高中数学必修2第四章 章末检测(B)
高中数学选择性必修二 第04章 章末复习课(含答案)
课时同步练第04章 章末复习课一、单选题1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式na 是（ ）A ．21n n +B ．23n n + C ．23n n - D ．21n n - 【答案】D【解析】由于数列的分母是奇数列，分子 是自然数列，故通项公式为21n n a n =-. 故选D.2．在单调递增的等差数列{}n a 中，若31a =，2434a a =，则1a =（ ） A ．1- B ．-12C ．0D ．12【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >,因为32431,4a a a ==， 所以有：()()11121334a d a d a d +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解方程组得：10a =；故选C3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若252, 16a a ==，则10=S （ ）A ．1023B ．511C ．1023-D ．511-【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为q ，由题意可得3528a q a ==，所以2q ，由题得1122,1a a ⨯=∴=.故()()101011011121023112a q S q-⨯-===--.故选A.4．已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+，则3a =（ ）A ．4B ．7C ．10D ．13【答案】D【解析】因为111,31n n a a a +==+，所以2131314a a =+=+=，所以323134113a a =+=⨯+=. 故选D5．已知数列{}n a 满足11a =，()*11n n na a n n +=∈+N ，则n a =（ ） A ．1n + B ．nC ．11n + D ．1n【答案】D【解析】由题意，数列{}n a 满足()*11n n n a a n n +=∈+N ，所以11n n a n a n +=+， 所以13211221122111132n n n n n a a a a n n a a a a a a n n n-----=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-. 故选D.6．已知公差0d ≠的等差数列{}n a 满足11a =，且2a ，42a -，6a 成等比数列，若正整数m ，n 满足10m n -=，则m n a a -=（ ）A ．10B ．20C ．30D ．5或40【答案】C【解析】由题知()24262a a a -=，因为{}n a 为等差数列，所以()()()231115d d d -=++，又0d ≠，则3d =，从而()30m n a a m n d -=-=. 故选C ．7．已知{}n a 是等差数列，111a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且57S S =，则n S 的最大值为（ ）A ．66B ．56C ．46D ．36【答案】D【解析】由已知57S S =，111a =得，115476++2572d d a a ⨯⨯=，所以2d =-， 所以()121++122n n n d n S na n ⨯-==-， 所以当6n =时，n S 有最大值为36, 故选D.8．在正项等比数列{}n a 中，374a a =，数列{}2log n a 的前9项之和为（ ）A ．11B ．9C ．15D ．13【答案】B【解析】2375542a a a a ==⇒=，92122292129252log +log ++log =log ()log 9log 29a a a a a a a ⋅===，故选B9．已知数列{}n a 的首项121a =，且满足21(25)(23)41615n n n a n a n n +-=-+-+，则{}n a 的最小的一项是（ ）A ．5aB ．6aC ．7aD ．8a【答案】A【解析】由已知得112325n n a a n n +=+--，1725a =--，所以数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，7(1)825n a n n n =-+-=--，则(25)(8)n a n n =--，其对称轴10.55.252n ==.所以{}n a 的最小的一项是第5项. 故选A.10．若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]0.10,0.11=-=-），数列{}n a 满足：13a =，122n n a a n +-=+，则2020a ⎡+++=⎣（ ）A ．10102021⨯B ．10102020⨯C ．10092021⨯D ．10092020⨯【答案】A【解析】122n n a a n +-=+，()-12122n n a a n n --+∴==，1222n-n-a n a =--，，326a a -=，214a a -=，累加可得()()()121424622222n n n a a n n n n -+-=+++-+==+-，又13a =，()2*1n a n n n N ∴=++∈，()22211n n n n <++<+，n ∴==，2020202020211232020101020212a ⨯⎡⎤+++=++++==⨯⎣⎦.故选A11．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-．给出下列结论：①01q <<；②9910110a a ->；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198 其中正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①9910010a a ->，219711a q ∴>，9821()1q a q ∴>．11a >，0q ∴>．又99100101a a -<-，991a ∴>，且1001a <．01q ∴<<，即①正确；②299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩，9910101a a ∴<<，即9910110a a -<，故②错误；③由于10099100T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故③错误；④中9919812198119821979910099100()()()()1T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=>，199121991199219899101100()()()1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故④正确．∴正确的为①④，故选B ．12．已知数列{}n a 满足()*11,,2,,n n na n a n a n ++⎧=∈⎨⎩N 为奇数为偶数，若102333a ≤≤，则3a 的取值范围是（ ） A ．312a ≤≤B ．3194a ≤≤C ．323a ≤≤D ．3233a ≤≤ 【答案】B【解析】由递推关系可知22211n n a a ++=+，2122n n a a +=，所以22221n n a a +=+. 即()222121n n a a ++=+，可求()112231112122n n n a a a --⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭， 所以4103312118152a a a ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭. 因为102333a ≤≤，∴32381533a ≤+≤，解得3194a ≤≤，故选B.二、填空题13．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =______.【答案】14【解析】因为5632a a a +=+，所以111142452322a d a d a d a d a ++=+++⇒+=⇒=，所以17747()7142a a S a +===. 故填14.14．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，516a =，3432a a =-，则8S =_______．【答案】85-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则4123111632a q a q a q ⎧=⎨⋅=-⎩，解得11,2a q ==-， 所以881(2)1256851(2)3S ---===---， 故填85-15．数列{}n a ，若11a =，11n n a a n -=++，则8a =________.【答案】43【解析】由11n n a a n -=++可得()112n n a a n n --=+≥，213a a -=，324a a -=，⋅⋅⋅879a a -=，上式相加得81345678942a a -=++++++=，又11a =，可得843a = 故填4316．数列{}n a 中，112,21,n n a a a n +=+=+则122....n a a a +++=_____.【答案】22n n +【解析】若数列{}n a 中，12a =，121,n n a a n ++=+，可得1234562123,7,11,,41n n a a a a a a a a n -+=+=+=+=-，相加可得21232(341)3711(41)22n n n a a a a n n n +-++++=++++-==+.故填22n n +.17．如图，将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列1a 、2a 、5a 、构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列，若35a =，86524a =，则d =________.【答案】3【解析】由题意可知，第一行是1a ，第二行是从2a 到4a ，第三行是从5a 到9a ，第四行是从10a 到16a ，第五行是从17a 到25a ，第六行是从26a 到36a ，第七行是从37a 到49a ，第八行是从50a 到64a ，第九行是从65a 到81a ，第十行是从82a 到100a ， 故3a 在第二行，86a 在第十行，因为35a =，86524a =，每一行都是一个公差为d 的等差数列，所以25a d =-，825244a d =-，因为表中的第一列1a 、2a 、5a 、构成一个公比为2的等比数列，所以82822a a ，即8525244dd ，解得3d =，故填3.18．