2018年安徽数学竞赛(初赛)试题及答案word版

2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题参考答案

第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D二、7.-18.30°9.3或-110.221三、11.（1）19×11=12×æèöø19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×æèöø12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分（3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×æèöø1-13+12×æèöø13-15+12×æèöø15-17+12×æèöø17-19+⋯+12×æèöø1199-1201=12×æèöø1-13+13-15+15-17+17-19+⋯+1199-1201……………………………………………15分=12×æèöø1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分（2）∠APC =∠α+∠β.理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ，所以AB ∥PE ∥CD .所以∠α=∠APE ，∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分（3）当点P 在BD 延长线上时，∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时，∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =æèöø120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分（2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达.…………………………………………………………………………………………………………10分根据题意，得2∙x -x 50∙550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分。

2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题参考答案

第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D二、7.-18.30°9.3或-110.221三、11.（1）19×11=12×æèöø19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×æèöø12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分（3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×æèöø1-13+12×æèöø13-15+12×æèöø15-17+12×æèöø17-19+⋯+12×æèöø1199-1201=12×æèöø1-13+13-15+15-17+17-19+⋯+1199-1201……………………………………………15分=12×æèöø1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分（2）∠APC =∠α+∠β.理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ，所以AB ∥PE ∥CD .所以∠α=∠APE ，∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分（3）当点P 在BD 延长线上时，∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时，∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =æèöø120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分（2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达.…………………………………………………………………………………………………………10分根据题意，得2∙x -x 50∙550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分。

【竞赛试题】2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

1【竞赛试题】2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(考试时间:2018年6月30日上午9:00)一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简)1、设三个复数1, i, z 在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z=2、设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n=3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期=4.设点P,Q 分别在函数y=2x 和y=log 2x 的图象上，则|PQ|的最小值=5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤1的概率=6、在边长为I 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=7、设H 是△ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos ∠AHB=8、把1，2，…,n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是1,2,…,n.例如：3123894765T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设2018在T 100的第i 行第j 列，则(i,j)= · 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分)9、如图所示，设ABCD 是矩形，点E, F 分别是线段AD, BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D, H 关于线段AG 的垂直平分线L 对称.求证:∠HAB=3∠GAB.10、设O 是坐标原点，双曲线C:上动点M 处的切线交C 的两条渐近线于A,B 两点。

（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB 的面积S 是定值。

（2）求△AOB 的外心P 的轨迹方程.11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: ) 222x23y z xy yz zx ++≥++.（2）是否存在实数x.y,z下式恒成立？()222x23y z k xy yz zx++≥++，试证明你的结论.12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.232018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷考试时间:2019年6月30日上午9:001.设三个复数1,i,z 在复平面上对应的三点共线，且5z =，则z =4-3i,34i -+.2.设n 是正整数，且满足5438427732293n =,则n =213.3.函数()sin2sin3sin4f x x x x =++的最小正周期=2π.4.设点,P Q 分别在函数2x y =和2log y x =的图象上,则PQ 的最小值=5、从1,2,,10⋅⋅⋅中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率=115. 6、在边长为1的正方体1111ABCD A BC D -内部有一小球，该小球与正方体的对角线段1AC 相切，则小球半径的最大值 7、设H 是ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cosAHB ∠=6-. 8、把21,2,,n ⋅⋅⋅按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格n T ，第一行是1,2,,n ⋅⋅⋅.例如：3123894765T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设2018在100T 的第i 行第j 列，则(),i j =()34,95.9、如图所示，设ABCD 是矩形，点,E F 分别是线段,AD BC 的中点，点G 在线段EF 上，点,D H 关于线段AG 的垂直平分线L 对称.求证:3HAB GAB ∠=∠.。

