第二十七章相似测试题
人教版九年级下册数学《第27章相似》单元测试题（含答案解析）
春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题一．选择题（共10小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣32．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：33．下列命题中，其中正确的命题个数有（）（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝（）A．5B．6C．7D．85．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似6．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm27．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5B．3：5C．9：25D．4：2510．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m二．填空题（共8小题）11．若＝，则＝．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为．13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值．14．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．16．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝时，△ABC∽△DEF．17．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′，B′；点A到原点O的距离是．18．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD ＝2，则AB的长是．三．解答题（共8小题）19．已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）21．如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上，且＝．求证：＝22．如图所示：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C，（1）求证：AD2＝AE•AB；（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；（3）若CD＝2，求AD的长．23．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，BC＝1，AC，BD交于点O．求的值．24．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB＝DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB＝45°．春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【分析】先利用x：y：z＝1：2：3，y＝2x，z＝3x，然后消去y与z得到关于x的一元一次方程，再解一次方程即可．【解答】解：∵x：y：z＝1：2：3，∴y＝2x，z＝3x，∴2x+2x﹣9x＝﹣15，∴x＝3．故选：C．【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用代入消元或加减消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题．2．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：3【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由a：b＝3：2，即可求得答案．【解答】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，即，∵a：b＝3：2，∴b：c＝3：2．故选：C．【点评】此题考查了比例线段以及比例中项的定义．解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．下列命题中，其中正确的命题个数有（）（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】（1）作出图形，过点A作AD⊥BC于点D，然后求出AD的长度，再在Rt△ACD中，利用锐角的正弦值求出∠C的度数即可；（2）作出图形，根据圆的半径为5，圆心到AB的距离为3作出到直线AB的距离为2的直线，与圆的交点的个数即为所求；（3）根据半圆的圆心角等于180°解答；（4）因为AP是较长的线段还是较短的线段不明确，所以分两种情况讨论求解．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝6，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝6×＝3，又∵AC＝，∴sin∠C＝＝＝，∴∠C＝60°，故本小题正确；（2）如图所示，到直线AB的距离为2的点有3个，故本小题正确；（3）∵半圆的圆心角为180°，∴圆心角是180°的扇形是一个半圆加一条直径，故本小题错误；（4）①若AP是较长线段，则AP2＝AB•BP，即AP2＝1×（1﹣AP），AP2+AP﹣1＝0，解得AP＝，②若AP是较短的线段，则AP＝1﹣＝，故本小题错误．综上所述，正确的命题有（1）（2）共2个．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解比较关键．4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝（）A．5B．6C．7D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝5，AC＝8，DF＝12，∴，即，可得；DE＝6，故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．5．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似【分析】根据三角形、矩形相似的判定方法逐个分析，确定正确答案即可．【解答】解：A、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故A不正确；B、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故B不正确；C、两个等腰直角三角形的对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，故C正确；D、两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故D不正确；故选：C．【点评】本题考查了相似图形的知识，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比相等的图形相似，难度不大．6．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm2【分析】设大六边形的面积为xcm2，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：设大六边形的面积为xcm2，则小六边形的面积为（x﹣28）cm2，∵两个六边形相似，∴＝（）2，解得，x＝64，故选：C．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当∠ACP＝∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC＝∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP＝AP•CB，即＝，而∠PAC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5B．3：5C．9：25D．4：25【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质结合DE：EC＝3：2，即可得出△DEF与△BAF的面积之比，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．∵DE：EC＝3：2，∴＝＝，∴＝（）2＝．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，＝，解得：x＝15．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．二．填空题（共8小题）11．若＝，则＝．【分析】根据分比性质，可得答案．【解答】解：由分比性质，得＝﹣＝﹣2＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用了分比性质，用x表示y，是解题关键．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为 4.5．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后把AB、BC、BD的值代入后，利用比例的性质可计算出DE的长．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即，∴BE＝3，∴DE＝3+1.5＝4.5．故答案为：4.5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值10．【分析】设＝＝＝k，表示出a，b，c，代入a+b﹣3c＝求出k的值，即可确定出a的值．【解答】解：设＝＝＝k，则有a＝5k，b＝6k，c＝4k，代入a+b﹣2c＝得：5k+6k﹣8k＝6，解得：k＝2，则a＝10，故答案为：10【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键．14．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，∴△ACB∽△ABD，∴，∴AD＝＝cm，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．【分析】由DE∥BC可得出∠ADE＝∠B、∠AED＝∠C，进而可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理证出△ADE∽△ABC是解题的关键16．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝76°时，△ABC∽△DEF．【分析】利用两对角相等的三角形相似即可作出判断．【解答】解：∵△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B ＝34°，∠D＝70°，∴∠B＝∠E＝34°，∴∠C＝∠F＝76°，故答案为：76°【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．17．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′（m，m），B′（n，n）；点A到原点O的距离是m．【分析】由于在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，则把点A和点B的坐标都乘以即可得到点A′和点B′的坐标，再利用两点间的距离公式计算点A到原点O的距离．【解答】解：∵A（m，m），B（2n，n），而位似中心为原点，相似比为，∴A′（m，m），B′（n，n）；点A到原点O的距离＝＝m．故答案为（m，m），（n，n）；m．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．18．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD ＝2，则AB的长是6．【分析】根据题意可知△ABO∽△DCO，根据相似三角形的性质即可求出AB的长度，此题得解．【解答】解：根据题意，可知：△ABO∽△DCO，∴＝，即＝3，∴AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质求出AB的长度是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．【分析】设＝k，于是得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入代数式即可得到结论．【解答】解：∵，∴设＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴（1）＝＝；（2）∵x﹣2y+4z＝24，∴2k﹣6k+16k＝24，∴k＝2，∴x+y+z＝2k+3k+4k＝9k＝18．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）【分析】（1）根据矩形的性质和线段的和差关系得到CD，EF，BC，CF，再代入数据即可求得各线段的比；（2）根据成比例线段的定义写一组即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2，∴CD＝EF＝AB＝3，BC＝AD＝6.5，CF＝BC﹣BF＝4.5，∴＝＝，＝＝，＝；（2）成比例线段有＝．【点评】本题考查了矩形的性质，比例线段，解决问题的关键是得到CD，EF，BC，CF的值．21．如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上，且＝．求证：＝【分析】先证△BDC∽△B′D′C′得∠ACB＝∠A′C′B′，结合∠A＝∠A′可证△ABC∽△A'B'C'，再利用相似三角形的性质可得答案．