无穷级数复习题

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高等数学无穷级数题目

第十二章无穷级数练习一一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1、设级数∑∞=1n na收敛，和为S ,则级数∑∞=+11n n a收敛，和为（）(A)S ； (B)1a S +； (C)2a S +； (D)1a S -. 2、下列命题中正确的是（） (A)若∑∞=1n nU收敛，则0lim =∞→n n U ； (B)若∑∞=1n nU发散，则0lim ≠∞→n n U ；(C)若0lim =∞→n n U ，则∑∞=1n nU收敛； (D)若0lim =∞→n n U ，则∑∞=-1)1(n n nU 收敛.3、下列命题中不正确的是（） (A)若∑∞=1n nU和∑∞=1n nV均收敛，则∑∞=±1)(n n nV U也收敛；(B)若∑∞=1n nU和∑∞=1n nV均发散，则∑∞=±1)(n n nV U也发散；(C)若∑∞=1n nU收敛，∑∞=1n nV发散，则∑∞=+1)(n n nV U发散；(D)若∑∞=1n nU发散，∑∞=1n nV收敛，则∑∞=-1)(n n nV U发散.4、若级数∑∞=1n n q a收敛（a 为常数），则q 应满足的条件是（） (A)1=q ； (B)q ＜1； (C)1-=q ； (D)q ＞1. 5、下列级数收敛的是（）(A)∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+13223n n n ； (B)∑∞=1001n n ； (C) ∑∞=+11n n n ； (D) ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1211n n n .6、设收敛级数∑∞=1n nU的和为S ，前1-n 项、n 项、1+n 项和分别为1-n S 、n S 和1+n S ，则下列结果不正确的是（）(A)S S n n =∞→lim (B)S S n n =-∞→1lim (C)S S n n =+∞→1lim (D)S S n n ≠+∞→1lim .7、设∑∞=1n n U 是正项级数，且ρ=+∞→nn n U U 1lim，那么下面结论错误的是（）(A)若ρ＜1，则∑∞=1n nU收敛； (B)若ρ＞1，则∑∞=1n nU发散；(C)若∑∞=1n nU收敛，则ρ＜1； (D)若∑∞=1n nU发散，则ρ≥1.8、下列级数条件收敛的是（） (A)∑∞=--111)1(n n n ； (B)∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛-1132)1(n nn ； (C)∑∞=-⋅-1211)1(n n n ； (D)∑∞=-⋅⋅-1121)1(n nn n . 二、填空题（将正确答案填在横线上） 1、设级数∑∞=1n n U 的前n 项和1+=n nS n （n =1，2，…），则该级数的通项n U =__________. 2、级数 +-+-+-3211618141211的和S =__________. 3、设n U ＞0（n =1，2，3，…），+∞=∞→n n U lim ，则级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111n n nU U 之和为__________. 4、设级数∑∞=+111n p n收敛，则p 的取值范围是__________.5、若级数∑∞=1n nU绝对收敛，则级数∑∞=1n nU必定__________；若∑∞=1n nU条件收敛，则∑∞=1n nU必定__________. 三、解答下列各题1、根据级数收敛与发散定义判断级数++-++⋅+⋅+⋅)12)(12(1751531311n n 的敛散性2、根据级数收敛基本性质判别下列级数的敛散性：（1） +++++n31916131；（2）+++++n 313131313.3、判别下列正项级数的敛散性：（1）+⋅++⋅+⋅+⋅nnn 232332232133322；（2）∑∞=⋅1!2n nn n n ；（3） ++++++++++2221131312121nn.4、下列级数是否收敛？如果收敛是绝对收敛还是条件收敛？（1）∑∞=123sin n n n；（2） +⋅-++-+--nn 1)1(41312111；（3）∑∞=---112)1(31)1(n n n n .四、证明题： 1、设nn n n U n ++++++=22212111 ，试证级数∑∞=1n nU发散.2、设级数∑∞=+111n na,其中a ＞0,证明：当0＜a ≤1时，级数发散；当a ＞1时，级数收敛.练习二一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1、函数项级数 ++++x x x nln ln ln 2的收敛域为（） (A)x ＞e ； (B)kx ＜e ； (C)e 1 ＜x ＜e ； (D) e1≤x ≤e . 2、设幂级数∑∞=0n nnx a，当0x x =时收敛，则（） (A)对适合不等式x ≤0x 的一切x ，幂级数绝对收敛； (B)对适合不等式x ＜0x 的一切x ，幂级数绝对收敛； (C)对适合不等式x ＜0x 的一切x ，幂级数条件收敛； (D)对适合不等式x ＞0x 的一切x ，幂级数发散. 3、设x =2是幂级数n n nx a∑∞=0的收敛点，那么（）(A) x =1是该级数的收敛点； (B) x =-2是该级数的收敛点；(C) x =3是该级数的发散点； (D) x =-2是该级数的发散点. 4、设幂级数n n nx a∑∞=0在点x =1处条件收敛，则该幂级数的收敛半径R 满足（）(A) R ＜1； (B) R =1； (C) R ＞1； (D) R ≠1. 二、填空题（将正确答案填在横线上） 1、设幂级数n n nx a∑∞=0的收敛半径为1，则该级数的收敛区间为__________.2、设幂级数n n nx a∑∞=0的收敛半径为4，则幂级数n n x a 2∑的收敛半径为__________.3、函数xe 的麦克劳林级数展开式为__________. 4、函数)1ln(x +的麦克劳林级数展开式为__________. 5、函数x sin 的麦克劳林级数展开式为__________. 三、解答题1、求幂级数21)1(n x nn n∑∞=-的收敛半径和收敛区间.2、求幂级数∑∞=-1)5(n nnx 的收敛域.3、求幂级数∑∞=1n nn x 的收敛区间及和函数.4、求幂级数∑∞=-11n n nx的收敛区间及和函数.5、将函数2)(xx e e x f --=展成x 的幂级数.6、将)ln()(a x x f +=（a ＞0）展开成x 的幂级数.7、将xx f 1)(=展开成x -1的幂级数8、将x x f arctan )(=展开成x 的幂级数.练习三一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1、设级数∑∞=1n na收敛，和为S ，则级数∑∞=++-+121)(n n n na a a收敛于（）(A)1a S +； (B)2a S +； (C)21a a S -+； (D)12a a S -+. 2、级数∑∞=1n nU绝对收敛是级数∑∞=12n nU收敛的（）(A)充分必要条件； (B)充分非必要条件；(C)必要非充分条件； (D)既非充分又非必要的条件. 3、∑∞=12n nU与∑∞=-112n n U均收敛是∑∞=1n nU收敛的（）(A) 充分非必要条件； (B) 必要非充分条件；(C) 充分必要条件； (D)既非充分又非必要的条件. 4、使级数∑∞=-1)1(n n nU 收敛的条件是（）(A)∑∞=12n nU收敛； (B)∑∞=1n nU收敛；(C){}n U 单调减少且趋于零； (D) ∑∞=12n nU收敛.5、设幂级数nn nx a)2(0-∑∞=在x =-2处收敛，则此级数在x =4处（） (A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)敛散性不能确定.6、若81lim1=+∞→nn n a a ，则幂函数n n n x a 30∑∞=（） (A)当x ＜2时收敛； (B)当x ＜8时收敛； (C)当x ＞81时发散； (D)当x ＞21时发散. 二、填空题（将正确答案填在横线上） 1、设∞=∞→n n U lim ，0≠n U ，则级数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+∞=∑1111)1(n nn n U U 收敛于__________.2、如果幂级数n n nx a)1(0-∑∞=的收敛半径是1，则该级数的收敛区间为__________.3、幂级数n n n x n )32(121)1(01--⋅-∑∞=-的收敛域为__________. 4、函数xxex f -=)(的麦克劳林级数展开式为__________.5、级数∑∞=+0!1n n n 的和S =__________. 三、解答题：1、判别级数∑∞=++11)!1(n n n n 的敛散性.2、讨论级数∑∞=1n s nna （a ＞0，s ＞0）的敛散性3、设级数∑∞=1n n U 收敛，且1lim=∞→nnn U V ，问级数∑∞=1n n V 是否收敛？试说明理由4、求幂级数nn n n x n ∑∞=+153的收敛区间。

