学业分层测评 第2章 2.1 柯西不等式
第2章§1 柯西不等式
§1柯西不等式1.1 简单形式的柯西不等式1.2 一般形式的柯西不等式1．认识柯西不等式的几种不同的形式，理解它们的几何意义，能证明柯西不等式的代数形式和向量形式．(重点、易混点)2．理解用参数配方法讨论柯西不等式一般情况的过程．(重点难点)3．能利用柯西不等式求特定函数的最值和进展简单的证明．(难点)[根底·初探]教材整理1简单形式的柯西不等式阅读教材P27～P28，完成以下问题．1．定理1对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，那么|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)不等式(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是柯西不等式．()(2)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2，是柯西不等式，其中a，b，c，d为正数．()(3)在柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2中，a，b，c，d是任意实数．()【解析】柯西不等式中，四个数的组合是有对应顺序的，故(1)不对，(2)中，a，b，c，d可分别写成(a)2，(b)2，(c)2，(d)2，所以是正确的，(3)正确．【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2一般形式的柯西不等式阅读教材P29～P30“练习〞以上局部，完成以下问题．1．定理2设a1，a2，…，a n与b1，b2，…，b n是两组实数，那么有(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，当向量(a1，a2，…，a n)与向量(b1，b2，…，b n)共线时，等号成立．2．推论设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，那么有(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝〞成立．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为a i＝kb i(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？【解】不可以．假设b i＝0而a i≠0，那么k不存在．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们〞讨论交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用柯西不等式证明不等式(1)a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1；(2)设a，b，c为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c)．【精彩点拨】此题考察柯西不等式及证明不等式的根底知识，考察推理论证才能及代数式的变式才能．解答此题(1)可逆用柯西不等式，而解答题(2)需将a2＋b2，b2＋c2，a2＋c2增补，使其满足柯西不等式左边构造方可应用．【自主解答】(1)|ax＋by|＝(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1.(2)由柯西不等式得：a 2＋b 2·12＋12≥a ＋b ，即2a 2＋b 2≥a ＋b .同理：2b 2＋c 2≥b ＋c ，2a 2＋c 2≥a ＋c .将上面三个同向不等式相加得： 2(a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2)≥2(a ＋b ＋c )， 所以a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2≥2(a ＋b ＋c )．利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的根本特征：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，其中a ，b ，c ，d ∈R 或(a ＋b )(c ＋d )≥(\r(ac )＋\r(bd ))2，其中a ，b ，c ，d 为正数.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补(特别是对数字的增补：如a ＝1×a )变形等.[再练一题]1．设a ，b ，c 为正数，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 【证明】 由柯西不等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2[(b )2＋(c )2＋(a )2] ≥⎝⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2. 于是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b 2c ＋c 2a (a ＋b ＋c )≥(a ＋b ＋c )2，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .运用柯西不等式求参数范围正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围.【导学号：94910029】【精彩点拨】 “恒成立〞问题需求1x ＋y＋1y ＋z＋1z ＋x的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】 1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤12xy ＋12yz ＋12zx＝12⎝⎛⎭⎪⎫1·zx ＋y ＋z＋1·xx ＋y ＋z＋1·y x ＋y ＋z≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋y ＋z ＋x x ＋y ＋z ＋y x ＋y ＋z 12＝32.故参数λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件纯熟掌握，然后根据题目的特点“创造性〞应用定理.[再练一题]2．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的取值范围．【解】 由柯西不等式得，(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2. 