【解答】解：∵BD是AC边上的高、B'D'是A'C'的高，∴∠BDC＝∠B′D′C′＝90°，∴△BDC和△B′D′C′均为直角三角形，∵＝，∴△BDC∽△B′D′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′，∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A'B'C'，∵BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，∴＝．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的对应边的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比、面积比等于相似比的平方的性质．22．如图所示：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C，（1）求证：AD2＝AE•AB；（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；（3）若CD＝2，求AD的长．【分析】（1）证明△DAE∽△BAD，根据相似三角形的性质证明；（2）根据三角形的外角的性质、等腰三角形的性质证明；（3）证明△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质求出BE，代入（1）的结论计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAD，∴△DAE∽△BAD，∴＝，即AD2＝AE•AB；（2）∠ADC＝∠DAE+∠B，∠BED＝∠DAE+∠ADE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ADC＝∠BED；（3）∵∠ADC＝∠BED，∠B＝∠C，∴△ADC∽△DEB，∴＝，即＝，解得，BE＝2.4，由（1）得，AD2＝AE•AB＝13，则AD＝．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，BC＝1，AC，BD交于点O．求的值．【分析】由同旁内角互补两直线平行得到AB与CD平行，再利用两直线平行内错角相等，以及对顶角相等得到三角形相似，由相似得比例求出所求即可．【解答】解：∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴∠A＝∠ACD，∴△ABO∽△CDO，∴，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝45°，BC＝1，∴AB＝1，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠D＝30°，BC＝1，∴CD＝，∴＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的性质与判定，以及平行线的性质，能利用相似三角形的性质将未知线段的比转化为已知线段的比是解本题的关键．24．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】延长OA到A′使OA′＝2OA，同样作出点B′、C′，从而得到满足条件的△A′B′C′；反向延长OA到A″使OA″＝2OA，同样作出点B″、C″，从而得到满足条件的△A″B″C″．【解答】解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″．【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB＝∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得到CE＝AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明＝，由相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵AC2＝AB•AD，∴＝，∴△ADC∽△ACB；（2）∵△ADC∽△ACB，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵点E为AB的中点，∴CE＝AE＝AB＝，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠DAC＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；∴＝＝，∴＝．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB＝DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB＝45°．【分析】（1）由∠BCD＝∠GFD＝90°、∠BGC＝∠FGD可证得△BGC∽△DGF，即可知，根据AB＝BC即可得证；（2）连接BD，由△BGC∽△DGF知，即，根据∠BGD＝∠CGF可证△BGD∽△CGF得∠BDG＝∠CFG，再由即可得证．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°，∴∠BCD＝∠GFD，∵∠BGC＝∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴，∴DG•BC＝DF•BG，∵AB＝BC，∴DG•AB＝DF•BG；（2）如图，连接BD、CF，∵△BGC∽△DGF，∴，∴，又∵∠BGD＝∠CGF，∴△BGD∽△CGF，∴∠BDG＝∠CFG，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴，∴∠CFG＝45°．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．。
人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步测试含答案
人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步测试题一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．82．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．76．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：27．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2 9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP 的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为_________．（填出一个正确的即可）12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为_________ cm．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=_________．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为_________．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=_________cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_________cm2．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是_________（写出所有正确结论的序号）．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有_________条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=_________时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_________．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=_________．（用含n的式子表示）20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是_________．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．24．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O 于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．26．（2013•汕头）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．27．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半径．（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．（3）求弦EC的长．28．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）参考答案与解析一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．8考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选D．点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DEC，∴AE：DE=AF：CD，∵AE=2ED，CD=3cm，∴AF=2CD=6cm．故选B．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，=，∵AB=AC，∴CD=CE，解得：CD=CE=，DE=，EF=．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．专题：压轴题．分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解答：解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．7考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．分析：根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值．解答：解：设AE=x，则AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴=，即=，解得：x=5．故选B．点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE．6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：AB 的值，由AB=CD即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△AB F∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．专题：压轴题．分析：如解答图所示：结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．解答：解：（1）结论①正确．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM与△ABF中，，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；（2）结论②正确．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；（3）结论③正确．理由如下：证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG与△NCG中，，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；（4）结论④正确．理由如下：证法一：∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，∴GD平分∠AGC．综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．故选D．点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD 的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB 的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP 的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC==，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可．解答：解：∵AB为⊙O的直径，∴AB=5，∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴=，∵CP⊥CQ，∴∠PCQ=90°，而∠A=∠P，∴△ACB∽△PCQ，∴=，∴CQ=•PC=PC，当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=×5=．故选D．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤考点：切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；又ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB（AD+BC），将AD+BC化为CD，可得出梯形面积为AB•CD，选项④错误，而OD不一定等于OC，选项③错误，即可得到正确的选项．