广义线性.分段线性.模式空间和权空间
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间是线性代数的一个重要概念，扮演着理解线性变换的基础角色。
本文将介绍线性空间的定义、性质以及线性变换的概念和特性。
一、线性空间的定义与性质线性空间，也被称为向量空间，是指一个集合，其中包含一些向量，满足特定的性质。
具体而言，线性空间需要满足以下几个条件：1. 封闭性：对于线性空间中的任意两个向量，它们的线性组合也属于该空间。
即，如果向量a和向量b属于线性空间V，那么对于任意标量α和β，αa + βb也属于V。
2. 加法封闭性：线性空间中的向量满足加法封闭性，即对于任意的向量a和b，它们的和a + b也属于该空间。
3. 数乘封闭性：线性空间中的向量满足数乘封闭性，即对于任意的向量a和标量α，它们的积αa也属于该空间。
4. 满足加法和数乘的运算性质：线性空间中的向量满足加法和数乘的交换律、结合律和分配律。
线性空间的性质还包括零向量、负向量和线性相关性。
零向量表示线性空间中存在一个使其与任何向量相加得到自身的向量，负向量表示线性空间中的向量存在一个加法逆元。
线性相关性指的是线性空间中存在一组向量线性组合为零向量的关系。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指在两个线性空间之间的映射，它保持了向量空间中的线性结构。
具体而言，线性变换需要满足以下几个条件：1. 保持加法运算：对于线性变换T，对任意的向量a和b，有T(a +b) = T(a) + T(b)。
2. 保持数乘运算：对于线性变换T和标量α，有T(αa) = αT(a)。
线性变换的性质还包括零变换、恒等变换和可逆性。
零变换表示线性变换将所有向量映射为零向量。
恒等变换表示线性变换将每个向量映射为其本身。
可逆性表示存在一个逆变换，使得两个线性变换进行复合后得到恒等变换。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换密切相关，线性变换本质上是线性空间之间的映射，它将一个线性空间中的向量映射到另一个线性空间中。
线性变换保持了向量空间的线性结构，在线性代数中起到了重要的作用。
第2课判别函数
2、多类问题
三种方法小结
难易 较难
较易 较易
分类方 判别函数个 不确定 法 数 区 ωi/ ωi M 最多 二分法 ωi/ ωj 较少 M(M-1)/2 二分法 最大判 M 没有 别准则
上述三种方法小结:
当M 3时， i
j
法1比 i i 法 2需要更多
的判别函数式，这是一个缺点。 但是 i i 法2是将 i 类与其余的M 1 类区分 开，而 i j法是将 i 类和 j 类分开，显然
因此三个判别边界为：
g 1 ( x ) x1 x 2 0 g 2 ( x ) x1 x 2 5 0 g (x) x 1 0 2 3
（1）
作图如下：
g1 ( x) 0 g 2 (x) 0 g (x) 0 3
1
3
g1 ( x) 0
2
g3 (x) 0
g 2 (x) 0
x1
1。第一种情况（续）
例：已知三类ω1,ω2,ω3的判别函数分别为：
g 1 ( x ) x1 x 2 g 2 ( x ) x1 x 2 5 g (x) x 1 2 3
§ 2-2 线性判别函数
我们现在对两类问题和多类问题分别进行讨论。 (一)两类问题 即:
i ( , 2 ) T , M 2 类
1
1. 二维情况 ：取两个特征向量
这种情况下 判别函数:
X ( x1 , x 2 ) , n 2
T
g ( x ) w 1 x1 w 2 x 2 w 3
的例子。对于ω 1类模式，
模式识别--第二讲 线性分类器
第 1 页第二讲 线性分类器一、 判别函数1、 决策论方法在模式识别中，如果根据模式特征信息，按照决策论的思路，以一定的数量规则来采取不同的分类决策，将待识别的模式划分到不同的类别中去，就称为模式识别的决策论方法。
在决策论方法中，特征空间被划分成不同的区域，每个区域对应一个模式类，称为决策区域（Decision Region ）。
当我们判定待识别的模式位于某个决策区域时，就判决它可以划归到对应的类别中。
图1 决策区域需要注意的是：决策区域包含模式类中样本的分布区域，但不等于模式类的真实分布范围。
2、 判别函数如果特征空间中的决策区域边界（Decision Boundary ）可以用一组方程0)( x i G来表示，则将一个模式对应的特征向量x 代入边界方程中的)(x i G ，确定其正负符号，就可以确定该模式位于决策区域边界的哪一边，从而可以判别其应当属于的类别，)(x i G 称为判别函数（Discriminant Function ）。
