1997年安徽省初中数学竞赛
初中数学《利用旋转添加辅助线》讲义及练习
板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题基本知识把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。
同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。
为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化重、难点知识点睛中考要求第十二讲利用旋转添加辅助线【例1】 如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA【解析】 ∵ABC ∆是等边三角形，∴60ACB ∠=︒，AC BC =．∴60BCD DCA ∠+∠=︒，同理60ACE DCA ∠+∠=︒，DC EC =．∴BCD ACE ∠=∠ 在BCD ∆与ACE ∆ 中， BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCD ACE ∆∆≌，∴BD AE =．【巩固】(2008年全国初中数学联赛武汉CASIO 杯选拔赛)如图，ABD ∆和CED ∆均为等边三角形，AC BC =，AC BC ⊥．若2BE =，则CD = ．图6DECBA【解析】 31-．易知CDB ∆≌CDA ∆≌EDB ∆，从而2BC AC BE ===，2AB =， 由CDA CDB ∠=∠知CD 是ABD ∆一条高的一部分，不难算出答案为31-．【例2】 (1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰Rt ABC ∆的斜边AB 上取两点M 、N ，使45MCN ∠=︒，记AM m =，MN x =，BN n =，则以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随x 、m 、n 的变化而变化MNCBAMDNCBA【解析】 如图，将CBN ∆绕点C 顺时针旋转90︒，得CAD ∆，连结MD ，则AD BN n ==，CD CN =，ACD BCN =∠∠，∴MCD ACM ACD =+∠∠∠ACM BCN =∠+∠904545MCN =-==∠． ∴MDC MNC ∆∆≌，∴MD MN x ==又易得454590DAM ∠=+︒=，∴在Rt AMD ∆中，有222m n x +=，故应选(B )例题精讲【例3】 (通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1ABCDE图2AB CDE【解析】 ⑴ 222DE BD EC =+证明：根据AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE '∆ ∴AEC ABE '∆∆≌∴BE EC '=，AE AE '=，C ABE '∠=∠，EAC E AB '∠=∠ 在Rt ABC ∆中 ∵AB AC =∴45ABC ACB ∠=∠=︒ ∴90ABC ABE '∠+∠=︒ 即90E BD '∠=︒∴222E B BD E D ''+= 又∵45DAE ∠=︒∴45BAD EAC ∠+∠=︒ ∴45E AB BAD '∠+∠=︒ 即45E AD '∠=︒∴AED AED '∆∆≌ ∴DE DE '=∴222DE BD EC =+E'EDCBAFEDCB A⑵ 关系式222DE BD EC =+仍然成立证明：将ADB ∆沿直线AD 对折，得AFD ∆，连FE ∴AFD ABD ∆∆≌∴AF AB =，FD DB =FAD BAD ∠=∠，AFD ABD ∠=∠ 又∵AB AC =，∴AF AC =∵45FAE FAD DAE FAD ∠=∠+∠=∠+︒()9045EAC BAC BAE DAE DAB DAB ∠=∠-∠=︒-∠-∠=︒+∠ ∴FAE EAC ∠=∠ 又∵AE AE = ∴AFE ACE ∆∆≌∴FE EC =，45AFE ACE ∠=∠=︒ 180135AFD ABD ABC ∠=∠=︒-∠=︒∴1354590DFE AFD AFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ∴在Rt DFE ∆中222DF FE DE +=即222DE BD EC =+【例4】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．CHF ED BACH FEGD BA【解析】 延长CB 至G ，使BG DF =，连结AG ，易证ABG ADF △≌△，BAG DAF =∠∠，AG AF =．再证AEG AEF △≌△，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有AH AB =．【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．⑴求证：AF DF BE =+．⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．FEDC BAGABC DEF【解析】 ⑴ 证明： 如图，延长CB 至点G ，使得BG DF =，连结AG ．因为ABCD 是正方形，所以在Rt ADF ∆和Rt ABG ∆中，AD AB =， 90ADF ABG ∠=∠=°，DF BG =． ∴Rt Rt (SAS)ADF ABG ∆∆≌， ∴AF AG =，DAF BAG ∠=∠． 又 ∵ AE 是BAF ∠的平分线． ∴EAF BAE ∠=∠，∴DAF EAF BAG BAE ∠+∠=∠+∠． 即EAD GAE ∠=∠．∵AD BC ∥，∴GEA EAD ∠=∠， ∴GEA GAE ∠=∠，∴AG GE =． 即AG BG BE =+．∴AF BG BE =+，得证．⑵ ADF ABE S S S ∆∆=+1122DF AD BE AB =⋅+⋅．∵1AD AB ==，∴()12S DF BE =+由⑴知，AF DF BE =+，所以12S AF =．在Rt ADF ∆中，1AD =，DF x =，∴AF =∴S 由上式可知，当2x 达到最大值时，S 最大．而01x ≤≤， 所以，当1x =时，S．【巩固】如图所示，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C =90°，∠B =135°，K 、N 分别是AB 、BC 上的点，若△BKN 的周长为AB 的2倍，求∠KDN 的度数．N K DCB AFNKEDCB A【解析】 延长BC 至F ，使得CF =AB ，在CF 上取点E ，使得CE =AK ，连接BD 、DE 、DF ．∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB =BC ∴Rt △ADB ≌Rt △CDB ∴AD =CD∵AD =CD ，AK =CE ，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ∴△ADK ≌△CDE ∴DK =DE∵BK +BN +KN =2AB ，BF =BN +EF +EN =2AB ，EF =CF -CE =AB -AK =BK ∴KN =EN∴△NDK ≌△NDE∴∠KDN =∠EDN =∠CDE +∠NDC =∠CDE +∠ADK∵∠ABC =135° ∴∠KDN =12(180°-135°)=22．5° 点评：本题的辅助线可以看作是将△ADB 割下来，放到△CDF 处，从而将不规则的图形转化为规则的图形，进而利用线段之间的等量关系求解．【例5】 在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M ，N ，D 为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M ，N 分别在直线AB ，AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长与等边ABC ∆的周长L 的关系．