(3)无穷级数复习课概述
收敛性
级数收敛的必要条件
性质 5
如果
un
n1
收敛则nlnliim0un
0
• 如果一般项不趋于零, 则级数必发散.
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内容提要
等比级数的收敛性
等比级数 aqn 当 |q|<1 时收敛, 当 |q|1 时发散.
n0
p级数的收敛性
p级数
n0
n0
n1
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
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内容提要
几个函数的展开式
1 1 x x2 xn (1< x<1) 1 x
ex 1 x x2 xn ( < x < ),
2!
n!
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 (< x<)
但在点 x 1 处不连续, 因此
f (x) arctan 1 x (1)n x2n1 , (1 x < 1)
1 x 4 n0 2n 1
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知结识束点 知识点
例8 将函数 1 展开为 (x1) 的幂级数. x2
解 1 1 x 1 (x 1) 1 (x 1) (1)n (x 1)n , (0 < x < 2)
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知结识束点
知识点
例6 在区间(1,1)内求幂级数 n(n 1)xn 的和函数.
n1
提示: (xn1) n(n 1)xn1
解 s(x) x n(n 1)xn1 x (xn1)
n1
n1
x[ (xn1)] x[
n1
n1
注:
设
lim | un1 | (
n un
lim
n
n
|
un
|
)
(1) 当 <1时, 级数 un 绝对收敛;
n1
(2) 当 1时, 级数 un 发散.
n1
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内容提要
幂级数的收敛半径与收敛区间
• 如果幂级数∑anxn不是仅在点x0一点收敛也不是在整个 数轴上都收敛则必有一个完全确定的正数R存在使得
x
0
s(x)dx
x
0
( an
n0
xn)dx
x
n0 0
an
xndx
n0nan1
xn1
(xI
)
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
• 幂级数∑anxn的和函数s(x)在收敛区间(R R)内可导.
• 逐项求导公式
s(x) (anxn) (anxn) nanxn1 (|x|<R)
nn an n!
a
lim
n
(n
nn 1)n
a
lim
n
1 (1 1
)n
a e
n
当a<e时, <1, 所给级数收敛
当ae时, 1, 所给级数发散
当ae时, un1 e 1, un (1 1 )n
lim
n
un
0
n
所给级数发散
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n1
1 np
当
p1
时收敛
当 p1 时发散
正项级数收敛的充要条件
正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界
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内容提要
比较审敛法
设 un 和 vn 都是正项级数 且 unkvn(k0 nN)
n1
n1
若 vn 收敛 则 un 收敛 若 un 发散 则 vn 发散
lim n
un
lim(1
n
1)n n
e
0,
所给级数发散
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知结识束点 知识点
例4 判别级数 (1)n1 的收敛性.
n1 n ln n
解
un
n
1 ln
n
,
un
1 n
,
而级数 1 发散, 所以所给级数非绝对收敛.
n1 n
a n n1
n ln n
当 x11 时, 得级数
1,
n2 ln n
un
1 ln n
1 n
,
而级数 1 发散, 所以所得级数发散.
n2 n
当 x11 时, 得交错级数
(1)n ,
n2 ln n
un
1 ln n
0(n
),
且
un
单调减少,
所以所得级数收敛.所求收敛域为 [0, 2).
n1
n1
n1
n1
比较审敛法的极限形式
设 un 和 vn 都是正项级数.
n1
n1
(1)如果 lim un
n vn
1,
则 un
n1
与 vn 的敛散性相同.
n1
(2)如果 lim un
n vn
0,
则 vn 为
n1
un 的强级数.
n1
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绝对收敛与条件收敛
若级数 |un | 收敛 则称级数 un 绝对收敛 若级数 un
n1
n1
n1
收敛, 而级数 |un | 发散 则称级数 un 条件收敛
n1
n1
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内容提要
绝对收敛与收敛的关系
如果级数 un 绝对收敛 则级数 un 必定收敛
减法∑anxn∑bnxn ∑(anbn)xn
n
乘法∑anxn ∑bnxn a0b0(a0b1a1b0)x ( aibni )xn
i0
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内容提要
幂级数的和函数的性质
• 幂级数∑anxn的和函数s(x)在收敛域I上连续 • 逐项积分公式
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知识点
内容提要
比值审敛法
设 un 为正项级数 n1
如果 lim un1
n un
则当 <1时级数
收敛 当1(或)时级数发散
根值审敛法
设 un 为正项级数 n1
如果
lim
n
n
un
则当 <1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散
3! 5!
(2n 1)!
cosx 1 x2 x4 (1)n x2n (< x<)
2! 4!
(2n)!
ln(1 x) x x2 x3 x4 (1)n xn1 (1< x1)
234
n 1
时
R
1
当0 时 R
当时 R0
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内容提要
幂级数的运算
设幂级数∑anxn及∑bnxn分别在区间(R, R)及(R, R)内 收敛则在(R, R)与(R, R)中较小的区间内有
加法∑anxn∑bnxn ∑(anbn)xn
无穷级数复习课
一、内容提要 二、例题选解
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铃
内容提要
收敛级数的基本性质
性性质质11
如果 un s
则
kun ks
n1
n1
性性质质22
如果
un s
、 vn
则 (un vn)s
n1
n1
n1
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的
f (x)
f (0)
x 0
1 1 t2
dt
x[1 t2 (t2)n ]dt
40
x x3 (1)n x2n1 , (1 < x < 1)
4
3
2n 1
以上级数在点 x 1 处收敛, 而 f(x) 在点 x 1 处连续,
1
1 x]
n1
1 x
(1
2x x)3
,
(1 < x < 1)
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知结识束点 知识点
例7 将函数 f (x) arctan 1 x 展开为 x 的幂级数. 1 x
解f
( x)
1 1 x2
1
x2
(x2)n
, (1 < x < 1)
lim
n
ln n np
0, (
p
0)
解(1) 当 n→∞ 时,
(2) 因为
n 1 ln(1 1 ) ~
n2
n
n n
无穷级数知识点
⽆穷级数知识点⽆穷级数知识点⽆穷级数1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯⼀，即：1lim n k n k S u ∞→∞==∑存在，称级数收敛。
2.若任意项级数1n n u ∞=∑收敛，1n n u ∞=∑发散，则称1n n u ∞=∑条件收敛，若1n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛，绝对收敛的级数⼀定条件收敛。
. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞=3.若有两个级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑，11,n n n n u s v σ∞∞====∑∑则①1()n n n u v s σ∞=±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞===∑∑。
②1n n u ∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则1()n n n u v ∞=+∑发散。
③若⼆者都发散，则1()n n n u v ∞=+∑不确定，如()111, 1k k ∞∞==-∑∑发散，⽽()1110k ∞=-=∑收敛。
4．三个必须记住的常⽤于⽐较判敛的参考级数：a) 等⽐级数：0111n n ar ar r ∞=?-=??≥?∑,收敛，r 发散，b) P 级数： 11p n n ∞=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 1c) 对数级数： 21ln pn n n ∞=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 15.三个重要结论①11()n n n a a ∞-=-∑收敛lim n n a →∞存在②正项（不变号）级数n a ∑收2n a ?∑收，反之不成⽴，③2n a ∑和2n b ∑都收敛n n a b ?∑收，n na b n n∑∑或收6．常⽤收敛快慢正整数 ln (0)(1)!n n n n a a n n αα→>→>→→由慢到快连续型 ln (0)(1)x x x x a a x αα→>→>→由慢到快7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常⽤技巧1.达朗贝尔⽐值法 11,lim 1,lim 0)1,n n n n n n l u l l u l µµ+→∞→+∞=>≠??=??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）2. 柯西根值法 1,1,1,n n n n l u l l n l µ=>??=?收发（当为某次⽅时）单独讨论3. ⽐阶法①代数式 1111n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞====≤∑∑∑∑收敛收敛，发散发散②极限式 lim nn nu A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数。
高等数学第十章无穷级数精选讲义
第十章 无穷级数精选讲义【考试要求】1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质． 2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法． 3．掌握几何级数、调和级数与p 级数的敛散性．4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法． 5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）． 7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．【考试内容】一、常数项级数的相关概念1．常数项级数的定义一般地，如果给定一个数列1u ，2u，，n u，，则由这数列构成的表达式123n u u u u +++++叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为1nn u∞=∑，即1231nn n uu u u u ∞==+++++∑，其中第n 项n u 叫做级数的一般项．2．常数项级数收敛、发散的概念作常数项级数1nn u∞=∑的前n 项和121nn n ii s u u u u ==+++=∑，n s 称为级数1nn u∞=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，，12n n s u u u =+++，．如果级数1nn u∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即limn n s s →∞=，则称无穷级数1nn u ∞=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123n s u u u u =+++++或者1nn us ∞==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．3．收敛级数的基本性质 （1）如果级数1nn u∞=∑收敛于和s ，则级数1nn ku∞=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变． （2）如果级数1n n u ∞=∑、1nn v∞=∑分别收敛于和s 、σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且其和为s σ±． （3）在级数1nn u∞=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．（4）如果级数1nn u∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．（5）如果级数1nn u∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0nn u →∞=．说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim nn u →∞不为零，则级数1nn u∞=∑一定发散．4．几个重要的常数项级数 （1）等比级数级数21nnn q q q q ∞==++++∑或21n n n q q q q ∞==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；当1q ≥时级数发散．（2）调和级数级数 11111123n nn∞==+++++∑ 称为调和级数，此级数是一个发散级数．（3）p 级数级数 11111123p p p p n nn∞==+++++∑称为p 级数，其中常数0p >．其收敛性为：当1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．二、正项级数的审敛法1．