判别函数的形式可以是线性的（Linear ）或非线性（Non-linear）的。
第 2 页例如图2就显示了一个非线性判别函数，当G (x )>0时，可判别模式x ∈ω1；当G (x )<0时，可判别x ∈ω2。
图2 非线性判别函数非线性判别函数的处理比较复杂，如果决策区域边界可以用线性方程来表达，则决策区域可以用超平面（Hyperplane ）来划分，无论在分类器的学习还是分类决策时都比较方便。
例如图3中的特征空间可以用两个线性判别函数来进行分类决策：当G 21(x )>0且G 13(x )>0时，x ∈ω2； 当G 13(x )<0且G 21(x )<0时，x ∈ω3； 当G 21(x )<0 且 G 13(x )>0时，x ∈ω1；当G 21(x )>0且G 13(x )<0时，x 所属类别无法判别。
广义线性模型
2 1/ 2 2
1
3 2
伽玛分布
1
ln
1
1
2
二项分布 ln p
ln1 e 1
1 p
Poisson 分布 ln
e
1
p
e 1 e
e
p1 p
负二项分布 ln
e
k
e
k2
何为“广义线性模型”？(续)
一个广义线性模型包括以下三个组成部分： （1）线性成分(linear component ) ：
SAS软件中的PROC GENMOD：
The GENMOD Procedure
The GENMOD procedure fits generalized linear models. The class of generalized linear models is an extension of traditional linear models that allows the mean of a population to depend on a linear predictor through a nonlinear link function and allows the response probability distribution to be any member of an exponential family of distributions. Many widely used statistical models are generalized linear models. These include classical linear models with normal errors, logistic and probit models for binary data, and log-linear models for multinomial data. Many other useful statistical models can be formulated as generalized linear models by the selection of an appropriate link function and response probability distribution.
第一章线性空间
（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0，使得对 α +0 =α 于任意的 α ∈ V 都有 （4） 负元素 对于 V 中的任意元素 α 都存 在一个元素 β 使得 α+β =0 （5） 1α = α （6）数乘结合律 k (lα ) = ( kl )α （7）左分配律 ( k + l )α = kα + lα
例 令P是任意一个数域。P 3中向量 α1=（1,2,3），α2=（2,4,6），α3=（3,6,8）线性相关;而 α1=（1,0,0），α2=（0,1,0），α3=（0,0,1）线性无关。 例 5 在连续函数空间C（R）中，讨论向量组的 线性相关性: 解
1, cos x, cos 2 x.
∵ cos 2 x = 2 cos x − 1
线性空间的基底，维数与坐标 定义6 设V是数域P上一个向量空间.V 中满足下列两个条件 的向量组(α1 , α 2 , , α n ) 叫做V的一个基: （1）α1 , α 2 ,
k 0 = k1 = k 2 =
2
n −1
+ k n −1 x n −1 = 0
则必有
= k n −1 = 0
∴ 1, x, x 2 ,
Ex
是线性无关的。 ,x R 实数域 R 上的线性空间 R 中，函数组
n −1
e , e , ⋅⋅⋅, e
是一组线性无关的函数，其中 同的实数。
λ1 x
λ2 x
λn x
第一章
线性空间
线性空间是我们以前学习过的n维向量空间 的推广和抽象，它不仅在线性代数和矩阵的有关 理论中占有重要的地位，而且它的理论和方法已 经渗透到自然科学和工程技术的许多领域。
§1.1 线性空间的定义和性质
基于广义线性模型的分类问题