设数列{}n a 满足2n na n λ=+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是__________.【答案】(),2-∞【解析】2n na n λ=+，n a n nλ∴=+，由于数列{}n a 是单调递增数列，则1n n a a +>，即11n n n nλλ++>++，整理得2n n λ<+，令2n b n n =+，()()()22111220n n b b n n n n n +⎡⎤∴-=+++-+=+>⎣⎦，所以，数列{}n b 单调递增，则数列{}n b 的最小项为21112b =+=，2λ∴<.因此，实数λ的取值范围是(),2-∞. 故填(),2-∞.三、解答题19．已知数列{}n a 的前n 项和为2230n S n n =-．（1）求出它的通项公式； （2）求使得n S 最小时n 的值.【解析】（1）当1n =时，1128a S ==-；当2n ≥时,1n n n a S S -=-22(230)2(1)30(1)n n n n ⎡⎤=-----⎣⎦432n =-1a 也适合此式，432n a n ∴=-.（2）22152252302()22n S n n n =-=--又因为n 是正整数，所以当7n =或8时，n S 最小.20．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d >，且1427a a =，424S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）由题意可知，()1444242a a S +==，1412a a ∴+=.又1427a a =，0d >，13a ∴=，49a =，2d =， 21n a n ∴=+.故数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2）由（1）可知，()()1112123n n n b a a n n +==++ 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 1111111111235572123232369n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 21．已知等差数列{}n a 满足36a =，前7项和为749.S =（1）求{}n a 的通项公式（2）设数列{}n b 满足(3)3n n n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）由()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a ，因为36a =所以1d =，14,3n a a n ==+所以；（2）()33=3n nn n b a n =-⋅⋅， ()12313233331nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯所以 ()234+1313233332n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ()()123+1+13312233333=313n n n n n T n n +---=++++-⨯-⨯-由得：，()+121334n n n T -⨯+=所以. 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 且()*14n n a a n N +=-∈ .（1）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 和4S ； （2）若数列{}n a 为等差数列，求1a 和n S .【解析】（1）因为10a >，所以 21144a a a =-=-，1132111,044448,4a a a a a a a <≤⎧=-=--=⎨->⎩因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2132a a a =，①当104a <≤时，所以()22114a a =-，得12a =； ②当14a >时，所以()()211184a a a -=-，得14a =-（舍）或14a =+综合①②可知，12a =或14a =+. 当12a =时， 22a =，32a =，4342a a =-=，所以48S =；当14a =+2140a a =-<，3180a a =->，43144a a a =-=-，所以48S =； 故48S =.（2）因为214a a =-，321444=-=--a a a ， 所以由等差列定义得2132a a a =+，得()1112444a a a -=+--（*） 当14a >时，由（*）得10a =，矛盾. 当104a <≤时，由（*）得12a =，符合条件. 当10a ≤时，因为公差2140d a a =-=>， 所以必存在2m ≥使得()1414m a a m =+->， 这与140m m m m d a a a a +=-=--<矛盾. 故综上可知：只有12a =时符合条件且此时公差210d a a =-=， 所以()*2n a n =∈N ， 所以12a =，2n S n =.。
(人教版B版)高中数学必修第二册 第四章综合测试试卷02及答案
第四章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数()3x y f =的定义域为[1,1]-，则函数()3log y f x =的定义域为（ ）A .[1,1]-B .1,23éùêúëûC .[1,2]D.2.已知函数1()2)2f x x =+，则1(lg 2)lg 2f f æö+=ç÷èø（ ）A .1-B .0C .1D .23.设函数2()log f x x =，若(1)2f a +＜，则实数a 的取值范围为（ ）A .(1,3)-B .(,3)-¥C .(,1)-¥D .(1,1)-4.已知函数2||()e x f x x =+，若()02a f =，121log 4b f æö=ç÷ç÷èø，2log c f æ=ççè，则,,a b c 的大小关系为（ ）A .a b c ＞＞B .a c b ＞＞C .b a ＞＞cD .c a b＞＞5.已知(31)4,1,()log ,1aa x a x f x x x -+ì=íî＜≥，是R 上的减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A .(0,1)B .11,73éö÷êëøC .10,3æöç÷èøD .11,93æöç÷èø6.已知,(1,)m n Î+¥，且m n ＞，若26log log 13m n n m +=，则函数2()m nf x x =的图像为（ ）AB C D7.给出下列命题：①函数e e 2x xy -+=为偶函数；②函数e 1e 1x x y -=+在x ÎR上单调递增；③函数lg y x =在区间(0,)+¥上单调递减；④函数13xy æö=ç÷èø与3log y x =-的图像关于直线y x =对称。
人教版B版2017课标高中数学必修第二册第四章综合测试试卷-含答案03
第四章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知函数()()lg 4f x x =-的定义域为M ，函数()g x =的值域为N ，则M N 等于（ ） A .MB .NC .[)0,4D .[)0,+∞2.函数||31x y =-的定义域为[]1,2-，则函数的值域为（ ） A .[]2,8B .[]0,8C .[]1,8D .[]1,8-3.已知()23log f x =()1f 的值为（ ） A .1B .2C .1-D .12 4.21+log 52等于（ ） A .7B .10C .6D .925.若1005a =，102b =，则2a b +等于（ ） A .0B .1C .2D .36.比较13.11.5、 3.12、13.12的大小关系是（ ） A .113.13.13.122 1.5＜＜ B .113.13.13.11.522＜＜C .11 3.13.13.11.522＜＜D .11 3.13.13.12 1.52＜＜7.()()4839log 3log 3log 2log 8++等于（ ） A .56B .2512C .94D .以上都不对8.已知0ab ＞，下面四个等式：①()lg lg lg ab a b =+；②lg lg lg a a b b =-；③21lg lg 2a ab b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④()1lg log 10ab ab =其中正确的个数为（ ） A .0B .1C .2D .39.函数x y a =（0a ＞且1a ≠）与函数()2121y a x x =---在同一个坐标系内的图像可能是（ ）ABCD10.抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（ ） （参考数据：120.3010g ≈） A .6次B .7次C .8次D .9次11.已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（ ）A .123x x x ＜＜B .132x x x ＜＜C .213x x x ＜＜D .312x x x ＜＜12.已知幂函数()()22421mm f x m x -+=-在()0,+∞上单调递增，函数()2x g x k =-，当[)1,2x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合A ，B ，若A B A = ，则实数k 的取值范围是（ ）A .()0,1B .[)0,1C .(]0,1D .[]0,1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数()f x 的反函数为()12f x x -=（0x ＞），则()4=f ________。
人教B版高中数学必修第二册课后习题 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 第4章末测评卷