第十章无穷级数习题详细解答

解若级数分别为
∑u
n =1 ∞
∞
n
= 1 − 1 + 1 − " + (−1) n −1 + " ；
∑v
n =1 ∞
n
= −1 + 1 − 1 + " + (−1) n + " ；
∞ ∞
则级数
∞
∑ (u n + vn ) 显然收敛；但是如果另外有级数 ∑ wn = ∑ u n ，则级数
（3）（5） ∑ ( n + 2 − 2 n + 1 + n ) ;
n =1 ∞
（6）
1 1 1 1 + + 3 + 4 +"; 3 3 3 3
（7） ( − ) + (
1 1 1 1 1 1 − 2 ) + "" + ( n − n ) + " ; 2 3 2 3 2 3 2 1 3 5 7 2n − 1 +"; （8） + + + + " + 3 5 7 9 2n + 1
敛，由比较判别法,故级数
(sin 2n) 2 也收敛. ∑ 6n n =1
∞
（5）当 a > 1 时， u n =
∞ ∞ 1 1 1 1 ，而收敛，故收敛 < ∑ ∑ n n n n a 1+ a n =1 a n =1 1 + a
当 0 ≤ a ≤ 1 时， lim u n = lim
n→∞ ∞
（4）因为 S n = sin （5）因为

无穷级数习题课含解答

无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时，，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性，而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数，令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛；其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，，所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则，因为，所以，于是，即级数收敛；其绝对值级数为，因为，所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（绝对收敛），在处（发散）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛，故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1）（2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，，对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，，两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得，当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为，则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数；（2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点，对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1）对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。

高数无穷级数练习

班级
姓名
学号
第十一章
无穷级数
习题 11－1 1、用级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性
(1)
∑
∞
1
n +1 + n n =1 解：设前 n 项部分和为 S n ，则
n →∞
lim S n = lim
n→∞
∑
i =1
n
1
i +1 + i
= lim
n →∞
∑(
i =1
n
i + 1 − i ) = lim ( n + 1 − 1) = ∞
n →∞
由级数敛散性定义知：级数
(2)
∑
n =1
∞
1
n +1 + n
发散。
∑ (n + 1)!
n =1
∞
n
解：设前 n 项部分和为 S n ，则
n →∞
lim S n = lim
n →∞
∑ (i + 1)! = lim ∑ (i + 1)! = lim ∑ ( i! − (i + 1)!) = lim (1 − (n + 1)!) = 1
∞
解：因为
lim
n →∞
由比值审敛法知：级数 ∑ (−1) n
n =1
n! 收敛，且绝对收敛。 1 ⋅ 3 ⋅ 5 L (2n − 1)
59
班级
姓名
∞ n +1
学号
(3)
∑ (−1)
n =1
n 1 + n2 1 n > 2 n 1+ n
解：因为
(−1) n +1