图③图②图①ABCD MNABCD MNN M D CBA⑴如图①，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DM =DN 时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系式__________；此时LQ=__________⑵如图②，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DN DM ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M ，N 分别在边AB ，CA 的延长线上时，若AN =x ，则Q =_________(用x ，L 表示)【解析】 B M +NC =MN ;32=LQ EABC DM N(2)猜想：仍然成立证明：如图，延长AC 至E ，使CE =BM ，连接DE ,120BD CD BDC =∠=︒且， 30DBC DCB ∴∠=∠=︒由ABC ∆是等边三角形，90MBD NCD ∴∠=∠=︒，()MBD ECD SAS ∴∆∆≌ ,DM DE BDM CDE ∴=∠=∠，60EDN BDC MDN ∴∠=∠-∠=︒ 在MDN ∆与EDN ∆中 DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩()MDN EDN SAS ∴∆∆≌ MN NE NC BM ∴==+AMN ∆的周长Q AM AN MN =++=()()AM BM AN NC +++=2AB AC AB += 而等边ABC ∆的周长3L AB = 23Q L ∴= (3)223x L +【巩固】(1)如图25-1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．求证：EF ＝BE ＋FD ;FED CBA(2) 如图25-2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明． FED CBAF EDCBA(3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．GFED CBAGFEDCBA【解析】 证明：延长EB 到G ，使BG =DF ，联结AG ．∵∠ABG ＝∠ABC =∠D ＝90°， AB =AD ， ∴△ABG ≌△ADF ．∴AG ＝AF ， ∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF =12∠BAD ．∴∠GAE =∠EAF ． 又AE =AE ，∴△AEG ≌△AEF ． ∴EG =EF ． ∵EG =BE +BG ． ∴EF = BE ＋FD(2) (1)中的结论EF = BE ＋FD 仍然成立．(3)结论EF =BE ＋FD 不成立，应当是EF =BE －FD 证明：在BE 上截取BG ， 使BG =DF ，连接AG ． ∵∠B +∠ADC ＝180°， ∠ADF +∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝∠ADF ． ∵AB ＝AD ，∴△ABG ≌△ADF ．∴∠BAG =∠DAF ，AG =AF ．∴∠BAG +∠EAD ＝∠DAF +∠EAD =∠EAF =12∠BAD ．∴∠GAE =∠EAF ． ∵AE =AE ，∴△AEG ≌△AEF ． ∴EG =EF ∵EG =BE -BG【例6】 (2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值．OBEC F A 4321OB ECF A【解析】 连结OB 由上可知，1290+∠=︒∠，2390∠+=∠，13∠=∠，而445C =∠=︒∠，OB OC =．∴OBE OCF ∆∆≌，∴BE FC =，∴BE BF CF BF BC a +=+==．【巩固】等腰直角三角形ABC ，90ABC =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，45EOF =︒∠，试猜想，BE 、BF 、EF 三者的关系．OBE C FA OB EG C F A【解析】 如图，过点O 作OG OE ⊥，交BC 于G ，连结OB ，易知OGC OBE ∆∆≌，∵BE CG =，又∵EO OG =，45EOF FOG =∠=∠，OF OF =， ∴OEF OGF ∆∆≌，∴EF FG =∴BE BF EF CG BF FG AB a ++=++==又∵90B =︒∠，∴BE 、BF 、EF 又存在另一关系式222BF BE EF +=【例7】 如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP ⊥AQ ，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP ，OQ ．求证：OP ⊥OQ ．QRPOD CBA【解析】 欲证OP ⊥OQ ，即证明∠COP +∠COQ =90°．然而，∠COQ +∠QOD =90°，因此只需证明∠COP =∠DOQ 即可．这归结为证明△COP ≌△DOQ ，又归结为证明CP =DQ ，最后，再归结为证明△ADQ ≌△DCP 的问题．证 在正方形ABCD 中，因为AQ ⊥DP ，所以，在Rt △ADQ 与Rt △RDQ 中有∠RDQ =∠QAD ．所以，在Rt △ADQ 与Rt △DCP 中有AD =DC ，∠ADQ =∠DCP =90°，∠QAD =∠PDC ， 所以△ADQ ≌△DCP (ASA )，DQ =CP ．又在△DOQ 与△COP 中，DO =CO ，∠ODQ =∠OCP =45°， 所以△DOQ ≌△COP (SAS )，∠DOQ =∠COP ．从而∠POQ =∠COP +∠COQ =∠DOQ +∠COQ =∠COD =90°， 即OP ⊥OQ ．说明 (1)利用特殊图形的特殊性质，常可发现有用的条件，如正方形对角线互相垂直，对角线与边成45°角，及OA =OB =OC =OD 等均在推证全等三角形中被用到．(2)两个三角形的全等与对应元素相等，这两者互为因果，这是利用全等三角形证明问题的基本技巧．【巩固】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．54321OHBE DK G CFA【解析】 正方形ABCD 中，1245∠==︒∠，OA OB =而3490∠+=︒∠，4590∠+=︒∠ ∴35=∠∠，∴AOE BOF ∆∆≌∴AE BF =，∴AE FC BF FC BC AB +=+==【例8】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．D CBEFA【解析】 证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AB AD =，90BAD ADE ABF ︒∠=∠=∠=．因为EA AF ⊥，所以90BAF BAE BAE DAE ︒∠+∠=∠+∠=，所以BAF DAE ∠=∠，故Rt ABF ∆≌Rt ADE ∆，故DE BF =．【巩固】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．PDC BAABCDEP【解析】 如图，过点D 作DE DP ⊥，延长BC 交DE 于点E ，容易证得ADP CDE ∆∆≌(实际上就是把ADP∆逆时针旋转90︒，得到正方形DPBE )∵正方形DPBE 的面积等于四边形ABCD 面积为16，∴4DP =．【例9】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．M D NEC BFA【解析】 ∵ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形．【巩固】如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC于M ，N 点．求证：CM CN =．NMEDCBA【解析】 ∵ABC ∆与DCE ∆都是等边三角形∴BC AC =，CD CE =及60ACB DCE ∠=∠=︒ ∵B ，C ，E 三点共线∴180BCD DCE ∠+∠=︒，180BCA ACE ∠+∠=︒ ∴120BCD ACE ∠=∠=︒ 在BCD ∆与ACE ∆中 BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCD ACE ∆∆≌， ∴CAN CBM ∠=∠∵120BCD ACE ∠=∠=︒，60BCM NCE ∠=∠=︒ ∴60ACD ∠=︒在BCM ∆与ACN ∆中 60BC AC BCM ACN CBM CAN =⎧⎪∠==︒⎨⎪∠=∠⎩∴BCM ACN ∆∆≌，∴CM CN =．【巩固】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．