高二数学下学期期末结业考试试题 理含解析 试题
高二数学下学期期末考试试题理含解析试题 17
智才艺州攀枝花市创界学校中英文二零二零—二零二壹高二数学下学期期末考试试题理〔含解析〕一、选择题(一共12小题,每一小题5分,一共60分) 1.在复平面内，复数(1)z i i =+对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】 【分析】运用复数乘法的运算法那么，化简复数，最后确定复数所对应的点所在的象限. 【详解】2(1)1z i i z i i i =+∴=+=-+，因此复数z 对应点的坐标为(1,1)-，在第二象限，故此题选B.【点睛】此题考察了复数的乘法运算法那么，以及复数对应点复平面的位置. 2.函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为() A.(－∞，－1]和[0,1] B.[－1,0]和[1，＋∞) C.[－1,1] D.(－∞，－1]和[1，＋∞)【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，研究导函数的正负,求使得导函数小于零的自变量的范围，进而得到单调区间. 【详解】y′＝4x 3－4x ＝4x(x 2－1)，令y′<0，得单调递减区间为(－∞，－1)，(0，1).故答案为：A.【点睛】这个题目考察了利用导数求函数的单调区间，对函数求导，导函数大于0，解得函数单调增区间；导函数小于0得到函数的减区间；注意函数的单调区间一定要写成区间的形式.()ln f x x x =的一条切线的斜率为2，那么切点的横坐标为()A.1B.ln2C.2D.e【答案】D 【解析】 【分析】对函数进展求导，然后让导函数等于2，最后求出切点的横坐标. 【详解】()ln ()ln 1f x x x f x x '=∴=+，由题意可知()ln 12ln 1f x x x x e =+=⇒=⇒='，因此切点的横坐标为e ，应选D.【点睛】此题考察了导数的几何意义，考察了导数的运算法那么，考察了数学运算才能.13d x x ⎰的值是()A.3B.1C.32D.12【答案】C 【解析】【分析】运用定积分运算公式，进展求解计算.【详解】1201333022xdx x ==⎰，故此题选C. 【点睛】此题考察了定积分的运算，属于根底题. 5.数列0，75-，135，6317-，…的一个通项公式是()A.()312111n n n +--+ B.()32111nn n --+C.()312111n n n ---- D.()32111nn n --- 【答案】A 【解析】在四个选项里面代n=2,选项B,D 是正数，不符，A 选项值为75-，符合,C 选项值为73-，不符。
高二数学下学期期末考试试题 理含解析 5
智才艺州攀枝花市创界学校二零二零—二零二壹高二数学下学期期末考试试题理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕 1.()215PAB =，()25P A =，那么()|P B A 等于〔〕 A.475 B.13C.23D.34【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率公式得出()()()|P AB PB A P A =可计算出结果.【详解】由条件概率公式得()()()251|1523P AB PB A P A ==⨯=，应选：B.【点睛】此题考察条件概率的计算，利用条件概率公式进展计算是解此题的关键，属于根底题.ξ服从正态分布()20,N σ，假设()20.023P ξ>=，那么()22P ξ-≤≤等于〔〕A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977【答案】C 【解析】 【分析】根据正态密度曲线的对称性得出()()22122PP ξξ-≤≤=->，由此可计算出结果.【详解】由于随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，那么()()22122120.0230.954PP ξξ-≤≤=->=-⨯=，应选：C.【点睛】此题考察正态分布在指定区间上的概率，解题时要充分利用正态密度曲线的对称性来求解，考察分析问题和解决问题的才能，属于根底题.x ，y 进展回归分析，得到一组样本数据：〔x 1，y 1〕，〔x 2，y 2〕，…〔x n ，y n 〕，那么以下说法中不正确的选项是A.由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好 D.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1. 【答案】C 【解析】由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本中心(),x y ，正确； 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确用相关指数R 2来刻画回归效果,R 2越大，说明模型的拟合效果越好，不正确， 线性相关系数|r |越大，两个变量的线性相关性越强，故正确。
高二数学下学期期末结业考试试题 理含解析 试题
八中2021年上期高二年级实验班结业考试试卷本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
理科数学〔试题卷〕本卷一共12题，每一小题5分，一共60分，在每一小题后面所给的四个选项里面，只有一个是正确的。
1. 设集合，，，那么的取值范围为〔〕A. 或者B.C.D. 或者【答案】B【解析】，所以，选A.点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或者≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个局部，在每个局部上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的间隔之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.2. 假设复数在复平面内对应的点在第四象限，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，选A.3. 设，，，那么〔〕A. B. C. D.【解析】【分析】求出三个数值的范围，即可比拟大小.【详解】，，，，，的大小关系是：.应选：A.【点睛】对数函数值大小的比拟一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，假设不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联络要比拟的两个数，一般是用“0〞，“1〞或者其他特殊值进展“比拟传递〞．③图象法，根据图象观察得出大小关系．4. 在各项都为正数的等差数列{a n}中，假设a1+a2+…+a10=30，那么a5•a6的最大值等于〔〕A. 3B. 6C. 9D. 36【答案】C【解析】试题分析：由题设，所以，又因为等差数列各项都为正数，所以，当且仅当时等号成立，所以a5·a6的最大值等于9，应选C．考点：1、等差数列；2、根本不等式．5. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，那么的取值不可能是〔〕A. B. C. D.【答案】B,将函数的图象向左平移个单位后得到，，为偶函数，，，当时，的取值分别为，，的取值不可能是，应选B.6. 在区间[0,2]上随机取两个数，，那么的概率是〔〕．A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意所有的根本领件满足，所研究的事件满足，画出可行域如图，总的区域面积是一个边长为 2 的正方形，其面积为4，满足的区域的面积为，那么的概率为考点：几何概型7. 刍薨〔〕，中国古代算术中的一种几何形体，?九章算术?中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.〞翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶〞，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，那么搭建它〔无底面，不考虑厚度〕需要的茅草面积至少为〔〕A. 24B.C. 64D.【答案】B【解析】茅草面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底长为4，下底长为8，高为；等腰三角形的底边长为4，高为．故侧面积为．即需要的茅草面积至少为．选B．8. 阅读程序框图，运行相应的程序，那么输出的的值是〔〕A. 72B. 90C. 101D. 110【答案】B【解析】输入参数第一次循环，，满足，继续循环第二次循环，，满足，继续循环第三次循环，，满足，继续循环第四次循环，，满足，继续循环第五次循环，，满足，继续循环第六次循环，，满足，继续循环第七次循环，，满足，继续循环第八次循环，，满足，继续循环第九次循环，，不满足，跳出循环，输出应选B点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否完毕．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．9. 椭圆E：〔a＞b＞0〕的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，假设|AF|+|BF|=4，点M到直线l的间隔不小于，那么椭圆E的离心率的取值范围是〔〕A. 