第四章无穷级数复习题

第四章无穷级数复习题一、选择题1. 若0lim =∞→n n a ，则数项级数∑∞=1n na（）(A)收敛； (B)发散(C)收敛且和为0； (D)可能收敛，也可能发散．2. 设级数 ++++++)()(654321a a a a a a 收敛，则级数 ++++4321a a a a （） (A)收敛； (B)发散；(C)可能收敛，也可能发散； (D)收敛于原级数的和．3. 设级数 ++++++)()(654321a a a a a a 发散，则级数 ++++4321a a a a （） (A)收敛； (B)发散；(C)收敛且和为0； (D) 可能收敛，也可能发散． 4. 若∑∞=1n na收敛，记∑==nk kn aS 1，则{}n S （）(A)发散； (B)是无穷大；(C)可能收敛，也可能发散； (D)收敛． 5. 若∑∞=1n na的部分和数列{}n S 有界，则级数∑∞=1n na（）(A)发散； (B)收敛；(C)可能收敛，也可能发散； (D)等于∞+． 6.∑∞=1n na发散，则∑∞=1n na（）(A)收敛； (B)发散；(C)条件收敛； (D)可能收敛，也可能发散． 7. 设∑∞=1n na条件收敛，则下列结论中唯一不正确的是（）(A)∑∞=1n na发散； (B))(0∞→→n a n ；(C)∑∞=1n na收敛； (D)∑∞=1n na收敛．8. 级数∑∞=+111n na（）(A)必收敛； (B)当10≤<a 时收敛，当1>a 时发散；(C) 必发散； (D)当10≤<a 时发散，当1>a 时收敛． 9. 0lim =∞→n n a 是级数∑∞=1n na收敛的（）(A)充分条件； (B)必要条件；(C)充要条件； (D)既不是充分又不是必要条件． 10. 设a 为常数，则级数1(1)(1cos )nn a n ∞=--∑ （）（A ）发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛性与a 的值有关 11. 下列级数收敛的是( )(A) 1253n nnn ∞=-∑ (B) 1(1)!nnn n n ∞=-∑ (C) 121n nn ∞=-∑ (D) 111ln(1)n nn ∞=+∑ 12. 设正项级数∑∞=1n na收敛，则下列级数中必收敛的是( )(A) 11n na ∞=∑ (B)1n n a ∞=∑(C)1(1)nn a∞=+∑收敛 (D)1(1)nn n a ∞=-∑13．下列级数中绝对收敛的是( )(A) 132(1)tan nn n n ∞=-∑ (B)1(1)21nn n ∞=--∑(C) 21(1)2+1n n nn ∞=-∑ (D) 11(1)nn n n∞=+-∑ 14. 设∑∞=1n na为正项级数，则( )(A) 若lim 0n n a →∞=，则1nn a∞=∑收敛 (B) 若1nn a∞=∑收敛，则21nn a∞=∑也收敛(C) 若21nn a∞=∑收敛，则1nn a∞=∑收敛 (D) 若1nn a∞=∑发散，则lim n n a →∞=+∞15. 下列级数中发散的是(A) 2121(1)n n n n ∞=-+∑ (B) 212ln(1)n n ∞=+∑ (C) 12sin n n ∞=∑ (D) 212!n n n n ∞=⋅∑ 16. 设∑∞=1)(n nx u在),(b a 上内闭一致收敛，则∑∞=1)(n n x u 在（）(A)),(b a 上处处收敛； (B)),(b a 上一致收敛；(C)),(b a 上绝对收敛； (D)],[b a 上一致收敛．17. 设幂级数(1)nn n a x ∞=+∑在3x =处条件收敛，则此幂级数的收敛半径为( )(A) 3R = (B) 4R = (C) 2R = (D) 无法确定 18. 已知幂级数1n n n a x ∞=∑在点0x x =处收敛，又1lim(0)nn n a R R a →∞+=>，则( ) (A) 00x R ≤≤ (B) 0x R > (C) 0x R ≤ (D) 0x R >19. 若幂级数(3)nn n a x ∞=-∑在8x =处收敛，则此幂级数在点1x =-处( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不能确定二、填空题 1.21141nk k==-∑ ，21141k k ∞==-∑，221ln(1)n n ∞=-=∑ ． 2. 级数11ln(1)n n ∞=+∑ ；级数211ln(1)n n ∞=+∑ ．3. 当p 时，级数1sin 2pn n π∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛．4. 当p 时，级数11arctan pn n n ∞=∑收敛．5.3441sin n nxn x∞=+∑在(,)-∞+∞上．6. 幂级数0(3)3nnn x n ∞=--∑的收敛半径R = ． 7. 幂级数023n n nn x n ∞=+∑的收敛半径R = ．8. 11lim sin 22n n x n x n xπ∞→==∑ ，其中3[0,]2x ∈．9. 设1cos (),(,)n nxS x x n n∞==∈-∞+∞∑，则 0()d x S x x =⎰ ． 10. 函数1()(0)f x a a x=≠-在0x =的泰勒展开式为． 11. ()ln f x x =在1x =处的Taylor 展开式为．12.21(1)x -展成x 的幂级数为． 13. 函数xe 在1x =处的Taylor 级数展开式是．14. 把1, 01,()0, 1 2.x f x x <<⎧=⎨<<⎩展为以4周期的正弦级数，则此级数在7x =处的值为(7)S = ．15. 设, 0()1, 0x e x f x x ππ-⎧-≤<=⎨≤<⎩，则其以2π为周期的Fourier 级数在x π=处收敛于．16. 设()f x 是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]-上的定义为32, 10,(), 0 1.x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩则()f x 的以2为周期的Fourier 级数在1x =处收敛于．17. 设20cos ()nn x anx x ππ∞==-≤≤∑，则2a = ．三、解答题 1. 求幂级数11n n nx∞-=∑的收敛域及其和函数。

(整理)第七章无穷级数

第七章无穷级数一、选择题1．下列关于级数的论述中一定错误的是(A) 若，则．(B) 若，则．(C) 若un≥0，且，则．(D) 若un≥0，且不存在，则．2．下列结论正确的是(A) 发散级数加括弧所成的级数仍发散．(B) 若加括弧后的级数收敛，则原级数收敛．(C) 若去括弧后的级数收敛，则原级数收敛。