M D NEC BFAGM H D NEC BF A【解析】 过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB ∆∆≌，利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得到CG CH =，故CF 平分AFB ∠．【巩固】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．请你证明： ⑴AN BM =； ⑵DE AB ∥；⑶CF 平分AFB ∠．M D NEC BFA【解析】 此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．60MCN ∠=与三角形各内角相等，及平行线所形成的内错角及同位角相等； 全等三角形推导出来的对应角相等… 推到而得的：AFC BFC ∠=∠；AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =； AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥ACN MCB ∆∆≌，ADC MCE ∆∆≌，NDC BEC ∆∆≌； DEC ∆为等边三角形．⑴∵ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =⑵由ACN MCB ∆∆≌易推得NDC BEC ∆∆≌，所以CD CE =，又60MCN ∠=， 进而可得DEC ∆为等边三角形．易得DE AB ∥．⑶过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB ∆∆≌，利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．【例10】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点，求证：CDE ∆是等边三角形．M DNECBA【解析】 ∵ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =，ABM ANC ∠=∠ 又∵D 、E 分别是AN 、BM 的中点，∴BCE NCD ∆∆≌，∴CE CD =，BCE NCD ∠=∠∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠= ∴CDE ∆是等边三角形【巩固】(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和CDE ∆(120ACE ∠<°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ∆是( )PMBC DEAA ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形【解析】 易得ACD BCE ∆∆≌．所以BCE ∆可以看成是ACD ∆绕着点C 顺时针旋转60︒而得到的．又M 为线段AD 中点，P 为线段BE 中点，故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得．所以CP CM =且，60PCM ∠=°，故CPM ∆是等边三角形，选C ．【例11】 平面上三个正三角形ACF ，ABD ，BCE 两两共只有一个顶点，求证：EF 与CD 互相平分．FEDBCA【解析】 连接DE 与DF∵DBA EBC ∠=∠，BAD CAF ∠=∠ ∴DBE ABC ∠=∠，BAC DAF ∠=∠ ∴在DBE ∆与ABC ∆中 DB AB DBE ABC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)DBE ABC ∆∆≌ ∴DE CA FC == 在D FA ∆与BCA ∆中 DA BA DAF BAC AF AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)DFA BCA ∆∆≌ ∴DF BC EC ==∴DECF 为平行四边形， ∴EF ，CD 互相平分．【例12】 已知：如图，ABC ∆、CDE ∆、EHK ∆都是等边三角形，且A 、D 、K 共线，AD DK =．求证：HBD ∆也是等边三角形．EKHCDBAMAB DCH KE【解析】 连结EB ，∵CE CD =，CE EA =，BE AD =，所以BE AD =，并且BE 与AD 的夹角为60︒， 延长EB 交AK 于M ，则360300EBH BHD HDE BED HDM MDE MED ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠-∠ ()180********HDM MDE MED HDM HDK =︒-∠+︒-︒-∠-∠=︒-∠=．又因为HK AD BE ==，BH HD =． 所以BEH DKH ∆∆≌． 所以HK HE =，EHD EHD DHK BHE ∠=∠+∠=∠．【例13】 (1997年安徽省竞赛题)如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为△ABC 的高，其反向延长线交FH 于M ，求证：(1)CF BH =;(2)MH MF =M EFHGD CBA【解析】 证明△ABH ≌△AFC ;(2)作P MD FP 于⊥，Q MD HQ 于⊥，先证△AFP ≌△BAD ，△ACD ≌△HAQ ，再证△FPM ≌△HQM【巩固】(2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG =．G FE DCBA【解析】 ∵ADC EDG ∠=∠∴CDG ADE ∠=∠ 在CDG ∆和ADE ∆中 CD AD CDG ADE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CDG ADE ∆∆≌ ∴AE CG =【巩固】以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE =BG ，且CE ⊥BG ．OGFEDCBA 【解析】 易证△AEC ≌△ABG ，故∠ACE =∠AGB ，又AC ⊥AG ，∠AOG =∠BOC ，故CE ⊥BG ．【例14】 (北京市初二数学竞赛试题) 如图所示，在五边形ABCDE 中，90B E ∠=∠=︒，AB CD AE ===1BC DE +=，求此五边形的面积．EDCBAF EDCBA【解析】 我们马上就会想到连接AC 、AD ，因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面积并不容易，至此思路中断． 我们回到已知条件中去，注意到1BC DE +=，这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的“截长补短法”，那么可否把BC 拼接到DE 的一端且使EF BC =呢(如图所示)？据此，连接AF ，则发现ABC ∆≌AEF ∆，且1FD =，AF AC =，AE AB =，ADF ∆是底、高各为1的三角形，其面积为12，而ACD ∆与AFD ∆全等，从而可知此五边形的面积为1．【巩固】(江苏省数学竞赛试题)如图，已知五边形ABCDE 中，∠ABC =∠AED =90°，AB =CD =AE =BC +DE =2．求该五边形的面积．EDCBAFEDCBA【解析】 延长CB 至F ，使得BF =DE ，连接AF 、AC 、AD ．∵∠ABC =∠AED =90°，AB =AE ，BF =DE ∴△ABF ≌△AED ∴AF =AD∵CD = BC +DE =BC +BF =CF ，AC =AC ∴△ACF ≌△ACD ∵AB =CD =CF =2∴该五边形的面积为16．点评：本题可看作将五边形ABCDE 分割成三块，通过割补重新组合成一个规则的图形．【巩固】(希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题) 在五边形ABCDE 中，已知AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=，连接AD ．求证：AD 平分CDE ∠．EDCBAFEDCBA【解析】 连接AC ．由于AB AE =，180ABC AED ∠+∠=．我们以A 为中心，将ABC ∆逆时针旋转到AEF ∆的位置．因AB AE =，所以B 点与E 点重合，而180AEF AED ABC AED ∠+∠=∠+∠=，所以D 、E 、F 在一条直线上，C 点旋转后落在点F 的位置，且AF AC =，EF BC =． 所以DF DE EF DE BC CD =+=+=． 