比较审敛法设1n n u ∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时有n n u v ≤成立．若级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果级数1nn u∞=∑发散，则级数1nn v∞=∑也发散．2．比较审敛法的极限形式 设1n n u ∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数．（1）如果lim nn n u l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；（2）如果lim nn nu l v →∞=，0l <≤+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑发散．说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它 们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n→∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比nv 高阶的无穷小，而级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小，而级数1nn v∞=∑发散，则级数1nn u∞=∑发散．3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数，如果1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散． 4．根值审敛法（柯西判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，如果n ρ→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或n →∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．三、交错级数及其审敛法1．交错级数的概念所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：112341(1)n n n u u u u u ∞-=-+-+=-∑ ，或12341(1)nn n u u u u u ∞=-+-+-=-∑ ， 其中1u ，2u ，都是正数．2．交错级数的审敛法—莱布尼茨定理如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件： （1）1nn u u +≥ （1,2,3,n =）；（2）lim 0nn u →∞=．则级数收敛．四、绝对收敛与条件收敛1．绝对收敛与条件收敛对于一般的级数12n u u u ++++，它的各项为任意实数．如果级数1nn u∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛；如果级数1nn u∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．例如，级数1211(1)n n n ∞-=-∑是绝对收敛级数，而级数111(1)n n n∞-=-∑是条件收敛级数．对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn u∞=∑必定收敛．这说明，对于一般的级数1nn u∞=∑，如果我们用正项级数的审敛法判定级数1nn u∞=∑收敛，则此级数一定收敛．这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性 判定问题． 2．重要结论一般说来，如果级数1nn u∞=∑发散，我们不能断定级数1nn u∞=∑也发散．但是，如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据1lim1n n nu u ρ+→∞=>或1n ρ→∞=>判定级数1nn u∞=∑发散，则我们可以断定级数1nn u∞=∑必定发散（这是因为从1ρ>可推知n →∞时nu 不趋于零，从而n→∞时n u 也不趋于零，因此级数1n n u ∞=∑发散）．五、幂级数（一）函数项级数1．函数项级数的定义如果给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ，2()u x ，，()n u x ，，则由这函数列构成的表达式1231()()()()()n n n u x u x u x u x u x ∞=+++++=∑称为定义在I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数． 2．收敛域、发散域、和函数对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数1020300()()()()n u x u x u x u x +++++．如果该常数项级数收敛，就称点0x 是函数项级数1()nn u x ∞=∑的收敛点；如果该常数项级数发散，就称点0x 是发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．对应于收敛域内的任意一个常数x ，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成123()()()()()n s x u x u x u x u x =+++++．（二）幂级数及其收敛性1．幂级数的定义函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级 数，形式为20120nn n n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑，其中常数0a ，1a ，2a ，，n a，叫做幂级数的系数．2．阿贝尔定理如果级数nn n a x∞=∑当0xx =（00x ≠）时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数0nn n a x ∞=∑当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散．由上述定理可以推出，如果幂级数nn n a x∞=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；当x R >时，幂级数发散；当x R =或x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．正数R叫做幂级数的收敛半径，开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间． 3．求收敛半径及收敛区间的方法（1）对于标准形式的幂级数nn n a x∞=∑或1n n n a x ∞=∑，有如下方法： 如果1limn n na a ρ+→∞=，其中n a 、1n a +是幂级数0n n n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩．（2）对于非标准形式的幂级数0()n n u x ∞=∑或1()n n u x ∞=∑（如202!n n n x n ∞=∑或0(1)2nn n x n ∞=-∑），方法如下：令1()lim1()n n n u x u x +→∞<，得到x 的范围，然后再求x 的两个边界值所对应的常数项级数的敛散性即可．（三）幂级数的和函数1．幂级数和函数的性质 性质1 幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续． 性质2 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式 10000()1xxx n nn n n n n n n a s x dx a x dx a x dx x n ∞∞∞+===⎡⎤===⎢⎥+⎣⎦∑∑∑⎰⎰⎰ （x I ∈）， 逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径． 性质3 幂级数0nn n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导，并有逐项求导公式()1001()n n n n n n n n n s x a x a x na x ∞∞∞-==='⎛⎫''=== ⎪⎝⎭∑∑∑ （x R <），逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．2．幂级数和函数的求法（“先导后积”或“先积后导”）当幂级数的一般项形如(1)nx n n +时，可用先求导后求积分的方法求其和函数；当幂级数的一般项形如2(21)nn x +、1n nx-等形式，可用先求积分后求导的方法求其和函数．3．常用的幂级数展开式（1）20111n n n x x x x x ∞===+++++-∑，11x -<<；（2）201(1)1(1)1n n n n n x x x x x ∞==-=-+-+-++∑，11x -<<．【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性． 1．1n ∞= ．解：因1lim 2n n n→∞→∞==，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数发散． 2．1n ∞=．解：因223n n n →∞→∞==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．3．1352nnnn ∞=-∑ ．解：因 33552lim lim 152335nn n n n n n n nn n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫⎪⎝⎭，而级数135n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．4．11sin n n ∞=∑ ．解：因 1sinlim 11n n n→∞=，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数发散．5．11(1cos )n n ∞=-∑ ． 解：因211cos1lim12n n n→∞-=，而级数211n n ∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．6．32tan n nn π∞=∑ ． 解：因 2222tan lim lim 211n n n n n n n n πππ→∞→∞⋅==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．7．312(1)n n n n ∞=++∑ ．解：因 333322(1)limlim 11(1)n n n n n n n n n n →∞→∞+++=⋅=+，而级数311n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛． 8．111nn a∞=+∑ （0a >）． 解：当1a=时， 111limlim 0122n n n a →∞→∞==≠+，故原级数发散；当01a <<时，11limlim 10110n n n a →∞→∞==≠++，故原级数发散；当1a >时，因11lim lim 111n n n n n na a a a →∞→∞+==+，而级数11n n a∞=∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性． 1．1(1)!2nn n ∞=+∑ ． 解：因11(2)!(2)!222lim lim lim (1)!2(1)!22n n n n n n n n n n n n ++→∞→∞→∞+++=⋅==∞++，故原级数发散．2．213nn n ∞=∑ ．解：因221212(1)(1)313lim lim 1333n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故原级数收敛． 3．1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ ． 解：因1135(21)(21)2123(1)!lim lim 1135(21)3(1)33!n n n n n n n n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅-⋅++⋅+==<⋅⋅⋅⋅-+⋅，故原级数收敛．4．110!nn n ∞=∑ ．解：因111010!(1)!lim lim 0110(1)!10!n n n n n n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+，故原级数收敛．5．1212nn n ∞=-∑ ． 解：因112121212lim lim 12122122n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<--，故原级数收敛．6．21sin2nn nπ∞=∑ ．解：因22sin22lim lim 1122n nn n nnn n πππ→∞→∞==⋅，故原级数与级数212n n n ∞=∑敛散性相同． 对于级数212n n n ∞=∑，因221212(1)(1)212lim lim 1222n n n n n nn n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故级数212n n n ∞=∑收敛，所以原级数也收敛．【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．1．12(1)2nn n ∞=+-∑．解：1ln[2(1)]11lim 122n nn n n e+-→∞→∞→∞===<，故原级数收敛． 2．11[ln(1)]n n n ∞=+∑ ．解：1lim 01ln(1)n n n n →∞→∞→∞===<+，故原级数收敛． 【例10-4】判定下列级数的敛散性，如果是收敛的，判定是绝对收敛还是条件收敛． 1．11(1)n n ∞-=-∑．解：因级数111(1)n n n ∞∞-==-=∑发散，但由莱布尼茨定理可知，原级数满足1n n u u +=>=，且0n →∞=，所以原级数收敛且为条件收敛．2．1211(1)n n n∞-=-∑ ． 解：因级数1221111(1)n n n n n∞∞-==-=∑∑收敛，所以原级数绝对收敛．3．11(1)1n n nn ∞+=-+∑ ． 解：因1lim(1)1n n nn +→∞-+不存在，故原级数发散． 4．11sin27n n n π∞=∑ ．解：11sin 272n n n π≤，而级数112n n ∞=∑是收敛的等比级数，故根据比较审敛法可知，级数11sin 27n n n π∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域． 1．11(1)nn n x n∞-=-∑ ． 解：因111limlim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为111(1)n n n∞-=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(1,1]-． 2．0!nn x n ∞=∑ ．