第四章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y=x 53的图象大致是( )2.已知f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),则实数a的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(0,1)3.若函数f(x)=1+3-x的反函数为g(x),则g(10)=( )A.2B.-2C.3D.-14.函数f(x)=lo g12(2x-x2)的单调递减区间为( )A.(0,2)B.(-∞,1]C.[1,2)D.(0,1]5.函数f(x)=a x-2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,点P 又在幂函数g(x)的图象上,则g(3)的值为( ) A.4B.8C.9D.166.10月16日,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭,在酒泉卫星发射中心成功发射升空,载人飞船精准进入预定轨道,顺利将3名宇航员送入太空,发射取得圆满成功.已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v 0·ln Mm 计算火箭的最大速度v(单位:m/s),其中v 0(单位:m/s)是喷流相对速度大小,m(单位:kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(单位:kg)是推进剂与火箭质量的总和,Mm 称为“总质比”.若某型火箭的喷流相对速度大小为1 000 m/s,当总质比为625时,该型火箭的最大速度约为( )(附:lg e≈0.434,lg 2≈0.301) A.5 790 m/s B.6 219 m/s C.6 442 m/s D.6 689 m/s7.设a=log 32,b=ln 2,c=5-12,则( ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<bD.c<b<a8.若对于任意-1)2的取值范围是( ) A.(-∞,13)B.(-∞,13]C.(-∞,1)D.(-∞,1]二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知a>0,b>0,2a+b=1,则( ) A.log 0.5a+log 0.5b 的最大值为3 B.4a +2b 的最小值为2√2 C.a ∈(0,12)D.a 2+b 2的最小值为1410.设a,b,c 都是正数,且4a =6b =9c ,则下列结论正确的是( ) A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac C.4b ·9b =4a ·9c D.1c=2b−1a11.已知函数f(x)={2x -4,x ≥0,-x 2-4x +1,x <0,则关于x 的方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解可以为( ) A.-4B.0C.-2D.log 2612.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有 ( )A.f(x)在区间(1,2)内单调递增B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.若x 1≠x 2,f(x 1)=f(x 2),则x 1+x 2=4D.f(x)有且仅有两个零点三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.方程log 3(3x-1)=log 3(x-1)+log 3(3+x)的解为x= . 14.函数y=12x,-3≤x≤1的值域是 .15.若log a 23<1,则实数a 的取值范围是 .16.已知函数f(x)={lnx ,x >0,e x +1,x ≤0,且函数g(恰有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)计算题: (1)√2-1-(-9.6)0+√(√2-e )44−(827)23+(32)-2.(2)lg 4+2lg 5+log 45·log 514.+a).18.(12分)已知函数f(x)=log2(12x(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求实数a的值;(2)若函数f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a 的取值范围.19.(12分)已知函数f(x)=lg(10x-1).(1)求函数f(x)的定义域和值域;(2)设函数g(x)=f(x)-lg(10x+1),若关于x的不等式g(x)<t恒成立,求实数t的取值范围.20.(12分)在刚刷完漆的室内放置空气净化器,净化过程中有害气体含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)的关系为:P=P0e-kt,其中P0,k是正常数,如果在前5 h消除了10%的有害气体,那么(1)10 h后还剩百分之几的有害气体?(2)有害气体减少50%需要花多少时间?(精确到1 h)(参考数据:ln2≈0.693 1,ln 0.9≈-0.105 4)21.(12分)已知a>0且a≠1,函数f(x)=log a2.1-x(1)求f(x)的定义域及其零点;(2)设g(x+3,当a>1时,若对任意x1∈(-∞,-1],存在x2∈[3,4],使得f(x1)≤g(的取值范围.22.(12分)给出下面两个条件:①函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点;②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个,将下面问题补充完整,使函数f(x)的解析式确定.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且. (1)求f(x)的解析式;,27],2f(log3的取值范围.(2)若对任意x∈[19参考答案第四章测评1.B 函数y=x 53=√x53的定义域为R,且此函数在定义域上是增函数,故排除选项A,C;当0<x<1时,x 53<x,所以x∈(0,1)时,函数y=x53图象要在函数y=x图象的下方,排除选项D.故选B.2.D3.B 令y=1+3-x,得x=-log3(y-1),∴g(x)=-log3(x-1)(x>1),∴g(10)=-2.4.D 记u(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,u(x)的图象为抛物线,对称轴为x=1,且开口向下,令u(x)>0,解得x∈(0,2),①当x∈(0,1]时,u(x)单调递增,f(x)=lo g12u(x)单调递减,即原函数的单调递减区间为(0,1];②当x∈[1,2)时,u(x)单调递减,f(x)=lo g12u(x)单调递增,即原函数的单调递增区间为[1,2).故选D.5.C ∵f(x)=a x-2+3,令x-2=0,得x=2,∴f(2)=a0+3=4,∴f(x)的图象恒过点(2,4).设g(x)=x a,把P(2,4)代入得2a=4,∴a=2,∴g(x)=x2,∴g(3)=32=9.故选C.6.C 由题得v=v 0·ln Mm =1000×ln625=1000×4lg5lge=1000×4×(1-lg2)lge≈6442m/s.故选C.7.C a=log 32=1log 23,b=ln2=1log 2e,而log 23>log 2e>1,所以a<b,c=5-12=√5,而√5>2=log 24>log 23,所以c<a,综上c<a<b.故选C. 8.C ∵2-1)2x<1(-1<12x=(12)x对于任意x ∈(-∞,-1]恒成立.∵-1<2,解得m<1.∴实数m 的取值范围是(-∞,1).故选C.9.BC a>0,b>0,2a+b=1⇒ab≤18,则log 0.5a+log 0.5b=log 0.5ab≥3,当且仅当a=14,b=12时,等号成立,故A 错误;4a +2b =22a +2b ≥2√2,当且仅当a=14,b=12时,等号成立,故B 正确;a>0,b>0,2a+b=1⇒b=1-2a>0⇒0<a<12,故C 正确;a 2+b 2=a 2+(1-2a)2=5a 2-4a+1,0<a<12,则当a=25时,有最小值为15,故D 错误.10.ACD 设4a =6b =9c =t,t>1,则a=log 4t,b=log 6t,c=log 9t,所以b c+ba=log 6t log 9t+log 6t log 4t =lgt lg6lgt lg9+lgt lg6lgt lg4=lg9lg6+lg4lg6=lg9+lg4lg6=lg (9×4)lg6=lg62lg6=2,即b c+ba=2,所以1c+1a=2b,所以1c=2b−1a,故D 正确;由b c+ba=2,所以ab+bc=2ac,故A正确,B 错误;因为4a ·9c =4a ·4a =(4a )2,4b ·9b =(4×9)b =(62)b =(6b )2.又4a =6b =9c ,所以(4a )2=(6b )2,即4b ·9b =4a ·9c ,故C 正确.故选ACD. 11.AD [f(x)]2-3f(x)+2=0,[f(x)-1][f(x)-2]=0,得f(x)=1或f(x)=2,当x≥0时,2x -4=1或2x -4=2,解得x=log 25或x=log 26;当x<0时,-x 2-4x+1=1或-x 2-4x+1=2,解得x=-4或x=-2±√3.故在选项中方程的解可以为AD.故选AD.12.ABD 根据图象变换作出函数f(x)的大致图象,如图,由图象知f(x)在区间(1,2)内单调递增,故A 正确;函数图象关于直线x=2对称,故B 正确;令f(x 1)=f(x 2)=k,则直线y=k 与函数f(x)图象相交可能是4个交点,如图.如果最左边两个交点横坐标分别是x 1,x 2,则x 1+x 2=4不成立,故C 错误;f(x)的图象与x 轴仅有两个公共点,即函数仅有两个零点,故D 正确.故选ABD. 13.214.[12,8] 因为指数函数y=12x在区间[-3,1]上单调递减,所以当x=-3时,函数有最大值为12-3=8;当x=1时,函数有最小值为12.所以函数y 的值域为[12,8].15.0,23∪(1,+∞) 当a>1时,不等式为log a 23<log a a,∴a>23,即a>1;当0<a<1时,不等式为log a 23<log a a,∴a<23,即0<a<23.综上所述,实数a 的取值范围是0,23∪(1,+∞).16.(1,2] 由g(,即函数g(与函数y=f(x)图象交点的横坐标.当x≤0时,f(x)=e x +1单调递增,其值域为(1,2];当x>0时,f(x)=ln 与函数y=f(x)图象有2个交点,即函数g(的取值范围是(1,2]. 17.解(1)原式=√2+1-1+e-√2−23×23+49=e.(2)原式=lg4+lg25+log 45·(-log 54)=lg4×25-lg5lg4×lg4lg5=lg102-1=2-1=1.18.解(1)若函数f(x)是R 上的奇函数,则f(0)=0,即log 2(120+a)=0,解得a=0.