基于广义线性模型的分类问题一、引言分类问题是机器学习领域中最基础的问题之一，其目的是将数据点归到不同的类别中。
在实际应用中，分类问题的应用场景非常广泛，包括但不限于电子商务的推荐系统、医疗诊断、金融风控等领域。
广义线性模型（Generalized Linear Model，GLM）是一种常用的统计学习方法，用于建立因变量与自变量之间的关系。
广义线性模型通过给定自变量的函数形式和一个分布族，来建立自变量与因变量之间的关系。
本文将介绍基于广义线性模型的分类问题。
具体地，本文将讨论如何使用广义线性模型来解决二分类问题和多分类问题。
二、基于广义线性模型的二分类问题二分类问题是将数据点分到两个不同的类别之一。
在基于广义线性模型的二分类问题中，我们假设因变量Y 是离散的二元变量，且服从伯努利分布。
伯努利分布是一种二元分布，其代表了一次试验中成功和失败的概率。
伯努利随机变量的概率质量函数可以表示为：$$P(Y=y) = \theta^y(1-\theta)^{1-y}$$ 其中，$0\leq \theta\leq 1$ 表示成功的概率。
为了建立基于广义线性模型的二分类问题，我们需要确定$\theta$ 与自变量 $X$ 之间的关系。
具体地，我们采用如下函数形式：$$logit(\theta) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + ... + \beta_p X_p$$ 其中，logit 函数指数函数，可以将 $\theta$ 转化为一个线性函数，并保证 $\theta$ 的取值范围在 [0,1] 之间。
$\beta_0,\beta_1,...,\beta_p$ 是待估计的系数。
建立好了模型之后，我们需要估计系数$\beta$。
在估计系数时，通常使用最大似然估计。
最大似然估计的过程即是通过最大化似然函数得到系数$\beta$。
对于二分类问题，似然函数可以表示为：$$L(\beta) = \prod_{i=1}^n [\theta_i^{y_i}(1-\theta_i)^{(1 -y_i)}]$$ 其中，$y_i$ 表示第 i 个样本的类别，$\theta_i$ 是预测样本 $i$ 属于类别 1 的概率。
模式识别导论
基于模式识别的个人认识班级自动化1002班姓名刘永福学号 1009101016摘要：本文主要介绍了模式识别的基本理论概念及算法，通过对模式识别的几种算法的概括、分析，推出算法的要求及步骤，实现样本的基本分类要求。
主要包括模式识别及模式识别系统的基本概念以及应用领域、线性判别函数的介绍及相关算法的推理证明、非线性判别函数的介绍及相关算法的推理证明。
一．模式识别及模式识别系统（1）模式识别的基本概念模式识别是以计算机为工具、各种传感器为信息来源，数据计算与处理为方法，对各种现象、事物、状态等进行准确地分析、判断识别与归类，包括人类在内的生物体的一项基本智能。
对于模式和模式识别有“广义”和“狭义”两种解释：广义地说，存在于时间和空间中可观察的事物，如果可以区别它们是否相同或相似，都可以称之为模式。
此时，模式识别是生物体(包括人)的基本活动，与感觉、记忆、学习、思维等心理过程紧密联系，是透视人类心理活动的重要窗口之一。
从这个角度讲，模式识别是研究生物体如何感知对象的学科，属于认识科学的范畴，是生理学家、心理学家、生物学家和神经生理学家的研究内容，常被称做认知模式识别。
具体来说，它是指人们把接收到的有关客观事物或人的刺激信息与他在大脑里已有的知识结构中有关单元的信息进行比较和匹配，从而辨认和确定该刺激信息意义的过程。
正是通过认知模式识别，我们才能认识世界，才能辨别出各个物体之间的差别，才能更好地学习和生活。
狭义地说，模式是为了能让计算机执行和完成分类识别任务，通过对具体的个别事物进行观测所得到的具有时间和空间分布的信息。
把模式所属的类别或同一类中模式的总体称为模式类(或简称为类)。
计算机模式识别就是指根据待识别对象的特征或属性，利用以计算机为中心的机器系统，运用一定的分析算法确定对象的类别的学科，是数学家、信息学专家和计算机专家的研究内容。
因此，模式识别的研究主要集中在认知模式识别和计算机模式识别这两个方面。
关于广义线性模型和一般线性模型的数学理论和应用
关于广义线性模型和一般线性模型的数学理论和应用线性模型是统计学领域非常重要的一类模型，其中包括广义线性模型（Generalized Linear Models，简称GLM）和一般线性模型（General Linear Models，简称GLM）。
GLM和GLM有着紧密的联系，但也各自有着特点和应用。
本文将探讨GLM和GLM的数学理论和应用。
一、广义线性模型广义线性模型是由Mcullagh和Nelder于1982年提出的，它是线性模型的扩展，可以适应更为复杂的数据结构和变异模式。