解：因111(1)!limlim lim 011!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径R =+∞，故级数的收敛域为(,)-∞+∞．3．0!n n n x ∞=∑ ． 解：因1(1)!limlim !n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在点0x =处收敛． 4．2121n nn x n ∞=+∑ ． 解：因12212222(1)(1)1limlim lim 22(1)11n n n n n n na n n a n n ρ++→∞→∞→∞+++====+++，所以收敛半径112R ρ==，故收敛区间为11(,)22-．又当12x =-时，原级数即为21(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当12x =时，原级数即为2111n n ∞=+∑，收敛，故原级数的收敛域为11[,]22-．【例10-6】求下列幂级数的收敛域．1．1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 11(1)1(1)2lim 1(1)22n n n n nx x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅，则12x -<，故当13x -<<时级数收敛，当1x <-或3x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，收敛；当3x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散．因此原级数的收敛域为[1,3)-． 2．211(1)21n nn x n +∞=-+∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 231221(1)23lim 1(1)21n n n n nxn x xn +++→∞-+=<-+，则当11x -<<时级数收敛，当1x <-或1x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为111(1)21n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)21nn n ∞=-+∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．【例10-7】求下列幂级数的和函数． 1．11n n nx∞-=∑ ．解：先求幂级数的收敛域． 令1(1)lim 1nn n n x x nx-→∞+=<，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为1n n ∞=∑，也发散．因此原级数的收敛域为(1,1)-．再求和函数．设和函数11()n n s x nx ∞-==∑，则2111()()()()1(1)nnn n x s x x x x x ∞∞=='''====--∑∑， (1,1)x ∈-．2．2111(1)21n n n x n -∞-=--∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 212211(1)21lim 1(1)21n nn n n x n x xn +-→∞--+=<--，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为11(1)21nn n ∞=--∑，收敛；当1x =时，原级数即为111(1)21n n n ∞-=--∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数2111()(1)21n n n x s x n -∞-==--∑，则12224122211()(1)1(1)1n n n n n s x xx x xx ∞----='=-=-+-+-+=+∑，故[]2001()arctan arctan 1xxs x dx x x x ===+⎰， [1,1]x ∈-．3．111(1)n n x n n ∞+=+∑． 解：先求幂级数的收敛域．令 211(1)(2)lim 11(1)n n n x n n x x n n +→∞+++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为111(1)(1)n n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)n n n ∞=+∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数111()(1)n n s x x n n ∞+==+∑，(1,1)x ∈-，则11111111()(1)(1)n n n n n n s x x x x n n n n n∞∞∞++===''⎡⎤⎡⎤'===⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∑∑∑，1111111()()()1n n n n n n s x x x x n n x ∞∞∞-===''''====-∑∑∑， 故[]001()ln(1)ln(1)1x xs x dx x x x'==--=---⎰，[]0()ln(1)(1)ln(1)x s x x dx x x x =--=--+⎰，[1,1)x ∈-． 当1x =时，原级数即为11(1)n n n ∞=+∑，令 1111223(1)n s n n =+++⋅⋅+， 则11111111112233411n s n n n =-+-+-+-=-++， 所以1(1)lim lim(1)11n n n s s n →∞→∞==-=+，故原幂级数的和函数为 1,1()(1)ln(1),11x s x x x x x =⎧=⎨--+-<<⎩ ． 4．1(1)nn n n x∞=+∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 1(1)(2)lim 1(1)n n n n n x x n n x+→∞++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)(1)nn n n ∞=-+∑，发散；当1x =时，原级数即为1(1)n n n ∞=+∑，也发散．因此原级数的收敛域为(1,1)-．再求和函数．设和函数1()(1)n n s x n n x ∞==+∑，则1111111()(1)(1)()()()n nn n n n n n s x x n n xx n x x x x x ∞∞∞∞-++===='''''=+=+==∑∑∑∑222322()[]1(1)(1)x x x x x x x x x -'''===---，(1,1)x ∈-．【例10-8】将下列函数展开成相应的幂级数． 1．将函数21()32f x x x =-+展开成关于x 的幂级数． 解：11111()()(1)(2)1212(1)2f x x x x x x x ==--=-------， 而 011nn x x ∞==-∑（1x <），01()212n n x x ∞==-∑（12x <，即2x <）， 所以1000111()(1)222nn n n n n n n f x x x x ∞∞∞+====-=-∑∑∑，1x <．2．将函数21()32f x x x =++展开成关于(4)x +的幂级数． 解：11111()(1)(2)123(4)2(4)f x x x x x x x ==-=-++++-++-++ 111144321132x x =-⋅+++--． 因 011n n x x ∞==-∑（11x -<<）， 故 011(4)4313nnn x x ∞==++-∑ （4113x +-<< 即 71x -<<-）， 011(4)4212n n n x x ∞==++-∑ （4112x +-<< 即 62x -<<-）， 从而001111()(4)(4)3322nn n n n n f x x x ∞∞===-+++∑∑11011()(4)23nn n n x ∞++==-+∑， 62x -<<-．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）lim 0nn u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的 条件（ ）（A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）不确定 解：根据收敛级数的性质，lim 0nn u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件．选项（A ）正确．2．（2009年，1分）幂级数13(1)3n nnn x ∞=+-∑的收敛半径是（ ） （A ）6 （B ）32（C ）3 （D ）13解：原幂级数即为1333n n n x x ∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，由13x ≤及13x-≤可得，3x ≤，故级数的收敛半径为3，选项（C ）正确．3．（2008年，3分）数项级数21sin n an n∞=∑（a 为常数）是（ ）级数 （A ）发散的（B ）条件收敛（C ）绝对收敛（D ）敛散性由a 确定 解：因22sin a an n n ≤，而级数 21n a n∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．选项（C ）正确．4．（2007年，3分）数项级数1(1)[1cos ]nn a n ∞=--∑（其中a 为常数）是（ ） （A ）发散的 （B ）条件收敛（C ）收敛性根据a 确定 （D ）绝对收敛解：级数1(1)[1cos ]nn a n ∞=--∑加绝对值后的级数为1(1cos )n an ∞=-∑，对于此正项级数，由于2222211cos 2limlim 112n n a a a n n n n →∞→∞-⋅==为常数，而级数211n n∞=∑收敛，故级数1(1cos )n an ∞=-∑也收敛，所以原级数绝对收敛．选项（D ）正确． 5．（2005年，3分）幂级数1(1)(1)nnn x n ∞=--∑的收敛区间是（ ）（A ）(0,2]（B ）(1,1]- （C ）[2,0]- （D ）(,)-∞+∞解：令111(1)(1)()1lim lim 11(1)()(1)n n n n n n n nx u x n x x u x n+++→∞→∞--+==-<-- 可得，02x <<，故级数的收敛区间为(0,2)．又当0x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散；当2x =时，原级数即为11(1)nn n∞=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(0,2]．选项（A ）正确． 二、填空题1．（2010年，2分）幂级数1!nn x n ∞=∑的收敛区间为 ．解：因111(1)!limlim lim 011!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+====+，故1R ρ==+∞，所以原幂级数的收敛区间为(,)-∞+∞．2．（2006年，2分）函数1()12f x x=+在1x =处展开的泰勒级数是 ．解：因01(1)1n n n x x ∞==-+∑，故1111()21232(1)31(1)3f x x x x ===⋅++-+- 10012(2)(1)[(1)](1)333n n n n n n n x x ∞∞+==-=--=-∑∑．其中，21(1)13x -<-<，即1522x -<<．3．（2006年，2分）幂级数11(1)(2)12nnnn x ∞=--+∑在0.6x =处的敛散性是 ． 解：令 11111(1)(2)()112lim lim 211()2(1)(2)12n n n n n n n n n nx u x x u x x ++++→∞→∞--+==-<--+，可得04x <<，即收敛区间为(0,4)，故幂级数在0.6x =处是收敛的．说明：此题也可将0.6x =代入原幂级数，判定对应的常数项级数的敛散性．三、计算题1．（2009年，5分）求幂级数231(1)23nn x x x x n--+-+-+的收敛半径和收敛域．解：原级数即为11(1)n n n x n ∞-=-∑．因111(1)1limlim 11(1)nn n n n n a n a n ρ+→∞→∞--+===-，故收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x=时，原级数即为111(1)n n n∞-=-∑，收敛．故原级数的收敛域为(1,1]-． 2．（2008年，7分）将函数1()3f x x=-展开成(2)x -的幂级数． 解：因011nn x x ∞==-∑，故011()(2)31(2)n n f x x x x ∞====----∑． 其中，121x -<-<，即13x <<．3．（2007年，7分）求幂级数1(1)n n n x ∞=-∑的收敛区间与和函数． 解：令11()(1)(1)lim lim 11()(1)n n n n n nu x n x x u x n x ++→∞→∞+-==-<-，可得02x <<，故幂级数的收敛区间为(0,2)．21设 1()(1)n n s x n x ∞==-∑，则 111()(1)(1)(1)n n n n s x n x x n x ∞∞-===-=--∑∑ 101(1)(1)(1)(1)(1)n n n n x x x x x x x ∞∞==''-⎡⎤⎛⎫'⎡⎤=--=--=- ⎪⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦∑∑ 22(1)(1)1(1)x x x x x x---⋅--=-⋅=， 02x <<． 4．（2006年，4分）判定级数21(1)(1)nn n n ∞=-+∑的敛散性． 解：此级数为交错级数，其中2(1)n n u n =+． 由于3322123221(1)331(2)1(2)44(1)n n n u n n n n n n u n n n n nn +++++++===<++++，即1n n u u +<，且2lim lim 0(1)n n n n u n →∞→∞==+，故此交错级数符合莱布尼茨定理的条件，故该级数收敛．。
高数无穷级数复习
（1）当 （2）当 （3）当
定理3. 比较判别法
若
u
n 1
n 收敛(发散)且 n
v un ( un v n ),
则
v n 收敛(发散). n 1
p 级数
(常数 p > 0)
1 p 1 收敛 p 发散 n0 n p 1
级数的一般项
级数的前 n 项和
称为级数的部分和
若
存在，则称无穷级数收敛，
并称S为级数的和，记作 若 不存在，则称无穷级数发散.
例7-1. 判别下列级数的敛散性
解: (1)
2 n 1 3 4 S n ln ln ln ln 1 n 2 3
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
二、绝对收敛与条件收敛
对任意项级数 ，若 收敛，则称原级
数
绝对收敛.
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则
称原级数
条件收敛.
绝对收敛的级数必收敛.
