第8章 无穷级数练习题解析
第8章无穷级数练习题解析
第8章⽆穷级数练习题解析第8章⽆穷级数练习题习题8.11．判断题（对的划“√”，错的划“×”）（1）级数部分和的极限已求出，则级数收敛．若部分和的极限不存在，则级数发散．（）（2）若级数∑∞=±1)(n n nv u收敛，则级数∑∞=1n n u 与级数∑∞=1n n v 都收敛．（）（3）改变级数的有限项不会改变级数的和．（）（4）当0lim =∞→n n u 时，级数∑∞=1n nu不⼀定收敛.（）2．⽤级数的“∑”形式填空（1）,!3!2!1 +++ 即．（2）,7151311 +-+-即．（3）+++4ln 313ln 212ln 1即．（4）,63524101 +++++-即． 3．判断下列各级数的收敛性，并求收敛级数的和（1） -+-3322747474．（2） +++πππ553321．（5）∑∞=-+1)1(nn n．4．级数∑∞=+1)31 21(nnn是否收敛？若收敛，求其和.5．制造灯泡需要抽去玻璃泡中的空⽓，设灯泡中原有空⽓的质量m，在多次抽⽓时，每⼀次抽出的空⽓质量为上次剩余质量的20%，连续不断地抽，抽出的空⽓质量最多是多少？习题8.21．⽤“收敛”或“发散”填空（1）∑∞=13 1n n．（）（2）∑∞=122．（）（3）∑∞=1!n n．（）（4）∑∞=12.11nn．（）2．判断下列正项级数的收敛性（1）∑∞=+11 9.01n n．（2）∑∞=++12658nnn．（3）∑∞=+．3．判断下列级数是否收敛（1）∑∞=--1)1 (nnnπ． (2) ∑∞=--1311)1(nnn．(3) ∑∞=-122sin)1(．(4) ∑∞=-+12)1(1nnn．4．判断下列级数的收敛性（1）∑∞=++1)2(1n n n n ．（2）∑∞=??+11n nn n ．（3）∑∞=--1131arcsin )1(n n n ．（4）∑∞=+-1=12n n n．（6）∑∞=166n n n．（7）)0,(,31211>++++++b a b a b a b a ．（8）∑∞=+++1) 3)(2)(1(n n n n n．（9） ++++++nn 134232．（10） +-+-2227151311．习题8.31．求下列幂级数的收敛区间（1） ------n x x x x n 3232．（2） -++++n nnx x x x 3333233322．（3） +?++?+?+?+nnn x x x x x 33433323443322．（4） ++++++nnx n x x x 3322321．（5） +??++??+?+)2(64264242232n x x x x n．（6）∑∞=++-11=--122212n n nx n ．(8) ∑∞=?+13)1(n nn n x ． (9) ∑∑∞=∞=++-112212)1(n n n n n n n x n x ．(10)??∑∑∞=∞=11!n n n n n x n x ．2．利⽤逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的⽅法，求下列级数在收敛区间上的和函数（1）∑∞=--122212n n nx n ．（2） ++++753753x x x x ．（3） +++13951392x x x ．（4） +?+?+?433221432x x x ．（5） +?+?+?+?3254433221x x x ．（6）∑∑∞=∞=11!n n n n n x n x ．习题8.41．将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛域（1）xe 2．（2）)1,0(≠>a a a x 且．（3）2sin x．（4）)0()ln(>+a x a ．（5）-=)2cos 1(21sin sin 2+xt dt41．（8）?x dt tt 0sin ．（9）?-xt dt e22．2．将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛半径（1）)0(22>+a x a ．（2）x arcsin ．（3）)1ln(2x x ++．3．⽤级数的展开式，近似计算下列各值（1）e （取前五项）．（2）521?（取前三项）．（3）?18sin （取前两项）．4．计算下列积分的近似值（计算前三项）（1）212dx e x ．（2）?10sin dx xx．（3）?11.0dx xe x．习题8.5（2）设周期函数)(2)(ππ<≤-=x xx f ，则它的傅⾥叶系数 =0a ，=n a ， =1b ， =nb ．（3）⽤周期为π2的函数)(x f 的傅⾥叶系数公式，求周期为l 的函数)(t g 的傅⾥叶级数，应作代换=t .（4）周期为l 的函数)(x f 的傅⾥叶系数=0a ，=n a ，=n b .2．把下列周期函数展开成傅⾥叶级数（1）<≤<≤-=ππt t t u 0100)(．（2）<≤+<≤--=ππx x x x x f 0,10,1)(．（3）<≤-<≤-+=ππππt t t t t f 0,0,)(．（4）)(2cos)(ππ<≤-=x xx f ．（5）??<≤<≤--<≤--=21,11112,1)(x x x x x f ．（6）2121,1)(2<≤--=x x x f ．3．将函数)11()(≤≤-=x e x f x展开成傅⽒级数.4．