1－2π.答案：1－2π4．在区间[]－2，3上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________． 解析：总长度为5，而满足条件的区间为[]－2，1，长度为3，故所求概率为35.答案：35[层级二 应试能力达标]1．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为( )A ．1B.12C.23D.34解析：选C 欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴x 0∈[1,2]， 从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝2－12－12＝23.2．已知正三棱锥S ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC <12V S ABC 的概率是( )A.34B.78C.12D.14解析：选B 由V P ABC <12V S ABC 知，P 点在三棱锥S ABC 的中截面A 0B 0C 0的下方，P ＝1－VS A 0B 0C 0V S ABC ＝1－18＝78. 3.如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2D.π4解析：选A 由题意知，两个四分之一圆补成半圆，其面积为12×π×12＝π2，矩形面积为2，则所求概率为2－π22＝1－π4.4．已知集合A ＝{}x |－1<x <5，B ＝{}x |2<x <3，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率为( )A.16 B.13 C.23D.45解析：选A A ∩B ＝{}x |2<x <3，因为集合A 表示的区间长度为5－(－1)＝6，集合A ∩B 表示的区间长度为3－2＝1.故事件“x ∈A ∩B ”的概率为16.5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体的6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”．则小蜜蜂“安全飞行”的概率为________．解析：棱长为3的正方体的体积为3×3×3＝27，而小蜜蜂若要“安全飞行”，则需控制在以原正方体中心为中心的棱长为1的小正方体内部，故小蜜蜂飞行区域的体积为1×1×1＝1.根据几何概型的概率公式，可得小蜜蜂“安全飞行”的概率为127.答案：1276．A 是圆上的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A ，B 两点，它是一条弦，则它的长度大于等于半径长度的概率为________．解析：如图，当取点落在B 、C 两点时，弦长等于半径；当取点落在劣弧上时，弦长小于半径；当取点落在优弧上时，弦长大于半径．所以弦长超过半径的概率P ＝360°－120°360°＝23.答案：237．如图所示，图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4hh ＋h ＋＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)， 故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：38．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，棱长为a ，在正方体内随机取点M . (1)求M 落在三棱柱ABC A 1B 1C 1内的概率； (2)求M 落在三棱锥B A 1B 1C 1内的概率；(3)求M 与平面ABCD 的距离大于a3的概率；(4)求M 与平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1的距离都大于a3的概率．解：V 正方体＝a 3.(1)∵V 三棱柱ABC A 1B 1C 1＝12a 2·a ＝12a 3，∴所求概率P 1＝12.(2)∵V 三棱锥B A 1B 1C 1＝13·S △A 1BB 1·B 1C 1＝13·12a 2·a ＝16a 3，∴所求概率P 2＝16.(3)P 3＝VE 1F 1G 1H 1A 1B 1C 1D 1V 正方体＝23a3a 3＝23.(4)P 4＝VE 1F 1G 1H 1E 2F 2G 2H 2V 正方体＝13.9．已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)求圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率． 解：(1)由点到直线l 的距离公式可得d ＝2542＋32＝5.(2)由(1)可知圆心到直线l 的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l 平行的直线为l 1，其方程为4x ＋3y ＝15.则符合题意的点应在l 1：4x ＋3y ＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l 1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.故所求概率为P ＝60°360°＝16.。