例7-7. 证明下列级数绝对收敛 sin n (1) 4 . n n 1
sin n 1 证: (1) 4,而 4 n n
1 n 4 收敛 , n 1
n 1
sin n 收敛 4 n
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件 lim u n 0
n
不满足
发 散
满足
un 1 比值判别法 lim u n n
无穷级数知识点总结
无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。
一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。
无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。
如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。
二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。
下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。
1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。
即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。
2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。
3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。
无穷级数复习讲义-8页文档资料
第一节 数项级数一．无穷级数∑∞=0n n a 收敛的充分条件：数列{}n a 的前n 项和数列{}n S 收敛； 必要条件：0lim =n a . 例1：证明级数∑∞=121n n收敛. 证：①教材第二页的证明方法（利用cauchy 判则）.②取数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧21n 的前n 项和n S .当2≥n 时，n n n n n 111)1(112--=-≤∴n S =+++222312111 (2)1n + +-+-+≤312121111…n n 111--+=2n 1- ∴n S 单调递增且有界，数列{}n S 收敛，所以级数∑∞=121n n收敛.例2：研究级数∑∞=1001.0n n 的敛散性.解：∵lim 01001.0≠=n，∴级数∑∞=1001.0n n 发散.小结：一般来说，cauchy 判则没有多大的实用价值，在证明数列收敛时一般不用此法；无穷级数∑∞=0n n a 收敛的必要条件的逆否命题也是可以利用.二．收敛级数的性质⒈若级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都收敛，βα,是常数，则级数)(1∑∞=+n n n b a βα也是收敛的.⒉在级数∑∞=1n n a 中改变有限项的值，并不改变级数的敛散性.三．正项级数若n a 0≥，则称∑∞=1n n a 是正项级数.⒈正项级数∑∞=1n n a 收敛的充要条件是它的部分和数列{}n S 有界.（例题参见例1）⒉设∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都是正项级数，若从某项开始有b n b a ≤恒成立，则⑴．若∑∞=1n n a 发散，则∑∞=1n n b 发散；⑵．若∑∞=1n n b 收敛，则∑∞=1n n a 收敛.（比较判别法） 例3：∑∞=11n pn称为p 级数，讨论它的敛散性. 解：证明结果：当1≤p 时，∑∞=11n p n 发散； 当1>p 时，∑∞=11n pn收敛. (详细证明方法参见书本第六页) 例4：级数∑∞=2ln 1n n 发散. 例5：∑∞=+111n n n 收敛.（利用p 级数）小结：一般在应用比较判别法时，要用到p 级数.p 级数的应用价值很大，请记住它的敛散性.⒊设∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都是正项级数，A b a bn=lim. ⑴．若+∞<<A 0，则∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 同敛散；⑵．若0=A ，则当∑∞=1n n b 收敛时，∑∞=1n n a 也收敛；⑶．若+∞=A ，则当∑∞=1n n b 发散时，∑∞=1n n a 也发散.例6：∑∞=145ln n nn收敛.证明:∵对于∑∞=145ln n n n，有818945ln 1ln n n n n n=，且l i m 0ln 81=n n ，由∑∞=1891n n 收敛，知∑∞=145ln n n n收敛. 小结：一般在应用这一定理时，也要介入p 级数来做比值判别.⒋（cauchy 判别法）设∑∞=1n n a 是正项级数.⑴．若从某项起，,1<≤q a nn 则∑∞=1n n a 收敛；⑵．若有无穷多个n ，使得0>≥αn a ，则∑∞=1n n a 发散.⒌（cauchy 判别法的极限形式）设∑∞=1n n a 是正项级数，q a n n =lim .⑴．当10<≤q 时，∑∞=1n n a 收敛；⑵．当1>q 时，∑∞=1n n a 发散.⒍（d ’Alembert 判别法）设∑∞=1n n a 是正项级数.⑴．若从某项起 11<≤+q a a n n ，则∑∞=1n n a 收敛； ⑵． 若从某项起有11≥+n n a a ，则∑∞=1n n a 发散. ⒎（d ’Alembert 判别法）设∑∞=1n n a 是正项级数，q a a nn =+1lim. ⑴．当10<≤q 时，∑∞=1n n a 收敛；⑵．当1>q 时，∑∞=1n n a 发散.例7：2)11(211n n nn +∑∞=发散. 例8：∑∞=12)!2()!(n n n 收敛.小结：一般极限形式更容易解决问题.⒐（cauchy 积分判别法的极限形式）设)(x f 在],1[+∞上有定义，非负且单调递减，则∑∞=1)(n n f 与⎰+∞1)(dx x f 同敛散.四．交错级数设0≥n a ，称级数∑∞=-1)1(n n n a 为交错级数.1．设}{n a 单调递减趋于0，则级数∑∞=--11)1(n n n a 收敛，且和不大于1a .例9：∑∞=--11ln )1(n n nn收敛. 五．条件收敛与绝对收敛 称||1∑∞=n n a 为∑∞=1n n a 的绝对值级数1．若||1∑∞=n n a 收敛，则∑∞=1n n a 收敛.若||1∑∞=n n a 收敛，则称∑∞=1n n a 绝对收敛；若∑∞=1n n a 收敛，||1∑∞=n n a 发散，则称∑∞=1n n a 条件收敛.(这是条件收敛与绝对收敛的定义，同时可以作为判别方法)例10：()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--1)11ln(11n n n n 绝对收敛.证：分析只需证明∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1)11ln(1n n n收敛即可.由柯西积分判别法，∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1)11ln(1n n n 与广义积分⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111ln 1dx x x同敛散.而广义积分⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111ln 1dx x x 是收敛的（收敛于12ln 2-）. ))0(1ln )1(11ln 10(>+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+->⎰x C x x x dx x xx 时，附：所以∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1)11ln(1n n n 收敛.所以()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--1)11ln(11n n n n 绝对收敛.注意：∑∑∞=∞=+1n 1)11ln(1n n n 与都是发散的，但∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1)11ln(1n n n收敛.()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--1)11ln(11n nn n 绝对收敛，但是n n n 1)1(1∑∞=-与)11ln()1(1n n n +-∑∞= 都是条件收敛的，那我能否说用两个条件收敛的级数的线性组合一定可以表示出一个绝对收敛的级数？第二节 幂级数和Taylor 展式类似于数项级数，可以定义函数项级数.形如nn nx x a )(01-∑∞=的函数项级数称为幂级数.在此我们重点讨论00=x 时的情况（n n n x a ∑∞=1）. 一．幂级数的收敛半径⒈（Abel 引理）如果幂级数nn n x a ∑∞=1在0x )0(0≠x 处收敛，则当||||0x x <时，nn n x a ∑∞=1绝对收敛;如果幂级数nn n x a ∑∞=1在0x )0(0≠x 处发散，则当||||0x x >时，n n n x a ∑∞=1发散.下面两个定理用来确定幂级数的收敛半径：⒉如果L a a n n =+||lim 1(+∞≤≤L 0),则幂级数n n n x a ∑∞=1的收敛半径L R 1=. ⒊如果L a n n =||lim ，则幂级数n n n x a ∑∞=1的收敛半径LR 1=. 例11：求幂级数nn nx n ∑∞=1和n n x n ∑∞=1的收敛半径.解：∵1|1|lim =+n n ，∴n n x n ∑∞=1的收敛半径为1；∵+∞→=n n nnlim ，∴n n n x n ∑∞=1的收敛半径为0.二．幂级数的性质⒈设幂级数nn n x a ∑∞=1和n n n x b ∑∞=1的收敛半径分别为1R 和2R ，取{}21,m in R R R =,则nn n nx b a)(1βα+∑∞==αnn n xa ∑∞=1+βnn n xb ∑∞=1在()R R ,-中成立.⒉n n n x a ∑∞=1的收敛半径为R ，则和函数)(x S 在收敛区间()R R ,-上连续.⒊对幂级数n n n x a ∑∞=1逐项积分或微分，不改变收敛半径,但有可能该变收敛区域.例12:求幂级数121!)!12(1-∞=∑-n n x n 的收敛域和和函数.解：显然0!)!12(1!)!12(1lim =-+nn n ，则幂级数121!)!12(1-∞=∑-n n x n 的收敛半径+∞=R ，收敛域为全体实数.令)(x S =121!)!12(1-∞=∑-n n x n ，则)(1!)!32(1)(232x xS n x x x S n n +=-+='∑∞=-， 即)(1)(x xS x S +='，解得)(x S =dt eext x ⎰-0222。
无穷级数知识点总结公式
无穷级数知识点总结公式无穷级数的定义：无穷级数的一般形式可以表示为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]其中，\( a_n \) 是级数的第 n 个项。
级数的和通常记为 \( S \)，即\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]当级数的和存在有限值时，称级数收敛；当级数的和不存在有限值时，称级数发散。
无穷级数的性质：1. 无穷级数的和与项的次序无关级数的项次序可以进行重新排列，其和仍然相同。
2. 收敛级数的任意项的和都趋于零对于收敛级数，其各项的和对应的部分和序列的极限为级数的和。
3. 收敛级数的每一项都可以表示为部分和序列的差对于收敛级数，其每一项都可以表示为相邻两个部分和之差。
无穷级数的收敛性：在讨论无穷级数时，我们关心的一个重要问题是该级数是否收敛。
无穷级数的收敛性可以通过不同的收敛判别法来进行判断。
1. 正项级数收敛判别法对于正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)：- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) 且 \( a_n \) 单调递减（即 \( a_{n+1} \leq a_n \)），则级数收敛；- 若 \( a_n \) 单调递减且有界，则级数收敛；- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n \) 不存在或 \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \) ，则级数发散。
