2021年春新人教版九年级数学下册《第27章相似》单元测试卷

2021年春新人教版九年级数学下册《第27章相似》单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若b a =25 ，则a b a b-+ 的值为（ ） A ．14 B ．37 C ．35 D ．752．已知a ：b ＝3：2，则a ：（a ﹣b ）＝（ ）A ．1：3B ．3：1C ．3：5D ．5：3 3．如图，在ABC 中，点P 在边AB 上，则在下列四个条件中：：ACP B ∠∠=①；APC ACB ∠∠=②；2AC AP AB =⋅③；AB CP AP CB ⋅=⋅④，能满足APC 与ACB 相似的条件是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③ 4．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC=14BC ．图中相似三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 5．如图，△ABC 中，DE∥BC，13AD AB =，AE ＝2cm ，则AC 的长是（ ）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm6．如图，DE ∥FG ∥BC ，若DB=4FB ，则EG 与GC 的关系是（ ）A ．EG=4GCB ．EG=3GC C ．EG=52GCD ．EG=2GC 7．如图，取一张长为a 、宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边,a b 应满足的条件是（ ）A ．a =B ．2a b =C ．a =D ．a = 8．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC 和△DEF ，则∠BAC 的度数为（ ）A ．105°B ．115°C ．125°D ．135°9．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条边DF ＝50cm ，EF ＝30cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝20m ，则树高AB 为（ ）A ．12mB ．13.5mC ．15mD ．16.5m10．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB ＝10，BD ＝6，则BC 的值为（ ）A ．185B ．C ．1003D ．503二、填空题11．如图，用长3m 、4m 、5m 的三根木棒正好搭成一个Rt△ABC，AC ＝3，∠C＝90°，用一束垂直于AB 的平行光线照上去，AC 、BC 在AB 的影长分别为AD 、DB ，则AD ＝_____，BD ＝_____．12．一个4米高的电线杆的影长是6米，它临近的一个建筑物的影长是36米．则这个建筑的高度是_____m ．13．两个相似三角形的面积比为1：9，则它们的周长比为_____．14．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且43OE EA =，则FG BC=______．15．上午某一时刻,身高1.7米的小刚在地面上的影长为3.4米,则影长26米的旗轩高度为___________米16．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝6．点M 在边AB 上，且AM ＝3，点N 在AC 边上．当AN ＝_____时，△AMN 与原三角形相似．三、解答题17．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且32AD DB ，E 、F 是AC 上的点，且DE ∥BC ，DF ∥BE ，AF=9．求EC 的长．18．已知如图，E 为平行四边形ABCD 的边AB 的延长线上的一点，DE 分别交AC 、BC 于G 、F ，试说明：DG 是GE 、GF 的比例中项．19．如图，△ABC 与△ADE 中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；（1）证明：△ABC∽△ADE．（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为： ．20．已知在平面直角坐标系内，ABC 的三个顶点的分别为(0,3)A ，(3,4)B ，(2,2)C （正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）在网格内画出ABC 向下平移2个单位长度得到的111A B C △，点1C 的坐标是________；（2）以点1B 为位似中心，在网格内画出212A B C ，使212A B C 与111A B C △位似，且位似比为2:1，点2C的坐标是________；A B C的面积是________平方单位．（3）21221．探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m 于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE．22．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，E是边AD上一点，BE⊥AC交AC于点F，BE、CD的延长线交于点G，且∠ABE＝∠CAD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）如果AE＝EG，求证：AC2＝BC•BG．23．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？参考答案1．B【解析】【分析】根据比例设b=2k ，a=3k ，然后代入比例式计算即可得解．【详解】解:∵b a =25∴设b=2k,a=5k, 则a b a b -+=5252k k k k -+=37故选：B【点睛】本题考查比例的基本性质，解题关键是熟练掌握性质.2．B【解析】试题分析：利用分比性质进行计算．解：∵=，∴==3．故选B ．考点：比例的性质．3．D【分析】根据相似三角形的判定定理，结合图中已知条件进行判断.【详解】当ACP B ∠∠=，A A ∠∠=，所以APC ∽ACB ,故条件①能判定相似，符合题意；当APC ACB ∠∠=，A A ∠∠=，所以APC ∽ACB ，故条件②能判定相似，符合题意；当2AC AP AB =⋅，即AC ：AB AP =：AC ，因为A A ∠=∠所以APC ∽ACB ，故条件③能判定相似，符合题意；当AB CP AP CB ⋅=⋅，即PC ：BC AP =：AB ，而PAC CAB ∠∠=，所以条件④不能判断APC 和ACB 相似，不符合题意；①②③能判定相似，故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.4．C【详解】根据正方形的性质，求出各边长，应用相似三角形的判定定理进行判定：同已知，设CF=a ，则CE=DE=2a ，AB=BC=CD=DA=4a ，BF=3a ．根据勾股定理，得EF=，AE=，AF=5a ．∴CF CE EF 1DE DA AD 2===，CF CE EF EF EA AF ===DE DA AE EF EA AF ===． ∴△CEF ∽△DAE ，△CEF ∽△EAF ，△DEA ∽△EFA ．