〔0，] B. 〔0，] C. [，1〕 D. [，1〕【答案】A【解析】试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，那么，所以，，即，又，所以，．应选A．考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】此题考察椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或者范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的间隔得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的间隔时，需要联想到椭圆的定义．视频10. 函数〔〕的图象的大致形状是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】应选C.11. 在平面直角坐标系中，不等式组〔为常数〕表示的平面区域的面积为，假设满足上述约束条件，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图，由题意，知，解得．因为目的函数表示区域内上的点与点连线的斜率加上1，由图知当区域内的点与点的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为，即，那么有，解得或者〔舍〕，所以，应选D．12. 为自然对数的底数，假设对任意的，总存在唯一的，使得成立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】,,故函数在区间上递增,,,故函数在上递减.所以,解得,应选B.二.填空题〔每一小题5分，一共20分〕13. 假设的展开式中常数项为96，那么实数等于__________．【答案】4【解析】的展开式的通项是，令，的展开式中常数项为可得故答案为 .【方法点晴】此题主要考察二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比拟明确，主要从以下几个方面命题：〔1〕考察二项展开式的通项公式；〔可以考察某一项，也可考察某一项的系数〕〔2〕考察各项系数和和各项的二项式系数和；〔3〕二项展开式定理的应用.14. 在平面直角坐标系中，假设圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，那么的取值范围是__________．【答案】【解析】设圆上的点，这个点关于直线的对称点为，将Q点代入圆上得到，联立两个圆的方程得到故答案为：.15. AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，AB⊥CD，假设四面体ABCD体积的最大值为9，那么球O 的外表积为__．【答案】36π【解析】【分析】由题意，为等腰直角三角形，高为球O的半径时，四面体ABCD的体积最大，利用四面体ABCD体积的最大值为9，求出R，即可求出球O的外表积.【详解】由题意，为等腰直角三角形，高为球O的半径时，四面体ABCD的体积最大，最大值为，，球O的外表积为.故答案为：36π.【点睛】此题考察的知识点是球内接多面体，球的外表积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键.16. 函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，那么的取值范围为__________．【答案】【解析】根据题意，有，于是函数关于对称，结合所有的零点的平均数为，可得，此时问题转化为函数，在上与直线有个公一共点，此时，当时，函数的导函数，于是函数单调递增，且取值范围是，当时，函数的导函数，考虑到是上的单调递增函数，且，于是在上有唯一零点，记为，进而函数在上单调递减，在上单调递增，在处获得极小值，如图：接下来问题的关键是判断与的大小关系，注意到，，函数，在上与直线有个公一共点，的取值范围是,故答案为 .三.解答题〔一共6题，一共70分〕17. 数列的前项和为，，〔〕．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设〔〕，数列的前项和为，证明：〔〕．【答案】〔1〕〔2〕见解析【解析】试题分析：〔1〕由数列递推式结合，可得〔〕，然后利用累积法求得数列通项公式；〔2〕把数列的通项公式代入 ()，然后利用裂项相消法求和，放缩得答案试题解析：〔1〕当时，，解得；当时，，，以上两式相减，得，∴，∴，∴〔2〕当时，；当时，，∴，∴〔〕．点睛：此题主要考察了这一常用等式，需注意的范围，累乘法求通项公式以及数列求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18. 如图，直角梯形中，，，，，底面，底面且有.〔1〕求证：；〔2〕假设线段的中点为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】试题分析：〔1〕根据线段长度的关系得到，，、是平面内的相交直线，平面，进而得到线线垂直；〔2〕常用的方法是建系，建立空间坐标系，求得直线的方向向量和面的法向量，根据向量的夹角公式得到线面角.解析：〔1〕，，且是等腰直角三角形，平面中，，，可得，即底面，底面，、是平面内的相交直线，平面平面，〔2〕解法一：几何法如图，过点作，垂足为，连接，，，，，平面，平面，结合且，可得平面是在平面内的射影，可得就是直线与平面所成的角.中，，中，，，，可得因此，在中，即直线与平面所成角的正弦值是.解法二：向量法如图，以点为坐标原点，直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，那么，，，，，所以：设平面的一个法向量为，由可取设直线与平面所成角为，那么.19. 某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测株树苗的高度，经数据处理得到如图的频率分布直方图，起中最高的株树苗高度的茎叶图如下图，以这株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.〔1〕求这批树苗的高度高于米的概率，并求图1中，，，的值；〔2〕假设从这批树苗中随机选取株，记为高度在的树苗数列，求的分布列和数学期望.〔3〕假设变量满足且，那么称变量满足近似于正态分布的概率分布，那么认为这批树苗是合格的，将顺利获得签收；否那么，公司将回绝签收.试问，该批树苗能否被签收？【答案】〔1〕〔2〕见解析〔3〕这批树苗是合格的，将顺利获得该公司签收．【解析】试题分析：(1)结合频率分布图，计算求出结果(2)满足随机变量服从二项分布，给出表格，计算结果(3)利用条件，计算出，从而给出结论解析：〔1〕由图19-2可知，100株样本树苗中高度高于1.60的一共有15株，以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗的高度高于1.60的概率为0.15.记为树苗的高度，结合图19-1可得：，，，又由于组距为0.1，所以．〔2〕以样本的频率估计总体的概率，可得：从这批树苗中随机选取1株，高度在的概率.因为从这批树苗中随机选取3株，相当于三次重复HY试验，所以随机变量服从二项分布，故的分布列为：， 8分即：0 1 2 3〔或者〕.〔3〕由，取，，由〔Ⅱ〕可知，，又结合〔Ⅰ〕，可得：，所以这批树苗的高度满足近似于正态分布的概率分布，应认为这批树苗是合格的，将顺利获得该公司签收．20. 给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆〞.点是椭圆上的点〔1〕假设过点的直线与椭圆有且只有一个公一共点，求被椭圆的伴随圆所截得的弦长：〔2〕是椭圆上的两点，设是直线的斜率，且满足，试问：直线是否过定点，假如过定点，求出定点坐标，假如不过定点，试说明理由。
高二下学期期末考试数学(理)考试题(带答案)详解+解析点睛
高二下学期期末考试数学（理）考试题（带答案）详解+解析点睛姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）第 1 题设，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案解析】C【分析】首先求出复数的共轭复数，再根据复数的几何意义判断复数在复平面内所在的象限得选项.【详解】解：因为，所以，在复平面内表示的点的坐标为位于第三象限，故选：C.【点睛】本题考查复数的共轭复数的计算，复数的几何意义，属于基础题.第 2 题若双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案解析】B【分析】由离心率是2得，代入得，求出的值，再求出双曲线的渐近线方程．【详解】解：由题意得，，则即，所以双曲线的渐近线方程为，即，故选：B．【点睛】本题考查双曲线的标准方程以及简单的几何性质，属于基础题．第 3 题在下列结论中，正确的是（）A. “”是“”的必要不充分条件B. 若为真命题，则p，q均为真命题C. 命题“若，则”的否命题为“若，则”D. 已知命题，都有，则，使【答案解析】D【分析】对于A，解不等式，可知A不正确；对于B，命题与命题一个为真命题、一个为假命题时，可得命题“”是真命题，所以B不正确；对于C，只否定了结论，没有否定条件，故C不正确；对于D，根据命题的否定的概念，可知D正确.【详解】对于A，时，则成立，但是当时，或.