2. 比较判别法设 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 和 \( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 为两个级数，若存在正常数 \( C \)，当 \( n \) 充分大时有 \( 0 \leq a_n \leq Cb_n \)，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 收敛时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 发散时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 发散。
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⽆穷级数第九章⽆穷级数⽆穷级数是函数逼近与近似计算的重要⼯具。
本章主要讨论--???---和函数展开收敛性傅⽴叶级数和函数展开收敛性幂级数函数项级数条件收敛绝对收敛任意项级数莱布尼兹审敛法交错级数根值法⽐值法⽐较法正项级数常数项级数级数,,,,,,,基本概念基本性质收敛域和函数§1、数项级数的基本概念与性质⼀、基本概念定义1（级数）设有⽆穷数列，称形式和{}∞1n u++++n u u u 21为⽆穷级数，简称级数，记为，即∑∞=1n n u ,211++++=∑∞=n n nu u u u其中每个数均称为级数的项，数称为级数的⼀般项或通项，级数的前n 项和n unnk k n u u u u s +++==∑= 211称为级数的部分和数列。
研究级数的基本问题：1、判定级数是否收敛——⽆穷个数相加是否等于⼀个有限数（级数的和）；2、当级数收敛时，如何求其和。
，其部分和为，则n s ∑∞=1n nu∑∞=1n nu1、级数收敛此时，称s 为级数的和，并记,lim s s n n =?∞→?;1s un n=∑∞=2、级数发散不存在。
∑∞=1n nun n s ∞→?lim 显然，收敛级数才有和，发散级数⽆和；任何级数要不收敛，要不发散，两者不可兼得。
利⽤敛散性定义可以判定⼀些级数的敛散性，并求出收敛级数的和。
【例1】判定级数的敛散性。
∑∞=+1)1(1n n n 〖解〗由分项分式11)1(1 =+-=+k k k k k 得级数部分和为)1(1431321211+++?+?+?=n n s n )111()4131()3121()211(+-++-+-+-=n n111+-=n s n 故n n s ∞→lim )111(lim +-=∞→n n 1=于是，原级数收敛，且和为1，即.1)1(11=+∑∞=n n n □练习：判定下列级数∑∞=-+1)1(n n n 的敛散性。
⼀般，对形如∑∞=+-1)]1()([n n f n f 的级数均可利⽤敛散性定义判定其敛散性。
无穷级数
第七讲 无穷级数一、主要知识点（一）常数项级数1．数项级数的概念（1）无穷级数定义：121n n n u u u u ∞==++++∑ ．（2）敛散性定义： 若S S n n =∞→lim (有限)，则级数∑∞=1n n u 收敛，其和为∑∞==1n nuS ．若n n S ∞→lim 不存在，则∑∞=1n n u 发散，没有和．2．数项级数的性质（1）级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 有相同的敛散性)0(≠k ．（2）设级数∑∞=1n n u 及∑∞=1n n v ，则若S u n n =∑∞=1，σ=∑∞=1n n v ，则σ±=±∑∞=S v u n n n )(1；若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1n n v 发散，则)(1∑∞=±n n n v u 发散；若∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 均发散，则)(1∑∞=±n n n v u 敛散性不能确定．（3）在级数∑∞=1n n u 中添加、去掉或改变有限项不影响级数∑∞=1n n u 的敛散性．（4）设级数∑∞=1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．（5）级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞→n n u ．3．正项级数∑∞=1n n u )0(≥n u 判敛法（1）收敛的基本定理：正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是部分和数列}{n S 有上界．（2）比较判别法1：设级数∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 均为正项级数，若存在N ，当N n >时，有n n v u ≤≤0成立，则1）若级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛．2）若级数∑∞=1n n u 发散，则级数∑∞=1n n v 发散．（3）比较法的极限形式2：设级数∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 均为正项级数，且limn n nu A v →∞=(0)n v ≠，则1）当+∞<<A 0，则级数∑∞=1n n u 与级数∑∞=1n n v 敛散性相同．2）当0=A ，若级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛．3）当+∞=A ，若级数∑∞=1n n v 发散，则级数∑∞=1n n u 发散．常用作比较的级数：几何级数⎪⎩⎪⎨⎧-=∑∞=发散,10q aaqn n1||1||≥<q q ； -p 级数⎩⎨⎧=∑∞=发散收敛11n pn11≤>p p ；调和级数+++=∑∞=3121111n n是发散的．注意：若级数的分母、分子关于n 的最高次数分别为p 和q ，即1qpn n n αβ∞=++∑（其中,αβ为含n 的次数分别低于,p q 的多项式），则当1p q ->时级数收敛，当1p q -≤时级数发散． （4）比值判别法（达朗贝尔判别法）（适用于n u 中含有!n ,nn 及na 等因子）：设级数∑∞=1n n u (0≥n u )，若ρ=+∞→nn n u u 1lim，则11111n n n n u u ρρρ∞=∞=⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑若，则级数发散若，则级数收敛若，方法失效．（5）根值判别法（柯西判别法）（适用于n u 含有以n 为指数幂的因子）：设级数∑∞=1n n u (0≥n u )，若ρ=∞→nnn u lim，则11111n n n n u u ρρρ∞=∞=⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑若，则级数发散若，则级数收敛若，方法失效．注意：根值法，比值法条件是充分条件而非必要条件． （6）拉阿伯判别法：设级数∑∞=1n n u (0n u >)，若1lim (1)n n n u n u ρ→∞+-=，则11111n n n n u u ρρρ∞=∞=⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑若，则级数收敛若，则级数发散若，方法失效．（7）柯西积分判别法：若函数()(0)f x x >是非负的不增函数，则级数1()n f n ∞=∑与广义积分1()f x dx +∞⎰同时收敛或同时发散．例如：级数11pn n∞=∑；21(l n )pn n n ∞=∑；21l n (l n )pn n n n ∞=∑与广义积分1pdx x+∞⎰；2(l n )pdx x x +∞⎰；2l n (l n)pdx x x x +∞⎰当1p >时同时收敛，当1p ≤时同时发散．4．一般项级数判敛法（1）交错级数)0()1(11≥-∑∞=-n n n n u u 莱布尼兹判敛法：若交错级数∑∞=--11)1(n n n u ，满足条件1）1,(1,2,)n n u u n +≤= ；2）0lim =∞→n n u ，则交错级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛，且其和1u s ≤，余项1+≤n n u R ．注意：证明比较n u 与1+n u 大小的方法有三种：1）比值法：考查11<+nn u u ；2）差值法：考查01<-+n n u u ；3）由一般项n u 找出连续可导函数)(x f ，使)(n f u n =，考查导数0)(<'x f ，函数)(x f 就是单调减少，则有n n u u <+1．（2）亚伯耳判敛法：级数1nn n uv ∞=∑(其中,n n u v 为实数)满足条件1）级数1n n u ∞=∑收敛，2）{}n v 为单调有界数列，则级数1n n n u v ∞=∑收敛．（3）狄里克利判敛法：级数1nn n uv ∞=∑(其中,n n u v 为实数)满足条件1）部分和数列1nn ii S u==∑有界，2）当n →∞时，n v 为单调趋向于零，则级数1n n n u v ∞=∑收敛．（4）绝对收敛与条件收敛判别：绝对收敛：若级数∑∞=1||n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 为绝对收敛．条件收敛：若级数∑∞=1||n n u 发散，而级数∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 为条件收敛．若级数∑∞=1||n n u 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛，反之不一定成立．如∑∞=-1)1(n nn．注意：若用比值法（或根植法）判定级数∑∞=1||n n u 发散，则级数∑∞=1n n u 一定发散．（二）幂级数1．幂级数的收敛区间设幂级数∑∞=0n n n x a ，若1lim ||n n na a ρ+→∞=（或limn ρ→∞=，则收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩当时当时当时．收敛区间[],R R -、(,)R R -、[,)R R -、(,]R R -四种情况之一．注意：若幂级数为∑∞=022n nn xa 或∑∞=++01212n n n x a （即缺少项的幂级数）时，应如何求收敛半径？2．幂级数的和函数（1）幂级数和函数的性质：设幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数()S x 在区间收敛区间(,)R R -内连续、可导、可积，且可逐项求导、逐项积分，即11()(),(,)n n nn n n S x ax na xx R R ∞∞-==''==∈-∑∑，1(),(,)1x x nn n n n n a S x dx a x dx xx R R n ∞∞+====∈-+∑∑⎰⎰．（2）幂级数和函数的求法： 1）求出给定幂级数的收敛域；2）通过加、减、逐项积分或微分、变量代换（如：以x -代替x ，以2x 代替x ）等运算，将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式，如：① 当所给的幂级数系数的分母出现!n 时，常常转化到xe 的展开式；② 当所给的幂级数系数出现)!2()1(n n-或1(1)(21)!n n +-+时，常常转化到x cos 或x sin 的展开式；③ 当系数是n 的多项式时，常常通过幂级数的加、减、逐项积分或微分运算，转化到等比级数xx n n -=∑∞=110，从而得到新的幂级数的和函数．3）对于得到的和函数再做相反的分析运算，便得原幂级数的和函数．3．函数的幂级数展开（1）泰勒级数：nn n x x n x f)(!)(000)(-∑∞=；（2）麦克劳林级数：()(0)!n nn fx n ∞=∑．（3）函数展开成幂级数1）展开式的唯一性：无论用什么方法将函数展为幂级数的展开式是唯一的； 2）展开的条件：函数在某点0x 的邻域内有任意阶导数；3）展开的方法：直接展开法与间接展开法．（4）直接展开法：利用泰勒级数nn n x x n x f)(!)(000)(-∑∞=，按下列步骤将函数)(x f 在点0x 展开．1）先求出函数)(x f 的各阶导数在0x x =处的值)(0x f ，0()f x '()00()()n f x fx ''再写出级数nn n x x n x f)(!)(000)(-∑∞=；2）写出拉格朗日余项)!1())(()(10)1(+-=++n x x fx R n n n ξ ，证明lim ()n n R x →∞是否趋于零，若lim ()0n n R x →∞=，则nn n x x n x fx f )(!)()(000)(-=∑∞=，即函数)(x f 在0x 处能展开成泰勒级数．3）求出收敛区间．（5）间接展开法：利用下面已知的6个函数的展开式，通过适当的变量代替，四则运算，复合及逐项积分、微分运算将一个函数展开成幂级数——间接展开法． 