由条件可得，5－a 2≥(3－a )2， 解得1≤a ≤2，所以实数a 的取值范围是[1,2]．[探究共研型]利用柯西不等式求最值探究1 22222【提示】 要证(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，只要证a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2，即证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd ， 只要证(bc －ad )2≥0.因为上式显然成立，故(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 探究2 根据柯西不等式，以下结论成立吗？(1)(a ＋b )(c ＋d )≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d 为非负实数)； (2)a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R )； (3)a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )． 【提示】 成立．x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．【精彩点拨】 利用x 2＋2y 2＋3z 2为定值，构造柯西不等式形式，再利用公式得出范围，求解最小值．【自主解答】 (x 2＋2y 2＋3z 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ·2＋3z ·132＝(3x ＋2y ＋z )2，∴(3x ＋2y ＋z )2≤(x 2＋2y 2＋3z 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝12.∵－23≤3x ＋2y ＋z ≤23， ∴3x ＋2y ＋z 的最小值为－2 3.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目的函数进展配凑，以保证出现常数结果.同时，要保证取到等号成立的条件.[再练一题]3．假设3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点．【解】 由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4， 所以x 2＋y 2≥425.当且仅当x 3＝y4时“＝〞成立，为求最小值点，需解方程组⎩⎨⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2获得最小值，最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825. [构建·体系]1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，那么x 2＋y 2的最小值为( ) A.13 B ．169 C ．13 D ．0 【解析】 (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13. 【答案】 C2．a ，b ，c 大于0，且a ＋b ＋c ＝1，那么a 2＋b 2＋c 2的最小值为( ) A ．1 B ．4 C.13D ．12【解析】 根据柯西不等式，有(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2＝1， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13. 【答案】 C3．a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝1，t ＝ax ＋by ＋cz ，那么t 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－1,1) C ．(－1,0)D ．[－1,1]【解析】 设α＝(a ，b ，c )，β＝(x ，y ，z )． ∵|α|＝a 2＋b 2＋c 2＝1，|β|＝x 2＋y 2＋z 2＝1，由|α||β|≥|α·β|，得|t |≤1.∴t 的取值范围是[－1,1]． 【答案】 D4．x ，y ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为4，那么xy ＝________.【导学号：94910030】【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1·1＋1xy 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2， ∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝4，又xy ＞0， ∴xy ＝1，∴xy ＝1. 【答案】 15．3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11. 【证明】 由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11.于是2x ＋y ≤11. 我还有这些缺乏：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
高中数学第二章几个重要的不等式2.1.1简单形式的柯西不等式2.1.2一般形式的柯西不等式北师大版选
ab22.
利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数，当这两
组数不太容易找时，需分析、增补(特别对数字 1 的增补：如 a
＝1·a)变形等．
[解题过程] (a1b1＋a2b2)ab11＋ab22
＝ a1b12＋ a2b22
ba112＋
a22 b2
≥ a1b1· ab11＋ a2b2· ab222＝(a1＋a2)2.
由条件可得，5－a2≥(3－a)2 解得 1≤a≤2， 当且仅当 2b ＝ 3c ＝ 6d 时等号成立，
1/2 1/3 1/6 代入 b＝12，c＝13，d＝16时，amax＝2， b＝1，c＝1.如右图，已知在正方形ABCD中，有四 个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直 角边的长为a、b，则正方形ABCD的面积为S1 ＝__a_2＋__b_2__，4个直角三角形面积的和为
S2＝_2_a_b_，则S1_≥__S2(填“≥”“≤”或“＝”)．据此， 我们就可得到一个不等式__a_2＋__b_2_≥_2_a_b__ (用a、b的式子表示)， 并且当a_＝__b时，直角三角形变为_等__腰__直__角__三__角__形__时，S1＝S2.