在ACD ∆与AFD ∆中，因为AC AF =，CD FD =，AD AD =， 故ACD ∆≌AFD ∆，因此ADC ADF ∠=∠，即AD 平分CDE ∠．【例15】 (2008山东)在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD 中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程．ABCDE FE DCBA【解析】 延长BE 交CD 延长线于点F ．E ∵是AD 中点，DE AE =∴，AB CD ∵∥，90A ∠=︒，90EDF EAB ∠=∠=︒∴，ABE DFE ∠=∠ 在AEB ∆和FED ∆中， ABE DFE EAB EDF AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵ AEB FED ∆∆∴≌，FE BE =∴又2,3,1AB BC CD ===∵，CF BC =∴ 在FCE ∆和BCE ∆中， FC BC CE CE FE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∵ FCE BCE ∆∆∴≌，CE EB ⊥∴【习题1】如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD+相等的理由．EDCBA【解析】 ∵AC AB =，CAE BAD ∠=∠，AE AD =∴AEC ADB ∆∆≌ ∴CE BD =又∵BD BC CD AC CD =+=+ ∴CE AC CD =+【习题2】(湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．FEDCBA【解析】 ∵ADC EDF ∠=∠∴ADE CDF ∠=∠ 在ADE ∆和CDF ∆中 DAE DCF AD CDADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ADE CDF ∆∆≌ ∴DE DF =【习题3】如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各存一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求∠PCQ 的度数．Q P DCBAQP FDCBA【解析】 把△CDQ 绕点C 旋转90°到△CBF 的位置，CQ =CF ．∵AQ +AP +QP =2，家庭作业又AQ +QD +AP +PB =2，∴QD +BP =QP ．又DQ =BF ，∴PQ =PF ．∴QCP FCP ∆∆≌．∴∠QCP =∠FCP ． 又∵∠QCF =90°，∴∠PCQ =45°．【习题4】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高．求证：CG CH =．HG NM C BA【解析】 由ACN MCB ∆∆≌，利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得到CG CH =．【备选1】(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．NM DCBA NM ED C BA【解析】 如图所示，延长AC 到E 使CE BM =．在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =， 所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =．因为120BDC ∠=，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=． 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=．在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=，D M D E =， 所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2．【备选2】在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．月测备选APMCQ BAP MC QB【解析】 连接CM ．因为AC BC =且90ACB ∠=，所以45B ∠=．因为M 是AB 的中点，所以90AMC BMC ∠=∠=，45ACM ∠=且CM BM =，则ACM B ∠=∠． 因为MQ MP ⊥，所以90QMC CMP PMB ∠=-∠=∠，所以QCM PBM ∆∆≌， 所以QM PM =．因此MPQ ∆是等腰直角三角形，在P 的运动过程中形状不变． MPQ ∆的面积与边MP 的大小有关．当点P 从B 出发到BC 中点时，面积由大变小； 当P 是BC 中点时，三角形的面积最小；P 继续向点C 运动时，面积又由小变大．【备选3】如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．FED CBA FEDMCBA【解析】 延长CB 至M ，使得BM D F =，连接AM ．易证得：ABM ADF ∆∆≌，从而可得：AFD BAF EAF BAE BAM BAE EAM ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠， AM B EAM ∠=∠，故AE EM BE BM BE DF ==+=+．【备选4】等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ∆的形状．DFE CBA【解析】 由条件1AE CF +=，且1DF CF +=，得AE DF =．因为AB DB =，60A BDF ∠=∠=，所以ABE DBF ∆∆≌， 因此BE BF =，ABE DBF ∠=∠．因为60EBF EBD DBF EBD ABE ABD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=， 所以BEF ∆为等边三角形．。
历届(第1-23届)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案
“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题......................003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题......................010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。
-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。
-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。
-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。
-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。
-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。
-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。
-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。
-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。
-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。
中考1997~2000年安徽中考数学