常用的函数展开式1）23011,(1,1)1nnn x x x x x x x ∞==++++++=∈--∑；2）23011(1)(1),(1,1)1n nnnn x x x x x x x∞==-+-++-+=-∈-+∑ ；3）231111,(,)2!3!!!nxnn xe x x x x x n n ∞==++++++=∈-∞+∞∑；4）212135011sin (1)(1),(,)3!5!(21)!(21)!n n nnn xxx x x x x n n ++∞==-+-+-+=-∈-∞+∞++∑ ；5）2224011cos 1(1)(1),(,)2!4!(2)!(2)!nnnnn xxx x x x n n ∞==-+-+-+=-∈-∞+∞∑ ；6）1231111(1)ln(1)(1),(1,1]23nn nn n xxx x x x x nn-∞-=-+=-+-+-+=∈-∑；7）2(1)(1)(1)(1)1,2!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++1(1)(1)1,(1,1)!nn n x x n ααα∞=--+=+∈-∑．（三）傅里叶级数1．周期函数的傅立叶级数（1）以2π为周期函数：设)(x f 在区间],[ππ-上是可积函数， ⎰-==πππ),2,1,0(,c o s )(1n n x d x x f a n ⎰-==πππ),2,1(,sin )(1n nxdx x f b n则称级数∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa为函数)(x f 的傅里叶级数，称n n b a ,为傅里叶系数． （2）以2l 为周期函数：设)(x f 在区间],[l l -上是可积函数， ⎰-==l l n n dx l x n x f l a ),2,1,0(,cos )(1 π ⎰-==l ln n dx lx n x f lb ),2,1(,sin)(1 π则称级数∑∞=++10)sincos(2n n n lx n b lx n a a ππ为函数)(x f 的傅里叶级数，称n n b a ,为傅里叶系数．2．傅立叶级数收敛定理设函数)(x f 满足狄里克雷条件1）在区间],[l l -上连续或只有有限个第一类间断点； 2）在区间],[l l -上只有有限个极值点， 则傅里叶级数∑∞=++10)sincos(2n n n lx n b lx n a a ππ在区间],[l l -上收敛，并且其和函数)(x f 有1）当x 为)(x f 连续点时，∑∞=++10)sincos(2n n n lx n b lx n a a ππ)(x f =；2）当x 为)(x f 间断点时，∑∞=++10)sincos(2n n n l x n b l x n a a ππ2)0()0(++-=x f x f ；3）当x 为)(x f 端点时，∑∞=++10)sincos (2n n n lx n b lx n a a ππ2)0()0(-++-=l f l f ．3．奇偶函数展开为傅立叶级数正弦级数：nx b n n sin 1∑∞=，其中⎰=ππsin )(2nxdx x f b n ，1,2,n = ；余弦级数：nx a a n n cos 210∑∞=+，其中⎰=ππcos )(2nxdx x f a n ，1,2,n = ．二．例题分析1． 判别常数项级数敛散性例1．设∞=∞→n n a lim ，且0≠n a ，判别级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111n n na a 的敛散性． 解： 令111+-=n n n a a u ，则前n 项的部分和111322111)11()11()11(++-=-++-+-=n n nn a a a a a a a a S ，因为01lim1=+∞→n n a ，所以11lim a S n n =∞→，即原级数收敛且其和11a S =．例2．判别级数下列级数敛散性（1）∑∞=-1)cos1(n nπ； （2）11n ∞=∑（3）若级数)0(1≥∑∞=n n n a a 收敛，则级数∑∞=1n n na 收敛．解：（1）因为nn2sin2cos12ππ=-，所以将其与级数∑∑∞=∞==222212)2(2n n nn ππ比较，又因为 1)2(22s i n2lim222=∞→n nn ππ，所以级数nn 2sin221π∑∞=收敛，从而级数∑∞=-1)cos1(n nπ收敛．（2）将级数1n ∞=∑211n n∞=∑进行比较，即求极限222l i ml i m1(!)n n n n u nn n→∞→∞=，令22(!)n nny n =，则21ln 2ln 2ln !2[ln ln !]n y n n n n nn=-=-12[(l n l n 1)(l nl n 2)(l n l n)]nn nn n=-+-+-112l nni i n n==-∑，于是 1011l i m l n 2l i ml n 2l n l n 2nn n n i i y xdx n n→∞→∞==-=-=∑⎰， 所以 2l i m n n y e →∞=，因此由级数∑∞=121n n收敛得到级数1n ∞=∑（3）由于)1(21122na na na n n n +≤⋅=，而且级数∑∞=1n n a 与级数∑∞=121n n均收敛，所以级数∑∞=1n n na 收敛．练习题：判别级数的敛散性（1）)0,0(1>>∑∞=s a na n sn ；当1<a 时，级数收敛，当1>a 时，级数发散，当1=a 时，级数为∑∞=11n sn，这是p 级数，当1>s 时收敛，当1≤s 时发散．（2）∑∞=1!3n nnnn ；（发散） （3）)0(111>+∑∞=a an n；（1>a 收敛，1≤a 发散） （4）∑∞=1233cosn nn n π；(收敛) （5）∑∞=+-+111)1(n n n n n．（收敛）例3．判别下列级数敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？（1）1)1ln()1(1++-∑∞=n n n n； （2）1!(1)nnnn e n n∞=-∑；（3）当k 为何值时，级数221(1)(ln )nkn n n ∞=-∑收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？解：（1）先考虑正项级数1)1ln(1++∑∞=n n n ．将级数1)1ln(1++∑∞=n n n 与级数111+∑∞=n n 进行比较，因为)2(,1)1l n (11>++<+n n n n ，由级数111+∑∞=n n 的发散，即可得级数1)1ln(1++∑∞=n n n 发散，但是交错级数1)1ln()1(1++-∑∞=n n n n，满足条件：1）ln(1)ln(1)1limlimlim0111n x x n x n x x →∞→+∞→+∞++===+++，2）n n u u <+1，证明之， 令 1)1l n ()()(++===x x x f n f u n ，因为导数1ln(1)()0,(3)1x f x x x -+'=<≥+，所以函数)(x f 当3≥x 时，是单调减少的，从而 n n u u ≤+1，),4,3( =n ，于是，由莱布尼兹判别法知级数1)1ln()1(1++-∑∞=n n n n条件收敛．（2）先考虑正项级数1!nnn e n n∞=∑，因为111(1)!(1)1!(1)n n n nnnnen u e n e n u nn+++++==+，而1(1)ne n+<，所以11(1,2,)n nu u +> ，于是11n n u u u e ->>>= ，则lim 0n n u →∞≠，从而lim (1)0n n n u →∞-≠，故原级数1!(1)nnnn e n n∞=-∑发散．（3）当1k ≥时，22110ln ln kn nn n<≤，由级数221ln n n n∞=∑收敛得到级数221ln kn n n∞=∑收敛，所以当1k ≥时，级数221ln kn n n ∞=∑绝对收敛；当01k ≤<时，由于211ln k n nn>，由级数21n n∞=∑发散得到级数221ln kn n n∞=∑发散，由因为21ln n ku n n=单调减少，且21lim0ln kn n n→∞=，2莱布尼茨判别法知级数221(1)(ln )nkn n n ∞=-∑收敛，于是级数221(1)(ln )nkn n n ∞=-∑条件收敛；当0k <时，由于21lim0ln kn n n→∞=∞≠，则级数221(1)(ln )nkn n n ∞=-∑发散．练习题：判断下列级数的敛散性，若收敛则说明是绝对收敛还是条件收敛？（1）1ln (1)nn n n∞=-∑；（条件收敛）（2）11(1)(1)!n nn nn +∞=-+∑．（发散）例4．设1211211212345632313n u n n n=+-++-+++--- ，111123n v n n n=++++ ，求（1）1010u v ；（2）lim n n u →∞．解：因为1211211212345632313n u n n n=+-++-+++---11111111234532313n n n =++++++++-- 21212121[()()()()]33669933n n -++++++++111111111(1)2345323n n =++++++-++++ ， 所以（1）10111111121330u =++++，10111111121330v =++++，于是10101u v =； （2）由于当n →∞时，1111ln 23n C n++++-→ （0.577216C ≈称欧拉常数），则有1111ln 23n C n nε++++=++ ，（其中n ε为无穷小） 于是 111111111(1)2345323n u n n=++++++-++++ l n 3(l n )n n C n C n τε=++-++，（其中,n n τε为无穷小） 3lnn n n nτε=+-，故3lim lim [ln]ln 3n n n n n n u nτε→∞→∞=+-=．2．求幂级数收敛域、收敛区间例5．求下列幂级数的收敛域（1）nn x n n ∑∞=12)!2()!(； （2）nn n xn n 212)1(∑∞=-+；（3）∑∞=--1)21(2)1(n nnnx n； （4）∑∞=+⨯+1129)13(n nn n x ．解：（1）因为4121)12(1lim)!2()!()!22(])!1[(limlim221=++=++==∞→∞→+∞→n n n n n n a a n n nn n ρ，所以收敛半径为4=R ．当4=x 时，原级数为∑∞=124)!2()!(n nn n ，令nn n n b 4)!2()!(2=，因为112221>++=+n n b b nn ，则0211>=>>>-b b b n n ，所以0lim ≠∞→n n b ，因此级数发散；当4-=x 时，原级数为∑∞=-12)4()!2()!(n nn n ，由于0lim ≠∞→n n b ，所以0)1(lim ≠-∞→n nn b ，因此级数发散，于是级数nn x n n ∑∞=12)!2()!(收敛域为)4,4(-．（2）令t x =2，则nn n t n n 2)1(1∑∞=-+=nn t nn ∑∞=++112，因为 221121111lim22121lim1=+++++=+++++=∞→+∞→nnn n n n n n nn n ρ，所以级数nn t nn ∑∞=++112的收敛半径为12R '=，从而级数nn n xn n 212)1(∑∞=-+的收敛半径为21=R ，当21±=x 时，级数∑∑∞=∞=++=++1111)21(12n nn nnn n n 发散，因此原幂级数的收敛域为)21,21(-．（3）令t x =-21，则=--∑∞=1)21(2)1(n nnnx n∑∞=-12)1(n nnnt n，因为 2112lim212lim1=+=+=∞→+∞→nnn n nn n ρ，所以幂级数12(1)nnnn ∞=-∑的收敛半径为12R '=，从而原级数∑∞=--1)21(2)1(n nnnx n的收敛半径为21=R ，当21-=x 时，级数∑∑∞=∞==--111)21(2)1(n n nnnnn 发散；当21=x 时，级数∑∑∞=∞=-=-11)1()21(2)1(n nn nnnnn 收敛，因此幂级数1(1)nnnn ∞=-∑的收敛域为]21,21(-． 又因为t x =-21，则212121≤-<-x ，从中解出10≤<x ，于是原级数∑∞=--1)21(2)1(n nnnx n的收敛域为]1,0(．（4）设nn n n x x u 9)13()(12++=，因为由比值法211232|13|919)1(|13|9|13|lim)()(lim)(+=+++==+++∞→+∞→x n x n x x u x u x n n n n n n n n ρ，所以，当1|13|91)(2<+=x x ρ，即3234<<-x 时，原级数绝对收敛；当1|13|91)(2<+=x x ρ，即34-<x 或32>x 时，原级数发散；又当34-=x 时，原级数为∑∞=-13n n发散；当32=x 时，原级数为∑∞=13n n发散，因此该幂级数的收敛域为)32,34(-． 练习题：求下列幂级数的收敛半径及收敛域1．11(3(2))nnnn x n ∞=+-∑；（[,3)-） 2．12141-∞=∑n n nxn ；（)2,2(-）3．