当 向 量 (a1 ， a2 ， a3) 与 向 量 (b1 ， b2 ， b3) 共 线 时 “ ＝ ” 成 立．
1．二维形式的柯西不等式可用________表示( ) A．a2＋b2≥2ab(a，b∈R) B．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ab＋cd)2(a，b，c，d∈R) C．(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) D．(a2＋b2)(c2＋d2)≤(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R) 答案： C
1．已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1.求证：ax＋by≤1. [思路点拨] 构造柯西不等式的形式，证明不等式． 证明： ∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1. 又由柯西不等式知 ∴1＝(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2 ∴1≥(ax＋by)2， ∴1≥|ax＋by|≥ax＋by， ∴所以不等式得证．
柯西不等式知识点总结
柯西不等式知识点总结一、柯西〔Cauchy〕不等式：()22211n n b a b a b a +++ ()()2222122221n n b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a i i 2,1,,=∈等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立〔k 为常数，n i 2,1=〕现将它的证明介绍如下：证明：构造二次函数()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()2222122112222212nn n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ 由构造知()0≥x f 恒成立又22120nn a a a +++≥ ()()()44222212222122211≤++++++-+++=∆∴n n n n b b b a a a b a b a b a 即()()()222212222122211nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当且仅当()n i b x a i i 2,10==+即1212n na a ab b b === 时等号成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式构造和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型：1、证明相关数学命题〔1〕证明不等式例1正数,,a b c 满足1a b c ++=证明2223333a b c a b c ++++≥证明：利用柯西不等式()23131312222222222ab ca ab bc c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭[]222333222a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()2333a b c a b c =++++()1a b c ++=又因为222a b c ab bc ca ++≥++在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c++得：()()2222222c b a 222c b a c b a 3++=+++++≥++ac bc ab()()()()()22233323332222c b a 3c b a c b a c b ac b a++⋅++≤++++≤++故2223333a b c a b c ++++≥〔2〕三角形的相关问题例2设p 是ABC 的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，证明+≤证明：由柯西不等式得：+=≤记S 为ABC 的面积，那么2242abc abc ax by cz S R R++===+≤故不等式成立。
学业分层测评 第2章 2.1 柯西不等式-精选教育文档
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为()A.1B.2C. 2D.4【解析】∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，∴ax＋by≤ 2.【答案】 C2.若实数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2的最小值为()A.3B.1C.33 D. 3【解析】∵a＋b＋c＝1·a＋1·b＋1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)，∴a2＋b2＋c2≥3.当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，∴a2＋b2＋c2的最小值为 3.【答案】 D3.已知x＋y＝1，且x>0，y>0，那么2x2＋3y2的最小值是()【导学号：38000033】A.56 B.65C.2536 D.3625【解析】 2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65，当且仅当2x ·13＝3y ·12，即x ＝35，y ＝25时等号成立，∴2x 2＋3y 2的最小值为65. 【答案】 B4.若a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为( )A.1B.－1C.2D.－2【解析】 ∵(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )，≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2， ∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4， 故a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤2.因此a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为2. 【答案】 C5.已知a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝1，t ＝ax ＋by ＋cz ，则t 的取值范围为( ) A.(0,1) B.(－1,1) C.(0，－1)D.[－1,1]【解析】 设α＝(a ，b ，c )，β＝(x ，y ，z ). ∵|α|＝a 2＋b 2＋c 2＝1，|β|＝x 2＋y 2＋z 2＝1，由|α||β|≥|α·β|，得|t |≤1. ∴t 的取值范围是[－1,1]. 【答案】 D二、填空题6.已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________. 【解析】∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6，∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当1 a＝12b＝13c，即a＝2，b＝1，c＝23时取等号.【答案】127.若a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为________.【解析】由题知，a·b＝x－2z，由柯西不等式知[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2，当且仅当向量a与b共线时“＝”成立，∴5×16≥(x－2z)2，∴－45≤x－2z≤45，即－45≤a·b≤4 5.故a·b的最大值为4 5.【答案】4 58.已知a1－b2＋b1－a2＝1，则a2＋b2＝________.【解析】由柯西不等式得(a1－b2＋b1－a2)2≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1，当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，∴ab＝1－a2·1－b2，a2b2＝(1－a2)(1－b2)，于是a2＋b2＝1.【答案】 1三、解答题9.已知θ为锐角，a ，b 均为正数.求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.【证明】 设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫acos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ ＝|m ·n |≤|m ||n | ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2·1 ＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.10.