2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)word版含解析

2018 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8 分和0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9 小题4 分为一个档次，第10、11 小题5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8 小题，每小题8 分，满分64 分．1. 设集合A 1, 2, 3, , 99 , B {}2x x A∈, C {}2x x A∈，则B C 的元素个数为．答案：24 ．解：由条件知，B C 2, 4, 6, ,198 12, 1, 32,2, ,9922, 4, 6, , 48 ，故B C 的元素个数为24 ．2. 设点P 到平面Q 在平面上，使得直线PQ 与所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．答案：8 ．解：设点 P 在平面上的射影为O．由条件知，tan[3OPOPQOQ=∠∈即OQ [1, 3]，故所求的区域面积为 32 12 8 ．3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为a, b, c, d,e, f ，则abc +def是偶数的概率为答案：9 10解：先考虑abc +def 为奇数的情况，此时abc, def 一奇一偶，若abc 为奇数，则a, b, c 为1, 3, 5的排列，进而d , e, f 为2, 4, 6的排列，这样有3! ×3! = 36 种情况，由对称性可知，使abc +def 为奇数的情况数为36 ×2 = 72 种．从而abc +def 为偶数的概率为72729116!72010-=-=1 / 64. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C :22221x y a b += (a b 0) 的左、右焦点分别是 F 1 、F 2 ，椭圆C 的弦 ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P ．已知线段 PU , PS , PV , PT 的长分别为1, 2, 3, 6 ，则 PF 1F 2 的面积为．解：由对称性，不妨设 P ( x P , y P ) 在第一象限，则由条件知x 1()2PT PS - 2, y 1()2PV PU - 1即 P (2, 1) ．进而由 x P PU 1, PS 2 得U (2, 2), S (4, 1) ，代入椭圆C 的方程知111144161a b a b ⋅+⋅=⋅+=，解得a 220, b 2 5 ．从而121212PF F P P S F F y y ∆===5. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间[0, 1] 上严格递减，且满足 f ( ) 1 f (2 ) 2 ，则不等式组121()2x f x ⎧⎨≤≤⎩的解集为．答案：[ 2, 8 2 ] ．解：由 f ( x ) 为偶函数及在[0, 1] 上严格递减知， f ( x ) 在[ 1, 0] 上严格递增，再结合 f ( x ) 以 2 为周期可知，[1, 2] 是 f ( x ) 的严格递增区间．注意到f ( 2) f ( ) 1, f (8 2 ) f ( 2 ) f (2 ) 2 ，所以1 f ( x )2 f ( 2) f ( x ) f (8 2 ) ，而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2 ] ．6. 设复数 z 满足z 1 ，使得关于 x 的方程 zx 2 2 z x 2 0 有实根，则这样的复数 z 的和为．答案：32-解：设 z a b i (a , b R , a 2 b 2 1) ．将原方程改为 (a b i) x 2 2(a b i) x 2 0 ，分离实部与虚部后等价于 ax 2 2ax 2 0 ， ① bx 2 2bx 0 ．②若b 0 ，则 a 2 1 ，但当 a 1 时，①无实数解，从而 a 1 ，此时存在实数 x 1 z 1 满足条件．若 b 0 ，则由②知 x {0, 2} ，但显然 x 0 不满足①，故只能是 x 2 ，代入①解得 a 14=-，进而b ，相应有 z综上，满足条件的所有复数 z 之和为 1=32- 7. 设O 为 ABC 的外心，若AO AB 2 AC ，则sin BAC 的值为．解：不失一般性，设 ABC 的外接圆半径 R 2 ．由条件知， 2 AC AO AB -① 故 AC12BO 1 ．取 AC 的中点 M ，则 OM AC ，结合①知 OM BO ，且 B 与 A 位于直线 OM 的同侧．于是 cos BOC cos (90 MOC ) sin MOC MOOC14=-在 BOC 中，由余弦定理得BC =进而在 ABC 中，由正弦定理得sin BAC2BC R =8. 设整数数列 a 1 , a 2 , , a 10 满足 a 10 3a 1 , a 2 a 8 2a 5 ，且 a i 1 {1 a i ,2 a i }, i 1, 2, , 9 ，则这样的数列的个数为．答案：80 ．解：设b i a i 1 a i {1, 2}(i 1, 2, , 9) ，则有 2a 1 a 10 a 1 b 1 b 2 b 9 ， ① b 2 b 3 b 4 a 5 a 2 a 8 a 5 b 5 b 6 b 7 ．②用t 表示b 2 , b 3 , b 4 中值为 2 的项数．由②知，t 也是 b 5 , b 6 , b 7 中值为 2 的项数，其中t {0, 1, 2, 3} ．因此 b 2 , b 3 , , b 7 的取法数为 (03C )2 (13C ) 2 (23C ) 2 (33C ) 2 20取定b 2 , b 3 , , b 7 后，任意指定 b 8 , b 9 的值，有 22 4 种方式．