∑∞=-⨯--1215)2()1(n nnn n x ．(]52,52[,5+-=R )例6．设111123n u n=++++，求幂级数1nn nxu ∞=∑的收敛半径、收敛区间及收敛域． 解：因为1111111123limlimlim11111231n n n n n nn u n u u u n ρ→∞→∞→∞++++++====+++++ ，所以收敛半径为1R =，收敛区间为收敛区间（－1,1）． 当1x =-时，级数1(1)nn nu ∞=-∑为交错级数，且1111lim0,n nnn u u u →∞+=>，由莱布尼茨判别法知级数1(1)nn nu ∞=-∑收敛；当1x =时，由于2n u n <，即有112nu n>，所以级数11n nu ∞=∑，于是幂级数1nn nxu ∞=∑的收敛域为[1,1)-．3．幂级数的求和（1）求出给定幂级数的收敛域；（2）通过加、减、逐项积分或微分、变量代换（如：以x -代替x ，以2x 代替x ）等等运算，将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式，如：① 当所给的幂级数系数的分母出现!n 时，常常转化到x e 的展开式；② 当所给的幂级数系数出现)!2()1(n n-或)!12()1(1---n n 时，常常转化到x cos 或x sin 的展开式；③ 当系数是n 的多项式时，常常通过幂级数的加、减、逐项积分或微分运算，转化到等比级数xx n n -=∑∞=110，从而得到新的幂级数的和函数；（3）对于得到的和函数再做相反的分析运算，便得原幂级数的和函数． 例7．求下列幂级数的和函数（1）)1(21212-∞=∑-n n nxn ； （2）∑∞=+1)1(n nn n x； （3）20(2)!nn xn ∞=∑；（4）求nn x n n ∑∞=+1!1的和函数，并由此求nn n n 8!11∑∞=+之值．解：（1）先求收敛域因为2222211211212lim21)12(2212limlimx xn n xn xn u u n n nnn n nn n =-+=-+==∞→-+∞→+∞→ρ，当1212<=xρ，即2||<x 时，幂级数)1(21212-∞=∑-n n nxn 收敛；当1212>=xρ，即2||>x 时，幂级数)1(21212-∞=∑-n n nxn 发散；当2||±=x 时，幂级数∑∑∞=-∞=-=-1112122212n n n nn n 发散，因此该级数)1(21212-∞=∑-n n nxn 的收敛域为)2,2(-．再求其和函数，当0≠x 时=)(x S )1(21212-∞=∑-n n nxn 211()2n nn x-∞='=∑2112n nn x -∞='⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 2221112()212n n x x xx x ∞='⎛⎫'⎪⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭∑ 222222(2)xx xx '+⎛⎫== ⎪--⎝⎭，)0(≠x 当0=x 时，21)0(=S ．于是该幂级数的和函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-+=0,210,)2(2)(222x x x x x S ． （2）显然幂级数∑∞=+1)1(n nn n x的收敛区间为]1,1[-，求和函数)(x S ：当0=x 时，0)0(=S ；当0≠x 时，因为 ()1n 1n 1()(1)n nx xxS x n n n +∞∞=='⎛⎫'==⎪+⎝⎭∑∑，且 ()11n 1n111()()(1)1n n n n xxxS x xn n nx+∞∞∞-===''⎛⎫'''====⎪+-⎝⎭∑∑∑，两边积分得 ()01()l n (1)1x x S x d x x x'==---⎰， 两边再积分一次得 0()l n (1)(1)l n (1)x x S x x d x x x x=--=---⎰， 因此 )1l n ()11(1)(x xx S ---=，于是该幂级数的和函数为⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=0,0)1,0()0,1(),1ln()11(1)(x x x xx S ．（3）级数的收敛域为(,)-∞+∞,令22421()1(2)!2!4!(2)!nnn xxxxs x n n ∞===+++++∑ ，两边求导，得213211()(21)!1!3!(21)!n n n xxxxs x n n --∞='==++++--∑于是有 234212()()1!2!3!4!(21)!(2)!n nx xxxxxs x s x n n -'+=++++++-而23421211!2!3!4!(21)!(2)!n nxx xxxxxe n n -=+++++++-所以()()xs x s x e '+= 这为一阶非齐次线性微分方程，可解得通解为1()2xxs x C ee -=+,由初始条件(0)1s =，得12C =,故 201()(2)!2nx xn xe en ∞-==+∑.（4）先求幂级数nn x n n ∑∞=+1!1的收敛域， 因为0)!1(2lim1!)!1(2limlim1=++=+++==∞→∞→+∞→n n n n n n u u n n nn n ρ，所以收敛半径为+∞=R ，收敛区间为),(+∞-∞．再求和函数，因为该幂级数的系数带有!n ，所以它的和函数与指数函数x e 有关．于是 =)(x S nn xn n ∑∞=+1!11111(1)!!nnn n x xn n ∞∞===+-∑∑11111(1)!!n nn n x xx n n ∞∞-===+--∑∑1)1(1-+=-+=xxxe x e xe，),(+∞-∞∈x ，最后取8=x ，得118!nn n n ∞=+=∑198-e ．练习题：求下列幂级数的和函数（1）∑∞=+0)1(n n x n ；（)1,1(,)1(1)(2-∈-=x x x S ）（2）∑∞=+11n nx n n．（⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈-+-=0,0)1,0()0,1(),1ln(111)(x x x x x x S ）例8．计算下列各题：（1）设幂级数0n n n a x ∞=∑的系数满足012,1,(1,2,)n n a na a n n -==+-= ，求此幂级数的和函数．（2）设12211,1,23,(1)n n n a a a a a n ++===+≥，求幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径、收敛域及和函数．（3）求级数31()n n x ∞=∑中20x 的系数．解：（1）据题意知1(1)1n n n a a --=-，因此 120111111(1)(1)(1)1!!n n n a a a a nn n n n ---=-=-==-=- ，所以 11!n a n =+，于是为11()(1)!!nnnnnn n n n s x ax xx xn n ∞∞∞∞======+=+∑∑∑∑1||11x e x x=+<-． （2）因为2123n n n a a a ++=+为差分方程，则特征方程为 2230r r --=， 其根为123,1r r ==-，所以11123(1)n n n a c c --=+-，由121,1a a ==得12121,31c c c c +=-=，求出1212c c ==，所以111(3(1))2n n n a --=+-．下面讨论级数11111(3(1))2nn n nn n n a x x ∞∞--===+-∑∑，因为 11111(1)33(1)3limlimlim 313(1)1()3nn n n n n n n n n n nu u ρ-+--→∞→∞→∞--++-====+-+-，所以幂级数12(1)nnnn ∞=-∑的收敛半径为12R '=，从而原级数1111(3(1))2n n nn x ∞--=+-∑的收敛半径为13R =，当13x =-时，级数11111(1)1(3(1))()[()]333nn n nnn n ∞∞--==-+--=-∑∑发散； 当13x =时，级数111111(1)(3(1))()[]333nn n nnn n ∞∞--==-+-=-∑∑发散，因此幂级数1111(3(1))2n n nn x ∞--=+-∑的收敛域为11(,)33-． 设111111111()(3(1))[(3)(1)]223n n nnn nn n n s x x x x ∞∞∞---====+-=+-∑∑∑131(1)61321(13)(1)xxx x xxx x -=+=-+-+，11(,)33x ∈-．（3）因为333311()()()11n n x x x xx∞===--∑，因为230111nnn xx x x x x∞===++++++-∑ ，该式两边两阶导数，得23223243(2)(1)(1)nx x n n x x =+⋅+⋅+++++- 0(2)(1)nn nn x ∞==++∑，于是31(2)(1)(1)2nn n n x x ∞=++=-∑，则3333311(2)(1)()()()112n n n n xn n x x xxx∞∞+==++===--∑∑，故级数31()n n x ∞=∑中20x 的系数为19181712⨯=．4．求数项级数的和方法：1）利用级数收敛的定义：先求出部分和n S ，再求其极限S S n n =∞→lim 为所求；2）引入相应的幂级数：① 找一个幂级数n n n x a ∑∞=1，使n nn u x a =0；② 求幂级数nn n x a ∑∞=1的收敛区间(,)R R -，若当0(,)x R R ∈-时，幂级数01nn n a x ∞=∑收敛，则∑∞=1n n u 也收敛；③ 求出幂级数n n n x a ∑∞=1的和函数)(x S ，再让x 在收敛区间内取个特定的值0x x =，即可求出其和．例9．求下列数项级数的和：（1）1n S ∞==∑；（2）∑∞==12n nnS ；（3）∑∞=12!n n n； （4）01(1)(21)!nn n n ∞=+-+∑．解：（1）因为)1()12(+-++-+=n n n n u n ，所以+-+-+-+-=+++=)]32()34[()]21()23[(21n n u u u S+--+-+++-+-+)]1()1[()]43()45[(n n n n)]1()12[(+-++-++n n n n)12(21+-++-=n n12121++++-=n n ．因此该级数的和∑∞=++-+=1)122(n n n n S 21lim -==∞→n n S ．（2）解：设幂级数nn x n ∑∞=1，只要求出幂级数n n x n ∑∞=1在点210=x 收敛，且其和即为数项级数∑∞==12n nnS 的和．显然级数n n x n ∑∞=1的收敛区间为)1,1(-，和函数1111()()nn nn n n S x nxx nxx x ∞∞∞-==='===∑∑∑211(1)n n x x x x x x x ∞=''⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑． 当21=x 时，∑∞==12)21(n nn S 2)211(212=-=， 即所求的数项级数的和为221==∑∞=n nn S ．或用另一方法如下：该级数的部分和nn n S 223222132++++=，且1432223222121+++++=n n n S ，上两式相减得11322211))21(1(2122121212121++---=-++++=n nn nn n n S ，从而n n n nS 2))21(1(2--=，于是 2]2))21(1(2[lim lim =--==∞→∞→n n n n n nS S ．（3）根据该数项级数的特点，先考虑指数函数xe 的幂级数12012!(1)!(2)!n n n xn n n xxxe n n n --∞∞∞======--∑∑∑，取1=x 得，012111!(1)!(2)!n n n e n n n ∞∞∞======--∑∑∑，因此级数的和∑∞=12!n n n1111(1)!(1)!n n n n n n ∞∞==-+===--∑∑21112(2)!(1)!n n e n n ∞∞==+=--∑∑．（4）因为)!12(1)1(0++-∑∞=n n n n)!12(22)1(210++-=∑∞=n n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-=∑∞=)!12(1)!12(12)1(210n n n n n 01111(1)(1)2(2)!2(21)!nnn n n n ∞∞===-+-+∑∑又由于正弦函数)!12()1(sin 120+-=+∞=∑n xx n n n，余弦函数)!2()1(cos 20n xx nn n∑∞=-=，取1=x ，得)!12(1)1(1sin 0+-=∑∞=n n n，)!2(1)1(1cos 0n n n∑∞=-=，于是)!12(1)1(0++-∑∞=n n n n1(c o s 1s i n 1)2=+． 