所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误；对于B，若为真命题，则p，q至少一个为真命题，故B错误；对于C，“若，则”的否命题为“若，则”故C错误；对于D，，都有，则，使，故D正确.故选：D．【点睛】本题考查了命题真假的判断，充分、必要条件，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题．第 4 题用数学归纳法证明：时，从“到”等式左边的变化结果是（）A. 增乘一个因式B. 增乘两个因式和C. 增乘一个因式D. 增乘同时除以【答案解析】C【分析】根据题意得出当和时等式的左边，比较之后可得出结论.【详解】当时，则有；当时，则有.，故从“到”等式左边变化结果是：增乘一个因式.故选：C.【点睛】本题考查数学归纳法，考查从“到”等式的变化，一般要将等式写出来，考查计算能力，属于基础题.第 5 题若两条不重合直线和的方向向量分别为，，则和的位置关系是（） A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定【答案解析】A【分析】由，可知两直线的位置关系是平行的【详解】解：因为两条不重合直线和的方向向量分别为，，所以，即与共线，所以两条不重合直线和的位置关系是平行，故选：A【点睛】此题考查了直线的方向向量，共线向量，两直线平行的判定，属于基础题.第 6 题在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如下数据：48101212356.由表中数据求得关于的回归方程为，则，，这三个样本点中落在回归直线下方的有( )个A 1 B. 2 C. 3 D. 0【答案解析】B因为，所以将其代入可得，故当时，在直线上方；当时，在直线下方；当时，在直线下方，应选答案B．第 7 题设函数其中，，则f(x)的展开式中的系数为（） A. -60 B. 60 C. -240 D. 240【答案解析】D【分析】根据定积分和求导运算求得，再运用二项式的展开式可求得选项.【详解】因为，，，，，，，令，所以的展开式中的系数为，故选：D.【点睛】本题中涉及到的知识点较多，主要有定积分的计算(首要找到被积函数的原函数)，函数求导数及二项式定理中求指定项的系数，属于中档题.第 8 题在△ABC中，若，则△ABC的最大内角与最小内角的和为（）A. B. C. D.【答案解析】D【分析】由正弦定理可得，，三边的关系，由大边对大角可得最小，最大；由余弦定理可得的值，进而由三角形内角和为可得的值．【详解】解：因为，由正弦定理可得，设，，，三角形中由大边对大角可得角最大，角最小，由余弦定理可得，因为，所以，所以，故选：．【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．第 9 题已知正实数x，y满足.则的最小值为（）A. 4B.C.D.【答案解析】D【分析】先把变形为，则展开后，再利用基本不等可求出其最小值.【详解】解：由，得，因为x，y为正实数，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：D【点睛】此题考查了利用基本不等式最值，注意利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”，属于基础题.第 10 题2020年教育部决定在部分高校中开展基础学科招生考试试点（也称为强基计划），某高校计划让参加“强基计划”招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.已知在这8个试题中甲能够答对6个，则甲通过初试的概率为（）A. B. C. D.【答案解析】A【分析】事件“至少答对3个”可能分类为“恰好答对3个”和“4个全对”，求出方法数后可得概率．【详解】从8个试题中任选4个有种选法，“至少答对3个”的方法数有，所以所求概率为．故选：A．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定分类还是分步求出基本事件的个数．第 11 题已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上且异于长轴端点，点M，N在△所围区域之外，且始终满足，，则的最大值为（）A. 8B. 7C. 10D. 9【答案解析】A【分析】设，的中点分别为，，则，在分别以，为圆心的圆上，直线与两圆的交点△所围区域之外）分别为，时，的最大，可得的最大值为即可．【详解】解：设，的中点分别为，，，，则，在分别以，为圆心的圆上，∴直线与两圆的交点△所围区域之外）分别为，时，最大，又椭圆，所以，∴的最大值为，故选：A．【点睛】本题考查了椭圆的定义与性质，以及两个圆上的点的距离的最值，考查了转化思想，属于中档题．第 12 题已知函数，数列{an}的前n项和为Sn，且满足，，则下列有关数列{an}的叙述正确的是（）A. B.C. D.【答案解析】C【分析】利用递推公式可判断A选项的正误；推导出数列的单调性可判断B选项的正误；推导出，可得出，可判断C选项的正误；推导出以及，可判断D选项的正误.【详解】，，A选项错误；，，当时，，此时，函数单调递增；令，可得，令，定义域为，，令，可得.当时，，此时，函数单调递减；当时，，此时，函数单调递增.，，，则，由零点存在定理可知，存在唯一的，使得.所以，当时，，即且，则；当时，，即.，则，，，以此类推，，所以，数列是单调递减数列，B选项错误；，，C选项正确；，而，，D选项错误.故选：C.【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.第 13 题已知函数，则f(x)的单调减区间为__________.【答案解析】【分析】先求函数定义域，然后对函数求导，使导函数小于零，求出的解集与定义域求交集就是所求的单调减区间【详解】解：函数的定义域为，由，得，令，则，解得，又因为，所以，所以的单调减区间为，故答案为：【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，解题时要注意函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.第 14 题平面几何中直角三角形勾股定理是我们熟知的内容，即“在中，，则”；在立体几何中类比该性质，在三棱锥P﹣ABC中，若平面PAB，平面PAC，平面PBC 两两垂直，记，，，的面积分别是，，，，则，，，关系为__________.【答案解析】【分析】如图，过作于，连接，则由已知可得,，则化简可得结论.【详解】解：如图，过作于，连接，因为平面PAB，平面PAC，平面PBC两两垂直，所以,所以平面，所以，所以平面，所以，所以,所以，故答案为：，【点睛】此题考查了类比推理，体现了数形结合的思想，利用了三角形的面积公式，属于基础题.第 15 题某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过该血清的人与另外500名未使用该血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”．已知利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.【答案解析】①因为K2≈3.918≥3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故①正确；②显然错误；因为我们检验的是假设是否成立，和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，故③④错误．第 16 题在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段A1B1，AB的中点，O为四棱锥的外接球的球心，点M，N分别是直线DD1，EF上的动点，记直线OC与MN所成的角为，则当最小时，__________.【答案解析】【分析】如图，设分别为棱和的中点，则四棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，所以外接球球心O为上、下底面三角形外心和连线的中点，是平面内的一条动直线，所以最小是直线OC与平面所成角，即问题转化为求直线OC与平面所成角的正切值，通过建立空间直角坐标系算出直线OC与平面所成角的正切值即可.【详解】如图，设分别为棱和的中点，则四棱锥{{2l 因为为等腰三角形，所以外接圆的直径为,则，从而，如图，以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，因为，所以故答案为：【点睛】本题主要考查了点、线、面的位置关系，考查了直观想象与数学运算的核心素养，考查了转化与化归的数学思想，属于中档题.第 17 题已知{an}是单调递减的等比数列，，且成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前50项和．【答案解析】（1）；（2）．【分析】（1）设等比数列的公比为，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，可得首项和公比的方程，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得，再由数列的裂项相消求和．【详解】解：（1）设是公比为q的等比数列，因为，且成等差数列，故可得，又因为，所以，解得或者，，又因为是单调递减的等比数列，所以，则；（2），，，．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．第 18 题如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，为等边三角形，且平面平面，.