解答：解：连接OE，如图所示：∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中，，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），∴∠AOD=∠EOD，同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC，又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；而S梯形ABCD=AB•（AD+BC）=AB•CD，选项④错误；由OD不一定等于OC，选项③错误，则正确的选项有①②⑤．故选A点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为4s．（填出一个正确的即可）考点：圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；开放型．分析：根据圆周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8cm，而F是弦BC的中点，所以当EF∥AC时，△BEF 是直角三角形，此时E为AB的中点，易得t=4s；当从A点出发运动到B点名，再运动到O点时，此时t=12s；也可以过F点作AB的垂线，点E点运动到垂足时，△BEF 是直角三角形．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，而∠ABC=60°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵F是弦BC的中点，∴当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，此时E为AB的中点，即AE=AO=4cm，∴t==4（s）．故答案为4s．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆周角定理的推论以及含30度的直角三角形三边的关系．12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为5cm．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6cm，∴EC=9﹣6=3（cm），∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，∴AG==2（cm），∴AE=2AG=4cm；∵EC∥AD，∴====，∴=，=，解得：EF=2（cm），FC=3（cm），∴EF+CF的长为5cm．故答案为：5．点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=12．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米．考点：相似三角形的应用．分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即=，则=，∴h=1.5m．故答案为：1.5米．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．专题：压轴题．分析：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．解答：解：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，∵∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=∠MNC，又∵∠B=∠C∴△ABM∽△MCN，则，即，解得CN==x（1﹣x），∴S四边形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+，∵﹣＜0，∴当x=﹣=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2．故答案是：，．点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是②③④（写出所有正确结论的序号）．考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为的中点，得到两条弧相等，再由C为的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ 与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出AP•AD=CQ•CB，选项④正确．解答：解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；连接BD，如图所示：∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；∵直径AB⊥CE，∴A为的中点，即=，又C为的中点，∴=，∴=，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；连接CD，如图所示：∵=，∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，∴△ACQ∽△BCA，∴=，即AC2=CQ•CB，∵=，∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC，∴=，即AC2=AP•AD，∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，则正确的选项序号有②③④．故答案为：②③④点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有1条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．解答：解：（1）存在另外 1 条相似线．如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；（2）设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是①③．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB，即可求得AF=AB；则可得S△ABC=6S△BDF．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴，∵BA=BC，∴，故①正确；∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，∴∠DBE=∠BCD，∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵=，∴FG=FB，∵GE≠BF，∴点F不是GE的中点．故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正确；∵BD=AB，AF=AC，∴S△ABC=6S△BDF，故④错误．故答案为：①③．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；规律型．分析：由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，即可求得△B1C1M n的面积，又由B n C n∥B1C1，即可得△B n C n M n∽△B1C1M n，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．解答：解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1×=，∵B n C n∥B1C1，∴△B n C n M n∽△B1C1M n，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即S n：=，∴S n=．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是．考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：规律型．分析：求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形A nB n D n E n的边长．解答：解：∵∠A=∠B=45°，∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，∴第一个内接正方形的边长=AB=1；同理可得：第二个内接正方形的边长=A1B1=AB=；第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=；故可推出第n个小正方形A n B n D n E n的边长=AB=．故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠ABP；（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP，∵P′E⊥AC，。
第二十七章 相似 测试题 含答案
初三数学 人教版九年级下册（新）第二十七章 相似 测试题 （时间：45分钟 总分：100分）班级______________姓名_______________学号__________________一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知：线段a=5cm ，b=2cm ，则a b=（ ） A ．14 B ．4 C ．52 D ．25 2．把mn=pq （mn ≠0）写成比例式，写错的是（ ）A ．m q p n =B ．p n m q= C ．q n m p = D ．m p n q = 3．某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m ，影长是1m ，旗杆的影长是8m ，则旗村的高度是（ ）A ．12mB ．11mC ．10mD ．9m4．下列说法正确的是（ ）A ．矩形都是相似图形；B ．菱形都是相似图形C ．各边对应成比例的多边形是相似多边形；D ．等边三角形都是相似三角形5．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，•已知三角形框架甲的三边分别为50cm ，60cm ，80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么符合条件的三角形框架乙共有（ ）种A ．1B ．2C ．3D ．46.如图（1），△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:5D ．1:67．如图（2），△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=2，BC=3，则CD 的长是（ ）A ．83B ．23C ．43D ．538．如图（3），若∠1=∠2=∠3，则图中相似的三角形有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 图（1） 图（3）图（2）9．若235a b c ==（abc ≠0），则a b c a b c++-+=_________． 10．把长为20cm 的线段进行黄金分割，则较短线段长约是________cm ．（精确到0.01 cm ）11．两个相似三角形的一对对应边长分别为20cm ，25cm ，它们的周长差为63cm ，则这两个三角形的周长分别是________．12．如图（4），点D 是Rt △ABC 的斜边AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AF=•15，BE=10，则四边形DECF 的面积是__________．(4) (5)13．如图（5），BD 平分∠ABC ，且AB=4，BC=6，则当BD=_______时，△ABD ∽△DBC ．14．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=60，CD=15，E 、F 分别为AD 、BC 上一点，且EF ∥AB ，•若梯形DEFC ∽梯形EABF ，那么EF=_________．三、解答题（本大题共30分，每题10分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． △ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F ．（1）求证：△ACB ∽△DCE ；（2）求证：EF ⊥AB ．16.如图 ，梯形ABCD 中，AB CD ∥，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ．（1）求证：CDF BGF △∽△；（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF CD ∥交AD 于点E ，若6cm 4cm AB EF ==，，求CD 的长．17.如图①，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F .(1) 求证：DE －BF = EF ．(2) 当点G 为BC 边中点时, 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．(3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．答案：DC F EAB G一、选择题1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C 7．D 8． D二、填空题9．5210．7.64 11．252cm ，315cm 12．150 13．6 14．30三、解答题15.证明：（1）∵ 3,2AC DC = 63,42BC CE ==∴ .AC BC DC CE =又 ∠ACB =∠DCE =90°，∴ △ACB ∽△DCE ．（2）∵ △ACB ∽△DCE ，∴ ∠ABC ＝∠DEC ．又 ∠ABC ＋∠A =90°，∴ ∠DEC ＋∠A =90°．∴ ∠EFA =90°． ∴ EF ⊥AB ．16.（1）证明：∵梯形ABCD ，AB CD ∥，∴CDF FGB DCF GBF ∠=∠∠=∠，，∴CDF BGF △∽△．（2） 由（1）CDF BGF △∽△，又F 是BC 的中点，BF FC =∴CDF BGF △≌△，∴DF FG CD BG ==，又∵EF CD ∥，AB CD ∥，∴EF AG ∥，得2EF BG AB BG ==+．∴22462BG EF AB =-=⨯-=，∴2cm CD BG ==．17.(1) 证明:∵ 四边形ABCD 是正方形, BF ⊥AG , DE ⊥AG∴ DA =AB ， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90° ∴ ∠BAF = ∠ADE∴ △ABF ≌ △DAE∴ BF = AE , AF = DE∴ DE －BF = AF －AE = EF（2）EF = 2FG 理由如下：∵ AB ⊥BC , BF ⊥AG , AB =2 BG∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG∴2===FGBF BF AF BF AB ∴ AF = 2BF , BF = 2 FG由(1)知, AE = BF ，∴ EF = BF = 2 FG (3) 如图DE + BF = EF。