(D) 若去括弧后的级数发散，则原级数发散．3．设都是正项级数，且级数收敛，则下列结论正确的是(A) 若un ＞vn，则级数发散． (B) 若，则级数收敛．(C) 若，则级数收敛． (D) 若，则级数发散．4．设级数，则下列结论正确的是(A) 因为，所以与p-级数比较得收敛．(B) 因为，所以．(C) 因为，所以收敛．(D) 因为，所以发散．5．设正项级数与任意项级数具有关系，则下列结论正确的是(A) 由收敛推知收敛． (B) 由发散推知发散．(C) 由收敛推知收敛． (D) 由发散不能断定的敛散性．6．下列命题中正确的是(A) 设正项级数发散，则．(B) 设收敛，则收敛．(C) 设至少有一个发散，则发散．(D) 设收敛，则均收敛．7．下列命题正确的是(A) 若收敛，则收敛．(B) 若条件收敛，则发散．(C) 若收敛，则收敛．(D) 若，则收敛．8．下列命题正确的是(A) 设复敛，则收敛．(B) 设收敛且n→∞时，an ，bn是等价无穷小，则收敛．(C) 设收敛，则．(D) 设收敛，令，且Sn为正项级数的前n项部分和(n=1，2，…)，则发散．9．下列命题正确的是(A) 若都收敛，则也收敛．(B) 若收敛，发散，则必发散．(C) 若收敛，绝对收敛，则绝对收敛．(D) 若条件收敛，绝对收敛，则条件收敛．10．已知都发散，则(A) 必发散． (B) 必发散．(C) 必发敞． (D) 必发散．11．设绝对收敛，则(A) 发散． (B) 条件收敛．(C) 绝对收敛． (D)12．对于常数k＞0，级数(A) 绝对收敛． (B) 条件收敛．(C) 发散． (D) 的收敛性与k的取值有关．13．设级数收敛，则其中的常数(A) a=-2，b=1． (B) a=b=1．(C) a=1，． (D) a=b=-2．14．设正项级数收敛，且bn =(-1)n ln(1+a2n)(n=1，2，…)，则级数(A) 发散． (B) 绝对收敛．(C) 条件收敛． (D) 的敛散性不能仅由所给条件确定．15．下列级数①②③④中收敛的个数是(A) 1个． (B) 2个． (C) 3个． (D) 4个．16．设有幂级数，则R为其收敛半径的充要条件是(A) 当|x|≤R时，收敛，且当|x|＞R时发散．(B) 当|x|＜R时，收敛，且当|x|≥R时发散．(C) 当|x|＜R时，收敛，且当|x|＞R时发散．(D) 当-R＜x≤R时，收敛，且当R＜x或x≤-R时发散．17．下列命题正确的是(A) 若幂级数的收敛半径为R≠0，则．(B) 若不存在，则幂级数没有收敛半径．(C) 若的收敛域为[-R，R]，则幂级数的收敛域为[-R，R]．(D) 若的收敛域为(-R，R)，则的收敛域可能是[-R，R]．18．设收敛，则(A) 条件收敛． (B) 绝对收敛．(C) 发散． (D) 的敛散性仅由此还不能确定．19．设幂级数在x=-1处收敛，则此级数在x=1处(A) 绝对收敛． (B) 发散．(C) 条件收敛． (D) 的敛散性仅由此不能确定．20．设幂级数的收敛半径为2，则幂级数的收敛域包含点集(A) {2，3，4，e}． (B)(C) {1，5}． (D) {1，2，3，4，5，e}．21．设在x=1处收敛，则在x=0处(A) 绝对收敛． (B) 条件收敛．(C) 发散． (D) 的收敛性取决于{an}的给法．22．设级数收敛，则级数的收敛半径(A) R=2． (B) R=3． (C) R＞2．(D) R≥2．23．下列结论不正确的是(A) 若函数f(x)在区间[a，a+2π]上导函数连续，则展开成傅里叶级数时，有(B) 若函数f(x)在区间[-π，π]上有则必有(C) 设连续函数f(x)满足f(x)+f(x+π)=0，则f(x)在[-π，π]上展开成傅里叶级数时，必有a 0=a2k=b2k=0(k=1，2，…)．(D) 若函数f(x)满足狄利克雷条件，则必有其中24．下列命题①若函数f(x)为[-π，π]上的奇(偶)函数，则f(x)的傅里叶级数必为正(余)弦级数②若函数f(x)在[0，π]上有定义，则f(x)的傅里叶级数展开式是唯一的③设，不论收敛与否，总有④将函数f(x)=x2(0≤x≤1)做偶延拓，得到令x=2得中正确的是(A) ①、③．(B) ①、④．(C) ②、③．(D) ②、④．25．将函数在[0，π]上展开为余弦级数，则其和函数在x=0，1，π处的函数值分别为(A) (B) 0，2，0．(C) 1，2，π+1． (D)1．设，则=______．2．设幂级数的收敛半径是2，则幂级数的收敛半径是______．3．设幂级数，则该幂级数的收敛半径等于______．4．若幂级数的收敛域是(-8，8]，则的收敛半径R=______，的收敛域是______．5．已知幂级数当x=-2时条件收敛，则该幂级数的收敛区间为______．6．设幂级数的收敛区间为(-2，4)，则幂级数的收敛区间为______．7．幂级数的收敛域为______．8．幂级数的收敛域为______．9．函数展开成x的幂级数及其收敛区间分别为______．10．设函数f(x)=x+|x|(-π≤x≤π)的傅里叶级数展开式为，则其中系数b=______．n11．设则其以2π为周期的傅里叶级数在x=π处收敛于______，在x=2π处收敛于______．1．判别下列级数的敛散性：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)2．讨论下列级数的敛散性，若收敛，需指出是条件收敛还是绝对收敛，并说明理由．(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)3．设常数p＞0，试判断级数的敛散性．4．设b=1，，讨论级数的敛散性．1=1，对于n=1，2，…，设曲线上点处的切线与x轴交5．已知a1点的横坐标是a．n+1(Ⅰ)求a(n=2，3，…)；n(Ⅱ)设Sn 是以和(an+1，0)为顶点的三角形的面积，求级数的和．6．设un＞0(n=1，2，…)，证明：(Ⅰ)若存在常数a＞0，使当n＞N时，，则级数收敛；(Ⅱ)若当n＞N时，，则级数发散．7．设函数f(x)在区间[0，1]上有一阶连续导数且f(0)=0，设，证明级数绝对收敛．8．设f(x)在|x|≤1有一阶连续导数且，证明级数发散而级数收敛．9．设f(x)是[-1，1]上具有二阶连续导数的偶函数，且f(0)=1，试证明级数绝对收敛．10．设函数f(x)在|x|≤1上具有二阶连续导数，当x≠0时f(x)≠0，且当x→0时f(x)是比x高阶的无穷小．证明级数绝对收敛．11．求下列幂级数的收敛域：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)12．求下列幂级数的和函数：(Ⅰ) (Ⅱ)13．已知a0=3，a1=5，且对任何自然数n＞1，，证明：当|x|＜1时，幂级数收敛，并求其和雨数．14．分别求幂级数的和函数与幂级数当x≥0时的和函数·15．将函数展开为x的幂级数．16．(Ⅰ)将展开成x-1的幂级数；(Ⅱ)在区间(-1，1)内将展开为x的幂级数，并求f(n)(0)．17．将展开成x的幂级数．18．求证：19．将展开成以2π为周期的傅里叶级数．20．将函数展开成正弦级数，并求级数的和．一、选择题1．A[分析] 由级数发散．而只在级数收敛时才成立，故(A)不正确．应选(A)．2．C[分析] 对于(A)：例如级数，它是发散的，但添加括号后的级数(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…=0+0+…+0+…=0是收敛的．故(A)不对．对于(B)：例如级数(1-1)+(1-1)+…收敛于零，但级数1-1+1-1+…却是发散的．故(B)不对，同时也说明(D)也不对．这说明：若加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛．由排除法可知，应选(C)．3．C[分析] 根据比较原理的极限形式：设有正项级数，又设，则1°当0＜l＜+∞时，级数〈A〉与〈B〉有相同的敛散性；2°当l=0时，若级数〈B〉收敛，则级数〈A〉也收敛；3°当l=+∞时，若〈B〉发散，则〈A〉也发散．由此可知(C)正确，应选(C)．4．D[分析] 设〈A〉：为正项级数，1°若，即为有限数，即a与n为同阶无穷小，则p＞1时，〈A〉收敛；p≤1时，〈A〉发散．2° 若，且p＞1，则〈A〉收敛．3° 若即a是比低阶的无穷小，p≤1，则n〈A〉发散．