共有3对相似三角形． 故选C ．5．C【分析】由DE ∥BC 可得△ADE ∽△ABC ，再根据相似三角形的性质即可求得结果.【详解】∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC ∴13AD AE AB AC == ∵2cm =AE∴AC=6cm故选C.考点：相似三角形的判定和性质点评：解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上.6．B【解析】分析：根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．详解：∵DE ∥FG ∥BC ，DB=4FB ， ∴31EG DF GC FB ＝＝=3． 故选B ．点睛：此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．7．B【分析】由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为b ，宽为14a ，然后根据相似多边形的定义，列出比例式即可求出结论．【详解】解：由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为b ，宽为14a ， ∵小长方形与原长方形相似， ,14a b b a ∴= 2a b ∴=故选B ．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的定义列比例式是解决此题的关键． 8．D【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．【详解】∵△ABC ∽△EDF ，∴∠BAC ＝∠DEF ，又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，∴∠BAC＝135°，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是找到对应角9．D【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【详解】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BC DC EF DE=，∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，∴由勾股定理求得DE=40cm，∴20 0.30.4 BC=，∴BC=15米，∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．故答案为16.5m．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．10．D【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°=∠BAC，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△BCA，∴BC ABAB BD=，即：10106BC=，∴BC=50 3.故选D.11．95165【分析】由射影定理得到AC2=AD⋅AB,BC2=BD⋅AB,把相关线段的长度代入计算即可. 【详解】解：依题意知，AC＝3cm，AB＝5cm，BC＝4cm，∠C＝90°．∵CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，则9＝5AD，16＝5BD，所以AD＝95，BD＝165．故答案是：95；165．【点睛】本题考查了射影定理:①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.12．24米．【分析】先设建筑物的高为h米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．【详解】设建筑物的高为h米，由题意可得：则4：6=h：36，解得：h=24（米）．故答案为24米．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．13．1：3【解析】已知两个相似三角形的面积比为1：9，相似三角形的面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，由此可得这两个三角形的周长比为1：3，故答案为1：3.14．47【解析】【分析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．【详解】四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且OE 4EA 3=， OE 4OA 7∴=， 则FG OE 4BC OA 7==， 故答案为：47． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.15．13【分析】影子是光的直线传播形成的,物体、 影子与光线组成一直角三角形;利用数学知识(相似三角形的边与边之间对应成比例)计算.【详解】解：由题意，根据光的直线传播，根据相似三角形对应边成比例；由题意可知： =身高旗杆高影长旗杆影长即： 1.7=3.426旗杆高 ∴旗杆高＝13m ．故答案为13．【点睛】本题考查了相似三角形的知识,解题的关键是正确的构造直角三角形.16．2或4.5【解析】【分析】分别从△AMN∽△ABC或△AMN∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得【详解】由题意可知，AB=9，AC=6，AM=3，若△AMN∽△ABC则AMAB=ANAC即39=6AN解得:AN=2若△AMN∽△ACB则AMAC=ANAB即36=9AN解得:AN=4.5综上AN=2或4.5故答案为2或4.5.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，需要分类讨论是解题的关键17．EC=10.【分析】由DF∥BE可知AF ADFE DB=，故可求出FE的值，由因为AE ADEC DB=故可求出EC的长度．【详解】解：∵DF∥BE，∴AF AD FE DB=.∵32ADDB=，AF=9，∴FE=6．∵DE∥BC，∴AE AD EC DB,∵AE=AF+FE=15，∴EC=10.【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是根据题中的给出的平行线列出比例式，本题属于基础题型．18．答案见解析【分析】根据平行四边形两条对边平行,得到两对相似三角形,写出对应边成比例,得到两个比例式中各有两条线段的比相等,根据等量代换得到比例式,再转化成乘积式,即可得出答案.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AE，∴DG CG= GE AG∵AD∥BC，∴GF CG= DG AG∴DG GF= GE DG∴DG2＝GE•GF，∴DG是GE、GF的比例中项．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例,用到的知识点是平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理,用到两次等量代换是本题的关键.19．(1)证明见解析；(2)见解析.【分析】(1)由∠1=∠2,证出∠BAC=∠DAE.