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第二十七章相似全章测试一、选择题1.如图，ciABCD 中，EF 〃AB, DE : EA=2 : 3, EF = 4,则 CD 的长为（）16A. —B. 8C. 10D. 163 【答案】CEF DE 2【解析】试题分析：由EF 〃AB 可得△ DEF^ADAB,根据相似三角形的性质可得一=——=-,再由EF=4AB AD 5 即可得AB=10,根据平行四边形的性质可得CD=AB=10.故答案选C. 考点：相似三角形的判泄及性质；平行四边形的性质.2.如图，ZACB=ZADC=90°, BC=a, AC=b, AB=c, S^A ABC^ACAD,只要 CD 等于（）ab C.— c【解析】解:假设厶ABC-A CAD, 即・・・要使△ ABC-ACAD,只要CD 等于故AC ABAB cc3.在菱形ABCD'P ，BFE 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F,若EC=2BE,则一的值是（）Fl ）c a【答案】A选A.1 1 1A•— B•— C. _2 3 41 D.-5【答案】B【解析】解：如图，VABCD 是菱形，月.4D=BC, •••△BEFSAD4F,BF BE 1・：EC=2BE, ：•吟BE,即 AZ>3BE, 故选 B.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质.关键是由平行线得出相似三角形，由菱形的性 质得出线段的长度关系.4.己知：如图，DE 〃BC, AD:DB=1:2,则下列结论不正确的是（）【答案】ADE AD AD I•••△ADESGBC ,・••芫荷莎面=亍・・•相似三角形周长比等于相似比,:・B, C 选项正确，：•四边形BCED 的面积=ZBC 的面积-AADE 的面积，•ID 选项正确. 故选A.5.如图，铁路道口的栏杆短臂长lm,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽A. 4mB. 6mC. 8mD. 12m竺=匹又FD ADAADE 的面积_1AABC 的面积9 AADE 的周长_ 1 AABC 的周长3 AADE 的面积 _ 1 四边形BCED 的面积8 面积比为相似比的平方, A' ^=2 B - 略不计）（ ）•【答案】C【解析】试题分析：设长臂端点升高X 米，则—/.解得：x 二&故选C. x 16 考点：相似三角形的应用. 止方形ABCD 与止方形BEFG 是以原点0为位似屮心的位似图形，且相似比【解析】试题解析：・・•正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点0为位似中心的位似图形，且相似比为£ AD 1OA 1 OA 1 , z ,•••— , •: BG=J :.AD=BC=2, •: AD//BG, ：./XOAD^/XOBG, :.― 一，••- ------ ,解得：04=1, BG 3 OB 3 2 + OA 3 :・0B=3, ・・・C 点坐标为：（3, 2）,故选A.7. 平面直角坐标系中，有一条“鱼J 它有六个顶点，则（）A.将各点横坐标乘以2,纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似B. 将各点纵坐标乘以2,横坐标不变，得到的鱼与原來的鱼位似C. 将各点横、纵坐标都乘以2,得到的鱼与原来的鱼位似D. 将各点横坐标乘以2,纵坐标乘以丄，得到的鱼与原来的鱼位似2 【答案】C【解析】解：平面直角樂标系中图形的各个顶点，如果横纵坐标同吋乘以同一个非0的实数匕得到的图形 与原图形关于原点成位似图形，位似比是冈・若乘的不是同一个数，得到的图形一定不会与原图形关于原点 对称.故选C ・8. 对于平面图形上的任意两点P, Q,如果经过某种变换得到新图形上的对应点P'，Q',保持PQ=P r Q\我为点A, B, E 在x 轴上, 若正方形BEFG 的边长为6,则C 点坐标为（C. (2, 2)D. (4, 2)6.如图，在平面直角坐标屮,y个■屮 ■ I* JI ■ !■丄们把这种变换称为“等距变换”，下列变换屮不一定是等距变换的是（） A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似【答案】D【解析】试题解析：平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与 原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换旋转的性质：旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换〃； 轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换〃； 位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换， 故选D.在格点上）为顶点的三角形与AABC 相似，则点E 的坐标不可能是（） A. (6, 0) B. (4, 2) C. (6, 5) D. (6, 3) 【答案】D【解析】解：•・•点人、B 、C 的坐标分别是(1, 7) , (1, 1) ,(4, 1),・・・AB=6, BC=3, ZABC=90°.AB BC 3 AED=4, CD=2, ZEDO90。
第27章相似测试题
百度文库1第27章《相似》单元测试题一、选择题（每小题 3分, 共 30分）1、如图, 已知 AB // CD // EF , 那么下列结论正确的是（）AD BCBC DFA. DF =CEB .CE =AD CD BCCD AD C. EF —BED .EF —AF2、已知△ ABC DEF , 且AB : DE=1 : 2,则厶ABC 的面积与厶DEF 的面积之比为（ （A ）1 : 2（B ）1 : 43、如图，小正方形的边长均为） （C ）2 : 1（D ）4 : 11，则下列图中的三角形（阴影部分）△ ABC 相似的是（A ,B 两个顶点在x 轴的上方，点4、如图，△ ABC 中， 的下方作厶ABC 的位似图形，并把△ ABC 的边长放大到原来的 B 的横坐标是 1a 21 应点 C . a 1)a ，则点B 的横坐标是（1B . —（a 1）2 1 D . （a 3）2C .C 的坐标是（-1，0）.以点C 为位似中心，在2倍，记所得的像是厶 A'B'C .设点Bx 轴 的对如图，在长为 8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去 使得留下的矩形 的面积是（2A . 2 cm6、 如图，菱形5、 个矩形, （图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形 ）B . 4 cm 2C . ABCD 中，对角线 2 28 cm D . 16 cmMN ，则下列叙述正确的是（A . △ AOM 和厶AON 都是等边三角形B .四边形MBON 和四边形C .四边形 AMON 与四边形D .四边形MBCO 和四边形7、 如图，在Rt A ABC 中，AC 、BD 相交于点 O , M 、N 分别是边 AB 、AD 的中点，连接 OM 、 ） MODN 都是菱形ABCD 是位似图形 NDCO 都是等腰梯形ACB 90° BC 3, AC 4, BO CON、AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（37 25 A . B . C .—2 6 6D . 2DA8、 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感. 下半身长x 与身高I 的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ A . 4cmB . 6cmC . 8cmD . 10cmAO9、 如图正 方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF 丄DE 于点O ，则DO 等于（2 5A.〒如图，某女士身高 165cm ,10、一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22 . 5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是A .第4张B .第5张C .第6张二、填空题（每小题3分，共18分）11、在口ABCD 中，E 在DC 上，若DE : EC则BF:BE ________ .12、如图，在△ ABC中，DE// BC，若ADD.第1:2 ,1, DE 2,、BD 3，贝U BCEB ------------------- C第12题A第14题口°ABC顶点A的坐标为（2,图形△ ABC，使△ ABC与厶ABC的相似比等于1，则点13、在平面直角坐标系中，△3), 若以原点O为位似中心，画△ ABC的位似14、如图，Rt△ ABC 中，ACB 90°直线EF //S A AEG — S四边形EBCG，贝V _______ .3 ADBD,交AB于点E,交AC于点G,交AD于点F，若\15、将三角形纸片（△ ABC）按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF.已知AB = AC = 3, BC= 4，若以点B', F, C为顶点的三角形与△ ABC相似，那么BF的长度是16、如图，△ ABC 与厶AEF 中，AB AE, BC①AFC C ;②DF CF ;③厶ADE FDB ；④BFD CAF .其中正确的结论是__________ （填写所有正确结论的序号）三、（本大题共3小题，第17题6分，第17、18题各7分,17、如图，在△ ABC 中，DE // BC , EF // AB, 求证：△ ADE s^EFC .EF,18、如AB 6,图，在矩形ABCD中，点E、FAE 9, DE 2，求EF 的长.B E, AB交EF于D .给出下列结论:2【关键词】矩形的性质19、如图，△ ABC内接于O 0 , AD是厶ABC的边BC上的高，AE是O 0的直径, 连接BE ,△ ABE与厶ADC相似吗？请证明你的结论.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)20、小明想利用太阳光测量楼高•他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同.此时，测得小明落在墙上的影子高度CD = , CE=, CA = 30m (点A、E、C在同一直线上).已知小明的身高EF是，请你帮小明求出楼高AB (结果精确到)21、如图，网格中的每个小正方形的边长都是都在格点上，ED的延长线交AB 于点F.(1)求证：△ ACBDCE ;(2)求证：EF丄AB .1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ ACB和厶DCE的顶点22、如图，△ ABC在方格纸中(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A( 2，3)，C(6，2)，并求出B点坐标;(2) 以原点0为位似中心，相似比为画出放大后的图形△ A B' C ;(3) 计算△ A B' C'的面积S.2, 在第一象限内将△ ABC放大,（第224五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)23、如图，△ ABC 中，/ C = 90°, AC = 4, BC = 3。
九年级数学下册第二十七章相似测试题(新版)新人教版