将函数)0()(ππ≤≤-=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数.5．将周期为4的单向窄脉冲信号,展开成傅⾥叶级数的复数形式，其表达式<≤<<--≤≤-=221,02121,211．判断题（对的划“√”，错的划“×”）（1）若,0lim =∞→n n u 则级数∑∞=1n nu收敛．（）（2）若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=≠10(n nc cu为常数）也发散．（）（3）改变级数的有限多个项，级数的敛散性不变．（）（4）若级数∑∞=1n nu收敛，则∑∞=-+1212)(n n n u u收敛．（）（5）若)(x f 是周期函数为π2的函数，且满⾜收敛定理的条件，则在任意点x 处)(x f 的傅⽒级数收敛于)(x f .（）2．⽤“收敛”或“发散”填空 (1)若级数∑∞u收敛，则∑∞=+1)001.0(n nu.(2)级数∞=1n （3）当10<=-+111n nn aa . (4)级数∞=1n n （5）级数∞=n3．单项选择题（1）下列级数中，收敛的是（）（A ） ∑∞=--11)1(n n n ；（B ） ∑∞=+-1232)1(n n n n；（C ） ∑∞=+115n n ；（D ）∑∞=-+1231n n n ．(2)下列级数中，绝对收敛的是（）（A ）∑∞=-1)1(n n n ；（B ）∑∞=++12123n n n ；（C ）∑∞=-??? ??-1132)1(n nn ；（D ）∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． (3)幂级数∑∞=1n nnx 的收敛区间是（）（A ）[]1,1-；（B ）[)1,1-；（C ）(]1,1-；（D ）()1,1-． (4)函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数是（）（A ）∑∞=12!n n n x ；（B ）∑∞=-12!)1(n n n n x ；（C ）∑∞=1!n n n x ；（D ）∑∞=--11!)1(n nn n x ．(5) 设)(x f 的周期为π2，它在[)ππ,-的表达式),(,2)(ππ<≤-=x x x f 则)(x f 的傅⽒展开式为（）（A ）∑∞=+-11sin )1(2n n nx n ；（B ）∑∞=+-11sin )1(4n n nx n ；（C ）),)12(,(sin )1(411Z k k x x nx n n n ∈-≠+∞<<-∞-∑∞=+π；（D ）),)12(,(sin )1(211Z k k x x nx n n n ∈-≠+∞<<-∞-∑∞=+π．4．判别下列各级数的敛散性（1）)0(1112>+∑∞=a a n ．（2）∑∞=+112tann n n π．（3）∑∞=+11tann n n π． (4)∑∞=1sincos n nn ππ．（5） ∑∞=+112!n n n ． (6) ∑∞=--1ln )1(n n n n .（B ）组1．⽤已知函数的展开式，将下列函数展开成x 的幂级数（1）x e x x f -=3)(．（2）x x f 2cos )(2=．（3）211)(x x f -=．（4）321)(2--=x x x f ．2．⽤已知函数的展开式，将下列函数展开成2-x 的幂级数（1）x x f -=41)(．（2）x x f ln )(=．3．将下列周期函数展开成傅⾥叶级数（1）)(sin )(ππ<≤-=x ax x f （a 为⾮整数的常数）．（2）)()(22πππ<≤--=x x x f ．(3) )()(3ππ<≤-=x x x f .4．把周期函数<≤<≤--=22,2)(x x xx f 展开成傅⽒级数.5．将≤≤-<≤-=24,440,)(T t T T T x t t q 分别展开成正弦型级数和余弦型级数．6．将)210(1)(2≤≤-=x x x f 分别展开成正弦型级数和余弦型级数．第8题图7．把函数≤≤<≤--=ππππx x x f 0,40,4)(展开成傅⽒级数，并由它导出（1）+-+-=71513114π．（2） ++--+-=131111917151163π．8．将下⾯波形的函数展开成傅⾥叶级数。
无穷级数复习题
无穷级数复习题无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学分析、微积分以及其他数学领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将复习一些关于无穷级数的基本概念和性质，并通过一些例题来加深对这一概念的理解。
首先，我们来回顾一下无穷级数的定义。
无穷级数是由一系列无穷多个数相加而得到的数列。
通常表示为：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，a1、a2、a3等为数列的项。
如果这个无穷级数的部分和（也称为部分和数列）Sn = a1 + a2 + ... + an在n趋向于无穷大时存在有限的极限L，那么我们说这个无穷级数收敛，记作S = L。
反之，如果部分和数列Sn在n趋向于无穷大时不存在有限的极限，那么我们说这个无穷级数发散。
接下来，我们来看几个例题，通过计算来判断这些无穷级数是收敛还是发散。
例题1：考虑无穷级数S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...这个级数是一个几何级数，公比为1/2。