由此可知(D)正确．应选(D)．5．A[分析] 由于，由比较判别法可知，级数与级数有相同的敛散性，即由收敛推知收敛．故(A)正确，应选(A)．6．C[分析] 对于(A)：令，则正项级数发散，但，故(A)不正确．=(-)n，则收敛，但发散，所以(B)不正对于(B)：令an确．对于(D)：令，则收敛，但发散，所以(D)不正确．若收敛，则由比较判别法知都收敛，因此都收敛，矛盾，所以发散，(C)正确．故应选(C)．7．B[分析] 令，则收敛，但发散，故(A)不正确．令u=(-1)n，则收敛，但发散，所以(C)不正确．n令un=(-1)n，则，但发散，所以(D)不正确．对于(B)，可用反证法证明其成立．若收敛，则收敛，说明绝对收敛，与题设矛盾．故发散．所以应选(B)．8．D[分析] 对于(A)：令，则收敛，但发散，故(A)不对．对于(C)：令，则收敛，但，故(C)不对．对于(B)：令，则收敛且当n→∞时an 与bn是等价无穷小，但发散，故(B)也不对．对于(D)：由于收敛，根据收敛的必要条件可得，又，所以，故发散．因此选(D)．9．C[分析] 令，则都收敛，但发散，所以(A)不正确．令，则收敛，发散，而绝对收敛，所以(B)、(D)不正确．事实上，由于收敛，所以，因此数列{an}有界，不妨假设存在M＞0，对任意的n都有|an |≤M，从而|anbn|≤M|bn|，又绝对收敛，从而根据正项级数的比较判别法知，收敛，所以绝对收敛．故应选(C)．10．C[分析] 取，则都收敛．又因为都发散，故都是发散的正项级数，从而必发散．故应选(C)．11．C[分析] 由于绝对收敛，所以，从而存在正整数N，当n＞N 时，有，而，所以，由正项级数的比较判别法可得都收敛．故(A)不成立，而(C)成立．令，则绝对收敛，但(B)、(D)不成立，所以应选(C)．12．B[分析] 因为数列单调下降，且，故级数收敛．但，由于，而发散，因此条件收敛．故应选(B)．13．A[分析] 由于[lnn+aln(n+1)+bln(n+2)]由题设知，故应选(A)．14．B[分析] 由于正项级数收敛，所以正项级数收敛，从而，因此有|bn |=|(-1)n|ln(1+a2n)|～a2n(n→∞)，由正项级数的比较判别法可知绝对收敛．应选(B)．15．C[分析]对，由于，所以该级数收敛．对，由于，而级数收敛，故该级数收敛．对级数，由于，所以n充分大时ln(lnn)·lnlnlnn＜lnn，从而．由于发散，所以该级数发散．由于，所以级数条件收敛．16．C[分析] 由幂级数的收敛半径的定义：“如果幂级数不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得：(i)当|x|＜R时，幂级数绝对收敛；(ii)当|x|＞R时，幂级数发散；(iii)当x=R 与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散，则称正数R为该幂级数的收敛半径．”可知，(C)正确，应选(C)．17．D[分析] 对任意的幂级数都存在收敛半径，收敛半径R可为R=+∞，0＜R＜+∞，或R=0，因此(B)不正确．对任意的幂级数不一定存在．例如，收敛半径为，由于a2n =2n，a2n+1=0，于是不存在，因此(A)也不正确．(C)也不正确，如收敛域为[-1，1]，但收敛域为[-1，1)．事实上，若，则其收敛域为(-1，1)，而的收敛域为[-1，1]，所以应选(D)．18．B[分析] 考察幂级数，由于收敛，所以幂级数在x=-2处收敛，根据阿贝尔定理可得当|x|＜|-2|时，对应的幂级数都绝对收敛，所以当x=1时，对应的幂级数绝对收敛，而此时对应级数为．所以应选(B)．19．A[分析] 根据阿贝尔定理可得：当|2x-1|＜|-2-1|=3时，幂级数绝对收敛．而当x=1时|2·1-1|＜3，因此与x=1对应的级数绝对收敛．故应选(A)．20．A[分析] 由于有相同的收敛半径，所以当|x-3|＜2时级数3)n绝对收敛，显然只有集合{2，3，4，e}中的点都满足不等式|x-3|《2，因此应选(A)．21．D[分析] 令，则级数在x=1处收敛，而在x=0处对应的级数发散．所以选项(A)，(B)不正确．又如，则级数在x=1处收敛，而在x=0处对应的级数收敛．所以选项(C)不正确．由排除法可知应选(D)．22．D[分析] 由于收敛，所以级数在x=-1处收敛，根据阿贝尔定理得：当|x-1|＜2时，对应的级数都绝对收敛，再根据收敛半径的定义可知R≥2，故选(D)．23．[分析] 对于(A)：将函数f(x)作周期延拓，所得周期函数仍记为f(x)，则f(x)cosx是周期为2π的周期函数，从而积分与a无关(事实上，=f(a+2π)cos(na+2nπ)-f(a)cosna=0)．令a=-π，则同理可证：故(A)正确．对于(B)：设，则应用三角函数系的正交性可得代入上述不等式，整理得式中右端为一与m无关的数，这说明级数收敛，于是，即．故(B)正确．对于(C)：据题设知函数f(x)是周期为2π的连续函数，则两式相加，由于f(x)+f(x+π)=0，则可得a0=a2k=b2k=0 (k=1，2，…)．故(C)也正确．对于(D)：若函数f(x)满足狄利克雷条件，则有其中，当x为f(x)的连续点时，故(D)不正确，应选(D)．24．A=0[分析] 对于①：设f(x)为奇函数，则f(x)cosnx也为奇函数，从而an(n=0，1，2，…)，因此f(x)～．故①正确．对于②：在区间[0，π]上定义的函数f(x)既可以做偶延拓展成余弦级数，也可以做奇延拓展成正弦级数．故②不正确．对于③：设，可证F(x)在[-π，π]上连续，且以2π为周期，从而满足狄利克雷条件，可将F(x)展成傅里叶级数其中，令z=0得为了求A即因此即故③正确．对于④：由于f(2)=f(0)=0，即，故④不正确．综上分析，应选(A)．25．D[分析] 将f(x)延拓成[-π，π]上的偶函数F(x)，根据狄利克雷定理可得所以选(D)．二、填空题1．8[分析] 1°先求由2°3°由收敛而是添加括号而得．因此，由2．2[分析] 由于有相同的收敛域，而所以与有相同的收敛半径，而有相同的收敛域．因此有相同的收敛半径，故的收敛半径为2．3．[分析] 由于令ρ(x+1)＜1，可得，所以收敛半径为．4．(-2，2][分析] 因幂级数的收敛域为(-8，8]，所以其收敛半径R=8．又因幂级数是由幂级数逐项求导两次所得，从而幂级数的收敛半径R=8．对于=，因-8＜x3≤8-2＜x≤2，所以的收敛域为(-2，2]．5．[-2，4)[分析] 由于级数存x=-2处条件收敛，所以级数的收敛半径为R=3，故收敛区间为[-2，4)．6．(-4，2)[分析] 由于幂级数有相同的收敛域，所以收敛区间也一样；而幂级数有相同的收敛区间和收敛半径．又幂级数和幂级数有相同的收敛域，综上可得：级数有相同的收敛区间．又因为收敛半径一样，由的收敛区间为(-2，4)可得的收敛半径为3，所以收敛半径为3．从而幂级数的收敛区间为(-4，2)．7．[-1，1)[分析] 因为当x→0时，故，于是幂级数的收敛半径R=1．易知当x=1时幂级数发散，x=-1时幂级数收敛．故幂级数的收敛域为[-1，1)．8．[-1，1)[分析] 收敛半径幂级数在x=1对应的级数，发散；在x=-1时对应的级数收敛．所以收敛域为[-1，1)．9．[分析] 由于所以故10．[分析]11．，1[分析] 根据狄利克雷定理知：f(x)以2π为周期的傅里叶级数在x=π处收敛于f(x)以2π为周期的傅里叶级数在x=2π处收敛于三、解答题1．(Ⅰ)由于以及级数收敛，故由正项级数比较判别法可得：收敛．(Ⅱ)此题用比值判别法失效，所以选用比较判别法．注意，常数k＞0有极限，因此，因为级数收敛，所以由正项级数的比较判别法知级数收敛．(Ⅲ)该正项级数的通项是以积分形式给出的，因此需对积分进行估值．显然这是正项级数，因当时，所以由于收敛，所以原级数收敛．(Ⅳ)因为又收敛，所以原级数绝对收敛．2．(Ⅰ)先讨论级数的敛散性，因为而级数发散，所以根据比较判别法的极限形式可得级数发散．又因为级数用比值判别法可得，级数收敛，所以绝对收敛，又因为收敛，所以级数收敛，因此原级数条件收敛．(Ⅱ)先讨论级数的敛散性，由于而级数发散，所以根据比较判别法的极限形式可得级数发散．由于级数是交错级数，但不单调，莱布尼兹判别法不适用．注意到，由于是收敛交错级数，级数是收敛的正项级数，根据级数的性质可得条件收敛。