当a=0时,f(x)=-x=-f(-x),在R 上为奇函数,所以a=0为所求. (2)若函数f(x)的定义域是R,则12x +a>0恒成立,即a>-12x 恒成立,由于-12x ∈(-∞,0),故只要a≥0即可,即实数a 的取值范围为[0,+∞).(3)由题意,知函数f(x)在[0,1]上单调递减,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log 2(1+a),最小值是f(1)=log 2(12+a).由题意,得log 2(1+a)-log 2(12+a)≥2,所以{1+a >0,a +12>0,a +1≥4a +2,解得-12<a≤-13, 故实数a 的取值范围为(-12,-13].19.解(1)∵10x -1>0,∴10x >100,则x>0,∴f(x)的定义域为(0,+∞).又10x -1>0,∴f(x)的值域为R.(2)g(x)=f(x)-lg(10x+1)=lg(10x-1)-lg(10x+1)=lg (10x -110x +1)=lg (1-210x +1).∵10x >0,∴10x +1>1,∴0<210x +1<2,∴-2<-210x +1<0,∴-1<1-210x +1<1.又1-210x +1>0,∴0<1-210x +1<1.∴lg (1-210x +1)<0,∴g(x)的值域为(-∞,0).∵关于x 的不等式g(x)<t 恒成立,∴t≥0,即t 的取值范围是[0,+∞). 20.解(1)根据题意得P=P 0e -5k =P 0(1-10%),则e -5k =90%,故当t=10时,P=P 0e -10k =P 0(e -5k )2=P 0(90%)2=P 081%,故10个小时后还剩81%的有害气体. (2)根据题意得P 0e -kt=P 050%,即(e -5k)15t =12,即0.915t =0.5,故t=5log 0.90.5=5-ln2ln0.9≈33,故有害气体减少50%需要花33小时.21.解(1)由题意知,21-x>0,1-x>0,解得x<1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,1).令f(x)=0,得21-x=1,解得x=-1,故函数f(x)的零点为-1.(2)若对于任意x 1∈(-∞,-1],存在x 2∈[3,4],使得f(x 1)≤g(≥-1.即m ∈[-1,+∞).22.解(1)因为二次函数f(x)=ax 2+bx+c 满足f(x+1)-f(x)=2x-1,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-ax 2-bx-c=2ax+a+b=2x-1,所以{2a =2,a +b =-1,解得{a =1,b =-2,所以f(x)=x 2-2x+c.选①,因为函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点,所以f(1)=1-2+c=-1,解得c=0,所以f(x)的解析式为f(x)=x 2-2x.选②,设x 1,x 2是函数f(x)的两个零点,则|x 1-x 2|=2,且Δ=4-4c>0,可得c<1.由题可知x 1+x 2=2,x 1x 2=c,所以|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√4-4c =2,解得c=0,所以f(x)的解析式为f(sx)=x 2-2x.(2)由2f(log3≤-2f(log3x).当x∈1,27时,log3x∈[-2,3].令h=log3x,9,27],2f(log3≤-2f(h)在h∈[-2,3]上恒则h∈[-2,3],所以对任意x∈[19成立,所以m≤[-2f(h)]min.当h=-2时,取最小值,则-2f(-2)=-16,所以实数m的取值范围为(-∞,-16].。
高中数学选择性必修二 第四章 数列(章末测试)(含答案)
第四章 数 列 章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·山东泗水·期中（文））已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25B ．13C ．23D ．12【答案】B【解析】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++.故选：B. 2．（2020·四川阆中中学月考（理））等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为S n ，若a 3＝4，a 2·a 6＝64，则S 5＝（ ） A ．32 B ．31C ．64D ．63【答案】B【解析】依题意3264640n a a a a =⎧⎪⋅=⎨⎪>⎩，即2151114640,0a q a q a q a q ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪>>⎩，解得11,2a q ==，所以()551123112S ⨯-==-.故选：B3．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a =+=，则122a a =（ ） A ．3 B ．13-C ．3或13D ．3-或13-【答案】C【解析】若{}n a 的公比为q ，∵3135113a a a a ==，又由3134a a +=，即有31313a a =⎧⎨=⎩或31331a a =⎧⎨=⎩, ∴1013q =或3，故有101223a q a ==或13故选：C 4．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））在递减等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（ ）．A ．1278B ．212C ．638D ．6332【答案】A【解析】则24152454a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得2414a a =⎧⎨=⎩或2441a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 是递减数列，则2441a a =⎧⎨=⎩，∴24214a q a ==，12q =（12q =-舍去）．∴218a a q ==，7717181(1)21112a q S q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭==--1278=． 故选：A ．5．（2020·重庆高一期末）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）A ．53B ．103C ．56D ．116【答案】A【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.6．（2020·贵州贵阳·为明国际学校其他（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比6121,24q S =-=，则数列{}n a 的前n 项积n T 的最大值为（ ） A ．16 B ．64C ．128D ．256【答案】B【解析】由12q =-，6214S =，得61112211412a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得18a =， 所以数列{}n a 为8，4-，2，1-，12，14-，……，前4项乘积最大为64. 故选：B .7．（2020·吉林市第二中学月考）已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ， 其中正确结论的序号为（ ） A ．②③ B ．①②C ．①③D ．①④【答案】B【解析】由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>，所以60a >，所以0d <，①正确；111116111102a a S a +=⨯=>，故②正确； 1126712126()02a a S a a +=⨯=+>，故③错误； 因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误． 故选：B.8．（2020·上海市市西中学月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++是一个确定的常数，则数列{}n S 中是常数的项是（ ）A ．7S ；B ．8S ；C ．11S ；D ．13S【解析】由于题目所给数列为等差数列，根据等差数列的性质， 有()2415117318363a a a a d a d a ++=+=+=， 故7a 为确定常数，由等差数列前n 项和公式可知()11313713132a a S a+⋅==也为确定的常数.故选:D二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．（2020·鱼台县第一中学月考）设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．90a =C ．117S S >D ．8S 、9S 均为n S 的最大值【答案】ABD【解析】由78S S <得12377812a a a a a a a a +++⋯+<++⋯++，即80a >， 又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++，90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>， 由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确；10．（2020·河北邯郸·高三月考）已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+【答案】ABD【解析】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD.11．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【解析】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列， 记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ， 则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确；故选：BD.12．（2019·山东省招远第一中学高二期中）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3393n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．