我们知道，当公比的绝对值小于1时，几何级数收敛。
因此，这个级数是收敛的。
例题2：考虑无穷级数S = 1 + 2 + 3 + 4 + ...这个级数是一个等差级数，公差为1。
我们知道，等差级数只有在公差小于1时才能收敛。
因此，这个级数是发散的。
例题3：考虑无穷级数S = 1 - 1 + 1 - 1 + ...这个级数是一个交错级数，每一项的符号交替出现。
对于交错级数，我们可以使用交错级数判别法来判断其收敛性。
根据该定理，如果交错级数的绝对值数列是一个单调递减趋于零的数列，那么这个交错级数收敛。
在这个例子中，绝对值数列为1, 1, 1, ...，显然不满足单调递减趋于零的条件，因此这个级数是发散的。
通过以上的例题，我们可以看到，判断一个无穷级数的收敛性需要使用不同的方法和定理。
在实际应用中，我们经常会遇到一些特殊的无穷级数，比如幂级数、傅里叶级数等，它们在数学和物理等领域中有着重要的应用。
幂级数是一个形如S = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n + ...的级数，其中a0、a1、a2等为常数，x为变量。
无穷级数习题课含解答
无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。
高等数学习题精讲之8无穷级数
第8章 无 穷 级 数§8. 1 常数项级数1．级数的概念（1）数列{}n u 的各项依次相加所得的表达式称为无穷级数121nn n uu u u ∞==++++∑（2）121nn in i S uu u u ===+++∑，称为级数1n n u ∞=∑的前n 项部分和。
（3）若lim n n S S →∞=，则1nn u∞=∑收敛，且1nn uS ∞==∑；若n n S ∞→lim 不存在，则1n n u ∞=∑发散。
收敛原理：1nn u∞=∑收敛 ⇒ 0,0N ε∀>∃>，使当n N >，对任何自然数p 有12n n n p a a a ε+++++<2. 级数的性质 （1）若1nn uA ∞==∑，1n n v B ∞==∑，则()111n n n n n n n u v u v A B αβαβαβ∞∞∞===±=±=±∑∑∑（2）加上或去掉有限项不影响级数的敛散性 （3）收敛级数加括号后仍收敛于原级数的和 （4）若∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u注意：（1）∑∞=1n nu与∑∞=1n nku具有相同敛散性；（2）若∑∞=1n nu收敛，∑∞=1n nv发散，则()∑∞=±1n n nv u发散；（3）若∑∞=1n nu，∑∞=1n nv均发散，则()∑∞=±1n n nv u敛散性不确定；（4）若加括号后级数发散，则原级数发散；若加括号后级数收敛，则原级数敛散性不确定；（5）级数收敛的必要条件常用来判别级数发散。
3. 正项级数审敛法（设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv为正项级数，0n v ≠）（1）正项级数∑∞=1n nu收敛的充分必要条件是其部分和序列{}n S 有界。
（2）比较判别法：若n n u kv ≤（0k >），则1111n n n n n nn n v u u v ∞∞==∞∞==⎧⇒⎪⎪⎨⎪⇒⎪⎩∑∑∑∑收敛收敛发散发散比较法的极限形式：若lim nn n u l v →∞=，则 00l l ≤<+∞⎧⎨<≤+∞⎩收敛性相同发散性相同注意：（1）若分母，分子关于n 的最高次数分别为q p ,，则∑∞=1n n u ⎩⎨⎧≤->-11q p q p 发散收敛；（2）若当∞→n 时，n n v u ~，则∑∞=1n nu与∑∞=1n nv具有相同敛散性；（3）当∞→n 时，ln ,,,!,annn n a n n (1)a >，后者较前者趋于+∞的速度快 两个重要级数：几何级数∑∞=-⎩⎨⎧≥<=1111n n q q aq发散收敛；p -级数 1111p n p n p ∞=>⎧=⎨≤⎩∑收敛发散（3）比值/根值判别法：11lim 11n n n u u l +→∞⎧⎫<⎧⎪⎪⎪=>⎨⎪=⎩收敛发散失效（4）积分判别法：若()f x 在[)1,+∞上非负单调连续，则1()n f n ∞=∑与1()f x dx +∞⎰具有相同敛散性4. 任意项级数（1）交错级数判别法：若()111n n n u ∞-=-∑()0n u >满足1lim 0n n nn u u u +→∞≥⎧⎪⎨=⎪⎩，则()111n n n u ∞-=-∑收敛，且其和1u S ≤，其余和1+≤n n u R常用n u 递减的判别：11n nu u +<；10n n u u +->；()n u f n =，()0f x '< （2）任意项级数判别法（n u 符号不定）1111,,n n n n n n n n u u u u ∞∞==∞∞==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∑∑∑∑若收敛，则收敛 称为绝对收敛若发散，而收敛 称为条件收敛 定理表明任意项级数的收敛问题可以转化为正项级数的问题，因此可以用正项级数的判别法判定级数是否绝对收敛。
第8章 无穷级数--答案
收敛，
∞
∑u
n =1
∞
2 n
和
∑v
n =1
∞
2
n
都收敛.