1997年安徽中考数学第一卷一、填空（本题满分20分，每空2分）1．比-3C低6C的温度是______C．3．在长方体（如图）中，棱AA1与面______垂直．4．对角线互相垂直平分的四边形是______．5．设圆锥的体积是50(cm3)，这个圆锥底面积S(cm2)与圆锥高h(cm)的关系式是______．7．已知圆的半径为R，它的内接正三角形的周长是______．8．不解方程，判断方程x2-5x+9=0的根的情况是______．9．如图，线段AB关于点O（不在AB上）的对称线段是A′B′；线段A′B′关于点O′（不在A′B′上）的对称线段是A″B″．那么线段AB与线段A″B″的关系是______．10．两组数据(a)-2，-1，0，1，2，(b)-3，0，0，0，3的方差分别是______．二、选择题（3*10=30分）．1．平方得16的数是[ ]A．±4B．-4C．4D．±82．下列说法正确的是[ ]A．小于平角的角是锐角B．相等的角是对顶点C．邻补角的和等于180°D．同位角相等3．下面两点中，关于x轴对称的是[ ]A．A1(-1，3)，B1(1，-5)B．A2(3，-5)，B2(-3，-5)C．A3(-2，4)，B3(2，-4)D．A4(5，-3)，B4(5，3)5．某班举办了一次集邮展览，展出的邮票比平均每人3张多24张，比平均每人4张少25张，这个班共展出邮票张数是[ ]A．174B．178C．168D．1646．△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，tanB的值是[ ]7．下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减小的是[ ]8．两圆半径为4cm和2cm，圆心距为5cm，则这两圆的位置关系是[ ]A．相交B．相外切C．相内切D．相离9．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是[ ]A．AB∥CD，AC=BD B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=AD，CD=BC D．AB=CD，CB=AD10．已知直线y=kx+b经过点(-5，1)和点(3，-3)，那么k和b的值依次是[ ]三、（4*2=8分）(2)分解因式：x3-27四、（5*2=10分）五、（6*2=12分）(1)△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AD垂直平分EF．(2)AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°．求证：DC 是⊙O的切线．六、（6*2=12分）(2)通过配方，确定抛物线y=-2x2-5x+7的开口方向、对称轴和顶点坐标．七、（本题满分8分）已知一组数据：25、21、23、25、27、29、25、28、30、2926、24、25、27、26、22、24、25、26、28填写下面的频率分布表：第二卷一、（本题满分12分，每小题6分）B1C1，二、（6*2=12分）(1)如图，在正方形网格上，有两个三角形ABC和A1求证：△ABC∽△AB1C1．1(2)已知：如图，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm．求：⊙O的半径．三、（8分）课本上，在“三角形内角和”这节开头有这样一段叙述：“在小学里，我们曾像图3—7那样折叠一个三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，得到‘三角形内角和等于180°’的结论”．现在我们问：折痕EF是三角形的什么线？为什么这样做可以把三角形拼在一起，试证明．四、（8分）如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验地面积为570m2，问道路应为多宽？五、（10分）1．抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2，2)、点B(2，-3)和点O(0，0)，求它的解析式．2．抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2，2)和点B(2，-3)时，求证方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根．1998年安徽中考数学一、单选题(每道小题4分共48分)1. 实数可分为[ ]A．正数和零B．有理数和无理数C．负数和零D．正数和负数2. 下列运算正确的是[ ]A．x＜2B．x≤0C．x＞2D．x≥0且x≠24. 数据90，91，92，93的标准差是[ ]5. 菱形具有，而矩形不一定具有的性质是[ ]A．对角线平分一组对角B．对角线互相平分C．对角相等D．对边平行且相等6. 在△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则cosB等于[ ]7. 下列式子中是最简二次根式的是[ ]8. 已知方程x2+kx+6=0的两实根为x1，x2，同时方程x2-kx+6=0的两实根为x1+5，x2+5，则k的值等于[ ]A．5B．-5C．7D．-79. 如果点A(x,y)在第三象限，则点B(-x,y-1)在[ ]A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10. 如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的图象大致是[ ]11. 某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面止主安装一个水平挡光板AC，使中午间光线不能直接射入室内(如图)，那挡光板AC的宽度应为[ ]12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=80°，那么，∠BCD的度数是[ ]A．80°B．100°C．140°D．160°二、填空题(每道小题3分共30分)1. 如图，在长方体中，与面ABCD垂直的棱共有_______条．2. 计算|-3|-(-2)=______．3. 分解因式x2+5x+6=____________．5. 某乡粮食总产量为m吨，那么，该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口x的函数关系式是______．6. 在一组数据的频率分布直方图中，所有小长方形的面积的和等于______．7. 某公司1996年出口创收135万美元，1997年、1998年每年都比上一年增加a%，那么，1998年这个公司出口创收______万美元．8. AD为Rt△ABC斜边BC上的高，已知AB=5cm，BD=3cm，那么BC=______cm．9. 已知两相交圆的半径为5cm和4cm，公共弦长为6cm，则这两圆的圆心距为______m．10. 已知扇形的圆心角为120°，弧长为20πcm，这个扇形的面积是____cm2．三、解答题(1-5每题7分, 6-7每题10分, 共55分)3. 在等式y=ax2+bx+c中，当x=-2时，y=-1；x=0时，y=2；x=2时，y=0．求a、b、c的值．5. ⊙O的半径为5，P是圆内一点，且OP=3，求过P点最短弦、最长弦的长各是多少？7. 如图，△ABC中，∠B＝90°，点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动．(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△PBQ的面积等于8厘米2？(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6厘米2？四、证明题(第1小题7分, 第2小题10分, 共17分)1. BE，CF分别是△ABC的中线，BE、CF交于G．求证：GB∶GE=GC∶GF=2．2. 已知⊙O中OA、OB是两条互相垂直的半径，P为OA延长线上任一点，BP与⊙O相交于Q，过Q作⊙O的切线QR与OP相交于R．求证：RP＝RQ．1999年安徽中考数学一、填空题（本题满分20分，共10小题，每小题2分．）2．一个角和它的余角相等，那么这个角的度数是____．3．分解因式：x2-4=____．4．点P（-2，3）关于y轴对称的点的坐标是____．6．已知数据9，3，5，7，那么这组数据的中位数是____．7．某商场里出售一种彩电，每台标价为3300元，现以九折出售，每台售价比进价多150元，那么这种彩电每台的进价是____元．8．如图，在长方体中，与面AA′D′D平行的面是____．9．一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是____．10．如图，在⊙O内，AB是内接正六边形的一边，AC是内接正十边形的一边，BC是内接正n边形的一边，那么n=____．二、选择题（本题满分30分）11．用四舍五入法，按保留三个有效数字的要求，求得0.02026的近似值是[ ]A． 0.020 B．0.0203. C．0.021 D．0.020212．计算（-2x3）2÷2x的结果是[ ]A．-4x4B．-4x5C．