（1）证明：平面平面ABCD；（2）若，求二面角的余弦值.【答案解析】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理推导出平面，可得出，由已知条件得出，进而利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；（2）取中点，推导出平面，以点为坐标原点，为轴、垂直平分线为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，推导出，设可得出，由求出的值，可求得点的坐标，然后利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【详解】（1）取的中点，连接，为等边三角形，且为的中点，于是，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因为平面，则，又四边形为矩形，则，，所以平面，平面，平面平面；（2）取中点，则，平面平面，平面平面，平面，于是平面，以点为坐标原点，为轴、垂直平分线为轴，为轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，因为，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，则，所以设，所以点.那么，，由于，所以，解得，于是，，设平面的法向量为，由，得，取，得，又平面的一个法向量为，记二面角为，所以，又因为是锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.第 19 题在直角坐标系xOy中，已知点，，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足：．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设直线l交曲线C于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积等于－3，证明：直线l过定点．【答案解析】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）设，结合，坐标，通过斜率关系，求解即可．（2）设，，，，通过，得到，求出直线的方程：，说明直线恒过定点．【详解】解：（1）设，又，，则，可得，因为，所以M的轨迹C的方程为；（2）证明，设，，，又，可得，又因为，即有，即由直线l的斜率为可得直线l的方程为，化为，又因为，可得，可得直线恒过定点．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．第 20 题已知函数．（1）若，求在处的切线方程；（2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案解析】（1）；（2）.【分析】（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由题意得出，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，验证是否恒成立，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，，.所以，曲线在处的切线方程为，即；（2），则，且.由题意可知l 综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查计算能力，属于中等题.第 21 题甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：）均服从正态分布，在出厂检测处，直接将质量在之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为，则“质量误差”.按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是，、（正品零件中没有“质量误差”大于1.0g的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：质量误差甲厂频数103030510510乙厂频数2530255105..（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为X（元），求X的分布列及数学期望；（ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率.附：若随机变量.则；，，.【答案解析】（1）（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）【分析】（1）求得没有废品的概率之后，利用对立事件概率公式可求得结果；（2）（ⅰ）首先确定“优等”、“一级”、“合格”的概率，接着确定所有可能的取值，求解出每个取值对应的概率后可得分布列，由数学期望计算公式计算可得期望；（ⅱ）利用构造不等式可确定可能的取值，利用二项分布概率公式可求得结果.【详解】（1）由正态分布可知，抽取的一件零件的质量在之内的概率为，则这件质量全都在之内（即没有废品）的概率为；则这件零件中至少有件是废品的概率为.（2）（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂生产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为；则的可能取值为元，有：；；；；；，得到的分布列如下：150140130125115100..则数学期望为：（元）.（ⅱ）设乙厂生产的5件该零件规格的正品零件中有件“优等”品，则有件“一级”品，由已知有，解得：，则取或.故所求的概率为：.【点睛】本题考查概率分布中离散型随机变量分布列与数学期望的求解、二项分布概率问题的求解、正态分布的相关知识，是对概率分布部分知识的综合考查，属于中档题.第 22 题在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，在平面直角坐标系xOy中，将曲线C2上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再向上平移2个单位长度得到曲线C3．（1）求曲线C2、C3的直角坐标方程；（2）直线C1与曲线C3相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若，求直线C1的普通方程．【答案解析】（1）；；（2）．【分析】（1）曲线的极坐标方程转化为，由此能求出曲线的直角坐标方程．再根据圆锥曲线的变换规则求出的直角坐标方程；（2）首先求出的直角坐标，再将直线的参数方程代入的直角坐标方程，消元列出韦达定理，根据直线的参数方程的参数的几何意义及求出，即可得到直线的直角坐标方程；【详解】解：（1）由得，又，∴，∴．设是曲线上任意一点，点P的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再向上平移2个单位长度得到点为，则，又，∴，；（2）因为点P的极坐标为，所以，所以点P的直角坐标为，将代入得，因为相交于不同两点，∴．∵，∴．设方程的两个实数根为，，则，．由参数t的几何意义知，，∴，∴，∴，又，∴，所以直线的斜率，又直线过点，所以直线的普通方程为．【点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线方程的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．第 23 题已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若两函数与的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．【答案解析】（1）；（2）．【分析】（1）将不等式等价于三个不等式组，解不等式即可得答案；（2）求出函数在处取得最大值，只需，即可得答案；【详解】（1）当时，，或或解得：；不等式的解集；（2）由函数知，该函数在处取得最小值1，因为，∴在上递增，在上递减，在上递减，故在处取得最大值，所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，只需，即．【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式、不等式恒成立问题求参数取值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查运算求解能力.。
高中高二数学下学期期末考试试题 理含解析 试题