（C）若正项级数
∞
∑u
n =1
n
发散，则 un ≥
1 . n
（D）若级数
∑ un 收敛，且 un ≥ vn ( n = 1, 2,
n =1
) ，则 ∑ vn 2 也收敛.
n =1
∞
解，选 A, ( un + vn ) = un + 2un vn + vn ≤ 2(un + vn ) ,因为
1 1+ x ⎧ , x <1 ⎪−1 + ln 由于 S1 ( 0 ) = 0 ，故 S1 ( x ) = ⎨ 2x 1− x ⎪0, x=0 ⎩ 1 ⎧ 1 1+ x − , x <1 ⎪ ln S ( x ) = S1 ( x ) − S2 ( x ) = ⎨ 2 x 1 − x 1 − x 2 ⎪0, x=0 ⎩
7． （95）将函数 f ( x ) = ln 1 − x − 2 x 解： f ( x ) = ln 1 − x − 2 x
(
2
) 展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间。
(
2
) = ln (1 + x ) + ln (1 − 2 x )
4
ln (1 + x ) = ∑ ( −1)
n=0 ∞
∞
n
第8章 一、填空选择 1． （91）设 0 ≤ an < （A）
无穷级数 (答案)
1 ( n = 1, 2, n
∞
) ，则下列级数中肯定收敛的是（
高等数学课后习题及答案(共11单元)08无穷级数
习题9-11．写出下列级数的前五项：（1） ∑∞=++1211n n n； （2） ∑∞=⋅-12)12(1n nn ； （3） ∑∞=-1)1(n nn ； （4）∑∞=1n nne.解 （1）第一项为1，第二项为53，第三项为104，第四项为175，第五项为266。
（2）第一项为21，第二项为121，第三项为401，第四项为1121，第五项为2881。
（3）第一项为-1，第二项为21，第三项为31-，第四项为41，第五项为51-。
（4）第一项为e ，第二项为22e ，第三项为33e ，第四项为44e ，第五项为55e 。
2．写出下列级数的一般项：（1） 1111357++++… （2） 1112ln 23ln 34ln 4+++…（3） 11234024567-++++++…（4）2345625101726a a a a a -+-+-…解 （1） 121-=n u n （2）()()1ln 11++=n n u n（3）12+-=n n u n （4）()11211-+-=+n a u n n n3．根据级数收敛与发散的定义，判别下列级数的敛散性，如果收敛，并求其和. （1）∑∞=12n n ； （2）∑∞=+-1)12)(12(1n n n ； （3）∑∞=++-+1)122(n n n n .解：（1） 级数的部分和为()222-12-121-==+n nn S 因为 ()+∞=-=+∞→∞→22lim lim 1n n n n S所以级数∑∞=12n n发散.（2）因为()()⎪⎭⎫⎝⎛+=+-121-1-212112121n n n n所以级数的部分和为 ()()12121751531311+-++⨯+⨯+⨯=n n S n⎪⎭⎫⎝⎛+++++=121-1-2171-5151-3131-121n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=121-121n 12+=n n而 21121lim12limlim =+=+=∞→∞→∞→nn nS n n n n 所以级数∑∞=+-1)12)(12(1n n n 收敛.且级数的和为21.（3）因为()()()n n n n n n n -+-+-+=+++11212-2所以级数的部分和为()()n n n S n ++++++++=12-2232-4122-3 ）（()()()()()nn n n -11-22-3-3-41-2-2-3+-+++++= ）（()()1212--+-+=n n()()12121--+++=n n而 ()()2-112lim121limlim =--+++=∞→∞→∞→n n n n n n s所以级数∑∞=+-1)12)(12(1n n n 收敛.且级数的和为2-1. 4．判别下列级数的敛散性，若收敛，并求其和. （1） 1111124816-+-+-… （2） 234e e e e -+-+… （3） 2233121212()()()232323++++++… （4） 231ln 3ln 3ln 3++++ (5)∑∞=+1)11ln(n n n（6）∑∞=1sinn nn π（7） 231sin1sin 1sin 1-+-+ (8)++-++⋅+⋅+⋅)15)(45(1161111161611n n解：（1） 级数的部分和可写为∑=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=nn n n n s 1142141因为∑∞=-1141n n 是41=q 的等比数列，收敛并且和为3441-11=.同理∑∞=⨯1421n n是41=q 的等比数列，收敛并且和为3241-1121=⨯. 根据级数性质，∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯-1142141n n n 也收敛，其和为 ∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-1142141n n n =∑∞=-1141n n -∑∞=⨯1421n n=3232-34=（2） 级数的部分和可写为()()()()n n n nn nn n e e e ee e e e e ees 2222221212111111-+=-----=-=∑=- 因为 ()-∞=-+=∞→∞→n n n n e ees 211limlim所以根据定义，该级数发散。
第8章 无穷级数练习题解析