2x4D．2x513．下面各题中两个式子的值相等的是[ ]A．-23或（-2）3. B．32与23. C．（-2）2与-22D．|-2|与-|-2|14．一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形的边数是[ ]A．7 B．6 C．5 D．4[ ]A．x＜3 B．x≤4. C．x＜3或x≥4 D．3＜x≤416．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，能判定它是正方形的题设是[ ]A．AB=BC=CD=DA. B．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.C．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD. D．AB=BC，CD=DA17．关于x的二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是[ ]A．a≠0，且a＜1 B．a＞1. C．a=1 D．a＜118．下列函数关系中，成反比例函数的是[ ]A．矩形的面积S一定时，长a与宽b的函数关系.B．矩形的长a一定时，面积S与宽b的函数关系C．正方形的面积S与边长a的函数关系.D．正方形的周长L与边长a的函数关系19．以方程2x2+x-5=0的两根之和与两根之积为根的一元二次方程是[ ]A．4x2+8x-5=0 B．4x2-8x-5=0. C．4x2+12x+5=0 D．4x2+12x-5=020．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，△ABC，△ABD，△ACD的外接圆半径分别为R，R1，R2，那么有[ ]A. R=R1+R2.B. R= .C. R2=R1R2.D. R2=R12+R22.三、（本题满分12分，共两小题，每小题6分．）四、（本题满分12分，共两小题，每小题6分．）23.已知RtΔABC中,∠C=900,a=,b=,求∠A的正弦、余弦、正切的值.24．如图，等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E、F分别为AD、BC的中点．证明：EF⊥BC．五、（本题满分16分，共两小题，每小题8分．）26．已知在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，六、（本题满分10分，只有1题．）27．某人用一架不等臂天平称一铁块G的质量，当把铁块放在天平的左盘中时，称得它的质量为0.4千克；当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为0.9千克，求这一铁块的实际质量．七、（本题满分10分，只有1题．） 28．已知函数y 1=x ，y 2=（x+1）2-7． （1）求它们图象的交点；（2）结合图象，确定当x 为何值时，有y 1＞y 2；y 1＜y 2?八、（本题满分10分，只有1题．） 29.在ΔABC 中，已知BC=a,CA=b,AB=c,s=2cb a ++,内切圆I 和BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F.求证：(1)AF=s-a;(2) S ΔABC =s(s-a)tan2A .2000年安徽中考数学一、填空（本题满分30分，每小题3分）1、-2的绝对值是_______2、=____。
20095_1997年安徽省初中.doc
1997年安徽省初中数学竞赛试题第一试（4月6日上午8：00-9：00）一.选择题（本题共35分，每小题7分）1.在右边的一排方格中,每个方格中除9、7外其余字母各表示一个数,已知其中任何3个连续方格中的数之和为19,则A+H+M+O 等于( ).(A)21. (B)23. (C)25. (D)262.若,那么以为三边的△ABC 的内切圆半径r 与外接圆半径R 之和是( ).(B) . (C). (D)3.已知关于x 的不等式(2a-b)x+a-5b>0的解是,则ax+b>0的解是( ) (A). (B) . (C) . (D) .4.在等腰直角△ABC 的斜边AB 上取两点M 、N ，使∠MCN=45°，记AM=m ，MN=x ，BN=n ，则以x,m,n 为边长的三角形的形状是( )(A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)随x,m,n 的变化而变化的.5.已知p、q是有理数,而满足方程,则p+q的值是( ) (A) -1. (B) 1. (C) -3. (D)3二、填空题(本题满分35分,每小题7分)1.如图,在⊙O中, =90°,弦AB=a,以B为圆心,以BA为半径画圆弧交⊙O于另一点C,则由两条圆弧所围成的月亮形(阴影部分)的面积S=_____.2.已知：，则S被103除的余数是________.3. 甲乙两地分别在河的上、下游,每天各有一班船准点依匀速从两地对开,通常它们总在11时于途中相遇.一天乙地的船因故晚发了40分,结果两船在上午11时15分在途中相遇.已知甲地开出的船在静水中的速度数值为44千米/时,而乙地开出的船在静水中的速度为水流(匀)速度V千米/时数值的平方,则V=_______千米/时.4.已知a为整数，一元二次方程的两实根为、，则=___________.5.设为自然数,且,又.则的最大值为________.第二试(4月6日上午10:00-11:40)一、(本题满分20分)如图,正方形EFGH内接于△ABC,设BC=(这是一个二位数),EF=c,三角形的高AD=d.已知a,b,c,d恰好是从小到大的四个连续正整数,试求△ABC的面积.二、(本题满分25分) 已知正n边形共有n条对角线,它的周长等于p,所有对角线长的和等于q,求的值.三、(本题满分25分)1.试设计一种方法,把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形(分得的正方形大小可以不相同);又问如何把正方形按上述要求分成31个正方形.2.试设计一种方法,把一个立方体分割成55个立方体(分得的立方体大小可以不相同).情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。
第17讲 三角形的五心
第17讲 三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．A 类例题例1 证明重心定理。
证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，ABCOABCD EFGABC DEFI aIK HEFD ABCMABCDEFG显然EF∥=12BC，由三角形相似可得GB＝2GE，GC=2GF．又设AD、BE交于G'，同理可证G'B=2G'E，G'A=2G'D，即G、G'都是BE上从B到E的三分之二处的点，故G'、G重合．即三条中线AD、BE、CF相交于一点G．证法2 设BE、CF交于G，BG、CG中点为H、I．连EF、FH、HI、IE，因为EF∥=12BC，HI∥=12，所以EFHI为平行四边形．所以HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF．同证法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共点．即定理证毕．C情景再现1．设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证：四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．B 类例题例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P '.试证：P '点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析 分析点M 和N 的性质，即能得到解题思路。
1997年全国初中毕业_升学考试数学试题选登
31. 已知: 如图, △A B C 内接于⊙O , P 为⊙O 外
·29·
●试题研究
《数学教师》1997 年第 12 期
一 点, 作 ∠C PD = ∠A , 使 PD 交⊙O 于 D 、E 两点, 并 与 A B 、A C 分别交于点 M 、
N. ( 1) 求 证: DN ·N E =
M N ·N P. (2) 若 PD ∥CB , 求证: P C 是⊙O 的切线. 九、(12 分) 32. 已知: a、b、c 分别是△A B C 的
( )
(A ) 42°.