14【答案】ACD【解析】由题意可得()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，则()()21213213931815321311n n n n n a S n b T n n n ---++====+-+++，由于nna b 为整数，则1n +为15的正约数，则1n +的可能取值有3、5、15， 因此，正整数n 的可能取值有2、4、14. 故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．（2020·山东泗水·期中（文））已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 【答案】321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，等比数列{}n a 中，14a =，412a =，可得34218a q a ==，解得12q =，又由2111114n n n n n n a a a q a a a ++--===，且21218a a a q ==， 即数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列， 所以1223118[1()]3214113414n n n n a a a a a a +⨯-⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.14．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））在各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则7856a a a a ++的值是________.【答案】32+【解析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 由321a a a =+， 得210q q --=，解得12q +=(负值舍)，则222278565656a a a q a q q a a a a ++====++⎝⎭.15．（2020·吉林市第二中学月考）各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________. 【答案】10【解析】根据等比数列的前n 项和的性质，若S n 是等比数列的和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍是等比数列，得到(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)， 即()()233307030S S -=⋅-. 解得S 3＝10或S 3＝90(舍)． 故答案为：1016．（2020·四川武侯·成都七中月考）已知等差数列{}n a 的公差2d =，前n 项之和为n S ，若对任意正整数n 恒有2n S S ≥，则1a 的取值范围是______.【答案】[]4,2--【解析】因为对任意正整数n 恒有2n S S ≥，所以2S 为n S 最小值，因此230,0a a ≤≥，即111+20,+4042a a a ≤≥∴-≤≤- 故答案为：[]4,2--四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）17．（2020·安徽省舒城中学月考（文））已知在等差数列{}n a 中，35a =，1763a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设2(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n a n =-；（2）1n n +. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由317653a a a =⎧⎨=⎩，可得()111251635a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩ 解得1a 1,d 2，所以等差数列{}n a 的通项公式可得21n a n =-;（2） 由（1）可得211(3)22(1)1n n b n a n n n n ===-+++，所以111111 (22311)n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()111,11,2n n a n S nS n n n N n -+=-=+-∈≥.（1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T 【答案】（1）证明见解析；（2）21n n T n =+. 【解析】（1）当2n ≥时，因为()()111n n n S nS n n --=+-， 所以()1121n n S S n n n --=≥-， 即n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）得n S n n=，2n S n =. 当2n ≥时，()22121n a n n n =--=-.当1n =时，11a =，符合题意，所以21n a n =-. 所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11122121n n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．（2021·黑龙江鹤岗一中月考（理））已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315a a a a ++==，即25a =， 又(52)(513)100d d -+++=，解得2d =或13d =-（舍去），123a a d =-=，1(1)21n a a n d n ∴=+-⨯=+，又1125b a =+=，22510b a =+=，2q ∴=，152n n b -∴=⋅；（2）21535272(21)2n n T n -⎡⎤=+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，2325325272(21)2n n T n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，两式相减得2153222222(21)25(12)21n n n n T n n -⎡⎤⎡⎤-=+⨯+⨯++⨯-+⨯=--⎣⎦⎣⎦， 则5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦.20．（2020·四川省绵阳南山中学月考（理））已知数列{}n a 为等差数列，11a =，0n a >，其前n 项和为n S ，且数列也为等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-；（2）222(1)n n n ++. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≥， 11S ===1∴=+2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=，n ==， 所以数列为等差数列，21na n ∴=-. （2）2(121)2n n n S n +-==，22222111(1)(1)n nb n n n n +∴==-⋅++， 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2222222221111111211223(1)(1)(1)n n n T n n n n ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21．（2020·浙江月考）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：3n n n n a b a =+，设{}n b 的前n 项的和为n S ，求证：2113n S <. 【答案】（1）2n n a =；（2）证明见解析.【解析】（1）由39a +是1a ，5a 的等差中项得153218a a a +=+，所以135a a a ++331842a =+=，解得38a =，由1534a a +=，得228834q q +=，解得24q =或214q =， 因为1q >，所以2q. 所以2n n a =.（2）112()333()1()22n n n nb =<=+， 3412324222()()()513333n n n S b b b b ∴=++++<++++24688221()6599313n -=+-⋅≤在3n ≥成立， 又有1222146215136513S S =<=<，， 2113n S ∴<. 22．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期中（理））已知数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和且n S 是2a 与2n na -的等差中项，其中a 是不为0的常数.（1）求123,,a a a .（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1）12a a =；26a a =；312a a =（2）猜想：()()*1n a a n N n n =∈+；证明见解析 【解析】（1）由题意知：222n n S a na =-即n n S a na =-，当1n =时，111S a a a ==-，解得12a a =.当2n =时，21222S a a a a =+=-，解得26a a =. 当3n =时，312333S a a a a a =++=-，解得312a a =. （2）猜想：()()*1n a a n N n n =∈+ 证明：①当1n =时，由（1）知等式成立.②假设当()*1,n k k k N =≥∈时等式成立，即()1k a a k k =+， 则当1n k =+时，又n n S a na =-则k k S a ka =-，11k k S a ka ++=-， ∴()()1111k k k k k a S S a k a a ka +++=-=-+--， 即()()1211k k a a k a ka k k k k ++==⨯=++ 所以()()()()112111k aa a k k k k +==+++++⎡⎤⎣⎦， 即当1n k =+时，等式成立.结合①②得()1n a a n n =+对任意*n N ∈均成立.。
(人教版B版最新)高中数学必修第二册 第四章综合测试02-答案
x2
x
1
x
1 2
33 ≥ 可得 y ln
44
x2
x
1
≥ln
3 4
，函数的值域为
ln
3 4
,
.