普通高中2021-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、填空题〔本大题一一共14题，每一小题5分，一共70分.请将答案填写上在答题卡〔卷〕相应的位置上.〕312iz i-=+，其中i 是虚数单位，那么复数z 的实部为__________. 【答案】15【解析】 【分析】通过分子分母同时乘以分母的一共轭复数化简z ，从而得到答案. 【详解】由题意复数3(3)(12)1712(12)(12)5i i i i z i i i ----===++-，因此复数z 的实部为15. 【点睛】此题主要考察复数的四那么运算，实部的相关概念，难度不大.5173A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1A -为__________. 【答案】31887588⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】通过逆矩阵的定义构建方程组即可得到答案.【详解】由逆矩阵的定义知：1AA I -=,设1a b c d A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由题意可得：(5,1)(,)1(5,1)(,)0(7,3)(,)0(7,3)(,)1a c b d a c b d ⋅=⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪⋅=⎩，即5150730731a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解得38187858a b c d ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=⎩，因此131887588A -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=. 【点睛】此题主要考察逆矩阵的相关计算，难度不大.X ，其概率分布如表，数学期望()2E X =.那么⋅=a b __________.【答案】118【解析】 【分析】通过概率和为1建立方程12a b +=，再通过()2E X =得到方程362a b +=，从而得到答案. 【详解】根据题意可得方程组：12362a b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得1316a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而118ab =. 【点睛】此题主要考察分布列与期望相关概念，难度不大.A ，B ，C ，D ，E 这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，那么一共有__________个不同的编号〔用数字答题〕. 【答案】45【解析】 【分析】通过分步乘法原理即可得到答案.【详解】对于英文字母来说，一共有5种可能，对于数字来说，一共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道一共有5945⨯=个不同的编号.【点睛】此题主要考察分步乘法原理的相关计算，难度很小.5.在极坐标系中，两点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，56Q π⎛⎫⎪⎝⎭，那么线段PQ 的长度为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】可将点P 和点Q 先化为直角坐标系下的点，从而利用间隔 公式求解.【详解】根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可将2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标点为(P ，将56Q π⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标点为(Q -，从而4PQ =.【点睛】此题主要考察极坐标点和直角坐标点的互化，间隔 公式，难度不大.032z i =+，其中i 是虚数单位，复数z 满足003z z z z ⋅=+，那么复数z 的模等于__________.【答案】2【解析】 【分析】可设出复数z ，通过复数相等建立方程组，从而求得复数的模. 【详解】由题意可设z a bi =+，由于003z z z z ⋅=+，所以(32)(23)(33)(23)a b a b i a b i -++=+++，因此32332323a b a a b b -=+⎧⎨+=+⎩，解得132a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此复数z 的模=. 【点睛】此题主要考察复数的四那么运算，相等的条件，比拟根底.()*212nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，那么展开式中的常数项是__________. 【答案】240 【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．详解：212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式系数和为264n =，，那么6n = ；那么6221122n x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式的通项公式为626631661212r r r r r rr r r T C x x C x ----+=⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅（）（）（），令630r -=，求得2r ，可得展开式中的常数项是224612240C ⋅-⋅=（）， 故答案为：240．点睛：此题主要考察二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于根底题．8.引入随机变量后，以下说法正确的有：__________〔填写上出所有正确的序号〕. ①随机事件个数与随机变量一一对应； ②随机变量与自然数一一对应； ③随机变量的取值是实数. 【答案】③【分析】要判断各项中对随机变量描绘的正误，需要牢记随机变量的定义.【详解】引入随机变量,使我们可以研究一个随机实验中的所有可能结果，所以随机变量的取值是实数，故③正确.【点睛】此题主要考察随机变量的相关定义，难度不大.ABC ∆中，假设,,BC AC AC b BC a ⊥==，那么ABC ∆的外接圆半径r =，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，假设SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，那么四面体S ABC -的外接球半径R =______________．【答案】2【解析】 【分析】通过条件三条棱两两垂直，可将其补为长方体，从而求得半径.【详解】假设SA SB SC 、、两两垂直,可将四面体S ABC -补成一长方体，从而长方体的外接球即为四面体的外接球，于是半径R =【点睛】此题主要考察外接球的半径，将四面体转化为长方体求解是解决此题的关键.10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜测的研究中获得了世界领先的成果．哥德巴赫猜测是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和〞，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______. 【答案】115【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进展计算即可． 【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29一共10个，从中选2个不同的数有210C =45种，和等于30的有〔7，23〕，〔11，19〕，〔13，17〕，一共3种， 那么对应的概率P 314515==， 故答案为：115【点睛】此题主要考察古典概型的概率和组合数的计算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.11.观察以下等式，211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，从中可以归纳出一个一般性的等式是：__________()2*(21)n n =-∈N .【答案】(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+- 【解析】 【分析】通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案.【详解】根据题意，第一个式子从1开场，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开场，有3项；第三个式子从3开场，有5项，于是可归纳出，第n 个式子从n 开场，有21n -项，于是答案为：(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+-.【点睛】此题主要考察归纳法，意在考察学生的逻辑推理才能和数感，难度不大.xOy 中，直线l 的参数方程为5,4x t y t =+⎧⎨=--⎩〔t 为参数〕，圆C 的参数方程是cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩，〔θ为参数〕，直线l 与圆C 交于两个不同的点A 、B ，当点P 在圆C 上运动时，PAB ∆面积的最大值为__________.【解析】 【分析】通过将PAB ∆面积转化为以AB 为底，P 到AB 的间隔 为高即可求解.【详解】直线l 的直角坐标方程为：10x y +-=，圆C 的直角坐标方程为：221x y +=，即圆心为坐标原点，半径为1.因此圆心到直线的间隔 为2d ==，因此AB =P 到线段AB 的高为h ，那么max 12h r d =+=+，因此max max 11[]22PAB S AB h ∆=⋅=. 【点睛】此题主要考察直线与圆的位置关系，面积最值问题.