第二十七章相像测试题1．如图 27- 1- 4 所示的四个.头像，它们 ()图27- 1-4A．形状都同样，大小都不相等B． (1) 与 (4) ， (2) 与 (3) 形状同样，四个不完整同样C．四个形状都不同样D．不可以确立2．以下图形不是相像图形的是()A．同一张底片冲刷出来的两张大小不一样的照片B．用放大镜将一个渺小物体图案放大过程中原有放大过程中原有图案和放大图案C．某人的侧身照片和正面照片D．大小不一样的两张中国地图3．在比率尺为1∶ 5000 的国家体育馆“鸟巢”的设计图上，“鸟巢” 的长轴为 6.646 cm，则长轴的实质长度为()A． 332.3 m B ． 330 m C ． 332.5 m D ． 323.3 m4．△ABC的三边之比为3∶ 4∶ 5，与其相像的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是()A． 5 cm B．10 cm C．15 cm D．30 cm5．在以下四组线段中，成比率线段的是()A． 3 cm,4 cm,5 cm,6 cmB． 4 cm,8 cm,3 cm,5 cmC． 5 cm,15 cm,2 cm,6 cmD． 8 cm,4 cm,1 cm,3 cm6．已知正方形ABCD的面积为 9 cm2，正方形ABCD的面积为 16 cm2，则两个正方形边长的相像比为 ________．7．在某一时辰，物体的高度与它的影长成比率，同一时辰有人测得一古塔在地面上的影长为 100 m，同时高为 2 m 的测竿，其影长为 5 m，那么古塔的高为多少？8．两个相像的五边形的对应边的比为1∶ 2，此中一个五边形的最短边长为 3 cm，则另一个五边形的最短边长为()A． 6 cm B ． 1.5 cmC． 6 cm 或 1.5 cm D．3 cm或6 cm9． ( 中考改编 ) 如图 27- 1- 5，在长为 8 cm、宽为 4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形 ( 图中暗影部分 ) 与原矩形相像，求留下矩形的面积．图27- 1-510．北京国际数学家大会的会标如图27- 1- 6 所示，它是由四个同样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．(1)试说明大正方形与小正方形能否相像？(2)若大正方形的面积为 13，每个直角三角形两直角边的和是 5，求大正方形与小正方形的相像比．图27- 1- 627． 2相像三角形第 1 课时相像三角形的判断1．已知△ABC∽△ DEF，∠ A＝80°，∠ B＝20°，那么△DEF 的各角的度数分别是______________．OD2．如图 27-2-11，直线CD∥EF，若OE＝7，CE＝ 4，则＝____________.OF图 27- 2- 113．已知△ABC∽△A′B′C′，假如AC＝ 6，A′C′＝ 2.4 ，那么△A′B′C′与△ABC的相像比为 ________．4．如图 27- 2- 12，若∠ BAD ＝∠ CAE ，∠ E ＝∠ C ，则 ________∽ ________.图 27- 2- 125．如图 27- 2- 13， DE ∥FG ∥ BC ，图中共有相像三角形 ( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对图 27- 2- 136．在△ ABC 和△ A ′ B ′ C ′中，有以下条件：AB BC BC AC① A ′ B ′＝ B ′ C ′；② B ′ C ′ ＝ A ′ C ′ ；③∠ A ＝∠ A ′；④∠ C ＝∠ C ′ .假如从中任取两个条件构成一组，那么能判断△ ABC ∽△ A ′ B ′C ′的共有 ( )A ．1组 B．2组 C ．3组 D ．4组7．如图 27-22- 14，∠ BAC ＝ 90°， AD ⊥ BC 于点 D ，求证： AD ＝CD · BD .图 27- 2- 148．已知线段 AB ，CD 订交于点 O ， AO ＝ 3， OB ＝ 6， CO ＝ 2，则当 CD ＝ ________时， AC ∥BD .9．如图 27- 2- 15，已知△ ABC ，延伸 BC 到点 D ，使 CD ＝ BC . 取 AB 的中点 F ，连结 FD交 AC 于点 E .(1) 求AE的值；AC(2) 若 AB ＝ a ， FB ＝ EC ，求 AC 的长．图 27- 2- 1510．如图 27- 2-16，在 Rt △中，∠ ＝ 90°，＝8，＝6. 若动点D从点B出发，ABC A AB AC沿线段 BA运动到点 A 为止，运动速度为每秒2 个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点 D运动的时间为x 秒， AE的长为 y.(1) 求出y对于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)求出△ BDE的面积 S与 x 之间的函数关系式；(3)当 x 为什么值时，△ BDE的面积 S 有最大值，最大值为多少？图 27- 2- 16第 2 课时相像三角形的性质及其应用举例1．已知平行四边形ABCD与平行四边形A′ B′ C′D′相像， AB＝3，对应边 A′ B′＝4，若平行四边形ABCD的面积为18，则平行四边形A′ B′ C′ D′的面积为() 2781A.2B. 8 C．24D．322．若把△ABC的各边长分别扩大为本来的 5 倍，获得△A′B′C′，则以下结论不行能建立的是 ()A．△ABC∽△A′B′C′1B ．△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′的相像比为 6C ．△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′的各对应角相等1D ．△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′的相像比为 53．如图 27- 2- 24，球从 A 处射出，经球台边挡板CD 反射到 B ，已知 AC ＝ 10 cm ，BD＝15 cm ， ＝ 50 cm ，则点 E 距离点 ()CD C图 27- 2- 24A ． 40 cmB ． 30 cmC ． 20 cmD ． 10 cm 4．已知△ ABC 和△ DEF 相像且对应中线的比为 3∶ 4，则△ ABC 和△ DEF 的周长比为____________．5．高为 3 米的木箱在地面上的影长为 12 米，此时测得一建筑物在水面上的影长为36米，则该建筑物的高度为 ______米．6．如图 27- 2-25，在等腰梯形ABCD 中， AD ∥CB ，且 AD ＝ 1BC ，E 为 AD 上一点，ACS2与 BE 交于点 F ，若 AE ∶ DE ＝2∶ 1，则△ AEF＝ ________.S △ CBF图 27- 2-257．如图 27- 2- 26，直立在 B 处的标杆 AB ＝2.4 m ，直立在 F 处的观察者从 E 处看到标 杆顶 、树顶 C在同一条直线上 ( 点 ， ， 也在同一条直线上 ) ．已知 ＝ 8 m ， ＝2.5 m ，A FB DBD FB人高 EF ＝ 1.5 m ，求树高 CD .图 27- 2- 268．如图 27- 2- 27 是丈量旗杆的方法， 已知 AB 是标杆， BC 表示 AB 在太阳光下的影子，以下表达错误的选项是()wordB．只需丈量出标杆和旗杆的影长便可计算出旗杆的高C．能够利用△ABC∽△ EDB，来计算旗杆的高D．需要丈量出AB， BC和 DB的长，才能计算出旗杆的高9．如图 27- 2- 28，在 ? ABCD中，E是CD的延伸线上一点，BE与 AD交于点 F， DE＝12CD.(1)求证：△ ABF∽△ CEB；(2)若△ DEF的面积为2，求? ABCD的面积．图 27- 2- 2810． (2011 年广东中考改编) 如图 27- 2- 29(1) ，将一个正六边形各边延伸，构成一个正六角星形 AFBDCE，它的面积为1；(1) 取△ABC和△DEF各边中点，连结成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图27- 2-29(2) 中暗影部分，求正六角星形 A F B DCE 的面积；111111(2) 取△ 1 1 1和△1 1 1 各边中点，连结成正六角星形222222，如图27-2- 29(3)AB C DEF AFBDCE 的面积.AFBDCE中暗影部分，求正六角星形222222(3) 取△ 2 2 2和△ 2 2 2 各边中点，连结成正六角星形 3 3 3 3 3 3，依此法进行下去，A B C DE F AFBDCE试推断正六角星形A n F n B n D n.E n的面积.图 27- 2- 2927．3位似1．以下说法正确的选项是()A．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行B．两个位似图形的面积比等于相像比C．位似多边形中对应付角线之比等于相像比D．位似图形的周长之比等于相像比的平方2．如图 27- 3- 9，△DEF是由△ABC经过位似变换获得的，点O是位似中心， D，E，F 分别是 OA， OB， OC的中点，则△ DEF与△ ABC的面积比是()A．1∶2 B．1∶4 C ．1∶5 D．1∶6图27- 3- 9图 27- 3- 10 3．如图27-3-10，五边形和五边形 1 1 1 1 1是位似图形，且1＝2，则∶ABCDE ABCDE PA3PA AB A1B1＝()A.2335B. C.5D. 3234．已知△ABC和△A′B′C′是位似图形，△A′ B′ C′的面积为6 cm2，周长是△ABC 的一半， AB＝8 cm，则 AB边上高等于()A． 3 cm B ． 6 cmC． 9 cm D ． 12 cm5．如图 27- 3-11，点O是AC与BD的交点，则△ABO与△CDO________是位似图形 ( 填“必定”或“不必定”) ．图 27- 3- 116．如图 27- 3-12，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且相像比为1若五边形的面积为17 cm2,周长为 20 cm，那么五边形′ ′ ′ ′ ′的面积为.2ABCDE ABCDE________，周长为 ________．图 27- 3- 127．已知，如图27-3- 13，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A＝4∶ 3，则△ABC 与 ________ 是位似图形，位似比为________ ；△OAB与 ________ 是位似图形，位似比为________．图 27- 3- 138．如图 27- 3- 14，电影胶片上每一个图片的规格为 3.5 cm ×3.5 cm ，放映屏幕的规格为 2 m× 2 m；若放映机的光源S距胶片20 cm，那么光源S 距屏幕________米时，放映的图象恰好充满整个屏幕．图 27- 3- 149．如图 27- 3- 15，在 6× 8 的网格图中，每个小正方形边长均为 1，点O和△ABC的极点均为小正方形的极点．(1)以 O为位似中心，在网格图中作△ A′ B′C′，使△ A′ B′ C′和△ ABC位似，且位似比为 1∶2；(2)连结 (1) 中的AA′，求四边形AA′C′C的周长 ( 结果保存根号 ) ．图 27- 3- 1510．某第一版社的一位编写在设计一本书的封面时，想把封面区分为四个矩形，此中左上角的矩形与右下角的矩形位似 ( 如图 27- 3- 16) ，以给人一种和睦的感觉，这样的两个位似矩形该如何画出来？该编写以为只需 A，P， C三点共线，那么这两个矩形必定是位似图形，你以为他的说法对吗？请说明原因．图 27- 3- 16第二十七章 相 似 27． 1 图形的相像 【课后稳固提高】1． A 2.C 3.A 4.C 5.C6． 3∶4x 27．解：设古塔的高为x ，则 100＝5，解得 x ＝ 40. 故古塔的高为 40 m. 8． C 分析：分两种状况考虑：① 3 为小五边形的最短边长；② 3 为大五边形的最短边长．9．解：由图可知：留下的矩形的长为 4 cm ，宽可设为 x ，利用相像图形的性质，得8＝ 4，即 x ＝ 2. 4 x 2所以留下矩形的面积是 4× 2＝ 8(cm ) ．10．解： (1) 由于正方形的四条边都相等，四个角都是直角，所以大正方形和小正方形相像．(2) 设直角三角形的较长直角边长为 a ，较短的直角边长为 b ，则小正方形的边长为 a －b .a 2＋b 2＝ 13， ①所以a ＋b ＝ 5. ②把②平方，得 ( ＋ ) 2＝ 25，即 a 2＋2 ＋ 2＝ 25③.abab b所以③－①，得 2ab ＝ 12，即 ab ＝ 6.由于 ( a － b ) 2＝ a 2－ 2ab ＋ b 2＝ 13－12＝ 1，所以小正方形的面积为 1，边长为 1.又由于大正方形的面积为13，则其边长为13，所以大正方形与小正方形的相像比为13∶ 1.27． 2 相像三角形第 1 课时 相像三角形的判断【课后稳固提高】1．∠ D ＝ 80°，∠ E ＝ 20°，∠ F ＝80°32.3.2 ∶574．△ ABC △ ADE5． B 分析：△ ADE ∽△ AFG ，△ ADE ∽△ ABC ，△ AFG ∽△ ABC . 6． C 分析：①②，②④，③④都能△ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′ . 7．证明：∵ AD ⊥ BC ，∴∠ ADC ＝∠ ADB ＝ 90° . ∴∠ C ＋∠ CAD ＝90° .又∵∠ BAC ＝ 90°，∴∠ C ＋∠ B ＝ 90° . ∴∠ B ＝∠ CAD .∴△ ADC ∽△ BDA .∴ AD BD2＝，即 AD ＝ CD · BD .CD AD8． 6 分析：∵ AC ∥ BD ，∴△ AOC ∽△ BOD .∴CO AO ＝ . ∴DO ＝ 4. ∴CD ＝ 6.DO BO9．解： (1) 过点 C 作 CG ∥AB ，交 DF 于点 G . ∵点 C 为 BD 的中点，1 1∴点 G 为 DF 的中点， CG ＝ BF ＝ AF .2 2∵ ∥ ，∴△∽△.CG AB AEFCEG∴ AE AF＝＝ 2.CE CGAEAE2CE 2∴ AE ＝2CE . ∴ ＝＋ ＝2 ＋ ＝ 3.AC AE CE CE CE11(2) ∵ AB ＝ a ，∴ FB ＝ 2AB ＝2a .1 又∵ FB ＝ EC ，∴ EC ＝ 2a .3 ∴ AC ＝3EC ＝ 2a .10．解： (1) ∵ DE ∥ BC ， ∴△ ADE ∽△ ABC .AD AE∴＝.AB AC又∵ AD ＝ 8－ 2x ， AB ＝ 8，AE ＝ y ，AC ＝ 6，8－ 2x y∴＝ .863∴ y ＝－ 2x ＋ 6.自变量 x 的取值范围为0≤ x ≤ 4.(2) S ＝1BD · AE ＝1· 2x · y ＝－ 3x 2＋6x .222 (3) S ＝－ 3x 2＋ 6x ＝－ 3( x －2) 2＋ 6.2 2∴当 x ＝ 2 时， S 有最大值，且最大值为6.第 2 课时 相像三角形的性质及其应用举例【课后稳固提高】1． D 2.B 3.C14． 3∶4 5.96. 97．解法一：如图 D57，过点 E 作 EG ⊥ CD ，交 CD 于点 G ，交 AB 于点H . 图 D57由于 AB ⊥ FD ， CD ⊥ FD ，所以四边形 EFBH 、 EFDG 是矩形．所以 EF ＝ HB ＝ GD ＝ 1.5 ，EH ＝ FB ＝2.5 ， AH ＝ AB － HB ＝ 2.4 － 1.5 ＝0.9 ， CG ＝ CD － GD ＝ CD － 1.5 ，EG ＝ FD ＝ FB ＋ BD ＝ 2.5 ＋ 8＝ 10.5. 由于 AB ∥ CD ，所以△ EHA ∽△ EGC .EH AH所以＝，EG CG即 CG ＝ AH · EG 0.9 × 10.5EH ＝2.5＝ 3.78. 所以 CD ＝ CG ＋ GD ＝ 3.78 ＋1.5 ＝ 5.28 ， 故树高 CD 为 5.28 m.解法二：如图 D58，延伸 CE ，交 DF 的延伸线于点 P .