与传统的线性模型相比，GLM的形式更为灵活，不仅能够模拟标量数据，还能够模拟其他类型的数据，比如二元数据、计数数据、序数数据等。
GLM的最大特点是可以将因变量的均值与自变量联系起来，并将自变量的参数与因变量的概率分布函数联系起来。
具体地说，GLM的一般形式为：$$ g(E(Y_i))=\beta_0+\beta_1x_{1i}+\dots+\beta_px_{pi} $$其中，$Y_i$表示因变量，$x_i$是自变量，$g$是一个连续函数，称为连接函数（link function），一般为对数函数、逆正弦函数、逆双曲正切函数等。
$\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_p$是待求参数。
通常情况下，GLM的因变量$Y$的概率分布函数是指数分布族，具体包括正态分布、二项分布、泊松分布、伽马分布等。
GLM的优点是可以拟合非正态分布的数据，并且能够建立出统一的推导框架。
在实际应用中，GLM广泛用于医疗、金融、风险分析等领域。
二、一般线性模型一般线性模型是经典的线性模型，也是广义线性模型的一种特殊情况。
一般线性模型将因变量$Y$视为自变量的一个线性组合，即：$$ Y=X\beta+\epsilon $$其中，$X$是一个$n\times(p+1)$的矩阵，第一列全为1，$\beta$是$p+1$个待求参数，$\epsilon$是一个$n$维的随机误差向量，假设$\epsilon$服从正态分布$N(0,\sigma^2I)$。
中科院 国科大 黄庆明 模式识别与机器学习 期末考点 复习
SVR:一般形式及其对偶问题 Multi-class SVM:一对多。 VC dimension:一般而言, VC 维 越大, 学习能力就 越强,学习也越复杂；可以通过 VC 维 计算学习风 险的上界
概念 K-means:形式化，思想 高斯混合模型及EM算法（思想，步骤）
模式识别系统的基本构成
数据 获取 预处理
分类器设 计
特征提取和 选择
分类决 策
机器学习的基本构成
环境 学习 知识库 执行与评价
数据聚类 统计分类 结构模式识别 神经网络 监督学习 无监督学习 半监督学习 集成学习 增强学习 深度学习
在贝叶斯分类器中，构造分类器需要知道类概率密 度函数。
流形学习
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ Multidimensional Scaling(MDS): 点对距离 Kernel PCA Isomap：保持内在几何结构（测地距离） LLE：映射到低维空间时要保持局部线性结构 LPP：保持局部结构
半监督学习 假设：平滑假设 Disagreement-based 方法：Co-training Low-density separation方法：transductive SVM Graph-based SSL:加入不同的正则项得到不同的 方法
分类方法
◦ 感知器算法：
perceptron criterion 随机梯度下降求解 缺点
分类方法
◦ Logistic regression
MLE+SGD求解 多类logistic regression: Cross Entropy Loss Function
线性空间的定义与简单性质
注 ◆ 例 8 中集合 V 满足线性空间定义中的其 他七条公理, 可见第五条虽然比较简单, 但是不可 由其他七条推出.
◆ 在 8 条公理中只有第一条加法满足交换律不 是独立的.
证明 ∵ 2( )＝2 2 ＝(1＋1) ＋(1 ＋1) ＝(1 ＋1 )＋(1 ＋1 )＝(＋ )＋( ＋ )＝ ＋( ＋ )＋ ,
元素 与它们对应，称为 k 与 的数量乘积，记
= k . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那
么 V 称为数域 P 上的线性空间.
加法满足下面四条规则：
1) ；
2) ( ) ( )；
3) 在 V 中有一个元素 0，对于 V 中任一元素
都有
+ 0 =
(具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素) ；
7 §6.2 线性空间的定义与简单性质
例 1 在解析几何中， 平面或空间中一切向量 组成的集合 V, 对于向量的加法及实数与向量的乘 法, 构成实数域上的一个线性空间.
例 2 全体 n 维实向量组成的集合 V, 对于向 量的加法及实数与向量的乘法, 构成实数域上的 一个线性空间.
例 3 全体定义在区间 [a,b]上的连续函数组成 的集合V, 对于函数的加法及实数与连续函数的乘 法, 构成实数域上的一个线性空间. 用 C [a,b] 表示.