意在考察学生的转化才能，计算才能，难度中等.1x ya b+=〔a ，b 是非零常数〕与圆2225x y +=有公一共点，且公一共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线一共有__________条〔用数字答题〕. 【答案】60 【解析】 【分析】直线是截距式方程，因此不平行坐标轴，不过原点，考察圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合知识分类解答即可得到答案.【详解】可知直线的截距存在且不为0，即与坐标轴不垂直，不经过坐标原点，而圆2225x y +=上的公一共点一共有12个点，分别为：()3,4±，()3,4-±，()4,3±，()4,3-±，()0,5±,()5,0±,前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成21266C =条直线，其中有4条直线垂直x 轴，有4条垂直于y 轴，还有6条过原点〔圆上点的对称性〕，满足题设的直线有52条，综上可知满足题设的直线一共有52+8=60条，故答案为60.【点睛】此题主要考察排列组合知识，解决此类问题一定要做到不重不漏，意在考察学生的分析才能及分类讨论的数学思想，难度较大.14.在如图三角形数阵中，从第3行开场，每一行除1以外，其它每一个数字是它上一行的左右两个数字之和.这个三角形数阵开头几行如下图，假设在此数阵中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为4:5:6，那么这一行是第__________行〔填行数〕.【答案】98 【解析】 【分析】通过杨辉三角可知每一行由二项式系数构成，于是可得方程组，求出行数. 【详解】三角形数阵中，每一行的数由二项式系数,0,1,2,kn C k n =，组成.如多第n 行中有1415k n kn C k C n k -==-+，1156kn k n C k C n k ++==-，那么9445116k n n k -=⎧⎨-=⎩，解得9844n k =⎧⎨=⎩，因此答案为98. 【点睛】此题主要考察杨辉三角，二项式定理，意在考察学生数感的建立，计算才能及分析才能，难度中等.二、解答题〔本大题一一共6题，计90分.请在答题卡〔卷〕指定区域内答题，解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤〕26(2)2(1)1mz i m i i=+----，其中i 是虚数单位，根据以下条件分别务实数m 的值.〔Ⅰ〕复数z 是纯虚数；〔Ⅱ〕复数z 在复平面内对应的点在直线0x y +=上. 【答案】〔Ⅰ〕12m =-；〔Ⅱ〕0m =或者2m =. 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据纯虚数为实部为0，虚部不为0即可得到方程，于是求得答案； 〔Ⅱ〕将复数z 在复平面内对应的点表示出来，代入直线上，即可得到答案. 【详解】解：因为m ∈R ，复数z 可表示为2(2)3(1)2(1)z i m m i i =+-+--()()2223232m m m m i =--+-+，〔Ⅰ〕因为z 为纯虚数，所以222320,320,m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩解得12m =-； 〔Ⅱ〕复数z 在复平面内对应的点坐标为()22232,32m m m m ---+ 因为复数z 在复平面内对应的点在直线0x y +=上 所以22232320m m m m --+-+= 即2360m m -= 解得0m =或者2m =.【点睛】此题主要考察纯虚数，复数的几何意义等相关概念，难度较小.xOy 中，直线:l y kx =，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=.设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，M 点在N 点的下方.〔Ⅰ〕当k =M ，N 两点的直角坐标；〔Ⅱ〕当k 变化时，求线段MN 中点P 的轨迹的极坐标方程.【答案】〔Ⅰ〕(0,0)M ，N ；〔Ⅱ〕4sin (0)ρθρ=≠. 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据题意，可将直线与曲线C 联立求得M ，N 两点的直角坐标；〔II 〕〔解法一〕当k 变化时，CP MN ⊥，于是可知P 点的轨迹为圆，从而得到其轨迹方程； 〔解法二〕设(,)P ρθ，可用相关点法表示出N 的坐标，代入8sin ρθ=，于是得到轨迹方程.【详解】解：〔Ⅰ〕当k =:l y =，曲线C 的普通方程为：2280x y y +-=，由2280y x y y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或者6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∵M 点在N 点的下方，所以M ，N 两点的直角坐标为：(0,0)M ，N . 〔II 〕〔解法一〕当k 变化时，CP MN ⊥， 所以P 点的轨迹是以MC 为直径的圆〔M 点除外〕， 因为曲线22:80C x y y +-=是圆心为(0,4)C 的圆，(0,0)M 那么以MC 为直径的圆的圆心坐标(0,2)，半径为2. 所以点P 轨迹的直角坐标方程为224(0)x y y y +=≠， 所以点P 轨迹的极坐标方程为4sin (0)ρθρ=≠. 〔解法二〕设(,)P ρθ，因为点P 是线段MN 中点，M 是极点， 所以点N 的坐标为(2,)ρθ， 代入8sin ρθ=中，得4sin ρθ=， 因为M ，N 不重合，所以0ρ≠，所以点P 轨迹的极坐标方程为4sin (0)ρθρ=≠.【点睛】此题主要考察直线与圆的位置关系，轨迹方程.意在考察学生的转化才能，计算才能，逻辑推理才能，难度中等.1T 对应的变换矩阵是10110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，变换2T 对应的变换矩阵是21110M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 〔Ⅰ〕假设直线31yx 先经过变换1T ，再经过变换2T 后所得曲线为C ，求曲线C 的方程；〔Ⅱ〕求矩阵21M M M =的特征值与特征向量. 【答案】〔Ⅰ〕3210x y -+=；〔Ⅱ〕详见解析.【解析】 【分析】〔Ⅰ〕先求出变换矩阵21M M M =，然后设曲线31yx 上一点()00,x y ，列出方程即可得到方程；〔Ⅱ〕先利用多项式求出特征根，然后求出特征向量.【详解】解：〔Ⅰ〕21110111101001M M M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，在曲线31yx 上任取一点()00,x y ，在变换M 的作用下得到点(,)x y ，那么00x x M y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即001101x x y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，整理得000x y x y y -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， 那么000,,x y x y y -=⎧⎨-=⎩即00,.x x y y y =-⎧⎨=-⎩代入0031y x =+中得3210x y -+=. 〔Ⅱ〕矩阵1101M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的特征多项式为11()(1)(1)01f λλλλλ-==-++， 令()0f λ=得11λ=或者21λ=-，①当11λ=时，由11101x x y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得x y x y y -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即,.x y x y y -=⎧⎨-=⎩ 令1x =，那么0y =.所以矩阵M 的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②当21λ=-时，由1101x x y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得x y x y y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，即,.x y x y y -=-⎧⎨-=-⎩ 令1x =，那么2y =.所以矩阵M 的一个特征向量12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】此题主要考察矩阵变换，特征值和特征向量的相关运算.意在考察学生的分析才能和计算才能，难度中等.18.新高考方案的考试科目简称“312++〞，“3〞是指统考科目语数外，“1〞指在首选科目“物理、历史〞中任选1门，“2〞指在再选科目“化学、生物、政治和地理〞中任选2门组成每位同学的6门高考科目.假设学生在选科中，选修每门首选科目的时机均等，选择每门再选科目的时机相等. 〔Ⅰ〕求某同学选修“物理、化学和生物〞的概率；〔Ⅱ〕假设选科完毕后的某次“会考〞中，甲同学通过首选科目的概率是45，通过每门再选科目的概率都是34ξ表示该同学所选的3门课程在这次“会考〞中通过的门数，求随机变量ξ的概率分布和数学期望.