(B ) 51°.
(C) 87°.
(D ) 93°.
13. 把抛物线 y = x 2+ 4 向下平移 1 个单位, 所
得抛物线的解析式是
( )
(A ) y = x 2+ 3. (B ) y = x 2+ 5. (C ) y = (x + 1) 2+ 4. (D ) y = (x - 1) 2+ 4.
A B = 7 6 , 求 P C 的长. 注 这是南京市 1997 年初中毕业、升学统一考
试 数 学 试 题. 其 中 第 一 题 为 第 卷 第 一 部 分 ( 24 分) , 第二题为第 卷第二部分 (30 分) , 第三～ 五题 为第 卷第一部分 (26 分) , 第六～ 十题为第 卷第 二部分 (70 分) , 共 150 分. 张绍东供稿 (南京师范大 学数学系 210097)
为 S 2, 则 S 1 与 S 2 的关系是 ( )
(A ) S 1> S 2. (B ) S 1< S 2.
(C ) S 1= S 2.
(D ) S 1≥S 2.
第03讲 等腰三角形和等边三角形
B 3第3讲 等腰三角形和等边三角形几何学是在不准确的图形上进行正确推理的艺术。
——波利亚 知识方法扫描有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是一种轴对称图形，它的底角相等，它的底边上的高和中线，顶角的平分线重合。
三边相等的三角形叫等边三角形，等边三角形三个内角都是60º。
在出现等腰三角形的题目中，常用的辅助线作出等腰三角形底边上的高（对称轴）。
这样可以得到一对全等的直角三角形。
根据题目的条件与结论，选取合适的对称轴往往是解题的突破口。
此外，在有一个角是60º的情况下，构造等边三角形也是常用的方法。
经典例题解析例1．（2003年重庆市初中数学竞赛决赛试题）在等边三角形ABC 所在平面内确定一点P,使PAB ∆、PAC ∆、PBC ∆都是等腰三角形。
则满足条件的点P 共有（ ） （A ）1个 （B ）4个 （C ）7个 （D ）10个解 除了等边三角形ABC 的中心外，我们考察BC 点：P 1是A 点上方的点，A P 1等于等边三角形ABC 的边长；P 1是BC 下方的点，A P 2等于等边三角形ABC 的边长；P 3也是BC 下方的点，三角形P 3BC 是等边三角形。
在AB ，AC 的垂直平分线上也各有3个点，一共是3+3+3+1=10个点。
选D 。
例2．（2003年全国初中数学联赛试题）如图，AA ′，BB ′分别是∠EAB ，∠DBC 的平分线，若AA ′＝BB ′＝AB ，则∠BAC 的度数为________。
解 设∠BAC 的度数为x 。
因AB ＝BB ′，所以∠B ′BD ＝2x ，∠CBD ＝4x 。
又AB ＝AA ′，故∠AA ′B ＝∠ABA ′＝∠CBD ＝4x 。
因∠A ′AB ＝21（180°－x ）， 所以21（180°－x ）＋4x ＋4x ＝180°。
解之得 x ＝12°。
评注 本题的结果告诉我们：两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。
三角形内接正方形的一个关系式及其应用
三角形内接正方形的一个关系式及其应用-权威资料本文档格式为WORD,若不是word文档,则说明不是原文档。
最新最全的学术论文期刊文献年终总结年终报告工作总结个人总结述职报告实习报告单位总结如果正方形的四个顶点都在三角形的边上，那么这个正方形称为此三角形的内接正方形.关于三角形的内接正方形问题，有一个应用广泛的关系式：若三角形的一边长为a，这边上的高为h，则立在这边上的内接正方形的边长为aha+h.证明如图1，设△ABC的内接正方形边长为x，BC=a，AD=h，则因为OR∥BC，所以△AOR∽△ABC，所以ORBC=AFAD，即xa=h-xh，所以x=aha+h.这一关系式即为北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册第147页的例题.利用这个关系式，可以解答三角形的内接正方形的有关问题，现以部分竞赛题为例说明如下.例1 （1991年全国初中数学联赛试题）如图1，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是S1=1、S2=3和S3=1，那么，正方形OPQR的边长是（）A.2B.3C.2D.3解作AD⊥BC于D，交OR于F，设正方形OPQR的边长为x，则1=S1=12x·AF，从而有AF=2x，同理可得BP=6x，QC=2x，于是BC=x+8x，AD=x+2x.所以由上述关系式得x=（x+8x）（x+2x）x+8x+x+2x，化简整理得x4=16，因为x为正，所以x=2，故选C.点评本题通过设内接正方形的边长为x，先利用三角形的面积公式，求得AF、BP、QC用x表示的分式，再运用三角形内接正方形的关系式列出一个分式方程，最后求得x，由于运用代数方法解决了几何问题，因而数形结合，问题也由繁变简了.