图 D58设 PF ＝ x ，由于 EF ∥ AB ， 所以△ PEF ∽△ PAB .所以PF EF＝，PB ABx 1.525 25即x ＋ 2.5 ＝ 2.4 ，解得 x ＝ 6 ，即 PF ＝ 6 .由于 EF ∥ CD ，所以△ PFE ∽△ PDC . 所以PF EFPFEF＝，即＝，PD CDPF ＋FB ＋ BD CD2561.525＝ CD . 解得 CD ＝ 5.28.＋ 2.5 ＋86故树高 CD 为 5.28 m.8． B9． (1) 证明：∵ AB ∥ CE ，∴∠ ABF ＝∠ E . ∵四边形 ABCD 为平行四边形，∠ A ＝∠ C ， ∴△ ABF ∽△ CEB .1 1 (2) 解：∵ DE ＝2CD ，∴ DE ＝ 3EC . 由 DF ∥ BC ，得△ EFD ∽△ EBC .△ EFDDE 2 ＝ 1 21∴ S＝EC＝ .S39△ EBC∴ S △ EBC ＝ 9S △ EFD ＝9× 2＝ 18.S 四边形 BCDF ＝ S △ EBC －S △EFD ＝ 18－ 2＝ 16. 由 AB ∥ DE ，得△ ABF ∽△ DEF .△ DEF DE 21 S∴＝AB ＝ . ∴ S △ ABF ＝4S △ DEF ＝4× 2＝ 8.△ ABF4S∴ S 四边形 ABCD ＝ S △ABF ＋ S 四边形 BCDF ＝ 8＋16＝ 24.10．解： (1) ∵正六角星形 A 1F 1B 1D 1C 1E 1 是取△ ABC 和△ DEF 各边中点构成的，∴正六角星形 AFBDCE ∽正六角星形 A 1F 1B 1D 1C 1E 1，且相像比为 2∶1.S正六角星形 AFBDCE12∴＝＝ 2 .S正六角星形 A F BD C ES正六角星形 A FB D C E11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1∴S正六角星形 A 1F 1 B 1D 1C 1E 1 ＝4.(2) 同 (1) ，得S正六角星形 AF B D C E1 1 1 1 11＝4，S正六角星形 A F B D C E22 2 2 2 21 ∴S正六角星形 A 2 F 2 B 2 D 2C 2E 2＝16.(3) S 正六角星形1＝ .A n F nB n D nC n E nn427． 3 位 似 【课后稳固提高】171． C 2.B 3.B 4.B5. 不必定6. 4 107．△′′′ 7∶4 △ ′′ 7∶4A BCOA B803.5 × 3.5202808. 7 分析：设光源距屏 x米，则2× 102× 2× 102＝x × 102 ，解得 x ＝ 7 .9．解： (1) 如图 D63.图 D63(2) AA ′＝ CC ′＝ 2.在 Rt △ OA ′ C 中， OA ′＝ OC ＝ 2，得 A ′ C ＝2 2， 于是 AC ′＝ 42.∴四边形 AA ′ C ′ C 的周长＝ 4＋ 6 2.10．解：对的．如图 D64，作对角线 AC ，在 AC 上依据需要取一点 P ，过点 P 作 EF ∥ BC ，作 GH ∥ AB ，则矩形 AEPG 和矩形 CFPH 就是两个位似的图形．图 D64矩形 AEPG 和矩形 CFPH 的每个内角都是直角，又由 AE ∥ FC ， AG ∥ CH ，可得EP AE AP PG GA APEP AE PG GA＝＝，＝＝，于是＝＝ ＝ .PF CF CP PH HC CP PF CF PH HC所以矩形 AEPG ∽矩形 CFPH ，并且这两个矩形的对应点的连线交于 P 点，所以矩形 AEPG位似于矩形 CFPH ，位似中心是点 P .。
第27章相似单元测试卷及解析
第27章相似单元测试卷及解析(时间45分钟，满分100分)一．选择题(每题４分，共24分)1．用一个2倍的放大镜照一个ΔABC，下列命题中正确的是（）A.ΔABC放大后角是原来的2倍B.ΔABC放大后周长是原来的2倍C.ΔABC放大后面积是原来的2倍D.以上的命题都不对2．如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m，则她的影长为（）．A．1.3m B．1.65m C．1.75m D．1.8m3( )A．2对B．3对C．4对D．5对4．如图，△ABC中，∠B=900，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C´处，并且C´D∥BC，则CD的长是( )Ａ．409Ｂ．509Ｃ．154Ｄ．2545．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在( )A．P1处B．P2处C．P3处D．P4处6．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且14CF CD=，下列结论：①30BAE∠=，②A B E A E F△∽△，③A E E F⊥，④A D F E C F△∽△．其中正确的个数为（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4二．填空题(每题４分，共２4分)7．有一张比例尺为1∶4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm，面积是250cm2，则这个地区的实际周长_________m，面积是___________m28．如图，在Ｒt△ABC中,∠C=90°,点D是AB边上的一定点,点E是AC上的一个动点,若再增加一个条件就能使△ADE与△ABC相似,则这个条件可以是________________________.9．在平面直角坐标系中，已知A(6，3)、B(10，0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为13，把线段AB缩小后得到线段A/B/，则A/B/的长度等于____________．10．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是______________.11．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．12．某学习小组在讨论“变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是位似图形(如图).则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点是____________________.三．解答题(每题10分，共40分)13．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心点0；(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比；(3)以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．ODCBAPAB CFDEDC BA(第5题) (第6题)(第3题)(第4题)C(第8题) (第10题)(第10题)14．在ABC △和DEF △中，90A D ==∠∠，3AB DE ==，24AC DF ==． （1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？ （2）能否分别过A D ，在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC △分割成的两个三角形与DEF △分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．15．如图，已知⊙O 的弦CD 垂直于直径AB ，点E 在CD 上，且EC = EB .（1）求证：△CEB ∽△CBD ；（2）若CE = 3，CB=5 ，求DE 的长.16．如图，把菱形ABCD 沿着BD 的方向平移到菱形A /B /C /D /′的位置， (1)求证：重叠部分的四边形B /EDF /是菱形(2)若重叠部分的四边形B /EDF /面积是把菱形ABCD 面积的一半,且BD=2，求则此菱形移动的距离．四． 探究题： （12分）17．如图，在Rt ABC △中，90C =∠，12BC AC ==，，把边长分别为123n x x x x ，，，，的n 个正方形依次放入ABC △中，请回答下列问题：（1n 1 2 3 n x（2）第n 个正方形的边长n；（3）若m n p q ，，，是正整数，且m n p q x x x x =，试判断m n p q ，，，的关系．AB DF F E /CB/A/DB BC A2x3x1x答案或提示１．B ２．C ３．C ４．A ５．C ６．B ７．2400，4⨯1058．∠AED=90°, ∠ADE=90°,AE ∶AC=AD ∶AB,AE ∶AB=AD ∶AC 9．5310．78 11．22.5 12．(-2a,-2b) 13．(1)提示：位似中心在各组对应点连线的交点处．(2)位似比为1：2．(3)略． 14．（1）不相似．∵在Rt BAC △中，90A ∠=°，34AB AC ==，；在Rt EDF △中，90D ∠=°，32DE DF ==，，12AB AC DE DF ==∴，．AB ACDE DF≠∴．Rt BAC ∴△与Rt EDF △不相似． （2）能作如图所示的辅助线进行分割．NM FE DC BA具体作法：作BAM E ∠=∠，交BC 于M ；作NDE B ∠=∠，交EF 于N ．由作法和已知条件可知BAM DEN △≌△．BAM E ∠=∠∵，NDE B ∠=∠，AMC BAM B ∠=∠+∠，FND E NDE ∠=∠+∠， AMC FND ∠=∠∴．90FDN NDE ∠=-∠∵°，90C B ∠=-∠°，FDN C ∠=∠∴． ∴AMC FND △∽△．15．（1）证明：∵弦CD 垂直于直径AB ∴BC=BD ∴∠C =∠D 又∵EC = EB ∴∠C =∠CBE ∴∠D =∠CBE 又∵∠C =∠C ∴△CEB ∽△CBD（2）解：∵△CEB ∽△CBD ∴CE CB CB CD=∴CD=2252533CB CE == ∴DE = CD －CE =253－3 =163 16．(1)有平移的特征知A ´B ´∥AB,又CD ∥AB ∴A ´B ´∥CD,同理B ´C ´∥AD ∴四边形BEDF 为平行四边形∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB=AD ∴∠ABD=∠ADB 又∠A ´B ´D=∠ABD ∴∠A ´B ´D=∠ADB ∴FB ´=FD∴四边形B ´EDF 为菱形.(2)∵菱形B ´EDF 与菱形ABCD 有一个公共角 ∴此两个菱形对应角相等 又对应边成比例∴此两个菱形相似∴B D BD '=∴1B D '== ∴平移的距离BB ´=BD –B ´117．（1）2483927，， （2）23n⎛⎫⎪⎝⎭．（3）m n p q x x x x = 22223333m n p q⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2233m np q++⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．m n p q ∴+=+。
第27章相似测试题
第27章 相似单元达标检测试卷形；④如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，则这两个图形是位似图形；⑤邻边之比都等于2的两个平行四边形相似。
正确的有（ ）个。
A ．4 B ． 3 C ． 2 D ．12．两个相似三角形的面积比为1：4，则它们对应的中线的比为（ ）A ．1：2B ．2：1C ．1：2D ． 2：13．已知△ABC ∽△A′B′C′，AB=12cm ，AC=15cm ， A′B′=16cm ，则A′C′等于（ ） A ．18cm B ．20cm C ．24cm D ．32cm4．有一个多边形的各边长分别为4cm ，5cm ，6cm ，4cm ，5cm ，和它相似的另一个多边形的最长边为9cm ，则这个多边形的周长是（ ）A ．12cmB ．18cmC ．36cmD ．48cm 5．下列四个三角形,与右图中的三角形相似的是()6．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有（ ）A ．△ADE ∽△ECFB ．△ECF ∽△AEFC ．△ADE ∽△AEFD ．△AEF ∽△ABF 7．如图，线段AC ，BD 交于点O ，由下列条件，不能得出△AOB 与△DOC 相似的是（ ） A ．OB ：OC=OA ：ODB ．OA ：OB=OD ：OC C ．OA ：OD=AB ：CD D ．AB ∥CDE 第6题 第7题 第8题 第9题 8．若P 是Rt △ABC 的斜边AB 上异于B ，A 的一点，过点P 作直线截△ABC ，截得的三角形与原△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条9．□ABCD 中，E 是边BC 延长线上一点，连接AE ，图中共有相似三角形（ ）对。
A ．4 B ．5 C ． 6 D ．710．如图，在△ABC 中，AD 、BE 是两条中线，则S △EDC ∶S △ABC =( ) A 、1∶2 B 、2∶3 C 、1∶3 D 、1∶4 11、在斜坡的顶部有一铁塔，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=14m ，塔影长DE=36m ，小惠和小岚的身高都是1.6m ，同一时刻，小惠站在点E 处，影子在坡面上，小岚站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别是2m 和1m ，那么塔高AB 为（ ）m 。
九年级数学下册-第二十七章-相似测试题-(新版)新人教版