在半径为R 的圆内，求周长最大的内接长方形. 【解】 如图所示，设内接长方形ABCD 的长为x ，宽为4R 2－x 2，于是 ABCD 的周长l ＝2(x＋4R 2－x 2) ＝2(1·x ＋1×4R 2－x 2).由柯西不等式得 l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12＝22·2R＝42R . 当且仅当x 1＝4R 2－x 21，即x ＝2R 时等号成立. 此时，宽＝4R 2－(2R )2＝2R ，即ABCD 为正方形， 故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42R .[能力提升]1.函数y ＝x 2－2x ＋3＋x 2－6x ＋14的最小值是( )A.10B.210C.11＋210D.10＋1【解析】y＝(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5.根据柯西不等式，得y2＝(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2[(x－1)2＋2][(3－x)2＋5]≥(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2[(x－1)(3－x)＋10]＝[(x－1)＋(3－x)]2＋2＋5＋210＝11＋210，当且仅当x－13－x＝25，即x＝210－13时等号成立.此时，y min＝11＋210＝10＋1. 【答案】 D2.已知a，b，c均大于0，A＝a2＋b2＋c23，B＝a＋b＋c3，则A，B的大小关系是()A.A＞BB.A≥BC.A＜BD.A≤B【解析】∵(12＋12＋12)·(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，∴a2＋b2＋c23≥(a＋b＋c)29，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.又a，b，c均大于0，∴a＋b＋c＞0，∴a2＋b2＋c23≥a＋b＋c3.【答案】 B3.设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.【导学号：38000034】【解析】 由柯西不等式知：25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36，当且仅当a x ＝b y ＝cz ＝k 时取“＝”.由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56， 所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k ＝56.【答案】 564.已知a 1，a 2，…，a n 都是正数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1.求证：a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n ＋a 2n a n ＋a 1≥12.【证明】 根据柯西不等式得左边＝a 21a 1＋a 2＋a 22a 2＋a 3＋…＋a 2n －1a n －1＋a n ＋a 2na n ＋a 1＝[(a 1＋a 2)＋(a 2＋a 3)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＋(a n ＋a 1)]×⎝⎛⎭⎪⎫a 1a 1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2＋a 32＋⎝⎛⎭⎪⎫a 3a 3＋a 42＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a n －1a n －1＋a n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a na n ＋a 12×12＝[(a 1＋a 2)2＋(a 2＋a 3)2＋…＋(a n －1＋a n )2＋(a n ＋a 1)2]×⎝⎛⎭⎪⎫a 1a 1＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2＋a 32＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a n －1a n －1＋a n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a na n ＋a 12×12≥a 1＋a 2×a 1a 1＋a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋a 3×a 2a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n ×a n －1a n －1＋a n＋a n ＋a 1×a n a n ＋a 12×12＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2×12＝12＝右边.∴原不等式成立.。
高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评10简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式北师大版选修4
第2章 几个重要的不等式 学业分层测评10 简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式 北师大版选修4-5(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．已知a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ＞Q【解析】 设m ＝(ax ，by )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m||n|＝ ax 2＋by 2·a 2＋b 2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ax 2＋by 2，所以(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.即P ≤Q .【答案】 A2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( )A.56 B ．65C.2536 D ．3625【解析】 2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65. 【答案】 B3．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为() A ．24 B ．30 C ．36 D ．48【解析】 (x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，∴1x ＋4y ＋9z ≥36.【答案】 C4．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋n y ＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是()A ．(m ＋n )2B ．m C.n D ．(m ＋n )2【解析】 根据柯西不等式，得x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋n y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·m x ＋y ·n y 2＝(m ＋n )2，当且仅当x m ＝y n时，等号成立， 这时u 取最小值为(m ＋n )2.【答案】A 5．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是()A. 3B ． 5C ．3D ．5 【解析】 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×x －52＋6－x 2＝ 5. 【答案】B二、填空题 6．函数y ＝x ＋3－x 的最大值为__________．【解析】 由x ，3－x 非负且(x )2＋(3－x )2＝3， 所以x ＋3－x ≤x 2＋3－x 2]＝2×3＝ 6.【答案】 67．设x ，y 为正数，且x ＋2y ＝8，则9x ＋2y的最小值为__________. 【导学号：94910031】 【解析】 (x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋2y ＝(x )2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2y 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·3x ＋2y ·2y 2＝25， 又x ＋2y ＝8，。