例2 （第五届美国数学邀请赛试题）如图2，△ABC （∠C=Rt∠）的两个内接正方形DFCE、PQMN的面积分别是S1=441、S2=440，求AC+BC的值.解令BC=a，AC=b，AB=C，斜边上的高为h，则由上述关系式得S1=aba+b，S2=chc+h.注意到ab=ch，a2+b2=c2，即有S1=c2h2c2+2ch，而有c2+2ch=c2h2S1，于是S2=c2h2c2+2ch+h2=c2h2c2h2S1+h2=c2S1c2+S1，由此解得c2=S1S2S1-S2.再注意到ad=S1（a+b），即有c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=（a+b）2-2S1（a+b），从而有c2+S1=（a+b-S1）2，于是S1S2S1-S2+S1=（a+b-S1）2，由此可解得ab=S1+S1S1-S2.将S1=441，S2=440代入上式即得a+b=462，即AC+BC的值为462.点评本题比较复杂，如用常规方法求解，将很困难.然而两次运用了三角形内接正方形的关系式，结合三角形面积化简轻松求得结果.本题又是一道代数与几何融为一体的综合题，解题关键是通过数形结合方法直观解题，因而有明显的选拔功能和考查功能.例3 （1986年美国第四届数学邀请赛试题）证明边长为2的正方形必不能被三边分别为3、4、5的三角形所覆盖.证明令△ABC的边AC=3，BC=4，AB=5，则∠ACB=Rt∠，如图3可知，正方形DECF为内接于Rt△ABC的最大正方形，设CE=x，由上述关系式得x=3×43+4=127.因为127<2，所以边长为2的正方形必不能被三边分别为3、4、5的三角形所覆盖.点评本题设计比较新颖，难度不太大，只要运用三角形内接正方形的关系式求得正方形边长127，再通过与已知正方形边长2比较就可以了.例4 如图4，在锐角△ABC中内接一正方形PQMN，试证明这正方形的面积不超过三角形ABC面积之半，（1978年广东省中学生数学竞赛题）.证明设△ABC的底边BC=a，高AD=h，正方形边长为x，由三角形的内接正方形的关系式得xa+xh=1. ①又SPQMN=x2，即xa·xh=SPQMNah②所以由①、②知xa、xh是方程z2-z+SPQMNah=0的两个实数根.所以Δ≥0，即（-1）2-4×1×SQPMNah≥0.从而得SPQMN≤ah4=12.12ah=12S△ABC，即SPQMN≤12S△ABC.点评本题是一道几何与韦达定理，一元二次方程根的判别式构成的综合题.解题关键是先利用三角形内接正方形的关系式求得x=aha+h推出xa+xh=1①，再由SPQMN=x2推出xa·xh=SPQMNah②，然后利用韦达定理的逆定理，利用①、②构造出一元二次方程z2-z+SPQMNah=0，最后应用根的判别式Δ≥0得证，这种解题主法充分体现了构造法解题的科学性，符合新课程的理念要求，利于激发学生的学习数学的积极性，利于培养学生的创新和探索精神.例5 如图5，正方形EFGH内接于△ABC，设BC=ab（这是一个两位数），EF=C，三角形的高AD=d，已知a，b，c，d 恰好是从小到大的四个连续正整数，试求△ABC的面积，（1997年安徽省部分地区初中数学竞赛题）解由上述关系式得 1d+ 1 ab=1c，依题意有b=a+1，c=a+2，d=a+3，则ab=10a+b=11a+1，所以1a+3+111a+1=1a+2.化简得（a-3）2=4，所以a-3=±2，a1=1，a2=5.当a=1时，S△ABC=12·ab·d=12×12×4=24；当a=5时，S△ABC=12·ab·d=12×56×8=224.点评本题是一道几何与代数相结合的综合题，解题关键是先利用关系式写出1d+1ab=1c再结合b=a+1，c=a+2，d=a+3，通过化简变形求得a的值，最后求得S△A BC.这是一道创新的竞赛题，由于数形结合，因而符合新课程改革的理念要求.综上所述可知，应用本文中的关系式解竞赛问题，其关键在于要从问题的实际出发，根据题设去灵活运用，通过教学实践，笔者认为，注意对学生进行课本内容的探究应用的研究，有利于培养学生的思维品质，有利于调动学生学习的积极性，有利于提高学生的专题总结水平，有利于融会贯通所学过的几何代数知识，有利于培养学生研究数学的兴趣，有利于提高教与学的质量.阅读相关文档:140例口腔颌面部恶性肿瘤临床病理分析国内职教动态信息若干则厄贝沙坦氢氯噻嗪治疗原发性高血压疗效观察颅脑外伤术后应激性溃疡护理研究结合Illustrator教学实例探讨直接教学模式中职项目Access数据库的有效教学实践藏药涂抹药的应用前景研究白内障术前术后护理体会《数控系统数据备份与恢复》单元教学设计案例研究 50例脑梗塞并肺部感染致气道阻塞病人的护理体会电视节目低俗化的深层反思截瘫患者临床护理体会 1例骨盆肿瘤切除及人工骨盆重建术的护理体会浅谈胃切除患者手术后早期经口饮食的护理对32例妊娠高血压患者的综合护理分析护理干预配合临床中西医*本文若侵犯了您的权益，请留言。