最后由①知，应取 b 1 {1, 2} 使得b 1 b 2 b 9 为偶数，这样的 b 1 的取法是唯一的，并且确定了整数 a 1 的值，进而数列 b 1 , b 2 , , b 9 唯一对应一个满足条件的数列 a 1 , a 2 , , a 10 ．综上可知，满足条件的数列的个数为 20 4 80 ．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）已知定义在 R上的函数 f ( x )为3log 109()49x x f x x⎧-≤⎪=⎨-⎪⎩设 a , b , c 是三个互不相同的实数，满足 f (a ) f (b ) f (c ) ，求 abc 的取值围．解：不妨假设 a b c ．由于 f ( x ) 在 (0, 3] 上严格递减，在[3, 9] 上严格递增，在[9, ) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知 a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，并且 f (a ) f (b ) f (c ) (0, 1) ． …………………4 分由 f (a ) f (b ) 得 1 l og 3 a log 3 b 1 ，即 log 3 a log 3 b 2 ，因此 ab 32 9 ．于是 abc 9c ． …………………8 分又0 f (c ) 4 1， …………………12 分故 c (9, 16) ．进而 abc 9c (81, 144) ．所以， abc 的取值范围是 (81, 144) ． …………………16 分注：对任意的 r (81, 144) ，取09r c =，则0c ∈ (9, 16) ，从而 f (0c ) ∈ (0, 1) ．过点 (c 0 , f (c 0 )) 作平行于 x 轴的直线 l ，则 l 与 f ( x ) 的图像另有两个交点 (a , f (a )) ，(b , f (b )) （其中 a (0, 3), b (3, 9) ），满足 f (a ) f (b ) f (c ) ，并且 ab 9 ，从而 abc = r ．10.（本题满分 20 分）已知实数列 a 1 , a 2 , a 3 , 满足：对任意正整数 n ，有 a n (2S n a n ) 1 ，其中 S n 表示数列的前 n 项和．证明：(1) 对任意正整数 n ，有 a n (2) 对任意正整数 n ，有 a n a n 1 1 ．证明： (1) 约定 S 0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有1 a n (2S n a n ) (S n S n -1)(S n S n -1) S n2 S n -12 ，S n n S 0 n ，即 S n n 0 时亦成立）． …………………5 分显然， a n S n S n 1 …………………10 分 (2) 仅需考虑 a n , a n 1 同号的情况．不失一般性，可设 a n , a n 1 均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则 S n 1 S n S n 1 此时从而a n a n 1 () 1． …………………20 分1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 211.（本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 AB 是抛物线 y 2 4 x 的过点 F (1, 0) 的弦， AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点O , A , B ）．若 PF 平分 APB ，求 PF 的所有可能值．解：设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，233(,)4y P y ，由条件知 y 1 , y 2 , y 3 两两不等且非零．设直线 AB 的方程为 x ty 1 ，与抛物线方程联立可得 y 2 4ty 4 0 ，故y 1 y 2 4 ． ①注意到 AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为 x 2 y 2 dx ey 0 ，与x 24y 联立得，42(1)0164y d y ey +++=．该四次方程有 y y 1 , y 2 , y 3,0 这四个不同的实根，故由韦达定理得 y 1 y 2 y 3 0 0 ，从而y 3 ( y 1 y 2 ) ．②…………………5 分因 PF 平分 APB ，由角平分线定理知，12PA FA y PB FB y ==，结合①、②，有 222312231122322232232()()44()()44y y y y PA y y y y PB y y -+-==-+-222212112222212221[()]16(2)[()]16(2)y y y y y y y y y y +-++=+-++ 422142126419264192y y y y +-=+- 即 y 6 64 y 2 y 2 192 y 2 y 6 64 y 2 y 2 192 y 2，故( y 2 y 2 )( y 4 y 2 y 2 y 4192) 0 ．当 y 2 y 2 时， y y ，故 y 0 ，此时 P 与 O 重合，与条件不符．当 y 4 y 2 y 2 y 4 192 0 时，注意到①，有 (y 2 y 2 )2=192+(y y ) 2=208y 2 y 28 212y y ，故满足①以及 y 1 y 2的实数 y 1 , y 2 存在，对应可得满足条件的点 A , B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF +++-=+==== …………………20 分。