无穷级数必考经典习题(附答案).pdf

无穷级数同步测试一、单项选择题1．下列结论中，错误的是（）()A 若lim 0→∞≠n n u ，则级数21∞=∑n n u 发散.()B 若级数1∞=∑n n u 绝对收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()C 若级数1∞=∑n n u 收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()D 若级数21∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u 收敛.2．已知幂级数1(1)∞=−∑nn n a x 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，则该级数的收敛域（）()[0,2)()(0,2]()(0,2)()[0,2]A B C D3．已知幂级数1∞=∑nn n a x 的收敛半径1=R ，则幂级数0!∞=∑n n n a x n 的收敛域为（）()(1,1)()[1,1)()(1,1]()(,)−−−−∞+∞A B C D4. 设常数0>x ，则级数11(1)sin ∞−=−∑n n x n （）. ()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 收敛性与x 有关二、填空题5. 级数11()2∞=∑nn n 的和为 .6．2!lim(!)→∞=n n n .7．已知级数22116π∞==∑n n ，则级数211(1)∞=−=∑n n n .8．幂级数2101!∞+=∑n n x n 的和函数()=S x . 三、解答题9.判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在，并给出正确解法.级数∞=n n .又由于0=n，但=n u 不是单调递减的，由此得出该级数不满足莱布尼茨定理的第二个条件，故级数发散.10.讨论级数21(0)(1)(1)(1)∞=≥+++∑nn n x x x x x 的敛散性.11.求级数11(21)2∞=+∑nn n n 的和. 12.将2()ln(3)=−f x x x 展开为1−x 的幂级数. 13.求极限2313521lim()2222→∞−++++nn n . 14.验证函数3693()1()3!6!9!(3)!=++++++−∞<<+∞n x x x x y x x n 满足微分方程()()()'''++=xy x y x y x e ，并求幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数.第九章多元函数微分法及其应用同步测试B 答案及解析一、单项选择题答案详细解析1. 解利用级数的性质.若lim 0→∞≠n n u ，则2lim 0→∞≠nn u ，因此级数21∞=∑n n u 发散， ()A 正确；若1∞=∑n n u 绝对收敛，即1∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u ，2lim lim 01→∞→∞==<nn n n nu u u根据正项级数的比较审敛法知21∞=∑n n u 收敛，()B 正确；若级数21∞=∑n n u 收敛，则2lim 0lim 0→∞→∞=⇒=nn n n u u ，()D 正确；故选()C .事实上，令(1)=−nn u ，则1∞=∑n n u 收敛，但2111∞∞===∑∑n n n u n发散. 『方法技巧』本题考查级数收敛的必要条件及正项级数的比较审敛法. 『特别提醒』比较审敛法只限于正项级数使用.2.解由于幂级数1(1)∞=−∑n n n a x 在0=x 处收敛，则该级数在以1为中心，以0和1之间的距离1为半径的开区间11−<x ，即02<<x 内，级数绝对收敛.又级数在2=x 处发散，则在以1为中心，以1和2之间的距离1为半径的区间外11−>x ，即0<x 或2>x 内，级数发散.因此级数的收敛区间（不含端点）为(0,2)，则收敛域为[0,2)，故选()A .『方法技巧』本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.3. 解由于1∞=∑n n n a x 的收敛半径1=R ，则有1lim1→∞+=nn n a a . 幂级数0!∞=∑nn n a x n 的收敛半径为 11!lim lim (1)(1)!→∞→∞++'==+=+∞+nn n n n n a an R n a a n ，因此收敛域为(,)−∞+∞，故选()D .『方法技巧』本题考查幂级数的收敛半径和收敛域. 由于级数是标准的幂级数，直接代入公式即可求出收敛半径=+∞R .4. 解由于存在充分大的n ，有,sin 02π<>x xn n，所以从某时刻开始，级数1(1)sin ∞−=−∑k k nxk 是交错级数，且满足 sin sin ,limsin 01→∞≤=+k x x x k k k ，即满足莱布尼茨定理的条件，所以此交错级数收敛，而前有限项（1−n 项）不影响级数的敛散性，因此原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 收敛.又由于sinlim 01→∞=>n xn x n，因此级数111(1)sin sin ∞∞−==−=∑∑n n n x x n n 发散，所以原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 条件收敛，故选()B .『方法技巧』本题考查正项项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念和级数的性质.『特别提醒』解题中需要说明，此级数可能不是从第一项就是交错级数，从某项以后为交错级数，而前有限项不影响级数的敛散性. 二、填空题 5. 2 6. 0 7. 212π− 8. 2x xe答案详细解析5. 解考查幂级数1∞=∑n n nx ，其收敛域为(1,1)−.由111∞∞−===∑∑nn n n nx x nx，令11()∞−==∑n n f x nx ，则111()1∞∞−=====−∑∑⎰⎰xxn n n n x f x dx nx dx x x因此21()()1(1)'==−−x f x x x ，故21()(1)∞===−∑nn x nx xf x x ，所以 2111112()()21222(1)2∞====−∑n n n f 『方法技巧』本题考查幂级数的收敛域及和函数.求常数项级数的和经常转化为讨论幂级数的和函数在确定点的值.『特别提醒』在幂级数求和时，经常使用逐项积分和逐项求导的方法，将其转化为熟悉的幂级数（如等比级数），注意级数的第一项（0=n 或1=n ）.6. 解考虑级数21!(!)∞=∑n n n ，由比值审敛法 212(1)!(!)1lim lim lim 01![(1)!]1+→∞→∞→∞+===<++n n n n nu n n u n n n 因此级数21!(!)∞=∑n n n 收敛，由收敛级数的必要条件得2!lim 0(!)→∞=n n n . 『方法技巧』本题考查利用收敛级数的必要条件求极限.这是求数列极限的一种方法，有些数列变形十分复杂，可考虑将其作为级数的一般项讨论.7. 解由题设 222211111236π∞==+++=∑n n，则2222222111111111(2)42464624ππ∞∞====++=⨯=∑∑n n n n 22222222111111111(21)35(2)6248πππ∞∞∞====+++=−=−=−∑∑∑n n n n n n 故 222222222111111111(1)122234(21)6812πππ∞∞∞===−=−+−+−=−=−⨯=−−∑∑∑nn n n n n n 『方法技巧』本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.『特别提醒』一些同学不熟悉符号∑，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.8. 解由于函数xe 的幂级数展开式为 01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n ，而 2122000111()!!!∞∞∞+=====∑∑∑n n n n n n x x x x x n n n 因此 22120011()()!!∞∞+=====∑∑n n x n n S x x x x xe n n .