柯西不等式
柯西不等式柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
其形式有以下几种：二维形式(a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d)扩展：（（a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+ ...(bn)^2；）≥（a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2;等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3，…，n）三角形式√（a^2+b^2)+√（c^2+d^2）≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]等号成立条件：ad=bc注：“√”表示平方根，向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a，…，an），β=(b1,b，…，bn）（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。
一般形式（∑（ai^2；））（∑（bi^2;)) ≥ （∑ai·bi)^2;等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式(x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn…）≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。
高中数学(人教B版必修2)学业分层测评：第2章 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1.下列说法正确的是( )A.一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B.直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C.与x 轴平行的直线的倾斜角为180°D.每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率【解析】 选项A 成立的前提条件为直线和x 轴相交，故错误；选项B 中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C 中与x 轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D 中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y 轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确.【答案】 D2.若A 、B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( )A.45°，1B.135°，－1C.90°，不存在D.180°，不存在【解析】 由于A 、B 两点的横坐标相等，所以直线与x 轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在.故选C.【答案】 C3.若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于( )A.1B.5C.－1D.－5【解析】 由斜率公式可得：y ＋34－2＝tan 135°， ∴y ＋32＝－1，∴y ＝－5.∴选D.【答案】 D4.若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成60°角，则l 的倾斜角为( )A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【解析】 直线l 可能有两种情形，如图所示，故直线l 的倾斜角为30°或150°.故选C.【答案】 C5.直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( )A.0B.1C.12D.2【解析】 如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k ∈.故直线l 的斜率k 的最大值为2.【答案】 D二、填空题6.a ，b ，c 是两两不等的实数，则经过P (b ，b ＋c )，C (a ，c ＋a )两点直线的倾斜角为________.【解析】 由题意知，b ≠a ，所以k ＝c ＋a －b ＋c a －b＝1， 故倾斜角为45°.【答案】 45°7.已知三点A (－3，－1)，B (0,2)，C (m,4)在同一直线上，则实数m 的值为________.【解析】 ∵A 、B 、C 三点在同一直线上，∴k AB ＝k BC ，∴2－－0－－＝4－2m －0， ∴m ＝2.【答案】 28.在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为________.【解析】 如图，易知k AB ＝3，k AC ＝－3，则k AB ＋k AC ＝0.【答案】 0三、解答题9.已知点A (1,2)，在坐标轴上求一点P 使直线PA 的倾斜角为60°.【解】 (1)当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)，∵A (1,2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1. 又∵直线PA 的倾斜角为60°，∴tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0. (2)当点P 在y 轴上时，设点P (0，b ). 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0,2－3).10.已知A (2,4)，B (3,3)，点P (a ，b )是线段AB (包括端点)上的动点，求b －1a －1的取值范围.【解析】 设k ＝b －1a －1，则k 可以看成点P (a ，b )与定点Q (1,1)连线的斜率.如图，当P 在线段AB 上由B 点运动到A 点时，PQ 的斜率由k BQ 增大到k AQ ，因为k BQ ＝3－13－1＝1，k AQ ＝4－12－1＝3， 所以1≤k ≤3，即b －1a －1的取值范围是.1.斜率为2的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为( )A.4,0B.－4，－3C.4，－3D.－4,3【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2，解得a ＝4，b ＝－3.【答案】 C2.已知直线l 1的斜率为1，l 2的斜率为a ，其中a 为实数，当两直线的夹角在(0°，15°)内变动时，则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)D.(1，3)【解析】 ∵l 1的倾斜角为45°，∴l 2的倾斜角的取值范围为(30°，45°)∪(45°，60°)，∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)，故选C. 【答案】 C3.已知直线l 1的倾斜角α1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°，则直线l 2的斜率的值为________. 【解析】 设直线l 2的倾斜角为α2，则由题意知：180°－α2＋15°＝60°，α2＝135°，k 2＝tan α2＝－tan 45°＝－1.【答案】 －14.点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈时，求y ＋1x ＋1的取值范围.【解】 y ＋1x ＋1＝y －－x －－的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率. ∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)，设直线NA ，NB 的斜率分别为k NA ，k NB .∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53. ∴y ＋1x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.。
二维形式的柯西不等式
变形，使之出现
条件中的表达式或表达式的倍数
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
11
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习：P36 第1，3，4
课外思考:
已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 .