练习题 求下列数项级数的和（1）1121211()n n n aa∞+-=-∑；(1a -)（2）1312nn n ∞=-∑．（提示：考虑1(31)n n n x ∞=-∑，结果为5）例10．求极限])2....(842[lim 312719131nnn ∞→．解： 因为该级数的一般项为23111231113339273333[248 (2)]22ninni n i n=++++∑== ，所以若求出级数∑∞=13n nn 的和，则∑=∞=∞→133127191312])2....(842[lim n nnn nn ．先求出幂级数∑∞=1n nnx 的和，再取31=x 即得数项级数∑∞=13n nn 的和．因为 1111()()nn nn n n S x n x x n x x x∞∞∞-==='===∑∑∑21()()1(1)nn x x x x x xx ∞=''===--∑，所以 43)311(313)31(20=-==∑∞=n nnS ， 从而 211121113l i m ()3339273334l i m [248 (2)]222nnnn n nn nn ∞→∞=+++→∞∑=== ． 5．函数展为幂级数（用间接法展开）例11．将下列函数展为x 的幂级数 （1） )1ln()(2++=x x x f ；（2）将)1()(xe dxd x f x-=展开为x 的幂级数，并求数项级数∑∞=+1)!1(n n n 的和；（3）已知61212π=∑∞=n n，求定积分dx xx ⎰-101ln ．解：（1）因为=)(x f )1ln(2++x x 的导数为122()(1)f x x -'=+，),21(2x u m =-=，又导函数122()(1)f x x -'=+的展开式为122()(1)f x x -'=+++-----++---+-+=nxn n x x 242)121()121)(21(!1)121)(21(!21)21(1+--+++-=nnxn n x x 242!)!2(!)!12()1(!!4!!3211∑∞=--+=12!)!2(!)!12()1(1n nnxn n ，上式两边从0到x 积分，得)11(,12!)!2(!)!12()1()(112≤≤-+--+=∑∞=+x n x n n x x f n n n．（2）因为 ),(,!!1!31!211032+∞-∞∈=++++++=∑∞=x n xx n x x x e n nnx，所以xe x1-+∞<<=++++++=∑∞=--||0,!!1413121111132x n xxn x x x n n n上式两边对x 求导，得 )1()(xe dx d xf x-=1122)!1(!1433221-∞=-∑+=+-++++=n n n xn nxn n x x ，当1=x ，即可得11)1()1()!1(1211=+-=-==+==∞=∑x xxx xn xe xexe dxd f n n．（3）因为)1,1(,110-∈=-∑∞=x x x n n，所以111ln ln ()(ln )1nnn n xdx x x dx x xdx x∞∞====-∑∑⎰⎰⎰11112000ln 1(1)n n n x x x n n +∞+=⎡⎤=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦∑ 1200ln 1lim 1(1)n x n x x n n ∞+→+=⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦∑。
最新无穷级数复习讲义
第七章 无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 函数的傅里叶（Fourier ）系数与傅里叶级数 狄利克雷（Dirichlet ）定理 函数在 上的傅里叶级数 函数在 上的正弦级数和余弦级数 考试要求1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件。
3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。
4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5。
了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。
6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10．掌握 sin x ，cos x ，ln(1)x +及arctan x 的麦克劳林（Maclaurin ）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。
一.无穷级数概论1.无穷级数定义设{}n a 为一个数列，称1231............n n a a a a +∞==++++∑为无穷级数.注记1：但1n n a +∞=∑只是一种形式上的记法.只有讨论了收敛性，才有意义.2.无穷级数收敛的定义(1)部分和、部分和数列的定义对任意n N +∈，称数列{}n a 前n 项和1nn k k S a ==∑为级数1k k a +∞=∑的部分和.称数列{}n S 为级数1k k a +∞=∑的部分和数列.(2)无穷级数收敛的定义若级数1k k a +∞=∑的部分和数列{}n S 是收敛的，则称级数1k k a +∞=∑是收敛的，并且记1lim kn n k aS +∞→+∞==∑.3.无穷级数收敛的性质(1)无穷级数收敛的必要条件I若无穷级数1n n a +∞=∑收敛，则其部分和数列{}n S 有界.反之不然.事实上，由于1n n a +∞=∑收敛，因此，其部分和数列{}n S 收敛，于是，{}n S 有界.但{}n S 有界，{}n S 却未必收敛.例如，级数()111n n +∞-=-∑部分和数列为11(1)2n n S -+-=，{}n S 有界，但()111n n +∞-=-∑不收敛.例1.11n n+∞=∑不收敛.事实上，[][][][][][][]222222log 1log log log log 12log 11111......2341111111111111 (2345678212122112421111)1......1......1log 24822222n n n n n n n S nn n --=+++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭>+++++=++++=+→+∞ ()n →+∞于是，{}n S 不收敛，即11n n+∞=∑不收敛.(2)无穷级数收敛的必要条件II 若1n n a +∞=∑收敛，则lim 0n n a →∞=.事实上，假设1n n a +∞=∑部分和为n S ，则{}n S 收敛，记lim n n S S →∞=，于是，()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S S S --→∞→∞→∞→∞=-=-=-=.但反之结论不成立.例如，虽然1lim 0n n →∞=，但无穷级数11n n+∞=∑不收敛.(3)无穷级数收敛的必要条件III若无穷级数1n n a +∞=∑收敛，则对其任意加括号都收敛，而且级数和不变.假设加括号后的级数写为()()()()111222311121212121..............................n n ni i i i i i i i i i n a aa a a a a a a a a a --+∞++++++=++++++++++++=+++∑这里，00i =.则其部分和为n ni S S '=.由于1n n a +∞=∑收敛，于是，{}n S 收敛，于是，其任意子列{}n i S 收敛，且收敛值与{}n S 的一样，即级数()11121......n n ni i i n a a a --+∞++=+++∑收敛，且()111211......n n n i i i n n n a a a a --+∞+∞++==+++=∑∑.(4)无穷级数收敛的充分必要条件I无穷级数1n n a +∞=∑收敛当且仅当lim 0n n a →∞=且{}2n S (或{}21n S -)收敛.必要性是显然的.至于充分性，我们利用了这样一个事实：数列{}n a 收敛当且仅当221lim lim n n n n a a -→∞→∞=.现在，{}2n S 收敛了，而2122n n n S S a -=-，而()20n a n →→=∞，于是，212lim lim n n n n S S -→+∞→+∞=.故{}n S 也收敛.若{}21n S -收敛，也是同理的.(5)无穷级数收敛的充分必要条件II无穷级数1n n a +∞=∑收敛当且仅当lim 0n n a →∞=且()2121n n n a a +∞-=+∑收敛.或者说()2211n n n a a +∞+=+∑也可以.必要性是显然的.至于充分性，若()2121n n n a a +∞-=+∑收敛，则其部分和数列()2121n k k k a a -=⎧⎫+⎨⎬⎩⎭∑是收敛的，但()21221nk k n k a a S -=+=∑，因此，{}2n S 收敛.又lim 0n n a →∞=，因此，由(4)的结论，无穷级数1n n a +∞=∑收敛.若()2211n n n a a +∞+=+∑收敛，则其部分和数列()2211n k k k a a +=⎧⎫+⎨⎬⎩⎭∑也收敛.又()21221121111n n k k k n k k a a a a S a +++==+=-=-∑∑，因此，{}21n S +也收敛.又由于lim 0n n a →∞=，因此，由(4)，无穷级数1n n a +∞=∑收敛.4.无穷级数的运算性质(1)若无穷级数1n n a +∞=∑和1n n b +∞=∑收敛，则()1n n n a b +∞=+∑也收敛，且()111nn n n n n n ab a b +∞+∞+∞===+=+∑∑∑.事实上，假设1n n a +∞=∑的部分和为n A ，1n n b +∞=∑的部分和为n B ，()1nn n ab +∞=+∑部分和为n C ，则显然有n n n C A B =+.由于1n n a +∞=∑收敛，因此，lim n n A →∞，lim n n B →∞存在.于是，lim nn C →∞存在，且lim lim lim n n n n n n C A B →∞→∞→∞=+，即()1n n n a b +∞=+∑收敛，且()111n n n n n n n a b a b +∞+∞+∞===+=+∑∑∑.(2)设常数0c ≠，则1n n ca +∞=∑收敛性与1n n a +∞=∑相同，且若1n n a +∞=∑收敛，则11n n n n ca c a +∞+∞===∑∑.二.正项级数1.正项级数的定义每一项都非负的级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的基本定理正项级数收敛当且仅当其部分和数列有界.事实上，若1n n a +∞=∑收敛，则其部分和{}n S 收敛，因此，{}n S 有界，这是容易知道的。
数列的极限与无穷级数详细解析与归纳
数列的极限与无穷级数详细解析与归纳数列（Sequences）是数学中非常重要的一个概念，它在各个数学分支如微积分、线性代数和实分析等中都扮演了重要的角色。
数列的极限以及与之相关的无穷级数（Infinite Series）也是数学学习过程中不可或缺的内容。
本文将详细解析数列的极限和无穷级数，并进行归纳总结。
一、数列的极限数列的极限是指随着项数的增加，数列中的数值逐渐接近于某个固定的值。
数列的极限可以分为有界数列的极限和无界数列的极限两种情况。
1. 有界数列的极限对于有界数列，存在一个实数M，使得数列中的所有项都小于等于M。
有界数列的极限可以通过一些基本的定理判断。
（1）夹逼定理（Squeeze Theorem）对于数列{an}、{bn}和{cn}，如果对于所有的n，有an ≤ bn ≤ cn，且lim(an) = lim(cn) = L，那么lim(bn) = L。
（2）单调有界数列的极限单调有界数列指的是数列满足单调性并且有界。
如果一个数列既是递增的又是有上界的，或者既是递减的又是有下界的，那么它一定有极限。
2. 无界数列的极限对于无界数列，其项数随着增大而无限增大或无限减小。
无界数列的极限可以通过数列的增长趋势来判断。
（1）正无穷大和负无穷大的极限当数列中的项数趋向于无穷大时，如果数列的值无限增大，我们称之为正无穷大，记作lim(an) = +∞；如果数列的值无限减小，我们称之为负无穷大，记作lim(an) = -∞。
（2）无界变号数列的极限当数列中的项数趋向于无穷大时，如果数列的值在正值和负值之间变换，且无限接近于无穷大或无穷小的极限，我们称之为无界变号数列，并且它没有极限。
二、无穷级数无穷级数是指数列的所有项之和，而不是有限项之和。
无穷级数可以表示为S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中an为数列的第n项。
对于无穷级数，有以下几个重要的概念和定理：1. 部分和（Partial Sum）无穷级数的部分和指的是前n项的和，记作Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an。