第二十七章相似测试题1．如图2714所示的四个QQ头像，它们( )图2714A．形状都相同，大小都不相等B．(1)与(4)，(2)与(3)形状相同，四个不完全相同C．四个形状都不相同D．不能确定2．下列图形不是相似图形的是( )A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有放大过程中原有图案和放大图案C．某人的侧身照片和正面照片D．大小不同的两张中国地图3．在比例尺为1∶5000的国家体育馆“鸟巢”的设计图上，“鸟巢”的长轴为6.646 cm，则长轴的实际长度为( )A．332.3 m B．330 m C．332.5 m D．323.3 m4．△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是( )A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．30 cm5．在下列四组线段中，成比例线段的是( )A．3 cm,4 cm,5 cm,6 cmB．4 cm,8 cm,3 cm,5 cmC．5 cm,15 cm,2 cm,6 cmD．8 cm,4 cm,1 cm,3 cm6．已知正方形ABCD的面积为9 cm2，正方形ABCD的面积为16 cm2，则两个正方形边长的相似比为________．7．在某一时刻，物体的高度与它的影长成比例，同一时刻有人测得一古塔在地面上的影长为100 m，同时高为2 m的测竿，其影长为5 m，那么古塔的高为多少？8．两个相似的五边形的对应边的比为1∶2，其中一个五边形的最短边长为3 cm，则另一个五边形的最短边长为( )A．6 cm B．1.5 cmC．6 cm或1.5 cm D．3 cm或6 cm9．(中考改编)如图2715，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，求留下矩形的面积．图271510．北京国际数学家大会的会标如图2716所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．(1)试说明大正方形与小正方形是否相似？(2)若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求大正方形与小正方形的相似比．图271627．2 相似三角形第1课时相似三角形的判定1．已知△ABC∽△DEF，∠A＝80°，∠B＝20°，那么△DEF的各角的度数分别是______________．2．如图27211，直线CD∥EF，若OE＝7，CE＝4，则ODOF＝____________.图272113．已知△ABC∽△A′B′C′，如果AC＝6，A′C′＝2.4，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为________．4．如图27212，若∠BAD ＝∠CAE ，∠E ＝∠C ，则________∽________.图272125．如图27213，DE ∥FG ∥BC ，图中共有相似三角形( ) A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对图272136．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，有下列条件： ①AB A ′B ′＝BC B ′C ′；②BC B ′C ′＝ACA ′C ′；③∠A ＝∠A ′；④∠C ＝∠C ′. 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组7．如图27214，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，求证：AD 2＝CD ·BD .图272148．已知线段AB ，CD 相交于点O ，AO ＝3，OB ＝6，CO ＝2，则当CD ＝________时，AC ∥BD .9．如图27215，已知△ABC ，延长BC 到点D ，使CD ＝BC .取AB 的中点F ，连接FD 交AC 于点E .(1)求AE AC的值；(2)若AB ＝a ，FB ＝EC ，求AC 的长．图2721510．如图27216，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式；(3)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？图27216第2课时相似三角形的性质及其应用举例1．已知平行四边形ABCD与平行四边形A′B′C′D′相似，AB＝3，对应边A′B′＝4，若平行四边形ABCD的面积为18，则平行四边形A′B′C′D′的面积为( )A.272B.818C．24 D．322．若把△ABC的各边长分别扩大为原来的5倍，得到△A′B′C′，则下列结论不可能成立的是( )A．△ABC∽△A′B′C′B ．△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为16C ．△ABC 与△A ′B ′C ′的各对应角相等D ．△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为153．如图27224，球从A 处射出，经球台边挡板CD 反射到B ，已知AC ＝10 cm ，BD ＝15 cm ，CD ＝50 cm ，则点E 距离点C ( )图27224A ．40 cmB ．30 cmC ．20 cmD ．10 cm4．已知△ABC 和△DEF 相似且对应中线的比为3∶4，则△ABC 和△DEF 的周长比为____________．5．高为3米的木箱在地面上的影长为12米，此时测得一建筑物在水面上的影长为36米，则该建筑物的高度为______米．6．如图27225，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥CB ，且AD ＝12BC ，E 为AD 上一点，AC 与BE 交于点F ，若AE ∶DE ＝2∶1，则S △AEFS △CBF＝________.图272257．如图27226，直立在B 处的标杆AB ＝2.4 m ，直立在F 处的观测者从E 处看到标杆顶A 、树顶C 在同一条直线上(点F ，B ，D 也在同一条直线上)．已知BD ＝8 m ，FB ＝2.5 m ，人高EF ＝1.5 m ，求树高CD .图272268．如图27227是测量旗杆的方法，已知AB 是标杆，BC 表示AB 在太阳光下的影子，下列叙述错误的是( )图27227A ．可以利用在同一时刻，不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高B ．只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高C ．可以利用△ABC ∽△EDB ，来计算旗杆的高D ．需要测量出AB ，BC 和DB 的长，才能计算出旗杆的高9．如图27228，在▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝ 12CD . (1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．图2722810．(2011年广东中考改编)如图27229(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1；(1)取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图27229(2)中阴影部分，求正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1的面积；(2)取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图27229(3)中阴影部分，求正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2的面积.(3) 取△A 2B 2C 2和△D 2E 2F 2各边中点，连接成正六角星形A 3F 3B 3D 3C 3E 3，依此法进行下去，试推测正六角星形A n F n B n D n C n E n 的面积.图2722927．3 位 似1．下列说法正确的是( )A ．位似图形中每组对应点所在的直线必互相平行B ．两个位似图形的面积比等于相似比C ．位似多边形中对应对角线之比等于相似比D ．位似图形的周长之比等于相似比的平方2．如图2739，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是( )A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶6图2739 图273103．如图27310，五边形ABCDE 和五边形A 1B 1C 1D 1E 1是位似图形，且PA 1＝23PA ，则AB ∶A 1B 1＝( )A.23B.32C.35D.534．已知△ABC 和△A ′B ′C ′是位似图形，△A ′B ′C ′的面积为6 cm 2，周长是△ABC 的一半，AB ＝8 cm ，则AB 边上高等于( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm 5．如图27311，点O 是AC 与BD 的交点，则△ABO 与△CDO ________是位似图形(填“一定”或“不一定”)．图273116．如图27312，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，且相似比为12.若五边形ABCDE 的面积为17 cm 2,周长为20 cm ，那么五边形A ′B ′C ′D ′E ′的面积为________，周长为________．图273127．已知，如图27313，A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，且OA ′∶A ′A ＝4∶3，则△ABC 与________是位似图形，位似比为________；△OAB 与________是位似图形，位似比为________．图273138．如图27314，电影胶片上每一个图片的规格为3.5 cm×3.5 cm，放映屏幕的规格为2 m×2 m；若放映机的光源S 距胶片20 cm ，那么光源S 距屏幕________米时，放映的图象刚好布满整个屏幕．图273149．如图27315，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA ′，求四边形AA ′C ′C 的周长(结果保留根号)．图2731510．某出版社的一位编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分为四个矩形，其中左上角的矩形与右下角的矩形位似(如图27316)，以给人一种和谐的感觉，这样的两个位似矩形该怎样画出来？该编辑认为只要A，P，C三点共线，那么这两个矩形一定是位似图形，你认为他的说法对吗？请说明理由．图27316第二十七章 相 似 27．1 图形的相似 【课后巩固提升】1．A 2.C 3.A 4.C 5.C 6．3∶47．解：设古塔的高为x ，则x100＝25，解得x ＝40.故古塔的高为40 m. 8．C 解析：分两种情况考虑：①3为小五边形的最短边长；②3为大五边形的最短边长．9．解：由图可知：留下的矩形的长为4 cm ，宽可设为x ，利用相似图形的性质，得84＝4x，即x ＝2.所以留下矩形的面积是4×2＝8(cm 2)．10．解：(1)因为正方形的四条边都相等，四个角都是直角，所以大正方形和小正方形相似．(2)设直角三角形的较长直角边长为a ，较短的直角边长为b ，则小正方形的边长为a －b .所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝13， ①a ＋b ＝5. ②把②平方，得(a ＋b )2＝25，即a 2＋2ab ＋b 2＝25③. 所以③－①，得2ab ＝12，即ab ＝6.因为(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2＝13－12＝1，所以小正方形的面积为1，边长为1.又因为大正方形的面积为13，则其边长为13，所以大正方形与小正方形的相似比为13∶1.27．2 相似三角形第1课时 相似三角形的判定 【课后巩固提升】1．∠D ＝80°，∠E ＝20°，∠F ＝80° 2.373.2∶5 4．△ABC △ADE5．B 解析：△ADE ∽△AFG ，△ADE ∽△ABC ，△AFG ∽△ABC . 6．C 解析：①②，②④，③④都能△ABC ∽△A ′B ′C ′. 7．证明：∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°. ∴∠C ＋∠CAD ＝90°.又∵∠BAC ＝90°，∴∠C ＋∠B ＝90°. ∴∠B ＝∠CAD .∴△ADC ∽△BDA . ∴AD CD ＝BD AD，即AD 2＝CD ·BD .8．6 解析：∵AC ∥BD ，∴△AOC ∽△BOD .∴CO DO ＝AO BO.∴DO ＝4.∴CD ＝6. 9．解：(1)过点C 作CG ∥AB ，交DF 于点G . ∵点C 为BD 的中点，∴点G 为DF 的中点，CG ＝12BF ＝12AF .∵CG ∥AB ，∴△AEF ∽△CEG . ∴AE CE ＝AF CG＝2.∴AE ＝2CE .∴AE AC ＝AE AE ＋CE ＝2CE 2CE ＋CE ＝23. (2)∵AB ＝a ，∴FB ＝12AB ＝12a . 又∵FB ＝EC ，∴EC ＝12a . ∴AC ＝3EC ＝32a . 10．解：(1)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∴AD AB ＝AE AC. 又∵AD ＝8－2x ，AB ＝8，AE ＝y ，AC ＝6，∴8－2x 8＝y 6. ∴y ＝－32x ＋6. 自变量x 的取值范围为0≤x ≤4.(2)S ＝12BD ·AE ＝12·2x ·y ＝－32x 2＋6x . (3)S ＝－32x 2＋6x ＝－32(x －2)2＋6. ∴当x ＝2时，S 有最大值，且最大值为6.第2课时 相似三角形的性质及其应用举例【课后巩固提升】1．D 2.B 3.C4．3∶4 5.9 6.197．解法一：如图D57，过点E 作EG ⊥CD ，交CD 于点G ，交AB 于点H .图D57因为AB ⊥FD ，CD ⊥FD ，所以四边形EFBH 、EFDG 是矩形．所以EF ＝HB ＝GD ＝1.5，EH ＝FB ＝2.5，AH ＝AB －HB ＝2.4－1.5＝0.9，CG ＝CD －GD ＝CD －1.5，EG ＝FD ＝FB ＋BD ＝2.5＋8＝10.5.因为AB ∥CD ，所以△EHA ∽△EGC .所以EH EG ＝AH CG，即CG ＝AH ·EG EH ＝0.9×10.52.5＝3.78. 所以CD ＝CG ＋GD ＝3.78＋1.5＝5.28，故树高CD 为5.28 m.解法二：如图D58，延长CE ，交DF 的延长线于点P.图D58设PF ＝x ，因为EF ∥AB ，所以△PEF ∽△PAB .