『方法技巧』本题考查指数函数()=x f x e 的幂级数展开式01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n 一般而言，若幂级数的系数为1!n 时，求和时可能与指数函数x e 有关；若幂级数的系数为1(21)!−n 或1(2)!n 时，求和时可能与三角函数sin x 或cos x 有关.三、解答题9. 解判断条件收敛的运算过程是错误的.由于lim11→∞→∞===n n n n u ，因此由比较审敛法知，级数∞=n2∞=n n 不是绝对收敛的.错误在于：莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的一个充分条件，不是必要的，因此并不能说明不满足莱布尼茨定理的第二个条件，级数就一定不收敛.本题的正确解法要用级数收敛的充分必要条件，即研究lim →∞n n S 是否存在.正确解法：212⎛=+++ ⎝n S n由于每个括号均为负数，因此2n S 单调递减，且有212⎛=+++⎝n S n12⎛>+++⎝n=> 因此2lim →∞n n S 存在，不妨设2lim →∞=n n S S ，而21221221lim lim()lim lim 0+++→∞→∞→∞→∞=+=+=+=+=n n n n n n n n n n S S u S u S S S从而得到lim →∞=n n S S ，即级数∞=n n .『方法技巧』本题考查绝对收敛和条件收敛的概念、莱布尼茨定理的应用及级数收敛的充分必要条件.1∞=∑nn u收敛⇔部分和n S 的极限存在，即lim →∞=n n S S『特别提醒』莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的充分非必要条件，即使不满足莱布尼茨定理，级数也可能收敛.10. 解由于级数的一般项中含有连乘的形式，所以用比值审敛法1111lim 0 111limlim0111 12→∞+++→∞→∞⎧⎪=>⎪⎪+⎪⎪==≤<⎨+⎪⎪=⎪⎪⎪⎩n n n n n n n nx x x u xx x u x x 故对任意的0≥x ，原级数均收敛.『方法技巧』本题考查正项级数的比值审敛法.若正项级数的一般项中含有连乘（包括阶乘!n ）时，一般考虑用比值审敛法判断级数的敛散性.『特别提醒』由于x 的范围不同，1lim+→∞n n nu u 不同，故需要分别进行讨论，但不论什么情况，极限值均小于1，因此级数收敛.11. 解考虑幂级数21(21)∞=+∑nn x n n由于2211(1)(23)limlim 1(21)+→∞→∞++==+n n n nu n n x x u n n ，故其收敛半径为1=R ，而当1=±x 时，级数11(21)∞=+∑n n n 均收敛，因此幂级数的收敛域为[1,1]−.令 22111()(1)(21)(21)+∞∞====<++∑∑n n n n x x S x x x n n n n则 2212112(),()21∞∞−=='''===−∑∑n n n n x xS x S x x n x 因此 22002()(0)()ln(1)1''''−===−−−⎰⎰xxxS x S S x dx dx x x又 (0)0'=S ，则 2()ln(1)'=−−S x x ，同理2201()(0)()ln(1)ln(1)2ln1+'−==−−=−−+−−⎰⎰xxxS x S S x dx x dx x x x x而 (0)0=S ，则 21()ln(1)2ln1+=−−+−−xS x x x x x，故1111)](21)22∞====+−+∑nn n n2ln 21)=++『方法技巧』本题考查利用幂级数求常数项级数的和，这是一种常用方法，关键要做出合适的幂级数.本题由于级数一般项的分母中含有因式21+n ，故所做级数为21(21)∞=+∑n n x n n，此时只要令=x ，即为所求的常数项级数.『特别提醒』在求幂级数的和时，不要忽略了收敛域的讨论，要保证常数项级数是幂级数取收敛域内的点.12. 解 2()ln(3)ln ln(3)=−=+−f x x x x x1ln[1(1)]ln[2(1)]ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−++−=+−+++xx x x 由于 234111ln(1)(1)(1)(11)234∞−−=+=−+−++−+=−−<≤∑nnn n n x x x x x x x x nn则 11111()(1)2()ln 2(1)(1)∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n n n x x f x n n12111(1)(1)ln 2(1)(1)2∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n nn n x x n n 111(1)ln 2[(1)]2∞−=−=+−−∑nn n n x n且满足1111112−<−≤⎧⎪⎨−−<≤⎪⎩x x，即 02<≤x . 『方法技巧』本题考查形如()ln(1)=+f x x 的函数展开式及收敛域11−<≤x .首先将2()ln(3)=−f x x x 化为1()ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−+++xf x x ，将第一项中的1−x 看成标准形中的x ，第二项中的12−x看成标准形中的x ，再展开. 『特别提醒』 ()ln(1)=+f x x 的展开式可以用如下方法记忆：由于 231111111(1)(1)1∞−−−−==−+−++−+=−+∑n n n n n x x x xx x两边积分得11234011111(1)(1)ln(1)1234−−∞=−−+==−+−+++=+∑⎰n n xnnn x dx x x x x x x x n n13. 解所求极限实际上是级数1212∞=−∑nn n 的和，因此可考虑幂级数 221(21)∞−=−∑n n n x令 22221222111()(21)()()1(1)∞∞−−==+''=−===−−∑∑n n n n x x S x n xxx x故2321113521112lim()31222222(1)2→∞+−++++===−n n n S 『方法技巧』本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.『特别提醒』 1212∞=−∑nn n 不刚好等于S ，而是相差12倍. 14. 解当(,)∈−∞+∞x 时，3693()13!6!9!(3)!=++++++n x x x x y x n ，(0)1=y则 25831()2!5!8!(31)!−'=+++++−n x x x x y x n ，(0)0'=y4732()4!7!(32)!−''=+++++−n x x x y x x n ，故4732258314!7!(32)!2!5!8!(31)!−−'''++=+++++++++++−−n n x x x x x x x y y y x n n369313!6!9!(3)!+++++++n x x x x n2345612!3!4!5!6!!=++++++++++=n x x x x x x x x e n所以()y x 满足方程'''++=x y y y e .由于幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数为()y x ，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程 '''++=x y y y e 的满足条件(0)1,(0)0'==y y 的特解()y x .其特征方程为210++=r r ，特征根为1,2122=−±r i ，对应的齐次方程的通解为212(cossin )22−=+x Y e C x C x ，又因1λ=不是特征根，则其特解形式为*=x y Ae ，代入原方程，解得13=A ，故微分方程的通解为11 2121(cos sin )223−=++x x y e C x C x e ，将(0)1,(0)0'==y y 代入得122,03==C C ，所求微分方程的特解为221cos 323−=+x x y e x e 因此32021cos (3)!323∞−==+∑x n x n x e x e n 『方法技巧』本题考查幂级数逐项求导及二阶常系数非齐次线性微分方程的求通解和特解.。