【答案】〔Ⅰ〕112；〔Ⅱ〕详见解析.【解析】 【分析】〔Ⅰ〕显然各类别中，一一共有122412C C =种组合，而选修物理、化学和生物只有一种可能，于是通过古典概率公式即可得到答案；〔Ⅱ〕找出ξ的所有可能取值有0，1，2，3，依次求得概率，从而得到分布列和数学期望. 【详解】解：〔Ⅰ〕记“某同学选修物理、化学和生物〞为事件A ， 因为各类别中，学生选修每门课程的时机均等 那么122411()12P A C C ==， 答：该同学选修物理、化学和生物的概率为112. 〔Ⅱ〕随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3.因为2111(0)5480P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，212411131(1)545448P C ξ⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2124131333(2)5445480P C ξ⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，2439(3)5420P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， 所以ξ的分布列为所以数学期望110333623()01238080808010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题主要考察分布列和数学期望的相关计算，意在考察学生处理实际问题的才能，对学生的分析才能和计算才能要求较高.{}n a 满足()()*11142n n n a a a n +++=-∈N ，且12a =.〔Ⅰ〕求2a ，3a 的值；〔Ⅱ〕是否存在实数a ，b ，使得1132n na ab =+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对任意正整数n 恒成立？假设存在，求出实数a 、b 的值并证明你的结论；假设不存在，请说明理由.【答案】〔Ⅰ〕212a =，375a =；〔Ⅱ〕存在实数45a =-，15b =符合题意. 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕由题意可整理为142nn na a a +-=+，从而代入12a =，即可求2a ，3a 的值； 〔Ⅱ〕当1n =时和2n =时，可得到一组a 、b 的值，于是假设该式成立，用数学归纳法证明即可. 【详解】〔Ⅰ〕因为()11142n n n a a a +++=-，整理得142nn na a a +-=+， 由12a =，代入得2421222a -==+，314721522a -==+. 〔Ⅱ〕假设存在实数a 、b ，使得1132n na ab =+⎛⎫-- ⎪⎝⎭对任意正整数n 恒成立.当1n =时，11232a b +=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，①当2n =时，2111232a b +=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，②由①②解得：45a =-，15b =. 下面用数学归纳法证明：存在实数45a =-，15b =，使11431525n na =+⎛⎫--- ⎪⎝⎭对任意正整数n 恒成立.〔1〕当1n =时，结论显然成立.〔2〕当n k =时，假设存在45a =-，15b =，使得11431525k ka =+⎛⎫--- ⎪⎝⎭成立，那么，当1n k =+时，142kk ka a a +-=+ 141431525121431525kk⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦=++⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12385251232525kk ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭11111631431525525kk +=+=+⎛⎫⎛⎫-----⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即当1n k =+时，存在45a =-，15b =，使得1111431525k k a ++=+⎛⎫---⎪⎝⎭成立.由〔1〕〔2〕得：存在实数45a =-，15b =，使1132n na ab =+⎛⎫-- ⎪⎝⎭对任意正整数n 恒成立.【点睛】此题主要考察数学归纳法在数列中的应用，意在考察学生的计算才能，分析才能，逻辑推理才能，比拟综合，难度较大.20.()*1()mk k m mk f x Cx n ==∈∑N .〔Ⅰ〕计算20191(1)kk f=-∑的值；〔Ⅱ〕假设4567()()2()3()4()g x f x f x f x f x =+++，求()g x 中含4x 项的系数；〔Ⅲ〕证明：01211232123(2)13n m m m m nm m n C C C nC m n C m -+++++++++++++=+.【答案】〔Ⅰ〕-2021；〔Ⅱ〕196；〔Ⅲ〕详见解析. 【解析】 【分析】 〔Ⅰ〕由于111()(1)1nkk n nn n n n n k f x Cx C x C x x ===++=+-∑，代入-1即可求得答案;〔Ⅱ〕由于45674567()()2()3()4()(1)2(1)3(1)4(1)10g x f x f x f x f x x x x x =+++=+++++++-，利用二项式定理即可得到4x 项的系数； 〔Ⅲ〕可设12()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x +++=++++++，找出含1m x +项的系数，利用错位相减法数学思想两边同时乘以(1)x +，再找出含1m x +项的系数，于是整理化简即可得证. 【详解】解：〔Ⅰ〕∵111()(1)1nkk n nn n n n n k f x Cx C x C x x ===++=+-∑，∴(1)1n f -=-；∴20191(1)2019kk f=-=-∑；〔Ⅱ〕4567()()2()3()4()g x f x f x f x f x =+++4567(1)2(1)3(1)4(1)10x x x x =+++++++-，()g x 中4x 项的系数为44444567234C C C C +++125315435196=+⨯+⨯+⨯=；〔Ⅲ〕设12()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x +++=++++++〔0x ≠且1x ≠-〕①那么函数()h x 中含1m x +项的系数为111112323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++，另一方面：由①(1)x ⨯+得：(1)()x h x +231(1)2(1)(1)m m m n x x n x ++++=++++++②①-②得：1231()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x ++++++-=++++++++-+11(1)1(1)(1)1(1)m n m n x x n x x +++⎡⎤+-+⎣⎦=-+-+，所以2111()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x nx x +++++=+-+++，所以1112(1)(1)(1)()m m n m n x x n x h x x x++++++-++=+， 那么()h x 中含1m x +项的系数为3211m m m n m n C nC ++++++-+，又因为3211m m m n m n C nC ++++++-+21(1)!(3)!(2)!m m n m n nC m n +++++=-++-221113m m m n m n n C nC m ++++++-=-++， 21(3)(1)3m m n m n n C m ++++--=+21(2)13m m n m n C m +++++=+，所以111112323m m m m m m m m nC C C nC ++++++++++++21(2)13m m n m n C m +++++=+， 即012112323n m m m m nC C C nC -++++++++21(2)13m m n m n C m +++++=+， 所以01211232123n m m m m nm m n C C C nC C -+++++++++++(2)13m n m ++=+.【点睛】此题主要考察二项式定理的相关应用，意在考察学生对于赋值法的理解，计算才能，分析才能及逻辑推理才能，难度较大.本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
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创作；朱本晓 2022年元月元日
创作；朱本晓 2022年元月元日
八中2021年上期高二年级实验班结业考试试卷 理科数学〔试题卷〕 本卷一共12题，每一小题5分，一共60分，在每一小题后面所给的四个选项里面，只有一个是正确的。 1. 设集合，，，那么的取值范围为〔 〕 A. 或者 B. C. D. 或者 【答案】B 【解析】 ，所以 ，选A. 点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或者≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个局部，在每个局部上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解