所以PF PB ＝EF AB ，即x x ＋2.5＝1.52.4，解得x ＝256，即PF ＝256. 因为EF ∥CD ，所以△PFE ∽△PDC .所以PF PD ＝EF CD ，即PF PF ＋FB ＋BD ＝EF CD， 256256＋2.5＋8＝1.5CD .解得CD ＝5.28. 故树高CD 为5.28 m.8．B9．(1)证明：∵AB ∥CE ，∴∠ABF ＝∠E .∵四边形ABCD 为平行四边形，∠A ＝∠C ，∴△ABF ∽△CEB .(2)解：∵DE ＝12CD ，∴DE ＝13EC . 由DF ∥BC ，得△EFD ∽△EBC .∴S △EFD S △EBC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE EC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19. ∴S △EBC ＝9S △EFD ＝9×2＝18.S 四边形BCDF ＝S △EBC －S △EFD ＝18－2＝16.由AB ∥DE ，得△ABF ∽△DEF .∴S △DEF S △ABF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE AB 2＝14.∴S △ABF ＝4S △DEF ＝4×2＝8. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABF ＋S 四边形BCDF ＝8＋16＝24.10．解：(1)∵正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1是取△ABC 和△DEF 各边中点构成的， ∴正六角星形AFBDCE ∽正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，且相似比为2∶1. ∴111111AFBDCEA FB DC E S S 正六角星形正六角星形＝1111111A F BD CE S 正六角星形＝22. ∴111111A F B D C E S 正六角星形＝14. (2)同(1)，得111111222222A F B D C E A F B D C E S S 正六角星形正六角星形＝4，∴222222A F B D C E S 正六角星形＝116. (3)n n n n n n A F B D C E S 正六角星形＝14n .27．3 位 似【课后巩固提升】1．C 2.B 3.B 4.B 5.不一定 6.17410 7．△A ′B ′C ′ 7∶4 △OA ′B ′ 7∶48.807 解析：设光源距屏x 米，则 3.5×3.52×10×2×10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫20x ×1022，解得x ＝807. 9．解：(1)如图D63.图D63(2)AA ′＝CC ′＝2.在Rt △OA ′C 中，OA ′＝OC ＝2，得A ′C ＝2 2，于是AC ′＝4 2.∴四边形AA ′C ′C 的周长＝4＋6 2.10．解：对的．如图D64，作对角线AC ，在AC 上根据需要取一点P ，过点P 作EF ∥BC ，作GH ∥AB ，则矩形AEPG 和矩形CFPH 就是两个位似的图形．图D64矩形AEPG 和矩形CFPH 的每个内角都是直角，又由AE ∥FC ，AG ∥CH ，可得EP PF ＝AE CF ＝AP CP ，PG PH ＝GA HC ＝AP CP ，于是EP PF ＝AE CF ＝PG PH ＝GA HC. 所以矩形AEPG ∽矩形CFPH ，而且这两个矩形的对应点的连线交于P 点，因此矩形AEPG 位似于矩形CFPH ，位似中心是点P .。
第二十七章相似单元测试卷
BACDEF''AB CBCAP第二十七章 相似单元测试卷 姓名一、选择题1.ABC ∆和DEF ∆相似,且相似比为3,那么DEF ∆和ABC ∆的相似比为( )A.32B.23C.49D.942．如图所示，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( )A ．BC DEDB AD =B ．ADEFBC BF = C ．FC BF EC AE =D ．BCDEAB EF =3.下列说法正确的是( ) A.各有一个角是100 的两个等腰三角形相似; B.各有一个角是45 的两个等腰三角形相似 C.有两边对应成比例的两个等腰三角形相似; D.两腰对应成比例的两个等腰三角形相似4.下列四个三角形,与右图中的三角形相似的是( )A B C D 第4题 5.中午12点,身高为150cm 的小冰的影长为20cm ,同学小雪此时在同一地点的影长为22cm ,那么小雪的身高为( )A.150cmB.155cmC.160cmD.165cm6．如图所示，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于P 点，则下列结论正确的是( )A ．PA ·AB ＝PC ·PB B ．PA ·PB ＝PC ·PD C ．PA ·AB ＝PC ·CD D ． PA ∶PB ＝PC ∶PD7.如图,ACD ∆和ABC ∆相似需具备的条件是( ) A.AC AB CDBC= B.CD BC ADAC=C.2AC AD AB =⋅D.2CD AD BD =⋅ 第6题图8.如图,一张矩形报纸ABCD 的长AB a =,宽BC b =,E F 、分别是AB CD 、的中点,将这张报纸沿着直线EF 对折后,矩形AEFD 的长与宽的比等于矩形ABCD 的长与宽的比,则:a b 等于( )B.D.9、△ABC 中，D 是AB 上的一点，在AC 上取一点E ，使得以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则这样的点最多是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、无数第7题 第8题 第11题 第12题二、填空题10. 若两个相似多边形的对应边的比是5∶4，则这两个多边形的周长比是______．11. 如图,已知ACP ∆∽ABC ∆,4,2AC AP ==,则AB 的长为 . 12.在针孔成像问题中,根据图中尺寸可知像A B ''的长是物AB 长的___.13.如图,ABC ∆中,DE ∥FG ∥BC ,且::2:3:4AD DF FB =,则B::ADE DFGE FBCG S S S ∆=梯形梯形 .14.如图,点O 是正三角形PQR 的中心,P Q R '''、、分别是OP OQ OR 、、 的中点,则P Q R '''∆与PQR ∆是位似三角形,此时P Q R '''∆与PQR ∆的 位似中心是_____,位似比为______ 三、解答与证明15.如图,四边形ABCD 各顶点的坐标 分别为(2,6),(4,2),(6,2),(6,4)A B C D ,在第一象限内,画出以原点为位似中心,相似比为12的位似图形1111A B C D ,并写出各点坐标.16、如图；正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，BP=3PC ，Q 是CD 中点，求证：△ADQ ∽△QCP17、如图，已知AB//EF//CD 。
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1 (2010丹东)如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1︰2，若AB＝2cm，则A′B′＝
________cm，并在图中画出位似中心O
2（桂林）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，1）．（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1B1C1的坐标；（2）以原点O为位似中心，在原点另一侧画出△A2B2C2，
使
3 (2011深圳)如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD︰BE的值为() A．B．C．5︰3 D．不确定
4如图所示，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，若AC＝2，AD＝1，则DB＝________. 5［2010·山西中考］如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC 于点E，则DE的长是________．
6 (2010南充)如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E．(1)求证：△ABD∽△CED．(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长
7（2010·芜湖）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点P到CD的距离是2.7 m，则AB与CD间的距离是m.
8（2011深圳）如图所示，小正方形的边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是
9如图，在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，P是BC上一点，作PE⊥AB于E，PD⊥AC于D，设BP＝x，则PD＋PE等于（）．
A．B．C．D．
10（2012山东泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长是（）
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
11（2012上海）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，如果AE＝2，△ADE 的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么边AB的长为________．
12（2011，大连）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于（）
A．B． 1 C．D． 2
13如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；
③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB，其中能满足△APC和△ACB相似的条件是（）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③
14如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
15（2012山东威海）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0）、（8，2）、（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点坐标分别为（1，3）、（2，5）．若△ABC和△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为_______
16（2012随州）如图，点D，E分别在AB，AC上，且∠ABC＝∠AED．若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为________．
17如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，________．
18（2012海南）如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C．D．
19（2009·武汉）如图（1），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E.（1）求证：△ABF∽△COE；
（2）当O为AC边中点，时，如图（2），求的值；（3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值
20(2012年攀枝花)如图，△ABC≌△ADE且∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1＝∠2；②BC＝DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
21 (2012年大庆)如图所示，△ABC中，E、F、D分别是边AB、AC、BC上的点，且满足，则△EFD与△ABC的面积比为()
A．B．C．D．
22 [2012日照]如图，在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC＝2BE，则
的值是()
A．B．C．D．
23如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE∶CE＝2∶3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF∶S△BEF∶S△ABF＝（）．
A．4∶10∶25 B．4∶9∶25 C．2∶3∶5 D．2∶5∶25
24（2012岳阳）如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，且，DF∥BC，E为BD 的中点．若EF⊥AC，BC＝6，则四边形DBCF的面积为________．
25．（11分）（2013•泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
26.（本题12分）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上。
（1）如图1，AC:AB=1:2，EF⊥CB，求证：EF=CD；
（2）如图2，AC:AB=1:3，EF⊥CB，求,：EF:EG的值。
27．△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．
（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E
与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．。