§6-2线性空间的定义和性质(精)

§6-2线性空间的定义和性质
一、定义：设V 是一个非空集合，P 是一个数域
1、 在V 中定义一种加法运算，使对于V 中任意两个元βα,都有V 中唯一的元γ与之对应，称为α与β的和，记作βαγ+=，加法满足：
① α+β=β+α；
② α+（β+γ）=（α+β）+γ；
③ V 中有一个元素θ，使对V 中任一元α，都有α+θ=α（θ叫做零元）； ④ 对于V 中每一个元α，都有V 中元β存在，使α+β=θ（β叫做α的负元）；
2、 在P 中的数与V 中的元之间定义一种数量乘法运算，使P k ∈∀及V ∈∀α都有V 中唯
一的元δ 与之对应，记作αδk =，且满足：
⑤αα=∙1;
⑥()()ααkl l k =;
⑦()αααl k l k +=+;
⑧()βαβαk k k +=+;
满足以上运算的V ，称为数域P 上的线性空间。

例1 ：数域P 上的一元多项式环[]x P ，按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间。

如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域P 上的一个线性空间，用[]n x P 表示。

例2：元素属于数域P 的n m ⨯矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的乘法，构成数域P 上的一个线性空间，用n m P ⨯表示。

例3： C[a,b]关于函数的加法和数与函数的乘法来说作成实数域R 上的向量空间。

)()()(x af x g x f +
例4： R 为实数域，V 为全体正实数组成的集合，定义V 中两个元素的加法运算⊕为：
V b a ab b a ∈=⊕,,
定义V 中元素与R 中元素的数乘运算“ ”为
p R v a a a k k ∈∈=,,
下面验证V 对于这两种运算满足定义中的八条规则：
1 a b ba ab b a ⊕===⊕；
2 )()()()(c b a c ab c ab c b a ⊕⊕==⊕=⊕⊕；
3 a a a =⋅=⊕11；
4 a 的负元素是a -1, 111==⊕--aa a a ;
5 a lk a a k a l k lk l ===)(;
6 )()()(a l a k a a a a l k l k l k ⊕=⊕==++;
7 k k k k k k b a b a ab b a b a k ⊕===⊕=⊕)()()(
=)()(b k a k ⊕;
8 a a a ='= 1;
所以V 是实数域上的向量空间。

由以上例子可以看出，线性空间的元素可以是任意的形式，为了叙述方便，我们也称其为向量，但这里所指的向量比几何中的向量的涵义要广泛得多。

线性空间有时也称为向量空间。

问题： 只含一个零向量的集合能否形成线性空间。

二、性质 从定义可直接得到线性空间的一些简单性质
性质1 ：零元素是唯一的。

反证：设21,θθ是线性空间V 中的两个零元
∵1θ是零元，∴221θθθ=+
又∵2θ是零元，∴112θθθ=+
⇒ 2211θθθθ=+=
性质2：负元素是唯一的。

反证：设γβ,都是α的负元，于是0=+βα，0=+γα
所以 ()()γγγαβγαβββ=+=++=++=+=00。

既然α的负元是唯一的，可记为α-，这样可定义减法如下：()βαβα-+=-。

性质3：00=∙α，θθ=∙k ，()αα-=-1。

性质4：如果θα=k ，则0=k 或者θα=。

证明：若0≠k ，∵θα=k ，两边同乘1-k ，有()ααα===-101k k
三、 小结
线性空间是高等代数中一个极其重要的概念。

从本节起高等代数进入研究代数系统的新阶段。

在新阶段里，研究问题的方法同过去相比有很大不同，公理化方法和结构化方法将成为研究问题的主要方法。

让我们师生共同努力，很好地完成认识上的这次飞跃。