集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2
＝b的间隔 之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解. 2. 假设复数在复平面内对应的点在第四象限，那么实数的取值范围是〔 〕 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】
，所以，选A. 3. 设，，，那么 〔 〕 创作；朱本晓 2022年元月元日
创作；朱本晓 2022年元月元日
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出三个数值的范围，即可比拟大小. 【详解】，，， ，，的大小关系是：. 应选：A. 【点睛】对数函数值大小的比拟一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，假设不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联络要比拟的两个数，一般是用“0〞，“1〞或者其他特殊值进展“比拟传递〞．③图象法，根据图象观察得出大小关系． 4. 在各项都为正数的等差数列{an}中，假设a1+a2+…+a10=30，那么a5•a6的最大值等于〔 〕 A. 3 B. 6 C. 9 D. 36 【答案】C 【解析】 试题分析：由题设，
所以，又因为等差数列各项都为正数，所以， 当且仅当时等号成立，所以a5·a6的最大值等于9，应选C． 考点：1、等差数列；2、根本不等式． 创作；朱本晓 2022年元月元日
创作；朱本晓 2022年元月元日
5. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，那么的取值不可能是〔 〕 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ,将函数的图象向左平移个单位后得到，，为偶函数，，，当 时，的取值分别为 ， ，的取值不可能是，应选B. 6. 在区间[0,2]上随机取两个数，，那么的概率是〔 〕． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意所有的根本领件满足，所研究的事件满足，画出可行域如图，总的区域面积是一个边长为2 的正方形，其面积为4，满足的区域的面积为
，那么的概率为
考点：几何概型 7. 刍薨〔〕，中国古代算术中的一种几何形体，?九章算术?中记载“刍薨者，下有创作；朱本晓 2022年元月元日
创作；朱本晓 2022年元月元日
褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.〞翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶〞，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，那么搭建它〔无底面，不考虑厚度〕需要的茅草面积至少为〔 〕
A. 24 B. C. 64 D. 【答案】B 【解析】 茅草面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底长为4，下底长为8，高为；等腰三角形的底边长为4，高为． 故侧面积为． 即需要的茅草面积至少为．选B． 8. 阅读程序框图，运行相应的程序，那么输出的的值是〔 〕 创作；朱本晓 2022年元月元日
创作；朱本晓 2022年元月元日
A. 72 B. 90 C. 101 D. 110 【答案】B 【解析】 输入参数 第一次循环，，满足，继续循环 第二次循环，，满足，继续循环 第三次循环，，满足，继续循环 第四次循环，，满足，继续循环 第五次循环，，满足，继续循环 第六次循环，，满足，继续循环 第七次循环，，满足，继续循环 第八次循环，，满足，继续循环 第九次循环，，不满足，跳出循环，输出 应选B 点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否完毕．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节． 创作；朱本晓 2022年元月元日
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9. 椭圆E：〔a＞b＞0〕的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，假设|AF|+|BF|=4，点M到直线l的间隔 不小于，那么椭圆E的离心率的取值范围是〔 〕 A. 〔0，] B. 〔0，] C. [，1〕 D. [，1〕 【答案】A 【解析】 试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，那么，所以，，即，又，所以，．应选A． 考点：椭圆的几何性质． 【名师点睛】此题考察椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或者范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的间隔 得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的间隔 时，需要联想到椭圆的定义． 视频
10. 函数〔〕的图象的大致形状是〔 〕 创作；朱本晓 2022年元月元日
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A. B. C. D. 【答案】C 【解析】
应选C.
11. 在平面直角坐标系中，不等式组〔为常数〕表示的平面区域的面积为，假设满足上述约束条件，那么的最小值为 〔 〕 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如下图，由题意，知，解得．因为目的函数表示区域内上的点与点连线的斜率加上1，由图知当区域内的点与点的连线与圆相切时
斜率最小．设切线方程为，即，那么有，解得或者〔舍〕，所以，应选D． 创作；朱本晓 2022年元月元日
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12. 为自然对数的底数，假设对任意的，总存在唯一的，使得成立，那么实数的取值范围是〔 〕 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ,,故函数在区间上递增,,,故函数在
上递减.所以,解得,应选B. 二.填空题〔每一小题5分，一共20分〕 13. 假设的展开式中常数项为96，那么实数等于__________． 【答案】4 【解析】
的展开式的通项是 ，令 ，的展开式中常数项为可得 故答案为 . 【方法点晴】此题主要考察二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比拟明确，主要从以下几个方面命题：〔1〕考察二项展开式的通项公式；〔可以考察某一项，也可考察某一项的创作；朱本晓 2022年元月元日
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系数〕〔2〕考察各项系数和和各项的二项式系数和；〔3〕二项展开式定理的应用. 14. 在平面直角坐标系中，假设圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，那么的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 设圆上的点，这个点关于直线的对称点为，将Q点代入圆上得到，联立两个圆的方程得到
故答案为：. 15. AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，AB⊥CD，假设四面体ABCD体积的最大值为9，那么球O的外表积为__． 【答案】36π 【解析】 【分析】 由题意，为等腰直角三角形，高为球O的半径时，四面体ABCD的体积最大，利用四面体ABCD体积的最大值为9，求出R，即可求出球O的外表积. 【详解】由题意，为等腰直角三角形，高为球O的半径时，四面体ABCD的体积最大， 最大值为，， 球O的外表积为. 故答案为：36π. 创作；朱本晓 2022年元月元日
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【点睛】此题考察的知识点是球内接多面体，球的外表积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键. 16. 函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，那么的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 根据题意，有，于是函数关于对称，结合所有的零点的平均数为，可得，此时问题转化为函数，在上与直线有个公一共
点，此时，当时，函数的导函数，于是函数单调递增，且取值范围是，当时，函数的导函数，考虑到是上的单调递增函数，且，于是在上有唯一零点，记为，进而函数在上单调递减，在上单调递增，在处获得极小值，如图：
接下来问题的关键是判断与的大小关系，注意到，，函数