第8章 无穷级数练习题习题8.11．判断题（对的划“√”，错的划“×”）（1）级数部分和的极限已求出，则级数收敛．若部分和的极限不存在，则级数发散． （ ）（2）若级数∑∞=±1)(n n nv u收敛，则级数∑∞=1n n u 与级数∑∞=1n n v 都收敛．（ ） （3）改变级数的有限项不会改变级数的和．（ ） （4）当0lim =∞→n n u 时，级数∑∞=1n nu不一定收敛.（ ）2．用级数的“∑”形式填空（1）,!3!2!1 +++ 即 ． （2）,7151311 +-+-即 ． （3）+++4ln 313ln 212ln 1即 ． （4）,63524101 +++++-即 ． 3．判断下列各级数的收敛性，并求收敛级数的和（1） -+-3322747474． （2） +++πππ543ln ln ln ．（3） +⋅+⋅+⋅751531311． （4） ++++7453321．（5）∑∞=-+1)1(nn n．4．级数∑∞=+1)31 21(nnn是否收敛？若收敛，求其和.5．制造灯泡需要抽去玻璃泡中的空气，设灯泡中原有空气的质量m，在多次抽气时，每一次抽出的空气质量为上次剩余质量的20%，连续不断地抽，抽出的空气质量最多是多少？习题8.21．用“收敛”或“发散”填空（1）∑∞=13 1n n．（）（2）∑∞=1222lnnn．（）（3）∑∞=1!n n．（）（4）∑∞=12.11nn．（）2．判断下列正项级数的收敛性（1）∑∞=+11 9.01n n．（2）∑∞=++12658nnn．（3）∑∞=+15 23n n．3．判断下列级数是否收敛（1）∑∞=--1)1 (nnnπ． (2) ∑∞=--1311)1(nnn．(3) ∑∞=-122sin)1(n nnn．(4) ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+12)1(1nnn．4．判断下列级数的收敛性（1）∑∞=++1)2(1n n n n ． （2）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+11n nn n ．（3）∑∞=--1131arcsin )1(n n n ． （4）∑∞=+-1321)1(n n n n ．（5）∑∞=12n n n． （6）∑∞=166n n n．（7）)0,(,31211>++++++b a b a b a b a ． （8）∑∞=+++1)3)(2)(1(n n n n n．（9） ++++++nn 134232． （10） +-+-2227151311．习题8.31．求下列幂级数的收敛区间（1） ------n x x x x n 3232． （2） -++++n nnx x x x 3333233322．（3） +⋅++⋅+⋅+⋅+nnn x x x x x 33433323443322．（4） ++++++nnx n x x x 3322321．（5） +⋅⋅++⋅⋅+⋅+)2(64264242232n x x x x n．（6）∑∞=++-11212)1(n n nn x ． (7) ∑∞=--122212n n nx n ．(8) ∑∞=⋅+13)1(n nn n x ． (9) ∑∑∞=∞=++-112212)1(n n n n n n n x n x ．(10) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11!n n n n n x n x ．2．利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数（1）∑∞=--122212n n nx n ． （2） ++++753753x x x x ．（3） +++13951392x x x ． （4） +⋅+⋅+⋅433221432x x x ．（5） +⋅+⋅+⋅+⋅3254433221x x x ． （6）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11!n n n n n x n x ．习题8.41．将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛域 （1）xe 2． （2）)1,0(≠>a a a x 且．（3）2sin x． （4）)0()ln(>+a x a ．（5）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)2cos 1(21sin sin 22x x x 提示：． （6）)1ln()1(x x ++．（7）⎰+xt dt41． （8）⎰x dt tt 0sin ．（9）⎰-xt dt e22．2．将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛半径（1）)0(22>+a x a ． （2）x arcsin ．（3）)1ln(2x x ++．3．用级数的展开式，近似计算下列各值（1）e （取前五项）． （2）521⋅（取前三项）．（3）︒18sin （取前两项）．4．计算下列积分的近似值（计算前三项）（1）⎰212dx e x ． （2）⎰10sin dx xx．（3）⎰11.0dx xe x．习题8.51．填空（1）若)(x f 在[]ππ,-上满足收敛定理的条件，则在连续点0x 处它的傅里叶级数与)(0x f .（2）设周期函数)(2)(ππ<≤-=x xx f ，则它的傅里叶系数 =0a ，=n a ， =1b ， =nb ．（3）用周期为π2的函数)(x f 的傅里叶系数公式，求周期为l 的函数)(t g 的傅里叶级数，应作代换=t .（4）周期为l 的函数)(x f 的傅里叶系数=0a ，=n a ，=n b .2．把下列周期函数展开成傅里叶级数 （1）⎩⎨⎧<≤<≤-=ππt t t u 0100)(． （2）⎩⎨⎧<≤+<≤--=ππx x x x x f 0,10,1)(．（3）⎩⎨⎧<≤-<≤-+=ππππt t t t t f 0,0,)(． （4）)(2cos)(ππ<≤-=x xx f ．（5）⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤--<≤--=21,11112,1)(x x x x x f ． （6）2121,1)(2<≤--=x x x f ．3．将函数)11()(≤≤-=x e x f x展开成傅氏级数.4．将函数)0()(ππ≤≤-=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数.5．将周期为4的单向窄脉冲信号,展开成傅里叶级数的复数形式，其表达式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<--≤≤-=221,02121,212,0)(t t e t t f ．