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
这两个结论也是非常有用的.
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5 变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 2 变式 3.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值. 36
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
第2章 2.1 柯西不等式
且x＋y＋z＝xyz，
∴y1z＋x1z＋x1y＝1.
又x＋1 y＋y＋1 z＋z＋1 x≤12
1＋ xy
1＋ yz
1 zx
＝121·
1xy＋1·1yz＋1·
1 zx
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≤1212＋12＋12x1y＋y1z＋z1x12＝ 23， 当且仅当x＝y＝z时，即x＝y＝z＝ 3时等号成立，
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[再练一题] 2.若实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝9，则x＋2y＋3z的最大值是________. 【解析】 由柯西不等式得(x＋2y＋3z)2≤(1＋22＋32)·(x2＋y2＋z2)＝ 14×9，故x＋2y＋3z≤3 14，所以x＋2y＋3z的最大值是3 14.
【答案】 3 14
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探究4 利用柯西不等式时，常用的变形技巧有哪些？
【提示】 柯西不等式形式优美，有重要的应用价值，应用柯西不等式解 题的关键是恰到好处的变形，常用的变形技巧有：(1)等价变形，将要解决的不 等式问题作等价变形，构造出几个实数的平方和与另n个实数平方和的乘积的 形式.
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A.[－2 5，2 5]
B.[－2 10，2 10]
C.[－ 10， 10]
D.[－ 5， 5]
【解析】 ∵(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，
∴|a－b|≤ 20＝2 5，∴a－b∈[－2 5，2 5].
【答案】 A
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4.设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)4a＋9b＋3c6的最小值为________.
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(完整版)柯西不等式
柯西不等式1☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ☻知识情景：1. 定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.当0,0a b >>时，由222a b ab +≥⇒基本不等式：2. 如果,,,a b c d R ∈, 那么222a b ab +≥，222c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥ 另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥问题：2222()()a b c d ++2()ac bd + ???☻新知建构：1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd +++.当且仅当 时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式.证法10.（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd =++当且仅当 时, 等号成立. 证法20.（构造法） 分析：22222()()()ac bd a b c d +++⇐22222[2()]4()()0ac bd a b c d +-++而22222[2()]4()()ac bd a b c d +-++的结构特征 那么， 证：设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，∵ 22()()()f x ax c bx d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证.证法30.（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =， 则||m =，||n =.∵ m n ⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30. 若1122,,,x y x y R ∈，几何意义:3. 二维柯西不等式的应用： 4422332 ,()()()1a b a b a b a b ++≥+已知为实数,证明例*11,,b 1,42a b R a a b∈+=+≥设求证例3y =求函数例例4 22231,49,x y x y +=+若求的最小值并求最小值点.{222222222:(49)(11)(23)1,149.22131,23.12341231611149,(,)246x y x y x y x y x y x x y x y y x y ++≥+=∴+≥⋅=⋅=⎧=⎪=⎨+==⎪⎩∴+解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为选修4-5练习221.,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是A.⎡⎣.B ⎡-⎣.C ⎡⎣.D ⎡⎣.222.1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是 562536A. . . .63625B C D3.______y =函数224,,326,2______x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是22115.1,()()______a b a b a b+=+++若则的最小值是1．A 2、B 3．3 4． 5．2526、 求函数y =7、已知321x y +=，求22x y +的最小值.8、若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 9、已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 10、若>b >，求证：ca cb b a -≥-+-411.11、 已知点()000,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠ 用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为( )
A.1
B.2
C. D.4
【解析】 ∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，
∴ax＋by≤.
【答案】 C
2.若实数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为( )
A.3
B.1
C. D.
【解析】 ∵a＋b＋c＝1·a＋1·b＋1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)，
∴a2＋b2＋c2≥3.
当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，
∴的最小值为.