无穷级数练习题

∞
Байду номын сангаас
∞
( x − 5) n ∑ n n =1
∞
五、求下列级数的和函数 1、
(−1) n −1 2 n −1 x ∑ n =1 2n − 1
∞
2、
∑ (n + 1) x n
n =1
3、
x n +1 ∑ n =1 n( n + 1)
∞
4、
(−1) n −1 2 n x ∑ n =1 n(2n − 1)
∞
六、将初等函数展开为幂级数 1、将 ln(2 + x ) 展开为 x 的幂级数 3、将
3、判定级数的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛（1）
∞ ∞ (−1) n−1 n (−1) n−1 (−1) n n。；（ 2 ）；（ 3 ） ∑ ∑ ∑ n n n =1 6n − 5 n =1 n =1 2 ∞
四、幂级数：判定下列级数的收敛半径，收敛区间 1、
∑ xn
n =1
∞
4、
无穷级数练习题一、基本概念与性质
n +1 1、判定 ∑ 的敛散性； n =1 2 n + 1
∞
9 ⋅ 6n 的敛散性。 2、判定 ∑ n n =1 5 ⋅ 7
∞
二、正项级数：判定下列级数敛散性 1、
1 ∑ n n =1 2 3n + 100 ∑ 2 n =1 n + 1
∞
∞
4、
∑
n =1
∞
∞
1 n (n + 1)
1 展开为 x 的幂级数 1 + x2
5、将
1 展开为 x − 1 的幂级数 4− x

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无穷级数复习题
无穷级数是数学中一个重要的概念，它在数学分析、微积分以及其他数学领域
中有着广泛的应用。

在本文中，我们将复习一些关于无穷级数的基本概念和性质，并通过一些例题来加深对这一概念的理解。

首先，我们来回顾一下无穷级数的定义。

无穷级数是由一系列无穷多个数相加
而得到的数列。

通常表示为：
S = a1 + a2 + a3 + ...
其中，a1、a2、a3等为数列的项。

如果这个无穷级数的部分和（也称为部分和
数列）Sn = a1 + a2 + ... + an在n趋向于无穷大时存在有限的极限L，那么我
们说这个无穷级数收敛，记作S = L。

反之，如果部分和数列Sn在n趋向于无
穷大时不存在有限的极限，那么我们说这个无穷级数发散。

接下来，我们来看几个例题，通过计算来判断这些无穷级数是收敛还是发散。

例题1：考虑无穷级数S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
这个级数是一个几何级数，公比为1/2。

我们知道，当公比的绝对值小于1时，几何级数收敛。

因此，这个级数是收敛的。

例题2：考虑无穷级数S = 1 + 2 + 3 + 4 + ...
这个级数是一个等差级数，公差为1。

我们知道，等差级数只有在公差小于1
时才能收敛。

因此，这个级数是发散的。

例题3：考虑无穷级数S = 1 - 1 + 1 - 1 + ...
这个级数是一个交错级数，每一项的符号交替出现。

对于交错级数，我们可以
使用交错级数判别法来判断其收敛性。

根据该定理，如果交错级数的绝对值数
列是一个单调递减趋于零的数列，那么这个交错级数收敛。

在这个例子中，绝
对值数列为1, 1, 1, ...，显然不满足单调递减趋于零的条件，因此这个级数是发
散的。

通过以上的例题，我们可以看到，判断一个无穷级数的收敛性需要使用不同的
方法和定理。

在实际应用中，我们经常会遇到一些特殊的无穷级数，比如幂级数、傅里叶级数等，它们在数学和物理等领域中有着重要的应用。

幂级数是一个形如S = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n + ...的级数，其中a0、a1、a2等为常数，x为变量。

幂级数在微积分和数学物理中有着广泛的应用，比如
泰勒级数就是一种特殊的幂级数。

傅里叶级数是一种将周期函数表示为三角函数的级数展开形式。

它在信号处理、图像处理等领域中有着重要的应用。

傅里叶级数的收敛性和收敛速度是研究的
重点之一。

总之，无穷级数是数学中一个重要的概念，它在分析、微积分以及其他数学领
域中有着广泛的应用。

通过复习一些基本概念和性质，并通过例题来加深对无
穷级数的理解，我们可以更好地应用无穷级数解决实际问题。

同时，幂级数和
傅里叶级数作为无穷级数的特殊形式，在数学和物理学中有着重要的地位。