复习题八（A ）组1．判断题（对的划“√”，错的划“×”） （1）若,0lim =∞→n n u 则级数∑∞=1n nu收敛．（ ）（2）若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=≠10(n nc cu为常数）也发散．（ ） （3）改变级数的有限多个项，级数的敛散性不变．（ ） （4）若级数∑∞=1n nu收敛，则∑∞=-+1212)(n n n u u收敛．（ ） （5）若)(x f 是周期函数为π2的函数，且满足收敛定理的条件，则在任意点x 处)(x f 的傅氏级数收敛于)(x f .（ ）2．用“收敛”或“发散”填空 (1)若级数∑∞=1n nu收敛，则∑∞=+1)001.0(n nu.(2)级数∞=1n （3）当10<<a 时，级数∑∞=-+111n nn aa . (4)级数∞=1n n （5）级数∞=n3．单项选择题（1）下列级数中，收敛的是（ ）（A ） ∑∞=--11)1(n n n ； （B ） ∑∞=+-1232)1(n n n n； （C ） ∑∞=+115n n ； （D ）∑∞=-+1231n n n ．(2)下列级数中，绝对收敛的是（ ）（A ）∑∞=-1)1(n n n ； （B ）∑∞=++12123n n n ； （C ）∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1132)1(n nn ； （D ）∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． (3)幂级数∑∞=1n nnx 的收敛区间是（ ）（A ）[]1,1-； （B ）[)1,1-； （C ）(]1,1-； （D ）()1,1-． (4)函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数是（ ）（A ）∑∞=12!n n n x ； （B ）∑∞=-12!)1(n n n n x ； （C ）∑∞=1!n n n x ； （D ）∑∞=--11!)1(n nn n x ．(5) 设)(x f 的周期为π2，它在[)ππ,-的表达式),(,2)(ππ<≤-=x x x f 则)(x f 的傅氏展开式为（ ）（A ）∑∞=+-11sin )1(2n n nx n ； （B ）∑∞=+-11sin )1(4n n nx n ；（C ）),)12(,(sin )1(411Z k k x x nx n n n ∈-≠+∞<<-∞-∑∞=+π；（D ）),)12(,(sin )1(211Z k k x x nx n n n ∈-≠+∞<<-∞-∑∞=+π．4．判别下列各级数的敛散性（1）)0(1112>+∑∞=a a n ． （2）∑∞=+112tann n n π．（3）∑∞=+112tann n n π． (4)∑∞=1sincos n nn ππ．（5） ∑∞=+112!n n n ． (6) ∑∞=--1ln )1(n n n n .（B ） 组1．用已知函数的展开式，将下列函数展开成x 的幂级数（1）x e x x f -=3)(． （2）x x f 2cos )(2=．（3）211)(x x f -=． （4）321)(2--=x x x f ．2．用已知函数的展开式，将下列函数展开成2-x 的幂级数 （1）xx f -=41)(． （2）x x f ln )(=．3．将下列周期函数展开成傅里叶级数（1）)(sin )(ππ<≤-=x ax x f （a 为非整数的常数）．（2）)()(22πππ<≤--=x x x f ．(3) )()(3ππ<≤-=x x x f .4．把周期函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤--=20102,2)(x x xx f 展开成傅氏级数.5．将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-=24,440,)(T t T T T x t t q 分别展开成正弦型级数和余弦型级数．6．将)210(1)(2≤≤-=x x x f 分别展开成正弦型级数和余弦型级数．第8题图7．把函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤--=ππππx x x f 0,40,4)(展开成傅氏级数，并由它导出（1）+-+-=71513114π． （2） ++--+-=131111917151163π．8．将下面波形的函数展开成傅里叶级数9．将下面半波整流后的周期函数)(t f 展开成傅氏级数10．将)10()(2≤≤=x x x f ，展开成正弦级数和余弦级数。
无穷级数例题选解
无穷级数例题选解1．判别下列级数的敛散性：212111111!21sin;ln(1);;()32n nn n n n n n nnnn ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑解：1）2211sinnn<，而∑∞=121n n收敛，由比较审敛法知 ∑∞=121sinn n收敛。
2）)(1~)11ln(∞→+n nn，而∑∞=11n n发散，由比较审敛法的极限形式知∑∞=+1)11ln(n n发散。
3） e n n n nn n u u nn nn n nn n 11lim !)1()!1(limlim11=⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅++==∞→+∞→+∞→ρ，1<ρ，由比值审敛法知∑∞=1!n nnn 收敛。
4） 9423122312lim lim12=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∞→∞→nn nnn n n n n u ρ， 1<ρ，由根值审敛法知 ∑∞=+⎪⎭⎫⎝⎛-+1122312n n n n 收敛。
2．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？211(1)[]3n n n n ∞-=-+∑；21c o s 3nn n n ∞=∑；111(1)n n ∞-=-∑。