故选 B.
9.【答案】C
ta
1 10
【解析】由题图知，当
0≤t＜5
时，函数图像是一条线段，当
t≥5
时，因为函数的解析式为
y
80
2
b，
所以将 (5,100) 和 (15,60) 代入解析式，
高中数学 必修第二册 3 / 8
从而 ln+ (a b)＜ln+ 2 ln 2 ，ln a ln b ln 2 0 0 ln 2 ln 2 ，所以 ln+ (a b)＜ln+ a ln+ b ln 2 ；当 a≥1， 0＜b＜1 时，有 a b＞1 ，
第四章综合测试
答案解析
一、 1.【答案】D
【解析】由
x
[1,1]
，得
3x
1 3
,
3
，所以
log3
x
1 3
,
3
，所以
x
[
3
3,
27]
.
2.【答案】C
f (x) lg( 1 4x2 2x) 1 ， 2
f (x) f (x) lg( 1 4x2 2x) 1 lg( 1 4x2 2x) 1 lg( 1 4x2 2x) lg( 1 4x2 2x) 1
5a
100
80
1 2
10
b,
a 5,
t5
1 10
得
15a
1 10
解得
高中数学必修二第四章 章末复习题圆的相关试题(含答案)
章末复习一、知识导图二、要点归纳1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).2.点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外.(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内.(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上.3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r⇒相离；d＝r⇒相切；d<r⇒相交.4.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|关系(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一圆的方程例1一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，求该圆的方程.考点题点解∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，可得圆心与点M(3，－3)的连线与直线x＋3y＝0垂直，其斜率为 3.设圆C的圆心为(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋3a －3＝3，(a －1)2＋b 2＝1＋|a ＋3b |2.解得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，∴圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.反思感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤：第一步：选择圆的方程的某一形式.第二步：由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组).第三步：解出a ，b ，r (或D ，E ，F ).第四步：代入圆的方程.注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.跟踪训练1 (1)如图所示，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为____________________.答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2解析 取AB 的中点D ，连接CD ，AC ，则CD ⊥AB .由题意知，|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，所以圆心C (1，2)，故圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)求半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，被直线x －y ＝0截得的弦长为42的圆的方程. 解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心坐标为(a ，b )，半径r ＝10，圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2， 由半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形得，d 2＋⎝⎛⎭⎫4222＝r 2， 即(a －b )22＋8＝10， ∴(a －b )2＝4，又∵b ＝2a ，∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离考点题点答案 B解析 由垂径定理得⎝⎛⎭⎫a 22＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4， ∴圆M ：x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆M 与圆N 的圆心距d ＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵2－1<2<2＋1，∴两圆相交.(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.考点题点答案 4解析 联立⎩⎨⎧ x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，消去x 得y 2－33y ＋6＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2 3. 不妨设A (－3，3)，B (0,23)，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x ＋y ＋23＝0，令y ＝0得x C ＝－2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D ＝2，∴|CD |＝4.反思感悟 直线与圆、圆与圆的主要题型为：①位置关系的判断，②弦长问题，③求圆的方程.解决问题的方法主要有两种，一种代数法，一种几何法.跟踪训练2 (1)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A.1B.2C. 2D.2 2考点题点答案 C(2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.考点题点答案 4π解析 x 2＋y 2－2ay －2＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，则圆心为C (0，a ).又|AB |＝23，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为|0－a ＋2a |2， 所以⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2， 得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.题型三 对称问题例3 从点B (－2,1)发出的光线经x 轴上的点A 反射，反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2＝12相切，求点A 的坐标.考点题点解 点B (－2,1)关于x 轴对称的点为B ′(－2，－1)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设反射光线所在的直线方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.由题意，得|0－0＋2k －1|k 2＋1＝12， 化简得7k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝1或k ＝17， 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或x －7y －5＝0.令y ＝0，则x ＝－1或x ＝5.所以A 点的坐标为(－1,0)或(5,0).反思感悟 (1)对称的两种类型即轴对称与中心对称.(2)准确把握对称的几何性质.(3)圆的对称图形关键是圆心的对称，其半径不变.跟踪训练3 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________________________________________________________________________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.题型四 圆中的最值问题例4 圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－2＝0的公共弦长的最大值为( )A.2 2B.2C. 2D.1考点 与圆有关的最值问题题点 与圆的几何性质有关的最值答案 B解析 由题意得，两圆的标准方程分别为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1和(x ＋b )2＋(y ＋b )2＝2，两圆的圆心坐标分别为(－a ，－a )，(－b ，－b )，半径分别为1，2，则当公共弦为圆(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1的直径时，公共弦长最大，最大值为2.反思感悟 与圆有关的最值问题包括(1)求圆O 上一点到圆外一点P 的最大距离、最小距离：d max ＝|OP |＋r ，d min ＝||OP |－r |.(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m ，则d max ＝m ＋r ，d min＝|m －r |.(3)已知点的运动轨迹是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，求①y x ；②y －m x －n；③x 2＋y 2等式子的最值，一般是运用几何法求解.跟踪训练4 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值为________. 考点 与圆有关的最值问题题点 与面积有关的最值答案 2 2解析 圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心为C (1,1)，半径为1，由题意知，当圆心C 到点P 的距离最小时(即为圆心到直线的距离)，四边形的面积最小，又圆心到直线的距离d ＝|3＋4＋8|32＋42＝3， ∴|P A |＝|PB |＝d 2－r 2＝22，∴S 四边形P ACB ＝2×12|P A |r ＝2 2.1.以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A.(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B.(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C.(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D.(x ＋3)2＋(y －4)2＝9考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的标准方程答案 B2.已知圆C 与直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2题点 求圆的标准方程答案 B3.两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线的条数为( )A.4B.3C.2D.1考点 圆与圆的位置关系题点 两圆的位置关系与其公切线答案 C解析 两圆的标准方程分别为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121；(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为C 1(3，－8)，r 1＝11；C 2(－2,4)，r 2＝8.圆心距为|C 1C 2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13.∵r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2，∴两圆相交，则公切线共2条.4.经过两个定点A (a,0)，A 1(a ，a )，且圆心在直线y ＝13x 上的圆的方程为________________________.答案 ⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22 解析 圆过点A (a,0)，A 1(a ，a )，则圆心在直线y ＝a 2上. 又圆心在直线y ＝13x 上， 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32a ，a 2，则半径r ＝⎝⎛⎭⎫a －32a 2＋⎝⎛⎭⎫－a 22＝22|a |， 故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22. 5.已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2105时，求实数m 的值. 考点 直线和圆的位置关系解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)，r ＝2. 因为直线x －my ＋3＝0与圆相切， 所以|3＋3|1＋(－m )2＝2， 解得m ＝±2 2.(2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝|3＋3|1＋(－m )2.由24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3＋3|1＋(－m )22＝2105， 得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9.故m ＝±3.。