再由∠C=∠E,即可得出结论;(2)由AAS证明△ABC≌△ADE即可.【详解】(1)∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，∴∠BAC=∠DAE ．∵∠C=∠E ，∴△ABC ∽△ADE ．(2)补充的条件为：AB=AD （答案不唯一）；理由如下：由(1)得：∠BAC=∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中， BAC DAE C EAB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△ADE ；故答案为AB=AD （答案不唯一）．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及相似三角形的判定.20．（1）图见解析，1(2,0)C ；（2）图见解析，2(1,2)C -；（3）10【分析】（1）根据平移的性质得出A 、B 、C 的对应点A 1、B 1、C 1的位置，然后顺次连接，写出点1C 的坐标即可；（2）根据位似图形的性质得出A 2、C 2的位置，然后顺次连接，写出点2C 的坐标即可； （3）根据212A B C 的面积＝211A B C 的面积＋212A C C 的面积计算即可.【详解】解：（1）如图，111A B C 为所求，1(2,0)C ；（2）如图，122A B C 为所求，2(1,2)C -；（3）212A B C 的面积＝1152521022. 【点睛】 本题考查了平移变换和位似变换的作图，熟练掌握平移变换和位似变换的性质，能够正确找出对应点位置是解题关键.21．证明见解析【分析】(1)根据BD ⊥直线m,CE ⊥直线m 得∠BDA=∠CEA=90o ,而∠BAC=90o ,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS ”可判断△ADB ≌△CEA.则AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE;(2)利用∠BDA=∠BAC=α,则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α,得出∠CAE=∠ABD,进而得出△ADB≌△CEA 即可得出答案.【详解】证明：（1）∵BD⊥直线m ，CE⊥直线m ，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB 和△CEA 中，∴△ADB≌△CEA（AAS ）；（2）设∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB 和△CEA 中 ，∴△ADB≌△CEA（AAS ），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有“SSS”,“SAS”, “ASA”, “AAS”;本题得出∠CAE=∠ABD证三角形全等是解题关键.22．(1)见解析;(2)见解析.【详解】分析：(1)、因为四边形ABCD是平行四边形，所以只要证明∠BAD=90°，即可得到四边形ABCD是矩形；(2)、连接AG，由平行四边形的性质和矩形的性质以及结合已知条件可证明△BCG∽△ABC，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明AC2=BC•BG．详解：(1)、解：证明：∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°．∴∠ABE+∠BAF=90°．∵∠ABE=∠CAD．∴∠CAD+∠BAF=90°．即∠BAD=90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；(2)、解：连接AG．∵AE=EG，∴∠EAG=∠EGA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABG=∠BGC，∴∠CAD=∠BGC，∴∠AGC=∠GAC，∴CA=CG，∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∴∠ACB=∠BGC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCG=90°，∴∠BCG=∠ABC，∴△BCG∽△ABC，∴AC BCBG CG，∴AC2=BC•BG．点睛：本题考查了平行四边形的性质、矩形的判断和性质、等腰三角形的判断和性质以及相似三角形的判断和性质，题目的综合性较强，难度中等，熟记相似三角形的各种判断方法是解题的关键．23．证明见解析【分析】画出图形,写出已知,求证, 作AD⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1然后根据相似三角形对应角可得∠B ＝∠B 1, ∠BDA＝∠B 1D 1A 1，可得△ABD∽△A 1B 1D 1，1111AD AB A D A B ==k 可得结论 【详解】 已知：如图，已知△ABC∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ． 求证：＝k 2；证明：作AD⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，∴∠B＝∠B 1，∵AD、A 1D 1分别是△ABC，△A 1B 1C 1的高线，∴∠BDA＝∠B 1D 1A 1，∴△ABD∽△A 1B 1D 1， ∴1111AD AB A D A B ==k ∴＝＝k 2．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,主要利用了相似三角形的性质,相似三角形对应边成比例的性质,以及两三角形相似的判定方法,要注意文字叙述性命题的证明格式.24．（1）10cm ；（2）2204=-S t t ；（3）t ＝3或t ＝4011【分析】（1）在Rt △CPQ 中，当t=3秒，可知CP 、CQ 的长，运用勾股定理可将PQ 的长求出； （2）由点P ，点Q 的运动速度和运动时间，又知AC ，BC 的长，可将CP 、CQ 用含t 的表达式求出，代入直角三角形面积公式CPQ S =12CP×CQ 求解； （3）应分两种情况：当Rt △CPQ ∽Rt △CAB 时，根据CP CQ CA CB=，可将时间t 求出；当Rt △CPQ ∽Rt △CBA 时，根据CP CQ CB CA =，可求出时间t ． 【详解】由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm ，CQ=2t=6cm ，由勾股定理得10cm ==；（2）由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，因此Rt △CPQ 的面积为S=()21204t 22042t t t -⨯=-； （3）分两种情况：①当Rt △CPQ ∽Rt △CAB 时， CP CQ CA CB =，即204t 2t 2015-=， 解得：t=3秒；②当Rt △CPQ ∽Rt △CBA 时，CP CQ CB CA =，即204t 2t 1520-=， 解得：t=4011秒． 因此t=3秒或t=4011秒时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似 【点睛】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．。