解：1）对于级数∑∞=--1213)1(n nn n ，由31||||lim1==+∞→n n n u u ρ，知级数∑∞=--1213)1(n nn n 绝对收敛，易知∑∞=--111)1(n n n条件收敛，故211(1)[]3n n n n ∞-=-+∑条件收敛。
2）n nnu n n n =≤3|3cos |22，由31lim1==+∞→nn n u u ρ，知级数∑∞=123n nn 收敛，故21cos 3nn n n ∞=∑绝对收敛。
3）记nn u n ln 1-=，n u n 1≥，而∑∞=11n n发散，故∑∞=1n n u 发散，令x x x f ln )(-=，xx f 11)(-='，当1>x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),1(+∞内单调增加，由此可知 1+>n n u u ，又0l i m =∞→n n u ，故11(1)n n ∞-=-∑收敛，但非绝对收敛，即为条件收敛。
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第8章 无穷级数练习题习题8.11．判断题（对的划“√”，错的划“×”）（1）级数部分和的极限已求出，则级数收敛．若部分和的极限不存在，则级数发散． （ ）（2）若级数∑∞=±1)(n n nv u收敛，则级数∑∞=1n n u 与级数∑∞=1n n v 都收敛．（ ） （3）改变级数的有限项不会改变级数的和．（ ） （4）当0lim =∞→n n u 时，级数∑∞=1n nu不一定收敛.（ ）2．用级数的“∑”形式填空（1）,!3!2!1 +++ 即 ． （2）,7151311 +-+-即 ． （3）+++4ln 313ln 212ln 1即 ． （4）,63524101 +++++-即 ． 3．判断下列各级数的收敛性，并求收敛级数的和（1） -+-3322747474． （2） +++πππ543ln ln ln ．（3） +⋅+⋅+⋅751531311． （4） ++++7453321．（5）∑∞=-+1)1(nn n．4．级数∑∞=+1)31 21(nnn是否收敛？若收敛，求其和.5．制造灯泡需要抽去玻璃泡中的空气，设灯泡中原有空气的质量m，在多次抽气时，每一次抽出的空气质量为上次剩余质量的20%，连续不断地抽，抽出的空气质量最多是多少？习题8.21．用“收敛”或“发散”填空（1）∑∞=13 1n n．（）（2）∑∞=1222lnnn．（）（3）∑∞=1!n n．（）（4）∑∞=12.11nn．（）2．判断下列正项级数的收敛性（1）∑∞=+11 9.01n n．（2）∑∞=++12658nnn．（3）∑∞=+15 23n n．3．判断下列级数是否收敛（1）∑∞=--1)1 (nnnπ． (2) ∑∞=--1311)1(nnn．(3) ∑∞=-122sin)1(n nnn．(4) ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+12)1(1nnn．4．判断下列级数的收敛性（1）∑∞=++1)2(1n n n n ． （2）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+11n nn n ．（3）∑∞=--1131arcsin )1(n n n ． （4）∑∞=+-1321)1(n n n n ．（5）∑∞=12n n n． （6）∑∞=166n n n．（7）)0,(,31211>++++++b a b a b a b a ． （8）∑∞=+++1)3)(2)(1(n n n n n．（9） ++++++nn 134232． （10） +-+-2227151311．习题8.31．求下列幂级数的收敛区间（1） ------n x x x x n 3232． （2） -++++n nnx x x x 3333233322．（3） +⋅++⋅+⋅+⋅+nnn x x x x x 33433323443322．（4） ++++++nnx n x x x 3322321．（5） +⋅⋅++⋅⋅+⋅+)2(64264242232n x x x x n．（6）∑∞=++-11212)1(n n nn x ． (7) ∑∞=--122212n n nx n ．(8) ∑∞=⋅+13)1(n nn n x ． (9) ∑∑∞=∞=++-112212)1(n n n n n n n x n x ．(10) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11!n n n n n x n x ．2．利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数（1）∑∞=--122212n n nx n ． （2） ++++753753x x x x ．（3） +++13951392x x x ． （4） +⋅+⋅+⋅433221432x x x ．（5） +⋅+⋅+⋅+⋅3254433221x x x ． （6）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11!n n n n n x n x ．习题8.41．将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛域 （1）xe 2． （2）)1,0(≠>a a a x 且．（3）2sin x． （4）)0()ln(>+a x a ．（5）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)2cos 1(21sin sin 22x x x 提示：． （6）)1ln()1(x x ++．（7）⎰+xt dt41． （8）⎰x dt tt 0sin ．（9）⎰-xt dt e22．2．将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛半径（1）)0(22>+a x a ． （2）x arcsin ．（3）)1ln(2x x ++．3．用级数的展开式，近似计算下列各值（1）e （取前五项）． （2）521⋅（取前三项）．（3）︒18sin （取前两项）．4．计算下列积分的近似值（计算前三项）（1）⎰212dx e x ． （2）⎰10sin dx xx．（3）⎰11.0dx xe x．习题8.51．