高中数学必修2第四章测试(含答案)
第四章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝03．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为()A．1，－1 B．2，－2C．1 D．－14．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是()A．x＋6y－10＝0 B.6x－2y＋10＝0C．x－6y＋10＝0 D．2x＋6y－10＝05．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是()A．(－3,3，－1) B．(－3，－3，－1)C．(3，－3，－1) D．(3,3,1)6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝() A．5 B.13 C．10 D.107．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为()A. 3B. 2C.3或－ 3D.2和－ 28．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4 B．3 C．2 D．19．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝010．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A.9πB.πC．2π D．由m的值而定11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝112．曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是()A．(0，512) B．(512，＋∞)C ．(13，34]D ．(512，34] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．14．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________．15．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．16．直线x ＋2y ＝0被曲线x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．18．(12分)已知圆M ：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0相交于A ，B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．21．(12分)已知⊙C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 是圆上动点，求d ＝|P A |2＋|PB |2的最大、最小值及对应的P 点坐标．22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1.(1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．1解析：将圆x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，化为标准方程得(x －3)2＋(y －4)2＝16.∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r 1＋r 2＝5，∴两圆外切．答案：C2解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0.答案：A 3解析：圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1.答案：D4解析：∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62，∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63， 故切线方程为y －6＝－63(x －2)， 即2x ＋6y －10＝0. 答案：D5解析：点M (3，－3,1)关于xOz 平面的对称点是(3,3,1)．答案：D6解析：依题意得点A (1，－2，－3)，C (－2，－2，－5)．∴|AC |＝(－2－1)2＋(－2＋2)2＋(－5＋3)2＝13.答案：B7解析：由题意知，圆心O (0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离为12， ∴11＋k 2＝12，∴k ＝±3.答案：C 8解析：两圆的方程配方得，O 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，O 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16，圆心O 1(－2,2)，O 2(2,5)，半径r 1＝1，r 2＝4，∴|O 1O 2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r 1＋r 2＝5.∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案：B9解析：依题意知，直线l 过圆心(1,2)，斜率k ＝2，∴l 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：A10解析：∵x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0，∴[x －(2m ＋1)]2＋(y －m )2＝m 2.∴圆心(2m ＋1，m )，半径r ＝|m |.依题意知2m ＋1＋m －4＝0，∴m ＝1.∴圆的面积S ＝π×12＝π.答案：B11解析：设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.答案：C12解析：如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)，直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)，当直线l 与半圆相切时，有|－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512. 当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34. 因此，k 的取值范围是512<k ≤34.答案：D 13解析：圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5，∴所求的最小值为4.14解析：r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 15解析：已知方程配方得，(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．16解析：由x 2＋y 2－6x －2y －15＝0，得(x －3)2＋(y －1)2＝25.圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3＋2×1|5＝ 5.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由勾股定理得，弦长＝2×25－5＝4 5.17解：解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1， 即x 2＋y 2－4x ＝0①当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2，由圆的定义知，P 点轨迹方程是以M (2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内)．18解：由圆M 与圆N 的方程易知两圆的圆心分别为M (m ，－2)，N (－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB 的方程为2(m ＋1)x －2y －m 2－1＝0.∵A ，B 两点平分圆N 的圆周，∴AB 为圆N 的直径，∴AB 过点N (－1，－1)，∴2(m ＋1)×(－1)－2×(－1)－m 2－1＝0，解得m ＝－1.故圆M 的圆心M (－1，－2)．19解：设两圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0x 2＋y 2－2x －2y ＝0的解，两方程相减得：x ＋y －3＝0，∵A 、B 两点的坐标都满足该方程，∴x ＋y －3＝0为所求．将圆C 2的方程化为标准形式，(x －1)2＋(y －1)2＝2，∴圆心C 2(1,1)，半径r ＝ 2.圆心C 2到直线AB 的距离d ＝|1＋1－3|2＝12， |AB |＝2r 2－d 2＝22－12＝ 6. 即两圆的公共弦长为 6.20解：如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2. 设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2.∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2，化简得点P 的轨迹方程为：2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510. 21解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则d ＝(x 0＋1)2＋y 02＋(x 0－1)2＋y 02＝2(x 02＋y 02)＋2.欲求d 的最大、最小值，只需求u ＝x 02＋y 02的最大、最小值，即求⊙C 上的点到原点距离的平方的最大、最小值．作直线OC ，设其交⊙C 于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 如图所示．则u 最小值＝|OP 1|2＝(|OC |－|P 1C |)2＝(5－1)2＝16.此时，x 13＝y 14＝45， ∴x 1＝125，y 1＝165. ∴d 的最小值为34，对应点P 1的坐标为⎝⎛⎭⎫125，165.同理可得d 的最大值为74，对应点P 2的坐标为⎝⎛⎭⎫185，245.22解：(1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2 ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5，消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上．(2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0，∵上式对于任意k ≠－1恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)．(3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径，即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2，∴k＝5±3 5.。