2018年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷

2018年九年级数学竞赛试卷含答案(本试卷共三道大题，满分120分)班级：_____________ 姓名： ________________ 分数：一、选择（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1、篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分）（）2、已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切3、已知：4x =9y =6，则y 1x 1+等于( )A 、2 B 、1 C 、21D 、23 4、抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（）A .b=2，c=0 B. b=2， c=2 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=25、若不等式组⎩⎨⎧>++<+-mx x m x 1104的解集是4>x ，则（）A 、29≤mB 、5≤mC 、29=m D 、5=m6、已知0221≠+=+b a b a ，则ba的值为（）A 、-1 B 、1 C 、2 D 、不能确定7、任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解：q p n ⨯=（q p ≤）可称为正整数n 的最佳分解，并规定qpn F =)(．如：12=1×12=2×6=3×4，则43)12(=F ，则在以下结论: ①21)2(=F ②83)24(=F ③若n 是一个完全平方数，则1)(=n F ④若n 是一个完全立方数，即3a n =（a 是正整数），则an F 1)(=。

2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛答案的分析与反思

2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛答案的分析与反思
阳友雄（519055）
2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛中有这样一道题：
11. (1) 求证：对于任意实数 x, y, z ，都有 x2 + 2 y2 + 3z2 ≥ 3(xy + yz + zx)
(2) 是否存在实数 k > 3 ，使得对于任意实数 x, y, z 下式恒成立？
2
2
一个小小的正负号导致了错误，真是一子不慎满盘皆输！既然知道了原因，就容易修正
三.对官方答案的修正
解： f =x2 + 2 y2 + 3z2 − k(xy + yz + zx) =x2 − k( y + z)x + 2 y2 + 3z2 − kyz
=[x − k ( y + z)]2 − k 2 ( y2 + z2 + 2 yz)+2 y2 + 3z2 − kyz
3z2 拆成 nz2 + (3 − n)z2 ，然后用基本不等式试试
x2 + 2 y2 + 3z2 = kx2 + my2 + (1− k)x2 + nz2 + (2 − m) y2 + (3 − n)z2
≥ 2 kmxy + 2 (1− k)nxz + 2 (2 − m)(3 − n) yz
注意到待求证的式子为 x2 + 2 y2 + 3z2 ≥ 3(xy + yz + zx)
不妨取=x 3= , y 2= , z 1，此时左边 = 20 ，右边 =22 ，左边 < 右边，上式不成立

首届安徽数学竞赛试题

首届安徽数学竞赛试题【试题一】题目：求证：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。

解题思路：我们可以通过数学归纳法来证明这个等式。

首先验证\( n = 1 \)时等式成立，然后假设\( n = k \)时等式成立，接着证明\( n = k + 1 \)时等式也成立。

【试题二】题目：给定一个正整数序列 \( a_1, a_2, \ldots, a_n \)，求该序列的最大连续子序列和。

解题思路：使用Kadane算法来解决这个问题。

遍历序列，同时维护当前子序列的和以及迄今为止的最大子序列和。

【试题三】题目：证明：\( \sqrt{2} \) 是无理数。

解题思路：假设 \( \sqrt{2} \) 是有理数，即存在正整数 \( p \) 和 \( q \) 使得 \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \) 且 \( p \) 和\( q \) 互质。

通过平方和约分，我们可以得到一个矛盾，从而证明\( \sqrt{2} \) 是无理数。

【试题四】题目：在直角三角形中，已知斜边长度为 \( c \)，一个锐角为\( \alpha \)，求另一个锐角的正切值。

解题思路：利用三角函数的基本关系 \( \tan(\alpha) =\frac{\text{对边}}{\text{邻边}} \) 和 \( \tan(\alpha) \cdot\tan(\beta) = -1 \)，我们可以求出另一个锐角 \( \beta \) 的正切值。

【试题五】题目：一个圆的半径为 \( r \)，求圆内接四边形的面积。

解题思路：首先，我们可以将圆内接四边形分割成两个三角形。

然后，利用圆的面积公式和三角形面积公式来求解。

【试题六】题目：给定一个整数 \( n \)，求 \( n! \) 模 \( 10007 \) 的值。

安徽数学竞赛试题及答案

安徽数学竞赛试题及答案试题一：代数问题题目：已知 \( a \) 和 \( b \) 是两个正整数，且 \( a^2 + b^2 = 100 \)。

求所有可能的 \( a \) 和 \( b \) 的值。

答案：根据题目条件，我们可以列出满足 \( a^2 + b^2 = 100 \) 的所有整数对。

首先，\( a \) 和 \( b \) 必须小于或等于10，因为\( 10^2 = 100 \)。

然后，我们可以逐一检查每个可能的 \( a \) 值，并计算对应的 \( b \) 值。

经过计算，我们发现以下整数对满足条件：- \( a = 1, b = 9 \)- \( a = 5, b = 5 \)- \( a = 9, b = 1 \)试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，AB 是斜边，若 AC = 6，BC = 8，求斜边 AB 的长度。

答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

因此，我们有：\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ AB^2 = 6^2 + 8^2 \]\[ AB^2 = 36 + 64 \]\[ AB^2 = 100 \]\[ AB = \sqrt{100} \]\[ AB = 10 \]所以，斜边 AB 的长度是 10。

试题三：组合问题题目：有 5 个不同的球和 3 个不同的盒子，每个盒子至少放一个球。

求所有可能的放球方式的数量。

答案：首先，我们考虑将 5 个球分成 3 组，每组至少有一个球。

我们可以将问题转化为将 5 个球中的 2 个球作为一组，然后将这 3 组球放入 3 个盒子中。

首先，选择 2 个球作为一组的方式有 \( C(5,2) \) 种，然后这 3 组球放入 3 个盒子中的方式有 \( P(3,3) \) 种。

因此，总的放球方式的数量为：\[ C(5,2) \times P(3,3) = 10 \times 6 = 60 \]试题四：数列问题题目：一个等差数列的前 5 项的和为 40，第 6 项为 16，求这个等差数列的首项和公差。