填空（1）若)(x f 在[]ππ,-上满足收敛定理的条件，则在连续点0x 处它的傅里叶级数与)(0x f .（2）设周期函数)(2)(ππ<≤-=x xx f ，则它的傅里叶系数 =0a ，=n a ， =1b ， =nb ．（3）用周期为π2的函数)(x f 的傅里叶系数公式，求周期为l 的函数)(t g 的傅里叶级数，应作代换=t .（4）周期为l 的函数)(x f 的傅里叶系数=0a ，=n a ，=n b .2．把下列周期函数展开成傅里叶级数 （1）⎩⎨⎧<≤<≤-=ππt t t u 0100)(． （2）⎩⎨⎧<≤+<≤--=ππx x x x x f 0,10,1)(．（3）⎩⎨⎧<≤-<≤-+=ππππt t t t t f 0,0,)(． （4）)(2cos)(ππ<≤-=x xx f ．（5）⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤--<≤--=21,11112,1)(x x x x x f ． （6）2121,1)(2<≤--=x x x f ．3．将函数)11()(≤≤-=x e x f x展开成傅氏级数.4．将函数)0()(ππ≤≤-=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数.5．将周期为4的单向窄脉冲信号,展开成傅里叶级数的复数形式，其表达式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<--≤≤-=221,02121,212,0)(t t e t t f ．复习题八（A ）组1．判断题（对的划“√”，错的划“×”） （1）若,0lim =∞→n n u 则级数∑∞=1n nu收敛．（ ）（2）若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=≠10(n nc cu为常数）也发散．（ ） （3）改变级数的有限多个项，级数的敛散性不变．（ ） （4）若级数∑∞=1n nu收敛，则∑∞=-+1212)(n n n u u收敛．（ ） （5）若)(x f 是周期函数为π2的函数，且满足收敛定理的条件，则在任意点x 处)(x f 的傅氏级数收敛于)(x f .（ ）2．用“收敛”或“发散”填空 (1)若级数∑∞=1n nu收敛，则∑∞=+1)001.0(n nu.(2)级数∞=1n （3）当10<<a 时，级数∑∞=-+111n nn aa . (4)级数∞=1n n （5）级数∞=n3．单项选择题（1）下列级数中，收敛的是（ ）（A ） ∑∞=--11)1(n n n ； （B ） ∑∞=+-1232)1(n n n n； （C ） ∑∞=+115n n ； （D ）∑∞=-+1231n n n ．(2)下列级数中，绝对收敛的是（ ）（A ）∑∞=-1)1(n n n ； （B ）∑∞=++12123n n n ； （C ）∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1132)1(n nn ； （D ）∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． (3)幂级数∑∞=1n nnx 的收敛区间是（ ）（A ）[]1,1-； （B ）[)1,1-； （C ）(]1,1-； （D ）()1,1-． (4)函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数是（ ）（A ）∑∞=12!n n n x ； （B ）∑∞=-12!)1(n n n n x ； （C ）∑∞=1!n n n x ； （D ）∑∞=--11!)1(n nn n x ．(5) 设)(x f 的周期为π2，它在[)ππ,-的表达式),(,2)(ππ<≤-=x x x f 则)(x f 的傅氏展开式为（ ）（A ）∑∞=+-11sin )1(2n n nx n ； （B ）∑∞=+-11sin )1(4n n nx n ；（C ）),)12(,(sin )1(411Z k k x x nx n n n ∈-≠+∞<<-∞-∑∞=+π；（D ）),)12(,(sin )1(211Z k k x x nx n n n ∈-≠+∞<<-∞-∑∞=+π．4．判别下列各级数的敛散性（1）)0(1112>+∑∞=a a n ． （2）∑∞=+112tann n n π．（3）∑∞=+112tann n n π． (4)∑∞=1sincos n nn ππ．（5） ∑∞=+112!n n n ． (6) ∑∞=--1ln )1(n n n n .（B ） 组1．用已知函数的展开式，将下列函数展开成x 的幂级数（1）x e x x f -=3)(． （2）x x f 2cos )(2=．（3）211)(x x f -=． （4）321)(2--=x x x f ．2．用已知函数的展开式，将下列函数展开成2-x 的幂级数 （1）xx f -=41)(． （2）x x f ln )(=．3．将下列周期函数展开成傅里叶级数（1）)(sin )(ππ<≤-=x ax x f （a 为非整数的常数）．（2）)()(22πππ<≤--=x x x f ．(3) )()(3ππ<≤-=x x x f .4．把周期函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤--=20102,2)(x x xx f 展开成傅氏级数.5．将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-=24,440,)(T t T T T x t t q 分别展开成正弦型级数和余弦型级数．6．将)210(1)(2≤≤-=x x x f 分别展开成正弦型级数和余弦型级数．第8题图7．把函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤--=ππππx x x f 0,40,4)(展开成傅氏级数，并由它导出（1）+-+-=71513114π． （2） ++--+-=131111917151163π．8．将下面波形的函数展开成傅里叶级数9．将下面半波整流后的周期函数)(t f 展开成傅氏级数10．将)10()(2≤≤=x x x f ，展开成正弦级数和余弦级数。