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第四章 章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是( )A ．k >2B ．－3<k <2C ．k <－3或k >2D ．以上都不对2．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是( )A ．(－3,4，－10)B ．(－3,2，－4)C ．⎝⎛⎭⎫32，－12，12 D ．(6，－5,11) 3．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为( )A ．4B ．2C ．85D ．1254．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝05．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是( )6．若圆C 1：(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则实数a ，b 应满足的关系式是( )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝07．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x8．设直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则这两段之比为( )A ．73或37B ．74或47C ．75或57D ．76或679．若x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．5－5B ．5－ 5C ．30－10 5D ．无法确定10．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m 、n 满足的关系式是( )A ．(m －2)2＋n 2＝4B ．(m ＋2)2＋n 2＝4C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝811．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝012．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有一个公共点，则b 的取值范围是( )A ．|b |＝ 2B ．－1<b <1或b ＝－ 2C ．－1<b ≤1D ．－1<b ≤1或b ＝－ 2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．点M (1,2，－3)关于原点的对称点是________．14．两圆x 2＋y 2＋4y ＝0，x 2＋y 2＋2(a －1)x ＋2y ＋a 2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a 的值为________15．已知P (3,0)是圆＝0内一点，则过点P 的最短弦所在直线方程是________，过点P 的最长弦所在直线方程是________．16．已知圆心在x 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________三、解答题(本大题共17．(10分)已知三条直线2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．18．(12分)在三棱柱ABO －A ′B ′O ′中，∠AOB ＝90°，侧棱OO ′⊥面OAB ，OA ＝OB ＝OO ′＝2．若C 为线段O ′A 的中点，在线段BB ′上求一点E ，使|EC |最小．19．(12分)已知A (3,5)，B (－1,3)，C (－3,1)为△ABC 的三个顶点，O 、M 、N 分别为边AB 、BC 、CA 的中点，求△OMN 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．20．(12分)已知动直线l ：(m ＋3)x －(m ＋2)y ＋m ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝9．(1)求证：无论m 为何值，直线l 与圆C 总相交．(2)m 为何值时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小？请求出该最小值．21．(12分)矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在直线上．(1)求AD 边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD 外接圆的方程．22．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．第四章 圆与方程(B) 答案1．C [由题意知点在圆外，故12＋22＋k ＋2×2＋k 2－15>0，解得k <－3或k >2．]2．A [设点A 关于点(0,1，－3)的对称点为A ′(x ，y ，z )，则(0,1，－3)为线段AA ′的中点，即x ＋32＝0，y －22＝1，4＋z 2＝－3， ∴x ＝－3，y ＝4，z ＝－10．∴A ′(－3,4，－10)．]3．A [根据题意，知点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP ＝－11－42＋2＝43． ∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)． 即4x －3y ＋20＝0．又直线m 与l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0．故直线l 与m 间的距离为d ＝|0－20|42＋32＝4．] 4．A [设两切线切点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则两切线方程为x 1x ＋y 1y ＝4， x 2x ＋y 2y ＝4．又M (4，－1)在两切线上，∴4x 1－y 1＝4,4x 2－y 2＝4．∴两切点的坐标满足方程4x －y ＝4．]5．B [由直线的斜率a 与在y 轴上的截距b 的符号，可判定圆心位置，又圆过原点，所以只有B 符合．]6．B [圆C 1与C 2方程相减得两圆公共弦方程，当圆C 2的圆心在公共弦上时，圆C 1始终平分圆C 2的周长，所以选B ．]7．B [由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2，故选B ．]8．A [由题意知P (0，－3)．P 到圆心(－1,0)的距离为2，∴P 分直径所得两段为5－2和5＋2，即3和7．选A ．]9．C [配方得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以x 2＋y 2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x 2＋y 2的最小值为30－105．]10．C [由勾股定理，得(m －2)2＋n 2＝8．]11．D [l 为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2,2)的中点为(－1,1)，k l ＝1， ∴y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0．]12．D [如图，由数形结合知，选D ．]13．(－1，－2,3)14．－2解析 两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a ＝－2．15．x ＋y －3＝0，x －y －3＝0解析 点P 为弦的中点，即圆心和点P 的连线与弦垂直时，弦最短；过圆心即弦为直径时最长．16．(x ＋2)2＋y 2＝2解析 设圆心坐标为(a,0)(a <0)，则由圆心到直线的距离为2知|a |2＝2，故a ＝－2，因此圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2．17．解 l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直．三交点A ，B ，C 构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 所以点B 的坐标是(1，－1)．线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－12，－1，又|AB |＝(－2－1)2＋(－1＋1)2＝3． 所求圆的标准方程是⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94． 18．解如图所示，以三棱原点，以OA 、OB 、OO ′所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ．由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)、B (0,2,0)、O (0,0,0)，A ′(2,0,2)、B ′(0,2,2)、O ′(0,0,2)． 由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)，设E 点坐标为(0,2，z )，∴|EC |＝(0－1)2＋(2－0)2＋(z －1)2＝(z －1)2＋5．故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5．此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点．19．解 ∵点O 、M 、N 分别为AB 、BC 、CA 的中点且A (3,5)，B (－1,3)，C (－3,1)， ∴O (1,4)，M (－2,2)，N (0,3)．∵所求圆经过点O 、M 、N ，∴设△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，把点O 、M 、N 的坐标分别代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋42＋D ＋4E ＋F ＝0(－2)2＋22－2D ＋2E ＋F ＝002＋32＋3E ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝7E ＝－15F ＝35．∴△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，圆心为⎝⎛⎭⎫－72，152，半径r ＝12130． 20．(1)证明 直线l 变形为m (x －y ＋1)＋(3x －2y )＝0．令⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.如图所示，故动直线l 恒过定点A (2,3)．而|AC |＝(2－3)2＋(3－4)2＝2<3(半径)．∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交．(2)解 由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC 垂直直线l 时，弦长最小，此时k l ·k AC ＝－1，即m ＋3m ＋2·4－33－2＝－1，∴m ＝－52． 最小值为232－(2)2＝27．故m 为－52时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小，最小值为27． 21．解 (1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3．又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－2，∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22，∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．22．解 (1)将圆C 整理得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2．①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ， k 2－4k －2＝0，解得k ＝②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ，即|a －1|＝2，解得a ＝3．综上所述，所求切线方程为y ＝(2±∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM |取最小值时，即|OP |取得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0，解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0得⎩⎨⎧ x ＝－310，y ＝35， ∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35．。