【答案】 D
3.已知x＋y＝1，且x>0，y>0，那么2x2＋3y2的最小值是( )
【导学号：38000033】
A. B.
C. D.
【解析】 2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥＝(x＋y)2＝，
当且仅当x·＝y·，即x＝，y＝时等号成立，
∴2x2＋3y2的最小值为.
【答案】 B
4.若a＋a＋…＋a＝1，b＋b＋…＋b＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋a n b n的最大值
为( )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
【解析】 ∵(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)，
≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，
∴(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2≤4，
故a1b1＋a2b2＋…＋a n b n≤2.
因此a1b1＋a2b2＋…＋a n b n的最大值为2.
【答案】 C
5.已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，t＝ax＋by＋cz，则t的取值范围为( )
A.(0,1)
B.(－1,1)
C.(0，－1)
D.[－1,1]
【解析】 设±＝(a，b，c)，²＝(x，y，z).
∵|±|＝＝1，|²|＝＝1，
由|±||²|≥|±·²|，得|t|≤1.
∴t的取值范围是[－1,1].
【答案】 D
二、填空题
6.已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________.
【解析】 ∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6，
∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号.
【答案】 12
7.若a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值
为________.
【解析】 由题知，a·b＝x－2z，由柯西不等式知[12＋02＋(－2)2](x2＋y2
＋z2)≥(x＋0－2z)2，
当且仅当向量a与b共线时“＝”成立，
∴5×16≥(x－2z)2，
∴－4≤x－2z≤4，
即－4≤a·b≤4.
故a·b的最大值为4.
【答案】 4
8.已知a＋b＝1，则a2＋b2＝________.
【解析】 由柯西不等式得
(a＋b)2≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1，
当且仅当＝时，上式取等号，
∴ab＝·，a2b2＝(1－a2)(1－b2)，
于是a2＋b2＝1.
【答案】 1
三、解答题
9.已知¸为锐角，a，b均为正数.求证：(a＋b)2≤＋.
【证明】 设m＝，n＝(cos ¸，sin ¸)，
则|a＋b|＝
＝|m·n|≤|m||n|
＝ ·
＝，
∴(a＋b)2≤＋.
10.在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形.
【解】 如图所示，
设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是ABCD的周长l＝2(x＋)＝2(1·x＋1×).
由柯西不等式得
l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2·2R
＝4R.
当且仅当＝，即x＝R时等号成立.
此时，宽＝＝R，即ABCD为正方形，
故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4R.
[能力提升]
1.函数y＝＋的最小值是( )
A. B.2
C.11＋2
D.＋1
【解析】 y＝＋.
根据柯西不等式，
得y2＝(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2
≥(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2[(x－1)(3－x)＋]
＝[(x－1)＋(3－x)]2＋2＋5＋2
＝11＋2，
当且仅当＝，
即x＝时等号成立.
此时，y min＝＝＋1.
【答案】 D
2.已知a，b，c均大于0，A＝，B＝，则A，B的大小关系是( )
A.A＞B
B.A≥B
C.A＜B
D.A≤B
【解析】 ∵(12＋12＋12)·(a2＋b2＋c2)
≥(a＋b＋c)2，∴≥，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
又a，b，c均大于0，∴a＋b＋c＞0，
∴≥.
【答案】 B
3.设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax
＋by＋cz＝30，则＝________.
【导学号：38000034】【解析】 由柯西不等式知：25×36＝(a2＋b2＋c2)·(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by
＋cz)2＝302＝25×36，
当且仅当＝＝＝k时取“＝”.
由k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k＝，
所以＝k＝.
【答案】
4.已知a1，a2，…，a n都是正数，且a1＋a2＋…＋a n＝1.
求证：＋＋…＋＋≥.
【证明】 根据柯西不等式得
左边＝＋＋…＋＋
＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3＋a4)＋…＋(a n－1＋a n)＋(a n＋a1)]×＋＋＋…＋＋×
＝[()2＋()2＋…＋()2＋()2]×＋＋…＋＋×≥×＋＋…＋×＋×2×＝(a1＋a2＋…＋a n)2×＝＝右边.
∴原不等式成立.。