八条规则其中前四条是加法的运算律这时称v对加法做成一个加群第五六条是数量乘法算律后两条是分配律表示两种运算之间的联系
高等代数
第六章 线性空间 Linear Space
第二节 线性空间的定义与简单性质
2 §6.2 线性空间的定义与简单性质
一、线性空间的概念
定义 1 设 V 是一个非空集合 , P 是一个数域 . 在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做 加法； 这就是说，给出了一个法则，对于 V 中任
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模式空间和权空间
• 权空间中判别界面的平面示意图
13
5
分段线性判别函数
• 图例：用判别函数分类
– 可用一个二次判别函数来分类 – 也可用一个分段线性判别函数来逼近这个 二次曲线
6
分段线性判别函数
• 分段线性判别函数的设计
– 采用最小距离分类的方法
• [最小距离分类]
7
分段线性判别函数
• 图例：分段线性分类设计
8
模式空间和权空间
• [分类描述] • 模式空间
广义线性判别函数
• 出发点
– 线性判别函数简单，容易实现； – 非线性判别函数复杂，不容易实现； – 若能将非线性判别函数转换为线性判别函数， 则有利于模式分类的实现。
1
广义线性判别函数
• 基本思想 设有一个训练用的模式集{x}，在模式空间x中 线性不可分，但在模式空间x*中线性可分，其 中x*的各个分量是x的单值实函数，x*的维数k 高于x的维数n，即若取 x* = (f1(x), f2(x), …., fk(x)), k>n 则分类界面在x*中是线性的，在x中是非线性 的，此时只要将模式x进行非线性变换，使之 变换后得到维数更高的模式x*，就可以用线性 判别函数来进行分类。 • [描述]
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模式空间和权空间
• 模式空间
(a) 增广向量决定的平面 (b) 非增广向量决定的直线
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模式空间和权空间
• 权空间
– 若将方程x1w1+x2w2+w3=0绘在权向量w=(w1 w2 w3)T的三维空间中，则x=(x1 x2 1)T为方程的系数。 – 若以x向量作为法线向量，则该线性方程所决定的 平面为通过原点且与法线向量垂直的平面，它同样 将权空间划分为正、负两边。 – 在系数x不变的条件下，若w值落在法线向量离开 平面的一边，则wTx>0，若w值落在法线向量射向 平面的一边，则wTx <0。
– 对一个线性方程w1x1+w2x2+w3x3=0，它在 三维空间(x1 x2 x3)中是一个平面方程式， w=(w1 w2 w3)T是方程的系数。 – 把w向量作为该平面的法线向量，则该线性 方程决定的平面通过原点且与w垂直。
9
模式空间和权空间
• 模式空间
– 若x是二维的增广向量，此时x3=1，则在非增广的 模式空间中即为{x1, x2 }二维坐标，判别函数是下 列联立方程的解 w1x1+w2x2+w3=0 x3=1 即为这两个平面相交的直线AB – 此时，w =(w1 w2)T为非增广的权向量，它与直线 AB垂直；AB将平面分为正、负两侧，w离开直线 的一侧为正， w射向直线的一侧为负。3广义线性判别函数
• [例子：一维样本空间 -〉二维样本空间]
4
分段线性判别函数
• 出发点
– 线性判别函数在进行分类决策时是最简单有效的， 但在实际应用中，常常会出现不能用线性判别函数 直接进行分类的情况。 – 采用广义线性判别函数的概念，可以通过增加维数 来得到线性判别，但维数的大量增加会使在低维空 间里在解析和计算上行得通的方法在高维空间遇到 困难，增加计算的复杂性。 – 引入分段线性判别函数的判别过程，它比一般的线 性判别函数的错误率小，但又比非线性判别函数简 单。
2
广义线性判别函数
• 广义线性判别函数的意义
– [线性的判别函数] – [fi(x)选用二次多项式函数]
• [x是二维的情况] • [x是n维的情况] • [例子] • [d(x)的总项数] • 说明
– [fi(x)选用r次多项式函数， x是n维的情况]
– d(x)的项数随r和n的增加会迅速增大，即使原来模式x的维 数不高，若采用次数r较高的多项式来变换，也会使变换后 的模式x*的维数很高，给分类带来很大困难。 – 实际情况可只取r=2，或只选多项式的一部分，例如r=2时 只取二次项，略去一次项，以减少x*的维数。